Podjela stupaca(također možete vidjeti ime podjela kutu) standardni je postupak uaritmetika, dizajnirana za dijeljenje jednostavnih ili složenih višeznamenkastih brojeva razbijanjempodjela na nekoliko jednostavnijih koraka. Kao u svim problemima dijeljenja, zove se jedan brojdjeljiv, dijeli se na drugu, tzvšestar, stvarajući rezultat tzvprivatni.

Stupac se može koristiti za dijeljenje prirodnih brojeva bez ostatka i dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom.

Pravila za snimanje kod dijeljenja stupcem.

Počnimo s proučavanjem pravila za pisanje dividende, djelitelja, svih međuizračunavanja i rezultata kadadijeljenje prirodnih brojeva stupcem. Recimo odmah da pismeno izvršimo dijeljenje stupcemnajprikladnije je na papiru s kariranom linijom - tako je manja vjerojatnost odstupanja od željenog retka i stupca.

Najprije se u jednom retku slijeva na desno ispisuju djelitelj i djelitelj, a zatim između napisanogbrojevi predstavljaju simbol forme.

Na primjer, ako je dividenda broj 6105, a djelitelj 55, onda je njihov ispravan zapis pri dijeljenju nastupac će izgledati ovako:

Pogledajte sljedeći dijagram koji prikazuje mjesta za pisanje dividende, djelitelja, kvocijenta,izračuni ostatka i međuizračunavanja pri dijeljenju stupcem:

Iz gornjeg dijagrama se vidi da željeni kvocijent (odn nepotpuni kvocijent pri dijeljenju s ostatkom) bit ćenapisano ispod djelitelja ispod vodoravne crte. A međuizračuni će se provesti u nastavkudjeljiv, a o dostupnosti prostora na stranici morate se pobrinuti unaprijed. Pri tome se treba voditipravilo: što je veća razlika u broju znakova u zapisima djelitelja i djelitelja, to višebit će potreban prostor.

Dijeljenje stupcem prirodnog broja jednoznamenkastim prirodnim brojem, algoritam dijeljenja stupaca.

Kako podijeliti u stupac najbolje je objasniti na primjeru.Izračunati:

512:8=?

Najprije u stupac zapiši dividendu i djelitelj. Izgledat će ovako:

Njihov kvocijent (rezultat) bit će upisan ispod djelitelja. Naš broj je 8.

1. Definiramo nepotpuni kvocijent. Prvo gledamo prvu znamenku slijeva u unosu dividende.Ako je broj definiran ovom figurom veći od djelitelja, tada u sljedećem odlomku moramo raditis ovim brojem. Ako je taj broj manji od djelitelja, tada razmatranju trebamo dodati sljedećes lijeve strane, znamenka u zapisu dividende, i dalje radite s brojem koji je određen od dva razmatranabrojevima. Radi praktičnosti, u našem zapisu odabiremo broj s kojim ćemo raditi.

2. Uzmite 5. Broj 5 je manji od 8, pa trebate uzeti još jednu znamenku od dividende. 51 je veće od 8. Dakle.ovo je nepotpun kvocijent. Stavili smo točku u kvocijent (ispod kuta razdjelnika).

Nakon 51 postoji samo jedan broj 2. Stoga rezultatu dodajemo još jedan bod.

3. Sada, prisjećanje tablica množenja s 8, nalazimo umnožak najbliži 51 → 6 x 8 = 48→ u kvocijent upiši broj 6:

Ispod 51 upisujemo 48 (pomnožimo li 6 iz kvocijenta s 8 iz djelitelja, dobivamo 48).

Pažnja! Kada se piše pod nepotpunim kvocijentom, krajnja desna znamenka nepotpunog kvocijenta mora biti iznadkrajnja desna znamenka djela.

4. Između 51 i 48 s lijeve strane stavite "-" (minus). Oduzimaj prema pravilima oduzimanja u koloni 48 i ispod crtezapiši rezultat.

Međutim, ako je rezultat oduzimanja nula, tada ga ne treba zapisivati ​​(osim ako je oduzimanje uovaj stavak nije posljednja radnja koja u potpunosti dovršava proces podjele stupac).

Ostatak je ispao 3. Usporedimo ostatak s djeliteljem. 3 je manje od 8.

Pažnja!Ako je ostatak veći od djelitelja, onda smo pogriješili u izračunu i postoji umnožakbliža od one koju smo uzeli.

5. Sada ispod vodoravne crte desno od brojeva koji se tamo nalaze (ili desno od mjesta gdje nepočeo zapisivati ​​nulu) zapisujemo cifru koja se nalazi u istom stupcu u zapisu dividende. Ako uu ovom stupcu nema znamenki, onda ovdje završava dijeljenje stupcem.

Broj 32 je veći od 8. I opet, koristeći tablicu množenja za 8, nalazimo najbliži produkt → 8 x 4 = 32:

Ostatak je nula. To znači da se brojevi dijele u potpunosti (bez ostatka). Ako nakon posljednjegoduzimajući nulu, a nema više preostalih znamenki, onda je ovo ostatak. Dodajemo ga u privatni inzagrade (npr. 64(2)).

Dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva.

Na sličan način se vrši i dijeljenje prirodnim višeznamenkastim brojem. Istodobno, u prvom"Među" dividenda uključuje toliko znamenki višeg reda da ispada da je više od djelitelja.

Na primjer, 1976. podijeljeno sa 26.

• Broj 1 u najznačajnijoj znamenki je manji od 26, pa razmislite o broju sastavljenom od dvije znamenke viši činovi - 19.
• Broj 19 je također manji od 26, pa razmislite o broju sastavljenom od znamenki tri najvažnije znamenke - 197.
• Broj 197 je veći od 26, 197 desetica podijelimo sa 26: 197: 26 = 7 (ostaje 15 desetica).
• Prevedemo 15 desetica u jedinice, dodamo 6 jedinica iz kategorije jedinica, dobijemo 156.
• Podijelite 156 sa 26 da dobijete 6.

Dakle, 1976: 26 = 76.

Ako se u nekom koraku dijeljenja ispostavilo da je "srednja" dividenda manja od djelitelja, tada u kvocijentuZapisuje se 0, a broj s te znamenke prenosi se na sljedeću, nižu znamenku.

Dijeljenje decimalnim razlomkom u kvocijentu.

Decimalni razlomci online. Pretvorite decimale u obične razlomke i obične razlomke u decimale.

Ako prirodni broj nije ravnomjerno djeljiv s jednoznamenkastim prirodnim brojem, možete nastavitidijeljenje po bitovima i dobiti decimalni kvocijent.

Na primjer, 64 podijeljeno s 5.

• Podijelite 6 desetica s 5 da dobijete 1 deseticu i 1 ostatak desetice.
• Preostalih deset prevedemo u jedinice, dodamo 4 iz kategorije jedinica, dobijemo 14.
• 14 jedinica podijeljeno s 5, dobivamo 2 jedinice i 4 jedinice u ostatku.
• Prevodimo 4 jedinice u desetine, dobivamo 40 desetina.
• Podijelite 40 desetinki s 5 da biste dobili 8 desetinki.

Dakle, 64:5 = 12,8

Dakle, ako se pri dijeljenju prirodnog broja prirodnim jednoznamenkastim ili višeznamenkastim brojemdobiven je ostatak, zatim možete staviti privatni zarez, pretvoriti ostatak u jedinice sljedećeg,manju znamenku i nastavite s dijeljenjem.

Uputa

Prije podučavanja dijeljenja dvoznamenkastih brojeva potrebno je djetetu objasniti da je broj zbroj desetica i jedinica. To će ga spasiti od buduće prilično uobičajene pogreške koju čine mnoga djeca. Počinju dijeliti prvu i drugu znamenku djelitelja i djelitelja jednu na drugu.

Prvo, radite od brojeva do jednoznamenkastih. Ovu tehniku ​​najbolje je uvježbavati uz poznavanje tablice množenja. Što više takve prakse, to bolje. Vještine takvog dijeljenja treba dovesti do automatizma, tada će djetetu biti lakše prijeći na složeniju temu dvoznamenkastog djelitelja, koji je, kao i dividenda, zbroj desetica i jedinica.

Najčešći način dijeljenja dvoznamenkastih brojeva je metoda selekcije, koja uključuje sukcesivno dijeljenje brojevima od 2 do 9 tako da konačni umnožak bude jednak dividendi. Primjer: Podijelite 87 s 29. Obrazložite na sljedeći način:

29 puta 2 jednako je 54 - nije dovoljno;
29 x 3 = 87 je točno.

Obratite pozornost učenika na druge znamenke (jedinice) dividende i djelitelja, koje su prikladne za navigaciju pri korištenju tablice množenja. Na primjer, u gornjem primjeru druga znamenka djelitelja je 9. Razmislite koliko trebate pomnožiti broj 9 da broj jedinica umnoška bude 7? Odgovor u ovom slučaju je samo jedan - za 3. To uvelike pojednostavljuje zadatak dvoznamenkastog dijeljenja. Provjerite svoju pretpostavku množenjem cijelog broja 29.

Ako se zadatak izvodi pismeno, poželjno je koristiti metodu podjele u stupac. Ovaj pristup je sličan prethodnom, osim što učenik ne treba držati brojeve u glavi i raditi mentalne izračune. Za pisani rad bolje je naoružati se olovkom ili listom nacrta.

Izvori:

• množenje dvoznamenkastih brojeva dvoznamenkastim tablicama

Tema dijeljenja brojeva jedna je od najvažnijih u programu matematike za 5. razred. Bez ovladavanja tim znanjem nemoguće je dalje proučavanje matematike. Podijeliti brojevima oživjeti svaki dan. I nemojte se uvijek oslanjati na kalkulator. Da biste razdvojili dva broja, morate zapamtiti određeni niz radnji.

Trebat će vam

• Karirani list papira
• pero ili olovka

Uputa

Napiši dividendu i u jednu crtu. Odvojite ih okomitom trakom visokom dvije crte. Nacrtajte vodoravnu crtu ispod djelitelja i dividende okomito na prethodnu crtu. Desno, ispod ove crte, bit će upisan kvocijent. Ispod i lijevo od dividende ispod vodoravne crte upišite nulu.

Pomaknite jednu krajnju lijevu, ali još neprenesenu znamenku dividende dolje ispod zadnje vodoravne crte. Prenesenu znamenku dividende označite točkom.

Usporedite broj ispod zadnje vodoravne trake s djeliteljem. Ako je broj manji od djelitelja, nastavite s korakom 4, inače prijeđite na korak 5.

Dijeljenje prirodnih brojeva, osobito višeznačnih, zgodno se provodi posebnom metodom, koja se zove dijeljenje stupcem (u stupcu). Također možete vidjeti ime kutna podjela. Odmah napominjemo da se u stupcu može izvršiti i dijeljenje prirodnih brojeva bez ostatka i dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom.

U ovom članku ćemo razumjeti kako se izvodi dijeljenje po stupcu. Ovdje ćemo govoriti o pravilima pisanja, te o svim međuizračunima. Najprije se zadržimo na dijeljenju višeznačnog prirodnog broja s jednoznamenkastim brojem pomoću stupca. Nakon toga ćemo se usredotočiti na slučajeve u kojima su i dividenda i djelitelj višeznačni prirodni brojevi. Cijela teorija ovog članka opskrbljena je karakterističnim primjerima dijeljenja stupcem prirodnih brojeva s detaljnim objašnjenjima rješenja i ilustracijama.

Navigacija po stranici.

Pravila za snimanje kod dijeljenja stupcem

Počnimo s proučavanjem pravila za pisanje dividende, djelitelja, svih srednjih izračuna i rezultata pri dijeljenju prirodnih brojeva stupcem. Recimo odmah da je najprikladnije podijeliti u stupac u pisanom obliku na papiru s kockastom linijom - tako da je manje šanse da zalutate iz željenog retka i stupca.

Najprije se u jednom retku slijeva na desno ispisuju djelitelj i djelitelj, nakon čega se između napisanih brojeva ispisuje simbol oblika. Na primjer, ako je dividenda broj 6 105, a djelitelj 5 5, tada će njihov ispravan zapis kada se podijeli u stupac biti:

Pogledajte sljedeći dijagram koji ilustrira mjesta za pisanje dividende, djelitelja, kvocijenta, ostatka i međuizračune pri dijeljenju stupcem.

Iz gornjeg dijagrama je vidljivo da će željeni količnik (ili nepotpuni kvocijent kod dijeljenja s ostatkom) biti upisan ispod djelitelja ispod vodoravne crte. I međuizračuni će se provesti ispod dividende, a morate unaprijed voditi računa o dostupnosti prostora na stranici. U tom slučaju treba se voditi pravilom: što je veća razlika u broju znakova u unosima djelitelja i djelitelja, potrebno je više prostora. Na primjer, pri dijeljenju prirodnog broja 614.808 s 51.234 stupcem (614.808 je šesteroznamenkasti broj, 51.234 je peteroznamenkasti broj, razlika u broju znakova u zapisima je 6−5=1), među izračuni će zahtijevati manje prostora nego kod dijeljenja brojeva 8 058 i 4 (ovdje je razlika u broju znakova 4−1=3 ). Za potvrdu naših riječi donosimo dovršene zapise dijeljenja stupcem ovih prirodnih brojeva:

Sada možete ići izravno na proces dijeljenja prirodnih brojeva stupcem.

Dijeljenje stupcem prirodnog broja jednoznamenkastim prirodnim brojem, algoritam dijeljenja stupcem

Jasno je da je dijeljenje jednog jednoznamenkastog prirodnog broja drugim sasvim jednostavno i nema razloga dijeliti te brojeve u stupac. Međutim, bit će korisno vježbati početne vještine dijeljenja stupcem na ovim jednostavnim primjerima.

Primjer.

Neka trebamo podijeliti stupcem 8 sa 2.

Riješenje.

Naravno, možemo izvršiti dijeljenje pomoću tablice množenja i odmah zapisati odgovor 8:2=4.

Ali nas zanima kako te brojeve podijeliti stupcem.

Prvo pišemo dividendu 8 i djelitelj 2 kako zahtijeva metoda:

Sada počinjemo računati koliko je puta djelitelj u dividendi. Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s brojevima 0, 1, 2, 3, ... sve dok rezultat ne bude broj jednak djelitelju (ili broj veći od djelitelja, ako postoji dijeljenje s ostatkom). ). Ako dobijemo broj jednak djelitelju, tada ga odmah upišemo ispod djelitelja, a umjesto privatnog upišemo broj kojim smo pomnožili djelitelj. Ako dobijemo broj veći od djeljivog, tada ispod djelitelja upisujemo broj izračunat na pretposljednjem koraku, a na mjesto nepunog količnika upisujemo broj kojim je djelitelj pomnožen na pretposljednjem koraku.

Idemo: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Dobili smo broj jednak dividendi, pa ga upisujemo ispod dividende, a umjesto privatnog upisujemo broj 4. Zapis će tada izgledati ovako:

Preostaje završna faza dijeljenja jednoznamenkastih prirodnih brojeva stupcem. Ispod broja koji je napisan ispod dividende potrebno je povući vodoravnu crtu, a brojeve iznad te crte oduzimati na isti način kao što se radi kod oduzimanja prirodnih brojeva stupcem. Broj dobiven nakon oduzimanja bit će ostatak dijeljenja. Ako je jednak nuli, tada se izvorni brojevi dijele bez ostatka.

U našem primjeru dobivamo

Sada imamo gotov zapis dijeljenja stupcem broja 8 sa 2. Vidimo da je kvocijent 8:2 4 (a ostatak je 0 ).

Odgovor:

8:2=4 .

Sada razmotrite kako se provodi dijeljenje stupcem jednoznamenkastih prirodnih brojeva s ostatkom.

Primjer.

Podijelite stupcem 7 sa 3.

Riješenje.

U početnoj fazi unos izgleda ovako:

Počinjemo otkrivati ​​koliko puta dividenda sadrži djelitelj. Pomnožit ćemo 3 s 0, 1, 2, 3 itd. dok ne dobijemo broj jednak ili veći od dividende 7. Dobivamo 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (po potrebi pogledati članak Usporedba prirodnih brojeva). Ispod dividende upišemo broj 6 (dobiven je na pretposljednjem koraku), a na mjesto nepunog količnika upišemo broj 2 (pomnožen je na pretposljednjem koraku).

Preostaje još izvršiti oduzimanje i dijeljenje stupcem jednoznamenkastih prirodnih brojeva 7 i 3 bit će završeno.

Dakle, djelomični kvocijent je 2, a ostatak je 1.

Odgovor:

7:3=2 (odmor. 1) .

Sada možemo prijeći na dijeljenje prirodnih brojeva s više vrijednosti jednoznamenkastim prirodnim brojevima stupcem.

Sada ćemo analizirati algoritam dijeljenja stupaca. U svakoj fazi prikazat ćemo rezultate dobivene dijeljenjem višeznačnog prirodnog broja 140 288 s jednoznačnim prirodnim brojem 4 . Ovaj primjer nije odabran slučajno, jer ćemo se prilikom njegovog rješavanja susresti sa svim mogućim nijansama, moći ćemo ih detaljno analizirati.

Prvo gledamo prvu znamenku slijeva u unosu dividende. Ako je broj definiran ovim brojem veći od djelitelja, tada u sljedećem odlomku moramo raditi s tim brojem. Ako je taj broj manji od djelitelja, tada trebamo dodati sljedeću znamenku lijevo u zapis o dividendi i dalje raditi s brojem koji je određen dvjema dotičnim znamenkama. Radi praktičnosti, u našem zapisu odabiremo broj s kojim ćemo raditi.

Prva znamenka slijeva u dividendi 140,288 je broj 1. Broj 1 manji je od djelitelja 4, pa gledamo i sljedeću znamenku s lijeve strane u zapisu dividende. U isto vrijeme vidimo broj 14, s kojim moramo dalje raditi. Taj broj odabiremo u oznaci dividende.

Sljedeće točke od druge do četvrte ponavljaju se ciklički dok se ne završi dijeljenje prirodnih brojeva stupcem.

Sada moramo odrediti koliko je puta djelitelj sadržan u broju s kojim radimo (radi praktičnosti, označimo ovaj broj kao x). Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj x ili broj veći od x. Kada dobijemo broj x, tada ga upisujemo ispod odabranog broja prema pravilima zapisa koja se koriste pri oduzimanju po stupcu prirodnih brojeva. Broj kojim je izvršeno množenje zapisuje se umjesto kvocijenta tijekom prvog prolaza algoritma (tijekom sljedećih prolaza 2-4 točke algoritma, ovaj broj se piše desno od brojeva koji se već nalaze). Kada se dobije broj koji je veći od broja x, tada ispod odabranog broja upisujemo broj dobiven u pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika (ili desno od brojeva koji već postoje) upisujemo broj tako da pri čemu je množenje izvršeno u pretposljednjem koraku. (Izveli smo slične akcije u dva gore razmotrena primjera).

Množimo djelitelj broja 4 s brojevima 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj koji je jednak 14 ili veći od 14. Imamo 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>četrnaest . Budući da smo u zadnjem koraku dobili broj 16, koji je veći od 14, tada ispod odabranog broja upisujemo broj 12, koji je ispao u pretposljednjem koraku, a umjesto količnika upisujemo broj 3, jer u pretposljednji odlomak množenje je izvršeno upravo na njemu.


U ovoj fazi od odabranog broja oduzmite broj ispod njega u stupcu. Ispod vodoravne crte nalazi se rezultat oduzimanja. Međutim, ako je rezultat oduzimanja jednak nuli, tada ga ne treba zapisivati ​​(osim ako je oduzimanje u ovom trenutku posljednja radnja koja u potpunosti dovršava dijeljenje stupcem). Ovdje, za vašu kontrolu, neće biti suvišno usporediti rezultat oduzimanja s djeliteljem i uvjeriti se da je manji od djelitelja. Inače je negdje napravljena greška.

Od broja 14 u stupcu trebamo oduzeti broj 12 (za ispravan zapis ne smijete zaboraviti staviti znak minus lijevo od oduzetih brojeva). Nakon završetka ove radnje ispod vodoravne crte pojavio se broj 2. Sada provjeravamo naše izračune uspoređujući dobiveni broj s djeliteljem. Budući da je broj 2 manji od djelitelja 4, možete sigurno prijeći na sljedeću stavku.


Sada ispod vodoravne crte desno od brojeva koji se tamo nalaze (ili desno od mjesta gdje nismo upisali nulu) upisujemo broj koji se nalazi u istom stupcu u zapisu o dividendi. Ako u zapisu dividende u ovom stupcu nema brojeva, ovdje završava dijeljenje po stupcu. Nakon toga odabiremo broj formiran ispod vodoravne crte, uzimamo ga kao radni broj i s njim ponavljamo od 2 do 4 točke algoritma.

Ispod vodoravne crte desno od broja 2 koji već postoji, upisujemo broj 0, budući da se upravo broj 0 nalazi u zapisu dividende 140 288 u ovom stupcu. Tako se ispod vodoravne crte formira broj 20.


Odaberemo ovaj broj 20, uzmemo ga kao radni broj i s njim ponovimo radnje druge, treće i četvrte točke algoritma.

Množimo djelitelj broja 4 s 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj 20 ili broj veći od 20. Imamo 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Oduzimanje vršimo stupcem. Budući da oduzimamo jednake prirodne brojeve, tada, zbog svojstva oduzimanja jednakih prirodnih brojeva, kao rezultat dobivamo nulu. Ne zapisujemo nulu (budući da ovo još nije posljednja faza dijeljenja stupcem), ali se sjećamo mjesta gdje bismo je mogli zapisati (radi praktičnosti, ovo ćemo mjesto označiti crnim pravokutnikom).


Ispod vodoravne crte desno od memoriranog mjesta upisujemo broj 2 jer se upravo ona nalazi u zapisu dividende 140 288 u ovom stupcu. Dakle, ispod vodoravne crte imamo broj 2 .


Uzimamo broj 2 kao radni broj, označavamo ga i još jednom ćemo morati izvršiti korake iz 2-4 točke algoritma.

Množimo djelitelj s 0 , 1 , 2 i tako dalje te dobivene brojeve uspoređujemo s označenim brojem 2 . Imamo 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Dakle, ispod označenog broja upisujemo broj 0 (dobili smo ga u pretposljednjem koraku), a umjesto kvocijenta desno od broja koji već postoji upisujemo broj 0 (pomnožili smo s 0 u pretposljednjem koraku). korak).


Izvodimo oduzimanje stupcem, dobivamo broj 2 ispod vodoravne crte. Provjeravamo se uspoređujući dobiveni broj s djeliteljem 4 . Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Ispod vodoravne crte desno od broja 2 dodajemo broj 8 (budući da je u ovom stupcu u evidenciji dividende 140 288). Dakle, ispod vodoravne crte nalazi se broj 28.


Ovaj broj prihvaćamo kao radnik, označavamo ga i ponavljamo korake 2-4 paragrafa.

Ovdje ne bi trebalo biti problema ako ste do sada bili oprezni. Provodeći sve potrebne radnje, dobiva se sljedeći rezultat.

Ostalo je još posljednji put izvršiti radnje iz točaka 2, 3, 4 (mi vam ih dostavljamo), nakon čega ćete dobiti cjelovitu sliku dijeljenja prirodnih brojeva 140 288 i 4 u stupac:

Imajte na umu da je broj 0 napisan na samom dnu retka. Da ovo nije zadnji korak dijeljenja stupcem (odnosno da u zapisu dividende u desnim stupcima stoje brojevi), onda ne bismo pisali ovu nulu.

Dakle, gledajući dovršeni zapis dijeljenja višeznačnog prirodnog broja 140 288 jednoznačnim prirodnim brojem 4, vidimo da je broj 35 072 privatan (a ostatak dijeljenja je nula, nalazi se na samom Poanta).

Naravno, kada prirodne brojeve dijelite stupcem, nećete tako detaljno opisati sve svoje radnje. Vaša će rješenja izgledati otprilike poput sljedećih primjera.

Primjer.

Izvršite dugo dijeljenje ako je dividenda 7136, a djelitelj jedan prirodni broj 9.

Riješenje.

Na prvom koraku algoritma dijeljenja prirodnih brojeva stupcem dobivamo zapis oblika

Nakon izvršenja radnji iz druge, treće i četvrte točke algoritma, zapis dijeljenja po stupcu poprimit će oblik

Ponavljajući ciklus, imat ćemo

Još jedan prolaz će nam dati potpunu sliku dijeljenja stupcem prirodnih brojeva 7 136 i 9

Dakle, djelomični kvocijent je 792 , a ostatak dijeljenja je 8 .

Odgovor:

7 136:9=792 (ostatak 8) .

A ovaj primjer pokazuje kako bi trebalo izgledati dugo dijeljenje.

Primjer.

Prirodni broj 7 042 035 podijeli jednoznamenkastim prirodnim brojem 7 .

Riješenje.

Najprikladnije je izvršiti dijeljenje stupcem.

Odgovor:

7 042 035:7=1 006 005 .

Dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva

Žurimo vas zadovoljiti: ako ste dobro savladali algoritam za dijeljenje stupcem iz prethodnog odlomka ovog članka, tada već gotovo znate kako to izvesti dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva. To je istina, budući da koraci od 2 do 4 algoritma ostaju nepromijenjeni, au prvom koraku pojavljuju se samo manje promjene.

U prvoj fazi dijeljenja u stupac višeznačnih prirodnih brojeva, ne morate gledati prvu znamenku s lijeve strane u unosu djelitelja, već onoliko njih koliko ima znamenki u unosu djelitelja. Ako je broj definiran ovim brojevima veći od djelitelja, tada u sljedećem odlomku moramo raditi s tim brojem. Ako je taj broj manji od djelitelja, tada razmatranju trebamo dodati sljedeću znamenku s lijeve strane u zapisu dividende. Nakon toga se izvode radnje navedene u stavcima 2, 3 i 4 algoritma do dobivanja konačnog rezultata.

Ostaje samo vidjeti primjenu algoritma za dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva u praksi pri rješavanju primjera.

Primjer.

Izvršimo dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva 5562 i 206.

Riješenje.

Budući da su 3 znaka uključena u zapis djelitelja 206, gledamo prve 3 znamenke s lijeve strane u zapisu djelitelja 5 562. Ovi brojevi odgovaraju broju 556. Budući da je 556 veći od djelitelja 206, broj 556 uzimamo kao radni, odabiremo ga i nastavljamo na sljedeću fazu algoritma.

Sada množimo djelitelj 206 s brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj koji je ili jednak 556 ili veći od 556. Imamo (ako je množenje teško, onda je bolje množenje prirodnih brojeva izvoditi u stupcu): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Pošto smo dobili broj koji je veći od broja 556, tada ispod odabranog broja upisujemo broj 412 (dobiven je u pretposljednjem koraku), a umjesto količnika upisujemo broj 2 (jer je pomnožen na pretposljednji korak). Unos podjele stupaca ima sljedeći oblik:

Izvršite oduzimanje stupca. Dobivamo razliku 144, ovaj broj je manji od djelitelja, tako da možete sigurno nastaviti s izvođenjem potrebnih radnji.

Ispod vodoravne crte desno od broja koji je tamo dostupan, upisujemo broj 2, jer se nalazi u zapisu dividende 5 562 u ovom stupcu:

Sada radimo s brojem 1442, odabiremo ga i ponovno prolazimo kroz korake od dva do četiri.

Množimo djelitelj 206 s 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj 1442 ili broj veći od 1442. Idemo: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Oduzimamo po stupcu, dobijemo nulu, ali je ne zapisujemo odmah, nego samo pamtimo njen položaj, jer ne znamo da li dijeljenje ovdje završava ili ćemo morati ponoviti korake algoritma opet:

Sada vidimo da ispod vodoravne crte desno od memoriranog mjesta ne možemo upisati nijedan broj, jer u zapisu dividende u ovom stupcu nema brojeva. Dakle, ova podjela po stupcima je gotova i dovršavamo unos:

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede obrazovnih ustanova.
• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.

U školi se te radnje proučavaju od jednostavnih do složenih. Stoga je svakako potrebno svladati algoritam izvođenja navedenih operacija na jednostavnim primjerima. Tako da kasnije neće biti poteškoća s dijeljenjem decimalnih frakcija u stupac. Uostalom, ovo je najteža verzija takvih zadataka.

Ova tema zahtijeva dosljedno proučavanje. Praznine u znanju su ovdje nedopustive. Ovo bi načelo svaki učenik trebao naučiti već u prvom razredu. Stoga, ako preskočite nekoliko lekcija za redom, morat ćete sami svladati gradivo. Inače će kasnije biti problema ne samo s matematikom, već i s drugim predmetima vezanim uz nju.

Drugi preduvjet za uspješno učenje matematike je da se na primjere dijeljenja u stupac prijeđe tek nakon savladavanja zbrajanja, oduzimanja i množenja.

Djetetu će biti teško dijeliti ako nije naučilo tablicu množenja. Usput, bolje je to naučiti iz Pitagorine tablice. Nema ništa suvišno, a množenje je u ovom slučaju lakše probavljivo.

Kako se prirodni brojevi množe u stupcu?

Ako postoji poteškoća u rješavanju primjera u stupcu za dijeljenje i množenje, tada je potrebno započeti rješavanje zadatka s množenjem. Budući da je dijeljenje obrnuto od množenja:

1. Prije nego što pomnožite dva broja, morate ih pažljivo pogledati. Odaberite onaj s više znamenki (duži), prvo ga zapišite. Stavite drugi ispod njega. Štoviše, brojevi odgovarajuće kategorije trebaju biti pod istom kategorijom. Odnosno, krajnja desna znamenka prvog broja mora biti iznad krajnje desne znamenke drugog.
2. Pomnožite krajnju desnu znamenku donjeg broja sa svakom znamenkom gornjeg broja, počevši s desne strane. Odgovor upišite ispod crte tako da mu zadnja znamenka bude ispod one s kojom je pomnožen.
3. Ponovite isto s drugom znamenkom donjeg broja. Ali rezultat množenja mora biti pomaknut jednu znamenku ulijevo. U ovom slučaju, njegova posljednja znamenka bit će ispod one s kojom je pomnožena.

Nastavite ovo množenje u stupcu dok ne ponestane brojeva u drugom množitelju. Sada ih treba presavijati. Ovo će biti željeni odgovor.

Algoritam za množenje u stupac decimalnih razlomaka

Prvo, treba zamisliti da nisu zadani decimalni razlomci, nego prirodni. Odnosno, uklonite zareze iz njih i zatim postupite kao što je opisano u prethodnom slučaju.

Razlika počinje kada je odgovor napisan. U ovom trenutku potrebno je prebrojati sve brojeve koji se nalaze iza decimalnih točaka u oba razlomka. Toliko ih treba prebrojati od kraja odgovora i tamo staviti zarez.

Zgodno je ilustrirati ovaj algoritam primjerom: 0,25 x 0,33:

Kako početi učiti dijeljenje?

Prije rješavanja primjera za dijeljenje u stupac, potrebno je zapamtiti nazive brojeva koji se nalaze u primjeru za dijeljenje. Prvi od njih (onaj koji dijeli) je djeljiv. Sekunda (njome podijeljena) je djelitelj. Odgovor je privatan.

Nakon toga ćemo na jednostavnom svakodnevnom primjeru objasniti bit ove matematičke operacije. Na primjer, ako uzmete 10 slatkiša, lako ih je jednako podijeliti između mame i tate. Ali što ako ih trebate podijeliti roditeljima i bratu?

Nakon toga možete se upoznati s pravilima dijeljenja i svladati ih na konkretnim primjerima. Najprije jednostavne, a onda sve složenije.

Algoritam za dijeljenje brojeva u stupac

Prvo ćemo prikazati postupak za prirodne brojeve djeljive jednoznamenkastim brojem. Oni će također biti osnova za višeznamenkaste djelitelje ili decimalne razlomke. Tek tada treba napraviti male izmjene, ali o tome kasnije:

• Prije nego što počnete dijeliti u stupac, morate saznati gdje su dividenda i djelitelj.
• Zapišite dividendu. Desno od njega je razdjelnik.
• Nacrtajte kut lijevo i dolje blizu zadnjeg kuta.
• Odredite nepotpunu dividendu, odnosno broj koji će biti najmanji za dijeljenje. Obično se sastoji od jedne znamenke, najviše dvije.
• Odaberite broj koji će biti prvi upisan u odgovoru. To mora biti broj koliko puta djelitelj stane u dividendu.
• Zapiši rezultat množenja tog broja djeliteljem.
• Napiši ga ispod nepotpunog djelitelja. Izvršite oduzimanje.
• Prenesite u ostatak prvu znamenku nakon dijela koji je već podijeljen.
• Ponovo odaberite broj za odgovor.
• Ponoviti množenje i oduzimanje. Ako je ostatak nula i dividenda je gotova, tada je primjer gotov. U suprotnom, ponovite korake: srušite broj, pokupite broj, pomnožite, oduzmite.

Kako riješiti dugo dijeljenje ako je u djelitelju više od jedne znamenke?

Sam algoritam u potpunosti se podudara s gore opisanim. Razlika će biti broj znamenki u nepotpunoj dividendi. Sada bi ih trebalo biti najmanje dva, ali ako se ispostavi da su manji od djelitelja, onda bi trebalo raditi s prve tri znamenke.

Postoji još jedna nijansa u ovoj podjeli. Činjenica je da ostatak i figura koja mu pripada ponekad nisu djeljivi djeliteljem. Zatim treba pripisati još jednu figuru po redu. Ali u isto vrijeme, odgovor mora biti nula. Ako su troznamenkasti brojevi podijeljeni u stupac, tada će možda biti potrebno ukloniti više od dvije znamenke. Zatim se uvodi pravilo: nule u odgovoru trebaju biti za jednu manje od broja uklonjenih znamenki.

Takvu podjelu možete razmotriti na primjeru - 12082: 863.

• Nepotpuni djeljiv u njemu je broj 1208. Broj 863 u njemu se nalazi samo jednom. Dakle, u odgovoru treba staviti 1, a ispod 1208 napisati 863.
• Nakon oduzimanja, ostatak je 345.
• Njemu trebate srušiti broj 2.
• U broj 3452 863 stane četiri puta.
• Kao odgovor mora biti napisano četiri. Štoviše, kada se pomnoži s 4, dobiva se ovaj broj.
• Ostatak nakon oduzimanja je nula. Odnosno, podjela je završena.

Odgovor u primjeru je 14.

Što ako dividenda završi na nuli?

Ili nekoliko nula? U tom slučaju dobije se nula ostataka, au dividendi još ima nula. Ne očajavajte, sve je lakše nego što se čini. Dovoljno je samo pripisati odgovoru sve nule koje su ostale nepodijeljene.

Na primjer, trebate podijeliti 400 s 5. Nepotpuna dividenda je 40. Pet je u njoj 8 puta. To znači da bi odgovor trebao biti napisan 8. Kod oduzimanja nema ostatka. Odnosno, podjela je gotova, ali u dividendi ostaje nula. Morat će se dodati odgovoru. Dakle, dijeljenje 400 sa 5 daje 80.

Što ako trebate podijeliti decimalu?

Opet, ovaj broj izgleda kao prirodan broj, ako nema zareza koji odvaja cijeli broj od razlomka. Ovo sugerira da je podjela decimalnih razlomaka u stupac slična onoj gore opisanoj.

Jedina razlika bit će točka-zarez. Trebalo bi odgovoriti odmah, čim se skine prva znamenka iz razlomka. Na drugi način, može se reći ovako: dijeljenje cijelog dijela je završeno - stavite zarez i nastavite rješenje dalje.

Prilikom rješavanja primjera za dijeljenje u stupac s decimalnim razlomcima, morate imati na umu da se dijelu nakon decimalne točke može dodijeliti bilo koji broj nula. Ponekad je to potrebno kako bi se brojevi završili do kraja.

Dijeljenje dvije decimale

Možda se čini komplicirano. Ali samo na početku. Uostalom, kako izvršiti dijeljenje u stupcu razlomaka prirodnim brojem već je jasno. Dakle, ovaj primjer moramo svesti na već poznati oblik.

Učini to lakšim. Morate pomnožiti oba razlomka s 10, 100, 1000 ili 10 000, ili možda s milijunom ako zadatak to zahtijeva. Pretpostavlja se da se množitelj bira na temelju toga koliko nula ima decimalni dio djelitelja. To jest, kao rezultat toga, ispada da ćete morati podijeliti razlomak prirodnim brojem.

I bit će u najgorem slučaju. Uostalom, može se ispostaviti da dividenda od ove operacije postaje cijeli broj. Tada će se rješenje primjera s dijeljenjem u stupac razlomaka svesti na najjednostavniju opciju: operacije s prirodnim brojevima.

Kao primjer: 28,4 podijeljeno s 3,2:

• Prvo se moraju pomnožiti s 10, budući da u drugom broju postoji samo jedna znamenka nakon decimalne točke. Množenje će dati 284 i 32.
• Oni bi trebali biti podijeljeni. I odjednom je cijeli broj 284 sa 32.
• Prvi odgovarajući broj za odgovor je 8. Množenje daje 256. Ostatak je 28.
• Dijeljenje cijelog dijela je završeno, au odgovoru treba staviti zarez.
• Srušiti do ostatka 0.
• Ponovno uzmite 8.
• Ostatak: 24. Dodajte mu još 0.
• Sada morate uzeti 7.
• Rezultat množenja je 224, ostatak je 16.
• Uništi još 0. Uzmi 5 i dobiješ točno 160. Ostatak je 0.

Podjela završena. Rezultat primjera 28,4:3,2 je 8,875.

Što ako je djelitelj 10, 100, 0,1 ili 0,01?

Kao i kod množenja, ovdje nije potrebno dugo dijeljenje. Dovoljno je samo pomaknuti zarez u pravom smjeru za određeni broj znamenki. Štoviše, prema ovom principu možete rješavati primjere i s cijelim brojevima i s decimalnim razlomcima.

Dakle, ako trebate podijeliti s 10, 100 ili 1000, tada se zarez pomakne ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju. Odnosno, kada je broj djeljiv sa 100, zarez bi se trebao pomaknuti ulijevo za dvije znamenke. Ako je dividenda prirodan broj, tada se pretpostavlja da je zarez na njegovom kraju.

Ova radnja daje isti rezultat kao da se broj pomnoži s 0,1, 0,01 ili 0,001. U ovim primjerima zarez je također pomaknut ulijevo za broj znamenki jednak duljini razlomka.

Prilikom dijeljenja s 0,1 (itd.) ili množenja s 10 (itd.), zarez se treba pomaknuti udesno za jednu znamenku (ili dvije, tri, ovisno o broju nula ili duljini razlomka).

Vrijedno je napomenuti da broj znamenki navedenih u dividendi možda neće biti dovoljan. Zatim se nule koje nedostaju mogu dodijeliti lijevo (u cjelobrojnom dijelu) ili desno (iza decimalne točke).

Dijeljenje periodičkih razlomaka

U tom slučaju nećete moći dobiti točan odgovor prilikom podjele u stupac. Kako riješiti primjer ako se naiđe na razlomak s točkom? Ovdje je potrebno prijeći na obične razlomke. A zatim izvršite njihovu podjelu prema prethodno proučenim pravilima.

Na primjer, trebate podijeliti 0, (3) s 0,6. Prvi razlomak je periodičan. Pretvara se u razlomak 3/9, koji će nakon redukcije dati 1/3. Drugi razlomak je zadnja decimala. Još je lakše zapisati obični: 6/10, što je jednako 3/5. Pravilo dijeljenja običnih razlomaka nalaže da se dijeljenje zamijeni množenjem, a djelitelj recipročnom vrijednošću broja. Odnosno, primjer se svodi na množenje 1/3 sa 5/3. Odgovor je 5/9.

Ako primjer ima različite razlomke...

Tada postoji nekoliko mogućih rješenja. Prvo, možete pokušati pretvoriti obični razlomak u decimalu. Zatim podijelite već dvije decimale prema gornjem algoritmu.

Drugo, svaki krajnji decimalni razlomak može se napisati kao obični razlomak. Samo nije uvijek zgodno. Najčešće se takve frakcije pokažu ogromnima. Da, a odgovori su glomazni. Stoga se prvi pristup smatra poželjnijim.

Naravno, osnove matematike djeca uče u nastavi u školi. Ali učiteljeva objašnjenja nisu uvijek jasna djetetu. Ili se možda dijete razboljelo i propustilo temu. U takvim slučajevima roditelji bi se trebali prisjetiti svojih školskih godina kako bi pomogli djetetu da ne propusti važne informacije bez kojih će daljnje obrazovanje biti nerealno.

Poučavanje djeteta kolonom počinje u trećem razredu. Do tog vremena učenik bi već trebao moći s lakoćom koristiti tablicu množenja. Ali ako postoje problemi s tim, vrijedi odmah, jer prije nego što naučite dijete dijeliti stupcem, ne bi trebalo biti poteškoća s množenjem.

Kako učiti dijeljenje stupaca?

Uzmimo za primjer troznamenkasti broj 372 i podijelimo ga sa 6. Odaberite bilo koju kombinaciju, ali tako da dijeljenje prođe bez traga. To u početku može zbuniti mladog matematičara.

Zapisujemo brojeve odvajajući ih kutom i objašnjavamo djetetu da ćemo taj veliki broj postupno podijeliti na šest jednakih dijelova. Pokušajmo prvo prvu znamenku od 3 podijeliti sa 6.

Nije djeljiv, što znači da zbrajamo drugi, odnosno pokušajmo vidjeti možemo li podijeliti 37.

Potrebno je pitati dijete koliko puta šestica stane u broj 37. Tko bez problema poznaje matematiku, odmah će pogoditi da se metodom odabira može odabrati željeni množitelj. Dakle, pokupimo, uzmimo, na primjer, 5 i pomnožimo sa 6 - ispada 30, čini se da rezultat nije daleko od 37, ali vrijedi pokušati ponovno. Da bismo to učinili, množimo 6 sa 6 - jednako 36. To nam odgovara, a prva znamenka kvocijenta je već pronađena - pišemo je ispod djelitelja, iza crte.

Broj 36 zapišemo ispod 37 i pri oduzimanju dobijemo jedan. Opet nije djeljiv sa 6, što znači da mu rušimo preostalu dvojku. Sada je broj 12 vrlo lako podijeliti sa 6. Kao rezultat toga, dobivamo drugi privatni broj - dva. Naš rezultat podjele bit će 62.