Aritmetička i geometrijska progresija. Zbroj beskonačne geometrijske progresije na

Uputa

10, 30, 90, 270...

Potrebno je pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Riješenje:

1 opcija. Uzmimo proizvoljni član progresije (npr. 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.

Ako je poznat zbroj nekoliko članova geometrijske progresije ili zbroj svih članova padajuće geometrijske progresije, tada za pronalaženje nazivnika progresije koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbroj prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbroj svih članova progresije s nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.

Prvi član padajuće geometrijske progresije jednak je jedan, a zbroj svih njegovih članova jednak je dva.

Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Riješenje:

Zamijenite podatke iz zadatka u formulu. Dobiti:
2=1/(1-q), odakle – q=1/2.

Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji svaki sljedeći član dobiva se množenjem prethodnog s određenim brojem q koji se naziva nazivnik progresije.

Uputa

Ako su poznata dva susjedna člana geometrije b(n+1) i b(n), da bi se dobio nazivnik, potrebno je broj s velikim brojem podijeliti s onim koji mu prethodi: q=b(n +1)/b(n). To proizlazi iz definicije progresije i njezina nazivnika. Važan uvjet je da prvi član i nazivnik progresije nisu jednaki nuli, inače se smatra neodređenom.

Tako se između članova progresije uspostavljaju sljedeće relacije: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Po formuli b(n)=b1 q^(n-1) može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojem su poznati nazivnik q i član b1. Također, svaka od progresija po modulu jednaka je prosjeku svojih susjednih članova: |b(n)|=√, stoga je progresija dobila svoj .

Analog geometrijske progresije je najjednostavnija eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x u eksponentu, a je neki broj. U ovom slučaju, nazivnik progresije podudara se s prvim članom i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti član progresije, ako se argument x uzme kao prirodni broj n (brojač).

Postoji za zbroj prvih n članova geometrijske progresije: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ova formula vrijedi za q≠1. Ako je q=1, tada se zbroj prvih n članova izračunava formulom S(n)=n b1. Usput, progresiju ćemo zvati rastućom za q veće od jedan i pozitivno b1. Kada nazivnik progresije, modulo ne prelazi jedan, progresiju ćemo zvati opadajućom.

Poseban slučaj geometrijske progresije je beskonačno padajuća geometrijska progresija (b.u.g.p.). Činjenica je da će se članovi padajuće geometrijske progresije uvijek iznova smanjivati, ali nikada neće doći do nule. Unatoč tome, moguće je pronaći zbroj svih članova takve progresije. Određuje se formulom S=b1/(1-q). Ukupan broj članova n je beskonačan.

Da biste vizualizirali kako možete zbrojiti beskonačan broj brojeva, a ne dobiti beskonačnost, ispecite kolač. Odrežite pola. Zatim odrežite 1/2 polovice, i tako dalje. Dijelovi koje ćete dobiti nisu ništa drugo nego članovi beskonačno padajuće geometrijske progresije s nazivnikom 1/2. Ako spojite sve ove komadiće, dobit ćete originalnu tortu.

Geometrijski problemi su posebna vrsta vježbe koja zahtijeva prostorno razmišljanje. Ako ne možete riješiti geometrijski zadatak pokušajte slijediti dolje navedena pravila.

Uputa

Vrlo pažljivo pročitajte uvjet zadatka, ako se nečega ne sjećate ili ne razumijete, ponovno ga pročitajte.

Pokušajte utvrditi o kakvim se geometrijskim problemima radi, npr.: računski, kada treba saznati neku vrijednost, zadaci koji zahtijevaju logičko zaključivanje, zadaci za građenje pomoću šestara i ravnala. Više mješovitih problema. Nakon što shvatite vrstu problema, pokušajte razmišljati logično.

Primijenite potrebni teorem za ovaj problem, ako postoje nedoumice ili uopće nema opcija, pokušajte se sjetiti teorije koju ste proučavali o relevantnoj temi.

Napravite i nacrt problema. Pokušajte poznatim metodama provjeriti točnost svog rješenja.

Dovršite rješenje problema uredno u bilježnicu, bez mrlja i precrtanih znakova, i što je najvažnije - Možda će trebati vremena i truda da se riješe prvi geometrijski problemi. Međutim, nakon što se snađete u ovom procesu, počet ćete klikati zadatke poput oraha i zabavljati se radeći to!

Geometrijska progresija je niz brojeva b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) takav da je b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Drugim riječima, svaki član progresije dobiva se iz prethodnog množenjem s nekim nazivnikom progresije q koji nije nula.

Uputa

Zadaci o progresiji najčešće se rješavaju sastavljanjem i praćenjem sustava s obzirom na prvi član progresije b1 i nazivnik progresije q. Za pisanje jednadžbi korisno je zapamtiti neke formule.

Kako izraziti n-ti član progresije kroz prvi član progresije i nazivnik progresije: b(n)=b1*q^(n-1).

Razmotrimo posebno slučaj |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Geometrijska progresija, uz aritmetiku, važan je niz brojeva koji se proučava u školskom tečaju algebre u 9. razredu. U ovom ćemo članku razmotriti nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na svojstva.

Definicija geometrijske progresije

Za početak dajemo definiciju ovog niza brojeva. Geometrijska progresija je niz racionalnih brojeva koji se formira uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa konstantnim brojem koji se naziva nazivnik.

Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožimo 3 (prvi element) sa 2, dobit ćemo 6. Ako pomnožimo 6 sa 2, dobit ćemo 12, i tako dalje.

Članovi niza koji se razmatra obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.

Gornja definicija progresije može se jezikom matematike napisati na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, tada je b1-1 = 1, te dobivamo a1 = a1. Ako je n = 2, tada je an = b * a1, i opet dolazimo do definicije niza brojeva koji se razmatra. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.

Nazivnik geometrijske progresije

Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati cijeli niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije dovode do različitih sekvenci:

• b > 1. Postoji sve veći niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će se cijeli niz povećavati samo modulo, ali smanjivati ​​uzimajući u obzir predznak brojeva.
• b = 1. Često se takav slučaj ne naziva progresijom, budući da postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.

Formula za zbroj

Prije nego što prijeđemo na razmatranje specifičnih problema koristeći nazivnik vrste progresije koja se razmatra, treba dati važnu formulu za zbroj njenih prvih n elemenata. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni niz članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da biste pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.

Beskonačno padajući niz

Gore je bilo objašnjenje što je to. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da svaki broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike potencije, to jest, b∞ => 0 ako je -1

Kako će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jednoznačno je određen predznakom njenog prvog elementa a1.

Sada ćemo razmotriti nekoliko problema, gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.

Zadatak broj 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbroja

Zadana je geometrijska progresija, nazivnik progresije je 2, a njen prvi element je 3. Koliki će biti njen 7. i 10. član, a koliki je zbroj njenih sedam početnih elemenata?

Uvjet problema je prilično jednostavan i uključuje izravnu upotrebu gornjih formula. Dakle, za izračun elementa s brojem n koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenom poznatih podataka dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.

Koristimo dobro poznatu formulu za zbroj i tu vrijednost određujemo za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Zadatak broj 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije

Neka -2 bude nazivnik eksponencijalne progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbroj od 5. do uključivo 10. elementa ovog niza.

Postavljeni problem ne može se izravno riješiti pomoću poznatih formula. Može se riješiti na 2 različita načina. Radi cjelovitosti, predstavljamo oboje.

Metoda 1. Ideja je jednostavna: morate izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim od jednog oduzeti drugi. Izračunajte manji zbroj: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veliki zbroj: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu zbrojena samo 4 člana, budući da je 5. već uključen u zbroj koji treba izračunati prema uvjetu problema. Na kraju, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbroj između članova m i n predmetnog niza. Ponašamo se na potpuno isti način kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom zbroja. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u dobiveni izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Zadatak broj 3. Što je nazivnik?

Neka je a1 = 2, nađi nazivnik geometrijske progresije, uz uvjet da je njegov beskonačni zbroj 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.

Prema uvjetu zadatka nije teško pogoditi kojom formulom ga treba riješiti. Naravno, za zbroj beskonačno opadajuće progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje zamijeniti poznate vrijednosti ​​i dobiti traženi broj: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ili -0,333 (3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu niza, modul b ne smije prelaziti 1. Kao što vidite, |-1 / 3|

Zadatak broj 4. Vraćanje niza brojeva

Neka su dana 2 elementa niza brojeva, npr. 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Potrebno je obnoviti cijeli niz iz tih podataka, znajući da on zadovoljava svojstva geometrijske progresije.

Da biste riješili zadatak, morate prvo napisati odgovarajući izraz za svaki poznati član. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada dijelimo drugi izraz s prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo nazivnik uzimajući korijen petog stupnja omjera članova poznatog iz uvjeta problema, b = 1,148698. Zamijenimo dobiveni broj u jedan od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Dakle, našli smo koliki je nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.

Gdje se koriste geometrijske progresije?

Kad ne bi bilo primjene ovog numeričkog niza u praksi, njegovo bi se proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali postoji takva aplikacija.

U nastavku su navedena 3 najpoznatija primjera:

• Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahil ne može sustići sporu kornjaču, rješava se konceptom beskonačno padajućeg niza brojeva.
• Ako se zrna pšenice stave na svaku ćeliju šahovske ploče tako da se 1 zrno stavi u 1. ćeliju, 2 - u 2., 3 - u 3. i tako dalje, tada će biti potrebno 18446744073709551615 zrna da se popune sve ćelije šahovske ploče. Ploča!
• U igrici "Tower of Hanoi", da bi se presložili diskovi s jedne šipke na drugu, potrebno je izvršiti 2n - 1 operaciju, odnosno njihov broj eksponencijalno raste od broja diskova n koji se koriste.

Povezana lekcija “Beskonačno padajuća geometrijska progresija” (algebra, 10. razred)

Svrha lekcije: upoznavanje učenika s novom vrstom niza – beskonačno padajućom geometrijskom progresijom.

Oprema: projektor, platno.

Vrsta lekcije: Lekcija - svladavanje nove teme.

Tijekom nastave

ja . Org. trenutak. Poruka o temi i svrsi lekcije.

II . Obnavljanje znanja učenika.

U 9. razredu učili ste aritmetičku i geometrijsku progresiju.

Pitanja

1. Definicija aritmetičke progresije. (Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju.)

2. Formula n-ti član aritmetičke progresije (
)

3. Formula za zbroj prvog nčlanovi aritmetičke progresije.

(
ili
)

4. Definicija geometrijske progresije. (Geometrijska progresija je niz brojeva različitih od nule, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem.)

5. Formula n-ti član geometrijske progresije (

)

6. Formula za zbroj prve nčlanovi geometrijske progresije. (
)

7. Koje formule još znaš?

(
, gdje
;
;
;
,
)

5. Za geometrijsku progresiju
pronađite peti član.

6. Za geometrijsku progresiju
pronaći n-ti član.

7. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Pronaći b 4 . (4)

8. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Pronaći b 1 i q .

9. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Pronaći S 5 . (62)

III . Istraživanje nove teme(pokazni prikaz).

Razmotrimo kvadrat sa stranicom jednakom 1. Nacrtajmo još jedan kvadrat čija je stranica polovica prvog kvadrata, zatim još jedan čija je stranica polovica drugog kvadrata, zatim sljedeći i tako dalje. Svaki put je stranica novog kvadrata polovica prethodne.

Kao rezultat, dobili smo niz stranica kvadrata tvoreći geometrijsku progresiju s nazivnikom .

I što je vrlo važno, što više budemo gradili takvih kvadrata, stranica će kvadrata biti manja. Na primjer,

Oni. kako se broj n povećava, članovi progresije se približavaju nuli.

Uz pomoć ove figure može se razmotriti još jedan niz.

Na primjer, niz površina kvadrata:

. I opet, ako n raste neograničeno, tada se područje proizvoljno približava nuli.

Razmotrimo još jedan primjer. Jednakostranični trokut sa stranicom 1 cm. Izgradimo sljedeći trokut s vrhovima u središtima stranica 1. trokuta, prema teoremu o srednjoj liniji trokuta - stranica 2. jednaka je polovici stranice prvog, stranica 3. je polovici stranice trokuta. 2. itd. Opet dobivamo niz duljina stranica trokuta.

na
.

Ako uzmemo u obzir geometrijsku progresiju s negativnim nazivnikom.

Zatim, opet, sa sve većim brojevima n uvjeti progresije približavaju se nuli.

Obratimo pozornost na nazivnike ovih nizova. Svugdje su nazivnici bili manji od 1 modula.

Možemo zaključiti: geometrijska progresija će biti beskonačno padajuća ako je modul njezina nazivnika manji od 1.

Definicija:

Kaže se da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća ako je modul njezina nazivnika manji od jedan.
.

Uz pomoć definicije moguće je riješiti pitanje je li geometrijska progresija beskonačno padajuća ili ne.

Zadatak

Je li niz beskonačno padajuća geometrijska progresija ako je dan formulom:

;
.

Riješenje:

. Nađimo q .

;
;
;
.

ova geometrijska progresija je beskonačno opadajuća.

b) ovaj niz nije beskonačno padajuća geometrijska progresija.

Razmotrite kvadrat sa stranicom jednakom 1. Podijelite ga na pola, jednu od polovica ponovno na pola, i tako dalje. površine svih rezultirajućih pravokutnika čine beskonačno padajuću geometrijsku progresiju:

Zbroj površina svih tako dobivenih pravokutnika bit će jednak površini 1. kvadrata i jednak 1.

Geometrijska progresija ništa manje važno u matematici nego u aritmetici. Geometrijska progresija je takav niz brojeva b1, b2,..., b[n] čiji je svaki sljedeći član dobiven množenjem prethodnog s konstantnim brojem. Ovaj broj, koji također karakterizira stopu rasta ili smanjenja progresije, naziva se nazivnik geometrijske progresije i označavaju

Za potpuno zadavanje geometrijske progresije, osim nazivnika, potrebno je znati ili odrediti njen prvi član. Za pozitivnu vrijednost nazivnika progresija je monoton niz, a ako je taj niz brojeva monotono opadajući i monotono rastući kada. Slučaj kada je nazivnik jednak jedan ne razmatra se u praksi, jer imamo niz identičnih brojeva, a njihovo zbrajanje nije od praktičnog interesa

Opći pojam geometrijske progresije izračunati prema formuli

Zbroj prvih n članova geometrijske progresije određena formulom

Razmotrimo rješenja klasičnih problema geometrijske progresije. Počnimo s najjednostavnijim za razumijevanje.

Primjer 1. Prvi član geometrijske progresije je 27, a nazivnik mu je 1/3. Pronađite prvih šest članova geometrijske progresije.

Rješenje: Zapisujemo uvjet zadatka u obrazac

Za izračune koristimo formulu za n-ti član geometrijske progresije

Na temelju njega nalazimo nepoznate članove progresije

Kao što vidite, izračunavanje članova geometrijske progresije nije teško. Sama progresija će izgledati ovako

Primjer 2. Zadana su prva tri člana geometrijske progresije: 6; -12; 24. Nađi nazivnik i sedmi član.

Rješenje: Nazivnik geometrijske progresije izračunavamo na temelju njene definicije

Dobili smo izmjeničnu geometrijsku progresiju čiji je nazivnik -2. Sedmi član izračunava se formulom

Na ovaj zadatak je riješen.

Primjer 3. Geometrijska progresija dana je s dva svoja člana . Pronađite deseti član progresije.

Riješenje:

Zapišimo zadane vrijednosti kroz formule

Prema pravilima, bilo bi potrebno pronaći nazivnik, a zatim tražiti željenu vrijednost, ali za deseti član imamo

Ista se formula može dobiti na temelju jednostavnih manipulacija s ulaznim podacima. Šesti član niza dijelimo s drugim, kao rezultat koji dobivamo

Ako se dobivena vrijednost pomnoži sa šestim članom, dobit ćemo deseti

Dakle, za takve probleme, uz pomoć jednostavnih transformacija na brz način, možete pronaći pravo rješenje.

Primjer 4. Geometrijska progresija dana je rekurentnim formulama

Nađite nazivnik geometrijske progresije i zbroj prvih šest članova.

Riješenje:

Zadane podatke zapisujemo u obliku sustava jednadžbi

Izrazite nazivnik dijeljenjem druge jednadžbe s prvom

Pronađite prvi član progresije iz prve jednadžbe

Izračunajte sljedećih pet članova da biste pronašli zbroj geometrijske progresije

Razmotrimo seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg njegovog elementa točno četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je progresija.

Geometrijska progresija je beskonačni niz brojeva čija je glavna značajka da se sljedeći broj dobiva iz prethodnog množenjem s određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Period kada se u školi uči geometrijska progresija je 9. razred. Primjeri će vam pomoći razumjeti koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na temelju ove formule, nazivnik progresije može se pronaći na sljedeći način:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

Prema tome, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate pomnožiti posljednji s q.

Da biste specificirali ovu progresiju, morate specificirati njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih članova i njihov zbroj.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko vrsta:

• Ako su i a 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvog prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Tada se numerički niz može napisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

• Ako je |q| manje od jedan, odnosno množenje njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima padajuća geometrijska progresija. Primjer takvog prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veće od jedan, q je manje.

Tada se numerički niz može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji mu slijedi.

• Predznak-varijabla. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3 , q = -2 - oba su parametra manja od nule.

Tada se niz može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Za prikladnu upotrebu geometrijskih progresija postoje mnoge formule:

• Formula z-tog člana. Omogućuje vam izračunavanje elementa pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.

Riješenje:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Zbroj prvih elemenata čiji je broj z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednako 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz broja koji se beskonačno ponavlja.

Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S 5 .

Riješenje:S 5 = 22 - izračun po formuli.

• Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Riješenje:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neka svojstva:

• karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet izvedena za bilo kojiz, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od tog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , gdjetje udaljenost između tih brojeva.

• Elementirazlikuju se u qjednom.
• Logaritmi elemenata progresije također tvore progresiju, ali već aritmetičku, to jest, svaki od njih je veći od prethodnog za određeni broj.

Primjeri nekih klasičnih problema

Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjem za 9. razred.

• Pojmovi:a 1 = 3, a 3 = 48. Pronađiteq.

Rješenje: svaki sljedeći element veći je od prethodnog uq jednom.Potrebno je izraziti neke elemente kroz druge pomoću nazivnika.

Posljedično,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

• Pojmovi:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6 .

Riješenje:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , Posljedično,q= 2

a 2 = q a 1,zato a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: za to je dovoljno četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

• Klijent banke položio je depozit u iznosu od 10.000 rubalja, prema uvjetima koje će klijent svake godine dodati 6% na glavnicu. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: početni iznos je 10 tisuća rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja na računu će biti iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Sukladno tome, iznos na računu nakon još godinu dana bit će izražen na sljedeći način:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je dan prvim elementom jednakim 10 tisuća, a nazivnikom jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri zadataka za izračunavanje zbroja:

U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih treba zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.

Riješenje:

Geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno za izračunavanje zbroja potrebno je znati elementa 1 i nazivnikq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično tome, moramo pronaćia 1 , znajućia 2 iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.