Formula za skraćeno množenje 4. stupnja. Kvadriranje polinoma

Matematički izrazi (formule) skraćeno množenje(kvadrat zbroja i razlike, kub zbroja i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova) iznimno su nezamjenjivi u mnogim područjima egzaktnih znanosti. Ovih 7 simboličkih zapisa od neprocjenjive su vrijednosti za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednadžbi, množenje polinoma, smanjivanje razlomaka, rješavanje integrala i još mnogo toga. To znači da će biti vrlo korisno razumjeti kako se dobivaju, zašto su potrebni i, što je najvažnije, kako ih zapamtiti i zatim primijeniti. Zatim nanošenje formule skraćenog množenja u praksi će najteže biti vidjeti što jest x a što imaš. Očito, nema ograničenja za a I b ne, što znači da može biti bilo koji numerički ili abecedni izraz.

I evo ih:

Prvi x 2 - u 2 = (x - y) (x+y).Izračunati razlika kvadrata dva izraza, trebate pomnožiti razlike tih izraza njihovim zbrojevima.

Drugi (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Pronaći kvadrat zbroja dva izraza, morate kvadratu prvog izraza dodati dvostruki umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.

Treći (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Izračunati kvadrat razlike dva izraza, morate od kvadrata prvog izraza oduzeti dva puta umnožak prvog izraza s drugim plus kvadrat drugog izraza.

Četvrta (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + u 3. Izračunati kub zbroja dva izraza, trebate kocki prvog izraza dodati trostruki umnožak kvadrata prvog izraza s drugim plus trostruki umnožak prvog izraza s kvadratom drugog plus kub drugog izraza.

Peti (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - u 3. Izračunati kocka razlike dva izraza, potrebno je od kuba prvog izraza oduzeti trostruki umnožak kvadrata prvog izraza s drugim plus trostruki umnožak prvog izraza s kvadratom drugog minus kub drugog izraza.

Šesti x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Izračunati zbroj kubova dva izraza, trebate zbrojeve prvog i drugog izraza pomnožiti s nepotpunim kvadratom razlike tih izraza.

Sedmi x 3 - u 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Za izračun razlike kocki dva izraza, trebate pomnožiti razliku prvog i drugog izraza s nepotpunim kvadratom zbroja tih izraza.

Nije teško zapamtiti da se sve formule koriste za izvođenje izračuna u suprotnom smjeru (s desna na lijevo).

Postojanje ovih uzoraka bilo je poznato prije otprilike 4 tisuće godina. Naširoko su ih koristili stanovnici starog Babilona i Egipta. Ali u tim razdobljima izražavali su se verbalno ili geometrijski i nisu koristili slova u izračunima.

Idemo to riješiti dokaz kvadratnog zbroja(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.

Prvo ovo matematički obrazac Dokazao je starogrčki znanstvenik Euklid, koji je radio u Aleksandriji u 3. stoljeću prije Krista, koristio je geometrijsku metodu da dokaže formulu, budući da znanstvenici antičke Helade nisu koristili slova za označavanje brojeva. Posvuda nisu koristili "a 2", već "kvadrat na segmentu a", ne "ab", već "pravokutnik zatvoren između segmenata a i b".

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, sume monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Zbroj monoma naziva se polinom. Članovi u polinomu nazivaju se članovima polinoma. Monomi se također klasificiraju kao polinomi, smatrajući da je monom polinom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Predstavimo sve članove u obliku monoma standardnog oblika:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Predstavimo slične članove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika i među njima nema sličnih. Takvi se polinomi nazivaju polinomi standardnog oblika.

Iza stupanj polinoma standardnog oblika preuzimaju najviše ovlasti svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b\) ima treći stupanj, a trinom \(2b^2 -7b + 6\) ima drugi.

Tipično, članovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu raspoređeni su silaznim redoslijedom eksponenata. Na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Zbroj više polinoma može se transformirati (pojednostaviti) u polinom standardnog oblika.

Ponekad je članove polinoma potrebno podijeliti u skupine, stavljajući svaku skupinu u zagrade. Budući da je zatvaranje zagrada inverzna transformacija otvarajućih zagrada, lako je formulirati pravila za otvaranje zagrada:

Ako se ispred zagrada nalazi znak “+”, tada se pojmovi u zagradama pišu s istim predznacima.

Ako se ispred zagrada nalazi znak “-”, tada se pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznakom.

Transformacija (pojednostavljenje) umnoška monoma i polinoma

Koristeći svojstvo distribucije množenja, možete transformirati (pojednostaviti) umnožak monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Umnožak monoma i polinoma identički je jednak zbroju umnožaka tog monoma i svakog člana polinoma.

Ovaj se rezultat obično formulira kao pravilo.

Da biste pomnožili monom s polinomom, morate pomnožiti taj monom sa svakim od članova polinoma.

Već smo nekoliko puta koristili ovo pravilo za množenje zbrojem.

Umnožak polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) umnoška dvaju polinoma

Općenito, umnožak dvaju polinoma identički je jednak zbroju umnoška svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog.

Obično se koristi sljedeće pravilo.

Da biste pomnožili polinom s polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i zbrojiti dobivene umnoške.

Formule skraćenog množenja. Kvadrati zbroja, razlike i razlike kvadrata

S nekim izrazima u algebarskim transformacijama morate se nositi češće nego s drugima. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), tj. kvadrat zbroja, kvadrat razlika i razlika kvadrata. Primijetili ste da se nazivi ovih izraza čine nepotpunima, na primjer, \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbroja, već kvadrat zbroja a i b . Međutim, kvadrat zbroja a i b ne pojavljuje se često, u pravilu umjesto slova a i b sadrži razne, ponekad prilično složene izraze.

Izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mogu se lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika; zapravo, već ste se susreli s ovim zadatkom pri množenju polinoma:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Korisno je zapamtiti dobivene identitete i primijeniti ih bez međuizračunavanja. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat zbroja jednak je zbroju kvadrata i dvostrukog umnoška.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike jednak je zbroju kvadrata bez udvostručenog umnoška.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike i zbroja.

Ova tri identiteta omogućuju da se u transformacijama njegovi lijevi dijelovi zamijene desnima i obrnuto - desni dijelovi lijevim. Najteže je vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti kako su u njima zamijenjene varijable a i b. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja skraćenih formula množenja.

Koriste se za pojednostavljenje izračuna, kao i za rastavljanje polinoma na faktore i brzo množenje polinoma. Većina skraćenih formula množenja može se dobiti iz Newtonovog binoma - to ćete uskoro vidjeti.

Formule za kvadratečešće se koristi u proračunima. Počinju se proučavati u školskom kurikulumu od 7. razreda, a do kraja školovanja učenici moraju znati formule za kvadrate i kocke napamet.

Formule za kocke nisu baš komplicirani i morate ih znati kada svodite polinome na standardni oblik, kako biste pojednostavili dizanje zbroja ili razlike varijable i broja na kub.

Crveno označene formule dobivene su iz prethodnih grupiranjem sličnih pojmova.

Formule za četvrti i peti stupanj Malo će ljudi to smatrati korisnim u školskom tečaju, ali postoje problemi u studiju više matematike gdje trebate izračunati koeficijente potencije.

Formule za stupanj n se zapisuju kroz binomne koeficijente koristeći sljedeće faktorijele

Primjeri korištenja formula za skraćeno množenje

Primjer 1. Izračunajte 51^2.

Riješenje. Ako imate kalkulator, možete ga pronaći bez problema.

Šalio sam se - svi su mudri s kalkulatorom, bez njega... (da ne pričamo o tužnim stvarima).

Bez kalkulatora i poznavajući gornja pravila, pomoću pravila nalazimo kvadrat broja

Primjer 2. Pronađite 99^2.

Riješenje. Primijenimo drugu formulu

Primjer 3: Kvadrat izraza
(x+y-3).

Riješenje. Mentalno smatramo da je zbroj prva dva člana jedan član i, koristeći drugu formulu za skraćeno množenje, imamo

Primjer 4. Nađi razliku kvadrata
11^2-9^2.

Riješenje. Budući da su brojevi mali, možete jednostavno zamijeniti vrijednosti kvadrata

Ali naš cilj je potpuno drugačiji - naučiti kako koristiti skraćene formule množenja za pojednostavljenje izračuna. Za ovaj primjer primjenjujemo treću formulu

Primjer 5. Nađi razliku kvadrata
17^2-3^2 .

Riješenje. U ovom primjeru već ćete htjeti proučiti pravila za smanjenje izračuna u jedan redak

Kao što vidite, nismo učinili ništa iznenađujuće.

Primjer 6: Pojednostavite izraz
(x-y)^2-(x+y)^2.

Riješenje. Možete rasporediti kvadrate i kasnije grupirati slične pojmove. Međutim, može se izravno primijeniti razlika kvadrata

Jednostavno i bez dugih rješenja.

Primjer 7. Kocka polinoma
x^3-4.

Riješenje . Primijenimo formulu 5 skraćenog množenja

Primjer 8. Zapiši kao razliku kvadrata ili njihov zbroj
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29

Riješenje. a) Preuredite pojmove

b) Pojednostavite na temelju prethodnih argumenata

Primjer 9. Proširi racionalni razlomak

Riješenje. Primijenimo formulu razlike kvadrata

Kreirajmo sustav jednadžbi za određivanje konstanti

Dodajmo drugu utrostručenoj prvoj jednadžbi. Pronađenu vrijednost zamijenimo u prvu jednadžbu

Razgradnja će konačno dobiti oblik

Proširenje racionalnog razlomka često je potrebno prije integriranja kako bi se smanjila snaga nazivnika.

Primjer 10. Napiši koristeći Newtonov binom
izraz (x-a)^7.

Riješenje. Vjerojatno već znate što je Newtonov binom. Ako nije, ispod su binomni koeficijenti

Formiraju se na sljedeći način: jedinice idu uz rub, koeficijenti između njih u donjem retku formiraju se zbrajanjem susjednih gornjih. Ako tražimo donekle razliku, tada se predznaci u rasporedu izmjenjuju od plusa do minusa. Dakle, za sedmi red dobivamo sljedeći izgled

Također pažljivo pogledajte kako se indikatori mijenjaju - za prvu varijablu smanjuju se za jedan u svakom sljedećem terminu, odnosno, za drugu se povećavaju za jedan. Ukupno, pokazatelji uvijek moraju biti jednaki stupnju razgradnje (=7).

Mislim da ćete na temelju gornjeg materijala moći riješiti probleme koristeći Newtonov binom. Naučite formule skraćenog množenja i primijenite ih gdje god mogu pojednostaviti izračune i uštedjeti vrijeme na zadacima.

>>Matematika: Formule za skraćeno množenje

Formule skraćenog množenja

Postoji nekoliko slučajeva u kojima množenje jednog polinoma drugim daje kompaktan rezultat koji se lako pamti. U tim je slučajevima poželjno ne množiti s jedan svaki put polinom s druge strane i upotrijebite gotov rezultat. Razmotrimo ove slučajeve.

1. Kvadrat zbroja i kvadrat razlike:

Primjer 1. Proširite zagrade u izrazu:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Iskoristimo formulu (1), uzevši u obzir da je uloga a 3x, a uloga b broj 2.
Dobivamo:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Upotrijebimo formulu (2), uzimajući u obzir da u ulozi A stoji 5a 2, i u ulozi b stoji 4b 3. Dobivamo:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Kada koristite formule kvadrata zbroja ili kvadrata razlike, imajte to na umu
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

To slijedi iz činjenice da je (- a) 2 = a 2.

Imajte na umu da se formule (1) i (2) temelje na nekim matematičkim trikovima koji vam omogućuju izvođenje mentalnih izračuna.

Na primjer, možete gotovo verbalno kvadrirati brojeve koji završavaju na 1 i 9. Doista

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Ponekad možete brzo kvadrirati broj koji završava s 2 ili 8. Na primjer,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Ali najelegantniji trik uključuje kvadriranje brojeva koji završavaju s 5.
Provedimo odgovarajuće obrazloženje za 85 2 .

Imamo:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Napominjemo da je za izračun 85 2 bilo dovoljno pomnožiti 8 s 9 i rezultatu s desne strane dodati 25. Isto možete učiniti i u drugim slučajevima. Na primjer, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 i 25 je dodano rezultirajućem broju s desne strane);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 i 25 je dodano rezultirajućem broju s desne strane).

Budući da je riječ o raznim zanimljivim okolnostima vezanim uz dosadne (na prvi pogled) formule (1) i (2), ovaj ćemo razgovor nadopuniti sljedećim geometrijskim obrazloženjem. Neka su a i b pozitivni brojevi. Razmotrite kvadrat sa stranicama a + b i izrežite u njegova dva kuta kvadrate sa stranicama jednakima a i b (slika 4).

Površina kvadrata sa stranicom a + b jednaka je (a + b) 2. Ali ovaj kvadrat smo izrezali na četiri dijela: kvadrat sa stranicom a (njegova površina je jednaka a 2), kvadrat sa stranicom b (njegova površina je jednaka b 2), dva pravokutnika sa stranicama a i b (površina ​​svaki takav pravokutnik jednak je ab). To znači (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, tj. dobivamo formulu (1).

Pomnožite binom a + b binomom a - b. Dobivamo:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Tako

Bilo koja jednakost u matematici koristi se i slijeva na desno (to jest, lijeva strana jednakosti zamijenjena je desnom stranom) i zdesna nalijevo (to jest, desna strana jednakosti zamijenjena je lijevom stranom) . Ako se formula C) koristi slijeva nadesno, tada vam omogućuje zamjenu proizvoda (a + b) (a - b) s gotovim rezultatom a 2 - b 2. Ista se formula može koristiti s desna na lijevo, a zatim vam omogućuje da zamijenite razliku kvadrata a 2 - b 2 umnoškom (a + b) (a - b). Formula (3) u matematici dobiva poseban naziv - razlika kvadrata.

Komentar. Nemojte brkati pojmove "razlika kvadrata" s "razlikom kvadrata". Razlika kvadrata je a 2 - b 2, što znači da govorimo o formuli (3); kvadrat razlike je (a- b) 2, što znači da govorimo o formuli (2). U običnom jeziku formula (3) se čita "s desna na lijevo" ovako:

razlika kvadrata dvaju brojeva (izraza) jednaka je umnošku zbroja tih brojeva (izraza) i njihove razlike,

Primjer 2. Izvršite množenje

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Riješenje. Imamo:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

Primjer 3. Izrazite binom 16x 4 - 9 kao produkt binoma.

Riješenje. Imamo: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, što znači da je zadani binom razlika kvadrata, tj. na njega se može primijeniti formula (3), čitana s desna na lijevo. Tada dobivamo:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)

Formula (3), kao i formule (1) i (2), koristi se za matematičke trikove. Vidjeti:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Završimo razgovor o formuli za razliku kvadrata zanimljivim geometrijskim obrazloženjem. Neka su a i b pozitivni brojevi, a > b. Promotrimo pravokutnik sa stranicama a + b i a - b (slika 5). Njegovo područje je (a + b) (a - b). Izrežimo pravokutnik sa stranicama b i a - b i zalijepimo ga na preostali dio kao što je prikazano na slici 6. Jasno je da dobivena figura ima istu površinu, tj. (a + b) (a - b). Ali ova brojka može biti
sastavite ovako: iz kvadrata sa stranicom a izrežite kvadrat sa stranicom b (to je jasno vidljivo na sl. 6). To znači da je površina nove figure a 2 - b 2. Dakle, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, tj. dobili smo formulu (3).

3. Razlika kubova i zbroj kubova

Pomnožite binom a-b s trinomom a 2 + ab + b 2 .
Dobivamo:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.

Također

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(provjerite sami). Tako,

Formula (4) obično se zove razlika kocki, formula (5) - zbroj kubova. Pokušajmo prevesti formule (4) i (5) na običan jezik. Prije nego to učinite, primijetite da je izraz a 2 + ab + b 2 sličan izrazu a 2 + 2ab + b 2, koji se pojavio u formuli (1) i dao (a + b) 2; izraz a 2 - ab + b 2 sličan je izrazu a 2 - 2ab + b 2, koji se pojavio u formuli (2) i dao (a - b) 2.

Da bismo razlikovali (u jeziku) ove parove izraza jedan od drugog, svaki od izraza a 2 + 2ab + b 2 i a 2 - 2ab + b 2 naziva se potpuni kvadrat (zbroj ili razlika), a svaki od izraza a 2 + ab + b 2 i a 2 - ab + b 2 nazivamo nepotpun kvadrat (zbroj ili razlika). Tada dobivamo sljedeći prijevod formula (4) i (5) (čitaj “s desna na lijevo”) na uobičajeni jezik:

razlika kubova dvaju brojeva (izraza) jednaka je umnošku razlike tih brojeva (izraza) s nepotpunim kvadratom njihova zbroja; zbroj kubova dvaju brojeva (izraza) jednak je umnošku zbroja tih brojeva (izraza) i nepunoga kvadrata njihove razlike.

Komentar. Sve formule (1)-(5) dobivene u ovom odlomku koriste se i slijeva na desno i s desna na lijevo, samo u prvom slučaju (slijeva na desno) kažu da su (1)-(5) skraćeno množenje formule, a u drugom slučaju (s desna na lijevo) kažu da su (1)-(5) formule faktorizacije.

Primjer 4. Izvršite množenje (2x - 1)(4x 2 + 2x +1).

Riješenje. Budući da je prvi faktor razlika monoma 2x i 1, a drugi faktor nepotpuni kvadrat njihovog zbroja, možemo koristiti formulu (4). Dobivamo:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Primjer 5. Predstavite binom 27a 6 + 8b 3 kao produkt polinoma.

Riješenje. Imamo: 27a 6 = (Za 2) 3, 8b 3 = (2b) 3. To znači da je zadani binom zbroj kubova, odnosno na njega se može primijeniti formula 95, čitana s desna na lijevo. Tada dobivamo:

27a 6 + 8b 3 = (Za 2) 3 + (2b) 3 = (Za 2 + 2b) ((Za 2) 2 - Za 2 2b + (2b) 2) = (Za 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

Pomoć za školarce online, Matematika za 7. razred download, kalendarsko i tematsko planiranje

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu, metodološke preporuke, programi rasprava Integrirane lekcije

U prethodnoj lekciji bavili smo se rastavljanjem na faktore. Savladali smo dvije metode: stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeća moćna metoda: formule skraćenog množenja. Ukratko – FSU.

Skraćene formule množenja (kvadrat zbroja i razlike, kub zbroja i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova) iznimno su potrebne u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednadžbi, množenje polinoma, smanjivanje razlomaka, rješavanje integrala itd. i tako dalje. Ukratko, postoji svaki razlog da se s njima pozabavimo. Razumjeti odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih koristiti.

Razumijemo li?)

Odakle potječu formule za skraćeno množenje?

Jednadžbe 6 i 7 nisu napisane na vrlo poznat način. Nekako je suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Ovaj unos pojašnjava odakle FSU dolaze.

Uzimaju se iz množenja.) Na primjer:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je to, bez znanstvenih trikova. Jednostavno množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule množenja. Skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i smanjivanja sličnih. Skraćeno.) Odmah se daje rezultat.

FSU treba znati napamet. Bez prva tri, ne možete sanjati o C; bez ostalih, ne možete sanjati o B ili A.)

Zašto su nam potrebne formule skraćenog množenja?

Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi je da gotov odgovor automatski smanjuje broj pogrešaka. Ali to nije glavni razlog. Ali ovaj drugi...

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.