Modulo trigonometrijske nejednadžbe. Nastava: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Primijenite ga na razmatrane primjere i dobit ćete odgovor mnogo brže!

Zaključak: NAUČITE FORMULE, PRIJATELJI!

Stranica 1 od 1 1

Algoritam za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi i prepoznavanje metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.

Nastavnici najviše kvalifikacijske kategorije:

Širko F.M. str Napredak, MOBU-SOSH br

Sankina L.S. Armavir, privatna srednja škola "Novi put"

Ne postoje univerzalne metode za poučavanje prirodoslovno-matematičkih disciplina. Svaki učitelj pronalazi svoje načine poučavanja koji su samo njemu prihvatljivi.

Naše dugogodišnje iskustvo u nastavi pokazuje da učenici lakše usvajaju gradivo koje zahtijeva koncentraciju i zadržavanje velike količine informacija u pamćenju ako ih se u početnoj fazi učenja složene teme nauči koristiti algoritme u svojim aktivnostima. Po našem mišljenju, takva tema je tema rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi.

Dakle, prije nego što s učenicima počnemo identificirati tehnike i metode za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi, vježbamo i učvršćujemo algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi.

Algoritam za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi

Označite točke na odgovarajućoj osi ( Za grijeh x– OA os, zacos x– OX os)

Vraćamo okomicu na os koja će presijecati kružnicu u dvije točke.

Prva točka na kružnici je točka koja po definiciji pripada intervalu raspona funkcije luka.

Polazeći od označene točke, osjenčajte luk kruga koji odgovara osjenčanom dijelu osi.

Posebnu pozornost obraćamo na smjer obilaznice. Ako se prijelaz radi u smjeru kazaljke na satu (tj. postoji prijelaz kroz 0), tada će druga točka na krugu biti negativna, ako je suprotno od kazaljke na satu bit će pozitivna.

Odgovor pišemo u obliku intervala, vodeći računa o periodičnosti funkcije.

Pogledajmo rad algoritma na primjerima.

1) grijeh ≥ 1/2;

Riješenje:

Prikazujemo jedinični krug.;

Označavamo točku ½ na OU osi.

Vraćamo okomicu na os,

koja siječe krug u dvije točke.

Prema definiciji arcsinusa, prvo napominjemo

točka π/6.

Osjenčajte dio osi koji odgovara

dana nejednakost, iznad točke ½.

Osjenčajte luk kruga koji odgovara osjenčanom dijelu osi.

Obilaženje se vrši suprotno od kazaljke na satu, dobivamo točku 5π/6.

Odgovor pišemo u obliku intervala, uzimajući u obzir periodičnost funkcije;

Odgovor:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Najjednostavnija nejednadžba rješava se istim algoritmom ako zapis odgovora ne sadrži tabličnu vrijednost.

Učenici, kada rješavaju nejednadžbe za pločom na prvim satovima, naglas recitiraju svaki korak algoritma.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R riješenje:na

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Nacrtaj jedinični krug.

Označimo točku s koordinatom 1/5 na OX osi.

Vraćamo okomicu na os, koja

siječe krug u dvije točke.

Prva točka na kružnici je točka koja po definiciji pripada intervalu raspona ark kosinusa (0;π).

Osjenčamo dio osi koji odgovara ovoj nejednadžbi.

Polazeći od potpisane točke arccos 1/5, osjenčajte luk kruga koji odgovara osjenčanom dijelu osi.

Obilaženje se vrši u smjeru kazaljke na satu (tj. postoji prijelaz kroz 0), što znači da će druga točka na kružnici biti negativna - arccos 1/5.

Odgovor zapisujemo u obliku intervala, vodeći računa o periodičnosti funkcije, od manje vrijednosti prema većoj.

Odgovor: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Usavršavanje sposobnosti rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi olakšavaju sljedeća pitanja: “Kako ćemo riješiti skupinu nejednadžbi?”; “Kako se jedna nejednakost razlikuje od druge?”; “Po čemu je jedna nejednakost slična drugoj?”; Kako bi se odgovor promijenio da je dana stroga nejednakost?"; Kako bi se promijenio odgovor da umjesto znaka "" stoji znak "

Zadatak analize popisa nejednakosti sa stajališta metoda za njihovo rješavanje omogućuje vam da uvježbate njihovo prepoznavanje.

Učenici dobivaju nejednadžbe koje trebaju riješiti na satu.

Pitanje: Istaknite nejednadžbe koje zahtijevaju korištenje ekvivalentnih transformacija pri svođenju trigonometrijske nejednadžbe na njezin najjednostavniji oblik?

Odgovor 1, 3, 5.

Pitanje: Koje su nejednakosti u kojima složeni argument trebate smatrati jednostavnim?

Odgovor: 1, 2, 3, 5, 6.

Pitanje: Koje su nejednadžbe na koje se mogu primijeniti trigonometrijske formule?

Odgovor: 2, 3, 6.

Pitanje: Navedite nejednadžbe kod kojih se može primijeniti metoda uvođenja nove varijable?

Odgovor: 6.

Zadatak analize popisa nejednakosti sa stajališta metoda za njihovo rješavanje omogućuje vam da uvježbate njihovo prepoznavanje. Prilikom razvijanja vještina važno je identificirati faze njegove provedbe i formulirati ih u općem obliku, koji je predstavljen u algoritmu za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti.

METODE RJEŠAVANJA TRIGONOMETRIJSKIH NEJEDNAČBI

Relevantnost. Povijesno gledano, trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe imale su posebno mjesto u školskom kurikulumu. Možemo reći da je trigonometrija jedan od najvažnijih dijelova školskog tečaja i cijele matematičke znanosti općenito.

Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe zauzimaju jedno od središnjih mjesta u srednjoškolskom kolegiju matematike, kako u pogledu sadržaja nastavnog gradiva, tako i u pogledu metoda obrazovne i spoznajne aktivnosti koje se mogu i trebaju formirati tijekom njihovog proučavanja i primijeniti na rješavanje velikog broja problema teorijske i primijenjene prirode .

Rješavanjem trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi stvaraju se preduvjeti za usustavljivanje znanja učenika vezanih za cjelokupno nastavno gradivo iz trigonometrije (primjerice, svojstva trigonometrijskih funkcija, metode transformacije trigonometrijskih izraza i sl.) te omogućuje uspostavljanje učinkovitih veza s gradivom koje se uči. u algebri (jednadžbe, ekvivalentnost jednadžbi, nejednadžbe, identične transformacije algebarskih izraza itd.).

Drugim riječima, razmatranje tehnika rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi uključuje svojevrsni prijenos tih vještina na nove sadržaje.

Značaj teorije i njezine brojne primjene dokaz su relevantnosti odabrane teme. To vam zauzvrat omogućuje određivanje ciljeva, zadataka i predmeta istraživanja kolegija.

Svrha studije: generalizirati dostupne vrste trigonometrijskih nejednadžbi, osnovne i posebne metode za njihovo rješavanje, odabrati skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi od strane učenika.

Ciljevi istraživanja:

1. Na temelju analize dostupne literature o temi istraživanja sistematizirati građu.

2. Osigurajte set zadataka potrebnih za učvršćivanje teme “Trigonometrijske nejednakosti”.

Predmet proučavanja su trigonometrijske nejednakosti u školskom tečaju matematike.

Predmet proučavanja: vrste trigonometrijskih nejednadžbi i metode njihova rješavanja.

Teorijski značaj je sistematizirati gradivo.

Praktični značaj: primjena teorijskih znanja u rješavanju problema; analiza glavnih uobičajenih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.

Metode istraživanja : analiza znanstvene literature, sinteza i generalizacija stečenih znanja, analiza rješavanja problema, traženje optimalnih metoda za rješavanje nejednadžbi.

§1. Vrste trigonometrijskih nejednadžbi i osnovne metode njihova rješavanja

1.1. Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe

Dva trigonometrijska izraza povezana znakom ili > nazivaju se trigonometrijskim nejednadžbama.

Rješavanje trigonometrijske nejednadžbe znači pronalaženje skupa vrijednosti nepoznanica uključenih u nejednadžbu za koje je nejednakost zadovoljena.

Glavni dio trigonometrijskih nejednadžbi rješava se njihovim svođenjem na najjednostavnije rješenje:

Ovo može biti metoda faktorizacije, promjena varijable (
,
itd.), gdje se prvo rješava uobičajena nejednadžba, a zatim nejednadžba oblika
itd. ili drugim metodama.

Najjednostavnije nejednadžbe mogu se riješiti na dva načina: pomoću jedinične kružnice ili grafički.

Nekaf(x  – jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija. Za rješavanje nejednadžbe
dovoljno je pronaći njegovo rješenje na jednoj periodi, tj. na bilo kojem segmentu čija je duljina jednaka periodu funkcijef  x  . Tada će se pronaći rješenje izvorne nejednakostix , kao i one vrijednosti koje se razlikuju od onih pronađenih bilo kojim cijelim brojem perioda funkcije. U ovom slučaju prikladno je koristiti grafičku metodu.

Navedimo primjer algoritma za rješavanje nejednadžbi
(
) I
.

Algoritam za rješavanje nejednadžbe
(
).

1. Formulirajte definiciju sinusa brojax na jediničnoj kružnici.

3. Na osi ordinata označi točku s koordinatoma .

4. Kroz tu točku povucite pravac paralelan s osi OX i kružnicom označite njegove sjecišne točke.

5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu manju oda .

6. Označite smjer kruga (suprotno od kazaljke na satu) i zapišite odgovor dodavanjem perioda funkcije na krajeve intervala2πn ,
.

Algoritam za rješavanje nejednadžbe
.

1. Formulirajte definiciju tangensa brojax na jediničnoj kružnici.

2. Nacrtaj jediničnu kružnicu.

3. Nacrtaj tangente i na njoj ordinatom označi točkua .

4. Spojite ovu točku s ishodištem i označite točku presjeka dobivenog segmenta s jediničnom kružnicom.

5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu na tangenti manju oda .

6. Označite smjer obilaženja i napišite odgovor vodeći računa o domeni definiranosti funkcije uz točkuπn ,
(broj s lijeve strane unosa uvijek je manji od broja s desne strane).

Grafička interpretacija rješenja najjednostavnijih jednadžbi i formula za rješavanje nejednadžbi u općem obliku prikazani su u prilogu (prilozi 1 i 2).

Primjer 1. Riješite nejednadžbu
.

Nacrtajte ravnu liniju na jediničnoj kružnici
, koja siječe krug u točkama A i B.

Sva značenjag na intervalu NM je veći , sve točke AMB luka zadovoljavaju ovu nejednakost. U svim kutovima rotacije, veliki , ali manji ,
poprimit će veće vrijednosti (ali ne više od jednog).

Sl. 1

Dakle, rješenje nejednakosti će biti sve vrijednosti u intervalu
, tj.
. Da bismo dobili sva rješenja ove nejednadžbe, dovoljno je zbrojiti krajeve tog intervala
, Gdje
, tj.
,
. Imajte na umu da vrijednosti
I
su korijeni jednadžbe
,

oni.
;
.

Odgovor:
,
.

1.2. Grafička metoda

U praksi se često pokazuje korisnom grafička metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Razmotrimo bit metode na primjeru nejednakosti
:

1. Ako je argument složen (različit odx ), a zatim ga zamijenite st .

2. Gradimo u jednoj koordinatnoj ravniniigračka grafovi funkcija
I
.

3. Takve nalazimodvije susjedne točke presjeka grafova, između kojihsinusni valnalazi seviši ravno
. Nađemo apscise tih točaka.

4. Napiši dvostruku nejednakost za argumentt , uzimajući u obzir period kosinusa (t bit će između pronađenih apscisa).

5. Napravite obrnutu zamjenu (vratite se na izvorni argument) i izrazite vrijednostx iz dvostruke nejednadžbe zapisujemo odgovor u obliku brojčanog intervala.

Primjer 2. Riješite nejednadžbu: .

Pri rješavanju nejednadžbi grafičkom metodom potrebno je što točnije konstruirati grafove funkcija. Transformirajmo nejednakost u oblik:

Konstruirajmo grafove funkcija u jednom koordinatnom sustavu
I
(slika 2).

sl.2

Grafovi funkcija sijeku se u točkiA s koordinatama
;
. Između
točke grafikona
ispod točaka grafikona
. I kada
vrijednosti funkcije su iste. Zato
na
.

Odgovor:
.

1.3. Algebarska metoda

Često se izvorna trigonometrijska nejednadžba može svesti na algebarsku (racionalnu ili iracionalnu) nejednakost dobro odabranom zamjenom. Ova metoda uključuje transformaciju nejednakosti, uvođenje supstitucije ili zamjenu varijable.

Pogledajmo konkretne primjere primjene ove metode.

Primjer 3. Svođenje na najjednostavniji oblik
.

(Sl. 3)

sl.3

,
.

Odgovor:
,

Primjer 4. Riješite nejednadžbu:

ODZ:
,
.

Korištenje formula:
,

Zapišimo nejednakost u obliku:
.

Ili, vjerujući
nakon jednostavnih transformacija dobivamo

,

,

.

Rješavanjem posljednje nejednadžbe metodom intervala dobivamo:

sl.4

, odnosno
. Zatim sa Sl. 4 slijedi
, Gdje
.

sl.5

Odgovor:
,
.

1.4. Metoda intervala

Opća shema za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi metodom intervala:

Faktoriziraj pomoću trigonometrijskih formula.

Pronađite točke diskontinuiteta i nulte točke funkcije i smjestite ih na kružnicu.

Uzmite bilo koju točkuDO (ali ranije nisu pronađeni) i saznajte znak proizvoda. Ako je umnožak pozitivan, postavite točku izvan jedinične kružnice na zraku koja odgovara kutu. U suprotnom, postavite točku unutar kruga.

Ako se točka pojavljuje parni broj puta, nazivamo je točkom parnog višestrukosti; ako se neparan broj puta, nazivamo je točkom neparnog višestrukosti. Crtajte lukove na sljedeći način: počnite od točkeDO , ako je sljedeća točka neparnog višestrukosti, tada luk siječe kružnicu u ovoj točki, ali ako je točka parnog višestrukosti, tada se ne siječe.

Lukovi iza kruga su pozitivni intervali; unutar kruga postoje negativni prostori.

Primjer 5. Riješite nejednadžbu

,
.

Bodovi prve serije:
.

Bodovi druge serije:
.

Svaka točka se pojavljuje neparan broj puta, odnosno sve točke su neparnog višestrukosti.

Doznajmo znak proizvoda na
: . Označimo sve točke na jediničnoj kružnici (slika 6):

Riža. 6

Odgovor:
,
;
,
;
,
.

Primjer 6 . Riješite nejednadžbu.

Riješenje:

Nađimo nule izraza .

primitiaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Na vrijednosti serije jedinične kružnicex 1 predstavljena točkama
. Nizx 2 daje bodove
. Serijax 3 dobivamo dva boda
. Konačno, serijax 4 će predstavljati bodove
. Nacrtajmo sve te točke na jediničnu kružnicu, naznačujući njenu množinu u zagradi pored svake od njih.

Neka sada broj bit će jednaki. Napravimo procjenu na temelju znaka:

Dakle, točkaA treba odabrati na zraci koja tvori kut sa gredomOh, izvan jediničnog kruga. (Imajte na umu da je pomoćna zrakaOKO A Uopće ga nije potrebno prikazati na crtežu. TočkaA bira se približno.)

Sada s točkeA nacrtajte valovitu kontinuiranu liniju uzastopno do svih označenih točaka. I to po točkama
naša linija ide od jednog područja do drugog: ako je bila izvan jedinične kružnice, onda ide unutar nje. Približavanje točki , linija se vraća u unutarnje područje, budući da je višestrukost ove točke paran. Slično u točki (s parnim višestrukim) linija mora biti okrenuta prema vanjskoj regiji. Dakle, nacrtali smo određenu sliku prikazanu na sl. 7. Pomaže pri isticanju željenih područja na jediničnom krugu. Označeni su znakom “+”.

sl.7

Konačan odgovor:

Bilješka. Ako se valovita crta nakon obilaženja svih točaka označenih na jediničnoj kružnici ne može vratiti u točkuA , bez prelaska kružića na “nedopuštenom” mjestu, to znači da je u rješenju napravljena pogreška, odnosno propušten je neparan broj korijena.

Odgovor: .

§2. Skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi

U procesu razvijanja sposobnosti učenika za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti također se mogu razlikovati 3 faze.

1. pripremni,

2. razvijanje sposobnosti rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi;

3. uvođenje trigonometrijskih nejednadžbi drugih vrsta.

Svrha pripremne faze je da je potrebno razviti kod školaraca sposobnost korištenja trigonometrijskog kruga ili grafikona za rješavanje nejednakosti, i to:

Sposobnost rješavanja jednostavnih nejednadžbi oblika
,
,
,
, korištenje svojstava funkcije sinus i kosinus;

Sposobnost konstruiranja dvostrukih nejednakosti za lukove brojevne kružnice ili za lukove grafova funkcija;

Sposobnost izvođenja različitih transformacija trigonometrijskih izraza.

Preporuča se provesti ovu fazu u procesu sistematiziranja znanja učenika o svojstvima trigonometrijskih funkcija. Glavno sredstvo mogu biti zadaci koji se učenicima nude i izvode pod vodstvom nastavnika ili samostalno, kao i razvijene vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Evo primjera takvih zadataka:

1 . Označite točku na jediničnoj kružnici , Ako

.

2. U kojoj se četvrtini koordinatne ravnine nalazi točka? , Ako jednako:

3. Označite točke na trigonometrijskoj kružnici , ako:

4. Pretvorite izraz u trigonometrijske funkcijejačetvrtine.

A)
, b)
, V)

5. Zadan je luk MR.M – sredinaja- tromjesečje,R – sredinaIItromjesečje. Ograničite vrijednost varijablet za: (napraviti dvostruku nejednadžbu) a) luk MR; b) RM lukovi.

6. Zapišite dvostruku nejednadžbu za odabrane dijelove grafikona:

Riža. 1

7. Riješite nejednadžbe
,
,
,
.

8. Pretvori izraz .

U drugom stupnju učenja rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi možemo ponuditi sljedeće preporuke vezane uz metodologiju organizacije aktivnosti učenika. U ovom slučaju potrebno je usredotočiti se na postojeće vještine učenika u radu s trigonometrijskom kružnicom ili grafom, nastale tijekom rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Prvo, može se motivirati svrsishodnost dobivanja opće metode za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi okretanjem, na primjer, nejednadžbi oblika
. Koristeći znanja i vještine stečene u pripremnoj fazi, učenici će predloženu nejednadžbu unijeti u obrazac
, ali može biti teško pronaći skup rješenja rezultirajuće nejednakosti, jer Nemoguće ga je riješiti samo korištenjem svojstava sinusne funkcije. Ova se poteškoća može izbjeći okretanjem odgovarajuće ilustracije (rješavanjem jednadžbe grafički ili korištenjem jedinične kružnice).

Drugo, nastavnik treba učenicima skrenuti pozornost na različite načine rješavanja zadatka, dati odgovarajući primjer rješavanja nejednadžbe kako grafički tako i pomoću trigonometrijske kružnice.

Razmotrimo sljedeća rješenja nejednadžbe
.

1. Rješavanje nejednadžbe pomoću jedinične kružnice.

U prvoj lekciji o rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi učenicima ćemo ponuditi detaljan algoritam rješavanja koji u postupnoj prezentaciji odražava sve osnovne vještine potrebne za rješavanje nejednadžbe.

Korak 1.Nacrtajmo jediničnu kružnicu i označimo točku na ordinatnoj osi i kroz njega povucite ravnu liniju paralelnu s osi x. Ova linija će presijecati jediničnu kružnicu u dvije točke. Svaka od ovih točaka predstavlja brojeve čiji je sinus jednak .

Korak 2.Ova ravna crta dijeli krug na dva luka. Izaberimo onaj koji prikazuje brojeve koji imaju sinus veći od . Naravno, ovaj luk se nalazi iznad nacrtane ravne linije.

Riža. 2

3. korakOdaberite jedan od krajeva označenog luka. Zapišimo jedan od brojeva koji je predstavljen ovom točkom jedinične kružnice .

Korak 4.Kako bismo odabrali broj koji odgovara drugom kraju odabranog luka, "prošetamo" po tom luku od imenovanog kraja do drugog. Istodobno, podsjetite da se pri kretanju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu povećavaju brojevi kroz koje ćemo prolaziti (kada se krećemo u suprotnom smjeru, brojevi bi se smanjivali). Zapišimo broj koji je na jediničnoj kružnici prikazan drugim krajem označenog luka .

Dakle, vidimo tu nejednakost
zadovoljavaju brojeve za koje je nejednakost istinita
. Riješili smo nejednadžbu za brojeve koji se nalaze na istoj periodi funkcije sinusa. Stoga se sva rješenja nejednadžbe mogu napisati u obliku

Učenike treba zamoliti da pažljivo promotre crtež i odgonetnu zašto su sva rješenja nejednadžbe
može se napisati u obliku
,
.

Riža. 3

Potrebno je skrenuti pozornost učenicima da kod rješavanja nejednadžbi za kosinusnu funkciju povlačimo ravnu liniju paralelnu s ordinatnom osi.

Grafička metoda rješavanja nejednadžbi.

Gradimo grafikone
I
, s obzirom na to
.

Riža. 4

Zatim napišemo jednadžbu
i njegovu odluku
,
,
, pronađeno pomoću formula
,
,
.

(Davanjen vrijednosti 0, 1, 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe). Vrijednosti
su tri uzastopne apscise sjecišta grafova
I
. Očito, uvijek u intervalu
nejednakost vrijedi
, i na intervalu
– nejednakost
. Zanima nas prvi slučaj, a zatim dodajući krajevima ovog intervala broj koji je višekratnik perioda sinusa, dobivamo rješenje nejednadžbe
kao:
,
.

Riža. 5

Rezimirati. Za rješavanje nejednadžbe
, trebate izraditi odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Pronađite korijene iz dobivene formule I , a odgovor na nejednakost napiši u obliku: ,
.

Treće, činjenica o skupu korijena odgovarajuće trigonometrijske nejednadžbe vrlo se jasno potvrđuje kada se ona grafički rješava.

Riža. 6

Učenicima je potrebno pokazati da se zaokret, koji je rješenje nejednadžbe, ponavlja kroz isti interval, jednak periodu trigonometrijske funkcije. Također možete razmotriti sličnu ilustraciju za graf funkcije sinusa.

Četvrto, preporučljivo je raditi na aktualizaciji učeničkih tehnika pretvaranja zbroja (razlike) trigonometrijskih funkcija u umnožak te učenicima skrenuti pozornost na ulogu ovih tehnika u rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi.

Takav rad moguće je organizirati kroz samostalno rješavanje zadataka učenika na prijedlog nastavnika, među kojima izdvajamo sljedeće:

Peto, od učenika se mora tražiti da ilustriraju rješenje svake jednostavne trigonometrijske nejednadžbe pomoću grafikona ili trigonometrijske kružnice. Svakako treba obratiti pozornost na njegovu svrhovitost, posebice na korištenje kružnice, budući da pri rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi odgovarajuća ilustracija služi kao vrlo zgodno sredstvo za snimanje skupa rješenja zadane nejednadžbe

Preporučljivo je učenike upoznati s metodama rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi koje nisu najjednostavnije prema sljedećoj shemi: obraćanje određenoj trigonometrijskoj nejednadžbi zajedničko traženje (nastavnik - učenici) rješenja; pronađenu metodu na druge nejednadžbe istog tipa.

Kako bismo usustavili znanja učenika o trigonometriji, preporučamo posebno izdvojiti takve nejednadžbe, čije rješavanje zahtijeva različite transformacije koje se mogu provoditi u procesu rješavanja, te usmjeriti pozornost učenika na njihove značajke.

Kao takve produktivne nejednakosti možemo predložiti, na primjer, sljedeće:

U zaključku dajemo primjer skupa problema za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.

1. Riješite nejednadžbe:

A)
, zadovoljavajući uvjet
;

b)
, zadovoljavajući uvjet
.

5. Pronađite sva rješenja nejednadžbi:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

e)
.

6. Riješite nejednadžbe:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d) ;

e) ;

i)
.

7. Riješite nejednadžbe:

A)
;

b) ;

V) ;

G) .

8. Riješite nejednadžbe:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e)
;

e) ;

i)
;

h) .

Zadatke 6 i 7 preporučljivo je ponuditi učenicima naprednog studija matematike, zadatak 8 učenicima razreda s naprednim studijem matematike.

§3. Posebne metode rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi

Posebne metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi – odnosno one metode kojima se mogu rješavati samo trigonometrijske jednadžbe. Ove se metode temelje na korištenju svojstava trigonometrijskih funkcija, kao i na korištenju različitih trigonometrijskih formula i identiteta.

3.1. Sektorska metoda

Razmotrimo sektorsku metodu za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Rješavanje nejednadžbi oblika

, GdjeP ( x ) IQ ( x ) – racionalne trigonometrijske funkcije (sinusi, kosinusi, tangensi i kotangensi su u njih uključeni racionalno), slično rješavanju racionalnih nejednadžbi. Racionalne nejednadžbe zgodno je rješavati metodom intervala na brojevnom pravcu. Njegov analog za rješavanje racionalnih trigonometrijskih nejednakosti je metoda sektora u trigonometrijskom krugu, tj.sinx Icosx (
) ili trigonometrijski polukrug zatgx Ictgx (
).

U metodi intervala, svaki linearni faktor brojnika i nazivnika oblika
na brojevnoj osi odgovara točki , i kada prolazi kroz ovu točku
mijenja predznak. U sektorskoj metodi svaki faktor oblika
, Gdje
- jedna od funkcijasinx ilicosx I
, u trigonometrijskom krugu odgovaraju dva kuta I
, koji krug dijele na dva sektora. Prilikom prolaska I funkcija
mijenja predznak.

Morate imati na umu sljedeće:

a) Čimbenici oblika
I
, Gdje
, zadrži znak za sve vrijednosti . Takvi faktori brojnika i nazivnika odbacuju se promjenom (ako
) sa svakim takvim odbijanjem, znak nejednakosti je obrnut.

b) Čimbenici oblika
I
također se odbacuju. Štoviše, ako su to faktori nazivnika, tada se nejednadžbe oblika dodaju ekvivalentnom sustavu nejednakosti
I
. Ako su to faktori brojnika, onda u ekvivalentnom sustavu ograničenja odgovaraju nejednadžbama
I
u slučaju stroge početne nejednakosti i jednakosti
I
u slučaju nestroge početne nejednakosti. Pri odbacivanju množitelja
ili
znak nejednakosti je obrnut.

Primjer 1. Riješite nejednadžbe: a)
, b)
. imamo funkciju b) . Riješite nejednakost koju imamo,

3.2. Metoda koncentričnog kruga

Ova metoda je analogna metodi paralelnih brojčanih osi za rješavanje sustava racionalnih nejednadžbi.

Razmotrimo primjer sustava nejednakosti.

Primjer 5. Riješite sustav jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi

Prvo rješavamo svaku nejednadžbu zasebno (slika 5). U gornjem desnom kutu slike naznačit ćemo za koji se argument razmatra trigonometrijska kružnica.

sl.5

Zatim gradimo sustav koncentričnih krugova za argumentx . Crtamo kružnicu i osjenčamo je prema rješenju prve nejednadžbe, zatim nacrtamo kružnicu većeg polumjera i osjenčamo je prema rješenju druge, zatim konstruiramo kružnicu za treću nejednadžbu i osnovnu kružnicu. Izvlačimo zrake iz središta sustava kroz krajeve lukova tako da sijeku sve kružnice. Oblikujemo otopinu na osnovnom krugu (slika 6).

sl.6

Odgovor:
,
.

Zaključak

Svi ciljevi predmetnog istraživanja su ispunjeni. Teorijski materijal je sistematiziran: dane su glavne vrste trigonometrijskih nejednadžbi i glavne metode za njihovo rješavanje (grafička, algebarska, metoda intervala, sektora i metoda koncentričnih kružnica). Za svaku metodu dan je primjer rješavanja nejednadžbe. Nakon teorijskog dijela uslijedio je praktični dio. Sadrži skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.

Ovaj predmet studenti mogu koristiti za samostalan rad. Učenici mogu provjeriti razinu savladanosti ove teme i vježbati rješavanje zadataka različite složenosti.

Proučavajući relevantnu literaturu o ovom pitanju, očito možemo zaključiti da su sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih nejednakosti u školskom tečaju algebre i elementarne analize vrlo važne, čije razvijanje zahtijeva značajan napor od strane nastavnika matematike.

Stoga će ovaj rad biti koristan za nastavnike matematike, jer omogućuje učinkovito organiziranje obuke učenika na temu "Trigonometrijske nejednakosti".

Istraživanje se može nastaviti proširivanjem na završni kvalifikacijski rad.

Popis korištene literature

Bogomolov, N.V. Zbirka zadataka iz matematike [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 str.

Vygodsky, M.Ya. Priručnik elementarne matematike [Tekst] / M.Ya. Vigodski. – M.: Bustard, 2006. – 509 str.

Zhurbenko, L.N. Matematika u primjerima i problemima [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 str.

Ivanov, O.A. Elementarna matematika za učenike, studente i nastavnike [Tekst] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 str.

Karp, A.P. Zadaci iz algebre i počeci analize za organiziranje završnog ponavljanja i svjedodžbe u 11. razredu [Tekst] / A.P. Šaran. – M.: Obrazovanje, 2005. – 79 str.

Kulanin, E.D. 3000 zadataka natjecanja iz matematike [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 str.

Leibson, K.L. Zbirka praktičnih zadataka iz matematike [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 str.

Lakat, V.V. Problemi s parametrima i njihovo rješavanje. Trigonometrija: jednadžbe, nejednadžbe, sustavi. 10. razred [Tekst] / V.V. Lakat. – M.: ARKTI, 2008. – 64 str.

Manova, A.N. Matematika. Ekspresni mentor za pripremu za jedinstveni državni ispit: student. priručnik [Tekst] / A.N. Manova. – Rostov na Donu: Phoenix, 2012. – 541 str.

Mordkovich, A.G. Algebra i početak matematičke analize. 10-11 razreda. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova [Tekst] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 str.

Novikov, A.I. Trigonometrijske funkcije, jednadžbe i nejednadžbe [Tekst] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 str.

Oganesyan, V.A. Metodika nastave matematike u srednjoj školi: Opća metodika. Udžbenik priručnik za studente fizike - mat. fak. ped. Inst. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Obrazovanje, 2006. – 368 str.

Olehnik, S.N. Jednadžbe i nejednadžbe. Nestandardne metode rješenja [Tekst] / S.N. Olehnik. – M.: Izdavačka kuća Factorial, 1997. – 219 str.

Sevrjukov, P.F. Trigonometrijske, eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe [Tekst] / P.F. Sevrjukov. – M.: Narodno obrazovanje, 2008. – 352 str.

Sergejev, I.N. Jedinstveni državni ispit: 1000 problema s odgovorima i rješenjima iz matematike. Svi zadaci grupe C [Tekst] / I.N. Sergejev. – M.: Ispit, 2012. – 301 str.

Sobolev, A.B. Elementarna matematika [Tekst] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja USTU-UPI, 2005. – 81 str.

Fenko, L.M. Metoda intervala u rješavanju nejednadžbi i proučavanju funkcija [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 str.

Friedman, L.M. Teorijske osnove metodike nastave matematike [Tekst] / L.M. Friedman. – M.: Knjižara “LIBROKOM”, 2009. – 248 str.

Prilog 1

Grafička interpretacija rješenja jednostavnih nejednadžbi

Riža. 1

Riža. 2

sl.3

sl.4

sl.5

sl.6

sl.7

sl.8

Dodatak 2

Rješenja jednostavnih nejednadžbi

Većina učenika ne voli trigonometrijske nejednakosti. Ali uzalud. Kako je jedan lik govorio,

“Samo ih ne znaš skuhati”

Dakle, kako "kuhati" i čime podnijeti nejednakost sa sinusom, shvatit ćemo u ovom članku. Riješit ćemo ga na najjednostavniji način - pomoću jedinične kružnice.

Dakle, prije svega, trebamo sljedeći algoritam.

Algoritam za rješavanje nejednakosti sa sinusom:

1. na sinusnu os nanesemo broj $a$ i povučemo ravnu liniju paralelnu s kosinusnom osi dok se ne siječe s kružnicom;
2. točke sjecišta ove crte s kružnicom bit će osjenčane ako nejednadžba nije stroga, a neće biti osjenčane ako je nejednadžba stroga;
3. područje rješenja nejednadžbe nalazit će se iznad crte i do kruga ako nejednadžba sadrži znak “$>$”, a ispod crte i do kruga ako nejednadžba sadrži znak “$<$”;
4. da bismo pronašli sjecišne točke, rješavamo trigonometrijsku jednadžbu $\sin(x)=a$, dobivamo $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. postavljanjem $n=0$ nalazimo prvu sjecišnu točku (nalazi se u prvoj ili četvrtoj četvrtini);
6. da bismo pronašli drugu točku, gledamo u kojem smjeru idemo područjem do druge sjecišne točke: ako u pozitivnom smjeru, onda treba uzeti $n=1$, a ako u negativnom smjeru, onda $n=- 1$;
7. kao odgovor, interval se zapisuje od manje sjecišne točke $+ 2\pi n$ do veće $+ 2\pi n$.

Ograničenje algoritma

Važno: d zadani algoritam Ne radi za nejednakosti oblika $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Posebni slučajevi kod rješavanja nejednadžbi sa sinusom

Također je važno primijetiti sljedeće slučajeve, koje je mnogo praktičnije riješiti logički bez korištenja gornjeg algoritma.