Reducirana kvadratna jednadžba. Kvadratne jednadžbe

Jednadžba oblika

Izraz D= b 2 - 4 ak nazvao diskriminirajući kvadratna jednadžba. AkoD = 0, tada jednadžba ima jedan realan korijen; ako D> 0, onda jednadžba ima dva realna korijena.
U slučaju D = 0 , ponekad se kaže da kvadratna jednadžba ima dva identična korijena.
Koristeći notni zapis D= b 2 - 4 ak, možemo prepisati formulu (2) u obliku

Ako b= 2k, tada formula (2) ima oblik:

Gdje k= b / 2 .
Posljednja formula je posebno prikladna u slučajevima kada b / 2 - cijeli broj, tj. koeficijent b- Parni broj.
Primjer 1: Riješite jednadžbu 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Ovdje a = 2, b = -5, c = 2. Imamo D= b 2 - 4 ak = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Jer D > 0 , tada jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih pomoću formule (2)

Tako x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
to je x 1 = 2 I x 2 = 1 / 2 - korijeni zadane jednadžbe.
Primjer 2: Riješite jednadžbu 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Ovdje a = 2, b = -3, c = 5. Pronalaženje diskriminante D= b 2 - 4 ak = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Jer D 0 , tada jednadžba nema pravih korijena.

Nepotpune kvadratne jednadžbe. Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2 +bx+ c =0 drugi koeficijent b ili besplatni član c jednaka nuli, tada se zove kvadratna jednadžba nepotpun. Nepotpune jednadžbe su izdvojene jer za pronalaženje njihovih korijena ne morate koristiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe - jednadžbu je lakše riješiti rastavljanjem njezine lijeve strane na faktore.
Primjer 1: riješiti jednadžbu 2 x 2 - 5 x = 0 .
Imamo x(2 x - 5) = 0 . Dakle bilo x = 0 , ili 2 x - 5 = 0 , to je x = 2.5 . Dakle, jednadžba ima dva korijena: 0 I 2.5
Primjer 2: riješiti jednadžbu 3 x 2 - 27 = 0 .
Imamo 3 x 2 = 27 . Prema tome, korijeni ove jednadžbe su 3 I -3 .

Vietin teorem. Ako je reducirana kvadratna jednadžba x 2 +px+q =0 ima realne korijene, tada je njihov zbroj jednak - str, a umnožak je jednak q, to je

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(zbroj korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu).

Nastavljamo proučavati temu " rješavanje jednadžbi" Već smo se upoznali s linearnim jednadžbama i prelazimo na upoznavanje kvadratne jednadžbe.

Prvo ćemo pogledati što je kvadratna jednadžba, kako se piše u općem obliku i dati povezane definicije. Nakon toga ćemo koristiti primjere kako bismo detaljno ispitali kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Zatim ćemo prijeći na rješavanje potpunih jednadžbi, dobiti formulu korijena, upoznati se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmotriti rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Što je kvadratna jednadžba? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti što je kvadratna jednadžba. Stoga je logično razgovor o kvadratnim jednadžbama započeti definicijom kvadratne jednadžbe, kao i srodnim definicijama. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: reducirane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a nije nula.

Recimo odmah da se kvadratne jednadžbe često nazivaju jednadžbama drugog stupnja. To je zbog činjenice da je kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Navedena definicija omogućuje nam davanje primjera kvadratnih jednadžbi. Dakle, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. To su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojke a, b i c nazivaju se koeficijenti kvadratne jednadžbe a·x 2 +b·x+c=0, a koeficijent a se naziva prvi, ili najveći, ili koeficijent od x 2, b je drugi koeficijent, ili koeficijent od x, a c je slobodni član .

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu oblika 5 x 2 −2 x −3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent jednak −2, a slobodni član jednak −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo danom primjeru, kratki oblik kvadratne jednadžbe je 5 x 2 −2 x−3=0 , umjesto 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Vrijedno je napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, oni obično nisu eksplicitno prisutni u kvadratnoj jednadžbi, što je zbog osobitosti pisanja takvih . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0 vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent od y je jednak −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Ovisno o vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Navedimo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Naziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 dana kvadratna jednadžba. Inače je kvadratna jednadžba netaknuta.

Prema ovoj definiciji, kvadratne jednadžbe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 itd. – zadano, u svakom od njih prvi koeficijent je jednak jedan. A 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe, čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.

Od bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem obje strane s vodećim koeficijentom, možete prijeći na reduciranu. Ova radnja je ekvivalentna transformacija, odnosno tako dobivena reducirana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao i originalna nereducirana kvadratna jednadžba ili, kao i ona, nema korijena.

Pogledajmo primjer kako se izvodi prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer.

Od jednadžbe 3 x 2 +12 x−7=0 prijeđite na odgovarajuću reduciranu kvadratnu jednadžbu.

Riješenje.

Samo trebamo podijeliti obje strane izvorne jednadžbe s vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, tako da možemo izvesti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, a zatim (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odakle je . Tako smo dobili reduciranu kvadratnu jednadžbu, koja je ekvivalentna izvornoj.

Odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Definicija kvadratne jednadžbe sadrži uvjet a≠0. Ovaj uvjet je neophodan kako bi jednadžba a x 2 + b x + c = 0 bila kvadratna, budući da kada je a = 0 ona zapravo postaje linearna jednadžba oblika b x + c = 0.

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, pojedinačno i zajedno. U tim se slučajevima kvadratna jednadžba naziva nepotpunom.

Definicija.

Naziva se kvadratna jednadžba a x 2 +b x+c=0 nepotpun, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Sa svoje strane

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Takva imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedećih rasprava.

Ako je koeficijent b nula, tada kvadratna jednadžba ima oblik a·x 2 +0·x+c=0, te je ekvivalentna jednadžbi a·x 2 +c=0. Ako je c=0, tj. kvadratna jednadžba ima oblik a·x 2 +b·x+0=0, tada se može prepisati kao a·x 2 +b·x=0. A s b=0 i c=0 dobivamo kvadratnu jednadžbu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje. Otuda i njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednadžbe x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0.2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednadžbi, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka u prethodnom paragrafu proizlazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a·x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 kada je b=0 ;
• i a·x 2 +b·x=0 kada je c=0.

Ispitajmo redom kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svake od ovih vrsta.

a x 2 =0

Počnimo s rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno s jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednadžba a·x 2 =0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 =0 koja se dobiva iz izvorne dijeljenjem oba dijela s brojem a različitim od nule. Očito, korijen jednadžbe x 2 =0 je nula, budući da je 0 2 =0. Ova jednadžba nema drugih korijena, što se objašnjava činjenicom da za svaki broj p različit od nule vrijedi nejednakost p 2 >0, što znači da za p≠0 jednakost p 2 =0 nikada nije postignuta.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a·x 2 =0 ima jedan korijen x=0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4 x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 =0, njen jedini korijen je x=0, dakle, izvorna jednadžba ima jedan nulti korijen.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se napisati na sljedeći način:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b nula i c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da premještanje člana s jedne strane jednadžbe na drugu sa suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednadžbe s brojem koji nije nula, daje ekvivalentnu jednadžbu. Stoga možemo izvesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

• pomaknite c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 =−c,
• i obje strane podijelimo s a, dobivamo .

Rezultirajuća jednadžba omogućuje nam izvlačenje zaključaka o njezinim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, tada ) ili pozitivna (na primjer, ako je a=−2 i c=6, tada ), nije nula , jer po uvjetu c≠0. Pogledajmo slučajeve zasebno.

Ako je , tada jednadžba nema korijena. Ova tvrdnja proizlazi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se sjetimo o , tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan; to je broj, budući da . Lako je pogoditi da je broj također i korijen jednadžbe, doista, . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se može pokazati, na primjer, kontradikcijom. Učinimo to.

Označimo korijene upravo najavljene jednadžbe kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednadžba ima još jedan korijen x 2, različit od navedenih korijena x 1 i −x 1. Poznato je da zamjena njegovih korijena u jednadžbu umjesto x pretvara jednadžbu u ispravnu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 vrijedi , a za x 2 vrijedi . Svojstva numeričkih jednakosti omogućuju nam da izvršimo oduzimanje po članu ispravnih brojčanih jednakosti, tako da oduzimanje odgovarajućih dijelova jednakosti daje x 1 2 −x 2 2 =0. Svojstva operacija s brojevima dopuštaju nam da dobivenu jednakost prepišemo kao (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Znamo da je umnožak dvaju brojeva jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobivene jednakosti slijedi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0, što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 =−x 1. Tako smo došli do kontradikcije, jer smo na početku rekli da je korijen jednadžbe x 2 različit od x 1 i −x 1. Ovo dokazuje da jednadžba nema korijene osim i .

Sažmimo informacije u ovom odlomku. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi koja

• nema korijena ako,
• ima dva korijena i , ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0.

Počnimo s kvadratnom jednadžbom 9 x 2 +7=0. Nakon premještanja slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe, on će poprimiti oblik 9 x 2 =−7. Podijelimo li obje strane dobivene jednadžbe s 9, dolazimo do . Budući da desna strana ima negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7 = 0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednadžbu −x 2 +9=0. Devetku pomičemo na desnu stranu: −x 2 =−9. Sada obje strane podijelimo s −1, dobivamo x 2 =9. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega zaključujemo ili . Zatim zapisujemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednadžba −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje još pozabaviti se rješenjem zadnje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0. Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x = 0 omogućuju vam rješavanje metoda faktorizacije. Očito možemo, nalazi se na lijevoj strani jednadžbe, za što je dovoljno zajednički faktor x izvaditi iz zagrade. To nam omogućuje prijelaz s izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe na ekvivalentnu jednadžbu oblika x·(a·x+b)=0. A ova jednadžba je ekvivalentna skupu dviju jednadžbi x=0 i a·x+b=0, od kojih je potonja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a·x 2 +b·x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Izvlačenje x iz zagrada daje jednadžbu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Rješavamo dobivenu linearnu jednadžbu: , te dijeljenjem mješovitog broja običnim razlomkom nalazimo . Stoga su korijeni izvorne jednadžbe x=0 i .

Nakon stjecanja potrebne prakse, rješenja takvih jednadžbi mogu se ukratko napisati:

Odgovor:

x=0 , .

Diskriminanta, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Zapišimo to formula za korijene kvadratne jednadžbe: , Gdje D=b 2 −4 a c- tzv diskriminant kvadratne jednadžbe. Zapis u biti znači da .

Korisno je znati kako je izvedena formula korijena i kako se koristi u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajdemo shvatiti ovo.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu a·x 2 +b·x+c=0. Izvedimo neke ekvivalentne transformacije:

• Obje strane ove jednadžbe možemo podijeliti s brojem a koji nije nula, što rezultira sljedećom kvadratnom jednadžbom.
• Sada odaberite cijeli kvadrat na svojoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednadžba će dobiti oblik.
• U ovoj fazi moguće je zadnja dva člana prenijeti na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
• I također transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednadžbe koja je ekvivalentna izvornoj kvadratnoj jednadžbi a·x 2 +b·x+c=0.

Već smo riješili jednadžbe slične forme u prethodnim paragrafima, kada smo ispitivali. To nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

• ako je , tada jednadžba nema realnih rješenja;
• ako je , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojega je vidljiv njezin jedini korijen;
• if , tada ili , što je isto kao ili , odnosno jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe, a time i izvorne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza određen je predznakom brojnika, budući da je nazivnik 4·a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznakom izraza b 2 −4·a·c. Taj izraz b 2 −4 a c je nazvan diskriminant kvadratne jednadžbe i označen slovom D. Odavde je bit diskriminante jasna - na temelju njene vrijednosti i predznaka zaključuju ima li kvadratna jednadžba stvarne korijene, i ako ima, koliki je njihov broj - jedan ili dva.

Vratimo se jednadžbi i prepišimo je koristeći diskriminantni zapis: . I izvlačimo zaključke:

• ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako je D=0, tada ova jednadžba ima jedan korijen;
• konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili, koja se mogu prepisati u obliku ili, te nakon proširenja i dovođenja razlomaka na zajednički nazivnik dobivamo.

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, one izgledaju kao , gdje se diskriminant D izračunava po formuli D=b 2 −4·a·c.

Uz njihovu pomoć, uz pozitivnu diskriminantu, možete izračunati oba stvarna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminant jednak nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena, što odgovara jedinstvenom rješenju kvadratne jednadžbe. A s negativnim diskriminantom, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočavamo se s izvlačenjem kvadratnog korijena negativnog broja, što nas odvodi izvan okvira školskog programa. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravih korijena, ali ima par složeni konjugat korijena, koji se mogu pronaći pomoću istih formula korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, kada rješavate kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena za izračunavanje njihovih vrijednosti. Ali ovo se više odnosi na pronalaženje složenih korijena.

Međutim, u školskom tečaju algebre obično ne govorimo o složenim, već o stvarnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju, preporučljivo je prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe prvo pronaći diskriminantu, uvjeriti se da je nenegativna (u suprotnom možemo zaključiti da jednadžba nema prave korijene), pa tek onda izračunati vrijednosti korijena.

Gornje razmišljanje nam omogućuje da pišemo algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0 potrebno je:

• pomoću formule diskriminacije D=b 2 −4·a·c izračunati njezinu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema realnih korijena ako je diskriminanta negativna;
• izračunati jedini korijen jednadžbe pomoću formule ako je D=0;
• pronaći dva realna korijena kvadratne jednadžbe pomoću formule korijena ako je diskriminant pozitivan.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, također možete koristiti formulu, ona će dati istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere korištenja algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Razmotrimo rješenja triju kvadratnih jednadžbi s pozitivnom, negativnom i nultom diskriminantom. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, analogno će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednadžbu. Započnimo.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe x 2 +2·x−6=0.

Riješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: a=1, b=2 i c=−6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminant; zamijenimo naznačene a, b i c u formulu diskriminatora D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Kako je 28>0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih pomoću formule korijena, dobivamo , ovdje možete pojednostaviti dobivene izraze tako što ćete pomicanje množitelja izvan znaka korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

Odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riješenje.

Počinjemo pronalaženjem diskriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prema tome, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

Odgovor:

x=3,5.

Ostaje razmotriti rješavanje kvadratnih jednadžbi s negativnom diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednadžbu 5·y 2 +6·y+2=0.

Riješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednadžbe: a=5, b=6 i c=2. Zamjenjujemo ove vrijednosti u diskriminirajuću formulu koju imamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema pravih korijena.

Ako trebate naznačiti složene korijene, tada primjenjujemo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije s kompleksnim brojevima:

Odgovor:

nema pravih korijena, složeni korijeni su: .

Napomenimo još jednom da ako je diskriminant kvadratne jednadžbe negativan, tada u školi obično odmah zapišu odgovor u kojem navode da nema stvarnih korijena, a složeni korijeni nisu pronađeni.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje D=b 2 −4·a·c omogućuje vam dobivanje formule kompaktnijeg oblika, što vam omogućuje rješavanje kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x (ili jednostavno s koeficijent koji ima oblik 2·n, na primjer, ili 14· ln5=2·7·ln5 ). Izvucimo je van.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu oblika a x 2 +2 n x+c=0. Pronađimo njegove korijene pomoću formule koju poznajemo. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo korijensku formulu:

Označimo izraz n 2 −a c kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n imati oblik , gdje je D 1 =n 2 −a·c.

Lako je vidjeti da je D=4·D 1, odnosno D 1 =D/4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminante. Jasno je da je znak D 1 isti kao znak D . Odnosno, znak D 1 također je pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Dakle, da biste riješili kvadratnu jednadžbu s drugim koeficijentom 2·n, trebate

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako je D 1 =0, izračunajte jedini korijen jednadžbe pomoću formule;
• Ako je D 1 >0, pronađite dva stvarna korijena pomoću formule.

Razmotrimo rješavanje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom paragrafu.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Riješenje.

Drugi koeficijent ove jednadžbe može se prikazati kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati izvornu kvadratnu jednadžbu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ovdje a=5, n=−3 i c=−32, i izračunati četvrti dio diskriminirajući: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Budući da je njezina vrijednost pozitivna, jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih koristeći odgovarajuću formulu korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju moralo bi se obaviti više računalnog rada.

Odgovor:

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što počnete izračunavati korijene kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: "Je li moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe?" Složite se da će u računskom smislu biti lakše riješiti kvadratnu jednadžbu 11 x 2 −4 x−6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0.

Tipično, pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe postiže se množenjem ili dijeljenjem obje strane s određenim brojem. Na primjer, u prethodnom paragrafu bilo je moguće pojednostaviti jednadžbu 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100.

Slična transformacija provodi se s kvadratnim jednadžbama, čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, obje strane jednadžbe obično se dijele s apsolutnim vrijednostima njegovih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: NOD(12, 42, 48)= NOD(NOD(12, 42), 48)= NOD(6, 48)=6. Podijelimo li obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6, dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednadžbe 2 x 2 −7 x+8=0.

A množenje obiju strana kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili frakcijskih koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se provodi nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se obje strane kvadratne jednadžbe pomnože s LCM(6, 3, 1)=6, tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4·x−18=0.

U zaključku ove točke, napominjemo da se oni gotovo uvijek rješavaju minusa na najvišem koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) obje strane s −1. Na primjer, obično se prelazi s kvadratne jednadžbe −2 x 2 −3 x+7=0 na rješenje 2 x 2 +3 x−7=0 .

Veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe kroz njezine koeficijente. Na temelju formule korijena možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije formule iz Vietinog teorema su oblika i . Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0, možemo odmah reći da je zbroj njezinih korijena jednak 7/3, a umnožak korijena jednak 22 /3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe kroz njezine koeficijente: .

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata 1. dio. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ova se tema u početku može činiti kompliciranom zbog brojnih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge zapise, već se i korijeni nalaze pomoću diskriminante. Dobivene su ukupno tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje predlažemo njihovo eksplicitno bilježenje, kada se prvo upisuje najveći stupanj, a zatim u silaznom redoslijedu. Česte su situacije kada su termini nedosljedni. Tada je bolje prepisati jednadžbu silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedimo neke oznake. Oni su prikazani u tablici ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe svode se na sljedeću oznaku.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Označimo ovu formulu brojem jedan.

Kada je zadana jednadžba, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

• otopina će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• jednadžba uopće neće imati korijena.

I dok se odluka ne donese, teško je razumjeti koja će se opcija pojaviti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

U zadacima mogu postojati različiti unosi. Neće uvijek izgledati kao formula opće kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki pojmovi. Gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći izraz, dobit ćete nešto drugo. Ovi zapisi se također nazivaju kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, samo članovi s koeficijentima "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste; osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga - tri.

Diskriminanta i ovisnost broja korijena o njezinoj vrijednosti

Morate znati ovaj broj da biste izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminant, potrebno je koristiti dolje napisanu jednakost koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različitim predznacima. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. Ako je broj negativan, neće biti korijena kvadratne jednadžbe. Ako je jednak nuli, bit će samo jedan odgovor.

Kako riješiti kompletnu kvadratnu jednadžbu?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Zato što prvo treba pronaći diskriminant. Nakon što se utvrdi da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, potrebno je koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti sljedeću formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati drugačije.

Formula broj pet. Iz istog zapisa jasno je da ako je diskriminant jednak nuli, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješavanje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Nema čak ni potrebe za dodatnim formulama. A oni koji su već zapisani za diskriminant i nepoznato neće biti potrebni.

Prvo, pogledajmo nepotpunu jednadžbu broj dva. U ovoj jednakosti potrebno je nepoznatu veličinu izvaditi iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradi. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji množitelj koji se sastoji od same varijable. Drugi će se dobiti rješavanjem Linearna jednadžba.

Nepotpuna jednadžba broj tri rješava se pomicanjem broja s lijeve strane jednakosti na desnu. Zatim trebate podijeliti s koeficijentom okrenutim prema nepoznatom. Ostaje samo izvući Korijen i ne zaboravite to zapisati dva puta sa suprotnim predznacima.

U nastavku su navedeni neki koraci koji će vam pomoći da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Pomoći će učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci mogu uzrokovati loše ocjene pri proučavanju opsežne teme “Kvadratne jednadžbe (8. razred).” Nakon toga, ove se radnje neće morati stalno izvoditi. Jer će se pojaviti stabilna vještina.

• Najprije morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. To jest, prvo član s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.

• Ako se prije koeficijenta "a" pojavi minus, to može zakomplicirati posao početniku koji proučava kvadratne jednadžbe. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu sve jednakosti moraju se pomnožiti s “-1”. To znači da će svi članovi promijeniti predznak u suprotan.

• Preporuča se na isti način riješiti razlomaka. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 − 7x = 0. Ona je nepotpuna, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon što ga izvadimo iz zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se naći iz linearne jednadžbe: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x 2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se ona rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon pomicanja 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Treća jednadžba: 15 − 2x − x 2 = 0. U nastavku ćemo rješavanje kvadratnih jednadžbi započeti njihovim prepisivanjem u standardnom obliku: − x 2 − 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da upotrijebite drugi korisni savjet i sve pomnožite s minus jedan. Ispada da je x 2 + 2x - 15 = 0. Koristeći četvrtu formulu, trebate izračunati diskriminant: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Potrebno ih je izračunati pomoću pete formule. Ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x = 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 = 0. Njena diskriminanta jednaka je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminantu dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šesta jednadžba (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da trebate donijeti slične članove, prvo otvarajući zagrade. Umjesto prvog bit će sljedeći izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon što se prebroje slični članovi, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x = 0. Postao je nepotpun . Nešto slično ovome već je bilo riječi malo više. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Općinska proračunska obrazovna ustanova Srednja škola br. 11

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu

Povijest kvadratnih jednadžbi

Babilon

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog stupnja, već i drugog, u davna vremena bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina zemljišnih parcela, razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe mogle su se riješiti oko 2000. pr. e. Babilonci. Pravila za rješavanje ovih jednadžbi izložena u babilonskim tekstovima u biti su ista kao i moderna, ali tim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opće metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Drevna grčka

U staroj Grčkoj znanstvenici kao što su Diofant, Euklid i Heron također su radili na rješavanju kvadratnih jednadžbi. Diofant Diofant iz Aleksandrije starogrčki je matematičar koji je vjerojatno živio u 3. stoljeću nove ere. Glavno Diofantovo djelo je “Aritmetika” u 13 knjiga. Euklid. Euklid je starogrčki matematičar, autor prve teorijske rasprave o matematici koja je došla do nas, Heron. Heron - grčki matematičar i inženjer prvi u Grčkoj u 1. stoljeću nove ere. daje čisto algebarski način rješavanja kvadratne jednadžbe

Indija

Problemi o kvadratnim jednadžbama nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aryabhattiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (VII. stoljeće), iznio je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik: ax2 + bx = c, a> 0. (1) U jednadžbi (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptina vladavina je u biti ista kao naša. Javna natjecanja u rješavanju teških problema bila su uobičajena u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem nadmašuje zvijezde, tako će učen čovjek zasjeniti svoju slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su se često iznosili u poetskom obliku.

To je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. stoljeća. Bhaskars.

“Jato živahnih majmuna

I dvanaest uz trsje, najevši se do mile volje, zabavilo se

Počeli su skakati, viseći

Osmi dio njih na kvadrat

Koliko je bilo majmuna?

Zabavljao sam se na čistini

Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni. Bhaskar zapisuje jednadžbu koja odgovara problemu kao x2 - 64x = - 768 i, kako bi dovršio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje 322 objema stranama, a zatim dobiva: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratne jednadžbe u Europi 17. stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po uzoru na Al-Khorezmija u Europi su prvi put navedene u Knjizi o abaku, koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, u kojem se odražava utjecaj matematike, kako iz zemalja islama, tako i iz antičke Grčke, odlikuje se cjelovitošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja zadataka i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz Abakove knjige korišteni su u gotovo svim europskim udžbenicima 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII. Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupan je kod Viètea, ali Viète je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17.st. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan oblik.

Definicija kvadratne jednadžbe

Jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c brojevi, naziva se kvadratnom.

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

Brojevi a, b, c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. a je prvi koeficijent (ispred x²), a ≠ 0; c je slobodni član (bez x).

Koja od ovih jednadžbi nije kvadratna??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Vrste kvadratnih jednadžbi

Reducirana je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent jednak jedan. Takva se jednadžba može dobiti dijeljenjem cijelog izraza s vodećim koeficijentom a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kvadratna jednadžba se naziva potpunom ako su svi njeni koeficijenti različiti od nule.

Nepotpunom se naziva kvadratna jednadžba u kojoj je barem jedan od koeficijenata, osim vodećeg (bilo drugi koeficijent ili slobodni član), jednak nuli.

Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Metoda I Opća formula za izračunavanje korijena

Naći korijene kvadratne jednadžbe sjekira 2 + b + c = 0 Općenito, trebali biste koristiti algoritam u nastavku:

Izračunajte vrijednost diskriminante kvadratne jednadžbe: ovo je izraz za nju D= b 2 - 4ac

Izvođenje formule:

Bilješka: Očito je da je formula za korijen višestrukosti 2 poseban slučaj opće formule, dobiven supstitucijom jednakosti D = 0 u nju, a zaključak je da nema pravih korijena za D0, a (stil prikaza (sqrt (-1)) = i) = i.

Prikazana metoda je univerzalna, ali daleko od jedine. Rješavanju jedne jednadžbe može se pristupiti na različite načine, a preferencije obično ovise o rješavatelju. Osim toga, često se u tu svrhu neka od metoda pokaže mnogo elegantnijom, jednostavnijom i manje radno zahtjevnom od standardne.

II metoda. Korijeni kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom b III metoda. Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

IV metoda. Korištenje parcijalnih omjera koeficijenata

Postoje posebni slučajevi kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti u međusobnom odnosu, što ih čini mnogo lakšim za rješavanje.

Korijeni kvadratne jednadžbe u kojoj je zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana jednak drugom koeficijentu

Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2 + bx + c = 0 zbroj prvog koeficijenta i slobodnog člana jednak je drugom koeficijentu: a+b=c, tada su njegovi korijeni -1 i broj suprotan omjeru slobodnog člana prema vodećem koeficijentu ( -c/a).

Stoga, prije rješavanja bilo koje kvadratne jednadžbe, trebali biste provjeriti mogućnost primjene ovog teorema na nju: usporedite zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana s drugim koeficijentom.

Korijeni kvadratne jednadžbe čiji je zbroj svih koeficijenata nula

Ako je u kvadratnoj jednadžbi zbroj svih njezinih koeficijenata nula, tada su korijeni takve jednadžbe 1 i omjer slobodnog člana prema vodećem koeficijentu ( c/a).

Stoga, prije rješavanja jednadžbe standardnim metodama, trebali biste provjeriti primjenjivost ovog teorema na nju: zbrojite sve koeficijente ove jednadžbe i provjerite nije li taj zbroj jednak nuli.

V metoda. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne faktore

Ako je trinom oblika (stil prikaza ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) može se nekako predstaviti kao produkt linearnih faktora (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), tada možemo pronaći korijene jednadžbe sjekira 2 + bx + c = 0- bit će -m/k i n/l, doista, ipak (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0dugalijeva desna strelica kx+m=0čaša lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, a rješavanjem navedenih linearnih jednadžbi dobivamo gore navedeno. Imajte na umu da se kvadratni trinom ne rastavlja uvijek na linearne faktore sa stvarnim koeficijentima: to je moguće ako odgovarajuća jednadžba ima realne korijene.

Razmotrimo neke posebne slučajeve

Korištenje formule kvadrata zbroja (razlike).

Ako kvadratni trinom ima oblik (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , tada ga primjenom gornje formule na njega možemo rastaviti na linearne faktore i , dakle, pronađite korijene:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izdvajanje punog kvadrata zbroja (razlike)

Gornja formula također se koristi pomoću metode koja se zove "odabir punog kvadrata zbroja (razlike)". U odnosu na gornju kvadratnu jednadžbu s prethodno uvedenim oznakama, to znači sljedeće:

Bilješka: Ako primijetite, ova se formula podudara s onom predloženom u odjeljku "Korijeni reducirane kvadratne jednadžbe", koja se pak može dobiti iz opće formule (1) zamjenom jednakosti a=1. Ova činjenica nije samo slučajnost: korištenjem opisane metode, iako uz dodatno obrazloženje, može se izvesti opća formula i također dokazati svojstva diskriminante.

VI metoda. Korištenje izravnog i inverznog Vieta teorema

Vietin izravni teorem (vidi dolje u istoimenom odjeljku) i njegov inverzni teorem omogućuju usmeno rješavanje gornjih kvadratnih jednadžbi, bez pribjegavanja prilično glomaznim izračunima pomoću formule (1).

Prema obrnutom teoremu, svaki par brojeva (broj) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, budući da je rješenje sustava jednadžbi u nastavku, korijeni su jednadžbe

U općem slučaju, tj. za nereduciranu kvadratnu jednadžbu ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Izravni teorem pomoći će vam usmeno pronaći brojeve koji zadovoljavaju ove jednadžbe. Uz njegovu pomoć možete odrediti znakove korijena bez poznavanja samih korijena. Da biste to učinili, trebali biste slijediti pravilo:

1) ako je slobodni član negativan, tada korijeni imaju različite znakove, a najveći u apsolutnoj vrijednosti korijena ima znak suprotan znaku drugog koeficijenta jednadžbe;

2) ako je slobodni član pozitivan, tada oba korijena imaju isti predznak, a to je predznak suprotan predznaku drugog koeficijenta.

VII metoda. Način prijenosa

Takozvana metoda "prijenosa" omogućuje smanjenje rješenja nereduciranih i nesvodljivih jednadžbi na oblik reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima dijeljenjem s vodećim koeficijentom na rješenje reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima. To je kako slijedi:

Zatim se jednadžba usmeno rješava na gore opisani način, zatim se vraćaju na izvornu varijablu i pronalaze korijene jednadžbi (stil prikaza y_(1)=ax_(1)) g 1 = sjekira 1 I g 2 = sjekira 2 .(stil prikaza y_(2)=ax_(2))

Geometrijsko značenje

Graf kvadratne funkcije je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su apscise točaka presjeka parabole s osi apscisa. Ako parabola opisana kvadratnom funkcijom ne siječe x-os, jednadžba nema pravih korijena. Ako parabola siječe os x u jednoj točki (na vrhu parabole), jednadžba ima jedan pravi korijen (također se kaže da jednadžba ima dva korijena koja se podudaraju). Ako parabola siječe x-os u dvije točke, jednadžba ima dva stvarna korijena (vidi sliku desno.)

Ako koeficijent (stil prikaza a) a pozitivni, grane parabole usmjerene su prema gore i obrnuto. Ako koeficijent (stil prikaza b) bpozitivno (ako je pozitivno (stil prikaza a) a, ako je negativan, obrnuto), tada vrh parabole leži u lijevoj poluravnini i obrnuto.

Primjena kvadratnih jednadžbi u životu

Kvadratna jednadžba ima široku primjenu. Koristi se u mnogim izračunima, strukturama, sportovima, a također i oko nas.

Razmotrimo i navedimo neke primjere primjene kvadratne jednadžbe.

Sport. Visoki skokovi: tijekom zaleta skakača koriste se izračuni vezani uz parabolu kako bi se postigao najjasniji mogući udar na zalet i visoki let.

Također, slični izračuni su potrebni u bacanju. Domet leta objekta ovisi o kvadratnoj jednadžbi.

Astronomija. Putanje planeta mogu se pronaći pomoću kvadratne jednadžbe.

Let zrakoplovom. Polijetanje zrakoplova glavna je komponenta leta. Ovdje uzimamo izračun za mali otpor i ubrzanje polijetanja.

Kvadratne jednadžbe također se koriste u raznim ekonomskim disciplinama, u programima za obradu zvuka, videa, vektorske i rasterske grafike.

Zaključak

Kao rezultat obavljenog rada pokazalo se da su kvadratne jednadžbe privlačile znanstvenike već u davnim vremenima, s njima su se susretali i pokušavali ih riješiti. Promatrajući različite načine rješavanja kvadratnih jednadžbi, došao sam do zaključka da nisu svi jednostavni. Po mom mišljenju, najbolji način za rješavanje kvadratnih jednadžbi je njihovo rješavanje pomoću formula. Formule se lako pamte, ova metoda je univerzalna. Potvrđena je hipoteza da se jednadžbe široko koriste u životu i matematici. Nakon proučavanja teme naučio sam mnoge zanimljive činjenice o kvadratnim jednadžbama, njihovoj upotrebi, primjeni, vrstama, rješenjima. I rado ću ih nastaviti proučavati. Nadam se da će mi ovo pomoći da dobro položim ispite.

Popis korištene literature

Materijali stranice:

Wikipedia

Otvorena lekcija.rf

Priručnik za elementarnu matematiku Vygodsky M. Ya.