Metode rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi. Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi

Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije

Obrazovna ustanova

„Gomeljsko državno sveučilište

nazvan po Francysku Skaryni"

Matematički fakultet

Zavod za algebru i geometriju

Prihvaćen na obranu

glava Odjel Shemetkov L.A.

Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe

Tečajni rad

Izvršitelj:

student grupe M-51

CM. Gorski

znanstveni voditelj dr. sc.-mr.

Viši predavač

V G. Safonov

Gomel 2008

UVOD

OSNOVNE METODE RJEŠAVANJA TRIGONOMETRIJSKIH JEDNADŽBI

Faktorizacija

Rješavanje jednadžbi pretvaranjem umnoška trigonometrijskih funkcija u zbroj

Rješavanje jednadžbi pomoću formula s tri argumenta

Množenje nekom trigonometrijskom funkcijom

NESTANDARDNE TRIGONOMETRIJSKE JEDNADŽBE

TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNAČBE

ODABIR KORIJENA

ZADACI ZA SAMOSTALNO RJEŠAVANJE

ZAKLJUČAK

POPIS KORIŠTENIH IZVORA

Trigonometrija je u antičko doba nastala u vezi s potrebama astronomije, zemljomjerstva i graditeljstva, odnosno bila je čisto geometrijske naravi i predstavljala je uglavnom<<исчисление хорд>>. S vremenom su se u njega počeli upletati neki analitički momenti. U prvoj polovici 18. stoljeća dolazi do oštre promjene, nakon koje trigonometrija uzima novi smjer i usmjerava se prema matematičkoj analizi. U to su se vrijeme trigonometrijski odnosi počeli smatrati funkcijama.

Trigonometrijske jednadžbe su jedne od naj teške teme na školskom tečaju matematike. Trigonometrijske jednadžbe nastaju pri rješavanju problema iz planimetrije, stereometrije, astronomije, fizike i drugih područja. Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe nalaze se među zadacima centraliziranog testiranja iz godine u godinu.

Najvažnija razlika trigonometrijske jednadžbe od algebarskih je da u algebarskim jednadžbama postoji konačan broj korijena, a u trigonometrijskim beskonačan broj, što uvelike otežava izbor korijena. Druga specifičnost trigonometrijskih jednadžbi je nejedinstven oblik pisanja odgovora.

Ovaj diplomski rad posvećen je metodama rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.

Diplomski rad se sastoji od 6 dijelova.

Prvi dio daje osnovne teorijske informacije: definicija i svojstva trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija; tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke argumente; izražavanje trigonometrijskih funkcija pomoću drugih trigonometrijskih funkcija, što je vrlo važno za transformaciju trigonometrijskih izraza, posebice onih koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije; osim osnovnih trigonometrijskih formula, dobro poznatih iz školski tečaj, dane su formule koje pojednostavljuju izraze koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije.

U drugom dijelu prikazane su osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Razmatra se rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, metoda faktorizacije i metode svođenja trigonometrijskih jednadžbi na algebarske. S obzirom na to da se rješenja trigonometrijskih jednadžbi mogu napisati na više načina, a oblik tih rješenja ne dopušta da se odmah utvrdi jesu li ta rješenja ista ili različita, što može<<сбить с толку>> pri rješavanju testova, smatra opća shema detaljno se razmatraju rješenja trigonometrijskih jednadžbi i transformacija grupa opća rješenja trigonometrijske jednadžbe.

Treći dio ispituje nestandardne trigonometrijske jednadžbe čija se rješenja temelje na funkcionalnom pristupu.

Četvrti dio govori o trigonometrijskim nejednakostima. Detaljno se raspravlja o metodama rješavanja elementarnih trigonometrijskih nejednadžbi, kako na jediničnoj kružnici tako i grafičkom metodom. Opisuje se postupak rješavanja neelementarnih trigonometrijskih nejednadžbi pomoću elementarnih nejednadžbi i metodom intervala, već dobro poznatom školskoj djeci.

Peti odjeljak predstavlja najteže zadatke: kada je potrebno ne samo riješiti trigonometrijsku jednadžbu, već i odabrati korijene iz pronađenih korijena koji zadovoljavaju neki uvjet. Ovaj odjeljak pruža rješenja za tipične zadatke odabira korijena. Daju se potrebne teorijske informacije za odabiranje korijena: rastavljanje skupa cijelih brojeva na disjunktne podskupove, rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima (dijafantinsko).

U šestom dijelu prikazani su zadaci za neovisna odluka, dizajniran u obliku testa. U 20 ispitnih zadataka nalaze se najteži zadaci koji se mogu susresti tijekom centraliziranog testiranja.

Elementarne trigonometrijske jednadžbe

Elementarne trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe oblika , gdje je --- jedna od trigonometrijskih funkcija: , , , .

Elementarne trigonometrijske jednadžbe imaju beskonačan broj korijena. Na primjer, sljedeće vrijednosti zadovoljavaju jednadžbu: , , itd. Opća formula duž koje se nalaze svi korijeni jednadžbe, gdje je ,:

Ovdje može uzeti bilo koje cjelobrojne vrijednosti, svaka od njih odgovara određenom korijenu jednadžbe; u ovoj formuli (kao i u drugim formulama kojima se rješavaju elementarne trigonometrijske jednadžbe) nazivaju parametar. Obično pišu, čime se naglašava da parametar može prihvatiti bilo koju cjelobrojnu vrijednost.

Rješenja jednadžbe , gdje su , nalaze se formulom

Jednadžba se rješava pomoću formule

a jednadžba je po formuli

Posebno napomenimo neke posebne slučajeve elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, kada se rješenje može napisati bez korištenja općih formula:

Pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi važnu ulogu ima period trigonometrijskih funkcija. Stoga predstavljamo dva korisna teoreme:

Teorema Ako --- Osnovni, temeljni period funkcije, tada je broj glavni period funkcije.

Za periode funkcija i kaže se da su sumjerljive ako postoje cijeli brojevi Pa što .

Teorema Ako periodične funkcije i , imaju sumjerljive i , tada imaju zajednički period, a to je period funkcija , , .

Teorem tvrdi da period funkcije , , , jest i nije nužno glavni period. Na primjer, glavni period funkcija i --- , i glavni period njihovog proizvoda --- .

Uvođenje pomoćnog argumenta

Standardnim načinom transformacije izraza forme je sljedeća tehnika: neka --- kut, zadan jednakostima , . Za bilo koji, takav kut postoji. Tako . Ako , ili , , , u drugim slučajevima.

Shema za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Osnovna shema koja će nas voditi pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi je sljedeća:

rješavanje zadane jednadžbe svodi se na rješavanje elementarnih jednadžbi. Rješenja --- pretvorbe, faktorizacija, zamjena nepoznanica. Načelo vodilja je ne izgubiti svoje korijene. To znači da se pri prelasku na sljedeću jednadžbu(e) ne bojimo pojave suvišnih (suvišnih) korijena, već samo brinemo da svaka sljedeća jednadžba našeg „lanca“ (ili skupa jednadžbi u slučaju grananja) ) je posljedica prethodnog. Jedna od mogućih metoda za odabir korijena je testiranje. Odmah primijetimo da se u slučaju trigonometrijskih jednadžbi poteškoće povezane s odabirom korijena i provjerom u pravilu naglo povećavaju u usporedbi s algebarskim jednadžbama. Uostalom, moramo provjeriti nizove koji se sastoje od beskonačnog broja članova.

Posebno treba istaknuti zamjenu nepoznanica pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi. U većini slučajeva, nakon potrebne zamjene, ispada algebarska jednadžba. Štoviše, jednadžbe nisu toliko rijetke da, iako su trigonometrijske u izgled, u biti nisu, jer nakon prvog koraka --- zamjene varijable --- prelaze u algebarske, a povratak na trigonometriju događa se tek u fazi rješavanja elementarnih trigonometrijskih jednadžbi.

Podsjetimo još jednom: zamjenu nepoznanice treba obaviti prvom prilikom, dobivenu jednadžbu nakon zamjene potrebno je riješiti do kraja, uključujući i fazu odabira korijena, pa tek onda vratiti na izvornu nepoznanicu.

Jedna od značajki trigonometrijskih jednadžbi je da se odgovor u mnogim slučajevima može napisati različiti putevi. Čak i riješiti jednadžbu odgovor se može napisati na sljedeći način:

1) u obliku dvije serije: , , ;

2) u standardnom obliku, koji je kombinacija gore navedenih serija: , ;

3) jer , tada se odgovor može napisati u obliku , . (U nastavku, prisutnost parametra , , ili u zapisu odgovora automatski znači da ovaj parametar prihvaća sve moguće cjelobrojne vrijednosti. Iznimke će biti navedene.)

Očito tri navedena slučaja ne iscrpljuju sve mogućnosti za pisanje odgovora na razmatranu jednadžbu (ima ih beskonačno mnogo).

Na primjer, kada je jednakost istinita . Stoga, u prva dva slučaja, ako , možemo zamijeniti s .

Obično se odgovor piše na temelju točke 2. Korisno je zapamtiti sljedeću preporuku: ako rad ne završi rješavanjem jednadžbe, još uvijek je potrebno provesti istraživanje i odabrati korijene, tada je najprikladniji oblik snimanja naznačeno je u točki 1. (Sličnu preporuku treba dati za jednadžbu.)

Razmotrimo primjer koji ilustrira ono što je rečeno.

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Najočitiji način je sljedeći. Ova se jednadžba rastavlja na dvije: i . Rješavajući svaki od njih i kombinirajući dobivene odgovore, nalazimo .

Drugi način. Budući da je , dakle, zamjenom i korištenjem formula za smanjenje stupnja. Nakon malih transformacija dobivamo , odakle .

Na prvi pogled, druga formula nema nekih posebnih prednosti u odnosu na prvu. Međutim, ako uzmemo, na primjer, onda se pokazuje da, t.j. jednadžba ima rješenje, dok nas prva metoda vodi do odgovora . "Vidjeti" i dokazati jednakost nije tako lako.

Odgovor. .

Pretvaranje i kombiniranje grupa općih rješenja trigonometrijskih jednadžbi

Razmotrit ćemo aritmetička progresija, protežući se beskrajno u oba smjera. Članovi ove progresije mogu se podijeliti u dvije skupine članova, smještenih desno i lijevo od određenog člana koji se naziva središnji ili nulti član progresije.

Fiksiranjem jednog od članova beskonačne progresije s nultim brojem, morat ćemo izvršiti dvostruko numeriranje za sve preostale članove: pozitivno za članove smještene desno, a negativno za članove smještene lijevo od nule.

Općenito, ako je razlika progresije nulti član, formula za bilo koji (ti) član beskonačne aritmetičke progresije je:

Transformacije formule za bilo koji član beskonačne aritmetičke progresije

1. Ako dodate ili oduzmete razliku progresije na nulti član, tada se progresija neće promijeniti, već će se pomaknuti samo nulti član, tj. Numeracija članova će se mijenjati.

2. Ako se koeficijent vrijednosti varijable pomnoži s, tada će to samo rezultirati preraspodjelom desne i lijeve skupine članova.

3. Ako su uzastopni članovi beskonačne progresije

na primjer, , , ..., , čine središnji članovi progresija s istom razlikom jednakom:

tada progresija i niz progresija izražavaju iste brojeve.

Primjer Red se može zamijeniti sa sljedeća tri reda: , , .

4. Ako beskrajne progresije s istom razlikom imaju središnje članove brojeva koji tvore aritmetičku progresiju s razlikom , tada se ti nizovi mogu zamijeniti jednom progresijom s razlikom i sa središnjim članom jednakim bilo kojem od središnjih članova tih progresija, tj. Ako

tada se ove progresije spajaju u jednu:

Primjer . obje su spojene u jednu grupu .

Da bi se grupe koje imaju zajednička rješenja transformirale u grupe koje nemaju zajednička rješenja, te se grupe rastavljaju na grupe s opće razdoblje, a zatim nastojte kombinirati dobivene skupine, eliminirajući one koje se ponavljaju.

Faktorizacija

Metoda faktorizacije je sljedeća: ako

onda svako rješenje jednadžbe

je rješenje skupa jednadžbi

Obratna izjava je, općenito govoreći, netočna: nije svako rješenje populacije rješenje jednadžbe. To se objašnjava činjenicom da rješenja pojedinih jednadžbi ne mogu biti uključena u domenu definiranja funkcije.

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Korištenje osnovnih trigonometrijski identitet, predstavimo jednadžbu u obliku

Odgovor. ; .

Pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje. Primjenom formule dobivamo ekvivalentnu jednadžbu

Odgovor. .

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. U tom slučaju, prije primjene formula za zbroj trigonometrijskih funkcija, trebali biste koristiti formulu redukcije . Kao rezultat toga dobivamo ekvivalentnu jednadžbu

Odgovor. , .

Rješavanje jednadžbi pretvaranjem umnoška trigonometrijskih funkcija u zbroj

Pri rješavanju niza jednadžbi koriste se formule.

Primjer Riješite jednadžbu

Riješenje.

Odgovor. , .

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Primjenom formule dobivamo ekvivalentnu jednadžbu:

Odgovor. .

Rješavanje jednadžbi pomoću redukcijskih formula

Prilikom odlučivanja širok raspon U trigonometrijskim jednadžbama formule igraju ključnu ulogu.

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Primjenom formule dobivamo ekvivalentnu jednadžbu.

Odgovor. ; .

Rješavanje jednadžbi pomoću formula s tri argumenta

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Primjenom formule dobivamo jednadžbu

Odgovor. ; .

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje. Primjenom formula za smanjenje stupnja dobivamo: . Primjenom dobivamo:

Odgovor. ; .

Jednakost istoimenih trigonometrijskih funkcija

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Odgovor. , .

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje. Transformirajmo jednadžbu.

Odgovor. .

Primjer Poznato je da i zadovoljavaju jednadžbu

Pronađite iznos.

Riješenje. Iz jednadžbe slijedi da

Odgovor. .

Razmotrimo zbrojeve oblika

Ovi se iznosi mogu pretvoriti u umnožak množenjem i dijeljenjem s, a zatim dobivamo

Ova tehnika se može koristiti za rješavanje nekih trigonometrijskih jednadžbi, ali treba imati na umu da se kao rezultat mogu pojaviti strani korijeni. Sažmimo ove formule:

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Vidi se da je skup rješenje izvorne jednadžbe. Stoga množenje lijeve i desne strane jednadžbe s neće dovesti do pojave dodatnih korijena.

Imamo .

Odgovor. ; .

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Pomnožimo lijevu i desnu stranu jednadžbe s i primijenimo formule za pretvaranje umnoška trigonometrijskih funkcija u zbroj, dobivamo

Ova jednadžba je ekvivalentna kombinaciji dviju jednadžbi i , odakle i .

Budući da korijeni jednadžbe nisu korijeni jednadžbe, trebali bismo isključiti . To znači da je u skupu potrebno isključiti .

Odgovor. i , .

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje. Transformirajmo izraz:

Jednadžba će biti zapisana kao:

Odgovor. .

Svođenje trigonometrijskih jednadžbi na algebarske

Svodivo na kvadrat

Ako je jednadžba oblika

tada ga zamjena dovodi do kvadrata, jer () I.

Ako umjesto pojma stoji , tada će tražena zamjena biti .

Jednadžba

svodi na kvadratnu jednadžbu

prezentacija kao . Lako je provjeriti da za koje , nisu korijeni jednadžbe, a zamjenom , jednadžba se svodi na kvadratnu.

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Pomaknimo ga na lijevu stranu, zamijenimo s , i izrazimo ga kroz i .

Nakon pojednostavljenja dobivamo: . Podijeli pojam po pojam i izvrši zamjenu:

Vraćajući se na , nalazimo .

Jednadžbe homogene u odnosu na ,

Razmotrimo jednadžbu oblika

Gdje , , , ..., , --- realni brojevi. U svakom članu na lijevoj strani jednadžbe, stupnjevi monoma su jednaki, odnosno zbroj stupnjeva sinusa i kosinusa je isti i jednak. Ova se jednadžba zove homogena u odnosu na i , a broj se zove indikator homogenosti .

Jasno je da ako je , tada će jednadžba imati oblik:

čija su rješenja vrijednosti kod kojih , tj. brojevi , . Druga jednadžba napisana u zagradama također je homogena, ali su stupnjevi za 1 niži.

Ako , onda ti brojevi nisu korijeni jednadžbe.

Kada dobijemo: , a lijeva strana jednadžbe (1) poprima vrijednost .

Dakle, za , i , prema tome možemo podijeliti obje strane jednadžbe s . Kao rezultat, dobivamo jednadžbu:

koji se supstitucijom lako može svesti na algebarski:

Homogene jednadžbe s indeksom homogenosti 1. Kada imamo jednadžbu .

Ako je , tada je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi , , odakle , .

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Ova jednadžba je homogena prvog stupnja. Podijelimo oba dijela s dobivamo: , , , .

Odgovor. .

Primjer Kad dobijemo homogena jednadžba ljubazan

Riješenje.

Ako , zatim obje strane jednadžbe podijelimo s , dobivamo jednadžbu , koji se lako može svesti na kvadrat supstitucijom: . Ako , tada jednadžba ima realne korijene , . Izvorna jednadžba će imati dvije skupine rješenja: , , .

Ako , tada jednadžba nema rješenja.

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Ova jednadžba je homogena drugog stupnja. Podijelimo obje strane jednadžbe s , dobivamo: . Neka, dakle, , . , , ; .

Odgovor. .

Jednadžba se svodi na jednadžbu oblika

Da biste to učinili, dovoljno je koristiti identitet

Konkretno, jednadžba se svodi na homogenu ako je zamijenimo s , tada dobivamo ekvivalentnu jednadžbu:

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Pretvorimo jednadžbu u homogenu:

Podijelimo obje strane jednadžbe s , dobivamo jednadžbu:

Neka , tada dolazimo do kvadratne jednadžbe: , , , , .

Odgovor. .

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Kvadrirajmo obje strane jednadžbe, s obzirom da imaju pozitivne vrijednosti: , ,

Neka bude, onda ćemo dobiti , , .

Odgovor. .

Jednadžbe rješavane korištenjem identiteta

Korisno je znati sljedeće formule:

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Korištenjem, dobivamo

Odgovor.

Ne nudimo same formule, već metodu za njihovo izvođenje:

stoga,

Isto tako,.

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje. Transformirajmo izraz:

Jednadžba će biti zapisana kao:

Prihvaćanjem primamo. , . Stoga

Odgovor. .

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Trigonometrijska jednadžba oblika

Gdje --- racionalno funkcija uz pomoć formula - , kao i uz pomoć formula - može se svesti na racionalna jednadžba s obzirom na argumente , , , , nakon čega se jednadžba može svesti na algebarsku racionalnu jednadžbu s obzirom na korištenje formula univerzalne trigonometrijske supstitucije

Treba napomenuti da uporaba formula može dovesti do sužavanja OD izvorne jednadžbe, budući da nije definirana u točkama, pa je u takvim slučajevima potrebno provjeriti jesu li kutovi korijeni izvorne jednadžbe .

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Prema uvjetima zadatka. Primjenom formula i zamjenom dobivamo

odakle i stoga .

Jednadžbe oblika

Jednadžbe oblika , gdje --- polinom, rješavaju se zamjenom nepoznanica

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Izrada zamjene i uzimajući u obzir da , dobivamo

gdje , . --- autsajder korijen, jer . Korijeni jednadžbe su .

Korištenje ograničenja značajki

U praksi centraliziranog testiranja nije tako rijetko susresti jednadžbe čije se rješavanje temelji na ograničenim funkcijama i . Na primjer:

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Od , , Tada lijeva strana ne prelazi i jednaka je , Ako

Da bismo pronašli vrijednosti koje zadovoljavaju obje jednadžbe, postupamo na sljedeći način. Riješimo jednu od njih, a zatim ćemo među pronađenim vrijednostima odabrati one koje zadovoljavaju drugu.

Počnimo s drugom: , . zatim, .

Jasno je da će samo za parne brojeve biti .

Odgovor. .

Druga ideja se realizira rješavanjem sljedeće jednadžbe:

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje. Iskoristimo imanje eksponencijalna funkcija: , .

Zbrajanjem ovih nejednakosti član po član imamo:

Stoga je lijeva strana ove jednadžbe jednaka ako i samo ako su zadovoljene dvije jednakosti:

tj. može poprimiti vrijednosti, , , ili može poprimiti vrijednosti, .

Odgovor. , .

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje., . Stoga, .

Odgovor. .

Primjer Riješite jednadžbu

Riješenje. Označimo , pa iz definicije inverzne trigonometrijske funkcije imamo I .

Budući da, onda nejednakost slijedi iz jednadžbe, tj. . Od i , onda i . Međutim, zato.

Ako i, onda. Budući da je prethodno utvrđeno da je tada .

Odgovor. , .

Primjer Riješite jednadžbu

Riješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe je.

Prvo ćemo pokazati da funkcija

Za bilo koji, može imati samo pozitivne vrijednosti.

Zamislimo funkciju na sljedeći način: .

Od , tada se odvija, t.j. .

Dakle, da bismo dokazali nejednakost, potrebno je pokazati da . U tu svrhu, kubimo obje strane ove nejednakosti

Rezultirajuća numerička nejednakost pokazuje da je . Ako također uzmemo u obzir da , tada je lijeva strana jednadžbe nenegativna.

Pogledajmo sada desnu stranu jednadžbe.

Jer , To

Međutim, poznato je da . Iz toga slijedi da, tj. desna strana jednadžbe ne prelazi . Prethodno je dokazano da je lijeva strana jednadžbe nenegativna, pa se jednakost u može dogoditi samo ako su obje strane jednake, a to je moguće samo ako .

Odgovor. .

Primjer Riješite jednadžbu

Riješenje. Označimo i . Primjenom Cauchy-Bunyakovskyjeve nejednakosti dobivamo . Iz toga slijedi da . S druge strane, postoji . Dakle, jednadžba nema korijena.

Odgovor. .

Primjer Riješite jednadžbu:

Riješenje. Prepišimo jednadžbu kao:

Odgovor. .

Funkcionalne metode rješavanja trigonometrijskih i kombiniranih jednadžbi

Ne može se svaka jednadžba kao rezultat transformacija svesti na jednadžbu jednog ili drugog standardnog oblika za koji postoji specifična metoda rješenja. U takvim slučajevima ispada da je korisno koristiti takva svojstva funkcija kao što su monotonost, ograničenost, parnost, periodičnost itd. Dakle, ako jedna od funkcija opada, a druga raste na intervalu, onda ako jednadžba ima korijen na tom intervalu, taj je korijen jedinstven, a zatim se npr. može pronaći selekcijom. Ako je funkcija ograničena odozgo, i , a funkcija je ograničena odozdo, i , tada je jednadžba ekvivalentna sustavu jednadžbi

Primjer Riješite jednadžbu

Riješenje. Pretvorimo izvornu jednadžbu u oblik

i riješiti ga kao kvadratnu relativnu . Tada dobivamo,

Riješimo prvu jednadžbu populacije. Uzimajući u obzir ograničenost funkcije, dolazimo do zaključka da jednadžba može imati korijen samo na segmentu. Na tom intervalu funkcija raste, a funkcija smanjuje se. Dakle, ako ova jednadžba ima korijen, onda je jedinstvena. Nalazimo odabirom.

Odgovor. .

Primjer Riješite jednadžbu

Riješenje. Neka i , tada se izvorna jednadžba može napisati kao funkcionalna jednadžba. Budući da je funkcija neparna, tada . U ovom slučaju dobivamo jednadžbu.

Budući da je , i monoton na , jednadžba je ekvivalentna jednadžbi, tj. , koji ima jedan korijen.

Odgovor. .

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje. Na temelju teorema o derivaciji složena funkcija jasno je da funkcija opadanje (funkcija opadanje, povećanje, opadanje). Iz ovoga je jasno da funkcija definirano na , opadajući. Dakle, ova jednadžba ima najviše jedan korijen. Jer , To

Odgovor. .

Primjer Riješite jednadžbu.

Riješenje. Razmotrimo jednadžbu na tri intervala.

a) Neka . Tada je na ovom skupu izvorna jednadžba ekvivalentna jednadžbi . Koji nema rješenja na intervalu, jer , , A . Na intervalu, izvorna jednadžba također nema korijena, jer , A .

b) Neka . Tada je na ovom skupu izvorna jednadžba ekvivalentna jednadžbi

čiji su korijeni na intervalu brojevi , , , .

c) Neka . Tada je na ovom skupu izvorna jednadžba ekvivalentna jednadžbi

Što nema rješenja na intervalu, jer , i . Na intervalu jednadžba također nema rješenja, jer , , A .

Odgovor. , , , .

Metoda simetrije

Metoda simetrije prikladna je za korištenje kada formulacija zadatka zahtijeva jedinstveno rješenje jednadžbe, nejednadžbe, sustava itd. ili točnu naznaku broja rješenja. U tom slučaju treba otkriti bilo kakvu simetriju zadanih izraza.

Također je potrebno uzeti u obzir raznolikost različitih mogućih tipova simetrije.

Jednako je važno strogo pridržavanje logičkih faza u razmišljanju sa simetrijom.

Tipično, simetrija nam omogućuje da uspostavimo samo potrebne uvjete, a zatim trebamo provjeriti njihovu dostatnost.

Primjer Pronađite sve vrijednosti parametra za koje jednadžba ima jedina odluka.

Riješenje. Imajte na umu da i --- čak i funkcije, pa je lijeva strana jednadžbe parna funkcija.

Pa ako --- riješenje jednadžbe, odnosno i rješenje jednadžbe. Ako --- jedina stvar rješenje jednadžbe, dakle potrebno , .

Mi ćemo odabrati moguće vrijednosti, zahtijevajući da to bude korijen jednadžbe.

Odmah napomenimo da druge vrijednosti ne mogu zadovoljiti uvjete problema.

Ali još nije poznato zadovoljavaju li svi odabrani uvjete zadatka.

Adekvatnost.

1), jednadžba će poprimiti oblik .

2), jednadžba će imati oblik:

Očito je da, za sve i . Stoga je posljednja jednadžba ekvivalentna sustavu:

Dakle, dokazali smo da za , jednadžba ima jedinstveno rješenje.

Odgovor. .

Rješenje s istraživanjem funkcija

Primjer Dokažite da su sva rješenja jednadžbe

Cijeli brojevi.

Riješenje. Glavni period izvorne jednadžbe je . Stoga ćemo prvo ispitati ovu jednadžbu na intervalu.

Transformirajmo jednadžbu u oblik:

Pomoću mikrokalkulatora dobivamo:

Ako je , tada iz prethodnih jednakosti dobivamo:

Rješavanjem dobivene jednadžbe dobivamo: .

Izvedeni izračuni omogućuju pretpostavku da su korijeni jednadžbe koji pripadaju segmentu , i .

Izravno testiranje potvrđuje ovu hipotezu. Dakle, dokazano je da su korijeni jednadžbe samo cijeli brojevi , .

Primjer Riješite jednadžbu .

Riješenje. Nađimo glavni period jednadžbe. Funkcija ima osnovni period jednak . Glavni period funkcije je . Najmanji zajednički višekratnik i jednak je . Stoga je glavni period jednadžbe . Neka .

Očito, to je rješenje jednadžbe. Na intervalu. Funkcija je negativna. Stoga ostale korijene jednadžbe treba tražiti samo na intervalima x i .

Koristeći mikrokalkulator, prvo pronalazimo približne vrijednosti korijena jednadžbe. Da bismo to učinili, sastavljamo tablicu vrijednosti funkcije na intervalima i ; tj. na intervalima i .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Iz tablice su lako uočljive sljedeće hipoteze: korijeni jednadžbe koji pripadaju segmentu su brojevi: ; ; . Izravno testiranje potvrđuje ovu hipotezu.

Odgovor. ; ; .

Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću jedinične kružnice

Kod rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi oblika , gdje je jedna od trigonometrijskih funkcija, zgodno je koristiti trigonometrijski krug kako bi se rješenja nejednadžbe što jasnije prikazala i odgovor zapisao. Glavna metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi je njihovo svođenje na najjednostavnije nejednadžbe tipa. Pogledajmo primjer kako riješiti takve nejednakosti.

Primjer Riješite nejednadžbu.

Riješenje. Nacrtajmo trigonometrijsku kružnicu i na njoj označimo točke za koje ordinata prelazi .

Rješenje ove nejednadžbe bit će . Također je jasno da ako se određeni broj razlikuje od bilo kojeg broja iz navedenog intervala za , tada također neće biti manji od . Stoga samo trebate dodati na krajeve segmenta pronađenog rješenja. Konačno, dobivamo da će rješenja izvorne nejednadžbe biti sva .

Odgovor. .

Za rješavanje nejednakosti s tangensom i kotangensom koristan je koncept linije tangensa i kotangenata. To su ravne i, redom (na slici (1) i (2)), tangente na trigonometrijsku kružnicu.

Lako je vidjeti da ako konstruiramo zraku s ishodištem u ishodištu koordinata, čineći kut s pozitivnim smjerom osi apscise, tada je duljina segmenta od točke do točke presjeka ove zrake s tangenta je točno jednaka tangensu kuta koji ta zraka zatvara s osi apscisa. Slično opažanje događa se za kotangens.

Primjer Riješite nejednadžbu.

Riješenje. Označimo , tada će nejednakost poprimiti najjednostavniji oblik: . Razmotrimo interval duljine jednak najmanjem pozitivnom periodu (LPP) tangente. Na ovom segmentu, koristeći liniju tangenti, utvrđujemo da je . Prisjetimo se sada što treba dodati budući da NPP funkcionira. Tako, . Vraćajući se na varijablu, dobivamo to.

Odgovor. .

Nejednadžbe s inverznim trigonometrijskim funkcijama zgodno je rješavati pomoću grafova inverznih trigonometrijskih funkcija. Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Grafičko rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi

Imajte na umu da ako --- periodična funkcija, tada je za rješavanje nejednadžbe potrebno pronaći njezino rješenje na segmentu čija je duljina jednaka periodu funkcije. Sva rješenja izvorne nejednadžbe sastojat će se od pronađenih vrijednosti, kao i svih onih koje se razlikuju od pronađenih za bilo koji cijeli broj perioda funkcije.

Razmotrimo rješenje nejednadžbe ().

Budući da , tada nejednadžba nema rješenja. Ako je , tada je skup rješenja nejednadžbe --- gomila svi realni brojevi.

Neka . Sinusna funkcija ima najmanju pozitivnu periodu, pa se nejednadžba može prvo riješiti na segmentu duljine, npr. na segmentu. Gradimo grafove funkcija i (). zadane su nejednakostima oblika: i, odakle,

U ovom radu razmatrane su metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi, kako jednostavne tako i olimpijadne razine. Razmotrene su glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednakosti, štoviše, kao specifične --- karakteristika samo za trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe te opće funkcionalne metode za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi primijenjene na trigonometrijske jednadžbe.

U radu se daju osnovne teorijske informacije: definicija i svojstva trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija; izražavanje trigonometrijskih funkcija pomoću drugih trigonometrijskih funkcija, što je vrlo važno za transformaciju trigonometrijskih izraza, posebice onih koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije; Uz osnovne trigonometrijske formule, poznate iz školskog tečaja, dane su formule koje pojednostavljuju izraze koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije. Razmatra se rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, metoda faktorizacije i metode svođenja trigonometrijskih jednadžbi na algebarske. S obzirom na to da se rješenja trigonometrijskih jednadžbi mogu napisati na više načina, a oblik tih rješenja ne dopušta da se odmah utvrdi jesu li ta rješenja ista ili različita, razmatra se opća shema za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i transformacija. detaljno se razmatra grupa općih rješenja trigonometrijskih jednadžbi. Detaljno se raspravlja o metodama rješavanja elementarnih trigonometrijskih nejednadžbi, kako na jediničnoj kružnici tako i grafičkom metodom. Opisuje se postupak rješavanja neelementarnih trigonometrijskih nejednadžbi pomoću elementarnih nejednadžbi i metodom intervala, već dobro poznatom školskoj djeci. Dana su rješenja tipičnih zadataka za odabir korijena. Daju se potrebne teorijske informacije za odabiranje korijena: rastavljanje skupa cijelih brojeva na disjunktne podskupove, rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima (dijafantinsko).

Rezultati ovog diplomskog rada mogu se koristiti kao obrazovni materijal prilikom izrade kolegija i teze, pri sastavljanju izbornih predmeta za učenike, rad se može koristiti i za pripremu učenika za prijemne ispite i centralizirano testiranje.

Vygodsky Ya.Ya., Priručnik elementarne matematike. /Vygodsky Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970.

Igudisman O., Matematika na usmenom ispitu / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001.

Azarov A.I., jednadžbe/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium, 1994.

Litvinenko V.N., Radionica o elementarnoj matematici / Litvinenko V.N. --- M.: Obrazovanje, 1991.

Sharygin I.F., Izborni tečaj iz matematike: rješavanje problema / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Obrazovanje, 1991.

Barduškin V., Trigonometrijske jednadžbe. Izbor korijena/B. Barduškin, A. Prokofjev.// Matematika, br. 12, 2005 str. 23--27 (prikaz, stručni).

Vasilevsky A.B., Zadaci za izvannastavne aktivnosti iz matematike/Vasilevsky A.B. --- Mn.: Narodna Asveta. 1988. --- 176 str.

Sapunov P. I., Transformacija i unija grupa općih rješenja trigonometrijskih jednadžbi / Sapunov P. I. // Matematičko obrazovanje, izdanje br. 3, 1935.

Borodin P., Trigonometrija. Materijali prijemnih ispita na Moskovskom državnom sveučilištu [tekst] / P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergejev, V. Tarasov // Matematika br. 1, 2005 str. 36--48 (prikaz, stručni).

Samusenko A.V., Matematika: Uobičajene pogreške podnositelji zahtjeva: Referentni priručnik / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Viša škola, 1991.

Azarov A.I., Funkcionalne i grafičke metode za rješavanje ispitnih problema / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004.

1.5 Trigonometrijske nejednadžbe i metode za njihovo rješavanje

1.5.1 Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi

Većina autora modernih udžbenika matematike predlaže da se ova tema počne razmatrati rješavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti. Načelo rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti temelji se na znanju i vještinama određivanja na trigonometrijskom krugu vrijednosti ne samo glavnih trigonometrijskih kutova, već i drugih vrijednosti.

U međuvremenu, rješenje nejednakosti oblika , , , može se provesti na sljedeći način: prvo nađemo neki interval () na kojem je ta nejednakost zadovoljena, a zatim zapišemo konačni odgovor dodavanjem na krajeve pronađenog intervala a broj koji je višekratnik perioda sinusa ili kosinusa: ( ). U ovom slučaju, vrijednost je lako pronaći, jer ili . Potraga za značenjem temelji se na intuiciji učenika, njihovoj sposobnosti da uoče jednakost lukova ili segmenata, koristeći prednosti simetrije pojedinih dijelova sinusnog ili kosinusnog grafa. I to je lijepo veliki broj studenti to ponekad ne mogu učiniti. Kako bi se prevladale uočene poteškoće u udžbenicima u posljednjih godina korišteni su različiti pristupi za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi, ali to nije dovelo do poboljšanja rezultata učenja.

Već niz godina prilično uspješno koristimo formule za korijene odgovarajućih jednadžbi za pronalaženje rješenja trigonometrijskih nejednadžbi.

Ovu temu proučavamo na sljedeći način:

1. Gradimo grafove i y = a, pretpostavljajući da je .

Zatim zapišemo jednadžbu i njezino rješenje. Davanje n 0; 1; 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe: . Vrijednosti su apscisa triju uzastopnih točaka sjecišta grafova i y = a. Očito je da nejednakost uvijek vrijedi na intervalu (), a nejednakost uvijek vrijedi na intervalu ().

Dodavanjem na krajeve ovih intervala broja koji je višekratnik perioda sinusa, u prvom slučaju dobivamo rješenje nejednadžbe u obliku: ; au drugom slučaju rješenje nejednadžbe u obliku:

Samo za razliku od sinusa iz formule, koji je rješenje jednadžbe, za n = 0 dobivamo dva korijena, a treći korijen za n = 1 u obliku . I opet su to tri uzastopne apscise točaka presjeka grafova i . U intervalu () vrijedi nejednakost, u intervalu () nejednakost

Sada nije teško napisati rješenja nejednadžbi i . U prvom slučaju dobivamo: ;

a u drugom: .

Rezimirati. Da biste riješili nejednadžbu ili, morate izraditi odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Iz dobivene formule pronađite korijene i , a odgovor na nejednadžbu napišite u obliku: .

Pri rješavanju nejednadžbi , iz formule za korijene odgovarajuće jednadžbe nalazimo korijene i , a odgovor na nejednadžbu zapisujemo u obliku: .

Ova tehnika vam omogućuje da naučite sve učenike kako rješavati trigonometrijske nejednadžbe, jer Ova tehnika se u potpunosti oslanja na vještine kojima učenici dobro vladaju. To su vještine rješavanja jednostavnih problema i pronalaženja vrijednosti varijable pomoću formule. Osim toga, pažljivo rješavanje pod vodstvom učitelja postaje potpuno nepotrebno. velika količina vježbe kako bi se pokazale sve vrste tehnika zaključivanja ovisno o predznaku nejednakosti, vrijednosti modula broja a i njegovom predznaku. I sam proces rješavanja nejednakosti postaje kratak i, što je vrlo važno, jednoličan.

Još jedna prednost ovu metodu je da vam omogućuje jednostavno rješavanje nejednakosti čak i kada desna strana nije tablična vrijednost sinusa ili kosinusa.

Pokažimo ovo na konkretan primjer. Pretpostavimo da trebamo riješiti nejednadžbu. Kreirajmo odgovarajuću jednadžbu i riješimo je:

Nađimo vrijednosti i .

Kada je n = 1

Kada je n = 2

Zapisujemo konačni odgovor na ovu nejednakost:

U razmatranom primjeru rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti može postojati samo jedan nedostatak - prisutnost određene količine formalizma. Ali ako se sve procjenjuje samo s tih pozicija, tada će biti moguće optužiti korijenske formule za formalizam kvadratna jednadžba, i sve formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, i još mnogo toga.

Iako predložena metoda zauzima dostojno mjesto u formiranju vještina rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi, važnost i značajke drugih metoda rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi ne mogu se podcijeniti. To uključuje metodu intervala.

Razmotrimo njegovu suštinu.

Postav uredio A.G. Mordkovich, iako ne biste trebali zanemariti ni ostale udžbenike. § 3. Metodika poučavanja teme “Trigonometrijske funkcije” u kolegiju algebre i osnovne analize U proučavanju trigonometrijskih funkcija u školi mogu se razlikovati dvije glavne faze: ü Početno upoznavanje s trigonometrijskim funkcijama...

U provođenju istraživanja riješeni su sljedeći zadaci: 1) Analizirani su sadašnji udžbenici algebre i počeci matematičke analize kako bi se identificirale u njima predstavljene metode za rješavanje iracionalnih jednadžbi i nejednadžbi. Analiza nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke: Srednja škola nedovoljno se pažnje posvećuje metodama rješavanja raznih iracionalnih jednadžbi, uglavnom...

Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe oblika sin x>a osnova su za rješavanje složenijih trigonometrijskih nejednadžbi.

Razmotrimo rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi oblika sin x>a na jediničnoj kružnici.

1) na 0

Koristeći asocijaciju kosinus-bun (oba počinju s co-, oba su "okrugla"), sjećamo se da je kosinus x, odnosno sinus y. Odavde gradimo graf y=a - ravnu liniju paralelnu s osi vola. Ako je nejednadžba stroga, punktiraju se točke presjeka jedinične kružnice i pravca y=a, ako nejednakost nije stroga, bojimo točke (kako je lako zapamtiti kada je točka punktirana, a kada zasjenjen je, vidi). Najveću poteškoću u rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi čini ispravno pronalaženje točaka presjeka jedinične kružnice i pravca y=a.

Prvu točku je lako pronaći - to je arcsin a. Određujemo put kojim idemo od prve točke do druge. Na liniji y=a sinx=a, iznad, iznad crte, sin x>a, a ispod, ispod crte, sin x a, trebamo gornji put. Tako od prve točke, arcsin a, do druge idemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, odnosno u smjeru povećanja kuta. Ne stižemo do boda. Koliko promašujemo? Na arcsin a. Budući da nismo dosegli n, onda je druga točka manja od n, što znači da da bismo je pronašli, moramo oduzeti arcsinu od n. Rješenje nejednadžbe sin x>a u ovom slučaju je interval od arcsin a do n-arcsin a. Budući da je period sinusa 2n, da bismo uzeli u obzir sva rješenja nejednadžbe (a takvih intervala ima beskonačno mnogo), dodajemo 2n na svaki kraj intervala, gdje je n cijeli broj (n pripada do Z).

2) a=0, to je sin x>0

U ovom slučaju, prva točka intervala je 0, druga je n Na oba kraja intervala, uzimajući u obzir period sinusa, dodajemo 2n.

3) za a=-1, to je sinx>-1

U ovom slučaju prva točka je p/2, a da bismo došli do druge, obilazimo cijeli krug u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dolazimo do točke -p/2+2p=3p/2. Da bismo uzeli u obzir sve intervale koji su rješenja ove nejednadžbe, dodajemo 2n na oba kraja.

4) sinx>-a, na 0

Prva točka je, kao i obično, arcsin(-a)=-arcsina. Da bismo došli do druge točke, idemo gornjim putem, odnosno u smjeru povećanja kuta.

Ovaj put idemo dalje od n. Koliko dugo ćemo? Na arcsin x. To znači da je druga točka n+arcsin x. Zašto nema minusa? Jer minus u oznaci -arcsin a znači pomicanje u smjeru kazaljke na satu, ali mi smo išli u suprotnom smjeru. I na kraju dodajte 2pn na svaki kraj intervala.

5) sinx>a, ako je a>1.

Jedinična kružnica u cijelosti leži ispod prave linije y=a. Ne postoji niti jedna točka iznad ravne crte. Dakle, rješenja nema.

6) sinx>-a, gdje je a>1.

U ovom slučaju cijela jedinična kružnica u potpunosti leži iznad prave linije y=a. Prema tome, svaka točka zadovoljava uvjet sinx>a. To znači da je x bilo koji broj.

I ovdje je x bilo koji broj, budući da su točke -n/2+2nn uključene u rješenje, za razliku od stroge nejednakosti sinx>-1. Ne treba ništa isključivati.

Jedina točka na kružnici koja zadovoljava ovaj uvjet je n/2. Uzimajući u obzir period sinusa, rješenje ove nejednadžbe je skup točaka x=n/2+2n.

Na primjer, riješite nejednadžbu sinx>-1/2:

Pri rješavanju nejednadžbi koje sadrže trigonometrijske funkcije one se svode na najjednostavnije nejednadžbe oblika cos(t)>a, sint(t)=a i slične. I već su najjednostavnije nejednadžbe riješene. Pogledajmo razni primjeri načini rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi.

Primjer 1. Riješite nejednadžbu sin(t) > = -1/2.

Nacrtaj jedinični krug. Budući da je sin(t) po definiciji y koordinata, označimo točku y = -1/2 na Oy osi. Kroz njega povučemo ravnu liniju paralelnu s osi Ox. Na sjecištu pravca s grafom jedinične kružnice označite točke Pt1 i Pt2. Ishodište koordinata s točkama Pt1 i Pt2 povezujemo s dva segmenta.

Rješenje ove nejednadžbe bit će sve točke jedinične kružnice koje se nalaze iznad tih točaka. Drugim riječima, rješenje će biti luk l Sada je potrebno naznačiti uvjete pod kojima će proizvoljna točka pripadati luku l.

Pt1 leži u desnom polukrugu, njegova ordinata je -1/2, tada je t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Da biste opisali točku Pt1, možete napisati sljedeću formulu:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kao rezultat, dobivamo sljedeću nejednakost za t:

Čuvamo nejednakosti. A budući da je funkcija sinusa periodična, to znači da će se rješenja ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet dobivenoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.

Odgovor: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Primjer 2. Riješite cos(t) nejednadžbu<1/2.

Nacrtajmo jediničnu kružnicu. Kako je cos(t) prema definiciji x koordinata, na grafu na Ox osi označimo točku x = 1/2.
Kroz ovu točku povučemo ravnu liniju paralelnu s osi Oy. Na sjecištu pravca s grafom jedinične kružnice označimo točke Pt1 i Pt2. Ishodište koordinata s točkama Pt1 i Pt2 povezujemo s dva segmenta.

Rješenja će biti sve točke jedinične kružnice koje pripadaju luku l. Nađimo točke t1 i t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Dobili smo nejednakost za t: pi/3

Budući da je kosinus periodična funkcija, rješenja će se ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet dobivenoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.

Odgovor: pi/3+2*pi*n

Primjer 3. Riješite nejednadžbu tg(t)< = 1.

Period tangente jednak je pi. Pronađimo rješenja koja pripadaju intervalu (-pi/2;pi/2) desnog polukruga. Zatim, koristeći periodičnost tangente, zapisujemo sva rješenja ove nejednadžbe. Nacrtajmo jediničnu kružnicu i na njoj označimo tangente.

Ako je t rješenje nejednadžbe, tada ordinata točke T = tg(t) mora biti manja ili jednaka 1. Skup takvih točaka činit će zraku AT. Skup točaka Pt koje će odgovarati točkama ove zrake je luk l. Štoviše, točka P(-pi/2) ne pripada ovom luku.