Online kalkulator.
Izoliranje kvadrata binoma i faktoring kvadratnog trinoma.

Ovaj matematički program razlikuje kvadratni binom od kvadratnog trinoma, tj. radi transformaciju poput:
\(ax^2+bx+c \desna strelica a(x+p)^2+q \) i faktorizira kvadratni trinom: \(ax^2+bx+c \desna strelica a(x+n)(x+m) \)

Oni. problemi se svode na pronalaženje brojeva \(p, q\) i \(n, m\)

Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces rješavanja.

Ovaj program može biti koristan za učenike srednjih škola u općim školama kada se pripremaju za testove i ispite, kada testiraju znanje prije Jedinstvenog državnog ispita, a roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.

Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina edukacije u području rješavanja problema povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog trinoma, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Brojeve je moguće unijeti kao cijele ili razlomke.
Štoviše, frakcijski brojevi mogu se unijeti ne samo u obliku decimalnog, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak može biti odvojen od cijelog dijela točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Pri unosu brojčanog razlomka brojnik se od nazivnika odvaja znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersand: &
Unos: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U tom slučaju se prilikom rješavanja uvedeni izraz prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Primjer detaljnog rješenja

Izoliranje kvadrata binoma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \desno)\cdot x+2 \cdot \lijevo(\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\lijevo (x^2 + 2 \cdot\lijevo(\frac(1)(2) \desno)\cdot x + \lijevo(\frac(1)(2) \desno)^2 \desno)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\lijevo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2\lijevo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\lijevo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \lijevo(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \desno) = $$ $$ 2 \lijevo(x \lijevo(x +2 \desno) -1 \lijevo(x +2 \desno) ) \desno) = $$ $$ 2 \lijevo(x -1 \desno) \lijevo(x +2 \desno) $$ Odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2 \lijevo(x -1 \desno) \lijevo(x +2 \desno) $$

Odlučiti

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Izoliranje kvadrata binoma od kvadratnog trinoma

Ako je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen kao a(x+p) 2 +q, gdje su p i q realni brojevi, tada kažemo da iz kvadrat trinoma, kvadrat binoma je istaknut.

Iz trinoma 2x 2 +12x+14 izdvajamo kvadrat binoma.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Da biste to učinili, zamislite 6x kao umnožak 2*3*x, a zatim dodajte i oduzmite 3 2. Dobivamo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Da. Mi izdvojiti kvadratni binom iz kvadratnog trinoma, i pokazao da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore

Ako je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen u obliku a(x+n)(x+m), gdje su n i m realni brojevi, tada se kaže da je operacija izvršena faktorizacija kvadratnog trinoma.

Pokažimo na primjeru kako se ta transformacija izvodi.

Rastavimo kvadratni trinom na faktore 2x 2 +4x-6.

Izvadimo koeficijent a iz zagrade, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformirajmo izraz u zagradama.
Da biste to učinili, zamislite 2x kao razliku 3x-1x, a -3 kao -1*3. Dobivamo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Da. Mi faktorizirao kvadratni trinom, i pokazao da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Imajte na umu da je rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore moguće samo ako kvadratna jednadžba koja odgovara tom trinomu ima korijene.
Oni. u našem slučaju, moguće je faktorizirati trinom 2x 2 +4x-6 ako kvadratna jednadžba 2x 2 +4x-6 =0 ima korijene. U procesu faktorizacije utvrdili smo da jednadžba 2x 2 + 4x-6 = 0 ima dva korijena 1 i -3, jer s ovim vrijednostima, jednadžba 2(x-1)(x+3)=0 pretvara se u pravu jednakost.

Knjige (udžbenici) Sažeci jedinstvenog državnog ispita i testovi jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Crtanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik žargona mladih Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih ustanova Rusije Katalog ruskih sveučilišta Popis zadataka

Proširivanje polinoma da bi se dobio produkt ponekad može izgledati zbunjujuće. Ali nije tako teško ako proces razumijete korak po korak. Članak detaljno opisuje kako faktorizirati kvadratni trinom.

Mnogi ljudi ne razumiju kako faktorizirati kvadratni trinom i zašto se to radi. U početku se to može činiti kao uzaludna vježba. Ali u matematici se ništa ne radi uzalud. Transformacija je neophodna radi pojednostavljenja izraza i lakšeg izračuna.

Polinom oblika – ax²+bx+c, naziva se kvadratni trinom. Izraz "a" mora biti negativan ili pozitivan. U praksi se ovaj izraz naziva kvadratna jednadžba. Stoga ponekad kažu drugačije: kako proširiti kvadratnu jednadžbu.

Zanimljiv! Polinom se naziva kvadratom zbog svog najvećeg stupnja, kvadrata. I trinom - zbog 3 komponente.

Neke druge vrste polinoma:

• linearni binom (6x+8);
• kubni kvadrinom (x³+4x²-2x+9).

Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore

Prvo, izraz je jednak nuli, a zatim morate pronaći vrijednosti korijena x1 i x2. Možda nema korijena, može biti jedan ili dva korijena. Prisutnost korijena određena je diskriminantom. Njegovu formulu morate znati napamet: D=b²-4ac.

Ako je rezultat D negativan, nema korijena. Ako je pozitivan, postoje dva korijena. Ako je rezultat nula, korijen je jedan. Korijeni se također izračunavaju pomoću formule.

Ako je pri izračunavanju diskriminante rezultat nula, možete koristiti bilo koju od formula. U praksi se formula jednostavno skraćuje: -b / 2a.

Formule za različite diskriminativne vrijednosti su različite.

Ako je D pozitivan:

Ako je D nula:

Online kalkulatori

Na internetu postoji online kalkulator. Može se koristiti za izvođenje faktorizacije. Neki resursi pružaju mogućnost pregleda rješenja korak po korak. Takve usluge pomažu boljem razumijevanju teme, ali morate je pokušati dobro razumjeti.

Koristan video: Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore

Primjeri

Predlažemo da pogledate jednostavne primjere kako faktorizirati kvadratnu jednadžbu.

Primjer 1

Ovo jasno pokazuje da je rezultat dva x jer je D pozitivan. Treba ih zamijeniti u formulu. Ako se korijeni pokažu negativni, predznak u formuli mijenja se u suprotan.

Znamo formulu za rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore: a(x-x1)(x-x2). Stavljamo vrijednosti u zagrade: (x+3)(x+2/3). Ne postoji broj ispred člana u potenciji. To znači da postoji jedan tamo, ide dolje.

Primjer 2

Ovaj primjer jasno pokazuje kako riješiti jednadžbu koja ima jedan korijen.

Zamjenjujemo dobivenu vrijednost:

Primjer 3

Dano: 5x²+3x+7

Prvo izračunajmo diskriminantu, kao u prethodnim slučajevima.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanta je negativna, što znači da nema korijena.

Nakon primitka rezultata otvorite zagrade i provjerite rezultat. Trebao bi se pojaviti izvorni trinom.

Alternativno rješenje

Neki ljudi se nikada nisu uspjeli sprijateljiti s diskriminatorom. Postoji još jedan način faktorizacije kvadratnog trinoma. Radi praktičnosti, metoda je prikazana s primjerom.

Zadano je: x²+3x-10

Znamo da bismo trebali dobiti 2 zagrade: (_)(_). Kada izraz izgleda ovako: x²+bx+c, na početku svake zagrade stavljamo x: (x_)(x_). Preostala dva broja su umnožak koji daje "c", tj. u ovom slučaju -10. Jedini način da saznate koji su to brojevi je odabirom. Zamijenjeni brojevi moraju odgovarati preostalom pojmu.

Na primjer, množenje sljedećih brojeva daje -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ne.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ne.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ne.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Odgovara.

To znači da transformacija izraza x2+3x-10 izgleda ovako: (x-2)(x+5).

Važno! Trebate paziti da ne pobrkate znakove.

Proširenje kompleksnog trinoma

Ako je "a" veće od jedan, počinju poteškoće. Ali sve nije tako teško kao što se čini.

Za rastavljanje na faktore prvo morate vidjeti može li se nešto rastaviti na faktore.

Na primjer, dat je izraz: 3x²+9x-30. Ovdje je broj 3 izvučen iz zagrade:

3(x²+3x-10). Rezultat je već dobro poznati trinom. Odgovor izgleda ovako: 3(x-2)(x+5)

Kako rastaviti ako je član koji se nalazi u kvadratu negativan? U ovom slučaju, broj -1 je izdvojen iz zagrada. Na primjer: -x²-10x-8. Izraz će tada izgledati ovako:

Shema se malo razlikuje od prethodne. Ima samo nekoliko novih stvari. Recimo da je dan izraz: 2x²+7x+3. Odgovor je također upisan u 2 zagrade koje je potrebno popuniti (_)(_). U 2. zagradi je napisano x, a u 1. ono što je ostalo. To izgleda ovako: (2x_)(x_). Inače se ponavlja prethodna shema.

Broj 3 je dan brojevima:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Jednadžbe rješavamo zamjenom ovih brojeva. Posljednja opcija je prikladna. To znači da transformacija izraza 2x²+7x+3 izgleda ovako: (2x+1)(x+3).

Ostali slučajevi

Nije uvijek moguće pretvoriti izraz. Kod druge metode rješavanje jednadžbe nije potrebno. Ali mogućnost pretvaranja termina u produkt provjerava se samo preko diskriminante.

Vrijedno je vježbati rješavanje kvadratnih jednadžbi tako da pri korištenju formula nema poteškoća.

Koristan video: rastavljanje trinoma na faktore

Zaključak

Možete ga koristiti na bilo koji način. Ali bolje je vježbati oboje dok ne postanu automatski. Također, naučiti kako dobro rješavati kvadratne jednadžbe i faktorirati polinome potrebno je za one koji planiraju svoj život povezati s matematikom. Sve sljedeće matematičke teme izgrađene su na tome.

U ovom članku pronaći ćete sve potrebne informacije za odgovor na pitanje, kako rastaviti broj na proste faktore. Prvo je dana opća ideja rastavljanja broja na proste faktore i dani su primjeri rastavljanja. Sljedeće prikazuje kanonski oblik rastavljanja broja na proste faktore. Nakon toga dan je algoritam za rastavljanje proizvoljnih brojeva na proste faktore i navedeni su primjeri rastavljanja brojeva pomoću ovog algoritma. Također se razmatraju alternativne metode koje vam omogućuju brzo rastavljanje malih cijelih brojeva na proste faktore pomoću testova djeljivosti i tablice množenja.

Navigacija po stranici.

Što znači rastaviti broj na proste faktore?

Prvo, pogledajmo što su prosti faktori.

Jasno je da, budući da je riječ "faktori" prisutna u ovoj frazi, onda postoji proizvod nekih brojeva, a kvalificirajuća riječ "jednostavno" znači da je svaki faktor prost broj. Na primjer, u produktu oblika 2·7·7·23 postoje četiri prosta faktora: 2, 7, 7 i 23.

Što znači rastaviti broj na proste faktore?

To znači da taj broj mora biti predstavljen kao umnožak prostih faktora, a vrijednost tog umnoška mora biti jednaka izvornom broju. Kao primjer, razmotrite umnožak tri prosta broja 2, 3 i 5, on je jednak 30, stoga je rastavljanje broja 30 na proste faktore 2·3·5. Obično se rastavljanje broja na proste faktore piše kao jednakost; u našem primjeru to će biti ovako: 30=2·3·5. Posebno naglašavamo da se prosti faktori u proširenju mogu ponavljati. To je jasno ilustrirano sljedećim primjerom: 144=2·2·2·2·3·3. Ali prikaz oblika 45=3·15 nije rastavljanje na proste faktore, budući da je broj 15 složeni broj.

Postavlja se sljedeće pitanje: "Koji se brojevi mogu rastaviti na proste faktore?"

U potrazi za odgovorom na njega, donosimo sljedeće obrazloženje. Prosti brojevi, po definiciji, spadaju među one koji su veći od jedan. S obzirom na ovu činjenicu i , može se tvrditi da je proizvod nekoliko prostih faktora pozitivan cijeli broj veći od jedan. Stoga se rastavljanje na proste faktore događa samo za pozitivne cijele brojeve koji su veći od 1.

Ali mogu li se svi cijeli brojevi veći od jedan rastaviti na proste faktore?

Jasno je da nije moguće rastaviti jednostavne cijele brojeve na proste faktore. To je zato što prosti brojevi imaju samo dva pozitivna faktora - jedan i sebe, pa se ne mogu prikazati kao umnožak dva ili više prostih brojeva. Kad bi se cijeli broj z mogao predstaviti kao umnožak prostih brojeva a i b, tada bi nam koncept djeljivosti omogućio zaključak da je z djeljiv i s a i s b, što je nemoguće zbog jednostavnosti broja z. Međutim, oni vjeruju da je svaki prosti broj sam po sebi dekompozicija.

Što je sa složenim brojevima? Rastavljaju li se složeni brojevi na proste faktore i podliježu li svi složeni brojevi takvom rastavljanju? Temeljni teorem aritmetike daje potvrdan odgovor na brojna od ovih pitanja. Osnovni teorem aritmetike kaže da se svaki cijeli broj a koji je veći od 1 može rastaviti na umnožak prostih faktora p 1, p 2, ..., p n, a rastavljanje ima oblik a = p 1 · p 2 · … · p n, a ovo je širenje jedinstveno, ako ne uzmete u obzir redoslijed faktora

Kanonska faktorizacija broja na proste faktore

U proširenju broja prosti faktori se mogu ponavljati. Ponavljajući prosti faktori mogu se napisati kompaktnije koristeći . Neka se u rastavljanju broja prosti faktor p 1 pojavljuje s 1 puta, prosti faktor p 2 – s 2 puta, i tako dalje, p n – s n puta. Tada se prosta faktorizacija broja a može napisati kao a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Ovaj oblik snimanja je tzv kanonsko rastavljanje broja na proste faktore.

Navedimo primjer kanonske dekompozicije broja na proste faktore. Javite nam razgradnju 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, njegov kanonski zapis ima oblik 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Kanonska faktorizacija broja na proste faktore omogućuje vam da pronađete sve djelitelje broja i broj djelitelja broja.

Algoritam za rastavljanje broja na proste faktore

Da biste se uspješno nosili sa zadatkom rastavljanja broja na proste faktore, morate vrlo dobro poznavati informacije u članku prosti i složeni brojevi.

Bit postupka rastavljanja prirodnog cijelog broja a koji je veći od jedinice jasna je iz dokaza temeljnog teorema aritmetike. Poanta je sekvencijalno pronaći najmanje proste djelitelje p 1, p 2, ..., p n brojeva a, a 1, a 2, ..., a n-1, što nam omogućuje da dobijemo niz jednakosti a=p 1 ·a 1, gdje je a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , gdje je a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , gdje je a n =a n-1:p n . Kada se ispostavi da je n =1, tada će nam jednakost a=p 1 ·p 2 ·…·p n dati željenu dekompoziciju broja a na proste faktore. Ovdje također treba napomenuti da p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Ostaje otkriti kako pronaći najmanje proste faktore u svakom koraku i imat ćemo algoritam za rastavljanje broja na proste faktore. Tablica prostih brojeva pomoći će nam pronaći proste faktore. Pokažimo kako ga koristiti da dobijemo najmanji prosti djelitelj broja z.

Redom uzimamo proste brojeve iz tablice prostih brojeva (2, 3, 5, 7, 11 i tako dalje) i dijelimo zadani broj z s njima. Prvi prosti broj kojim je z ravnomjerno podijeljen bit će njegov najmanji prosti djelitelj. Ako je broj z prost, tada će njegov najmanji prosti djelitelj biti sam broj z. Ovdje se treba podsjetiti da ako z nije prost broj, tada njegov najmanji prosti djelitelj ne prelazi broj , gdje je iz z. Dakle, ako među prostim brojevima koji ne prelaze , nije bilo niti jednog djelitelja broja z, onda možemo zaključiti da je z prost broj (više o tome piše u dijelu teorije pod naslovom Ovaj broj je prost ili složen ).

Kao primjer pokazat ćemo kako pronaći najmanji prosti djelitelj broja 87. Uzmimo broj 2. Podijelimo 87 sa 2, dobivamo 87:2=43 (preostalo 1) (ako je potrebno, pogledajte članak). Odnosno, pri dijeljenju 87 sa 2, ostatak je 1, tako da 2 nije djelitelj broja 87. Uzimamo sljedeći prosti broj iz tablice prostih brojeva, ovo je broj 3. Podijelimo 87 sa 3, dobivamo 87:3=29. Dakle, 87 je djeljivo sa 3, dakle, broj 3 je najmanji prosti djelitelj broja 87.

Imajte na umu da nam je u općem slučaju, za rastavljanje broja a na proste faktore, potrebna tablica prostih brojeva do broja koji nije manji od . Na ovu tablicu ćemo se morati pozivati ​​na svakom koraku, stoga je moramo imati pri ruci. Na primjer, da faktoriziramo broj 95 na proste faktore, trebat će nam samo tablica prostih brojeva do 10 (budući da je 10 veće od ). A za rastavljanje broja 846 653 već će vam trebati tablica prostih brojeva do 1000 (budući da je 1000 veće od ).

Sada imamo dovoljno podataka za zapisati algoritam za rastavljanje broja na proste faktore. Algoritam za rastavljanje broja a je sljedeći:

• Redoslijedom redajući brojeve iz tablice prostih brojeva nalazimo najmanji prosti djelitelj p 1 broja a, nakon čega izračunavamo a 1 =a:p 1. Ako je a 1 =1, tada je broj a prost, a sam je njegovo rastavljanje na proste faktore. Ako a 1 nije jednako 1, tada imamo a=p 1 ·a 1 i idemo na sljedeći korak.
• Pronalazimo najmanji prosti djelitelj p 2 broja a 1 , da bismo to učinili redom razvrstavamo brojeve iz tablice prostih brojeva, počevši od p 1 , a zatim izračunavamo a 2 =a 1:p 2 . Ako je a 2 =1, tada tražena dekompozicija broja a na proste faktore ima oblik a=p 1 ·p 2. Ako a 2 nije jednako 1, tada imamo a=p 1 ·p 2 ·a 2 i prelazimo na sljedeći korak.
• Prolazeći kroz brojeve iz tablice prostih brojeva, počevši od p 2, nalazimo najmanji prosti djelitelj p 3 broja a 2, nakon čega izračunavamo a 3 =a 2:p 3. Ako je a 3 =1, tada tražena dekompozicija broja a na proste faktore ima oblik a=p 1 ·p 2 ·p 3. Ako a 3 nije jednako 1, tada imamo a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 i prelazimo na sljedeći korak.
• Najmanji prosti djelitelj p n broja a n-1 nalazimo sortiranjem prostih brojeva, počevši od p n-1, kao i a n =a n-1:p n, a n je jednako 1. Ovaj korak je posljednji korak algoritma, ovdje dobivamo traženu dekompoziciju broja a na proste faktore: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Radi jasnoće, svi rezultati dobiveni u svakom koraku algoritma za rastavljanje broja na proste faktore prikazani su u obliku sljedeće tablice, u kojoj su brojevi a, a 1, a 2, ..., a n ispisani redom. u stupcu lijevo od okomite crte, a desno od crte - odgovarajući najmanji prosti djelitelji p 1, p 2, ..., p n.

Ostaje samo razmotriti nekoliko primjera primjene dobivenog algoritma za rastavljanje brojeva na proste faktore.

Primjeri proste faktorizacije

Sada ćemo pogledati u detalje primjeri rastavljanja brojeva na proste faktore. Pri dekompoziciji ćemo koristiti algoritam iz prethodnog odlomka. Počnimo s jednostavnim slučajevima i postupno ih komplicirajmo kako bismo se susreli sa svim mogućim nijansama koje nastaju pri rastavljanju brojeva na proste faktore.

Primjer.

Rastavite broj 78 na proste faktore.

Riješenje.

Počinjemo tražiti prvi najmanji prosti djelitelj p 1 broja a=78. Da bismo to učinili, počinjemo sekvencijalno sortirati proste brojeve iz tablice prostih brojeva. Uzmemo broj 2 i podijelimo 78 s njim, dobijemo 78:2=39. Broj 78 dijeli se s 2 bez ostatka, pa je p 1 =2 prvi pronađeni prosti djelitelj broja 78. U ovom slučaju, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Tako dolazimo do jednakosti a=p 1 ·a 1 koja ima oblik 78=2·39. Očito je da se 1 =39 razlikuje od 1, pa prelazimo na drugi korak algoritma.

Sada tražimo najmanji prosti djelitelj p 2 broja a 1 =39. Počinjemo nabrajati brojeve iz tablice prostih brojeva, počevši od p 1 =2. Podijelimo 39 sa 2, dobivamo 39:2=19 (preostalo 1). Kako 39 nije ravnomjerno djeljiv s 2, tada 2 nije djelitelj. Zatim uzmemo sljedeći broj iz tablice prostih brojeva (broj 3) i njime podijelimo 39, dobijemo 39:3=13. Dakle, p 2 =3 je najmanji prosti djelitelj broja 39, dok je a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Imamo jednakost a=p 1 ·p 2 ·a 2 u obliku 78=2·3·13. Budući da je 2 =13 različito od 1, prelazimo na sljedeći korak algoritma.

Ovdje treba pronaći najmanji prosti djelitelj broja a 2 =13. U potrazi za najmanjim prostim djeliteljem p 3 broja 13 redoslijedom ćemo poredati brojeve iz tablice prostih brojeva počevši od p 2 =3. Broj 13 nije djeljiv sa 3, jer je 13:3=4 (ostatak 1), također 13 nije djeljiv sa 5, 7 i 11, jer je 13:5=2 (ostatak 3), 13:7=1 (ost. 6) i 13:11=1 (ost. 2). Sljedeći prosti broj je 13, a 13 je djeljiv s njim bez ostatka, dakle, najmanji prosti djelitelj p 3 od 13 je sam broj 13, a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Budući da je a 3 =1, ovaj korak algoritma je posljednji, a tražena dekompozicija broja 78 na proste faktore ima oblik 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Odgovor:

78=2·3·13.

Primjer.

Izrazite broj 83 006 kao umnožak prostih faktora.

Riješenje.

U prvom koraku algoritma za rastavljanje broja na proste faktore nalazimo p 1 =2 i a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, odakle je 83,006=2·41,503.

U drugom koraku saznajemo da 2, 3 i 5 nisu prosti djelitelji broja a 1 =41,503, ali broj 7 jesu, jer je 41,503:7=5,929. Imamo p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Dakle, 83,006=2 7 5 929.

Najmanji prosti djelitelj broja a 2 =5 929 je broj 7, jer je 5 929:7 = 847. Dakle, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, odakle je 83 006 = 2·7·7·847.

Zatim nalazimo da je najmanji prosti djelitelj p 4 broja a 3 =847 jednak 7. Tada je a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, pa je 83 006=2·7·7·7·121.

Sada nalazimo najmanji prosti djelitelj broja a 4 =121, to je broj p 5 =11 (jer je 121 djeljiv sa 11, a ne djeljiv sa 7). Tada je a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, i 83 006=2·7·7·7·11·11.

Konačno, najmanji prosti djelitelj broja a 5 =11 je broj p 6 =11. Tada je a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Kako je a 6 =1, ovaj korak algoritma za rastavljanje broja na proste faktore je posljednji, a željena dekompozicija ima oblik 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Dobiveni rezultat može se napisati kao kanonska dekompozicija broja na proste faktore 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Odgovor:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 je prost broj. Doista, nema niti jedan prosti djelitelj koji ne prelazi ( može se grubo procijeniti kao , jer je očito da 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Odgovor:

897 924 289 = 937 967 991 .

Korištenje testova djeljivosti za proste faktore

U jednostavnim slučajevima, možete rastaviti broj na proste faktore bez korištenja algoritma za rastavljanje iz prvog odlomka ovog članka. Ako brojevi nisu veliki, onda je za njihovo rastavljanje na proste faktore često dovoljno poznavati znakove djeljivosti. Navedimo primjere radi pojašnjenja.

Na primjer, moramo rastaviti broj 10 na proste faktore. Iz tablice množenja znamo da je 2·5=10, a brojevi 2 i 5 su očito prosti, pa rastavljanje broja 10 na proste faktore izgleda kao 10=2·5.

Još jedan primjer. Koristeći tablicu množenja, rastaviti ćemo broj 48 na proste faktore. Znamo da je šest osam - četrdeset osam, odnosno 48 = 6·8. Međutim, ni 6 ni 8 nisu prosti brojevi. Ali znamo da je dva puta tri šest, a dva puta četiri osam, odnosno 6=2·3 i 8=2·4. Tada je 48=6·8=2·3·2·4. Ostaje zapamtiti da su dva i dva četiri, tada dobivamo željenu dekompoziciju na proste faktore 48 = 2·3·2·2·2. Zapišimo ovu ekspanziju u kanonskom obliku: 48=2 4 ·3.

No kada rastavljate broj 3400 na proste faktore, možete koristiti kriterij djeljivosti. Predznaci djeljivosti s 10, 100 nam omogućuju da kažemo da je 3400 djeljivo sa 100, pri čemu je 3400=34·100, a 100 je djeljivo s 10 pri čemu je 100=10·10, dakle, 3400=34·10·10. A na temelju testa djeljivosti s 2, možemo reći da je svaki od faktora 34, 10 i 10 djeljiv s 2, dobivamo 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Svi faktori u rezultirajućoj ekspanziji su jednostavni, pa je ova ekspanzija željena. Sve što preostaje je presložiti faktore tako da idu uzlaznim redoslijedom: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Zapišimo i kanonsko rastavljanje tog broja na proste faktore: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Kada rastavljate zadani broj na proste faktore, možete redom koristiti i znake djeljivosti i tablicu množenja. Zamislimo broj 75 kao umnožak prostih faktora. Test djeljivosti s 5 omogućuje nam da tvrdimo da je 75 djeljivo s 5, a dobivamo da je 75 = 5·15. A iz tablice množenja znamo da je 15=3·5, dakle, 75=5·3·5. Ovo je tražena dekompozicija broja 75 na proste faktore.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. i drugi. 6. razred: udžbenik za općeobrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Udžbenik za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških zavoda.

Što učiniti ako ste u procesu rješavanja zadatka s Jedinstvenog državnog ispita ili na prijamnom ispitu iz matematike dobili polinom koji se ne može faktorizirati standardnim metodama koje ste učili u školi? U ovom članku, učitelj matematike će vam reći o jednoj učinkovitoj metodi, čije je proučavanje izvan okvira školskog programa, ali uz pomoć koje faktoring polinoma nije teško. Pročitajte ovaj članak do kraja i pogledajte priloženi video tutorial. Znanje koje steknete pomoći će vam na ispitu.

Rastavljanje polinoma na faktore metodom dijeljenja

U slučaju da ste dobili polinom veći od drugog stupnja i uspjeli pogoditi vrijednost varijable pri kojoj taj polinom postaje jednak nuli (npr. ta je vrijednost jednaka ), znajte! Ovaj polinom se može podijeliti sa .

Na primjer, lako je vidjeti da polinom četvrtog stupnja nestaje na . To znači da se može podijeliti bez ostatka s , čime se dobije polinom trećeg stupnja (manje za jedan). Odnosno, predstavite ga u obliku:

Gdje A, B, C I D- neki brojevi. Proširimo zagrade:

Budući da koeficijenti za iste stupnjeve moraju biti isti, dobivamo:

Dakle, dobili smo:

Samo naprijed. Dovoljno je proći kroz nekoliko malih cijelih brojeva da vidimo da je polinom trećeg stupnja opet djeljiv s . To rezultira polinomom drugog stupnja (manji za jedan). Zatim prijeđite na novi unos:

Gdje E, F I G- neki brojevi. Ponovno otvaramo zagrade i dolazimo do sljedećeg izraza:

Opet, iz uvjeta jednakosti koeficijenata za iste stupnjeve, dobivamo:

Tada dobivamo:

To jest, izvorni polinom može se faktorizirati na sljedeći način:

U principu, po želji, koristeći formulu razlike kvadrata, rezultat se također može prikazati u sljedećem obliku:

Evo jednostavnog i učinkovitog načina faktoriranja polinoma. Zapamtite ga, može vam koristiti na ispitu ili natjecanju iz matematike. Provjerite jeste li naučili koristiti ovu metodu. Pokušajte sami riješiti sljedeći zadatak.

Faktoriziraj polinom:

Svoje odgovore napišite u komentarima.

Materijal pripremio Sergey Valerievich

Pogledajmo konkretne primjere kako faktorizirati polinom.

Polinome ćemo proširiti u skladu s .

Faktor polinoma:

Provjerimo postoji li zajednički faktor. da, jednako je 7cd. Izvadimo to iz zagrada:

Izraz u zagradi sastoji se od dva pojma. Više nema zajedničkog faktora, izraz nije formula za zbroj kubova, što znači da je razlaganje završeno.

Provjerimo postoji li zajednički faktor. Ne. Polinom se sastoji od tri člana, pa provjeravamo postoji li formula za puni kvadrat. Dva člana su kvadrati izraza: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², treći član je jednak dvostrukom umnošku ovih izraza: 2∙5x∙3y=30xy. To znači da je taj polinom potpuni kvadrat. Budući da dvostruki umnožak ima znak minus, to je:

Provjeravamo je li moguće zajednički faktor izvaditi iz zagrade. Postoji zajednički faktor, on je jednak a. Izvadimo to iz zagrada:

U zagradama su dva pojma. Provjeravamo postoji li formula za razliku kvadrata ili razliku kubova. a² je kvadrat od a, 1=1². To znači da se izraz u zagradama može napisati pomoću formule razlike kvadrata:

Postoji zajednički faktor, jednak je 5. Izbacimo ga iz zagrada:

u zagradi su tri pojma. Provjeravamo je li izraz potpuni kvadrat. Dva člana su kvadrati: 16=4² i a² - kvadrat od a, treći član je jednak dvostrukom umnošku 4 i a: 2∙4∙a=8a. Dakle, to je savršen kvadrat. Budući da svi članovi imaju znak "+", izraz u zagradama je potpuni kvadrat zbroja:

Ukupni množitelj -2x izbacujemo iz zagrada:

U zagradama je zbroj dva člana. Provjeravamo je li ovaj izraz zbroj kubova. 64=4³, x³- kocka x. To znači da se binom može proširiti pomoću formule:

Postoji zajednički množitelj. No, budući da se polinom sastoji od 4 člana, prvo ćemo, pa tek onda, zajednički faktor izbaciti iz zagrade. Grupirajmo prvi član s četvrtim, a drugi s trećim:

Iz prve zagrade izvadimo zajednički faktor 4a, iz druge - 8b:

Još ne postoji zajednički množitelj. Da bismo ga dobili, izvadimo "-" iz druge zagrade, a svaki znak u zagradi promijeni se u suprotan:

Sada izbacimo zajednički faktor (1-3a) iz zagrada:

U drugim zagradama nalazi se zajednički faktor 4 (to je isti faktor koji nismo izbacili iz zagrada na početku primjera):

Budući da se polinom sastoji od četiri člana, vršimo grupiranje. Grupirajmo prvi član s drugim, treći s četvrtim:

U prvim zagradama nema zajedničkog faktora, ali postoji formula za razliku kvadrata, u drugim zagradama zajednički faktor je -5:

Pojavio se zajednički množitelj (4m-3n). Izbacimo to iz zagrade.