Kako riješiti cijelu racionalnu jednadžbu. Rješavanje racionalnih jednadžbi

Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi

Referentni vodič

Racionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su i lijeva i desna strana racionalni izrazi.

(Zapamtite: racionalni izrazi su cijeli brojevi i frakcijski izrazi bez radikala, uključujući operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja - na primjer: 6x; (m – n)2; x/3y, itd.)

Frakcijske racionalne jednadžbe obično se svode na oblik:

Gdje P(x) I Q(x) su polinomi.

Da biste riješili takve jednadžbe, pomnožite obje strane jednadžbe s Q(x), što može dovesti do pojave stranih korijena. Stoga je kod rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi potrebno provjeriti pronađene korijene.

Racionalna jednadžba se naziva cjelina ili algebarska ako se ne dijeli izrazom koji sadrži varijablu.

Primjeri cijele racionalne jednadžbe:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Ako u racionalnoj jednadžbi postoji dijeljenje izrazom koji sadrži varijablu (x), tada se jednadžba naziva frakcijsko racionalna.

Primjer razlomljene racionalne jednadžbe:

15
x + - = 5x – 17
x

Razlomljene racionalne jednadžbe obično se rješavaju na sljedeći način:

1) pronaći zajednički nazivnik razlomaka i njime pomnožiti obje strane jednadžbe;

2) riješiti dobivenu cijelu jednadžbu;

3) iz svojih korijena isključi one koji zajednički nazivnik razlomaka svode na nulu.

Primjeri rješavanja cjelobrojnih i razlomljenih racionalnih jednadžbi.

Primjer 1. Riješimo cijelu jednadžbu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Riješenje:

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika. To je 6. Podijelite 6 s nazivnikom i pomnožite dobiveni rezultat s brojnikom svakog razlomka. Dobivamo jednadžbu koja je ekvivalentna ovoj:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Budući da lijeva i desna strana imaju isti nazivnik, može se izostaviti. Tada dobivamo jednostavniju jednadžbu:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Rješavamo ga otvaranjem zagrada i kombiniranjem sličnih članova:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Primjer je riješen.

Primjer 2. Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Pronalaženje zajedničkog nazivnika. Ovo je x(x – 5). Tako:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Sada se ponovno oslobađamo nazivnika, jer je isti za sve izraze. Smanjujemo slične članove, izjednačavamo jednadžbu s nulom i dobivamo kvadratnu jednadžbu:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Nakon što smo riješili kvadratnu jednadžbu, nalazimo njezine korijene: –2 i 5.

Provjerimo jesu li ti brojevi korijeni izvorne jednadžbe.

Pri x = –2, zajednički nazivnik x(x – 5) ne nestaje. To znači da je –2 korijen izvorne jednadžbe.

Pri x = 5, zajednički nazivnik ide na nulu, a dva od tri izraza postaju besmislena. To znači da broj 5 nije korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: x = –2

Više primjera

Primjer 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

Odgovor: -2,2;6.

Primjer 2.

Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi

Ako ste učenik osmog razreda, a iznenada vam se dogodilo da ste propustili sat ili zanemarili ono o čemu vam je učitelj govorio, ovaj članak je za vas!

Prvo, shvatimo što je to - frakcijske racionalne jednadžbe? Svaki udžbenik ima sljedeću definiciju: Frakcijsko-racionalna jednadžba je jednadžba oblika\(fxg(x)=0\) .

I naravno, ova definicija vam ništa ne govori. Zatim ja dajem primjere, a vi pokušavate identificirati obrazac, pronaći nešto zajedničko.

\(((-2x-4)\preko (x^2-4))=((x+5)\preko (x-2))\)\(((3x^2-6)\preko 2(x+1)) =x-1\)\((x\preko x-2 ) + (8\preko (4-x^2)) - (1\preko x+2)=0\)

A ove jednadžbe nisu frakcijsko racionalne:

\(3x^2+x-25=0 \) \(((2-x)\preko (2))+((3x\preko 5))=4\)\(((2x-1)\preko 2)+(5x\preko 6)-(1-x\preko 3)=3x-2\)

Posljednje dvije jednadžbe definitivno nisu frakcijsko racionalne, unatoč činjenici da se sastoje od razlomaka. Ali najvažnije je da nema varijable (slova) u nazivniku. Ali u razlomačkoj racionalnoj jednadžbi uvijek postoji varijabla u nazivniku.

Dakle, nakon što ste točno odredili koja je jednadžba ispred vas, počnimo je rješavati. Prvo što treba učiniti označeno je s tri velika slova,O.D.Z.Što ova slova znače?OKO područje D izostavljeno Zpostignuća. Neću sada objašnjavati što to znači u matematici, cilj nam je naučiti rješavati jednadžbe, a ne ponavljati temu “Algebarski razlomci”. Ali za našu svrhu to znači sljedeće: uzmemo nazivnik ili nazivnike naših razlomaka, zapišemo ih odvojeno i primijetimo da nisu jednaki nuli.

Ako koristimo naše jednadžbe kao primjer\(((-2x-4)\preko x^2-4)=(x+5\preko x-2)\), napravi to:

ODZ: \(x^2-4≠0\)

\(x-2≠0\)

\((3x^2-6\preko 2(x+1)) =x-1 \)

ODZ: \(x+1≠0\)

Zašto nisu naveli množitelj 2? Tako je jasno da je 2≠0

\((x\preko x-2)+(8\preko 4-x^2)-(1\preko x+2)=0\)

ODZ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Za sada se sve čini jednostavno. Što je sljedeće? Sljedeći korak ovisit će o tome koliko ste napredni u matematici. Ako možete, riješite ove jednadžbe s predznakom, a ako ne možete, ostavite za sada kako jest. I idemo dalje.

Zatim, svi razlomci uključeni u jednadžbe moraju biti predstavljeni kao jedan razlomak. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik razlomka. I na kraju upišite što se dogodilo u brojniku i izjednačite ovaj izraz s nulom. I onda riješite jednadžbu.

Vratimo se našim primjerima:\((-2x-4\preko x^2-4)=(x+5 \preko x-2)\) ODZ: \(x^2-4≠0\)

\((-2x-4\preko x^2-4)-(x+5 \preko x-2)=0 \)\(x-2≠0\)

Razlomak smo pomaknuli ulijevo, a ujedno promijenili predznak. Primjećujemo da je nazivnik\(x^2-4\) može se faktorizirati pomoću formule za skraćeno množenje\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) , au brojniku možete uzeti zajednički faktor “-2” iz zagrada.

\((-2(x+2)\preko (x+2)(x-2)) -(x+5\preko x-2)=0\)

Pogledajmo opet ODZ, imamo li ga? Jesti! Tada možete prvi razlomak smanjiti za x+2 . Ako nema ODZ-a, ne možete ga smanjiti! Dobivamo:

\((-2\preko x-2)-(x+5 \preko x-2)=0\)

Razlomci imaju zajednički nazivnik, što znači da se mogu oduzeti:

\((-2-x-5\preko x-2)=0\)

Imajte na umu da budući da oduzimamo razlomke, znak "+" u drugom razlomku mijenjamo u minus! Slične pojmove prikazujemo u brojniku:

\((-x-7 \preko x-2)=0\)

Podsjetimo se da je razlomak jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije jednak nuli. U ODZ-u smo naznačili da nazivnik nije nula. Vrijeme je da označimo da je brojnik nula:

\(-x-7=0\)

Ovo je linearna jednadžba, pomaknite "-7" udesno, promijenite predznak:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Podsjetimo se na ODZ:\(x^2-4≠0\) \(x-2≠0\). Ako ste to mogli riješiti, onda ste to riješili ovako:\(x^2≠4\) \(x≠2\)

\(x_1≠2\) \(x_2≠-2\)

A ako nismo mogli riješiti, onda u ODZ umjesto "x" zamijenimo ono što smo dobili. Imamo\(x=-7\)

Zatim: \((-7)^2-4≠0\) ? Izvedena? Izvedena!

Dakle, odgovor na našu jednadžbu je:\(x=-7\)

Razmotrite sljedeću jednadžbu: \((3x^2-6\preko 2(x+1))=(x-1)\)

Rješavamo ga na isti način. Prvo označavamo ODZ:\(x+1≠0\)

Zatim se pomaknemo x-1 lijevo, ovom izrazu odmah pridružujemo nazivnik 1; to se može učiniti, budući da nazivnik 1 ne utječe ni na što.

Dobivamo: \((3x^2-6\preko 2(x+1)) -(x-1\preko 1)=0\)

Tražimo zajednički nazivnik, ovo\(2(x+1)\) . Drugi razlomak množimo ovim izrazom.

dobio: \((3x^2-6\preko2(x+1)) -((x-1)⋅2(x+1)\preko2(x+1)) =0\)

\(( 3x^2-6-2x^2+2\preko 2(x+1)) =0 \)

Ako je teško, dopustite da objasnim:\(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) A budući da drugom razlomku prethodi znak "-", kada kombiniramo ove razlomke u jedan, mijenjamo znakove u suprotne.

Primjećujemo da \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) i prepišite ovako:\(((x-2)(x+2)\preko 2(x+1)) =0\)

Zatim koristimo definiciju razlomka jednakog nuli. Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula. U ODZ smo naznačili da nazivnik nije jednak nuli, naznačit ćemo da je brojnik jednak nuli.\((x-2)(x+2)=0\) . I riješimo ovu jednadžbu. Sastoji se od dva faktora x-2 i x+2 . Zapamtite da je umnožak dva faktora jednak nuli kada je jedan od faktora jednak nuli.

Dakle: x+2 =0 ili x-2 =0

Iz prve jednadžbe dobivamo x=-2 , od drugog x=2 . Prenosimo broj i mijenjamo predznak.

U posljednjoj fazi provjeravamo ODZ: x+1≠0

Umjesto x, zamijenite brojeve 2 i -2.

Dobivamo 2+1≠0 . Izvedena? Da! Dakle, x=2 je naš korijen. Provjerimo sljedeće:-2+1≠0 . Izvedena. Da. To znači da je x=-2 također naš korijen. Dakle, odgovor je: 2 i -2.

Riješimo posljednju jednadžbu bez objašnjenja. Algoritam je isti:

Nastavimo razgovarati o rješavanje jednadžbi. U ovom članku ćemo detaljno govoriti o racionalne jednadžbe te principi rješavanja racionalnih jednadžbi s jednom varijablom. Prvo, shvatimo koji se tip jednadžbi naziva racionalnim, dajmo definiciju cijelih racionalnih i frakcijskih racionalnih jednadžbi i dajmo primjere. Zatim ćemo dobiti algoritme za rješavanje racionalnih jednadžbi i, naravno, razmotrit ćemo rješenja tipičnih primjera sa svim potrebnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Na temelju navedenih definicija dat ćemo nekoliko primjera racionalnih jednadžbi. Na primjer, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , sve su racionalne jednadžbe.

Iz prikazanih primjera jasno je da racionalne jednadžbe, kao i jednadžbe drugih vrsta, mogu biti s jednom varijablom, ili s dvije, tri itd. varijable. U sljedećim odlomcima govorit ćemo o rješavanju racionalnih jednadžbi s jednom varijablom. Rješavanje jednadžbi u dvije varijable a njihov veliki broj zaslužuje posebnu pozornost.

Osim što se racionalne jednadžbe dijele prema broju nepoznatih varijabli, one se također dijele na cjelobrojne i frakcijske. Navedimo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Racionalna jednadžba se zove cijeli, ako su i njegova lijeva i desna strana cjelobrojni racionalni izrazi.

Definicija.

Ako je barem jedan od dijelova racionalne jednadžbe razlomački izraz, tada se takva jednadžba naziva frakciono racionalan(ili frakcijsko racionalno).

Jasno je da cijele jednadžbe ne sadrže dijeljenje varijablom, naprotiv, razlomljene racionalne jednadžbe nužno sadrže dijeljenje varijablom (ili varijablom u nazivniku). Dakle, 3 x+2=0 i (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– to su cijele racionalne jednadžbe, oba njihova dijela su cijeli izrazi. A i x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 primjeri su razlomljenih racionalnih jednadžbi.

Zaključujući ovu točku, obratimo pozornost na činjenicu da su linearne jednadžbe i kvadratne jednadžbe poznate do ove točke cijele racionalne jednadžbe.

Rješavanje cijelih jednadžbi

Jedan od glavnih pristupa rješavanju cijelih jednadžbi je njihovo svođenje na ekvivalentne algebarske jednadžbe. To se uvijek može učiniti izvođenjem sljedećih ekvivalentnih transformacija jednadžbe:

• prvo, izraz s desne strane originalne cjelobrojne jednadžbe prenosi se na lijevu stranu sa suprotnim predznakom kako bi se dobila nula na desnoj strani;
• nakon toga, na lijevoj strani jednadžbe dobiveni standardni oblik.

Rezultat je algebarska jednadžba koja je ekvivalentna izvornoj cjelobrojnoj jednadžbi. Tako se u najjednostavnijim slučajevima rješavanje cijelih jednadžbi svodi na rješavanje linearnih ili kvadratnih jednadžbi, a u općem slučaju na rješavanje algebarske jednadžbe n-tog stupnja. Radi jasnoće, pogledajmo rješenje primjera.

Primjer.

Pronađite korijene cijele jednadžbe 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Riješenje.

Svedimo rješenje cijele ove jednadžbe na rješenje ekvivalentne algebarske jednadžbe. Da bismo to učinili, prvo prenosimo izraz s desne strane na lijevu, kao rezultat dolazimo do jednadžbe 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. I, drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani u polinom standardnog oblika ispunjavanjem potrebnih: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Dakle, rješavanje izvorne cjelobrojne jednadžbe svodi se na rješavanje kvadratne jednadžbe x 2 −5·x−6=0.

Izračunavamo njegovu diskriminaciju D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, pozitivna je, što znači da jednadžba ima dva realna korijena, koje nalazimo pomoću formule za korijene kvadratne jednadžbe:

Da budemo potpuno sigurni, učinimo to provjera pronađenih korijena jednadžbe. Prvo provjerimo korijen 6, zamijenimo ga umjesto varijable x u izvornoj cjelobrojnoj jednadžbi: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, što je isto, 63=63. Ovo je valjana numerička jednadžba, stoga je x=6 doista korijen jednadžbe. Sada provjeravamo korijen −1, imamo 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, odakle je 0=0 . Kada je x=−1, izvorna se jednadžba također pretvara u ispravnu numeričku jednakost, stoga je x=−1 također korijen jednadžbe.

Odgovor:

6 , −1 .

Ovdje također treba napomenuti da se izraz "stupanj cijele jednadžbe" povezuje s prikazom cijele jednadžbe u obliku algebarske jednadžbe. Dajmo odgovarajuću definiciju:

Definicija.

Snaga cijele jednadžbe naziva se stupanj ekvivalentne algebarske jednadžbe.

Prema ovoj definiciji cijela jednadžba iz prethodnog primjera ima drugi stupanj.

Ovo bi mogao biti kraj rješavanja cijelih racionalnih jednadžbi, da nije jedne stvari…. Kao što je poznato, rješavanje algebarskih jednadžbi stupnja iznad drugog povezano je sa značajnim poteškoćama, a za jednadžbe stupnja iznad četvrtog uopće ne postoje formule općeg korijena. Stoga je za rješavanje čitavih jednadžbi trećeg, četvrtog i viših stupnjeva često potrebno pribjeći drugim metodama rješavanja.

U takvim slučajevima pristup rješavanju cijelih racionalnih jednadžbi temelji se na metoda faktorizacije. U ovom slučaju pridržava se sljedećeg algoritma:

• prvo osiguravaju da na desnoj strani jednadžbe postoji nula; da bi to učinili, prenose izraz s desne strane cijele jednadžbe na lijevu;
• tada je rezultirajući izraz na lijevoj strani predstavljen kao produkt nekoliko faktora, što nam omogućuje da prijeđemo na skup nekoliko jednostavnijih jednadžbi.

Zadani algoritam za rješavanje cijele jednadžbe faktorizacijom zahtijeva detaljno objašnjenje na primjeru.

Primjer.

Riješite cijelu jednadžbu (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Riješenje.

Prvo, kao i obično, prenesemo izraz s desne strane na lijevu stranu jednadžbe, ne zaboravljajući promijeniti znak, dobivamo (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ovdje je sasvim očito da nije preporučljivo transformirati lijevu stranu dobivene jednadžbe u polinom standardnog oblika, jer će se time dobiti algebarska jednadžba četvrtog stupnja oblika x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, čije je rješenje teško.

S druge strane, očito je da na lijevoj strani dobivene jednadžbe možemo x 2 −10 x+13 , čime je prikazujemo kao produkt. Imamo (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Rezultirajuća jednadžba je ekvivalentna izvornoj cijeloj jednadžbi, a ona se zauzvrat može zamijeniti skupom od dvije kvadratne jednadžbe x 2 −10·x+13=0 i x 2 −2·x−1=0. Pronalaženje njihovih korijena koristeći poznate formule korijena kroz diskriminant nije teško; korijeni su jednaki. Oni su željeni korijeni izvorne jednadžbe.

Odgovor:

Također korisno za rješavanje cijelih racionalnih jednadžbi metoda za uvođenje nove varijable. U nekim slučajevima omogućuje vam prijelaz na jednadžbe čiji je stupanj niži od stupnja izvorne cijele jednadžbe.

Primjer.

Pronađite prave korijene racionalne jednadžbe (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Riješenje.

Svođenje cijele ove racionalne jednadžbe na algebarsku jednadžbu je, blago rečeno, ne baš dobra ideja, jer ćemo u tom slučaju doći do potrebe rješavanja jednadžbe četvrtog stupnja koja nema racionalne korijene. Stoga ćete morati potražiti drugo rješenje.

Ovdje je lako vidjeti da možete uvesti novu varijablu y i njome zamijeniti izraz x 2 +3·x. Ova zamjena nas dovodi do cijele jednadžbe (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , koja nakon pomicanja izraza −2·(y−4) na lijevu stranu i naknadne transformacije izraza tamo nastala, svodi se na kvadratnu jednadžbu y 2 +4·y+3=0. Korijene ove jednadžbe y=−1 i y=−3 lako je pronaći, na primjer, mogu se odabrati na temelju teorema obrnutog Vietinom teoremu.

Sada prelazimo na drugi dio metode uvođenja nove varijable, odnosno na izvođenje obrnute zamjene. Nakon izvođenja obrnute supstitucije, dobivamo dvije jednadžbe x 2 +3 x=−1 i x 2 +3 x=−3, koje se mogu prepisati kao x 2 +3 x+1=0 i x 2 +3 x+3 =0. Pomoću formule za korijene kvadratne jednadžbe nalazimo korijene prve jednadžbe. A druga kvadratna jednadžba nema realne korijene, jer je njezina diskriminanta negativna (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Odgovor:

Općenito, kada imamo posla s cijelim jednadžbama visokih stupnjeva, uvijek moramo biti spremni tražiti nestandardnu ​​metodu ili umjetnu tehniku ​​za njihovo rješavanje.

Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi

Prvo, bit će korisno razumjeti kako riješiti frakcijske racionalne jednadžbe oblika , gdje su p(x) i q(x) cjelobrojni racionalni izrazi. A zatim ćemo pokazati kako svesti rješenja ostalih razlomačko racionalnih jednadžbi na rješenja jednadžbi navedenog tipa.

Jedan pristup rješavanju jednadžbe temelji se na sljedećoj izjavi: numerički razlomak u/v, gdje je v broj različit od nule (inače ćemo naići na , koji je nedefiniran), jednak je nuli ako i samo ako je njegov brojnik jednak nuli, tada je, ako i samo ako je u=0 . Na temelju ove izjave, rješavanje jednadžbe svodi se na ispunjavanje dva uvjeta p(x)=0 i q(x)≠0.

Ovaj zaključak odgovara sljedećem algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe. Da biste riješili razlomljenu racionalnu jednadžbu oblika , trebate

• riješiti cijelu racionalnu jednadžbu p(x)=0 ;
• i provjeriti da li je uvjet q(x)≠0 zadovoljen za svaki pronađeni korijen, dok
• ako je točno, onda je ovaj korijen korijen izvorne jednadžbe;
• ako nije zadovoljeno, onda je taj korijen stran, odnosno nije korijen izvorne jednadžbe.

Pogledajmo primjer korištenja najavljenog algoritma pri rješavanju razlomljene racionalne jednadžbe.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Riješenje.

Ovo je razlomljena racionalna jednadžba i ima oblik , gdje je p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Prema algoritmu za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi ovog tipa, prvo trebamo riješiti jednadžbu 3 x−2=0. Ovo je linearna jednadžba čiji je korijen x=2/3.

Preostaje provjeriti postoji li taj korijen, odnosno provjeriti zadovoljava li uvjet 5 x 2 −2≠0. Zamijenimo broj 2/3 u izraz 5 x 2 −2 umjesto x i dobit ćemo . Uvjet je ispunjen, pa je x=2/3 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

2/3 .

Rješavanju razlomljene racionalne jednadžbe možete pristupiti s malo drugačije pozicije. Ova jednadžba je ekvivalentna cjelobrojnoj jednadžbi p(x)=0 na varijabli x izvorne jednadžbe. Odnosno, možete se držati ovoga algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe :

• riješiti jednadžbu p(x)=0 ;
• pronaći ODZ varijable x;
• uzeti korijene koji pripadaju području prihvatljivih vrijednosti - oni su željeni korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Na primjer, riješimo razlomljenu racionalnu jednadžbu pomoću ovog algoritma.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Prvo rješavamo kvadratnu jednadžbu x 2 −2·x−11=0. Njegovi korijeni se mogu izračunati pomoću formule za korijen parnog drugog koeficijenta koju imamo D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, i .

Drugo, nalazimo ODZ varijable x za izvornu jednadžbu. Sastoji se od svih brojeva za koje vrijedi x 2 +3·x≠0, što je isto što i x·(x+3)≠0, odakle je x≠0, x≠−3.

Ostaje provjeriti jesu li korijeni pronađeni u prvom koraku uključeni u ODZ. Očito da. Prema tome, izvorna frakcijska racionalna jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Imajte na umu da je ovaj pristup isplativiji od prvog ako je ODZ lako pronaći, a posebno je koristan ako su korijeni jednadžbe p(x) = 0 iracionalni, na primjer, ili racionalni, ali s prilično velikim brojnikom i /ili nazivnik, na primjer, 127/1101 i −31/59. To je zbog činjenice da će u takvim slučajevima provjera uvjeta q(x)≠0 zahtijevati značajan računalni napor, a lakše je isključiti vanjske korijene pomoću ODZ-a.

U drugim slučajevima, pri rješavanju jednadžbe, posebno kada su korijeni jednadžbe p(x) = 0 cijeli brojevi, isplativije je koristiti prvi od zadanih algoritama. Odnosno, preporučljivo je odmah pronaći korijene cijele jednadžbe p(x)=0, a zatim provjeriti je li za njih zadovoljen uvjet q(x)≠0, umjesto da tražimo ODZ, a zatim rješavamo jednadžbu p(x)=0 na ovom ODZ . To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše provjeriti nego pronaći DZ.

Razmotrimo rješenje dvaju primjera za ilustraciju navedenih nijansi.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Riješenje.

Prvo, pronađimo korijene cijele jednadžbe (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sastavljen pomoću brojnika razlomka. Lijeva strana ove jednadžbe je umnožak, a desna je nula, stoga je, prema metodi rješavanja jednadžbi faktorizacijom, ova jednadžba ekvivalentna skupu od četiri jednadžbe 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tri od ovih jednadžbi su linearne, a jedna je kvadratna; možemo ih riješiti. Iz prve jednadžbe nalazimo x=1/2, iz druge - x=6, iz treće - x=7, x=−2, iz četvrte - x=−1.

S pronađenim korijenima prilično je lako provjeriti da li nazivnik razlomka na lijevoj strani izvorne jednadžbe nestaje, ali određivanje ODZ, naprotiv, nije tako jednostavno, jer ćete za to morati riješiti algebarska jednadžba petog stupnja. Stoga ćemo odustati od pronalaženja ODZ-a u korist provjere korijena. Da bismo to učinili, zamijenimo ih jednu po jednu umjesto varijable x u izrazu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, dobivenih nakon supstitucije, i usporedite ih s nulom: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dakle, 1/2, 6 i −2 su željeni korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe, a 7 i −1 su vanjski korijeni.

Odgovor:

1/2 , 6 , −2 .

Primjer.

Pronađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe.

Riješenje.

Prvo, pronađimo korijene jednadžbe (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ova jednadžba je ekvivalentna skupu od dvije jednadžbe: kvadratnoj 5 x 2 −7 x−1=0 i linearnoj x−2=0. Pomoću formule za korijene kvadratne jednadžbe nalazimo dva korijena, a iz druge jednadžbe imamo x=2.

Provjera ide li nazivnik na nulu pri pronađenim vrijednostima x prilično je neugodna. A određivanje raspona dopuštenih vrijednosti varijable x u izvornoj jednadžbi prilično je jednostavno. Stoga ćemo djelovati preko ODZ-a.

U našem slučaju, ODZ varijable x izvorne razlomljene racionalne jednadžbe sastoji se od svih brojeva osim onih za koje je zadovoljen uvjet x 2 +5·x−14=0. Korijeni ove kvadratne jednadžbe su x=−7 i x=2, iz čega izvlačimo zaključak o ODZ: sastoji se od svih x takvih da je .

Ostaje provjeriti pripadaju li pronađeni korijeni i x=2 području prihvatljivih vrijednosti. Korijeni pripadaju, dakle, oni su korijeni izvorne jednadžbe, a x=2 ne pripada, dakle, radi se o stranom korijenu.

Odgovor:

Također će biti korisno posebno se zadržati na slučajevima kada je u razlomljenoj racionalnoj jednadžbi oblika broj u brojniku, odnosno kada je p(x) predstavljen nekim brojem. pri čemu

• ako je taj broj različit od nule, tada jednadžba nema korijena, jer je razlomak jednak nuli ako i samo ako mu je brojnik jednak nuli;
• ako je taj broj nula, tada je korijen jednadžbe bilo koji broj iz ODZ.

Primjer.

Riješenje.

Budući da brojnik razlomka na lijevoj strani jednadžbe sadrži broj različit od nule, tada ni za koji x vrijednost ovog razlomka ne može biti jednaka nuli. Stoga ova jednadžba nema korijena.

Odgovor:

bez korijena.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Brojnik razlomka na lijevoj strani ove frakcijske racionalne jednadžbe sadrži nulu, tako da je vrijednost ovog razlomka nula za bilo koji x za koji ima smisla. Drugim riječima, rješenje ove jednadžbe je bilo koja vrijednost x iz ODZ ove varijable.

Ostaje odrediti ovaj raspon prihvatljivih vrijednosti. Uključuje sve vrijednosti x za koje je x 4 +5 x 3 ≠0. Rješenja jednadžbe x 4 +5 x 3 =0 su 0 i −5, jer je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi x 3 (x+5)=0, a ona je pak ekvivalentna kombinaciji dviju jednadžbi x 3 =0 i x +5=0, odakle su ti korijeni vidljivi. Prema tome, željeni raspon prihvatljivih vrijednosti je bilo koji x osim x=0 i x=−5.

Dakle, razlomljena racionalna jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, koja su bilo koji brojevi osim nula i minus pet.

Odgovor:

Konačno, vrijeme je da razgovaramo o rješavanju frakcijskih racionalnih jednadžbi proizvoljnog oblika. Mogu se napisati kao r(x)=s(x), gdje su r(x) i s(x) racionalni izrazi, a barem jedan od njih je razlomak. Gledajući unaprijed, recimo da se njihovo rješenje svodi na rješavanje jednadžbi nama već poznatog oblika.

Poznato je da prijenos člana iz jednog dijela jednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom dovodi do ekvivalentne jednadžbe, stoga je jednadžba r(x)=s(x) ekvivalentna jednadžbi r(x)−s(x )=0.

Također znamo da je moguće bilo koje , identično jednako ovom izrazu. Dakle, uvijek možemo transformirati racionalni izraz na lijevoj strani jednadžbe r(x)−s(x)=0 u identično jednak racionalni razlomak oblika .

Dakle, prelazimo s izvorne frakcijske racionalne jednadžbe r(x)=s(x) na jednadžbu, a njezino se rješenje, kao što smo gore saznali, svodi na rješavanje jednadžbe p(x)=0.

Ali ovdje je potrebno uzeti u obzir činjenicu da se pri zamjeni r(x)−s(x)=0 s , a zatim s p(x)=0, raspon dopuštenih vrijednosti varijable x može proširiti .

Posljedično, izvorna jednadžba r(x)=s(x) i jednadžba p(x)=0 do koje smo došli mogu se pokazati nejednakima, a rješavanjem jednadžbe p(x)=0 možemo dobiti korijene to će biti vanjski korijeni izvorne jednadžbe r(x)=s(x) . Možete identificirati i ne uključiti vanjske korijene u odgovor bilo izvođenjem provjere ili provjerom da pripadaju ODZ-u izvorne jednadžbe.

Sažmimo ove podatke u algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe r(x)=s(x). Da biste riješili razlomljenu racionalnu jednadžbu r(x)=s(x) , trebate

• Dobijte nulu s desne strane pomicanjem izraza s desne strane sa suprotnim predznakom.
• Izvedite operacije s razlomcima i polinomima na lijevoj strani jednadžbe, pretvarajući je tako u racionalni razlomak oblika.
• Riješite jednadžbu p(x)=0.
• Identificirati i eliminirati suvišne korijene, što se radi njihovom zamjenom u izvornu jednadžbu ili provjerom njihove pripadnosti ODZ-u izvorne jednadžbe.

Radi veće jasnoće prikazat ćemo cijeli lanac rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi:
.

Pogledajmo rješenja nekoliko primjera s detaljnim objašnjenjem procesa rješavanja kako bismo razjasnili navedeni blok informacija.

Primjer.

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu.

Riješenje.

Postupit ćemo u skladu s upravo dobivenim algoritmom rješenja. I prvo pomičemo članove s desne strane jednadžbe na lijevu, kao rezultat prelazimo na jednadžbu.

U drugom koraku trebamo pretvoriti razlomački racionalni izraz na lijevoj strani dobivene jednadžbe u oblik razlomka. Da bismo to učinili, svodimo racionalne razlomke na zajednički nazivnik i pojednostavljujemo dobiveni izraz: . Tako dolazimo do jednadžbe.

U sljedećem koraku trebamo riješiti jednadžbu −2·x−1=0. Nalazimo x=−1/2.

Preostaje provjeriti nije li pronađeni broj −1/2 strani korijen izvorne jednadžbe. Da biste to učinili, možete provjeriti ili pronaći VA varijable x izvorne jednadžbe. Pokažimo oba pristupa.

Počnimo s provjerom. Zamijenimo broj −1/2 u izvornu jednadžbu umjesto varijable x i dobit ćemo istu stvar, −1=−1. Zamjena daje točnu numeričku jednakost, pa je x=−1/2 korijen izvorne jednadžbe.

Sada ćemo pokazati kako se zadnja točka algoritma izvodi kroz ODZ. Raspon dopuštenih vrijednosti izvorne jednadžbe je skup svih brojeva osim −1 i 0 (pri x=−1 i x=0 nazivnici razlomaka nestaju). Korijen x=−1/2 pronađen u prethodnom koraku pripada ODZ-u, stoga je x=−1/2 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

−1/2 .

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Riješenje.

Trebamo riješiti razlomljenu racionalnu jednadžbu, prođimo kroz sve korake algoritma.

Prvo pomaknemo izraz s desne strane na lijevu, dobivamo .

Drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani: . Kao rezultat dolazimo do jednadžbe x=0.

Njegov korijen je očigledan - on je nula.

U četvrtom koraku preostaje otkriti je li pronađeni korijen stran izvornoj razlomljenoj racionalnoj jednadžbi. Kada se zamijeni u izvornoj jednadžbi, dobije se izraz. Očito, nema smisla jer sadrži dijeljenje s nulom. Otuda zaključujemo da je 0 vanjski korijen. Dakle, izvorna jednadžba nema korijena.

7, što vodi do jednadžbe. Iz ovoga možemo zaključiti da izraz u nazivniku lijeve strane mora biti jednak onom desne strane, tj. Sada oduzimamo s obje strane trojke: . Po analogiji, odakle, i dalje.

Provjera pokazuje da su oba pronađena korijena korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Odgovor:

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. razred: obrazovni. za opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Već smo naučili rješavati kvadratne jednadžbe. Sada proširimo proučavane metode na racionalne jednadžbe.

Što je racionalni izraz? Već smo se susreli s ovim konceptom. Racionalni izrazi su izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih potencija i simbola matematičkih operacija.

Prema tome, racionalne jednadžbe su jednadžbe oblika: , gdje je - racionalni izrazi.

Prethodno smo razmatrali samo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na linearne. Sada pogledajmo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe.

Primjer 1

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Razlomak je jednak 0 ako i samo ako mu je brojnik jednak 0, a nazivnik nije jednak 0.

Dobivamo sljedeći sustav:

Prva jednadžba sustava je kvadratna jednadžba. Prije nego ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente s 3. Dobivamo:

Dobivamo dva korijena: ; .

Budući da 2 nikada nije jednako 0, moraju biti ispunjena dva uvjeta: . Budući da se niti jedan od korijena gore dobivene jednadžbe ne podudara s nevažećim vrijednostima varijable koje su dobivene prilikom rješavanja druge nejednadžbe, oba su rješenja ove jednadžbe.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve članove ulijevo tako da desna strana završi s 0.

2. Transformirajte i pojednostavite lijevu stranu, sve razlomke dovedite na zajednički nazivnik.

3. Izjednačite dobiveni razlomak s 0 pomoću sljedećeg algoritma: .

4. Zapišite korijene koji su dobiveni u prvoj jednadžbi i zadovoljite drugu nejednakost u odgovoru.

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer 2

Riješite jednadžbu: .

Riješenje

Na samom početku sve članove pomaknemo ulijevo tako da desno ostane 0. Dobijemo:

Dovedimo sada lijevu stranu jednadžbe na zajednički nazivnik:

Ova jednadžba je ekvivalentna sustavu:

Prva jednadžba sustava je kvadratna jednadžba.

Koeficijenti ove jednadžbe: . Izračunavamo diskriminantu:

Dobivamo dva korijena: ; .

Riješimo sada drugu nejednadžbu: umnožak faktora nije jednak 0 ako i samo ako nijedan od faktora nije jednak 0.

Dva uvjeta moraju biti ispunjena: . Nalazimo da je od dva korijena prve jednadžbe samo jedan prikladan - 3.

Odgovor:.

U ovoj lekciji smo se sjetili što je racionalni izraz, a također smo naučili kako riješiti racionalne jednadžbe, koje se svode na kvadratne jednadžbe.

U sljedećoj lekciji razmotrit ćemo racionalne jednadžbe kao modele stvarnih situacija, a također ćemo pogledati probleme gibanja.

Bibliografija

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra, 8. 5. izdanje. - M.: Obrazovanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Udžbenik za općeobrazovne ustanove. - M.: Obrazovanje, 2006.

1. Festival pedagoških ideja "Otvorena lekcija" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domaća zadaća

"Racionalne jednadžbe s polinomima" jedna je od najčešćih tema u ispitnim zadacima Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Iz tog razloga njihovom ponavljanju treba posvetiti posebnu pozornost. Mnogi učenici susreću se s problemom pronalaženja diskriminante, prijenosa pokazatelja s desne strane na lijevu i dovođenja jednadžbe na zajednički nazivnik, zbog čega rješavanje takvih zadataka izaziva poteškoće. Rješavanje racionalnih jednadžbi u pripremi za Jedinstveni državni ispit na našoj web stranici pomoći će vam da se brzo nosite s problemima bilo koje složenosti i položite test s najboljim ocjenama.

Odaberite obrazovni portal Shkolkovo za uspješnu pripremu za Jedinstveni ispit iz matematike!

Kako biste upoznali pravila za izračunavanje nepoznanica i jednostavno dobili točne rezultate, koristite našu online uslugu. Portal Shkolkovo je jedinstvena platforma na kojoj se prikupljaju materijali potrebni za pripremu za Jedinstveni državni ispit. Naši učitelji su sistematizirali i predstavili u razumljivom obliku sva matematička pravila. Osim toga, pozivamo školarce da se okušaju u rješavanju standardnih racionalnih jednadžbi, čija se osnova stalno ažurira i proširuje.

Za učinkovitiju pripremu za testiranje preporučujemo da slijedite našu posebnu metodu i počnete s ponavljanjem pravila i rješavanjem jednostavnih zadataka, postupno prelazeći na složenije. Tako će diplomant moći identificirati najteže teme za sebe i usredotočiti se na njihovo proučavanje.

Počnite se pripremati za završni test sa Shkolkovom danas, a rezultati neće dugo čekati! Odaberite najlakši primjer od ponuđenih. Ako brzo svladate izraz, prijeđite na teži zadatak. Na taj način možete unaprijediti svoje znanje do točke rješavanja USE zadataka iz matematike na specijaliziranoj razini.

Obuka je dostupna ne samo diplomantima iz Moskve, već i školarcima iz drugih gradova. Provedite nekoliko sati dnevno učeći na našem portalu, na primjer, i vrlo brzo ćete se moći nositi s jednadžbama bilo koje složenosti!