Zapis racionalnih brojeva. Brojke

Definicija racionalnih brojeva

Racionalni brojevi uključuju:

• Prirodni brojevi koji se mogu prikazati kao razlomak. Na primjer, $7=\frac(7)(1)$.
• Cijeli brojevi, uključujući nulu, koja se može prikazati kao pozitivan ili negativan razlomak ili kao nula. Na primjer, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Obični razlomci (pozitivni ili negativni).
• Mješoviti brojevi koji se mogu prikazati kao nepravi razlomak. Na primjer, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ i $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Konačni decimalni i beskonačni periodički razlomak koji se može prikazati kao razlomak. Na primjer, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Napomena 1

Imajte na umu da beskonačni neperiodični decimalni razlomak ne pripada racionalnim brojevima, jer ne može se prikazati kao običan razlomak.

Primjer 1

Prirodni brojevi $7, 670, 21\456$ su racionalni.

Cijeli brojevi $76, –76, 0, –555\666$ su racionalni.

Obični razlomci $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – racionalni brojevi .

Dakle, racionalni brojevi se dijele na pozitivne i negativne. Broj nula je racionalan, ali nije ni pozitivan ni negativan racionalan broj.

Formulirajmo sažetiju definiciju racionalnih brojeva.

Definicija 3

Racionalno su brojevi koji se mogu prikazati kao konačni ili beskonačni periodički decimalni razlomak.

Mogu se izvući sljedeći zaključci:

• pozitivni i negativni cijeli brojevi i razlomci pripadaju skupu racionalnih brojeva;
• racionalni brojevi mogu se prikazati kao razlomak koji ima cijeli brojnik i prirodni nazivnik i racionalan je broj;
• racionalni brojevi mogu se prikazati kao bilo koji periodični decimalni razlomak koji je racionalan broj.

Kako odrediti je li broj racionalan

1. Broj je naveden kao numerički izraz koji se sastoji samo od racionalnih brojeva i znakova aritmetičkih operacija. U ovom slučaju vrijednost izraza bit će racionalan broj.
2. Kvadratni korijen prirodnog broja je racionalan broj samo ako korijen sadrži broj koji je potpuni kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, $\sqrt(9)$ i $\sqrt(121)$ su racionalni brojevi, jer $9=3^2$ i $121=11^2$.
3. $n$-ti korijen cijelog broja je racionalan broj samo ako je broj ispod znaka korijena $n$-ta potencija nekog cijelog broja. Na primjer, $\sqrt(8)$ je racionalan broj, jer $8=2^3$.

Na brojevnoj su osi racionalni brojevi gusto raspoređeni: između svaka dva racionalna broja koji međusobno nisu jednaki može se smjestiti barem jedan racionalni broj (dakle, beskonačan skup racionalnih brojeva). Istodobno, skup racionalnih brojeva karakterizira prebrojiva kardinalnost (odnosno, svi elementi skupa mogu biti numerirani). Stari Grci su dokazali da postoje brojevi koji se ne mogu napisati razlomkom. Pokazali su da ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak $2$. Tada se pokazalo da racionalni brojevi nisu dovoljni za izražavanje svih veličina, što je kasnije dovelo do pojave realnih brojeva. Skup racionalnih brojeva je, za razliku od realnih brojeva, nul-dimenzionalan.

U ovom ćemo članku početi istraživati racionalni brojevi. Ovdje ćemo dati definicije racionalnih brojeva, dati potrebna objašnjenja i dati primjere racionalnih brojeva. Nakon ovoga ćemo se usredotočiti na to kako odrediti je li dati broj racionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih brojeva

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Unatoč razlikama u formulaciji, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele brojeve i razlomke, kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomljene brojeve.

Počnimo s definicije racionalnih brojeva, što se najprirodnije percipira.

Iz navedene definicije proizlazi da je racionalan broj:

• Svaki prirodni broj n. Doista, možete predstaviti bilo koji prirodni broj kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1.
• Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj može se napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. Na primjer, 26=26/1, .
• Bilo koji obični razlomak (pozitivan ili negativan). To izravno potvrđuje navedena definicija racionalnih brojeva.
• Svaki mješoviti broj. Doista, uvijek možete predstaviti mješoviti broj kao nepravi razlomak. Na primjer, i.
• Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak. To je tako zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, i 0,(3)=1/3.

Također je jasno da bilo koji beskonačni neperiodični decimalni razlomak NIJE racionalan broj, jer se ne može predstaviti kao običan razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4, 903, 100, 321 su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58, −72, 0, −833,333,333 također su primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9, 99/3 također su primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su također brojevi.

Iz navedenih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulirati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao razlomak z/n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da crtu razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila dijeljenja cijelih brojeva slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na temelju ove definicije. Brojevi −5, 0, 3 i su racionalni brojevi jer se mogu napisati kao razlomci s cjelobrojnim brojnikom i prirodnim nazivnikom oblika i.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak.

Ova je definicija također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a svaki cijeli broj može se pridružiti decimalnom razlomku s nulama iza decimalne točke.

Na primjer, brojevi 5, 0, −13 primjeri su racionalnih brojeva jer se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 i −7 (18).

Završimo teoriju ove točke sa sljedećim izjavama:

• cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;
• svaki racionalni broj može se prikazati kao razlomak s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;
• svaki racionalni broj može se prikazati kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja racionalni broj.

Je li ovaj broj racionalan?

U prethodnom odlomku saznali smo da je svaki prirodni broj, svaki cijeli broj, svaki obični razlomak, svaki mješoviti broj, svaki konačni decimalni razlomak, kao i svaki periodični decimalni razlomak racionalan broj. Ovo znanje nam omogućuje da “prepoznamo” racionalne brojeve iz skupa napisanih brojeva.

Ali što ako je broj dan u obliku some , ili kao , itd., kako odgovoriti na pitanje je li taj broj racionalan? U mnogim slučajevima vrlo je teško odgovoriti. Naznačimo neke smjerove razmišljanja.

Ako je broj zadan kao numerički izraz koji sadrži samo racionalne brojeve i aritmetičke znakove (+, −, · i:), tada je vrijednost tog izraza racionalan broj. To slijedi iz načina definiranja operacija s racionalnim brojevima. Na primjer, nakon izvođenja svih operacija u izrazu, dobivamo racionalni broj 18.

Ponekad, nakon što se izrazi pojednostave i uslože, postaje moguće odrediti je li dati broj racionalan.

Idemo dalje. Broj 2 je racionalan broj, jer je svaki prirodni broj racionalan. Što je s brojem? Je li to racionalno? Ispada da ne, to nije racionalan broj, to je iracionalan broj (dokaz ove činjenice kontradikcijom je dan u udžbeniku algebre za 8. razred, navedenom dolje u popisu literature). Također je dokazano da je kvadratni korijen prirodnog broja racionalan broj samo u onim slučajevima kada se ispod korijena nalazi broj koji je potpuni kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, i su racionalni brojevi, budući da su 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a brojevi i nisu racionalni, budući da brojevi 7 i 199 nisu potpuni kvadrati prirodnih brojeva.

Je li broj racionalan ili nije? U ovom slučaju lako je primijetiti da je, dakle, ovaj broj racionalan. Je li broj racionalan? Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj ispod znaka korijena k-ta potencija nekog cijelog broja. Dakle, to nije racionalan broj, jer ne postoji cijeli broj čija je peta potencija 121.

Metoda kontradikcije omogućuje dokazivanje da logaritmi nekih brojeva iz nekog razloga nisu racionalni brojevi. Na primjer, dokažimo da - nije racionalan broj.

Pretpostavimo suprotno, to jest, recimo da je to racionalan broj i da se može napisati kao obični razlomak m/n. Zatim dajemo sljedeće jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, jer na lijevoj strani postoji neparan broj 5 n, a na desnoj strani je parni broj 2 m. Stoga je naša pretpostavka netočna, dakle nije racionalan broj.

Zaključno, vrijedi posebno napomenuti da se pri određivanju racionalnosti ili iracionalnosti brojeva treba suzdržati od donošenja naglih zaključaka.

Na primjer, ne biste trebali odmah tvrditi da je umnožak iracionalnih brojeva π i e iracionalan broj; to je "naizgled očito", ali nije dokazano. Ovo postavlja pitanje: "Zašto bi proizvod bio racionalan broj?" A zašto ne, jer možete dati primjer iracionalnih brojeva, čiji umnožak daje racionalan broj: .

Također je nepoznato jesu li brojevi i mnogi drugi brojevi racionalni ili ne. Na primjer, postoje iracionalni brojevi čija je iracionalna snaga racionalan broj. Za ilustraciju predstavljamo stupanj oblika , baza tog stupnja i eksponent nisu racionalni brojevi, već , a 3 je racionalan broj.

Bibliografija.

• Matematika. 6. razred: obrazovni. za opće obrazovanje ustanove / [N. Ya.Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Broj- važan matematički koncept koji se mijenjao kroz stoljeća.

Prve ideje o broju proizašle su iz brojanja ljudi, životinja, voća, raznih proizvoda itd. Rezultat su prirodni brojevi: 1, 2, 3, 4, ...

Povijesno gledano, prvo proširenje pojma broja je dodavanje razlomaka prirodnom broju.

Frakcija naziva se dio (udio) jedinice ili više jednakih dijelova.

Odredio: , gdje m, n- cijeli brojevi;

Razlomci s nazivnikom 10 n, Gdje n- cijeli broj, tzv decimal: .

Među decimalnim razlomcima posebno mjesto zauzimaju periodični razlomci: - čisti periodični razlomak, - mješoviti periodični razlomak.

Daljnje širenje pojma broja uzrokovano je razvojem same matematike (algebre). Descartes u 17. stoljeću. uvodi koncept negativan broj.

Cijeli brojevi (pozitivni i negativni), razlomci (pozitivni i negativni) i nula nazivaju se racionalni brojevi. Bilo koji racionalni broj može se napisati kao konačni i periodični razlomak.

Za proučavanje promjenjivih veličina koje se kontinuirano mijenjaju pokazalo se da je potrebno novo proširenje pojma broja - uvođenje realnih (realnih) brojeva - dodavanjem iracionalnih brojeva racionalnim brojevima: iracionalni brojevi su beskonačni decimalni neperiodični razlomci.

Iracionalni brojevi pojavili su se pri mjerenju nesamjerljivih segmenata (stranica i dijagonala kvadrata), u algebri - pri vađenju korijena, primjer transcendentalnog, iracionalnog broja je π, e .

Brojke prirodni(1, 2, 3,...), cijeli(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionalan(predstavivo kao razlomak) i iracionalan(nije moguće predstaviti kao razlomak ) čine skup pravi (pravi) brojevima.

Kompleksni brojevi se u matematici razlikuju zasebno.

Kompleksni brojevi javljaju se u vezi s problemom rješavanja kvadrata za slučaj D< 0 (здесь D– diskriminanta kvadratne jednadžbe). Dugo vremena ti brojevi nisu našli fizičku primjenu, zbog čega su ih nazvali "imaginarnim" brojevima. Međutim, sada se vrlo široko koriste u raznim područjima fizike i tehnologije: elektrotehnici, hidro- i aerodinamici, teoriji elastičnosti itd.

Kompleksni brojevi zapisuju se u obliku: z= a+ dvo. Ovdje a I b – realni brojevi, A ja – imaginarna jedinica, tj.e. ja 2 = -1. Broj a nazvao apscisa, a b –ordinata složeni broj a+ dvo. Dva kompleksna broja a+ dvo I a–bi se zovu konjugirati kompleksni brojevi.

Svojstva:

1. Realni broj A može se napisati i u obliku kompleksnog broja: a+ 0ja ili a – 0ja. Na primjer 5 + 0 ja i 5 – 0 ja znači isti broj 5.

2. Složeni broj 0 + dvo nazvao čisto imaginarno broj. Snimiti dvo znači isto što i 0 + dvo.

3. Dva kompleksna broja a+ dvo I c+ di smatraju se jednakima ako a= c I b= d. Inače, kompleksni brojevi nisu jednaki.

Radnje:

Dodatak. Zbroj kompleksnih brojeva a+ dvo I c+ di naziva se kompleksan broj ( a+ c) + (b+ d)ja. Tako, Kod zbrajanja kompleksnih brojeva njihove apscise i ordinate se zbrajaju zasebno.

Oduzimanje. Razlika dva kompleksna broja a+ dvo(smanjeno) i c+ di(oduzeti) naziva se kompleksan broj ( a–c) + (b–d)ja. Tako, Pri oduzimanju dva kompleksna broja njihove apscise i ordinate oduzimaju se odvojeno.

Množenje. Umnožak kompleksnih brojeva a+ dvo I c+ di naziva se kompleksan broj:

(ac–bd) + (oglas+ prije Krista)ja. Ova definicija proizlazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+ dvo I c+ di moraju se množiti kao algebarski binomi,

2) broj ja ima glavno svojstvo: ja 2 = –1.

PRIMJER ( a+ bi)(a–bi)= a 2 +b 2 . Stoga, raditidvaju konjugiranih kompleksnih brojeva jednak je pozitivnom realnom broju.

Podjela. Podijelite složeni broj a+ dvo(djeljiv) drugim c+ di (šestar) - znači pronaći treći broj e+ f i(chat), koji kad se pomnoži djeliteljem c+ di, rezultira dividendom a+ dvo. Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8 + ja) : (2 – 3ja) .

Rješenje. Zapišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenje njegovog brojnika i nazivnika sa 2 + 3 ja i nakon izvršenja svih transformacija dobivamo:

1. zadatak: Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje z 1 na z 2

Vađenje kvadratnog korijena: Riješite jednadžbu x 2 = -a. Da bismo riješili ovu jednadžbu prisiljeni smo koristiti brojeve novog tipa - imaginarni brojevi . Tako, zamišljena broj se zove čija je druga potencija negativan broj. Prema ovoj definiciji imaginarnih brojeva možemo definirati i zamišljena jedinica:

Zatim za jednadžbu x 2 = – 25 dobivamo dva zamišljena korijen:

Zadatak 2: Riješite jednadžbu:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su prikazani točkama na brojevnom pravcu:

Ovdje je poanta A znači broj –3, točka B– broj 2, i O-nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni točkama na koordinatnoj ravnini. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijeve) koordinate s istim mjerilima na obje osi. Zatim kompleksni broj a+ dvo bit će predstavljen točkom P s apscisomA i ordinatab. Taj se koordinatni sustav naziva složena ravnina .

Modul kompleksni broj je duljina vektora OP, koji predstavlja kompleksni broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Modul kompleksnog broja a+ dvo označeno | a+ dvo| ili) pismo r i jednako je:

Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul.

Pravila za crtanje crteža su gotovo ista kao za crtež u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Uzduž osi trebate postaviti dimenziju, napomena:

e
jedinica duž realne osi; Re z

imaginarna jedinica duž imaginarne osi. Ja sam z

Zadatak 3. Na kompleksnoj ravnini konstruirajte sljedeće kompleksne brojeve: , , , , , , ,

1. Brojevi su točni i približni. Brojevi koje susrećemo u praksi su dvije vrste. Neki daju pravu vrijednost količine, drugi samo približnu. Prvi se nazivaju točnim, drugi - približnim. Najčešće je zgodno koristiti približan broj umjesto točnog, pogotovo jer je u mnogim slučajevima uopće nemoguće pronaći točan broj.

Dakle, ako kažu da u razredu ima 29 učenika, onda je brojka 29 točna. Ako kažu da je udaljenost od Moskve do Kijeva 960 km, onda je ovdje brojka od 960 približna, jer, s jedne strane, naši mjerni instrumenti nisu apsolutno točni, s druge strane, sami gradovi imaju određeni opseg.

Rezultat radnji s približnim brojevima također je približan broj. Izvođenjem nekih operacija na točnim brojevima (dijeljenje, vađenje korijena), također možete dobiti približne brojeve.

Teorija približnih izračuna omogućuje:

1) poznavajući stupanj točnosti podataka, ocijeniti stupanj točnosti rezultata;

2) uzeti podatke s odgovarajućim stupnjem točnosti koji je dovoljan da osigura traženu točnost rezultata;

3) racionalizirati proces izračuna, oslobađajući ga od onih izračuna koji neće utjecati na točnost rezultata.

2. Zaokruživanje. Jedan od izvora dobivanja približnih brojeva je zaokruživanje. I približni i točni brojevi su zaokruženi.

Zaokruživanje zadanog broja na određenu znamenku naziva se njegova zamjena novim brojem, koji se dobiva iz zadanog odbacivanjem svih njegovih znamenki napisanih desno od znamenke te znamenke ili njihovom zamjenom nulama. Te su nule obično podvučene ili napisane sitnije. Kako biste bili sigurni da je zaokruženi broj što sličniji onom koji se zaokružuje, trebali biste se pridržavati sljedećih pravila: da biste broj zaokružili na jednu od određene znamenke, morate odbaciti sve znamenke nakon znamenke te znamenke i zamijeniti ih njih s nulama u cijelom broju. U obzir se uzima sljedeće:

1) ako je prva (s lijeve strane) odbačenih znamenki manja od 5, tada se zadnja preostala znamenka ne mijenja (zaokružuje se prema dolje);

2) ako je prva znamenka koju treba odbaciti veća od 5 ili jednaka 5, tada se zadnja preostala znamenka povećava za jedan (zaokruživanje s viškom).

Pokažimo to primjerima. Krug:

a) do desetina 12,34;

b) na stotinke 3,2465; 1038.785;

c) do tisućinki 3,4335.

d) do tisuću 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Apsolutne i relativne pogreške. Razlika između točnog broja i njegove približne vrijednosti naziva se apsolutna pogreška približnog broja. Na primjer, ako se točan broj 1,214 zaokruži na najbližu desetinu, dobit ćemo približan broj 1,2. U ovom slučaju, apsolutna greška približnog broja 1,2 je 1,214 - 1,2, tj. 0,014.

Ali u većini slučajeva, točna vrijednost vrijednosti koja se razmatra je nepoznata, ali samo približna. Tada je apsolutna greška nepoznata. U tim slučajevima označite granicu koju ne prelazi. Taj se broj naziva granična apsolutna pogreška. Kažu da je točna vrijednost broja jednaka njegovoj približnoj vrijednosti s pogreškom manjom od granične pogreške. Na primjer, broj 23,71 je približna vrijednost broja 23,7125 s točnošću od 0,01, budući da je apsolutna pogreška aproksimacije 0,0025 i manja od 0,01. Ovdje je granična apsolutna pogreška 0,01 *.

Granična apsolutna pogreška približnog broja A označen simbolom Δ a. Snimiti

x≈a(±Δ a)

treba shvatiti na sljedeći način: točnu vrijednost količine x je između brojeva A– Δ a I A+ Δ A, koje se nazivaju donja odnosno gornja granica x i označavaju NG x V G x.

Na primjer, ako x≈ 2,3 (±0,1), zatim 2,2<x< 2,4.

Obrnuto, ako 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (±0,05). Apsolutna ili granična apsolutna pogreška ne karakterizira kvalitetu obavljenog mjerenja. Ista se apsolutna pogreška može smatrati značajnom i beznačajnom ovisno o broju kojim je izmjerena vrijednost izražena. Na primjer, ako mjerimo udaljenost između dva grada s točnošću od jednog kilometra, tada je takva točnost sasvim dovoljna za ovu promjenu, ali u isto vrijeme, kada mjerimo udaljenost između dvije kuće u istoj ulici, takva će točnost biti neprihvatljivo. Prema tome, točnost približne vrijednosti veličine ne ovisi samo o veličini apsolutne pogreške, već i o vrijednosti mjerene veličine. Stoga je relativna pogreška mjera točnosti.

Relativna pogreška je omjer apsolutne pogreške i vrijednosti približnog broja. Omjer granične apsolutne pogreške prema približnom broju naziva se granična relativna pogreška; označavaju ga ovako: . Relativne i granične relativne pogreške obično se izražavaju u postocima. Na primjer, ako su mjerenja pokazala da udaljenost x između dvije točke više od 12,3 km, ali manje od 12,7 km, tada se kao približna vrijednost uzima aritmetička sredina ta dva broja, tj. njihov poluzbroj, tada je granična apsolutna pogreška jednaka polurazlici tih brojeva. U ovom slučaju x≈ 12,5 (±0,2). Ovdje je granična apsolutna pogreška 0,2 km, a granična relativna

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Unatoč razlikama u formulaciji, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele brojeve i razlomke, kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomljene brojeve.

Počnimo s definicije racionalnih brojeva, što se najprirodnije percipira.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili broj nula.

Iz navedene definicije proizlazi da je racionalan broj:

Bilo koji prirodni broj n. Zaista, svaki prirodni broj možete predstaviti kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1 .

· Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj može se napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. Na primjer, 26=26/1 , .

· Bilo koji obični razlomak (pozitivan ili negativan). To izravno potvrđuje navedena definicija racionalnih brojeva.

· Bilo koji mješoviti broj. Doista, uvijek možete predstaviti mješoviti broj kao nepravi razlomak. Na primjer, i.

· Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak. To je tako zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, a 0,(3)=1/3 .

Također je jasno da bilo koji beskonačni neperiodični decimalni razlomak NIJE racionalan broj, jer se ne može predstaviti kao običan razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojke 4 ,903 , 100 321 To su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 također su primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9 , 99/3 , također su primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su također brojevi.

Iz navedenih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulirati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi imenovati brojeve koji se mogu napisati kao razlomci z/n, Gdje z je cijeli broj, i n- prirodni broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da crtu razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila dijeljenja cijelih brojeva slijedi valjanost sljedećih jednakosti. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na temelju ove definicije. Brojke −5 , 0 , 3 , i su racionalni brojevi, budući da se mogu napisati kao razlomci s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom oblika i, redom.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak.

Ova je definicija također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a svaki cijeli broj može se pridružiti decimalnom razlomku s nulama iza decimalne točke.

Na primjer, brojevi 5 , 0 , −13 , su primjeri racionalnih brojeva, budući da se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 I −7,(18) .

Završimo teoriju ove točke sa sljedećim izjavama:

· cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;

· svaki racionalni broj može se prikazati kao razlomak s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;

· svaki racionalni broj može se prikazati kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj.

Vrh stranice

Zbrajanje pozitivnih racionalnih brojeva je komutativno i asocijativno,

("a, b O Q +) a + b= b + a;

("a, b, c O Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Prije formuliranja definicije množenja pozitivnih racionalnih brojeva, razmotrite sljedeći problem: poznato je da se duljina odsječka X izražava kao razlomak s jedinicom duljine E, a duljina jediničnog odsječka mjeri se s jedinicom E 1 i izražava se kao razlomak. Kako pronaći broj koji će predstavljati duljinu odsječka X ako se mjeri jedinicom za duljinu E 1?

Kako je X = E, onda je nX = mE, a iz činjenice da je E = E 1 slijedi da je qE = pE 1. Pomnožimo prvu dobivenu jednakost s q, a drugu s m. Tada je (nq)X = (mq)E i (mq)E= (mp)E 1, odakle je (nq)X= (mp)E 1. Ova jednakost pokazuje da je duljina isječka x izražena jediničnom duljinom kao razlomak, što znači , =, tj. množenje razlomaka uključuje pomicanje s jedne jedinice duljine na drugu kada se mjeri duljina istog segmenta.

Definicija: Ako je pozitivan broj a predstavljen razlomkom, a pozitivan racionalni broj b je razlomak, tada je njihov umnožak broj a b, koji je predstavljen razlomkom.

Množenje pozitivnih racionalnih brojeva komutativni, asocijativni i distributivni u odnosu na zbrajanje i oduzimanje. Dokaz ovih svojstava temelji se na definiciji množenja i zbrajanja pozitivnih racionalnih brojeva, kao i na odgovarajućim svojstvima zbrajanja i množenja prirodnih brojeva.

46. ​​​​Kao što je poznato oduzimanje- Ovo je radnja suprotna od zbrajanja.

Ako a I b - pozitivni brojevi, tada oduzimanje broja b od broja a znači pronalaženje broja c koji, kada se zbroji s brojem b, daje broj a.
a - b = c ili c + b = a
Definicija oduzimanja vrijedi za sve racionalne brojeve. Odnosno, oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva može se zamijeniti zbrajanjem.
Da biste jednom broju oduzeli drugi, potrebno je broju koji se oduzima dodati suprotan broj.
Ili, na drugi način, možemo reći da je oduzimanje broja b isto što i zbrajanje, ali s brojem suprotnim od b.
a - b = a + (- b)
Primjer.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Primjer.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vrijedno je zapamtiti donje izraze.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Pravila za oduzimanje negativnih brojeva
Oduzimanje broja b je njegovo zbrajanje sa suprotnim brojem od b.
Ovo pravilo vrijedi ne samo za oduzimanje manjeg broja od većeg broja, već također omogućuje oduzimanje većeg broja od manjeg broja, odnosno uvijek možete pronaći razliku dvaju brojeva.
Razlika može biti pozitivan broj, negativan broj ili nula.
Primjeri oduzimanja negativnih i pozitivnih brojeva.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Prikladno je zapamtiti pravilo znaka, koje vam omogućuje smanjenje broja zagrada.
Znak plus ne mijenja predznak broja, pa ako ispred zagrade stoji plus, znak u zagradi se ne mijenja.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Znak minus ispred zagrada mijenja predznak broja u zagradama.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Iz jednakosti je jasno da ako ispred i unutar zagrada stoje identični predznaci, onda dobivamo “+”, a ako su predznaci različiti, onda dobivamo “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Pravilo znakova također vrijedi ako zagrade ne sadrže samo jedan broj, već algebarski zbroj brojeva.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Imajte na umu da ako postoji nekoliko brojeva u zagradama, a ispred zagrada je znak minus, tada se predznaci ispred svih brojeva u tim zagradama moraju promijeniti.
Da biste zapamtili pravilo znakova, možete napraviti tablicu za određivanje znakova broja.
Pravilo znaka za brojeve+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Ili naučite jednostavno pravilo.
Dvije negativne riječi čine potvrdnu,
Plus puta minus jednako je minus.

Pravila dijeljenja negativnih brojeva.
Da biste pronašli modul kvocijenta, trebate podijeliti modul dividende s modulom djelitelja.
Dakle, da biste podijelili dva broja s istim predznakom, trebate:

· modul dividende podijeljen je modulom djelitelja;

· staviti znak “+” ispred rezultata.

Primjeri dijeljenja brojeva s različitim predznacima:

Također možete koristiti sljedeću tablicu za određivanje predznaka kvocijenta.
Pravilo znakova za dijeljenje
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Pri računanju "dugih" izraza u kojima se pojavljuju samo množenje i dijeljenje, vrlo je zgodno koristiti pravilo predznaka. Na primjer, za izračunavanje razlomka
Imajte na umu da brojnik ima 2 znaka minus, koji će kada se pomnože dati plus. Također postoje tri znaka minus u nazivniku, koji će kada se pomnože dati znak minus. Stoga će na kraju rezultat ispasti s predznakom minus.
Smanjenje razlomka (daljnje radnje s modulima brojeva) izvodi se na isti način kao i prije:
Kvocijent nule podijeljen s brojem koji nije nula je nula.
0: a = 0, a ≠ 0
NE MOŽETE dijeliti s nulom!
Sva dosad poznata pravila dijeljenja s jedinicom vrijede i za skup racionalnih brojeva.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, gdje je a bilo koji racionalni broj.
Odnosi između rezultata množenja i dijeljenja, poznati za pozitivne brojeve, ostaju isti za sve racionalne brojeve (osim nule):
ako je a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ako je a: b = c; a = c × b; b = a: c
Te se ovisnosti koriste za traženje nepoznatog faktora, djelitelja i djelitelja (pri rješavanju jednadžbi), kao i za provjeru rezultata množenja i dijeljenja.
Primjer pronalaženja nepoznatog.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Povezane informacije.

Na ovo će pitanje vjerojatno s lakoćom odgovoriti stariji školarci i studenti matematike. Ali onima koji su po struci daleko od toga, bit će teže. Što je zapravo?

Suština i oznaka

Racionalni brojevi su oni koji se mogu prikazati kao obični razlomak. Pozitivan, negativan i nula također su uključeni u ovaj skup. Brojnik razlomka mora biti cijeli broj, a nazivnik mora biti

Taj se skup u matematici označava s Q i naziva se "polje racionalnih brojeva". Uključuje sve cijele i prirodne brojeve, označene redom kao Z i N. Sam skup Q je uključen u skup R. To je slovo koje označava tzv.

Izvođenje

Kao što je već spomenuto, racionalni brojevi su skup koji uključuje sve cjelobrojne i razlomljene vrijednosti. Mogu biti u različitim oblicima. Prvo, u obliku običnog razlomka: 5/7, 1/5, 11/15, itd. Naravno, i cijeli brojevi se mogu pisati u sličnom obliku: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, itd. Drugo, druga vrsta predstavljanja je decimalni razlomak s konačnim razlomkom: 0,01, -15,001006, itd. Ovo je možda jedan od najčešćih oblika.

Ali postoji i treći - periodični razlomak. Ova vrsta nije vrlo česta, ali se još uvijek koristi. Na primjer, razlomak 10/3 može se napisati kao 3,33333... ili 3,(3). U ovom slučaju, različite reprezentacije će se smatrati sličnim brojevima. Razlomci koji su međusobno jednaki također će se zvati jednako, na primjer 3/5 i 6/10. Čini se da je postalo jasno što su racionalni brojevi. Ali zašto se ovaj izraz koristi za njih?

porijeklo imena

Riječ "racionalno" u modernom ruskom općenito ima nešto drugačije značenje. Više je kao "razumno", "promišljeno". Ali matematički pojmovi su bliski izravnom značenju ovoga. Na latinskom, "omjer" je "omjer", "razlomak" ili "podjela". Dakle, naziv obuhvaća bit racionalnih brojeva. Međutim, drugo značenje

nije daleko od istine.

Akcije s njima

Prilikom rješavanja matematičkih problema stalno se susrećemo s racionalnim brojevima, a da toga i sami ne znamo. I imaju niz zanimljivih svojstava. Sve one proizlaze ili iz definicije skupa ili iz radnji.

Prvo, racionalni brojevi imaju svojstvo odnosa reda. To znači da između dva broja može postojati samo jedan odnos - ili su međusobno jednaki ili je jedan veći ili manji od drugog. To je:

ili a = b; ili a > b, ili a< b.

Osim toga, iz ovog svojstva proizlazi i tranzitivnost relacije. Odnosno, ako a više b, b više c, To a više c. Matematičkim jezikom to izgleda ovako:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Drugo, tu su aritmetičke operacije s racionalnim brojevima, odnosno zbrajanje, oduzimanje, dijeljenje i, naravno, množenje. Istodobno, u procesu transformacija mogu se identificirati i brojna svojstva.

• a + b = b + a (promjena mjesta članova, komutativnost);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (distributivnost);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (u ovom slučaju a nije jednako 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Kada govorimo o običnim brojevima, a ne o cijelim brojevima, rad s njima može izazvati određene poteškoće. Dakle, zbrajanje i oduzimanje su mogući samo ako su nazivnici jednaki. Ako su u početku različiti, trebali biste pronaći zajednički množenjem cijelog razlomka s određenim brojevima. Usporedba je također najčešće moguća samo ako je ovaj uvjet ispunjen.

Dijeljenje i množenje običnih razlomaka provodi se u skladu s prilično jednostavnim pravilima. Svođenje na zajednički nazivnik nije potrebno. Brojnici i nazivnici se množe odvojeno, au procesu izvođenja radnje, ako je moguće, razlomak treba smanjiti i pojednostaviti što je više moguće.

Što se tiče podjele, ova radnja je slična prvoj s malom razlikom. Za drugi razlomak trebali biste pronaći inverz, tj

"okreni. Stoga će brojnik prvog razlomka trebati pomnožiti s nazivnikom drugog i obrnuto.

Konačno, još jedno svojstvo svojstveno racionalnim brojevima naziva se Arhimedov aksiom. Često se u literaturi susreće i naziv "princip". Vrijedi za cijeli skup realnih brojeva, ali ne svugdje. Stoga se ovo načelo ne odnosi na neke skupove racionalnih funkcija. U biti, ovaj aksiom znači da s obzirom na postojanje dviju veličina a i b, uvijek možete uzeti dovoljno a da premašite b.

Područje primjene

Dakle, onima koji su naučili ili zapamtili što su racionalni brojevi, postaje jasno da se koriste posvuda: u računovodstvu, ekonomiji, statistici, fizici, kemiji i drugim znanostima. Naravno, mjesto im je iu matematici. Ne znajući uvijek da imamo posla s njima, stalno koristimo racionalne brojeve. S njima se susreću čak i mala djeca koja uče brojati predmete, rezati jabuku na komade ili obavljati druge jednostavne radnje. Doslovno nas okružuju. Pa ipak, oni nisu dovoljni za rješavanje nekih problema; posebice, koristeći Pitagorin teorem kao primjer, može se razumjeti potreba za uvođenjem koncepta