Derivacija faktora. Derivacija e na x potenciju i eksponencijalna funkcija

U ovoj lekciji naučit ćemo primijeniti formule i pravila razlikovanja.

Primjeri. Naći derivacije funkcija.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Primjena pravila ja, formule 4, 2 i 1. Dobivamo:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Rješavamo slično, koristeći iste formule i formulu 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Primjena pravila ja, formule 3, 5 I 6 I 1.

Primjena pravila IV, formule 5 I 1 .

U petom primjeru prema pravilu ja izvod zbroja jednak je zbroju izvoda, a upravo smo pronašli izvod 1. člana (primjer 4 ), dakle, pronaći ćemo izvedenice 2 I 3 uvjeti, i za 1 zbroj možemo odmah napisati rezultat.

Hajdemo razlikovati 2 I 3 termini prema formuli 4 . Da bismo to učinili, transformiramo korijene treće i četvrte potencije u nazivnicima u potencije s negativnim eksponentima, a zatim, prema 4 formule, nalazimo izvodnice potencija.

Pogledajte ovaj primjer i rezultat. Jeste li uhvatili uzorak? Fino. To znači da imamo novu formulu i možemo je dodati u našu tablicu izvedenica.

Riješimo šesti primjer i izvedimo još jednu formulu.

Poslužimo se pravilom IV i formula 4 . Skratimo dobivene razlomke.

Pogledajmo ovu funkciju i njenu derivaciju. Vi, naravno, razumijete obrazac i spremni ste imenovati formulu:

Učenje novih formula!

Primjeri.

1. Nađi priraštaj argumenta i priraštaj funkcije y= x 2, ako je početna vrijednost argumenta bila jednaka 4 , i novo - 4,01 .

Riješenje.

Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamijenimo podatke: 4,01=4+Δx, dakle povećanje argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Budući da imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; prirast funkcije Δu=0,0801.

Povećanje funkcije može se pronaći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Odredite kut nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u točki x 0, Ako f "(x 0) = 1.

Riješenje.

Vrijednost derivacije u točki dodirivanja x 0 a je vrijednost tangensa tangentnog kuta (geometrijsko značenje derivacije). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.

Odgovor: tangenta na graf ove funkcije čini kut s pozitivnim smjerom osi Ox jednak 45°.

3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=xn.

Diferencijacija je radnja pronalaženja derivacije funkcije.

Pri pronalaženju derivacija koristiti formule koje su izvedene na temelju definicije derivacije, na isti način kao što smo izveli formulu za stupanj derivacije: (x n)" = nx n-1.

Ovo su formule.

Tablica izvedenica Bit će lakše zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:

1. Derivacija konstantne veličine je nula.

2. X prost je jednak jedan.

3. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije.

4. Derivacija stupnja jednaka je umnošku eksponenta tog stupnja sa stupnjem iste baze, ali je eksponent za jedan manji.

5. Izvodnica korijena jednaka je jedinici podijeljenoj s dva jednaka korijena.

6. Derivacija od jedan podijeljeno s x jednaka je minus jedan podijeljeno s x na kvadrat.

7. Derivacija sinusa jednaka je kosinusu.

8. Derivacija kosinusa jednaka je minus sinus.

9. Derivacija tangensa jednaka je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.

10. Derivacija kotangensa jednaka je minus jedan podijeljeno s kvadratom sinusa.

mi podučavamo pravila razlikovanja.

1. Derivacija algebarske sume jednaka je algebarskoj sumi derivacija članova.

2. Derivacija umnoška jednaka je umnošku derivacije prvog i drugog faktora plus umnožak prvog faktora i derivacije drugog.

3. Derivacija "y" podijeljena s "ve" jednaka je razlomku u kojem je brojnik "y pomnožen s "ve" minus "y pomnožen s ve", a nazivnik je "ve na kvadrat".

4. Poseban slučaj formule 3.

Učimo zajedno!

Stranica 1 od 1 1

Na kojem smo ispitivali najjednostavnije izvodnice, a također se upoznali s pravilima diferenciranja i nekim tehničkim tehnikama pronalaženja izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili vam neke točke u ovom članku nisu posve jasne, prvo pročitajte gornju lekciju. Molim vas da se malo uozbiljite - gradivo nije jednostavno, ali ću ga ipak pokušati iznijeti jednostavno i jasno.

U praksi se s izvodom složene funkcije morate susresti vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kada dobijete zadatak pronaći izvode.

Gledamo u tablici pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Hajdemo shvatiti. Prije svega, obratimo pozornost na unos. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena unutar funkcije . Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teoretske i ne bi se trebale pojavljivati ​​u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje derivata odmah iz tablice neće uspjeti. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može “rastrgati”:

U ovom primjeru je već iz mojih objašnjenja intuitivno jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom unutarnja funkcija (ugrađivanje), a vanjska funkcija.

Prvi korak ono što trebate učiniti kada nalazite izvod složene funkcije je razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom umetnut ispod sinusa. Ali što ako nije sve očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.

Zamislimo da na kalkulatoru trebamo izračunati vrijednost izraza at (umjesto jedinice može biti bilo koji broj).

Što ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvršiti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti unutarnja funkcija:

Drugo morat će se pronaći, pa će sinus – biti vanjska funkcija:

Nakon što smo PRODANO s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila razlikovanja složenih funkcija .

Počnimo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus) pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice također su primjenjive ako se "x" zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenio, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule u konačnom obliku izgleda ovako:

Konstantni faktor obično se nalazi na početku izraza:

Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvijek, zapisujemo:

Idemo shvatiti gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Što trebate učiniti prvo? Prije svega, trebate izračunati čemu je jednaka baza: dakle, polinom je unutarnja funkcija:

I tek tada se vrši potenciranje, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći izvod vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Traženu formulu tražimo u tablici: . Opet ponavljamo: svaka tablična formula vrijedi ne samo za "X", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat je primjene pravila za razlikovanje složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo izvod vanjske funkcije, naša unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada sve što preostaje je pronaći vrlo jednostavnu derivaciju interne funkcije i malo dotjerati rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Da biste učvrstili svoje razumijevanje izvoda složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte to sami shvatiti, zaključite gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto su zadaci riješeni na ovaj način?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Pronađite izvod funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo razlikovali korijen, on mora biti predstavljen kao moć. Dakle, prvo dovodimo funkciju u oblik prikladan za diferenciranje:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a dizanje na potenciju vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija :

Stupanj ponovno predstavljamo kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo diferenciranja zbroja:

Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradi i sve zapisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo će rješenje izgledati kao neobična izopačenost. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali mnogo je isplativije pronaći izvod pomoću pravila diferenciranja složene funkcije:

Funkciju pripremimo za diferenciranje - iz predznaka izvoda izbacimo minus, a kosinus podignemo u brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, potenciranje je vanjska funkcija.
Iskoristimo naše pravilo :

Pronalazimo izvod interne funkcije i vraćamo kosinus natrag prema dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zbuniti se u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno gniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje su, poput lutkica, jedna u drugoj, ugniježđene 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Hajdemo razumjeti priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći , što znači da je arkusinus najdublje ugrađivanje:

Ovaj arkusinus od jedan treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najunutarnja funkcija arkus, a najunutarnja funkcija je eksponencijalna funkcija.

Počnimo odlučivati

Prema pravilu Prvo morate uzeti izvod vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i pronalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina je razlika što umjesto “x” imamo složeni izraz, što ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila za diferenciranje složene funkcije Sljedeći.

Kako pronaći izvod, kako uzeti izvod? U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći izvode funkcija. Ali prije nego što proučite ovu stranicu, toplo vam preporučujem da se upoznate s metodološkim materijalomVruće formule za školski tečaj matematike. Referentni priručnik možete otvoriti ili preuzeti na stranici Matematičke formule i tablice . Također od tamo ćemo trebatiTablica izvedenica, bolje je da ga ispišete; često ćete ga morati koristiti, ne samo sada, već i izvan mreže.

Jesti? Započnimo. Imam dvije vijesti za vas: dobru i vrlo dobru. Dobra vijest je sljedeća: da biste naučili kako pronaći izvedenice, ne morate znati niti razumjeti što je izvedenica. Štoviše, definiciju derivacije funkcije, matematičko, fizikalno, geometrijsko značenje derivacije svrsishodnije je proždirati kasnije, budući da kvalitetno proučavanje teorije, po mom mišljenju, zahtijeva proučavanje niza druge teme, kao i neka praktična iskustva.

A sada je naš zadatak tehnički svladati te iste izvedenice. Vrlo je dobra vijest da naučiti uzimati derivacije nije tako teško; postoji prilično jasan algoritam za rješavanje (i objašnjenje) ovog zadatka; integrale ili limite je, na primjer, teže svladati.

Savjetujem vam da temu proučavate sljedećim redoslijedom: prvo, Ovaj članak. Zatim morate pročitati najvažniju lekciju Derivacija složene funkcije . Ove dvije osnovne klase će preuzeti vaše vještine od nule. Zatim se u članku možete upoznati sa složenijim derivatima Složene izvedenice.

Logaritamska derivacija. Ako je letvica previsoka, prvo pročitajte stvar Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama. Osim novog gradiva, lekcija pokriva i druge, jednostavnije vrste izvedenica, te je izvrsna prilika da poboljšate svoju tehniku ​​razlikovanja. Osim toga, ispitni radovi gotovo uvijek sadrže zadatke nalaženja derivacija funkcija koje su specificirane implicitno ili parametarski. Postoji i takva lekcija: Derivacije implicitnih i parametarski definiranih funkcija.

Pokušat ću vas u pristupačnom obliku, korak po korak, naučiti kako pronaći izvode funkcija. Sve informacije prikazane su detaljno, jednostavnim riječima.

Zapravo, pogledajmo odmah primjer: Primjer 1

Pronađite izvod funkcije Rješenje:

Ovo je jednostavan primjer, pronađite ga u tablici derivacija elementarnih funkcija. Sada pogledajmo rješenje i analizirajmo što se dogodilo? I dogodilo se sljedeće:

imali smo funkciju koja se kao rezultat rješenja pretvorila u funkciju.

Jednostavno rečeno, pronaći izvedenicu

funkciju, trebate je pretvoriti u drugu funkciju prema određenim pravilima . Ponovno pogledajte tablicu derivacija - tamo se funkcije pretvaraju u druge funkcije. Jedini

iznimka je eksponencijalna funkcija, koja

pretvara u sebe. Operacija nalaženja derivacije naziva sediferencijacija.

Zapis: Derivacija se označava ili.

PAŽNJA, VAŽNO! Zaboravljanje stavljanja crte (tamo gdje je potrebno), ili povlačenje dodatne crte (tamo gdje nije potrebno) je GRUPA GREŠKA! Funkcija i njezina derivacija dvije su različite funkcije!

Vratimo se našoj tablici izvedenica. Iz ove tablice poželjno je zapamtiti: pravila diferenciranja i izvoda nekih elementarnih funkcija, posebice:

izvod konstante:

Gdje je konstantan broj; derivacija funkcije snage:

Posebno:,,.

Zašto se sjećati? Ovo znanje je osnovno znanje o izvedenicama. A ako ne možete odgovoriti na učiteljevo pitanje "Koja je derivacija broja?", tada bi vaše studiranje na sveučilištu moglo završiti za vas (osobno sam upoznat s dva slučaja iz stvarnog života). Osim toga, ovo su najčešće formule koje moramo koristiti gotovo svaki put kada naiđemo na izvedenice.

U U stvarnosti su jednostavni tablični primjeri rijetki; obično se pri pronalaženju derivacija prvo koriste pravila diferenciranja, a zatim tablica derivacija elementarnih funkcija.

U ove veze nastavljamo razmatratipravila razlikovanja:

1) Konstantan broj se može (i treba) izbaciti iz predznaka izvedenice

Gdje je konstantan broj (konstanta) Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Pogledajmo tablicu izvedenica. Derivacija kosinusa postoji, ali imamo .

Vrijeme je da upotrijebimo pravilo, uzimamo faktor konstante iz znaka izvoda:

Sada pretvaramo naš kosinus prema tablici:

Pa, preporučljivo je malo "pročešljati" rezultat - stavite znak minus na prvo mjesto, ujedno se riješite zagrada:

2) Izvodnica zbroja jednaka je zbroju izvodnica

Pronađite izvod funkcije

Odlučimo se. Kao što ste vjerojatno već primijetili, prvi korak koji se uvijek izvodi pri pronalaženju izvedenice je da cijeli izraz stavimo u zagrade i stavimo oznaku u gornjem desnom kutu:

Primijenimo drugo pravilo:

Imajte na umu da za diferencijaciju svi korijeni i potencije moraju biti predstavljeni u obliku , a ako su u nazivniku, tada

pomaknite ih gore. O tome kako to učiniti raspravlja se u mojim nastavnim materijalima.

Sjetimo se sada prvog pravila diferenciranja - konstantne faktore (brojeve) uzimamo izvan predznaka derivacije:

Obično se tijekom rješavanja ova dva pravila primjenjuju istovremeno (kako se ne bi ponovno prepisivao dugačak izraz).

Sve funkcije koje se nalaze ispod poteza su elementarne tablične funkcije pomoću tablice provodimo transformaciju:

Možete ostaviti sve kako jest, budući da više nema udaraca, a izvedenica je pronađena. Međutim, izrazi poput ovog obično pojednostavljuju:

Preporučljivo je ponovno prikazati sve potencije oblika u obliku korijena,

potencije s negativnim eksponentima – odbaciti u nazivnik. Iako to ne morate učiniti, neće biti greške.

Pronađite izvod funkcije

Pokušajte sami riješiti ovaj primjer (odgovor na kraju lekcije).

3) Derivacija umnoška funkcija

Čini se da analogija sugerira formulu ...., ali iznenađenje je da:

Ovo je neobično pravilo(kao, zapravo, i drugi) slijedi iz izvedene definicije. Ali zasad ćemo se zadržati na teoriji - sada je važnije naučiti kako riješiti:

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo produkt dviju funkcija ovisno o . Prvo primjenjujemo naše čudno pravilo, a zatim transformiramo funkcije pomoću tablice izvedenica:

teško? Nimalo, sasvim dostupno čak i za čajnik.

Pronađite izvod funkcije

Ova funkcija sadrži zbroj i umnožak dviju funkcija - kvadratnog trinoma i logaritma. Iz škole se sjećamo da množenje i dijeljenje imaju prednost nad zbrajanjem i oduzimanjem.

I ovdje je isto. PRVO koristimo pravilo razlikovanja proizvoda:

Sada za zagradu koristimo prva dva pravila:

Kao rezultat primjene pravila diferenciranja ispod poteza, ostaju nam samo elementarne funkcije; pomoću tablice derivacija ih pretvaramo u druge funkcije:

S određenim iskustvom u pronalaženju izvedenica, čini se da jednostavne izvedenice nije potrebno opisivati ​​tako detaljno. Općenito, obično se odlučuje usmeno, i to se odmah zapisuje .

Pronađite izvod funkcije Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije)

4) Derivacija kvocijentnih funkcija

Otvorio se otvor na stropu, ne brinite, to je greška. Ali ovo je surova stvarnost:

Pronađite izvod funkcije

Što tu nedostaje – zbroj, razlika, umnožak, razlomak…. Od čega da počnem?! Ima dvojbi, nema dvojbi, ali, U SVAKOM SLUČAJU, prvo povučemo zagrade i stavimo crtu gore desno:

Sada pogledamo izraz u zagradama, kako ga možemo pojednostaviti? U ovom slučaju uočavamo faktor kojem je, prema prvom pravilu, preporučljivo skinuti predznak izvoda:

Ujedno se rješavamo zagrada u brojniku koje više nisu potrebne. Općenito govoreći, konstantni faktori pri pronalaženju izvoda

Dokaz i izvođenje formula za derivaciju eksponencijala (e na x potenciju) i eksponencijalne funkcije (a na x potenciju). Primjeri izračuna derivacija e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivacije viših redova.

Derivacija eksponenta jednaka je samom eksponentu (derivacija e na x potenciju jednaka je e na x potenciju):
(1) (e x )′ = e x.

Derivacija eksponencijalne funkcije s bazom a jednaka je samoj funkciji pomnoženoj s prirodnim logaritmom od a:
(2) .

Derivacija formule za derivaciju eksponencijala, e na x potenciju

Eksponencijal je eksponencijalna funkcija čija je baza jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti prirodan broj ili realan broj. Zatim izvodimo formulu (1) za derivaciju eksponencijala.

Derivacija formule eksponencijalne derivacije

Razmotrimo eksponencijal, e na x potenciju:
y = e x.
Ova je funkcija definirana za sve. Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za to su nam potrebne sljedeće činjenice:
A) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
U) Kontinuitet logaritma i svojstvo limita za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je funkcija koja ima limit i taj limit je pozitivan.
G) Značenje druge izvanredne granice:
(7) .

Primijenimo ove činjenice na našu granicu (3). Koristimo svojstvo (4):
;
.

Napravimo zamjenu. Zatim ;
.
.
Zbog kontinuiteta eksponencijala,
.

Stoga, kada , . Kao rezultat dobivamo:
.

Napravimo zamjenu. Zatim .
U , .
.

A mi imamo:
.
Primijenimo svojstvo logaritma (5):
.

. Zatim

Primijenimo svojstvo (6). Budući da postoji pozitivna granica i da je logaritam kontinuiran, tada:

Ovdje smo također upotrijebili drugu značajnu granicu (7). Zatim
(8)
Tako smo dobili formulu (1) za derivaciju eksponencijala.

Izvod formule za izvod eksponencijalne funkcije Sada izvodimo formulu (2) za derivaciju eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija Definirano za sve.
;
.
Transformirajmo formulu (8). Za ovo ćemo koristiti
.

svojstva eksponencijalne funkcije

i logaritam.
(14) .
(1) .

Dakle, transformirali smo formulu (8) u sljedeći oblik:
;
.

Izvodnice višeg reda od e na x potenciju
.

Pronađimo sada derivacije viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferenciranjem (1) dobivamo izvode drugog i trećeg reda:
.
Ovo pokazuje da je derivacija n-tog reda također jednaka izvornoj funkciji:
(15) .

Izvodnice višeg reda eksponencijalne funkcije
;
.

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju s bazom stupnja a:
.

Našli smo njegovu derivaciju prvog reda:

Diferenciranjem (15) dobivamo izvode drugog i trećeg reda:
; ; ; ; .

Vidimo da svako diferenciranje dovodi do množenja izvorne funkcije s . Stoga izvod n-tog reda ima sljedeći oblik:
,
Dani su primjeri izračuna derivacija pomoću formule za derivaciju složene funkcije.
.
Ovdje dajemo primjere izračuna derivacija sljedećih funkcija:
.
Ako se funkcija može prikazati kao složena funkcija u sljedećem obliku:
Ovdje indeksi ili , koji se nalaze ispod znaka izvedenice, označavaju varijable po kojima se vrši diferencijacija.

Obično se u tablicama derivacija daju derivacije funkcija iz varijable x. Međutim, x je formalni parametar. Varijabla x može se zamijeniti bilo kojom drugom varijablom. Stoga, kada razlikujemo funkciju od varijable, jednostavno mijenjamo, u tablici derivacija, varijablu x u varijablu u.

Jednostavni primjeri

Primjer 1

Pronađite izvod složene funkcije
.

Riješenje

Napišimo zadanu funkciju u ekvivalentnom obliku:
.
U tablici izvedenica nalazimo:
;
.

Prema formuli za izvod složene funkcije imamo:
.
ovdje .

Odgovor

Primjer 2

Nađi izvedenicu
.

Riješenje

Konstantu 5 izvadimo iz predznaka derivacije i iz tablice derivacija nalazimo:
.

.
ovdje .

Odgovor

Primjer 3

Nađi izvedenicu
.

Riješenje

Izvadimo konstantu -1 za predznak izvodnice i iz tablice izvodnica nalazimo:
;
Iz tablice izvedenica nalazimo:
.

Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije:
.
ovdje .

Odgovor

Složeniji primjeri

U složenijim primjerima pravilo diferenciranja složene funkcije primjenjujemo više puta. U ovom slučaju izvod izračunavamo s kraja. To jest, rastavljamo funkciju na sastavne dijelove i pronalazimo derivacije najjednostavnijih dijelova pomoću tablica izvedenica. Također koristimo pravila za razlikovanje zbroja, produkti i razlomci. Zatim vršimo zamjene i primjenjujemo formulu za derivaciju složene funkcije.

Primjer 4

Nađi izvedenicu
.

Riješenje

Odaberimo najjednostavniji dio formule i pronađimo njegovu derivaciju. .

.
Ovdje smo upotrijebili notaciju
.

Na temelju dobivenih rezultata nalazimo derivaciju sljedećeg dijela izvorne funkcije. Primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja:
.

Još jednom primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija.

.
ovdje .

Odgovor

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije
.

Riješenje

Odaberimo najjednostavniji dio formule i pronađimo njegovu derivaciju iz tablice derivacija. .

Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija.
.
Ovdje
.