Negativni stupanj kako riješiti. Zadaci za samostalno rješavanje

Iz škole svi znamo pravilo o dizanju na potenciju: svaki broj s eksponentom N jednak je rezultatu množenja tog broja samim sobom N puta. Drugim riječima, 7 na potenciju 3 je 7 pomnoženo samim sobom tri puta, to jest 343. Još jedno pravilo - podizanje bilo koje vrijednosti na potenciju 0 daje jedan, a podizanje negativne vrijednosti je rezultat običnog potenciranja, ako paran je, a isti rezultat s predznakom minus ako je neparan.

Pravila daju i odgovor kako broj podići na negativnu potenciju. Da biste to učinili, morate podići traženu vrijednost za modul indikatora na uobičajeni način, a zatim podijeliti jedinicu s rezultatom.

Iz ovih pravila postaje jasno da će provedba stvarnih zadataka s velikim količinama zahtijevati dostupnost tehničkih sredstava. Ručno će se moći množiti samim sobom maksimalan raspon brojeva do dvadeset ili trideset, a zatim ne više od tri ili četiri puta. Ovo ne spominje činjenicu da tada također dijelite jedinicu s rezultatom. Stoga, za one koji nemaju pri ruci poseban inženjerski kalkulator, reći ćemo vam kako podići broj na negativnu snagu u Excelu.

Rješavanje problema u Excelu

Da biste riješili probleme s potenciranjem, Excel vam omogućuje korištenje jedne od dvije mogućnosti.

Prvi je uporaba formule sa standardnim simbolom kape. Unesite sljedeće podatke u ćelije radnog lista:

Na isti način možete podići željenu vrijednost na bilo koju snagu - negativnu, frakcijsku. Učinimo sljedeće i odgovorimo na pitanje kako broj podići na negativnu potenciju. Primjer:

Moguće je ispraviti izravno u formuli =B2^-C2.

Druga opcija je korištenje gotove funkcije "Stupanj", koja uzima dva obvezna argumenta - broj i indikator. Da biste je počeli koristiti, dovoljno je u bilo koju slobodnu ćeliju staviti znak jednakosti (=) koji označava početak formule i unijeti gornje riječi. Ostaje odabrati dvije ćelije koje će sudjelovati u operaciji (ili ručno odrediti određene brojeve) i pritisnuti tipku Enter. Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u tome kako podići broj na negativnu snagu i na redovnu pomoću programa Excel. Uostalom, da biste riješili ovaj problem, možete koristiti i poznati simbol "poklopca" i lako pamtljivu ugrađenu funkciju programa. Ovo je definitivan plus!

Prijeđimo na složenije primjere. Prisjetimo se pravila kako podići broj na negativnu potenciju razlomka i vidjet ćemo da se ovaj zadatak vrlo jednostavno rješava u Excelu.

Frakcijski pokazatelji

Ukratko, algoritam za izračunavanje broja s razlomačkim eksponentom je sljedeći.

1. Pretvorite razlomački eksponent u pravi ili nepravi razlomak.
2. Podignite naš broj na brojnik dobivenog pretvorenog razlomka.
3. Iz broja dobivenog u prethodnom odlomku izračunajte korijen, s tim da će pokazatelj korijena biti nazivnik razlomka dobivenog u prvoj fazi.

Složite se da čak i kada radite s malim brojevima i pravilnim razlomcima, takvi izračuni mogu potrajati puno vremena. Dobro je što procesor proračunskih tablica Excel ne mari koji će broj i na koji stupanj podići. Pokušajte riješiti sljedeći primjer u Excel radnom listu:

Pomoću gornjih pravila možete provjeriti i uvjeriti se da je izračun točan.

Na kraju našeg članka dat ćemo u obliku tablice s formulama i rezultatima nekoliko primjera kako podići broj na negativnu potenciju, kao i nekoliko primjera s razlomačkim brojevima i potencijama.

Primjer tablice

Provjerite radni list programa Excel za sljedeće primjere. Da bi sve radilo ispravno, trebate koristiti mješovitu referencu prilikom kopiranja formule. Popravite broj stupca koji sadrži broj koji se podiže i broj retka koji sadrži indikator. Vaša bi formula trebala izgledati otprilike ovako: "=$B4^C$3".

Imajte na umu da se pozitivni brojevi (čak i oni koji nisu cijeli) izračunavaju bez problema za sve eksponente. Nema problema s podizanjem bilo kojeg broja na cijele brojeve. Ali dizanje negativnog broja na razlomačku potenciju za vas će se pokazati kao greška, jer je nemoguće slijediti pravilo navedeno na početku našeg članka o dizanju negativnih brojeva, jer je parnost karakteristika isključivo CIJELOG broja.

U nastavku razgovora o stupnju broja, logično je pozabaviti se pronalaženjem vrijednosti stupnja. Ovaj proces je nazvan potenciranje. U ovom ćemo članku samo proučiti kako se izvodi potenciranje, a dotaknuti ćemo se svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera povećanja brojeva na različite stupnjeve.

Navigacija po stranici.

Što znači "potenciranje"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se naziva stepenovanje. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Potenciranje je pronaći vrijednost potencije broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti potencije a s eksponentom r i dizanje broja a na potenciju r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost potencije (0,5) 5", tada se može preformulirati na sljedeći način: "Podignite broj 0,5 na potenciju 5".

Sada možete ići izravno na pravila prema kojima se izvodi potenciranje.

Dizanje broja na prirodni potenc

U praksi se jednakost temeljena na obično primjenjuje u obliku . Odnosno, pri podizanju broja a na razlomačku potenciju m / n prvo se iz broja a izvuče korijen n-tog stupnja, nakon čega se rezultat podiže na cjelobrojnu potenciju m.

Razmotrite rješenja primjera dizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stupnja.

Riješenje.

Prikazujemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stupnja pod znakom korijena, nakon čega izdvajamo kubni korijen: .

Drugi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom i na temelju svojstava korijena jednakosti su točne . Sada izvadite korijen Konačno, dižemo na cjelobrojnu potenciju .

Očito se podudaraju dobiveni rezultati dizanja na razlomak.

Odgovor:

Imajte na umu da se razlomački eksponent može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim izvršiti potenciranje.

Primjer.

Izračunajte (44,89) 2,5 .

Riješenje.

Eksponent pišemo u obliku običnog razlomka (ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo dizanje na razlomak:

Odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne ovlasti prilično naporan proces (pogotovo kada su brojnik i nazivnik frakcijskog eksponenta prilično veliki brojevi), koji se obično provodi pomoću računalne tehnologije.

U zaključku ovog paragrafa, zadržat ćemo se na konstrukciji broja nula na razlomačku potenciju. Frakcijskom stupnju nule oblika dali smo sljedeće značenje: jer imamo , dok nula na potenciju m/n nije definirana. Dakle, nula do pozitivne frakcijske snage je nula, na primjer, . A nula u razlomačkoj negativnoj potenciji nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu snagu

Ponekad postaje potrebno saznati vrijednost stupnja broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, za praktične svrhe, obično je dovoljno dobiti vrijednost stupnja do određenog predznaka. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektroničke računalne tehnologije, budući da ručno podizanje na iracionalnu snagu zahtijeva veliki broj glomaznih izračuna. Ali ipak ćemo općenito opisati bit radnji.

Da bi se dobila približna vrijednost potencije a s iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je približna vrijednost stupnja broja a s iracionalnim eksponentom. Što je točnija decimalna aproksimacija broja uzeta na početku, točnija će vrijednost stupnja biti na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost potencije 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog pokazatelja: . Sada dižemo 2 na racionalnu snagu od 1,17 (opisali smo suštinu ovog procesa u prethodnom odlomku), dobivamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Na ovaj način, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo točniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, tada ćemo dobiti točniju vrijednost izvornog stupnja: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika Zh udžbenik za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

U jednom od prethodnih članaka već smo spomenuli stupanj broja. Danas ćemo pokušati navigirati u procesu pronalaženja njegovog značenja. Znanstveno govoreći, otkrit ćemo kako pravilno potencirati. Razumjet ćemo kako se taj proces odvija, istovremeno dotičući sve moguće eksponente: prirodne, iracionalne, racionalne, cjelovite.

Dakle, pogledajmo pobliže rješenja primjera i saznajmo što to znači:

1. Definicija pojma.
2. Podizanje do negativne umjetnosti.
3. Cijeli rezultat.
4. Dizanje broja na iracionalnu potenciju.

Evo definicije koja točno odražava značenje: "Podizanje na potenciju je definicija vrijednosti stupnja broja."

Sukladno tome konstrukcija broja a u čl. r i postupak pronalaženja vrijednosti stupnja a s eksponentom r identični su pojmovi. Na primjer, ako je zadatak izračunati vrijednost stupnja (0,6) 6 ″, tada se može pojednostaviti na izraz "Podignite broj 0,6 na snagu 6".

Nakon toga možete nastaviti izravno s pravilima gradnje.

Podizanje na negativnu potenciju

Radi jasnoće, trebali biste obratiti pozornost na sljedeći niz izraza:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 u minus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 u minus 2 koraka.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stupnja.

Zahvaljujući ovim primjerima, možete jasno vidjeti mogućnost trenutnog izračuna 10 na bilo koju negativnu potenciju. U tu svrhu dovoljno je samo pomaknuti decimalnu komponentu:

• 10 do -1 stupanj - prije jedinice 1 nula;
• u -3 - tri nule prije jedan;
• -9 je 9 nula i tako dalje.

Također je lako razumjeti prema ovoj shemi koliko će biti 10 minus 5 žlica. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako podići broj na prirodnu potenciju

Podsjećajući na definiciju, uzimamo u obzir da prirodni broj a u čl. n je jednako umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ilustrirajmo: (a * a * ... a) n, gdje je n broj brojeva koji se množe. Prema tome, da bi se podiglo a na n, potrebno je izračunati umnožak sljedećeg oblika: a * a * ... i podijeliti s n puta.

Odavde postaje očito da erekcija u prirodnoj umjetnosti. oslanja se na sposobnost izvođenja množenja(ovaj materijal je pokriven u odjeljku o množenju realnih brojeva). Pogledajmo problem:

Povećajte -2 na 4. tbsp.

Imamo posla s prirodnim pokazateljem. Sukladno tome tijek odluke bit će sljedeći: (-2) u čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Sada ostaje samo izvršiti množenje cijelih brojeva: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Dobivamo 16.

Odgovor na zadatak:

(-2) u čl. 4=16.

Primjer:

Izračunajte vrijednost: tri zarez dvije sedmine na kvadrat.

Ovaj primjer jednak je sljedećem umnošku: tri zarez dva sedmi puta tri zarez dva sedmi. Sjećajući se kako se provodi množenje mješovitih brojeva, dovršavamo konstrukciju:

• 3 cijele 2 sedmine pomnožene same sa sobom;
• jednako je 23 sedmine puta 23 sedmine;
• jednako je 529 četrdeset devetina;
• smanjimo i dobijemo 10 trideset devet četrdeset devetih.

Odgovor: 10 39/49

Što se tiče pitanja podizanja na iracionalni pokazatelj, treba napomenuti da se izračuni počinju provoditi nakon završetka preliminarnog zaokruživanja osnove stupnja na neki rang, što bi omogućilo dobivanje vrijednosti sa zadanom točnošću . Na primjer, moramo kvadrirati broj P (pi).

Počinjemo zaokruživanjem P na stotinke i dobivamo:

P na kvadrat \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Međutim, ako P svedemo na desettisućinke, dobit ćemo P = 3,14159. Tada se kvadriranjem dobije potpuno drugačiji broj: 9,8695877281.

Ovdje treba napomenuti da u mnogim problemima nema potrebe dizati iracionalne brojeve na potenciju. U pravilu se odgovor unosi ili u obliku, zapravo, stupnja, na primjer, korijena od 6 na potenciju od 3, ili, ako izraz dopušta, provodi se njegova transformacija: korijen od 5 na 7 stupnjeva \u003d 125 korijen od 5.

Kako podići broj na cjelobrojnu potenciju

Ova algebarska manipulacija je prikladna uzeti u obzir za sljedeće slučajeve:

• za cijele brojeve;
• za indikator nule;
• za pozitivan cijeli broj.

Budući da se gotovo svi prirodni brojevi podudaraju s masom prirodnih brojeva, njezino postavljanje na pozitivnu cjelobrojnu potenciju isti je postupak kao i postavljanje u čl. prirodni. Ovaj smo proces opisali u prethodnom paragrafu.

Sada razgovarajmo o izračunu čl. ništavan. Već smo gore doznali da se nulta potencija broja a može odrediti za svako različito od nule a (realno), dok a u st. 0 će biti jednako 1.

Prema tome, konstrukcija bilo kojeg realnog broja do nule čl. dat će jedan.

Na primjer, 10 u st.0=1, (-3,65)0=1, i 0 u st. 0 se ne može odrediti.

Da bismo dovršili potenciranje na cjelobrojnu potenciju, preostaje odlučiti o opcijama za negativne cjelobrojne vrijednosti. Sjećamo se da je čl. od a s cjelobrojnim eksponentom -z bit će definiran kao razlomak. U nazivniku razlomka je čl. s pozitivnim cijelim brojem, čiju smo vrijednost već naučili pronaći. Sada ostaje samo razmotriti primjer konstrukcije.

Primjer:

Izračunajte vrijednost broja 2 na kub s negativnim cijelim brojem.

Postupak rješenja:

Prema definiciji stupnja s negativnim pokazateljem, označavamo: dva u minus 3 žlice. jednako jedan prema dva na treću potenciju.

Nazivnik se izračunava jednostavno: dva kubna;

3 = 2*2*2=8.

Odgovor: dvije do minus 3. tbsp. = jedna osmina.

Eksponent se koristi za lakše pisanje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje takvog prijelaza dano je u prvom odjeljku ovog članka). Potencijali olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednadžbi; također, potencije se lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenjem izraza ili jednadžbe (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bilješka: ako trebate riješiti eksponencijalnu jednadžbu (u takvoj jednadžbi nepoznanica je u eksponentu), pročitajte.

Koraci

Rješavanje jednostavnih problema s potencijama

Pomnožite bazu eksponenta samu sobom broj puta jednak eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem s eksponentima, prepišite eksponent kao operaciju množenja, gdje se baza eksponenta množi sama sa sobom. Na primjer, s obzirom na diplomu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, baza stupnja 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - postupak izračuna nije tako kompliciran kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Kao ovo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sa sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat proporcionalno će se povećavati. U našem primjeru pomnožite 16 s 4. Ovako:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Nastavite množiti rezultat množenja prva dva broja sa sljedećim brojem dok ne dobijete konačni odgovor. Da biste to učinili, pomnožite prva dva broja, a zatim rezultat pomnožite sa sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koju diplomu. U našem primjeru trebali biste dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor kalkulatorom.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n))", ili "^". Ovom tipkom podižete broj na potenciju. Praktično je nemoguće ručno izračunati stupanj s velikim eksponentom (na primjer, stupanj 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U sustavu Windows 7 standardni kalkulator može se prebaciti u inženjerski način rada; da biste to učinili, kliknite "Prikaz" -\u003e "Inženjering". Za prebacivanje u normalni način rada kliknite "Prikaz" -\u003e "Normalno".

   • Provjerite primljeni odgovor pomoću tražilice (Google ili Yandex). Pomoću tipke "^" na tipkovnici računala unesite izraz u tražilicu koja će odmah prikazati točan odgovor (i eventualno predložiti slične izraze za proučavanje).

   Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija

   1. Potencije možete zbrajati i oduzimati samo ako imaju istu bazu. Ako trebate zbrajati potencije s istim bazama i eksponentima, tada operaciju zbrajanja možete zamijeniti operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Upamtite da stupanj 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se predstaviti kao 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Tako, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, izbrojite broj sličnih stupnjeva, a zatim pomnožite takav stupanj i ovaj broj. U našem primjeru, podignite 4 na petu potenciju, a zatim pomnožite rezultat s 2. Zapamtite da se operacija zbrajanja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Pri množenju potencija s istom bazom njihovi se eksponenti zbrajaju (baza se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. Na ovaj način, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizualnog objašnjenja ovog pravila:

      Kod dizanja potencije na potenciju eksponenti se množe. Na primjer, s obzirom na diplomu. Budući da se eksponenti množe, dakle (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Značenje ovog pravila je da umnožavate moć (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebi pet puta. Kao ovo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Budući da je baza ista, eksponenti se jednostavno zbrajaju: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponent s negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (na inverznu potenciju). Nije važno ako ne znate što je recipročnost. Ako ste dobili diplomu s negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), zapišite ovu potenciju u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojnik), a eksponent neka bude pozitivan. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:

      Pri dijeljenju potencija s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Eksponent u nazivniku oduzmite od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). Na ovaj način, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stupanj u nazivniku može se napisati na sljedeći način: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne zaboravite da je razlomak broj (potencija, izraz) s negativnim eksponentom.

   4. Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite kako riješiti probleme s napajanjem. Gore navedeni izrazi pokrivaju materijal predstavljen u ovom odjeljku. Da biste vidjeli odgovor, samo označite prazan prostor iza znaka jednakosti.

   Rješavanje zadataka s razlomačkim eksponentima

   Stupanj s frakcijskim eksponentom (na primjer, ) pretvara se u operaciju izvlačenja korijena. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nije važno koji je broj u nazivniku eksponenta razlomka. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je četvrti korijen od "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ako je eksponent nepravi razlomak, tada se takav eksponent može rastaviti na dvije potencije kako bi se pojednostavilo rješenje problema. U tome nema ništa komplicirano - samo zapamtite pravilo za množenje potencije. Na primjer, s obzirom na diplomu. Pretvorite taj eksponent u korijen čiji je eksponent jednak nazivniku razlomljenog eksponenta, a zatim podignite taj korijen na eksponent jednak brojniku razlomljenog eksponenta. Da biste to učinili, zapamtite to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). U našem primjeru:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Neki kalkulatori imaju gumb za izračunavanje eksponenata (prvo treba unijeti bazu, zatim pritisnuti gumb, a zatim unijeti eksponent). Označava se kao ^ ili x^y.
   3. Zapamtite da je svaki broj jednak sebi na prvu potenciju, na primjer, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Štoviše, svaki broj pomnožen ili podijeljen s jedan jednak je sam sebi, na primjer, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) i 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Znajte da stupanj 0 0 ne postoji (takav stupanj nema rješenja). Kada pokušate riješiti takav stupanj na kalkulatoru ili na računalu, dobit ćete pogrešku. Ali zapamtite da je bilo koji broj na nulti potenciju jednak 1, na primjer, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. U višoj matematici, koja operira s imaginarnim brojevima: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), gdje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konstanta približno jednaka 2,7; a je proizvoljna konstanta. Dokaz ove jednakosti može se naći u svakom udžbeniku više matematike.

   Upozorenja

   • Kako se eksponent povećava, njegova vrijednost uvelike raste. Stoga, ako vam se odgovor čini krivim, zapravo se može pokazati točnim. To možete provjeriti crtanjem bilo koje eksponencijalne funkcije, kao što je 2 x .

Shvatili smo što je uopće stupanj broja. Sada moramo razumjeti kako to ispravno izračunati, tj. dizati brojeve na potencije. U ovom materijalu ćemo analizirati osnovna pravila za izračunavanje stupnja u slučaju cjelobrojnog, prirodnog, frakcijskog, racionalnog i iracionalnog eksponenta. Sve definicije bit će ilustrirane primjerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojam stepenovanja

Počnimo s formuliranjem osnovnih definicija.

Definicija 1

Potenciranje je izračunavanje vrijednosti potencije nekog broja.

Odnosno, riječi "izračunavanje vrijednosti stupnja" i "potenciranje" znače isto. Dakle, ako je zadatak "Podigni broj 0 , 5 na petu potenciju", to treba shvatiti kao "izračunaj vrijednost potencije (0 , 5) 5 .

Sada dajemo osnovna pravila koja se moraju pridržavati u takvim izračunima.

Prisjetite se što je potencija broja s prirodnim eksponentom. Za potenciju s bazom a i eksponentom n, to će biti umnožak n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak a. Ovo se može napisati ovako:

Da biste izračunali vrijednost stupnja, potrebno je izvršiti operaciju množenja, odnosno pomnožiti baze stupnja navedeni broj puta. Sam koncept diplome s prirodnim pokazateljem temelji se na sposobnosti brzog umnožavanja. Navedimo primjere.

Primjer 1

Uvjet: Podignite - 2 na potenciju 4 .

Riješenje

Koristeći gornju definiciju, pišemo: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Dalje, samo trebamo slijediti ove korake i dobiti 16 .

Uzmimo kompliciraniji primjer.

Primjer 2

Izračunajte vrijednost 3 2 7 2

Riješenje

Ovaj unos se može prepisati kao 3 2 7 · 3 2 7 . Ranije smo pogledali kako pravilno pomnožiti mješovite brojeve spomenute u uvjetu.

Izvedite ove korake i dobijte odgovor: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ako zadatak ukazuje na potrebu podizanja iracionalnih brojeva na prirodni potenc, trebat ćemo prvo zaokružiti njihove baze na znamenku koja će nam omogućiti da dobijemo odgovor željene točnosti. Uzmimo primjer.

Primjer 3

Izvršite kvadriranje broja π.

Riješenje

Zaokružimo prvo na stotinke. Tada je π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ako je π ≈ 3 . 14159, tada ćemo dobiti točniji rezultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Imajte na umu da se potreba za izračunavanjem potencije iracionalnih brojeva u praksi javlja relativno rijetko. Zatim možemo napisati odgovor kao samu potenciju (ln 6) 3 ili pretvoriti ako je moguće: 5 7 = 125 5 .

Zasebno treba navesti koja je prva snaga broja. Ovdje možete zapamtiti da će svaki broj podignut na prvu potenciju ostati sam:

To je jasno iz zapisnika. .

Ne ovisi o osnovi diplome.

Primjer 4

Dakle, (− 9) 1 = − 9 , a 7 3 podignuto na prvu potenciju ostaje jednako 7 3 .

Radi praktičnosti, analizirat ćemo tri slučaja odvojeno: ako je eksponent pozitivan cijeli broj, ako je nula i ako je negativan cijeli broj.

U prvom slučaju, to je isto što i dizanje na prirodni stepen: na kraju krajeva, cijeli pozitivni brojevi pripadaju skupu prirodnih brojeva. Gore smo već opisali kako raditi s takvim stupnjevima.

Sada da vidimo kako pravilno podići na nultu snagu. S bazom koja nije nula, ovaj izračun uvijek daje izlaz od 1 . Prethodno smo objasnili da se 0-ta potencija a može definirati za bilo koji realni broj koji nije jednak 0, a a 0 = 1.

Primjer 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nije definirano.

Ostaje nam samo slučaj stupnja s negativnim cijelim eksponentom. Već smo raspravljali o tome da se takvi stupnjevi mogu napisati kao razlomak 1 a z, gdje je a bilo koji broj, a z negativan cijeli broj. Vidimo da je nazivnik ovog razlomka ništa više od običnog stupnja s pozitivnim cijelim brojem, a već smo naučili kako ga izračunati. Navedimo primjere zadataka.

Primjer 6

Podignite 3 na -2.

Riješenje

Koristeći gornju definiciju, pišemo: 2 - 3 = 1 2 3

Izračunavamo nazivnik ovog razlomka i dobivamo 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Tada je odgovor: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Primjer 7

Podignite 1, 43 na -2 potenciju.

Riješenje

Preformulirajte: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Izračunavamo kvadrat u nazivniku: 1,43 1,43. Decimale se mogu množiti na sljedeći način:

Kao rezultat, dobili smo (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Ostaje nam da ovaj rezultat zapišemo u obliku običnog razlomka, za što ga je potrebno pomnožiti s 10 tisuća (vidi materijal o pretvorbi razlomaka).

Odgovor: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Poseban slučaj je dizanje broja na minus prvu potenciju. Vrijednost takvog stupnja jednaka je broju suprotnom od izvorne vrijednosti baze: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Primjer 8

Primjer: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kako podići broj na razlomak

Da bismo izvršili takvu operaciju, moramo se prisjetiti osnovne definicije stupnja s razlomačkim eksponentom: a m n \u003d a m n za bilo koje pozitivno a, cijeli broj m i prirodni n.

Definicija 2

Dakle, izračun frakcijskog stupnja mora se izvesti u dva koraka: dizanje na cjelobrojnu potenciju i pronalaženje korijena n-tog stupnja.

Imamo jednakost a m n = a m n , koja se, s obzirom na svojstva korijena, obično koristi za rješavanje zadataka u obliku a m n = a n m . To znači da ako broj a podignemo na razlomačku potenciju m / n, tada prvo iz a izvučemo korijen n-tog stupnja, a zatim rezultat podignemo na potenciju s cjelobrojnim eksponentom m.

Ilustrirajmo primjerom.

Primjer 9

Izračunaj 8 - 2 3 .

Riješenje

Metoda 1. Prema osnovnoj definiciji, možemo to predstaviti kao: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Izračunajmo sada stupanj ispod korijena i iz rezultata izvučemo treći korijen: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformirajmo osnovnu jednakost: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Nakon toga vadimo korijen 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 i rezultat kvadriramo na kvadrat: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidimo da su rješenja identična. Možete koristiti kako god želite.

Postoje slučajevi kada stupanj ima indikator izražen kao mješoviti broj ili decimalni razlomak. Radi lakšeg izračuna, bolje ga je zamijeniti običnim razlomkom i brojati kako je gore navedeno.

Primjer 10

Podignite 44,89 na potenciju broja 2,5.

Riješenje

Pretvorimo vrijednost indikatora u obični razlomak - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Sada izvodimo sve gore navedene radnje redom: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Odgovor: 13501, 25107.

Ako postoje veliki brojevi u brojniku i nazivniku frakcijskog eksponenta, tada je izračunavanje takvih eksponenata s racionalnim eksponentima prilično težak posao. Obično zahtijeva računalnu tehnologiju.

Zasebno se zadržavamo na stupnju s nultom bazom i frakcijskim eksponentom. Izrazu oblika 0 m n može se dati sljedeće značenje: ako je m n > 0, tada je 0 m n = 0 m n = 0 ; ako m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kako podići broj na iracionalnu potenciju

Potreba za izračunavanjem vrijednosti stupnja, u čijem pokazatelju postoji iracionalan broj, ne pojavljuje se tako često. U praksi se zadatak obično ograničava na izračunavanje približne vrijednosti (do određenog broja decimalnih mjesta). To se obično izračunava na računalu zbog složenosti takvih izračuna, pa se nećemo detaljno zadržavati na tome, samo ćemo navesti glavne odredbe.

Ako trebamo izračunati vrijednost stupnja a s iracionalnim eksponentom a , tada uzimamo decimalnu aproksimaciju eksponenta i računamo od njega. Rezultat će biti približan odgovor. Što je točnija decimalna aproksimacija, točniji je odgovor. Pokažimo na primjeru:

Primjer 11

Izračunajte približnu vrijednost 21, 174367 ....

Riješenje

Ograničavamo se na decimalnu aproksimaciju a n = 1, 17. Izračunajmo koristeći ovaj broj: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ako uzmemo, na primjer, aproksimaciju a n = 1 , 1743 , tada će odgovor biti malo precizniji: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter