upute

Aritmetička progresija je niz oblika a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Broj d korak napredovanje.Očito je da je general proizvoljnog n-tog člana aritmetike napredovanje ima oblik: An = A1+(n-1)d. Zatim poznavanje jednog od članova napredovanje, član napredovanje i korak napredovanje, možete, odnosno broj člana napretka. Očito će biti određen formulom n = (An-A1+d)/d.

Neka je sada poznat m-ti član napredovanje i još jedan član napredovanje- nth, ali n , kao u prethodnom slučaju, ali je poznato da se n i m ne poklapaju napredovanje može se izračunati pomoću formule: d = (An-Am)/(n-m). Tada je n = (An-Am+md)/d.

Ako je poznat zbroj više elemenata aritmetičke jednadžbe napredovanje, kao i njegov prvi i zadnji, tada se može odrediti i broj ovih elemenata napredovanje bit će jednak: S = ((A1+An)/2)n. Tada je n = 2S/(A1+An) - chdenov napredovanje. Koristeći činjenicu da je An = A1+(n-1)d, ova se formula može prepisati kao: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iz ovoga možemo izraziti n rješavanjem kvadratne jednadžbe.

Aritmetički niz je uređeni skup brojeva, čiji se svaki član, osim prvog, razlikuje od prethodnog za isti iznos. Ova konstantna vrijednost naziva se razlika progresije ili njezin korak i može se izračunati iz poznatih članova aritmetičke progresije.

upute

Ako su vrijednosti prvog i drugog ili bilo kojeg drugog para susjednih članova poznate iz uvjeta problema, za izračun razlike (d) jednostavno oduzmite prethodni od sljedećeg člana. Rezultirajuća vrijednost može biti pozitivan ili negativan broj - ovisi o tome raste li progresija. U općem obliku napišite rješenje za proizvoljan par (aᵢ i aᵢ₊₁) susjednih članova progresije na sljedeći način: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par članova takve progresije, od kojih je jedan prvi (a₁), a drugi je bilo koji drugi proizvoljno odabran, također je moguće stvoriti formulu za pronalaženje razlike (d). Međutim, u ovom slučaju mora biti poznat redni broj (i) proizvoljno odabranog člana niza. Da biste izračunali razliku, zbrojite oba broja i dobiveni rezultat podijelite s rednim brojem proizvoljnog člana umanjenim za jedan. Općenito, napišite ovu formulu na sljedeći način: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ako je osim proizvoljnog člana aritmetičke progresije s rednim brojem i poznat još jedan član s rednim brojem u, u skladu s tim promijenite formulu iz prethodnog koraka. U ovom slučaju, razlika (d) progresije bit će zbroj ova dva člana podijeljen s razlikom njihovih rednih brojeva: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula za izračunavanje razlike (d) postaje nešto kompliciranija ako uvjeti problema daju vrijednost njegovog prvog člana (a₁) i zbroja (Sᵢ) zadanog broja (i) prvih članova aritmetičkog niza. Da biste dobili željenu vrijednost, zbroj podijelite s brojem članova koji ga čine, oduzmite vrijednost prvog broja u nizu i udvostručite rezultat. Dobivenu vrijednost podijelite s brojem članova koji čine zbroj umanjen za jedan. Općenito, napišite formulu za izračunavanje diskriminante na sljedeći način: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Zbroj aritmetičke progresije.

Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje količine jednostavno je poput mukanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njezine članove. Ako je ovih izraza malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodavanje je dosadno.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.

Formula za iznos je jednostavna:

Hajde da shvatimo koja su slova uključena u formulu. Ovo će mnogo toga razjasniti.

S n - zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svatkočlanova, sa prvi Po posljednji. To je važno. Točno se zbrajaju svičlanova u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, upravo, počevši od prvi. U problemima poput pronalaženja zbroja trećeg i osmog člana, ili zbroja petog do dvadesetog člana, izravna primjena formule razočarat će.)

a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi broj reda.

a n- posljednjičlan progresije. Zadnji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primijeni na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.

n - broj zadnjeg člana. Važno je razumjeti da u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih pojmova.

Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Varljivo pitanje: koji će član zadnji ako je dano beskrajan aritmetička progresija?)

Za pouzdan odgovor potrebno je razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku traženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se (izravno ili neizravno) pojavljuje zadnji član, koje treba ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje je svejedno je li zadana progresija: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.

Najvažnije je razumjeti da formula radi od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, t.j. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo te tajne.)

Primjeri zadataka o zbroju aritmetičke progresije.

Prije svega korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbroj aritmetičke progresije leži u ispravnom određivanju elemenata formule.

Pisci zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo detaljno nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a n = 2n-3,5. Pronađite zbroj njegovih prvih 10 članova.

Dobar posao. Jednostavno.) Što trebamo znati da bismo odredili iznos pomoću formule? Prvi član a 1, posljednji mandat a n, da broj posljednjeg člana n.

Gdje mogu dobiti broj zadnjeg člana? n? Da, tu, pod uvjetom! Kaže: nađi zbroj prvih 10 članova. Pa, s kojim će brojem biti? posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n Zamijenit ćemo u formulu a 10, i umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj posljednjeg člana poklapa se s brojem članova.

Ostaje utvrditi a 1 I a 10. To se lako izračuna pomoću formule za n-ti član, koja je dana u tekstu problema. Ne znate kako to učiniti? Prisustvujte prethodnoj lekciji, bez ove nema načina.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Sve što ostaje je zamijeniti ih i prebrojati:

To je sve. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak temeljen na GIA. Malo kompliciranije:

2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2,3. Pronađite zbroj njegovih prvih 15 članova.

Odmah napišemo formulu zbroja:

Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako je u formuli zbroja umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:

Navedimo slične i dobijmo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, n-ti član ovdje nije potreban a n. U nekim problemima ova formula jako pomaže, da... Možete se sjetiti ove formule. Ili ga jednostavno možete prikazati u pravo vrijeme, kao ovdje. Uostalom, uvijek morate zapamtiti formulu za zbroj i formulu za n-ti član.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Odredi zbroj svih pozitivnih dvoznamenkastih brojeva koji su višekratnici tri.

Wow! Ni prvi član, ni zadnji, ni napredak uopće... Kako živjeti!?

Morat ćete misliti svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Znamo što su dvoznamenkasti brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) A zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Za njim će i troznamenkaste...

Višekratnici od tri... Hm... Ovo su brojevi djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uvjetima problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Sigurno! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog za striktno tri. Ako izrazu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će vam doći!)

Dakle, možemo sa sigurnošću zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj? n zadnji član? Tko misli da je 99, kobno se vara... Brojke uvijek idu u nizu, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super marljive. Možete zapisivati ​​progresiju, cijeli niz brojeva, prstom brojati članove.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Primijenimo li formulu na naš problem, otkrit ćemo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.

Pogledajmo formulu za zbroj aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Iz izjave problema izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamijenimo brojeve u formulu i izračunamo:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularne zagonetke:

4. S obzirom na aritmetičku progresiju:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Pronađite zbroj članova od dvadesetog do trideset i četvrtog.

Pogledamo formulu za iznos i... uzrujamo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos iz prvečlan. A u zadatku treba izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, napisati cijelu progresiju u nizu i dodati članove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju u dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, zbrojimo ga sa zbrojem članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz ovoga možemo vidjeti da se nalazi zbroj S 20-34 može se izvršiti jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uzimaju se u obzir oba iznosa s desne strane iz prvečlan, tj. standardna formula zbroja sasvim je primjenjiva na njih. Započnimo?

Ekstrahiramo parametre progresije iz izjave problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbrojeve prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih pomoću formule za n-ti član, kao u problemu 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ništa nije ostalo. Od zbroja 34 člana oduzmi zbroj 19 članova:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262,5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog obračuna što ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što bi se činilo nepotrebnim - S 1-19. I onda su odredili S 20-34, odbacivanje nepotrebnog iz cjelovitog rezultata. Ova vrsta “finte ušima” često vas spašava u gadnim problemima.)

U ovoj lekciji smo se bavili zadacima za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Praktični savjeti:

Prilikom rješavanja bilo kojeg problema koji uključuje zbroj aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula za n-ti član:

Ove formule će vam odmah reći što trebate tražiti iu kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.

Cool?) Savjet je skriven u bilješci za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nađite zbroj njegovih prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi se problemi često nalaze u Državnoj akademiji znanosti.

7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučila sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?

Je li teško?) Pomoći će dodatna formula iz 2. zadatka.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Prva razina

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019.)

Niz brojeva

Dakle, sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva napisali, uvijek možemo znati koji je prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Niz brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj specifičan je samo za jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema tri druga broja. Drugi broj (kao i th broj) uvijek je isti.
Broj s brojem naziva se th član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član tog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju tog člana: .

U našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Pojam "progresija" uveo je rimski pisac Boetije još u 6. stoljeću i shvaćao ga je u širem smislu kao beskonačni numerički niz. Naziv "aritmetika" prenesen je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

kužiš Usporedimo naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na zadanu progresiju () i pokušajmo pronaći vrijednost njenog th člana. postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Broj progresije možemo dodavati prethodnoj vrijednosti dok ne dođemo do 5. člana progresije. Dobro je što nemamo puno za rezimirati - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Što ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri zbrajanju brojeva.
Naravno, matematičari su se dosjetili da prethodnoj vrijednosti nije potrebno dodavati razliku aritmetičke progresije. Pogledajte malo bolje nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni obrazac, a to je:

Na primjer, pogledajmo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami na taj način pronaći vrijednost člana zadane aritmetičke progresije.

Jeste li izračunali? Usporedite svoje bilješke s odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti uzastopno dodali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - stavimo je u opći oblik i dobijemo:

Jednadžba aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećavajući se- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazni- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula koristi se u izračunu članova u rastućim i opadajućim članovima aritmetičke progresije.
Provjerimo ovo u praksi.
Dana nam je aritmetička progresija koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo koliki će biti th broj ove aritmetičke progresije ako upotrijebimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tad:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th član ove aritmetičke progresije.

Usporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Zakomplicirajmo problem – izvest ćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dan sljedeći uvjet:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počnete brojati po formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, zatim ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda tu nema ništa komplicirano, ali što ako su nam u uvjetu dati brojevi? Slažem se, postoji mogućnost pogreške u izračunima.
Sada razmislite je li moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da da, i to je ono što ćemo sada pokušati iznijeti.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njegovo pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

• prethodni izraz progresije je:
• sljedeći član progresije je:

Sažmimo prethodne i sljedeće uvjete napredovanja:

Ispada da je zbroj prethodnog i sljedećeg člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresivnog člana s poznatim prethodnim i sljedećim vrijednostima, morate ih zbrojiti i podijeliti s.

Tako je, dobili smo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost progresije, nije nimalo teško.

Dobro napravljeno! Znate gotovo sve o napredovanju! Ostalo je otkriti samo jednu formulu koju je, prema legendi, lako izveo jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kad je Carl Gauss imao 9 godina, učitelj, zauzet provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, zadao je sljedeći zadatak u razredu: "Izračunaj zbroj svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo." Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) minutu kasnije dao točan odgovor na zadatak, dok je većina drznikovih kolega nakon dugih računanja dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi lako možete uočiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -tih članova: Moramo pronaći zbroj ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno zbrojiti sve vrijednosti, ali što ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbroja njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Oslikajmo napredak koji nam je dan. Pažljivije promotri istaknute brojeve i pokušaj s njima izvoditi razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Što ste primijetili? Pravo! Njihovi zbrojevi su jednaki

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je dana? Naravno, točno polovica svih brojeva, tj.
Na temelju činjenice da je zbroj dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobivamo da je ukupni zbroj jednak:
.
Stoga će formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije biti:

U nekim problemima ne znamo th član, ali znamo razliku progresije. Pokušajte formulu th člana zamijeniti formulom zbroja.
Što si dobio?

Dobro napravljeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gaussu: izračunajte sami čemu je jednak zbroj brojeva koji počinju od th i zbroj brojeva koji počinju od th.

Koliko ste dobili?
Gauss je utvrdio da je zbroj članova jednak, a zbroj članova. Jesi li tako odlučio?

Naime, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki znanstvenik Diofant još u 3. stoljeću, a kroz to su vrijeme duhoviti ljudi u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najveći građevinski poduhvat tog vremena - izgradnju piramide... Slika prikazuje jednu njenu stranu.

Gdje je tu progresija, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju blokova pijeska u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko blokova je potrebno za izgradnju jednog zida ako se blok opeke postavljaju na podnožje. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. kužiš Bravo, savladali ste zbroj n-tih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u bazi, ali od? Pokušajte izračunati koliko je opeka od pijeska potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Točan odgovor je blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša se sprema za ljeto. Svaki dan povećava broj čučnjeva za. Koliko će puta Maša raditi čučnjeva u tjednu ako je čučnjeve radila na prvom treningu?
2. Koliki je zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom pohranjivanja cjepanica, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jednu cjepanicu manje od prethodne. Koliko je balvana u jednom zidu, ako su temelj zida balvani?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (tjedni = dani).

   Odgovor: Za dva tjedna Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je polovica, međutim, provjerimo ovu činjenicu pomoću formule za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   Odgovor: Zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Sjetimo se problema o piramidama. Za naš slučaj, a , budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, tada ukupno postoji hrpa slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   Odgovor: U zidanju su balvani.

Sažmimo to

1. - brojčani niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Treći član aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbroj članova aritmetičke progresije može se pronaći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČNA RAZINA

Niz brojeva

Sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi i tako dalje, odnosno možemo ih pobrojati. Ovo je primjer niza brojeva.

Niz brojeva je skup brojeva od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svakom broju se može pridružiti određeni prirodni broj, i to jedinstven. I nećemo ovaj broj dodijeliti nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj s brojem naziva se th član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član tog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju tog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može odrediti nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja slijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

Formula n-ti član

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali ti član, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, ti član progresije pomoću ove formule, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. Zatim:

Pa je li sad jasno koja je formula?

U svakom retku dodajemo, pomnožimo s nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo praktičnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Riješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo što:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je taj iznos u nekoliko minuta. Uočio je da je zbroj prvog i zadnjeg broja jednak, zbroj drugog i pretposljednjeg jednak, zbroj trećeg i 3. od kraja isti itd. Koliko je ukupno takvih parova? Tako je, točno polovica svih brojeva, tj. Tako,

Opća formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

Primjer:
Nađi zbroj svih dvoznamenkastih višekratnika.

Riješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći broj dobiva se zbrajanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju tvore aritmetičku progresiju s prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvoznamenkasti?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije bit će jednak. Zatim zbroj:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svaki dan sportaš pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u tjedan dana, ako je prvi dan pretrčao km m?
2. Biciklist svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko mu dana treba putovati da prijeđe kilometar? Koliko kilometara će prijeći tijekom zadnjeg dana svog putovanja?
3. Cijena hladnjaka u trgovini svake godine pada za isti iznos. Odredite koliko je cijena hladnjaka padala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njezine parametre. U ovom slučaju (tjedni = dani). Morate odrediti zbroj prvih članova ove progresije:
   .
   Odgovor:
2. Ovdje je dano: , mora se pronaći.
   Očito, trebate koristiti istu formulu zbroja kao u prethodnom problemu:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Root očito ne odgovara, pa je odgovor.
   Izračunajmo put prijeđen tijekom prošlog dana pomoću formule th člana:
   (km).
   Odgovor:

3. Dano: . Pronaći: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (trljati).
   Odgovor:

ARITMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

zapisuje se formulom, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućuje vam da lako pronađete član progresije ako su njegovi susjedni članovi poznati - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina za pronalaženje iznosa:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Pojam brojevnog niza podrazumijeva da svakom prirodnom broju odgovara neka stvarna vrijednost. Takav niz brojeva može biti proizvoljan ili imati određena svojstva - progresiju. U potonjem slučaju, svaki sljedeći element (član) niza može se izračunati pomoću prethodnog.

Aritmetička progresija je niz numeričkih vrijednosti u kojem se njegovi susjedni članovi razlikuju jedni od drugih za isti broj (svi elementi niza, počevši od 2., imaju slično svojstvo). Ovaj broj - razlika između prethodnog i sljedećeg člana - je konstantan i naziva se razlika progresije.

Razlika u progresiji: definicija

Razmotrimo niz koji se sastoji od j vrijednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pripada skupu prirodnih brojeva N. Aritmetika progresija je, prema svojoj definiciji, niz u kojem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vrijednost d je željena razlika ove progresije.

d = a(j) – a(j-1).

Istakni:

• Rastuća progresija, u kojem slučaju je d > 0. Primjer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Smanjenje progresije, zatim d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike i njeni proizvoljni elementi

Ako su poznata 2 proizvoljna člana progresije (i-ti, k-ti), tada se razlika za dati niz može odrediti na temelju odnosa:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, što znači d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika progresije i njenog prvog člana

Ovaj izraz će pomoći u određivanju nepoznate vrijednosti samo u slučajevima kada je poznat broj elementa niza.

Razlika progresije i njezin zbroj

Zbroj progresije je zbroj njenih članova. Za izračun ukupne vrijednosti njegovih prvih j elemenata upotrijebite odgovarajuću formulu:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ali budući da a(j) = a(1) + d(j – 1), tada je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Što je glavna suština formule?

Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Naravno, morate znati i prvi termin a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određeni napredak.

Pamćenje (ili pisanje) ove formule nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. I također da se ne zaboravi u pravom trenutku, da...) Kako ne zaboraviti- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako treba, svakako ću vas savjetovati. Za one koji dovrše lekciju do kraja.)

Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.

Što je uopće formula - zamišljamo.) Što je aritmetička progresija, broj članova, razlika progresije - jasno je objašnjeno u prethodnoj lekciji. Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što je to n-ti pojam.

Progresija se općenito može napisati kao niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo sa a 5, ako je sto dvadeseti - s a 120.

Kako ga možemo općenito definirati? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Jako jednostavno! Kao ovo:

a n

To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n skriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4 itd.

I što nam takav rekord daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova nam notacija daje moćan alat za rad s aritmetičkom progresijom. Koristeći notni zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti hrpu drugih problema napredovanja. Dalje ćete vidjeti sami.

U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- broj člana.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1; d I n. Svi problemi napredovanja vrte se oko ovih parametara.

Formula n-tog člana također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija određena uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može dovesti u slijepu ulicu... Nema ni niza ni razlike... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.

A može biti još gore!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvorite zagrade i navedite slične? Dobivamo novu formulu:

a n = 3 + 2n.

Ovaj Samo ne općenito, već za određeni napredak. Tu vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi član trojka. Iako je u stvarnosti prvi izraz pet... Malo niže ćemo raditi s tako modificiranom formulom.

U problemima progresije postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" izraz progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj za jedan veći od broja n. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n peti mandat dakle a n+1 bit će šesti član. itd.

Najčešće oznaka a n+1 nalaze u formulama ponavljanja. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako možemo odmah računati, recimo, dvadeseti mandat? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, ne možemo računati 20. To je temeljna razlika između rekurentne formule i formule n-tog člana. Ponavljajuće radi samo kroz prethodničlan, a formula n-tog člana je kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana prema njegovom broju. Bez izračunavanja cijelog niza brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji lako je rekurentnu formulu pretvoriti u regularnu. Prebrojite par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi član a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. U Državnoj akademiji znanosti često se susreću takvi zadaci.

Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

Dana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodavati i dodavati... Sat-dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete tempirati.) Odlučimo.

Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje otkriti što je jednako n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:

Molim obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se konkretan broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije. broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradi. Zamijenimo sve brojeve u formulu i izračunamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je sve. Isto tako brzo bi se mogao pronaći petsto deseti član, i tisuću treći, bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradi, i brojimo.

Dopustite mi da vas podsjetim na poantu: ova vam formula omogućuje pronalaženje bilo kojičlan aritmetičke progresije PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Riješimo problem na lukaviji način. Nailazimo na sljedeći problem:

Nađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako imate bilo kakvih poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapiši formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Zapišite rukama, direktno u svoju bilježnicu:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? Dostupno d=-0,5, postoji i sedamnaesti član... Je li to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...

Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). Oni. n=17. Ta “sitnica” često promakne pokraj glave i bez nje (bez “sitnice”, a ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako... i bez glave.)

Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

O da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamijenimo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je uglavnom sve. Preostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.

Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - velika je pomoć u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali što učiniti!? Bez ove vještine možda uopće nećete učiti matematiku...

Još jedna popularna zagonetka:

Nađite razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.

Što radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Razmotrimo ono što znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaknuti!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:

12=2 + (15-1)d

Mi radimo aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je točan odgovor.

Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučio. Sve što ostaje je naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamijenimo nam poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Ovdje su na prvi pogled nepoznate dvije veličine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije s brojem n...A mi znamo ovog člana progresije! 99 je. Ne znamo mu broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo član progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Utvrdite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napišimo formulu ponovno. Što, nema parametara? Hm... Zašto su nam dane oči?) Vidimo li prvi član progresije? Mi vidimo. Ovo je -3,6. Možete slobodno napisati: a 1 = -3,6. Razlika d Možete li reći iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Dakle, napravili smo najjednostavniju stvar. Ostaje još pozabaviti se nepoznatim brojem n a nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku barem se znalo da je zadan član progresije. Ali ovdje ni sami ne znamo... Što učiniti!? Pa što da radim, što da radim... Pali Kreativne vještine!)

Mi pretpostaviti da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. Oni. napišemo formulu (da, da!)) i zamijenimo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:

Ups! Broj je ispao razlomak! Sto jedan i pol. I razlomačke brojeve u progresijama ne može biti. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan naše progresije. Negdje je između sto prvog i sto drugog termina. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: Ne.

Zadatak temeljen na stvarnoj verziji GIA:

Aritmetička progresija dana je uvjetom:

a n = -4 + 6,8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Neka vrsta formule... Događa se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri fatalno je pogrešno!) Budući da je formula u zadatku modificirana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. U redu je, sada ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim problemima, zamjenjujemo n=1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Deseti član tražimo na isti način:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je sve.

A sada, za one koji su pročitali ove retke, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji na državnom ispitu ili jedinstvenom državnom ispitu zaboravili korisnu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Smiriti! Ovu je formulu lako izvesti. Nije jako strogo, ali je definitivno dovoljno za samopouzdanje i ispravnu odluku!) Da biste donijeli zaključak, dovoljno je sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati nekoliko minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.

Nacrtaj brojevnu crtu i na njoj označi prvu. drugi, treći itd. članova. I bilježimo razliku d između članova. Kao ovo:

Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Što je treći pojam? Treći pojam je prvi pojam plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

shvaćate li Nisam uzalud neke riječi podebljao. U redu, još jedan korak).

Što je četvrti pojam? Četvrta pojam je prvi pojam plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. d, Stalno jedan manje od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmaka htjeti n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih problema u matematici. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednadžbe, sustavi itd. Ne možete ubaciti sliku u jednadžbu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Zagrijati se:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Pronađite 3.

Hint: prema slici problem se može riješiti za 20 sekundi... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule, to je korisnije.) U odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjeti razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Nađi a 3 .

Što, ne želiš nacrtati sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...

3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite stotinu dvadeset peti član ove progresije.

U ovom zadatku, progresija je određena na ponavljajući način. Ali računajući do stotinu dvadeset i petog člana... Nije svatko sposoban za takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Odredite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uvjetima zadatka 4, pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Metoda "vrhom prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete pisati formule i rješavati jednadžbe.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Dogodilo se? Lijepo je!)

Ne ide sve? Događa se. Usput, postoji jedna suptilna točka u posljednjem zadatku. Prilikom čitanja problema bit će potreban oprez. I logika.

O rješenjima svih ovih problema raspravlja se detaljno u Odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilna točka za šesti, i opći pristupi za rješavanje bilo kojih problema koji uključuju formulu n-tog člana - sve je opisano. Preporučam.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.