Uzdužne vibracije štapa. Uzdužne vibracije homogenog štapa

Pod stapom podrazumijevamo cilindar P=0h[O, /], kada ja" dijamD. Ovdje D- površina na koordinatnoj ravnini Ox 2 x 3 (slika 62). Materijal štapa je homogen i izotropan, a os Ox prolazi kroz težište presjeka D. Polje vanjskih masenih sila f(r, ja)=/(X|, /)e, gdje je e jedinični vektor osi Ox. Neka su vanjske površinske sile na bočnoj površini cilindra jednake nuli, tj. Ra= 0 uključeno dd x

Tada iz (4.8) slijedi za 1=0 jednakost

Vlastiti obrasci X k(j) zgodno je normalizirati pomoću norme prostora /^() kojem funkcija pripada v(s, I), budući da u svakom trenutku vremena funkcional kinetičke energije postoji i ograničen je

Gdje S- područje regije D. Imamo

X*(s) = Jj- sin^-l u prostoru brzina I 0 = ji)(s, /): v(s,t)e

Kao rezultat, dobivamo ortonormiranu bazu |l r *(^)| ,

Gdje b do „- Kronecker simbol: Funkcije X k *(s), k= 1,2 su normalni načini prirodnih vibracija, a ω*, k= 1, 2, ..., - vlastite frekvencije oscilacija sustava s beskonačnim brojem stupnjeva slobode.

Zaključno napominjemo da funkcija u(s, /) pripada konfiguracijskom prostoru sustava H, = (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) = 0), gdje je U^"OO, / ]) Sobolevljev prostor funkcija sabranih zajedno s kvadratima prvih izvodnica na intervalu. Prostor I je domena definiranja funkcionala potencijalne energije elastičnih deformacija

i sadrži generalizirana rješenja problema koji se razmatra.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

PROBLEM O UZDUŽNIM VIBRACIJAMA ELASTIČNO FIKSIRANOG OPTEREĆENOG ŠTAPA

A. B. Beilin

Samara State Technical University, Rusija, 443100, Samara, ul. Molodogvardejskaja, 244.

anotacija

Razmatraju se jednodimenzionalne uzdužne vibracije debelog kratkog štapa učvršćenog na krajevima pomoću koncentriranih masa i opruga. Kao matematički model koristi se početni rubni problem s dinamičkim rubnim uvjetima za hiperboličku jednadžbu četvrtog reda. Izbor ovog konkretnog modela je zbog potrebe da se uzmu u obzir učinci deformacije štapa u poprečnom smjeru, čije zanemarivanje, kako je pokazao Rayleigh, dovodi do pogreške, što potvrđuje suvremeni nelokalni koncept proučavanje vibracija čvrstih tijela. Dokazano je postojanje sustava svojstvenih funkcija problema koji se proučava, ortogonalnog na opterećenje, te je dobiven njihov prikaz. Utvrđena svojstva svojstvenih funkcija omogućila su primjenu metode razdvajanja varijabli i dokazivanje postojanja jedinstvenog rješenja postavljenog problema.

Ključne riječi: dinamički rubni uvjeti, uzdužne vibracije, ortogonalnost s opterećenjem, Rayleighov model.

Uvod. U svakom radnom mehaničkom sustavu javljaju se oscilacijski procesi, koji mogu biti generirani iz raznih razloga. Oscilacijski procesi mogu biti posljedica konstrukcijskih značajki sustava ili preraspodjele opterećenja između različitih elemenata normalno operativne strukture.

Prisutnost izvora oscilatornih procesa u mehanizmu može otežati dijagnosticiranje njegovog stanja i čak dovesti do poremećaja načina rada, au nekim slučajevima i do uništenja. Razni problemi povezani s narušavanjem točnosti i performansi mehaničkih sustava kao posljedica vibracija pojedinih njihovih elemenata često se u praksi rješavaju eksperimentalno.

Istodobno, oscilatorni procesi mogu biti vrlo korisni, primjerice, za obradu materijala, montažu i demontažu spojeva. Ultrazvučne vibracije omogućuju ne samo intenziviranje procesa rezanja (bušenje, glodanje, brušenje itd.) materijala visoke tvrdoće (čelici koji sadrže volfram, čelici od titan karbida itd.),

© 2016. Državno tehničko sveučilište u Samari. Predložak citata

Beilin A. B. Problem uzdužnih vibracija elastično učvršćene opterećene šipke // Vestn. Sebe. država tehn. un-ta. Ser. fiz.-matem. Znanosti, 2016. T. 20, br. 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. O autoru

Alexander Borisovich Beilin (dr. sc., izvanredni profesor; [e-mail zaštićen]), izvanredni profesor, ods. automatizirani sustavi strojeva i alata.

ali u nekim slučajevima može postati jedina moguća metoda za obradu krhkih materijala (germanija, silicija, stakla itd.). Element uređaja (valovod) koji prenosi ultrazvučne vibracije od izvora (vibratora) do alata naziva se koncentrator i može imati različite oblike: cilindrični, stožasti, stepenasti, eksponencijalni itd. Njegova je svrha prenijeti vibracije potrebne amplitude na instrument.

Dakle, posljedice nastanka oscilatornih procesa mogu biti različite, kao i razlozi koji ih uzrokuju, pa se prirodno nameće potreba za teorijskim proučavanjem oscilacijskih procesa. Matematički model širenja valova u relativno dugim i tankim čvrstim šipkama, koji se temelji na valnoj jednadžbi drugog reda, dobro je proučen i odavno je postao klasičan. Međutim, kako je pokazao Rayleigh, ovaj model ne odgovara u potpunosti proučavanju vibracija debele, kratke šipke, dok se mnogi detalji stvarnih mehanizama mogu interpretirati kao kratke i debele šipke. U tom slučaju treba uzeti u obzir i deformaciju šipke u poprečnom smjeru. Matematički model uzdužnih vibracija debelog kratkog štapa, koji uzima u obzir učinke poprečnog gibanja štapa, naziva se Rayleighov štap i temelji se na hiperboličkoj jednadžbi četvrtog reda

^ ^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (xL (1)

čiji koeficijenti imaju fizičko značenje:

d(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p (x),

gdje je A(x) površina poprečnog presjeka, p(x) je gustoća mase štapa, E(x) je Youngov modul, V(x) je Poissonov omjer, IP(x) je polarni moment tromosti , u(x, b) - uzdužni pomaci koje treba odrediti.

Rayleighove ideje našle su svoju potvrdu i razvoj u suvremenim radovima posvećenim oscilacijskim procesima, kao i teoriji plastičnosti. Pregledni članak obrazlaže nedostatke klasičnih modela koji opisuju stanje i ponašanje čvrstih tijela pod opterećenjem, u kojima se tijelo a priori smatra idealnim kontinuumom. Današnji stupanj razvoja prirodnih znanosti zahtijeva izgradnju novih modela koji adekvatno opisuju procese koji se proučavaju, a matematičke metode razvijene u posljednjih nekoliko desetljeća pružaju tu mogućnost. Na tom putu, u posljednjoj četvrtini prošlog stoljeća, predložen je novi pristup proučavanju mnogih fizikalnih procesa, uključujući i gore navedene, koji se temelji na konceptu nelokalnosti (vidi članak i popis literature u njemu) . Jedna od klasa nelokalnih modela koje su identificirali autori naziva se "slabo nelokalni". Matematički modeli koji pripadaju ovoj klasi mogu se implementirati uvođenjem derivacija visokog reda u jednadžbu koja opisuje određeni proces, što omogućuje uzimanje u obzir, do neke aproksimacije, interakcije unutarnjih elemenata predmeta proučavanja. Stoga je Rayleighov model aktualan i danas.

1. Izjava problema. Neka su krajevi štapa x = 0, x = I pričvršćeni za nepomičnu podlogu pomoću koncentriranih masa L\, M2 i opruga, čije su krutosti K\ i K2. Pretpostavit ćemo da je štap tijelo rotacije oko osi 0x i da u početnom trenutku miruje u ravnotežnom položaju. Tada dolazimo do sljedećeg problema početne granične vrijednosti.

Zadatak. Pronađite u području Qt = ((0,1) x (0, T) : 1,T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) i rubni uvjeti

a(0)ikh(0, r) + b(0)il(0, r) - k^(0, r) - M1ui(0, r) = 0, a(1)ih(1, r) + b(1)uxy(1, r) + K2u(1, r) + M2uy(1, r) = 0. ()

U članku se ispituju neki posebni slučajevi problema (1)-(2) i daju primjeri u kojima koeficijenti jednadžbe imaju eksplicitan oblik i M\ = M2 = 0. U članku se dokazuje jedinstvena slaba rješivost problema postavljenog u opći slučaj.

Uvjeti (2) određeni su načinom učvršćivanja šipke: njeni krajevi su pričvršćeni na fiksne podloge pomoću nekih naprava koje imaju mase M\, M2, odnosno opruge krutosti K1, K2. Prisutnost masa i uzimanje u obzir poprečnih pomaka dovodi do uvjeta oblika (2), koji sadrže derivacije u odnosu na vrijeme. Rubni uvjeti koji uključuju vremenske derivacije nazivaju se dinamičkim. Mogu nastati u raznim situacijama od kojih su najjednostavnije opisane u udžbeniku, a mnogo složenije u monografiji.

2. Proučavanje prirodnih vibracija štapa. Promotrimo homogenu jednadžbu koja odgovara jednadžbi (1). Budući da koeficijenti ovise samo o x, možemo razdvojiti varijable pišući u(x,r) = X(x)T(r). Dobivamo dvije jednadžbe:

t""(g) + \2t(g) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

Jednadžbu (3) prate rubni uvjeti

(a(0) - \2ʺ̱(0))H"(0) - (K1 - \2M1)H(0) = 0,

(a(1) - \2ʺ̱(1))H"(1) + (K2 - \2M2)H(I) = 0. (4)

Tako smo došli do Sturm-Liouvilleovog problema koji se od klasičnog razlikuje po tome što je spektralni parametar A uključen u koeficijent najveće derivacije jednadžbe, kao iu rubne uvjete. Ova nam okolnost ne dopušta pozivanje na rezultate poznate iz literature, pa je naš neposredni cilj proučavanje problema (3), (4). Za uspješnu implementaciju metode odvajanja varijabli potrebne su nam informacije o postojanju i položaju svojstvenih vrijednosti, o kvalitativnom

svojstva svojstvenih funkcija: imaju li svojstvo ortogonalnosti?

Pokažimo da je A2 > 0. Pretpostavimo da to nije slučaj. Neka je X(x) svojstvena funkcija problema (3), (4), koja odgovara vrijednosti A = 0. Pomnožite (3) s X(x) i integrirajte dobivenu jednakost preko intervala (0,1). Integriranjem po dijelovima i primjenom rubnih uvjeta (4), nakon elementarnih transformacija dobivamo

1(0) - L2ʺ̱(0))(a(1) - L2ʺ̱(1)) I (dX2 + bX"2)yx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

I aX"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Uočimo da su iz fizičkog značenja funkcije a(x), b(x), d(x) pozitivne, a Kr, Mg nenegativne. Ali onda iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je X"(x) = 0, X(0) = X(1) = 0, dakle, X(x) = 0, što je u suprotnosti s postavljenom pretpostavkom. Prema tome, pretpostavka da je nula je svojstvena vrijednost problema (3), (4) je netočna.

Prikaz rješenja jednadžbe (3) ovisi o predznaku izraza a(x) - - A2b(x). Pokažimo da je a(x) - A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Popravimo x e (0,1) proizvoljno i pronađimo vrijednosti funkcija a(x), b(x), d(x) u ovoj točki. Zapišimo jednadžbu (3) u obliku

X"(x) + VX (x) = 0, (5)

gdje smo odredili

na odabranoj fiksnoj točki, a uvjete (4) upisujemo u obrazac

X"(0) - aX (0) = 0, X"(1) + vX (I) = 0, (6)

gdje su a, b lako izračunati.

Kao što je poznato, klasični Sturm-Liouvilleov problem (5), (6) ima prebrojiv skup svojstvenih funkcija za V > 0, iz čega, budući da je x proizvoljan, slijedi tražena nejednakost.

Svojstvene funkcije problema (3), (4) imaju svojstvo ortogonalnosti s opterećenjem izraženo relacijom

I (dHt(h)Hp(h) + BH"t(h)H"p(h))<х+ ■)о

M1Xt(0)Xn(0) + M2Xt(1)Xn (I) = 0, (7)

koji se mogu dobiti na standardni način (vidi, na primjer), čija je implementacija u slučaju problema koji se razmatra povezana s elementarnim, ali mukotrpnim izračunima. Ukratko ćemo prikazati njezino izvođenje, izostavljajući argument funkcija Xr(x) kako bismo izbjegli glomaznost.

Neka su Am, An različite svojstvene vrijednosti, Xm, Xn odgovarajuće svojstvene funkcije problema (3), (4). Zatim

((a - L2tb)X"t)" + L2tdXt = 0, ((a - L2pb)X"p)" + L2pdXp = 0.

Pomnožimo prvu od ovih jednadžbi s Xn, a drugu s Xm i od prve oduzmemo drugu. Nakon elementarnih transformacija dobivamo jednakost

(Lt - Lp)YHtHp = (aHtHP)" - LP(BHtH"p)" - (aH"tHp)" + Lt(BHtHp)",

koju integriramo preko intervala (0,1). Kao rezultat, uzimajući u obzir (4) i smanjujući za (Lm - Ln), dobivamo relaciju (7).

Dokazane tvrdnje o svojstvima svojstvenih vrijednosti i svojstvenih funkcija Sturm-Liouvilleovog problema (3), (4) omogućuju primjenu metode razdvajanja varijabli za pronalaženje rješenja problema.

3. Rješivost problema. Označimo

C(ST) = (u: u e C(St) P C2(St), uikh e C^t)).

Teorem 1. Neka je a, b e C1, d e C. Tada postoji najviše jedno rješenje u e C^t) problema (1), (2).

Dokaz. Pretpostavimo da postoje dva različita rješenja problema (1), (2), u1(x,z) i u2(x,z). Tada je, zbog linearnosti problema, njihova razlika u = u1 - u2 rješenje homogenog problema koji odgovara (1), (2). Pokažimo da je njegovo rješenje trivijalno. Napomenimo najprije da su iz fizikalnog značenja koeficijenata jednadžbe i rubnih uvjeta funkcije a, b, d posvuda u Qm pozitivne, a M^, K^ nenegativne.

Množenjem jednakosti (1) s u i integracijom po području Qt, gdje je t e i proizvoljno, nakon jednostavnih transformacija dobivamo

/ (di2(x,t) + ai2x(x,t) + biHl(x,t))yx+ ./o

K1u2(0, t) + M1u2(0, t) + K2u2(1, t) + M2u2(1, t) = 0,

iz čega zbog proizvoljnosti m odmah slijedi valjanost teorema. □

Dokazat ćemo postojanje rješenja za slučaj konstantnih koeficijenata.

Teorem 2. Neka<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, ima komadno kontinuiranu derivaciju trećeg reda u (0.1), φ ε 1, φ(0) = φ(1) = 0 i ima komadno kontinuiranu derivaciju drugog reda u (0.1) , f e C(C^m), tada rješenje problema (1), (2) postoji i može se dobiti kao zbroj niza svojstvenih funkcija.

Dokaz. Kao i obično, potražit ćemo rješenje problema u obliku zbroja

gdje je prvi član rješenje problema postavljenog za homogenu jednadžbu koja odgovara (1), drugi je rješenje jednadžbe (1), koja zadovoljava nulte početne i rubne uvjete. Iskoristimo rezultate istraživanja provedenog u prethodnom odlomku i zapišimo opće rješenje jednadžbe (3):

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Primjenom rubnih uvjeta (4) dolazimo do sustava jednadžbi za Cj!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Izjednačavajući njegovu determinantu s nulom, dobivamo spektralnu jednadžbu

ctg= (a - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

Otkrijmo ima li ova transcendentna jednadžba rješenje. Da biste to učinili, razmotrite funkcije s lijeve i desne strane i ispitajte njihovo ponašanje. Bez previše ograničavanja općenitosti, recimo

Mi = M2 = M, Kg = K2 = K,

što će malo pojednostaviti potrebne proračune. Jednadžba (8) ima oblik

x I q ​​​​, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" Označimo

i napiši spektralnu jednadžbu u novom zapisu!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

Analiza funkcija lijeve i desne strane posljednje jednadžbe dopušta nam da ustvrdimo da postoji prebrojiv skup njezinih korijena i, prema tome, prebrojiv skup svojstvenih funkcija Sturm-Liouvilleovog problema (3), (4), koji se, uzimajući u obzir relaciju dobivenu iz sustava s obzirom na c3, može ispisati

v / l l I q K - x2pm. l i q

Xn(x) = COS XnJ-gutx + ----sin XnJ-gutX.

V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

Sada prijeđimo na pronalaženje rješenja koje također zadovoljava početne uvjete. Sada možemo lako pronaći rješenje problema za homogenu jednadžbu u obliku niza

u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

čiji se koeficijenti mogu pronaći iz početnih podataka, koristeći svojstvo ortogonalnosti funkcija Xn(x), čija se norma može dobiti iz relacije (7):

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo

Proces pronalaženja funkcije v(x,t) također je u biti standardan, ali ipak napominjemo da traženje rješenja u tradicionalnom obliku

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

dobivamo dvije jednadžbe. Doista, uzimajući u obzir vrstu svojstvenih funkcija, pojasnimo strukturu niza u čijem obliku tražimo rješenje:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~ sin X^HAarx). (9)

v JXnVa - xnb^q V a - xn "

Da bismo zadovoljili nulte početne uvjete y(x, 0) = y^x, 0) = 0, zahtijevamo da je Vn(0) = Vn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. Proširujući f( x,r) u Fourierov red u smislu svojstvenih funkcija Xn(x), nalazimo koeficijente ¡n(b) i dn(b). Zamjenom (9) u jednadžbu (1), napisanu s obzirom na y(x, b), nakon niza transformacija dobivamo jednadžbe za pronalaženje Yn(b) i Wn(b):

yts® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Uzimajući u obzir početne uvjete Vn(0) = Y, (0) = 0, Wn(0) = W, (0) = 0, dolazimo do Cauchyjevih problema za svaku od funkcija Vn(b) i Wn( b), čija je jedinstvena rješivost zajamčena uvjetima teorema. Svojstva početnih podataka formulirana u teoremu ne ostavljaju sumnju u konvergenciju svih nizova koji su se pojavili tijekom našeg istraživanja i, prema tome, u postojanje rješenja postavljenog problema. □

Zaključak. Dokazano je postojanje sustava svojstvenih funkcija problema koji se proučava, ortogonalnog na opterećenje, te je dobiven njihov prikaz.

Utvrđena svojstva svojstvenih funkcija omogućila su dokazivanje postojanja jedinstvenog rješenja postavljenog problema. Imajte na umu da se rezultati dobiveni u članku mogu koristiti kako za daljnja teorijska istraživanja problema s dinamičkim rubnim uvjetima, tako i za praktične svrhe, točnije za proračun uzdužnih vibracija širokog spektra tehničkih objekata.

Aleksandar Borisovič Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

BIBLIOGRAFSKI POPIS

1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalašnjikov V. V. Ultrazvučna obrada i montaža. Samara: Samara Book Publishing House, 1995. 191 str.

2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Ultrazvučna dimenzionalna obrada materijala. Barnaul: Altajsko tehničko sveučilište nazvano po. I.I. Polzunova, 1997. 120 str.

3. Kumabe D. Vibracijsko rezanje. M.: Strojarstvo, 1985. 424 str.

4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Jednadžbe matematičke fizike. M.: Nauka, 2004. 798 str.

5. Strett J.V. Teorija zvuka. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 str.

6. Rao J. S. Napredna teorija vibracija: nelinearne vibracije i jednodimenzionalne strukture. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 str.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teorija slobodnih i prisilnih vibracija čvrstog štapa na temelju Rayleighovog modela // DAN, 2007. T. 417, br. 1. 56-61 str.

8. Bazant Z., Jirasek M. Nelokalne integralne formulacije plastičnosti i oštećenja: Pregled napretka // J. Eng. Mech., 2002. vol.128, br. 11. str. 1119-1149 (prikaz, ostalo). doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beilin A. B., Pulkina L. S. Problem uzdužnih vibracija štapa s dinamičkim rubnim uvjetima // Vestn. SamSU. Prirodna znanost ser., 2014. broj 3(114). str 9-19.

10. Korpusov M. O. Destrukcija u neklasičnim valnim jednadžbama. M.: URSS, 2010. 237 str.

Primljeno u urednici II.10.2016.; u konačnoj verziji - 18/V/2016; prihvaćen za objavu - 27.V.2016.

Vestn. Samar. Gos. tehn. Ne-ta. Ser. fiz.-mat. znanosti

2016, sv. 20, br. 2, str. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

PROBLEM UZDUŽNE VIBRACIJE ŠIPKE S ELASTIČNIM UČVRŠĆENJEM

Samara Državno tehničko sveučilište,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Ruska Federacija.

U ovom radu proučavamo uzdužne vibracije u debeloj kratkoj šipki učvršćenoj točkastim silama i oprugama. Za matematički model razmatramo rubni problem s dinamičkim rubnim uvjetima za parcijalnu diferencijalnu jednadžbu četvrtog reda. Odabir ovog modela ovisi o potrebi uzimanja u obzir rezultata poprečne deformacije. Rayleigh je pokazao da zanemarivanje poprečne deformacije dovodi do pogreške. To potvrđuje moderna nelokalna teorija vibracija. Dokazujemo postojanje svojstvenih funkcija ortogonalnih s opterećenjem i izvodimo njihov prikaz. Utvrđena svojstva svojstvenih funkcija omogućuju korištenje metode odvajanja varijabli i pronalaženje jedinstvenog rješenja problema.

Ključne riječi: dinamički rubni uvjeti, uzdužne vibracije, opterećena ortogonalnost, Rayleighov model.

Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995., 191 str. (na ruskom)

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 str. (na ruskom)

3. Kumabe J. Vibracijsko rezanje. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979. (na japanskom).

4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskva, Nauka, 2004, 798 str. (Na engleskom)

5. Strutt J. W. Teorija zvuka, sv. 1. London, Macmillan and Co., 1945., xi+326 str.

6. Rao J. S. Napredna teorija vibracija: nelinearne vibracije i jednodimenzionalne strukture. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992., 431 str.

Beylin A.B. Problem uzdužne vibracije šipke s elastičnim učvršćenjem, Vestn. Samar. Gos. tehn. Sveučilište, Ser. fiz.-mat. Nauki, 2016, god. 20, br. 2, str. 249-258 (prikaz, ostalo). doi: 10.14498/vsgtu1474. (Na ruskom) Podaci o autoru:

Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-mail zaštićen]), izvanredni profesor, Ods. automatizacije alatnih strojeva i alatnih sustava.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teorija slobodnih i prisilnih vibracija krutog štapa na temelju Rayleighovog modela, Dokl. Phys., 2007, vol.52, br. 11, str. 607-612 (prikaz, ostalo). doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. Nelokalne integralne formulacije plastičnosti i oštećenja: Pregled napretka, J. Eng. Mech., 2002, vol.128, br. 11, str. 1119-1149 (prikaz, ostalo). doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Promlem o uzdužnim vibracijama štapa s dinamičkim rubnim uvjetima, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, br. 3(114), str. 919 (na ruskom).

10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh. Moskva, URSS, 2010, 237 str. (Na engleskom)

Primljeno II 10. 2016.;

primljeno u revidiranom obliku 18/V/2016;

1

Predlaže se frekvencijska metoda za rješavanje problema uzdužnih vibracija šipki stepenasto promjenjivog presjeka sa ili bez uzimanja u obzir rasipanja energije pri udaru o krutu prepreku. Jednadžba uzdužnih vibracija štapa se transformira prema Laplaceu u prisutnosti početnih uvjeta različitih od nule. Rješava se rubni problem koji se sastoji u pronalaženju Laplace-transformiranih rubnih uzdužnih sila kao funkcija rubnih pomaka. Zatim se sastavlja sustav jednadžbi ravnoteže za čvorove, čijim se rješavanjem konstruiraju amplitudno-fazno-frekvencijske karakteristike (APFC) za dijelove štapa od interesa. Izvođenjem inverzne Laplaceove transformacije konstruira se prijelazni proces. Kao ispitni primjer razmatra se štap konstantnog presjeka konačne duljine. Dana je usporedba s poznatim valnim rješenjem. Predložena metoda za dinamički proračun štapa u sudaru s krutom preprekom omogućuje generalizaciju na proizvoljan sustav štapa u prisutnosti neograničenog broja elastično vezanih masa, s proizvoljnom silom primijenjenom na krajeve i duž duljine štapa. štap.

Frekvencijska metoda

uzdužne vibracije štapa

1. Biderman, V.L. Primijenjena teorija mehaničkih vibracija / V.L. Biderman. – M.: Viša škola, 1972. – 416 str.

2. Lavrentiev, M.A. Metode teorije funkcija kompleksne varijable / M.A. Lavrentiev, B.V. Šabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 str.

3. Sankin, Yu.N. Dinamičke karakteristike viskoelastičnih sustava s raspodijeljenim parametrima / Yu.N. Sankin. – Saratov: Izdavačka kuća Sarat. sveučilište, 1977. – 312 str.

4. Sankin, Yu.N. Nestacionarne vibracije štapnih sustava pri sudaru s preprekom / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; pod općim izd. Yu.N. Sankina. – Uljanovsk: Uljanovsko državno tehničko sveučilište, 2010. – 174 str.

5. Sankin, Y.N. Uzdužne vibracije elastičnih šipki stepenasto promjenjivog presjeka pri sudaru s krutom preprekom \ Yu. N. Sankin i N.A. Yuganova, J. Appl. Matematički strojevi, sv. 65, br. 3, str. 427–433, 2001.

Razmotrimo frekvencijsku metodu za rješavanje problema uzdužnih vibracija štapova stepenasto promjenjivog presjeka sa ili bez uzimanja u obzir rasipanja energije pri udaru o krutu prepreku, koju ćemo usporediti s poznatim valnim rješenjem i rješenjem u oblik niza načina vibracija (14).

Diferencijalna jednadžba za uzdužne vibracije štapa, uzimajući u obzir sile unutarnjeg otpora, ima oblik:

Postavimo sljedeće granične i početne uvjete:

. (2)

Transformirajmo jednadžbu (1) i rubne uvjete (2) prema Laplaceu za zadane početne uvjete (2). Tada će jednadžba (2) i rubni uvjeti (2) biti napisani na sljedeći način:

; (3)

,

gdje su Laplace-transformirani pomaci točaka štapa; p je parametar Laplaceove transformacije.

Jednadžba (3) bez uzimanja u obzir disipacije energije (pri = 0) poprimit će oblik:

. (4)

Za rezultirajuću nehomogenu diferencijalnu jednadžbu rješava se rubni problem koji se sastoji u pronalaženju Laplace-transformiranih rubnih uzdužnih sila kao funkcija rubnih pomaka.

Da biste to učinili, razmotrite homogenu jednadžbu uzdužnih vibracija štapa uzimajući u obzir rasipanje energije

(5)

Određivanje

i prelazeći na novu varijablu, dobivamo umjesto (5)

(6)

Ako, gdje je tada parametar frekvencije

.

Rješenje homogene jednadžbe (6) ima oblik:

Integracijske konstante c1 i c2 nalazimo iz početnih uvjeta:

u = u0; N = N0,

Oni. ;

Ovo rješenje odgovara sljedećoj matrici prijenosa:

. (7)

Zamjenom dobivenih izraza za elemente matrice prijenosa u formule metode pomaka dobivamo:

; (8)

;

Indeksi n i k označavaju početak odnosno kraj dijela šipke. A geometrijske i fizikalne konstante s indeksima nk i kn odnose se na određeni presjek štapa.

Dijeleći štap na elemente, pomoću formula (8), sastaviti ćemo jednadžbe za dinamičku ravnotežu čvorova. Ove jednadžbe predstavljaju sustav jednadžbi za nepoznate čvorne pomake. Budući da se odgovarajući koeficijenti dobivaju točnom integracijom, duljina dijelova štapa nije ograničena.

Rješavanjem dobivenog sustava jednadžbi za konstruiramo amplitudno-fazno-frekvencijske karakteristike za presjeke štapa koji nas zanimaju. Ovi AFC-ovi se mogu smatrati grafičkom slikom jednosmjerne Fourierove transformacije, koja se podudara s Laplaceovom transformacijom pod pulsnim utjecajima. Budući da sve singularne točke odgovarajućih izraza leže lijevo od imaginarne osi, inverzna transformacija se može izvesti uz pretpostavku , tj. pomoću konstruiranih AFC-ova. Zadatak konstruiranja AFC-a, gdje se polje početnih brzina pomnoženo s gustoćom štapa pojavljuje kao djelovanje sile, je pomoćni. Tipično, AFC-ovi se konstruiraju iz utjecaja ometajućih sila, zatim se inverzna Laplaceova transformacija provodi numeričkom integracijom ili nekom drugom metodom.

Kao jednostavan primjer, razmotrimo ravni štap duljine l, koji se uzdužno sudara s krutom preprekom brzinom V0 (slika 1).

Odredimo pomak točaka štapa nakon udarca. Pretpostavit ćemo da nakon udarca ostaje kontakt između prepreke i šipke, tj. nema odskoka štapa. Ako je veza nesadržajna, tada se problem može smatrati komadno linearnim. Kriterij za prijelaz na drugu opciju rješenja je promjena predznaka brzine u točki kontakta.

U monografiji Lavrentyev M.A., Shabat B.V. valno rješenje jednadžbe (4) je dano:

i pronađen je njegov original

, (9)

gdje je funkcija jediničnog koraka.

Drugi pristup rješavanju ovog problema može se provesti metodom frekvencije opisanom u. U odnosu na ovaj problem imat ćemo:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Pronađimo original (11)

Riješimo isti problem metodom učestalosti. Iz jednadžbe ravnoteže 1. čvora:

(12)

dobivamo formulu za pomicanje kraja štapa.

Sada, ako se ispitna šipka konstantnog poprečnog presjeka podijeli na dva proizvoljna dijela duljine l1 i l2 (vidi sliku 1), tada će uvjeti ravnoteže za čvorove biti sljedeći:

(13)

Kao rezultat rješavanja sustava (13) dobivamo grafove fazno-frekvencijskog odziva za pomake u 1. i 2. presjeku (U1 odnosno U2). Dakle, slika za pomak ruba u zatvorenom obliku, uzimajući u obzir disipaciju energije, u slučaju (12) i (13) podudara se i ima oblik:

. (14)

Provjerimo podudarnost rezultata na kraju štapa. Na sl. Na slici 2 prikazani su grafovi rješenja (10) pri x = l0,1 i kao rezultat rješavanja sustava (13). Potpuno su isti.

Diskretna Fourierova transformacija može se koristiti za dobivanje prijelaznog procesa. Rezultat se može dobiti izvođenjem numeričke integracije pri t=0... pomoću formule

. (15)

U AFC-u (vidi sliku 2) samo se jedan vidljivi zaokret značajno manifestira. Stoga treba uzeti jedan član serije (15). Grafikoni na slici 3 pokazuju koliko se točno rješenje (9) i rješenje za vibracijske modove (11) podudaraju s predloženim frekvencijskim rješenjem. Greška ne prelazi 18%. Nastala razlika se objašnjava činjenicom da rješenja (9) i (11) ne uzimaju u obzir disipaciju energije u materijalu štapa.

Riža. 3. Prijelazni proces za kraj štapa; 1, 2, 3 - grafikoni konstruirani prema formulama (9), (11), (15).

Kao složeniji primjer razmotrimo problem uzdužnih vibracija stepenastog štapa (sl. 4) s teretom na kraju koji se sudara s krutom preprekom brzinom V0, a ​​masa tereta neka bude jednaka masi susjednog dijela štapa:.

Riža. 4. Proračunski dijagram uzdužnih vibracija stepenastog štapa s teretom na kraju

Uvedimo karakteristične presjeke 1,2,3 štapa u kojima ćemo izračunati pomake. Kreirajmo sustav rješavanja jednadžbi:

(16)

Kao rezultat rješavanja sustava (16) dobivamo grafove fazno-frekvencijskog odziva (slika 5) za pomake u drugom i trećem presjeku (U2() odnosno U3(). Proračuni su provedeni sa sljedećim konstantnim vrijednostima: l = 2 m; E = 2,1×1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. U dobivenim AFC-ima značajno se manifestiraju samo dva vidljiva zavoja. Stoga pri konstrukciji prijelaznog procesa u odabranim presjecima uzimamo dva člana serije (16). Da biste to učinili, prvo morate odrediti

Riža. 5. AFC pomaka u drugom i trećem dijelu stepenaste šipke (vidi sl. 4)

Prijelazni proces se konstruira na sličan način pomoću formule (15).

Zaključak: razvijena je metoda za proračun uzdužnih vibracija štapova pri udaru o prepreku.

Recenzenti:

Lebedev A.M., doktor tehničkih znanosti, izvanredni profesor, profesor Uljanovske više zrakoplovne škole (Institut), Uljanovsk.

Antonets I.V., doktor tehničkih znanosti, profesor Uljanovskog državnog tehničkog sveučilišta, Uljanovsk.

Bibliografska poveznica

Yuganova N.A. UZDUŽNE VIBRACIJE ŠTAPOVA U SUDARU S TVRDOM PREPREKOM // Suvremeni problemi znanosti i obrazovanja. – 2014. – br. 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (datum pristupa: 15.01.2020.). Predstavljamo vam časopise izdavačke kuće "Akademija prirodnih znanosti"

Štap je tijelo čija jedna dimenzija, nazvana uzdužna, znatno premašuje njegove dimenzije u ravnini okomitoj na uzdužni smjer, tj. poprečne dimenzije. Glavno svojstvo štapa je otpor koji pruža uzdužnom pritisku (naprezanju) i savijanju. Ovo svojstvo bitno razlikuje štap od strune, koja se ne rasteže i ne opire se savijanju. Ako je gustoća materijala štapa ista u svim njegovim točkama, tada se štap naziva homogenim.

Tipično, produžena tijela omeđena zatvorenom cilindričnom površinom smatraju se štapovima. U tom slučaju površina poprečnog presjeka ostaje konstantna. Proučavat ćemo ponašanje upravo takvog ravnomjernog štapa l, pod pretpostavkom da je podložan samo kompresiji ili napetosti, poštujući Hookeov zakon. Pri proučavanju malih uzdužnih deformacija štapa, tzv hipoteza ravninskih presjeka. Leži u činjenici da poprečni presjeci, koji se kreću pod pritiskom ili napetosti duž šipke, ostaju ravni i paralelni jedni s drugima.

Usmjerimo os x duž uzdužne osi štapa (slika 19) i pretpostavit ćemo da su u početnom trenutku vremena krajevi štapa u točkama x=0 I x=l. Uzmimo proizvoljan presjek štapa s koordinatom x. Označimo sa u(x,t) pomak ovog odjeljka u trenutku vremena t, zatim pomak presjeka s koordinat u istom trenutku vremena bit će jednaka

Zatim relativno produljenje štapa u presjeku x bit će jednaki

Sila otpora ovom istezanju prema Hookeovom zakonu bit će jednaka

Gdje E– modul elastičnosti materijala šipke (Youngov modul), i S – poprečni presjek područja. Na granicama odsječka štapa s dužinom dx sile djeluju na njega T x I T x + dx, usmjeren duž osi x. Rezultanta tih sila bit će jednaka

,

a ubrzanje presjeka štapa koji se razmatra je jednako , tada će jednadžba gibanja ovog dijela štapa imati oblik:

, (67)

Gdje ρ – gustoća materijala šipke. Ako su ova gustoća i Youngov modul konstantni, tada možemo unijeti količinu kroz i dijeljenjem obje strane jednadžbe s Sdx, konačno dobiti jednadžba uzdužnih vibracija štapa u nedostatku vanjskih sila

(68)

Ova jednadžba ima isti oblik kao jednadžba za transverzalne vibracije žice a metode rješenja za njega su iste, međutim, koeficijent a Ove jednadžbe predstavljaju različite količine. U jednadžbi niza, količina a 2 predstavlja razlomak čiji je brojnik konstantna sila napetosti žice - T, a u nazivniku linearna gustoća ρ , a u jednadžbi niza brojnici sadrže Youngov modul, a nazivnik – volumetrijski gustoća materijala šipke ρ . Odatle i fizičko značenje količine a u ovim jednadžbama je različit. Ako je za strunu ovaj koeficijent brzina prostiranja malog poprečnog pomaka, onda je za štap to brzina prostiranja malog uzdužnog istezanja ili kompresije i naziva se brzina zvuka, budući da će se pri toj brzini male uzdužne vibracije, koje predstavljaju zvuk, širiti duž šipke.

Za jednadžbu (68) postavljaju se početni uvjeti koji određuju pomak i brzinu pomaka bilo kojeg dijela štapa u početnom trenutku:

Za ograničeni štap, uvjeti pričvršćivanja ili primjene sile na njegovim krajevima navedeni su u obliku rubnih uvjeta 1., 2. i 3. vrste.

Rubni uvjeti prve vrste određuju uzdužni pomak na krajevima štapa:

Ako su krajevi štapa nepomično učvršćeni, tada pod uvjetima (6) . U ovom slučaju, kao iu problemu osciliranja uklještene strune, primjenjujemo metodu razdvajanja varijabli.

U rubnim uvjetima druge vrste, na krajevima štapa specificirane su elastične sile koje proizlaze iz deformacije prema Hookeovom zakonu ovisno o vremenu. Prema formuli (66) te su sile, do konstantnog faktora, jednake derivaciji u x, stoga su na krajevima ove derivacije specificirane kao funkcije vremena:

Ako je jedan kraj šipke slobodan, onda na ovom kraju u x = 0.

Rubni uvjeti treće vrste mogu se prikazati kao uvjeti pod kojima je na svakom kraju štapa pričvršćena opruga, čiji se drugi kraj kreće duž osi prema zadanom vremenskom zakonu. θ (t), kao što je prikazano na sl. 20. Ovi se uvjeti mogu napisati na sljedeći način

, (72)

Gdje k 1 i k 2 – krutost opruge.

Ako na štap duž osi djeluje i vanjska sila str(x,t), izračunato po jedinici volumena, tada umjesto jednadžbe (50) treba napisati nehomogenu jednadžbu

,

Koji, nakon dijeljenja s, poprima oblik

, (73)

Gdje . Jednadžba (73) je jednadžba prisilnih uzdužnih vibracija štapa, koja se rješava po analogiji s jednadžbom prisilnih vibracija strune.

Komentar. Treba napomenuti da su i struna i štap modeli stvarnih tijela, koja u stvarnosti mogu pokazivati ​​i svojstva strune i štapa, ovisno o uvjetima u kojima se nalaze. Osim toga, dobivene jednadžbe ne uzimaju u obzir sile otpora okoline i sile unutarnjeg trenja, zbog čega ove jednadžbe opisuju neprigušene oscilacije. Da bi se uzeo u obzir učinak prigušenja, u najjednostavnijem slučaju koristi se disipativna sila, proporcionalna brzini i usmjerena u smjeru suprotnom od kretanja, tj. ubrzati. Kao rezultat, jednadžba (73) poprima oblik

(74)

Promotrimo štap jednolike duljine, tj. tijelo valjkastog ili nekog drugog oblika, za čije rastezanje ili savijanje treba djelovati određena sila. Posljednja okolnost razlikuje čak i najtanju šipku od strune, koja se, kao što znamo, slobodno savija.

U ovom poglavlju primijenit ćemo metodu karakteristika na proučavanje uzdužnih vibracija štapa, a ograničit ćemo se na proučavanje samo takvih vibracija kod kojih poprečni presjeci, krećući se duž osi štapa, ostaju ravni i paralelni s međusobno (slika 6). Takva je pretpostavka opravdana ako su poprečne dimenzije štapa male u usporedbi s njegovom duljinom.

Ako se šipka malo rastegne ili stisne duž uzdužne osi i zatim prepusti sama sebi, tada će u njoj nastati uzdužne vibracije. Usmjerimo os duž osi štapa i pretpostavimo da su u stanju mirovanja krajevi štapa u točkama Neka je apscisa određenog odsječka štapa kada ovaj miruje. Označimo s pomakom ovog presjeka u trenutku vremena, tada će pomak presjeka s apscisom biti jednak

Odavde je jasno da je relativno produljenje štapa u presjeku s apscisom x izraženo derivacijom

Uz pretpostavku da štap prolazi kroz male oscilacije, možemo izračunati napetost u ovom dijelu. Doista, primjenom Hookeovog zakona, nalazimo da

gdje je modul elastičnosti materijala štapa, površina njegovog presjeka. Uzmimo priloženi štapni element

između dva presjeka čije su apscise u mirovanju jednake. Na ovaj element djeluju sile napetosti koje djeluju u tim presjecima i usmjerene su duž osi. Rezultanta tih sila ima veličinu

a također je usmjeren duž . S druge strane, akceleracija elementa je jednaka, slijedom čega možemo napisati jednakost

gdje je volumetrijska gustoća štapa. Stavljanje

a reducirajući za dobivamo diferencijalnu jednadžbu uzdužnih vibracija homogenog štapa

Oblik ove jednadžbe pokazuje da su uzdužne vibracije štapa valne prirode, a brzina širenja uzdužnih valova a određena je formulom (4).

Ako na štap djeluje i vanjska sila izračunata po jedinici njegovog volumena, tada umjesto (3) dobivamo

Ovo je jednadžba prisilnih uzdužnih vibracija štapa. Kao i u dinamici općenito, jednadžba gibanja (6) sama po sebi nije dovoljna da se potpuno odredi gibanje štapa. Potrebno je postaviti početne uvjete, odnosno postaviti pomake sekcija štapa i njihove brzine u početnom trenutku vremena.

gdje su i zadane funkcije u intervalu (

Osim toga, rubni uvjeti na krajevima šipke moraju biti navedeni. Na primjer.