Pronađite skup svih antiderivata. Funkcija F(x) se zove antiderivacija za funkciju f(x) ako je F`(x)=f(x) ili dF(x)=f(x)dx

antiderivativan

Definicija antiderivacijske funkcije

• Funkcija y=F(x) naziva se antiderivacija za funkciju y=f(x) u zadanom intervalu X, ako za sve x ∈x jednakost vrijedi: F′(x) = f(x)

Može se čitati na dva načina:

1. f izvod funkcije F
2. F antiderivat za funkciju f

svojstvo antiderivata

• Ako a F(x)- antiderivat za funkciju f(x) na zadanom intervalu, tada funkcija f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve te antiderivacije mogu se napisati kao F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Geometrijska interpretacija

• Grafovi svih antiderivacija zadane funkcije f(x) dobivaju se iz grafa bilo koje antiderivacije paralelnim prijenosima duž O osi na.

Pravila za računanje antiderivacija

1. Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija. Ako a F(x)- primitivno za f(x), a G(x) je antiderivacija za g(x), onda F(x) + G(x)- primitivno za f(x) + g(x).
2. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije. Ako a F(x)- primitivno za f(x), i k je tada konstantna kF(x)- primitivno za kf(x).
3. Ako a F(x)- primitivno za f(x), i k,b- trajno, i k ≠ 0, onda 1/k F(kx + b)- primitivno za f(kx + b).

Zapamtiti!

Bilo koja funkcija F (x) \u003d x 2 + C , gdje je C proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je antiderivacija za funkciju f(x) = 2x.

• Na primjer:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, jer F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, jer F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Odnos između grafova funkcije i njezine antiderivacije:

1. Ako je graf funkcije f(x)>0 F(x) povećava u ovom intervalu.
2. Ako je graf funkcije f(x)<0 na intervalu, zatim graf njegove antiderivacije F(x) smanjuje u ovom intervalu.
3. Ako a f(x)=0, zatim graf njegove antiderivacije F(x) u ovoj točki mijenja se od povećanja do pada (ili obrnuto).

Za označavanje antiderivacije koristi se znak neodređenog integrala, odnosno integrala bez naznake granica integracije.

Neodređeni integral

Definicija:

• Neodređeni integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, odnosno skup svih antiderivacija zadane funkcije f(x). Neodređeni integral se označava na sljedeći način: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) naziva se integrand;
• f(x) dx- naziva se integrand;
• x- naziva se varijabla integracije;
• F(x)- jedna od antiderivacija funkcije f(x);
• IZ je proizvoljna konstanta.

Svojstva neodređenog integrala

1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Konstantni faktor integranda može se uzeti iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integral zbroja (razlike) funkcija jednak je zbroju (razlici) integrala ovih funkcija: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Ako a k,b su konstante, a k ≠ 0, tada \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tablica antiderivacija i neodređenih integrala

Funkcija f(x)	antiderivativan F(x) + C	Neodređeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \ cos x	F(x)=\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newton–Leibnizova formula

Neka f(x) ovu funkciju, F svoje proizvoljne primitivne.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

gdje F(x)- primitivno za f(x)

Odnosno, integral funkcije f(x) na intervalu jednaka je razlici antiderivacija u točkama b i a.

Površina krivocrtnog trapeza

Krivolinijski trapez naziva se figura omeđena grafom nenegativne i kontinuirane funkcije na segmentu f, os Ox i ravne linije x = a i x = b.

Površina krivocrtnog trapeza nalazi se pomoću Newton-Leibnizove formule:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Vidjeli smo da derivacija ima brojne primjene: derivacija je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); derivacija je nagib tangente na graf funkcije; koristeći izvod, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; Derivat pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali u stvarnom životu treba rješavati i obrnute probleme: na primjer, uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja, postoji i problem vraćanja zakona gibanja prema poznatoj brzini. Razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1 Materijalna točka se giba pravocrtno, brzina njezina kretanja u trenutku t dana je formulom u = tg. Pronađite zakon gibanja.

Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = u"(t). Dakle, da bismo riješili problem, moramo izabrati funkcija s = s(t), čija je derivacija jednaka tg. Lako je to pogoditi

Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo da Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon gibanja, jer

Kako bi zadatak bio konkretniji, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pokretne točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer, u t=0. Ako je, recimo, s (0) \u003d s 0, tada iz jednakosti dobivamo s (0) \u003d 0 + C, tj. S 0 \u003d C. Sada je zakon gibanja jedinstveno definiran:
U matematici se međusobno obrnutim operacijama daju različita imena, izmišljene su posebne oznake: na primjer, kvadriranje (x 2) i vađenje kvadratnog korijena sinusa (sinx) i arcsinus(arcsin x), itd. Postupak nalaženja derivacije u odnosu na zadanu funkciju naziva se diferenciranje, a inverzna operacija, t.j. postupak nalaženja funkcije po zadanoj derivaciji – integracijom.
Sam pojam "derivacija" može se opravdati "na svjetovni način": funkcija y - f (x) "proizvodi u svijet" novu funkciju y "= f" (x) Funkcija y \u003d f (x) ponaša se kao "roditelj", ali matematičari ga, naravno, ne nazivaju "roditelj" ili "proizvođač", oni kažu da je to, u odnosu na funkciju y "=f" (x), primarna slika , ili, ukratko, antiderivat.

Definicija 1. Funkcija y \u003d F (x) naziva se antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) na zadanom intervalu X, ako za sve x iz X vrijedi jednakost F "(x) \u003d f (x) .

U praksi se interval X obično ne specificira, već se podrazumijeva (kao prirodna domena funkcije).

Evo nekoliko primjera:

1) Funkcija y \u003d x 2 je antiderivacija za funkciju y \u003d 2x, jer za sve x vrijedi jednakost (x 2) "\u003d 2x.
2) funkcija y - x 3 je antiderivacija za funkciju y-3x 2, jer za sve x vrijedi jednakost (x 3)" \u003d 3x 2.
3) Funkcija y-sinx je antiderivacija za funkciju y=cosx, jer za sve x vrijedi jednakost (sinx) "=cosx.
4) Funkcija je antiderivativna za funkciju na intervalu jer za sve x > 0 vrijedi jednakost
Općenito, poznavajući formule za pronalaženje derivata, nije teško sastaviti tablicu formula za pronalaženje antiderivata.

Nadamo se da razumijete kako je ova tablica sastavljena: derivat funkcije koja je zapisana u drugom stupcu jednaka je funkciji koja je zapisana u odgovarajućem retku prvog stupca (provjerite, ne budite lijeni, to je jako korisno). Na primjer, za funkciju y \u003d x 5, antiderivacija je, kao što ste ustanovili, funkcija (pogledajte četvrti redak tablice).

Bilješke: 1. U nastavku dokazujemo teorem da ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija i sve imaju oblik y = F (x ) + C. Stoga bi bilo ispravnije dodati član C posvuda u drugi stupac tablice, gdje je C proizvoljan realan broj.
2. Zbog kratkoće, ponekad umjesto izraza "funkcija y = F(x) je antiderivacija za funkciju y = f(x)", kažu F(x) je antiderivacija za f(x) ".

2. Pravila za pronalaženje antiderivata

Pri traženju protuizvedenica, kao i kod traženja izvedenica, ne koriste se samo formule (navedene su u tablici na str. 196), već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračunavanje izvedenica.

Znamo da je izvod zbroja jednak zbroju izvoda. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1 Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.

Skrećemo vam pozornost na neku "lakoću" ove formulacije. Zapravo, bilo bi potrebno formulirati teorem: ako funkcije y = f(x) i y=g(x) imaju antiderivacije na intervalu X, y-F(x) i y-G(x), redom, tada je zbroj funkcija y = f(x) + g(x) ima antiderivaciju na intervalu X, a ta antiderivacija je funkcija y = F(x) + G(x). Ali obično se kod formuliranja pravila (a ne teorema) ostavljaju samo ključne riječi - to je prikladnije za primjenu pravila u praksi.

Primjer 2 Odredite antiderivaciju za funkciju y = 2x + cos x.

Riješenje. Antiderivacija za 2x je x "; antiderivacija za cosx je sin x. Prema tome, antiderivacija za funkciju y \u003d 2x + cos x bit će funkcija y \u003d x 2 + sin x (i općenito svaka funkcija od oblik Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2 Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka antiderivacije.

Primjer 3

Riješenje. a) Antiderivacija za sin x je -cos x; dakle, za funkciju y \u003d 5 sin x, antiderivacija će biti funkcija y \u003d -5 cos x.

b) Antiderivacija za cos x je sin x; dakle, za antiderivacijsku funkciju će postojati funkcija
c) Antiderivacija za x 3 je antiderivacija za x je antiderivacija za funkciju y \u003d 1 je funkcija y \u003d x. Koristeći prvo i drugo pravilo za pronalaženje antiderivacija, dobivamo da je antiderivacija za funkciju y \u003d 12x 3 + 8x-1 funkcija
Komentar. Kao što znate, derivacija umnoška nije jednaka umnošku derivacija (pravilo razlikovanja umnoška je kompliciranije), a derivacija kvocijenta nije jednaka kvocijentu derivacija. Stoga ne postoje pravila za pronalaženje antiderivacije umnoška ili antiderivacije kvocijenta dviju funkcija. Budi oprezan!
Dobivamo još jedno pravilo za pronalaženje antiderivata. Znamo da se derivacija funkcije y \u003d f (kx + m) izračunava formulom

Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 3 Ako je y \u003d F (x) antiderivacija za funkciju y \u003d f (x), tada je antiderivacija za funkciju y \u003d f (kx + m) funkcija

Doista,

To znači da je antiderivacija za funkciju y \u003d f (kx + m).
Smisao trećeg pravila je sljedeći. Ako znate da je antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) funkcija y \u003d F (x), a trebate pronaći antiderivaciju funkcije y \u003d f (kx + m), tada nastavite kao slijedi: uzeti istu funkciju F, ali umjesto argumenta x zamijeniti izraz xx+m; osim toga, ne zaboravite napisati "faktor korekcije" ispred znaka funkcije
Primjer 4 Pronađite antiderivacije za date funkcije:

Riješenje, a) Antiderivacija za sin x je -cos x; to znači da će za funkciju y \u003d sin2x antiderivacija biti funkcija
b) Antiderivacija za cos x je sin x; dakle, za antiderivacijsku funkciju će postojati funkcija

c) Antiderivacija za x 7 je stoga, za funkciju y \u003d (4-5x) 7, antiderivacija će biti funkcija

3. Neodređeni integral

Gore smo već primijetili da problem pronalaženja antiderivacije za danu funkciju y = f(x) ima više od jednog rješenja. Raspravljajmo o ovom pitanju detaljnije.

Dokaz. 1. Neka je y \u003d F (x) antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) na intervalu X. To znači da za sve x iz X vrijedi jednakost x "(x) \u003d f (x) točno. Pronađite izvod bilo koje funkcije oblika y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Dakle, (F(x)+C) = f(x). To znači da je y \u003d F (x) + C antiderivacija za funkciju y \u003d f (x).
Dakle, dokazali smo da ako funkcija y \u003d f (x) ima antiderivaciju y \u003d F (x), tada funkcija (f \u003d f (x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, na primjer, bilo koja funkcija od oblik y \u003d F (x) +C je antiderivacija.
2. Dokažimo sada da je cijeli skup antiderivacija iscrpljen navedenim tipom funkcija.

Neka su y=F 1 (x) i y=F(x) dvije antiderivacije za funkciju Y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz intervala X vrijede sljedeće relacije: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Razmotrite funkciju y \u003d F 1 (x) -.F (x) i pronađite njezinu derivaciju: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Poznato je da ako je derivacija funkcije na intervalu X identički jednaka nuli, tada je funkcija konstantna na intervalu X (vidi teorem 3 u § 35). Dakle, F 1 (x) -F (x) \u003d C, tj. Fx) \u003d F (x) + C.

Teorem je dokazan.

Primjer 5 Postavljen je zakon promjene brzine od vremena v = -5sin2t. Odredite zakon gibanja s = s(t) ako je poznato da je u trenutku t=0 koordinata točke bila jednaka broju 1,5 (tj. s(t) = 1,5).

Riješenje. Budući da je brzina derivacija koordinate u funkciji vremena, prvo treba pronaći antiderivaciju brzine, tj. antiderivacija za funkciju v = -5sin2t. Jedna od takvih antiderivacija je funkcija , a skup svih antiderivacija ima oblik:

Da bismo pronašli određenu vrijednost konstante C, koristimo početne uvjete, prema kojima je s(0) = 1,5. Zamjenom u formuli (1) vrijednosti t=0, S = 1,5, dobivamo:

Zamjenom pronađene vrijednosti C u formulu (1) dobivamo zakon gibanja koji nas zanima:

Definicija 2. Ako funkcija y = f(x) ima antiderivaciju y = F(x) na intervalu X, tada skup svih antiderivacija, tj. skup funkcija oblika y \u003d F (x) + C, naziva se neodređeni integral funkcije y \u003d f (x) i označava se:

(glase: “neodređeni integral ef od x de x”).
U sljedećem odjeljku saznat ćemo koje je skriveno značenje ove oznake.
Na temelju tablice antiderivacija dostupnih u ovom paragrafu, sastaviti ćemo tablicu osnovnih neodređenih integrala:

Na temelju gornja tri pravila za pronalaženje antiderivata, možemo formulirati odgovarajuća pravila integracije.

Pravilo 1 Integral zbroja funkcija jednak je zbroju integrala ovih funkcija:

Pravilo 2 Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:

Pravilo 3 Ako a

Primjer 6 Pronađite neodređene integrale:

Riješenje, a) Pomoću prvog i drugog pravila integracije dobivamo:

Sada koristimo 3. i 4. formulu integracije:

Kao rezultat toga dobivamo:

b) Pomoću trećeg pravila integracije i formule 8 dobivamo:

c) Za neposredno određivanje zadanog integrala nemamo ni odgovarajuću formulu ni odgovarajuće pravilo. U takvim slučajevima ponekad pomažu prethodne identične transformacije izraza sadržanog pod znakom integrala.

Upotrijebimo trigonometrijsku formulu za smanjenje stupnja:

Zatim sukcesivno nalazimo:

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online , Matematika u školi

Postoje tri osnovna pravila za pronalaženje antiderivacijskih funkcija. Vrlo su slična odgovarajućim pravilima diferenciranja.

Pravilo 1

Ako je F antiderivacija za neku funkciju f, a G antiderivacija za neku funkciju g, tada će F + G biti antiderivacija za f + g.

Po definiciji antiderivacije F' = f. G' = g. A budući da su ti uvjeti ispunjeni, tada ćemo prema pravilu za izračunavanje derivacije za zbroj funkcija imati:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Pravilo 2

Ako je F antiderivacija za neku funkciju f i k je neka konstanta. Tada je k*F antiderivacija za funkciju k*f. Ovo pravilo proizlazi iz pravila za izračunavanje derivacije složene funkcije.

Imamo: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Pravilo 3

Ako je F(x) neka antiderivacija od f(x), a k i b su neke konstante, a k nije nula, tada će (1/k)*F*(k*x+b) biti antiderivacija od f (k*x+b).

Ovo pravilo slijedi iz pravila za izračunavanje derivacije složene funkcije:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Pogledajmo nekoliko primjera primjene ovih pravila:

Primjer 1. Nađite opći oblik antiderivacija za funkciju f(x) = x^3 +1/x^2. Za funkciju x^3 jedna od antiderivacija bit će funkcija (x^4)/4, a za funkciju 1/x^2 jedna od antiderivacija bit će funkcija -1/x. Koristeći prvo pravilo, imamo:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Primjer 2. Nađimo opći oblik antiderivacija za funkciju f(x) = 5*cos(x). Za funkciju cos(x), jedna od antiderivacija bit će funkcija sin(x). Ako sada koristimo drugo pravilo, imat ćemo:

F(x) = 5*sin(x).

Primjer 3 Nađite jednu od antiderivacija za funkciju y = sin(3*x-2). Za funkciju sin(x), jedna od antiderivacija bit će funkcija -cos(x). Ako sada koristimo treće pravilo, dobit ćemo izraz za antiderivat:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Primjer 4. Pronađite antiderivaciju za funkciju f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antiderivacija za funkciju 1/x^5 bit će funkcija (-1/(4*x^4)). Sada, koristeći treće pravilo, dobivamo.

Za svaku matematičku akciju postoji inverzna radnja. Za radnju diferenciranja (nalaženje izvodnica funkcija) postoji i obratna radnja – integracija. Pomoću integracije funkcija se pronalazi (obnavlja) po svojoj zadanoj derivaciji ili diferencijalu. Pronađena funkcija se zove primitivna.

Definicija. Diferencijabilna funkcija F(x) naziva se antiderivacija za funkciju f(x) na danom intervalu, ako za sve x iz ovog intervala vrijedi jednakost: F′(x)=f (x).

Primjeri. Nađite antiderivacije za funkcije: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) Budući da je (x²)′=2x, tada će, prema definiciji, funkcija F (x)=x² biti antiderivacija za funkciju f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Ako označimo f (x)=3cos3x i F (x)=sin3x, tada, prema definiciji antiderivacije, imamo: F′(x)=f (x), pa je, prema tome, F (x)=sin3x antiderivacija za f ( x)=3cos3x.

Imajte na umu da i (sin3x +5 )′= 3cos3x, i (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... u općem obliku možemo napisati: (sin3x +C)′= 3cos3x, gdje IZ je neka konstantna vrijednost. Ovi primjeri govore o višeznačnosti radnje integracije, za razliku od radnje diferenciranja, kada svaka diferencijabilna funkcija ima jednu derivaciju.

Definicija. Ako funkcija F(x) je antiderivacija za funkciju f(x) na nekom intervalu, tada skup svih antiderivacija ove funkcije ima oblik:

F(x)+C gdje je C bilo koji realan broj.

Skup svih antiderivacija F (x) + C funkcije f (x) na promatranom intervalu naziva se neodređeni integral i označava se simbolom ∫ (integralni znak). Zapiši: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Izraz ∫f(x)dx glasi: "integral ef od x do de x".

f(x)dx je integrand,

f(x) je integrand,

x je integracijska varijabla.

F(x) je antiderivacija za funkciju f(x),

IZ je neka konstantna vrijednost.

Sada se razmatrani primjeri mogu napisati na sljedeći način:

1) ∫ 2hdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Što znači znak d?

d- diferencijalni znak - ima dvojaku svrhu: prvo, ovaj znak odvaja integrand od integracijske varijable; drugo, sve iza ovog znaka diferencira se prema zadanim postavkama i množi s integrandom.

Primjeri. Pronađite integrale: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Nakon ikone diferencijala d troškovi xx, a R

∫ 2hrdx=px²+S. Usporedi s primjerom 1).

Napravimo provjeru. F′(x)=(px²+C)′=p (x²)′+C′=p 2x=2px=f (x).

4) Nakon ikone diferencijala d troškovi R. Dakle, integracijska varijabla R, i množitelj x treba smatrati konstantnom vrijednošću.

∫ 2hrdr=r²h+S. Usporedite s primjerima 1) i 3).

Napravimo provjeru. F′(p)=(p²x+C)′=x (p²)′+C′=x 2p=2px=f (p).

Prethodno smo za zadanu funkciju, vođeni različitim formulama i pravilima, pronašli njezinu derivaciju. Izvedenica ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangente na graf funkcije; koristeći izvod, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; Pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem pronalaženja brzine iz poznatog zakona gibanja, postoji i obrnuti problem - problem vraćanja zakona gibanja iz poznate brzine. Razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1 Materijalna točka se giba pravocrtno, brzina njezina kretanja u trenutku t dana je formulom v=gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s "(t) = v(t). Dakle, da biste riješili problem, trebate odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Lako je pogoditi da \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Doista
\(s"(t) = \lijevo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, jer \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)

Da bismo problem učinili specifičnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pokretne točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer, u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0 , tada iz jednakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobivamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0 . Sada je zakon gibanja jednoznačno definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

U matematici se međusobno obrnutim operacijama daju različiti nazivi, smišljaju posebne oznake, na primjer: kvadriranje (x 2) i vađenje kvadratnog korijena (\ (\ sqrt (x) \)), sinus (sin x) i arksinus (arcsin x) i sl. Postupak nalaženja derivacije u odnosu na zadanu funkciju naziva se diferencijacija, i inverzna operacija, tj. proces pronalaženja funkcije po zadanoj derivaciji, - integracija.

Sam pojam "derivacija" može se opravdati "na svjetovni način": funkcija y \u003d f (x) "proizvodi u svijet" novu funkciju y" \u003d f "(x). Funkcija y \u003d f (x) djeluje kao "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne nazivaju "roditeljem" ili "proizvođačem", oni kažu da je to, u odnosu na funkciju y " = f" (x) , primarna slika ili antiderivacija.

Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X ako \(x \in X \) zadovoljava jednakost F"(x) = f(x)

U praksi se interval X obično ne specificira, već se podrazumijeva (kao prirodna domena funkcije).

Navedimo primjere.
1) Funkcija y \u003d x 2 je antiderivacija za funkciju y \u003d 2x, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 2) "\u003d 2x
2) Funkcija y \u003d x 3 je antiderivacija za funkciju y \u003d 3x 2, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 3)" \u003d 3x 2
3) Funkcija y \u003d sin (x) je antiderivacija za funkciju y \u003d cos (x), jer za bilo koji x vrijedi jednakost (sin (x)) "= cos (x)

Pri pronalaženju antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračunavanje izvedenica.

Znamo da je izvod zbroja jednak zbroju izvoda. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1 Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.

Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2 Ako je F(x) antiderivacija za f(x), onda je kF(x) antiderivacija za kf(x).

Teorem 1. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada je antiderivacija za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorem 2. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve imaju oblik y = F(x) + C.

Metode integracije

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda supstitucijske integracije sastoji se od uvođenja nove integracijske varijable (tj. supstitucije). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti. Ne postoje opće metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stječe se vježbom.
Neka se traži izračunavanje integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju.
Zatim \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti formule neodređene integralne integracije, dobivamo formulu integracije supstitucije:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracija izraza poput \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ako je m neparan, m > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparan, n > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu cos x = t.
Ako su n i m parni, tada je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.

Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima - primjena sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$