Aksiomi realnih brojeva. Aksiomatika realnih brojeva Aksiomatska definicija sustava cijelih brojeva

Za realne brojeve, označene sa (tzv. R sjeckani), uvodi se operacija zbrajanja (“+”), odnosno za svaki par elemenata ( x,g) iz skupa realnih brojeva pridružuje se element x + g iz istog skupa, koji se naziva zbroj x I g .

Aksiomi množenja

Uvodi se operacija množenja (“·”), odnosno za svaki par elemenata ( x,g) iz skupa realnih brojeva dodjeljuje se element (ili, ukratko, xg) iz istog skupa, koji se naziva proizvod x I g .

Odnos zbrajanja i množenja

Aksiomi reda

Na zadanoj relaciji reda "" (manje ili jednako), to jest, za bilo koji par x, y iz barem jednog od uvjeta ili .

Odnos reda i zbrajanja

Odnos reda i množenja

Aksiom kontinuiteta

Komentar

Ovaj aksiom znači da ako x I Y- dva neprazna skupa realnih brojeva takvih da bilo koji element iz x ne prelazi nijedan element iz Y, tada se realni broj može umetnuti između tih skupova. Za racionalne brojeve ovaj aksiom ne vrijedi; klasičan primjer: razmotriti pozitivne racionalne brojeve i pridružiti ih skupu x oni brojevi čiji je kvadrat manji od 2, a ostali - do Y. Zatim između x I Y Ne možete umetnuti racionalan broj (to nije racionalan broj).

Ovaj ključni aksiom osigurava gustoću i time omogućuje konstrukciju matematičke analize. Da bismo ilustrirali njegovu važnost, istaknimo dvije temeljne posljedice iz njega.

Korolari aksioma

Neka važna svojstva realnih brojeva slijede izravno iz aksioma, na primjer,

• jedinstvenost nule,
• jedinstvenost suprotnih i inverznih elemenata.

Književnost

• Zorić V. A. Matematička analiza. Svezak I. M.: Phasis, 1997., 2. poglavlje.

vidi također

Linkovi

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "Aksiomatika realnih brojeva" u drugim rječnicima:

Realni ili realni broj je matematička apstrakcija koja je proizašla iz potrebe za mjerenjem geometrijskih i fizičkih veličina okolnog svijeta, kao i za izvođenje operacija poput vađenja korijena, izračunavanja logaritama, rješavanja... ... Wikipedia

Realni, odnosno realni brojevi, matematička su apstrakcija koja služi, posebice, za predstavljanje i usporedbu vrijednosti fizikalnih veličina. Takav se broj može intuitivno predstaviti kao opis položaja točke na liniji.... ... Wikipedia

Realni, odnosno realni brojevi, matematička su apstrakcija koja služi, posebice, za predstavljanje i usporedbu vrijednosti fizikalnih veličina. Takav se broj može intuitivno predstaviti kao opis položaja točke na liniji.... ... Wikipedia

Realni, odnosno realni brojevi, matematička su apstrakcija koja služi, posebice, za predstavljanje i usporedbu vrijednosti fizikalnih veličina. Takav se broj može intuitivno predstaviti kao opis položaja točke na liniji.... ... Wikipedia

Realni, odnosno realni brojevi, matematička su apstrakcija koja služi, posebice, za predstavljanje i usporedbu vrijednosti fizikalnih veličina. Takav se broj može intuitivno predstaviti kao opis položaja točke na liniji.... ... Wikipedia

Realni, odnosno realni brojevi, matematička su apstrakcija koja služi, posebice, za predstavljanje i usporedbu vrijednosti fizikalnih veličina. Takav se broj može intuitivno predstaviti kao opis položaja točke na liniji.... ... Wikipedia

Realni, odnosno realni brojevi, matematička su apstrakcija koja služi, posebice, za predstavljanje i usporedbu vrijednosti fizikalnih veličina. Takav se broj može intuitivno predstaviti kao opis položaja točke na liniji.... ... Wikipedia

Wiktionary ima članak "aksiom" Aksiom (starogrčki ... Wikipedia

Aksiom koji se nalazi u raznim aksiomatskim sustavima. Aksiomatika realnih brojeva Hilbertova aksiomatika euklidske geometrije Kolmogorova aksiomatika teorije vjerojatnosti ... Wikipedia

Aksiomatska metoda u matematici.

Osnovni pojmovi i relacije aksiomatske teorije prirodnih nizova. Definicija prirodnog broja.

Zbrajanje prirodnih brojeva.

Množenje prirodnih brojeva.

Svojstva skupa prirodnih brojeva

Oduzimanje i dijeljenje prirodnih brojeva.

Aksiomatska metoda u matematici

U aksiomatskoj konstrukciji bilo koje matematičke teorije poštuju se sljedeća pravila: određena pravila:

1. Neki koncepti teorije odabrani su kao glavni a prihvaćaju se bez definicije.

2. Formulirani su aksiomi, koji su u ovoj teoriji prihvaćeni bez dokaza, otkrivaju svojstva osnovnih pojmova.

3. Dat je svaki koncept teorije koji nije sadržan u popisu osnovnih definicija, objašnjava svoje značenje uz pomoć glavnih i prethodnih pojmova.

4. Svaka tvrdnja teorije koja nije sadržana u popisu aksioma mora se dokazati. Takvi prijedlozi su tzv teoremi te ih dokazati na temelju aksioma i teorema koji prethode ovome koji se razmatra.

Sustav aksioma trebao bi biti:

a) dosljedan: moramo biti sigurni da, izvlačeći sve moguće zaključke iz danog sustava aksioma, nikada nećemo doći do proturječnosti;

b) nezavisna: niti jedan aksiom ne bi trebao biti posljedica drugih aksioma ovog sustava.

V) puna, ako je unutar njezina okvira uvijek moguće dokazati ili danu tvrdnju ili njezinu negaciju.

Prvim iskustvom izgradnje aksiomatske teorije može se smatrati Euklidov prikaz geometrije u njegovim "Elementima" (3. st. pr. Kr.). Značajan doprinos razvoju aksiomatske metode konstrukcije geometrije i algebre dao je N.I. Lobačevskog i E. Galoisa. Krajem 19.st. Talijanski matematičar Peano razvio je sustav aksioma za aritmetiku.

Osnovni pojmovi i relacije aksiomatske teorije prirodnih brojeva. Definicija prirodnog broja.

Kao osnovni (nedefinirani) pojam u određenom skupu N je odabrano stav , a također koristi koncepte teorije skupova, kao i pravila logike.

Element neposredno nakon elementa A, označiti A".

Odnos "izravnog praćenja" zadovoljava sljedeće aksiome:

Peanovi aksiomi:

Aksiom 1. U izobilju N neposredno postoji element ne sljedeći ni za jedan element ovog skupa. Nazovimo ga jedinica i označen simbolom 1 .

Aksiom 2. Za svaki element A iz N postoji samo jedan element A" , odmah nakon toga A .

Aksiom 3. Za svaki element A iz N postoji najviše jedan element koji neposredno slijedi A .

Aksiom 4. Bilo koji podskup M postavlja N poklapa se s N , ako ima sljedeća svojstva: 1) 1 sadržano u M ; 2) iz činjenice da A sadržano u M , slijedi da A" sadržano u M.

Definicija 1. Gomila N , za čije elemente se uspostavlja odnos "izravno slijediti", koji zadovoljava aksiome 1-4, zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi su prirodni brojevi.

Ova definicija ne govori ništa o prirodi elemenata skupa N . Dakle, može biti bilo što. Odabir kao set N neki specifičan skup na kojem je dana specifična relacija "izravno slijedi", zadovoljavajući aksiome 1-4, dobivamo model ovog sustava aksiom.

Standardni model Peanovog aksiomskog sustava je niz brojeva koji je nastao u procesu povijesnog razvoja društva: 1,2,3,4,... Prirodni niz počinje brojem 1 (aksiom 1); nakon svakog prirodnog broja neposredno slijedi jedan prirodni broj (aksiom 2); svaki prirodni broj neposredno slijedi iza najviše jednog prirodnog broja (aksiom 3); počevši od broja 1 pa idući redom do prirodnih brojeva koji slijede jedan za drugim, dobivamo cijeli skup tih brojeva (aksiom 4).

Dakle, započeli smo aksiomatsku konstrukciju sustava prirodnih brojeva odabirom osnovnog odnos "izravnog praćenja". i aksiome koji opisuju njegova svojstva. Daljnja izgradnja teorije uključuje razmatranje poznatih svojstava prirodnih brojeva i operacija nad njima. Moraju se otkriti u definicijama i teoremima, tj. izvode se čisto logički iz relacije "izravno slijede", a aksiomi 1-4.

Prvi pojam koji ćemo uvesti nakon definiranja prirodnog broja je stav "neposredno prethodi" , koji se često koristi kada se razmatraju svojstva prirodnih serija.

Definicija 2. Ako je prirodan broj b izravno slijedi prirodni broj A, taj broj A nazvao neposredno prethodi(ili prethodni) broj b .

Odnos “prethodi” ima niz svojstava.

Teorem 1. Jedinica nema prethodni prirodni broj.

Teorem 2. Svaki prirodni broj A, osim 1, ima jedan prethodni broj b, takav da b"= A.

Aksiomatska konstrukcija teorije prirodnih brojeva ne razmatra se ni u osnovnoj ni u srednjoj školi. Međutim, ona svojstva relacije "izravno slijede", koja se odražavaju u Peanovim aksiomima, predmet su proučavanja u početnom tečaju matematike. Već u prvom razredu, kada se razmatraju brojevi prve desetice, postaje jasno kako se svaki broj može dobiti. Koriste se pojmovi "slijedi" i "prethodi". Svaki novi broj djeluje kao nastavak proučavanog segmenta prirodnog niza brojeva. Učenici se uvjeravaju da iza svakog broja slijedi sljedeći, štoviše, samo jedno, da je prirodni niz brojeva beskonačan.

Zbrajanje prirodnih brojeva

Prema pravilima za izgradnju aksiomatske teorije, definicija zbrajanja prirodnih brojeva mora se uvesti koristeći samo relaciju "izravno pratiti", i koncepti "prirodni broj" I "prethodni broj".

Predstavimo definiciju zbrajanja sljedećim razmatranjima. Ako bilo kojem prirodnom broju A dodamo 1, dobivamo broj A", odmah nakon toga A, tj. A+ 1= a" i, prema tome, dobivamo pravilo za dodavanje 1 bilo kojem prirodnom broju. Ali kako dodati broju A prirodni broj b, različito od 1? Iskoristimo sljedeću činjenicu: ako znamo da je 2 + 3 = 5, tada je zbroj 2 + 4 = 6, koji odmah slijedi iza broja 5. To se događa jer je u zbroju 2 + 4 drugi član broj koji slijedi odmah broj 3. Dakle, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Općenito imamo , .

Ove činjenice čine osnovu za definiciju zbrajanja prirodnih brojeva u aksiomatskoj teoriji.

Definicija 3. Zbrajanje prirodnih brojeva je algebarska operacija koja ima sljedeća svojstva:

Broj a + b nazvao zbroj brojeva A I b , i sami brojevi A I b - Pojmovi.

Sustav cjelobrojnih brojeva

Prisjetimo se da se prirodni niz pojavio za popis objekata. Ali ako želimo izvesti neke radnje s objektima, tada će nam trebati aritmetičke operacije s brojevima. Odnosno, ako želimo složiti jabuke ili podijeliti kolač, moramo te radnje prevesti na jezik brojeva.

Napominjemo da je za uvođenje operacija + i * u jezik prirodnih brojeva potrebno dodati aksiome koji definiraju svojstva ovih operacija. Ali tada je i sam skup prirodnih brojeva šireći se.

Pogledajmo kako se širi skup prirodnih brojeva. Najjednostavnija operacija, koja je bila jedna od prvih potrebnih, je zbrajanje. Ako želimo definirati operaciju zbrajanja, moramo definirati njen inverz - oduzimanje. Zapravo, ako znamo što će biti rezultat zbrajanja, na primjer, 5 i 2, tada bismo trebali moći riješiti probleme poput: što treba dodati 4 da dobijemo 11. To jest, problemi vezani za zbrajanje će definitivno zahtijevaju sposobnost izvođenja obrnute radnje – oduzimanja. Ali ako zbrajanje prirodnih brojeva ponovno daje prirodan broj, tada oduzimanjem prirodnih brojeva dobivamo rezultat koji ne stane u N. Bili su potrebni neki drugi brojevi. Po analogiji s razumljivim oduzimanjem manjeg broja od većeg broja, uvedeno je pravilo oduzimanja većeg broja od manjeg broja - tako su se pojavili negativni cijeli brojevi.

Nadopunjavanjem prirodnog niza operacijama + i - dolazimo do skupa cijelih brojeva.

Z=N+operacije(+-)

Sustav racionalnih brojeva kao aritmetički jezik

Razmotrimo sada sljedeću najsloženiju radnju - množenje. U biti, ovo je ponovljeno zbrajanje. I umnožak cijelih brojeva ostaje cijeli broj.

Ali operacija obrnuta množenju je dijeljenje. Ali ne daje uvijek najbolje rezultate. I opet smo pred dilemom - ili prihvatiti kao dato da rezultat dijeljenja možda "ne postoji", ili doći do brojeva nekog novog tipa. Tako su se pojavili racionalni brojevi.

Uzmimo sustav cijelih brojeva i dopunimo ga aksiomima koji definiraju operacije množenja i dijeljenja. Dobivamo sustav racionalnih brojeva.

Q=Z+operacije(*/)

Dakle, jezik racionalnih brojeva omogućuje nam proizvodnju sve aritmetičke operacije preko brojeva. Za to nije bio dovoljan jezik prirodnih brojeva.

Dajmo aksiomatsku definiciju sustava racionalnih brojeva.

Definicija. Skup Q se naziva skup racionalnih brojeva, a njegovi elementi se nazivaju racionalni brojevi, ako je zadovoljen sljedeći skup uvjeta, koji se naziva aksiomatika racionalnih brojeva:

Aksiomi operacije zbrajanja. Za svaki naručeni par x,y elementi iz Q definiran je neki element x+y OQ, zove se zbroj x I na. U ovom slučaju ispunjeni su sljedeći uvjeti:

1. (Postojanje nule) Postoji element 0 (nula) takav da za bilo koji xÎQ

x+0=0+x=X.

2. Za bilo koji element x O Q postoji element - x O Q (suprotno x) tako da

x+ (-X) = (-X) + x = 0.

3. (Komutativnost) Za bilo koji x,y O Q

4. (Asocijativnost) Za bilo koji x,y,zO Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Aksiomi operacije množenja.

Za svaki naručeni par x, y elemenata iz Q definiran je neki element xy O Q, naziva se proizvod x I u. U ovom slučaju ispunjeni su sljedeći uvjeti:

5. (Postojanje jediničnog elementa) Postoji element 1 O Q takav da za bilo koji x O Q

x . 1 = 1. x = x

6. Za bilo koji element x O Q , ( x≠ 0) postoji inverzni element x-1 ≠0 tako da

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asocijativnost) Za bilo koji x, y, z O Q

x . (g . z) = (x . y) . z

8. (Komutativnost) Za bilo koji x, y O Q

Aksiom veze zbrajanja i množenja.

9. (Distributivnost) Za bilo koji x, y, z O Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Aksiomi reda.

Bilo koja dva elementa x, y, O Q ulaze u odnos usporedbe ≤. U ovom slučaju ispunjeni su sljedeći uvjeti:

10. (x≤na)L ( na≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Za bilo koga x, y O Q ili x< у, либо у < x .

Stav< называется строгим неравенством,

Relacija = naziva se jednakost elemenata iz Q.

Aksiom veze zbrajanja i reda.

13. Za bilo koje x, y, z OQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Aksiom veze množenja i reda.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Arhimedov aksiom kontinuiteta.

15. Za svaki a > b > 0 postoje m O N i n O Q takvi da je m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Dakle, sustav racionalnih brojeva je jezik aritmetike.

Međutim, ovaj jezik nije dovoljan za rješavanje praktičnih računalnih problema.

Kada se aksiomatski konstruira bilo koja matematička teorija, određeni pravila:

· neki pojmovi teorije odabrani su kao temeljni i prihvaćeni bez definiranja;

· svaki pojam teorije koji nije sadržan u popisu osnovnih dobiva definiciju;

· formuliraju se aksiomi – tvrdnje koje se u danoj teoriji prihvaćaju bez dokaza; otkrivaju svojstva osnovnih pojmova;

· svaka tvrdnja teorije koja nije sadržana u popisu aksioma mora biti dokazana; Takve tvrdnje nazivaju se teoremi i dokazuju se na temelju aksioma i teorema.

U aksiomatskoj konstrukciji teorije, sve tvrdnje izvode se iz aksioma kroz dokaz.

Stoga se na sustav aksioma postavljaju posebni zahtjevi. zahtjevi:

· dosljednost (sustav aksioma naziva se dosljednim ako se iz njega ne mogu logički izvesti dvije međusobno isključive tvrdnje);

· neovisnost (sustav aksioma naziva se neovisnim ako nijedan od aksioma tog sustava nije posljedica drugih aksioma).

Skup s relacijom specificiranom u njemu naziva se modelom danog sustava aksioma ako su u njemu zadovoljeni svi aksiomi danog sustava.

Postoji mnogo načina da se konstruira sustav aksioma za skup prirodnih brojeva. Na primjer, zbroj brojeva ili relacija reda mogu se uzeti kao osnovni koncept. U svakom slučaju, potrebno je definirati sustav aksioma koji opisuju svojstva osnovnih pojmova.

Navedimo sustav aksioma, prihvaćajući osnovni koncept operacije zbrajanja.

Neprazan skup N nazivamo skupom prirodnih brojeva ako je u njemu definirana operacija (a; b) → a + b, koji se naziva zbrajanje i ima sljedeća svojstva:

1. zbrajanje je komutativno, tj. a + b = b + a.

2. zbrajanje je asocijativno, tj. (a + b) + c = a + (b + c).

4. u bilo kojem skupu A, koji je podskup skupa N, Gdje A postoji broj i takav da sve Ha, su jednaki a+b, Gdje bN.

Aksiomi 1 - 4 dovoljni su za konstrukciju cjelokupne aritmetike prirodnih brojeva. Ali s takvom konstrukcijom više se nije moguće oslanjati na svojstva konačnih skupova koja se ne odražavaju u ovim aksiomima.

Uzmimo kao osnovni koncept relaciju “izravno slijedi...”, definiranu na nepraznom skupu N. Tada će prirodni niz brojeva biti skup N, u kojem je definirana relacija “neposredno slijedi”, a svi elementi N će se zvati prirodnim brojevima, a vrijedi: Peanovi aksiomi:

AKSIOMA 1.

U izobiljuNpostoji element koji ne slijedi neposredno ni jedan element ovog skupa. Nazvat ćemo je jedinicom i označiti je simbolom 1.

AKSIOM 2.

Za svaki element a odNpostoji jedan element a neposredno iza a.

AKSIOM 3.

Za svaki element a odNPostoji najviše jedan element iza kojeg neposredno slijedi a.

AXOIMA 4.

Bilo koji podskup M skupaNpoklapa se sN, ako ima sljedeća svojstva: 1) 1 je sadržano u M; 2) iz činjenice da je a sadržano u M, slijedi da je i a sadržano u M.

Gomila N, za elemente od kojih je uspostavljena relacija "neposredno slijedi...", zadovoljavajući aksiome 1 - 4, naziva se skup prirodnih brojeva , a njegovi elementi su prirodni brojevi.

Ako kao skup N odabrati neki specifični skup na kojem je dana određena relacija "izravno slijedi...", zadovoljavajući aksiome 1 - 4, tada dobivamo različite tumačenja (modeli) dano sustavi aksioma.

Standardni model Peanovog aksiomskog sustava je niz brojeva koji su nastali u procesu povijesnog razvoja društva: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Model Peanovih aksioma može biti bilo koji prebrojivi skup.

Na primjer, I, II, III, IIII, ...

oh oh oh oh oh...

jedan dva tri četiri, …

Promotrimo niz skupova u kojem je skup (oo) početni element, a svaki sljedeći skup dobivamo iz prethodnog dodavanjem još jednog kruga (slika 15).

Zatim N postoji skup koji se sastoji od skupova opisanog oblika, a model je Peanovog aksiomskog sustava.

Dapače, u mnogima N postoji element (oo) koji ne slijedi odmah ni jedan element zadanog skupa, tj. Aksiom 1 je zadovoljen za svaki skup A populacije koja se razmatra postoji jedan skup koji se dobiva iz A dodavanjem jednog kruga, tj. Aksiom 2 vrijedi za svaki skup A postoji najviše jedan skup iz kojeg se formira skup A dodavanjem jednog kruga, tj. Aksiom 3 vrijedi Ako MN a poznato je da mnogi A sadržano u M, slijedi da skup u kojem postoji jedna kružnica više nego u skupu A, također sadržano u M, To M =N, pa je stoga aksiom 4 zadovoljen.

U definiciji prirodnog broja ne može se izostaviti nijedan od aksioma.

Ustanovimo koji od skupova prikazanih na sl. 16 su model Peanovih aksioma.

1 a b d a G) sl.16

Riješenje. Slika 16 a) prikazuje skup u kojem su zadovoljeni aksiomi 2 i 3. Doista, za svaki element postoji jedinstveni element koji slijedi odmah nakon njega, a postoji i jedinstveni element koji slijedi. Ali u ovom skupu, aksiom 1 nije zadovoljen (aksiom 4 nema smisla, jer ne postoji element u skupu koji ne slijedi neposredno nakon nekog drugog). Stoga ovaj skup nije model Peanovih aksioma.

Slika 16 b) prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 3 i 4 zadovoljeni, ali iza elementa A odmah slijede dva elementa, a ne jedan, kako se zahtijeva u aksiomu 2. Stoga ovaj skup nije model Peanovih aksioma.

Na sl. 16 c) prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 2, 4 zadovoljeni, ali element S odmah slijede odmah dva elementa. Stoga ovaj skup nije model Peanovih aksioma.

Na sl. 16 d) prikazuje skup koji zadovoljava aksiome 2, 3, a ako uzmemo broj 5 kao početni element, tada će ovaj skup zadovoljiti aksiome 1 i 4. To jest, u ovom skupu za svaki element odmah postoji jedinstveni nakon toga, i postoji jedan jedini element koji slijedi. Također postoji element koji ne slijedi odmah nijedan element ovog skupa, to je 5 , oni. Aksiom 1 je zadovoljen, dakle, aksiom 4 je također model Peanovih aksioma.

Koristeći Peanove aksiome, možemo dokazati niz tvrdnji. Na primjer, dokazat ćemo da za sve prirodne brojeve vrijedi nejednakost x x.

Dokaz. Označimo sa A skup prirodnih brojeva za koje a a. Broj 1 pripada A, budući da ne slijedi nijedan broj iz N, što znači da ne slijedi samo po sebi: 1 1. Neka aA, Zatim a a. Označimo A kroz b. Na temelju aksioma 3, Ab, oni. b b I bA.

OMSK DRŽAVNO PEDAGOŠKO SVEUČILIŠTE
PODRUŽNICA Omskog državnog pedagoškog sveučilišta u TAR-u
BBK Izlazi odlukom redakcije i nakladništva
22ya73 sektor podružnice Omskog državnog pedagoškog sveučilišta u Tari
Ch67

Preporuke su namijenjene studentima pedagoških sveučilišta koji studiraju disciplinu "Algebra i teorija brojeva". U okviru ove discipline, u skladu s državnim standardom, u 6. semestru proučava se dio “Numerički sustavi”. Ove preporuke predstavljaju materijal o aksiomatskoj konstrukciji sustava prirodnih brojeva (Peanov aksiomski sustav), sustava cijelih brojeva i racionalnih brojeva. Ova aksiomatika nam omogućuje da bolje razumijemo što je broj, što je jedan od osnovnih pojmova školskog tečaja matematike. Za bolju asimilaciju materijala daju se problemi o relevantnim temama. Na kraju preporuka nalaze se odgovori, upute i rješenja problema.

Recenzent: doktor pedagoških znanosti, prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Potpisano za objavu - 22.10.98

Novinski papir
Naklada 100 primjeraka.
Metoda operativnog tiska
Omsko državno pedagoško sveučilište, 644099, Omsk, emb. Tuhačevski, 14
poslovnica, 644500, Tara, ul. Školnaja, 69

1. PRIRODNI BROJEVI.

U aksiomatskoj konstrukciji sustava prirodnih brojeva pretpostavit ćemo da su poznati pojam skupa, relacije, funkcije i drugi teorijski pojmovi.

1.1 Peanov aksiomski sustav i najjednostavnije posljedice.

Početni pojmovi u Peanovoj aksiomatskoj teoriji su skup N (koji ćemo zvati skup prirodnih brojeva), poseban broj nula (0) iz njega i binarna relacija "slijedi" na N, označena S(a) (ili a()).
AKSIOMI:
1. ((a(N) a"(0 (Postoji prirodni broj 0 koji ne slijedi nijedan broj.)
2. a=b (a"=b" (Za svaki prirodni broj a postoji prirodni broj a" iza njega, i to samo jedan.)
3. a"=b" (a=b (Svaki prirodni broj slijedi nakon najviše jednog broja.)
4. (aksiom indukcije) Ako skup M(N i M zadovoljava dva uvjeta:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, tada je M=N.
U funkcionalnoj terminologiji to znači da je preslikavanje S:N®N injektivno. Iz aksioma 1 slijedi da preslikavanje S:N®N nije surjektivno. Aksiom 4 je osnova za dokazivanje tvrdnji "metodom matematičke indukcije".
Napomenimo neka svojstva prirodnih brojeva koja izravno slijede iz aksioma.
Svojstvo 1. Svaki prirodni broj a(0 slijedi jedan i samo jedan broj.
Dokaz. Označimo s M skup prirodnih brojeva koji sadrže nulu i sve one prirodne brojeve od kojih svaki slijedi neki broj. Dovoljno je pokazati da je M=N, jedinstvenost slijedi iz aksioma 3. Primijenimo aksiom indukcije 4:
A) 0(M - konstrukcijom skupa M;
B) ako a(M, tada a"(M, jer a" slijedi a.
To znači, prema aksiomu 4, M=N.
Svojstvo 2. Ako je a(b, onda je a"(b).
Svojstvo se dokazuje kontradikcijom pomoću aksioma 3. Sljedeće svojstvo 3 dokazuje se na sličan način pomoću aksioma 2.
Svojstvo 3. Ako je a"(b", tada je a(b.
Svojstvo 4. ((a(N)a(a". (Nijedan prirodan broj ne slijedi sam sebe.)
Dokaz. Neka je M=(x (x(N, x(x")). Dovoljno je pokazati da je M=N. Budući da prema aksiomu 1 ((x(N)x"(0, tada posebno 0"(0 , a time i uvjet A) aksioma 4 0(M - je zadovoljen. Ako je x(M, odnosno x(x", tada po svojstvu 2 x"((x")", što znači da je uvjet B) x ( M ® x"(M. Ali tada, prema aksiomu 4, M=N.
Neka je ( neko svojstvo prirodnih brojeva. Činjenicu da broj a ima svojstvo (, pisat ćemo ((a).
Zadatak 1.1.1. Dokažite da je aksiom 4 iz definicije skupa prirodnih brojeva ekvivalentan sljedećoj tvrdnji: za bilo koje svojstvo (, if ((0) i, then.
Zadatak 1.1.2. Na skupu od tri elementa A=(a,b,c), unarna operacija ( definirana je na sljedeći način: a(=c, b(=c, c(=a). Koji su od Peanovih aksioma istiniti na skupu A s operacijom (?
Zadatak 1.1.3. Neka je A=(a) jednostruki skup, a(=a. Koji su od Peanovih aksioma istiniti na skupu A s operacijom (?
Zadatak 1.1.4. Na skupu N definiramo unarnu operaciju, pod pretpostavkom za bilo koju. Saznajte hoće li iskazi Peanovih aksioma formulirani u smislu operacije biti istiniti u N.
Problem 1.1.5. Neka bude. Dokažite da je A zatvoren prema operaciji (. Provjerite istinitost Peanovih aksioma na skupu A pomoću operacije (.
Problem 1.1.6. Neka bude,. Definirajmo unarnu operaciju na A, postavka. Koji su od Peanovih aksioma istiniti na skupu A s operacijom?

1.2. Dosljednost i kategoričnost Peanovog aksiomskog sustava.

Sustav aksioma naziva se konzistentnim ako je iz njegovih aksioma nemoguće dokazati teorem T i njegovu negaciju (T. Jasno je da kontradiktorni sustavi aksioma nemaju smisla u matematici, jer se u takvoj teoriji može dokazati bilo što i takav teorija ne odražava zakone stvarnog svijeta Stoga je dosljednost sustava aksioma apsolutno nužan zahtjev.
Ako se teorem T i njegove negacije (T) ne nalaze u aksiomskoj teoriji, to ne znači da se sustav aksioma može pojaviti u budućnosti najčešći način dokazivanja konzistentnosti je metoda interpretacije, koja se temelji na činjenici da ako postoji interpretacija sustava aksioma u očito konzistentnoj teoriji S, onda je i sam sustav aksioma konzistentan. onda bi teoremi T i (T bili dokazivi u njoj, ali bi onda ti teoremi bili valjani iu njezinoj interpretaciji, a to je u suprotnosti s konzistentnošću teorije S. Metoda interpretacije dopušta da se dokaže samo relativna konzistentnost teorije.
Za Peanov sustav aksioma mogu se konstruirati mnoge različite interpretacije. Teorija skupova posebno je bogata interpretacijama. Naznačimo jedno od ovih tumačenja. Skupove (, ((), ((()), (((())),... smatrat ćemo prirodnim brojevima; nulu ćemo smatrati posebnim brojem (. Relacija “slijedi” će tumačiti na sljedeći način: iza skupa M slijedi skup (M), čiji je jedini element sam M, dakle, ("=((), (()"=((()), itd. Izvedivost aksiomi 1-4 mogu se lako provjeriti. Međutim, učinkovitost takve interpretacije je mala: ona pokazuje da je sustav aksioma skupova dosljedan ako je teorija skupova dosljedna Najuvjerljivija interpretacija Peanovog aksiomskog sustava je intuitivna aritmetika, čiju konzistentnost potvrđuje stoljeće njegovog razvoja.
Konzistentan sustav aksioma naziva se neovisnim ako se svaki aksiom tog sustava ne može dokazati kao teorem na temelju drugih aksioma. Dokazati da aksiom (ne ovisi o drugim aksiomima sustava
(1, (2, ..., (n, ((1)
dovoljno je dokazati da je sustav aksioma konzistentan
(1, (2, ..., (n, (((2)
Doista, ako je (dokazano na temelju preostalih aksioma sustava (1), tada bi sustav (2) bio kontradiktoran, jer u njemu teorem (i aksiom ((.
Dakle, da bi se dokazala neovisnost aksioma (od ostalih aksioma sustava (1), dovoljno je konstruirati interpretaciju sustava aksioma (2).
Neovisnost sustava aksioma izborni je zahtjev. Ponekad se, kako bi se izbjeglo dokazivanje “teških” teorema, konstruira namjerno redundantan (ovisan) sustav aksioma. Međutim, “dodatni” aksiomi otežavaju proučavanje uloge aksioma u teoriji, kao i unutarnjih logičkih veza između različitih dijelova teorije. Osim toga, konstruiranje interpretacija za zavisne sustave aksioma puno je teže nego za nezavisne; Uostalom, moramo provjeriti valjanost "dodatnih" aksioma. Iz tih razloga, pitanju ovisnosti između aksioma od davnina se pridaje iznimna važnost. Jedno vrijeme, pokušaji da se dokaže da je postulat 5 u Euklidovim aksiomima “Postoji najviše jedan pravac koji prolazi kroz točku A paralelan s pravcem (” je teorem (to jest, ovisi o preostalim aksiomima) i doveo je do otkrića Lobačevskog geometrija.
Konzistentan sustav naziva se deduktivno potpunim ako se bilo koja tvrdnja A date teorije može ili dokazati ili opovrgnuti, to jest, ili A ili (A je teorem ove teorije. Ako postoji tvrdnja koja se ne može niti dokazati niti opovrgnuti, tada se sustav aksioma naziva deduktivno nepotpunim. Na primjer, sustav aksioma teorije grupa, teorije polja su nepotpuni, budući da postoje i konačne i beskonačne grupe, prstenovi, polja , onda je u tim teorijama nemoguće ni dokazati ni opovrgnuti tvrdnju: "Grupa (prsten, polje) sadrži konačan broj elemenata."
Treba napomenuti da se u mnogim aksiomatskim teorijama (naime, u neformaliziranim) skup tvrdnji ne može smatrati točno definiranim i stoga je nemoguće dokazati deduktivnu cjelovitost sustava aksioma takve teorije. Drugi osjećaj potpunosti naziva se kategoričnost. Sustav aksioma naziva se kategoričkim ako su bilo koje dvije njegove interpretacije izomorfne, to jest, postoji takva korespondencija jedan na jedan između skupova početnih objekata jedne i druge interpretacije koja je sačuvana pod svim početnim odnosima. Kategoričnost je također neobavezan uvjet. Na primjer, sustav aksioma teorije grupa nije kategorički. To slijedi iz činjenice da konačna grupa ne može biti izomorfna beskonačnoj grupi. Međutim, kada se aksiomatizira teorija bilo kojeg numeričkog sustava, kategoričnost je obavezna; na primjer, kategorička priroda sustava aksioma koji definira prirodne brojeve znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan prirodni niz.
Dokažimo kategoričku prirodu Peanovog sustava aksioma. Neka su (N1, s1, 01) i (N2, s2, 02) bilo koje dvije interpretacije Peanovog aksiomskog sustava. Potrebno je naznačiti bijektivno (jedan na jedan) preslikavanje f:N1®N2 za koje su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) za bilo koji x iz N1;
b) f(01)=02
Ako su obje unarne operacije s1 i s2 označene istim prostim brojem, tada će se uvjet a) prepisati kao
a) f(x()=f(x)(.
Definirajmo binarnu relaciju f na skupu N1(N2) sljedećim uvjetima:
1) 01f02;
2) ako je xfy, onda je x(fy(.
Uvjerimo se da je ova relacija preslikavanje iz N1 u N2, odnosno za svaki x iz N1
(((y(N2) xfy (1)
Neka M1 označava skup svih elemenata x iz N1 za koje je zadovoljen uvjet (1). Zatim
A) 01(M1 zbog 1);
B) x(M1 ® x((M1 na temelju 2) i svojstva 1 paragrafa 1.
Odavde, prema aksiomu 4, zaključujemo da je M1=N1, a to znači da je relacija f preslikavanje N1 u N2. Štoviše, iz 1) slijedi f(01)=02. Uvjet 2) zapisan je u obliku: ako je f(x)=y, tada je f(x()=y(. Slijedi da je f(x()=f(x)(). Dakle, za prikaz f uvjet a ) i b) su ispunjeni. Ostaje dokazati da je preslikavanje f bijektivno.
Označimo s M2 skup onih elemenata iz N2, od kojih je svaki slika jednog i samo jednog elementa iz N1 pod preslikavanjem f.
Kako je f(01)=02, onda je 02 slika. Štoviše, ako x(N2 i x(01), tada prema svojstvu 1 stavke 1 x slijedi neki element c iz N1 i tada je f(x)=f(c()=f(c)((02. To znači da je 02 slika jedinog elementa 01, odnosno 02(M2.
Neka je dalje y(M2 i y=f(x), gdje je x jedina inverzna slika elementa y. Tada, prema uvjetu a) y(=f(x)(=f(x()), tj. y(je slika elementa x (. Neka je c bilo koja inverzna slika elementa y(, to jest, f(c)=y(. Budući da je y((02, tada je c(01 i za c) prethodni element, koji označavamo s d. Tada je y(=f( c)=f(d()=f(d)(), odakle je prema aksiomu 3 y=f(d). Ali budući da je y(M2, onda je d= x, odakle c=d(=x(. Dokazali smo da ako je y slika jedinstvenog elementa, onda je y(slika jedinstvenog elementa, to jest, y(M2 ® y((M2. Oba uvjeti aksioma 4 su zadovoljeni i, prema tome, M2=N2, čime je završen dokaz kategoričnosti.
Sva predgrčka matematika bila je empirijske prirode. Pojedini elementi teorije utopljeni su u masi empirijskih metoda za rješavanje praktičnih problema. Grci su tu empirijsku građu podvrgli logičkoj obradi i pokušali pronaći veze između različitih empirijskih informacija. U tom smislu Pitagora i njegova škola (5. st. pr. Kr.) odigrali su veliku ulogu u geometriji. Ideje aksiomatske metode jasno su se čule u djelima Aristotela (4. st. pr. Kr.). Međutim, praktičnu provedbu ovih ideja proveo je Euklid u svojim Elementima (3. st. pr. Kr.).
Trenutno se mogu razlikovati tri oblika aksiomatskih teorija.
1). Smislena aksiomatika, kakva je bila jedina do sredine prošlog stoljeća.
2). Poluformalna aksiomatika nastala u posljednjoj četvrtini prošlog stoljeća.
3). Formalna (ili formalizirana) aksiomatika, čijim se datumom rođenja može smatrati 1904. godina, kada je D. Hilbert objavio svoj poznati program o osnovnim principima formalizirane matematike.
Svaki novi oblik ne negira prethodni, već je njegov razvoj i pojašnjenje, tako da je stupanj strogosti svakog novog oblika viši od prethodnog.
Intenzivnu aksiomatiku karakterizira činjenica da početni pojmovi imaju intuitivno jasno značenje i prije nego što su aksiomi formulirani. Dakle, u Euklidovim Elementima, točka označava upravo ono što intuitivno razumijemo pod tim pojmom. U ovom slučaju koristi se običan jezik i obična intuitivna logika, koja datira još od Aristotela.
Poluformalne aksiomatske teorije također koriste običan jezik i intuitivnu logiku. Međutim, za razliku od smislene aksiomatike, izvornim pojmovima nije pridano nikakvo intuitivno značenje; njih karakteriziraju samo aksiomi. To povećava strogost, budući da intuicija donekle smeta strogosti. Osim toga, stječe se općenitost jer će svaki teorem dokazan u takvoj teoriji biti valjan u bilo kojoj interpretaciji. Primjer poluformalne aksiomatske teorije je Hilbertova teorija, izložena u njegovoj knjizi “Osnove geometrije” (1899). Primjeri poluformalnih teorija također su teorija prstenova i brojne druge teorije predstavljene u tečaju algebre.
Primjer formalizirane teorije je propozicijski račun, koji se proučava u tečaju matematičke logike. Za razliku od sadržajne i poluformalne aksiomatike, formalizirana teorija koristi poseban simbolički jezik. Naime, dana je abeceda teorije, odnosno određeni skup simbola koji igraju istu ulogu kao slova u običnom jeziku. Svaki konačan niz znakova naziva se izraz ili riječ. Među izrazima se razlikuje klasa formula, a naznačen je i točan kriterij koji omogućuje da se za svaki izraz otkrije radi li se o formuli. Formule imaju istu ulogu kao i rečenice u običnom jeziku. Neke od formula proglašene su aksiomima. Dodatno, određena su pravila logičkog zaključivanja; Svako takvo pravilo znači da određena formula izravno slijedi iz određenog skupa formula. Dokaz samog teorema je konačan lanac formula, u kojem je zadnja formula sam teorem, a svaka formula je ili aksiom, ili prethodno dokazani teorem, ili izravno slijedi iz prethodnih formula lanca prema jednoj od pravila zaključivanja. Dakle, nema apsolutno nikakvog pitanja o strogosti dokaza: ili je dati lanac dokaz ili nije; nema dvojbenih dokaza. U tom smislu, formalizirana aksiomatika se koristi u posebno suptilnim pitanjima potkrepljivanja matematičkih teorija, kada obična intuitivna logika može dovesti do pogrešnih zaključaka, koji se uglavnom javljaju zbog netočnosti i dvosmislenosti našeg uobičajenog jezika.
Budući da se u formaliziranoj teoriji za svaki izraz može reći je li formula, tada se skup rečenica formalizirane teorije može smatrati određenim. S tim u vezi, načelno se može postaviti pitanje dokazivanja deduktivne potpunosti, kao i dokazivanja konzistentnosti, bez pribjegavanja tumačenju. U nizu jednostavnih slučajeva to se može postići. Na primjer, konzistentnost iskaznog računa dokazuje se bez tumačenja.
U neformaliziranim teorijama mnoge tvrdnje nisu jasno definirane, pa je besmisleno postavljati pitanje dokazivanja konzistentnosti bez pribjegavanja tumačenjima. Isto vrijedi i za pitanje dokazivanja deduktivne potpunosti. Međutim, ako se naiđe na prijedlog neformalizirane teorije koji se ne može niti dokazati niti opovrgnuti, tada je teorija očito deduktivno nepotpuna.
Aksiomatska metoda odavno se koristi ne samo u matematici, već iu fizici. Prve pokušaje u tom smjeru napravio je Aristotel, ali je aksiomatska metoda svoju pravu primjenu u fizici dobila tek u Newtonovim radovima o mehanici.
U vezi s brzim procesom matematizacije znanosti postoji i proces aksiomatizacije. Trenutno se aksiomatska metoda čak koristi u nekim područjima biologije, na primjer, u genetici.
Ipak, mogućnosti aksiomatske metode nisu neograničene.
Prije svega napominjemo da ni u formaliziranim teorijama nije moguće potpuno izbjeći intuiciju. Sama formalizirana teorija bez interpretacija nema smisla. Stoga se postavlja niz pitanja o odnosu između formalizirane teorije i njezine interpretacije. Osim toga, kao iu formaliziranim teorijama, postavljaju se pitanja o dosljednosti, neovisnosti i potpunosti sustava aksioma. Ukupnost svih takvih pitanja čini sadržaj druge teorije, koja se naziva metateorijom formalizirane teorije. Za razliku od formalizirane teorije, jezik metateorije je običan svakodnevni jezik, a logičko zaključivanje provodi se prema pravilima obične intuitivne logike. Tako se intuicija, potpuno izbačena iz formalizirane teorije, ponovno pojavljuje u svojoj metateoriji.
Ali to nije glavna slabost aksiomatske metode. Već smo spomenuli D. Hilbertov program, koji je postavio osnovu za formaliziranu aksiomatsku metodu. Hilbertova glavna ideja bila je izraziti klasičnu matematiku kao formaliziranu aksiomatsku teoriju i potom dokazati njezinu dosljednost. Međutim, taj se program u svojim glavnim točkama pokazao utopističkim. Godine 1931. austrijski matematičar K. Gödel dokazao je svoje poznate teoreme iz kojih je proizlazilo da su oba glavna Hilbertova problema nemoguća. Koristeći svoju metodu kodiranja, uspio je izraziti neke istinite pretpostavke iz metateorije koristeći formule formalne aritmetike i dokazati da te formule nisu deducibilne u formalnoj aritmetici. Stoga se formalizirana aritmetika pokazala deduktivno nepotpunom. Iz Gödelovih rezultata proizlazi da ako se ova nedokaziva formula uključi u broj aksioma, tada će postojati još jedna nedokaziva formula koja izražava neku istinitu tvrdnju. Sve je to značilo da ne samo sva matematika, nego čak ni aritmetika - njezin najjednostavniji dio - nije mogla biti potpuno formalizirana. Konkretno, Gödel je konstruirao formulu koja odgovara rečenici "Formalizirana aritmetika je dosljedna" i pokazao da se ta formula također ne može izvesti. Ova činjenica znači da se konzistentnost formalizirane aritmetike ne može dokazati unutar same aritmetike. Naravno, moguće je konstruirati jaču formaliziranu teoriju i upotrijebiti njezina sredstva za dokazivanje konzistentnosti formalizirane aritmetike, ali tada se postavlja teže pitanje o konzistentnosti ove nove teorije.
Gödelovi rezultati ukazuju na ograničenja aksiomatske metode. Pa ipak, u teoriji spoznaje nema apsolutno nikakve osnove za pesimistične zaključke da postoje nespoznatljive istine. Činjenica da postoje aritmetičke istine koje se ne mogu dokazati u formalnoj aritmetici ne znači da postoje nespoznatljive istine i ne znači da je ljudsko razmišljanje ograničeno. To samo znači da mogućnosti našeg razmišljanja nisu ograničene na potpuno formalizirane postupke i da čovječanstvo tek treba otkriti i izmisliti nove principe dokazivanja.

1.3.Zbrajanje prirodnih brojeva

Operacije zbrajanja i množenja prirodnih brojeva nisu postulirane Peanovim aksiomskim sustavom; mi ćemo te operacije definirati.
Definicija. Zbrajanje prirodnih brojeva je binarna algebarska operacija + na skupu N, koja ima sljedeća svojstva:
1s. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Postavlja se pitanje postoji li takva operacija, i ako postoji, je li to jedina?
Teorema. Postoji samo jedno zbrajanje prirodnih brojeva.
Dokaz. Binarna algebarska operacija na skupu N je preslikavanje (:N(N®N. Potrebno je dokazati da postoji jedinstveno preslikavanje (:N(N®N) sa svojstvima: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Ako za svaki prirodni broj x dokažemo postojanje preslikavanja fx:N®N sa svojstvima 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), tada je funkcija ((x,y), definirana jednakošću ((x) ,y) (fx(y), zadovoljit će uvjete 1) i 2 ).
Na skupu N binarnu relaciju fx definiramo uvjetima:
a) 0fxx;
b) ako je yfxz, tada je y(fxz(.
Uvjerimo se da je ova relacija preslikavanje iz N u N, to jest za svaki y iz N
(((z(N) yfxz (1)
Označimo s M skup prirodnih brojeva y za koje je zadovoljen uvjet (1). Tada iz uvjeta a) slijedi da je 0(M, a iz uvjeta b) i svojstva 1 klauzule 1 slijedi da ako y(M, tada y((M. Stoga, na temelju aksioma 4, zaključujemo da je M = N , a to znači da je relacija fx preslikavanje iz N u N. Za ovo preslikavanje ispunjeni su sljedeći uvjeti:
1() fx(0)=x - zbog a);
2() fx((y)=fx(y() - na temelju b).
Dakle, postojanje sabiranja je dokazano.
Dokažimo jedinstvenost. Neka su + i ( bilo koje dvije binarne algebarske operacije na skupu N sa svojstvima 1c i 2c. Moramo dokazati da
((x,y(N) x+y=x(y
Fiksirajmo proizvoljan broj x i označimo sa S skup onih prirodnih brojeva y za koje vrijedi jednakost
x+y=x(y (2)
izvedena. Budući da je prema 1c x+0=x i x(0=x, tada
A) 0 (S
Neka je sada y(S, to jest, jednakost (2) zadovoljena. Budući da je x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(i x+y=x(y), tada je po aksiomu 2 x+y(=x(y(, odnosno uvjet je zadovoljen
B) y(S ® y((S.
Dakle, prema aksiomu 4, S=N, čime je završen dokaz teorema.
Dokažimo neka svojstva sabiranja.
1. Broj 0 je neutralni element zbrajanja, odnosno a+0=0+a=a za svaki prirodni broj a.
Dokaz. Jednakost a+0=a slijedi iz uvjeta 1c. Dokažimo jednakost 0+a=a.
Označimo s M skup svih brojeva za koje vrijedi. Očito, 0+0=0 i stoga 0(M. Neka je a(M, to jest, 0+a=a. Tada je 0+a(=(0+a)(=a(i, stoga, a((M) To znači M=N, što je trebalo dokazati.
Zatim nam treba lema.
Lema. a(+b=(a+b)(.
Dokaz. Neka je M skup svih prirodnih brojeva b za koje vrijedi jednakost a(+b=(a+b) za bilo koju vrijednost a. Tada:
A) 0(M, budući da je a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Doista, iz činjenice da b(M i 2c, imamo
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
to jest b((M. To znači M=N, što je trebalo dokazati.
2. Zbrajanje prirodnih brojeva je komutativno.
Dokaz. Neka je M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Dovoljno je dokazati da je M=N. Imamo:
A) 0(M - zbog svojstva 1.
B) a(M ® a((M. Doista, primjenom leme i činjenice da je a(M) dobivamo:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
To znači a((M, a po aksiomu 4 M=N.
3. Zbrajanje je asocijativno.
Dokaz. Neka
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Potrebno je dokazati da je M=N. Budući da je (a+b)+0=a+b i a+(b+0)=a+b, onda je 0(M. Neka c(M, to jest (a+b)+c=a+(b+c) .Onda
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
To znači c((M i po aksiomu 4 M=N.
4. a+1=a(, gdje je 1=0(.
Dokaz. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ako je b(0, tada je ((a(N)a+b(a.
Dokaz. Neka je M=(a(a(N(a+b(a)). Budući da je 0+b=b(0, onda je 0(M. Nadalje, ako je a(M, to jest a+b(a), onda po svojstvo 2, stavka 1 (a+b)((a(ili a(+b(a(. Dakle, a((M i M=N.)
6. Ako je b(0, tada je ((a(N)a+b(0.
Dokaz. Ako je a=0, tada je 0+b=b(0, ali ako je a(0 i a=c(, tada je a+b=c(+b=(c+b)(0. Dakle, u svakom slučaju a + b(0.
7. (Zakon trihotomije adicije). Za sve prirodne brojeve a i b istinita je jedna i samo jedna od tri relacije:
1) a=b;
2) b=a+u, gdje je u(0;
3) a=b+v, gdje je v(0.
Dokaz. Fiksirajmo proizvoljni broj a i označimo s M skup svih prirodnih brojeva b za koje vrijedi barem jedna od relacija 1), 2), 3). Potrebno je dokazati da je M=N. Neka je b=0. Tada ako je a=0, onda je relacija 1 istinita), a ako je a(0, onda je relacija 3 istinita), jer je a=0+a. Dakle, 0 (M.
Pretpostavimo sada da je b(M, odnosno za odabrano a, zadovoljena jedna od relacija 1), 2), 3). Ako je a=b, tada je b(=a(=a+1, odnosno za b(vrijedi relacija 2). Ako je b=a+u, tada je b(=a+u(, odnosno za b( relacija 2). Ako je a=b+v, tada su moguća dva slučaja: v=1 i v(1. Ako je v=1, tada je a=b+v=b", odnosno za b" vrijede relacije 1). zadovoljeno). Ako je isto v(1, tada je v=c", gdje je c(0, a zatim a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, gdje je c(0, to je za b" relacija 3 zadovoljena). Dakle, dokazali smo da b(M®b"(M, pa prema tome M=N, to jest, za bilo koje a i b barem jedna od relacija 1), 2), 3. Uvjerimo se da nijedna od njih ne može biti ispunjena istovremeno: ako su relacije 1) i 2) zadovoljene, tada bi imale b=b+u, gdje je u(0, a to je u suprotnosti sa svojstvom. 5. Nemogućnost zadovoljivosti 1) i 3). Konačno, kada bi relacije 2) i 3) bile zadovoljene, tada bismo imali a=(a+u)+v = a+ +(u+v), a to je nemoguće zbog svojstava 5 i 6. Svojstvo 7 je potpuno dokazano.
Zadatak 1.3.1. Neka je 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)). Dokažite da je 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MNOŽENJE PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Množenje prirodnih brojeva je takva binarna operacija (na skupu N, za koju su ispunjeni sljedeći uvjeti:
1u. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Opet se postavlja pitanje postoji li takva operacija i ako postoji je li jedina?
Teorema. Za množenje prirodnih brojeva postoji samo jedna operacija.
Dokaz se provodi gotovo isto kao i za zbrajanje. Potrebno je pronaći preslikavanje (:N(N®N) koje zadovoljava uvjete
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Popravimo broj x proizvoljno. Dokažemo li za svaki x(N postojanje preslikavanja fx: N®N sa svojstvima
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
tada je funkcija ((x,y), definirana jednakošću ((x,y)=fx(y) i zadovoljit će uvjete 1) i 2).
Dakle, dokaz teorema svodi se na dokazivanje postojanja i jedinstvenosti za svaki x funkcije fx(y) sa svojstvima 1") i 2"). Uspostavimo korespondenciju na skupu N prema sljedećem pravilu:
a) broj nula je usporediv s brojem 0,
b) ako je broju y pridružen broj c, tada broj y (pridružiti broj c+x.
Pobrinimo se da takvom usporedbom svaki broj y ima jedinstvenu sliku: to će značiti da je korespondencija preslikavanje N u N. Označimo s M skup svih prirodnih brojeva y koji imaju jedinstvenu sliku. Iz uvjeta a) i aksioma 1 slijedi da je 0(M. Neka je y(M. Tada iz uvjeta b) i aksioma 2 slijedi da je y((M. To znači M=N, tj. naša korespondencija je preslikavanje N u N ; označimo ga s fx(0)=0 zbog uvjeta a) i fx(y()=fx(y)+x - zbog uvjeta b).
Dakle, postojanje operacije množenja je dokazano. Sada neka su (i ( bilo koje dvije binarne operacije na skupu N sa svojstvima 1u i 2u. Ostaje dokazati da je ((x,y(N) x(y=x(y). Fiksiramo proizvoljan broj x i neka
S=(y?y(N (x(y=x(y)
Budući da je na temelju 1y x(0=0 i x(0=0), tada je 0(S. Neka je y(S, to jest, x(y=x(y. Tada
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, prema tome, y((S. Ovo znači S=N, što dovršava dokaz teorema.
Napomenimo neka svojstva množenja.
1. Neutralni element u odnosu na množenje je broj 1=0(, to jest ((a(N) a(1=1(a=a.
Dokaz. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Time je jednakost a(1=a) dokazana. Ostaje dokazati jednakost 1(a=a. Neka je M=(a ?a(N (1(a=a). Budući da je 1(0=0, tada je 0(M. Neka je a(M, to jest, 1(a=a). Tada je 1(a(=1(a+1= a+1= a(, i, prema tome, a((M. To znači, prema aksiomu 4, M=N, što je ono što je trebalo dokazati.
2. Za množenje vrijedi pravi zakon distribucije tj
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Dokaz. Neka je M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Budući da je (a+b)0=0 i a(0+b(0=0 , onda 0(M. Ako c(M, to jest (a+b)c=ac+bc, tada (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Dakle, c((M i M=N.
3. Množenje prirodnih brojeva je komutativno, odnosno ((a,b(N) ab=ba.
Dokaz. Dokažimo prvo za bilo koji b(N jednakost 0(b=b(0=0. Jednakost b(0=0) slijedi iz uvjeta 1y. Neka je M=(b (b(N (0(b=0). Pošto je 0( 0=0, tada je 0(M. Ako je b(M, to jest, 0(b=0, tada je 0(b(=0(b+0=0) i, prema tome, b((M. Dakle, M =N, odnosno jednakost 0(b=b(0) je dokazana za sve b(N. Neka je dalje S=(a (a(N (ab=ba)). Kako je 0(b=b(0, onda je 0(S. Neka je a (S, to jest, ab=ba. Tada je a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, to jest, a((S. Ovo znači S =N, što je i trebalo dokazati.
4. Množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje. Ovo svojstvo slijedi iz svojstava 3 i 4.
5. Množenje je asocijativno, odnosno ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Dokaz se provodi, kao i za zbrajanje, indukcijom na c.
6. Ako je a(b=0, tada je a=0 ili b=0, tj. N nema djelitelja nule.
Dokaz. Neka su b(0 i b=c(. Ako je ab=0, tada je ac(=ac+a=0), što znači, na temelju svojstva 6 klauzule 3, da je a=0.
Zadatak 1.4.1. Neka je 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)). Dokažite da je 2(4=8, 3(3=9.
Neka su n, a1, a2,...,an prirodni brojevi. Zbroj brojeva a1, a2,...,an je broj koji se označava i određuje uvjetima; za svaki prirodni broj k
Umnožak brojeva a1, a2,...,an je prirodan broj, koji se označava i određuje uvjetima: ; za svaki prirodni broj k
Ako, tada je broj označen sa.
Zadatak 1.4.2. Dokaži to
A) ;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) ;
i) ;
h) ;
i) .

1.5. UREĐENOST PRIRODNOG BROJEVNOG SUSTAVA.

Odnos "slijedi" je antirefleksivan i antisimetričan, ali nije tranzitivan i stoga nije odnos reda. Definirat ćemo relaciju reda na temelju zbrajanja prirodnih brojeva.
Definicija 1. a
Definicija 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Uvjerimo se da je relacija Uočimo neka svojstva prirodnih brojeva povezana s relacijama jednakosti i nejednakosti.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7 a+c
1.8 ac
1.9a
1.10a
Dokaz. Svojstva 1.1 i 1.2 proizlaze iz jedinstvenosti operacija zbrajanja i množenja. Ako a
2. ((a(N) a
Dokaz. Pošto je a(=a+1, tada je a
3. Najmanji element u N je 0, a najmanji element u N\(0) je broj 1.
Dokaz. Budući da je ((a(N) a=0+a, tada je 0(a, i stoga je 0 najmanji element u N. Nadalje, ako je x(N\(0), tada je x=y(, y(N) , ili x=y+1. Slijedi da je ((x(N\(0)) 1(x, to jest, 1 najmanji element u N\(0).
4. Relacija ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Dokaz. Očito, za svaki prirodni broj a postoji prirodan broj n takav da
a Takav broj je npr. n=a(. Nadalje, ako je b(N\(0), tada po svojstvu 3
1(b(2)
Iz (1) i (2), na temelju svojstava 1.10 i 1.4, dobivamo aa.

1.6. POTPUNI POREDAK SUSTAVA PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Ako je svaki neprazan podskup uređenog skupa (M; Uvjerimo se da je ukupni poredak linearan. Neka su a i b bilo koja dva elementa iz potpuno uređenog skupa (M; Lema . 1)a
Dokaz.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a)
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a)
Teorema 1. Prirodni red na skupu prirodnih brojeva je ukupni red.
Dokaz. Neka je M bilo koji neprazan skup prirodnih brojeva, a S skup njegovih donjih granica u N, to jest, S=(x (x(N (((m(M) x(m)). Iz svojstva 3 klauzule 5 slijedi da je 0(S. Ako je drugi uvjet aksioma 4 n(S (n((S)) također zadovoljen, tada bismo imali S=N. Zapravo, S(N; naime, ako a( M, tada a((S zbog nejednakosti a
Teorem 2. Svaki gore omeđeni neprazan skup prirodnih brojeva ima najveći element.
Dokaz. Neka je M bilo koji neprazan skup prirodnih brojeva omeđen odozgo, a S skup njegovih gornjih granica, to jest, S=(x(x(N (((m(M) m(x). Neka x0 označava najmanji element u S. Tada za sve brojeve m iz M vrijedi nejednakost m(x0), a stroga nejednakost m
Zadatak 1.6.1. Dokaži to
A) ;
b) ;
V) .
Problem 1.6.2. Neka je ( neko svojstvo prirodnih brojeva i k proizvoljan prirodan broj. Dokažite to
a) svaki prirodni broj ima svojstvo (, čim 0 ima to svojstvo za svaki n (0
b) svaki prirodni broj veći ili jednak k ima svojstvo (, čim k ima to svojstvo i za svaki n (k(n) iz pretpostavke da n ima svojstvo (, slijedi da broj n+1 također ima ovo svojstvo;
c) svaki prirodni broj veći ili jednak k ima svojstvo (, čim k ima to svojstvo i za svaki n (n>k) pod pretpostavkom da su svi brojevi t definirani uvjetom k(t

1.7. NAČELO INDUKCIJE.

Korištenjem potpunog uređenja sustava prirodnih brojeva može se dokazati sljedeći teorem na kojem se temelji jedna od metoda dokazivanja, nazvana metoda matematičke indukcije.
Teorem (princip indukcije). Svi iskazi iz niza A1, A2, ..., An, ... su istiniti ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:
1) tvrdnja A1 je istinita;
2) ako su tvrdnje Ak istinite za k
Dokaz. Pretpostavimo suprotno: ispunjeni su uvjeti 1) i 2), ali teorem nije točan, odnosno skup M=(m(m(N\(0), Am je lažan)) nije prazan). Teorema 1 klauzule 6, postoji najmanji element, koji označavamo s n. Budući da je prema uvjetu 1) A1 istinito, a An netočno, tada je 1(n, dakle 1
Kod dokazivanja indukcijom mogu se razlikovati dva stupnja. U prvoj fazi, koja se naziva indukcijska baza, provjerava se izvedivost uvjeta 1). U drugoj fazi, nazvanoj korak indukcije, dokazuje se izvedivost uvjeta 2). U ovom slučaju najčešće postoje slučajevi kada za dokazivanje istinitosti tvrdnji An nema potrebe koristiti istinitost tvrdnji Ak za k
Primjer. Dokažite nejednakost Put =Sk. Potrebno je dokazati istinitost iskaza Ak=(Sk Niz iskaza iz teorema 1 može se dobiti iz predikata A(n) definiranog na skupu N ili na njegovom podskupu Nk=(x (x(N) , x(k), gdje je k bilo koji fiksni prirodni broj.
Konkretno, ako je k=1, tada je N1=N\(0), a numeriranje iskaza može se provesti pomoću jednakosti A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Ako je k(1, tada se niz iskaza može dobiti pomoću jednakosti A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. U skladu s takvim zapisom, teorem 1 može se formulirati u drugom obliku.
Teorem 2. Predikat A(m) je identično istinit na skupu Nk ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
1) tvrdnja A(k) je istinita;
2) ako su tvrdnje A(m) istinite za m
Zadatak 1.7.1. Dokažite da sljedeće jednadžbe nemaju rješenja u domeni prirodnih brojeva:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Zadatak 1.7.2. Dokažite načelom matematičke indukcije:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) .

1.8. ODUZIMANJE I DIJELJENJE PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Razlika prirodnih brojeva a i b je prirodan broj x takav da je b+x=a. Razlika prirodnih brojeva a i b označava se s a-b, a operacija pronalaženja razlike naziva se oduzimanje. Oduzimanje nije algebarska operacija. To slijedi iz sljedećeg teorema.
Teorem 1. Razlika a-b postoji ako i samo ako je b(a. Ako razlika postoji, onda postoji samo jedna.
Dokaz. Ako je b(a, tada prema definiciji relacije (postoji prirodan broj x takav da je b+x=a. Ali to također znači da je x=a-b. Obrnuto, ako razlika a-b postoji, tada prema definiciji 1 postoji a prirodni broj x, da je b+x=a, ali to također znači da je b(a.
Dokažimo jedinstvenost razlike a-b. Neka je a-b=x i a-b=y. Tada prema definiciji 1 b+x=a, b+y=a. Stoga je b+x=b+y i stoga je x=y.
Definicija 2. Kvocijent dvaju prirodnih brojeva a i b(0) je prirodan broj c tako da je a=bc operacija nalaženja kvocijenta riješena u teoriji djeljivost.
Teorem 2. Ako kvocijent postoji, onda postoji samo jedan.
Dokaz. Neka je =x i =y. Tada prema definiciji 2 a=bx i a=by. Stoga je bx=by i stoga x=y.
Imajte na umu da su operacije oduzimanja i dijeljenja definirane gotovo doslovno na isti način kao u školskim udžbenicima. To znači da su u paragrafima 1-7, na temelju Peanovih aksioma, postavljeni čvrsti teorijski temelji za aritmetiku prirodnih brojeva i da se njeno daljnje izlaganje dosljedno provodi u školskom kolegiju matematike iu sveučilišnom kolegiju “Algebra i teorija brojeva”. .
Zadatak 1.8.1. Dokažite valjanost sljedećih tvrdnji, pod pretpostavkom da postoje sve razlike koje se pojavljuju u njihovim formulacijama:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
n) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problem 1.8.2. Dokažite valjanost sljedećih tvrdnji, pod pretpostavkom da postoje svi kvocijenti koji se pojavljuju u njihovim formulacijama.
A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; i) ; h) ; I) ; Za) ; l) ; m) ; n) ; O) ; P) ; R) .
Problem 1.8.3. Dokažite da sljedeće jednadžbe ne mogu imati dva različita prirodna rješenja: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Problem 1.8.4. Riješite sljedeće jednadžbe u prirodnim brojevima:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Problem 1.8.5. Dokažite da sljedeće jednadžbe nemaju rješenja u polju prirodnih brojeva: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V) ; G) ; e) x2=2x+1; f) x2=2y2.
Problem 1.8.6. Riješite sljedeće nejednadžbe u prirodnim brojevima: a) ; b) ; V) ; d) x+y2 Zadatak 1.8.7. Dokažite da u polju prirodnih brojeva vrijede relacije: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 .KVANTITATIVNO ZNAČENJE PRIRODNI BROJEVI.
U praksi se prirodni brojevi koriste uglavnom za prebrojavanje elemenata, a za to je potrebno utvrditi kvantitativno značenje prirodnih brojeva u Peanovoj teoriji.
Definicija 1. Skup (x (x(N, 1(x(n)) naziva se segmentom prirodnog niza i označava se sa (1;n(.
Definicija 2. Konačan skup je svaki skup koji je jednak određenom segmentu prirodnog niza, kao i prazan skup. Skup koji nije konačan naziva se beskonačan.
Teorem 1. Konačni skup A nije ekvivalentan niti jednom od svojih podskupova (tj. podskupu različitom od A).
Dokaz. Ako je A=(, tada je teorem točan, budući da prazan skup nema odgovarajuće podskupove. Neka su A((i A jednako moćni (1,n((A((1,n())). Dokazat ćemo teorem indukcijom na n. Ako je n= 1, to jest A((1,1(), tada je jedini pravi podskup skupa A prazan skup. Jasno je da je A(i, prema tome, za n=1 teorem je točan. Pretpostavimo da je teorem točan za n=m, to jest da svi konačni skupovi ekvivalentni segmentu (1,m() nemaju odgovarajuće odgovarajuće podskupove. Neka je A bilo koji skup jednak segmentu (1,m +1(i (:(1,m+1(®A - neko bijektivno preslikavanje segmenta (1,m+1(u A. Ako je ((k) označeno sa ak, k=1,2,..) .,m+1, tada se skup A može napisati kao A=(a1, a2, ... , am, am+1). Pretpostavimo suprotno. neka je B(A, B(A, B(A i f: A®B) bijektivno preslikavanje. Možemo odabrati bijektivno preslikavanje poput ovog (i f tako da je am+1(B i f(am+1)=am+ 1.
Promotrimo skupove A1=A\(am+1) i B1=B\(am+1). Kako je f(am+1)=am+1, funkcija f će izvršiti bijektivno preslikavanje skupa A1 na skup B1. Tako će skup A1 biti jednak vlastitom podskupu B1. Ali budući da je A1((1,m(), to je u suprotnosti s pretpostavkom indukcije.
Korolar 1. Skup prirodnih brojeva je beskonačan.
Dokaz. Iz Peanovih aksioma slijedi da je preslikavanje S:N®N\(0), S(x)=x( bijektivno. To znači da je N jednako vlastitom podskupu N\(0) i, na temelju teorema 1, nije konačan.
Korolar 2. Svaki neprazan konačan skup A ekvivalentan je jednom i samo jednom segmentu prirodnog niza.
Dokaz. Neka su A((1,m(i A((1,n(). Tada je (1,m(((1,n(), iz čega, prema teoremu 1, slijedi da je m=n. Doista, ako pretpostavimo da je m
Korolar 2 omogućuje nam da uvedemo definiciju.
Definicija 3. Ako je A((1,n(, tada se prirodni broj n naziva brojem elemenata skupa A, a proces uspostavljanja korespondencije jedan na jedan između skupova A i (1,n( naziva se brojanje elemenata skupa A. Prirodno je uzeti u obzir broj elemenata praznog skupa broj nula.
O ogromnoj važnosti brojanja u praktičnom životu suvišno je govoriti.
Imajte na umu da bi, poznavajući kvantitativno značenje prirodnog broja, bilo moguće definirati operaciju množenja zbrajanjem, naime:
.
Namjerno nismo krenuli tim putem kako bismo pokazali da sama aritmetika ne treba kvantitativni smisao: kvantitativni smisao prirodnog broja potreban je samo u primjenama aritmetike.

1.10. SUSTAV PRIRODNIH BROJEVA KAO DISKRETAN POTPUNO UREĐEN SKUP.

Pokazali smo da je skup prirodnih brojeva potpuno uređen u odnosu na prirodni red. Štoviše, ((a(N) a
1. za svaki broj a(N postoji susjedni koji mu slijedi u relaciji 2. za svaki broj a(N\(0) postoji susjedni koji mu prethodi u relaciji A potpuno uređen skup (A;() sa svojstvima 1 i 2 ćemo nazvati diskretnim potpuno uređenim skupom. Ispada da je potpuna uređenost sa svojstvima 1 i 2 karakteristično svojstvo sustava prirodnih brojeva. Neka je A=(A;() svaki potpuno uređeni skup sa svojstvima 1 i 2. Definirajmo na skupu A relaciju "slijedi" na sljedeći način: a(=b, ako je b susjedni element koji slijedi a u relaciji (. Jasno je da najmanji element skupa A ne slijedi nijedan element i, prema tome, Peanov aksiom 1 je zadovoljen.
Budući da je relacija (linearni poredak, tada za bilo koji element a postoji jedinstveni element koji slijedi nakon njega i najviše jedan prethodni susjedni element. Ovo implicira valjanost aksioma 2 i 3. Neka je sada M bilo koji podskup skupa A za kojima su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
1) a0(M, gdje je a0 najmanji element u A;
2) a(M (a((M.
Dokažimo da je M=N. Pretpostavimo suprotno, to jest A\M((. Označimo s b najmanji element u A\M. Budući da je a0(M, tada je b(a0 i, prema tome, postoji element c takav da je c( =b. Od c
Dakle, dokazali smo mogućnost druge definicije sustava prirodnih brojeva.
Definicija. Sustav prirodnih brojeva je svaki dobro uređen skup na kojem su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
1. za bilo koji element postoji susjedni element koji slijedi;
2. za svaki element osim najmanjeg, postoji susjedni element koji mu prethodi.
Postoje i drugi pristupi definiranju sustava prirodnih brojeva, na kojima se ovdje nećemo zadržavati.

2. CIJELI I RACIONALNI BROJEVI.

2.1. DEFINICIJA I SVOJSTVA SUSTAVA CIJELIH BROJEVA.
Poznato je da je skup cijelih brojeva u njihovom intuitivnom shvaćanju prsten u odnosu na zbrajanje i množenje, a taj prsten sadrži sve prirodne brojeve. Također je jasno da u prstenu cijelih brojeva ne postoji pravi podprsten koji bi sadržavao sve prirodne brojeve. Ispostavilo se da se ta svojstva mogu koristiti kao osnova za strogu definiciju sustava cijelih brojeva. U paragrafima 2.2 i 2.3 će se dokazati ispravnost ove definicije.
Definicije 1. Sustav cijelih brojeva je algebarski sustav za koji su ispunjeni sljedeći uvjeti:
1. Algebarski sustav je prsten;
2. Skup prirodnih brojeva sadržan je u, a zbrajanje i množenje u prstenu na podskupu podudaraju se sa zbrajanjem i množenjem prirodnih brojeva, tj.
3. (uvjet minimalnosti). Z je inkluzioni minimalni skup sa svojstvima 1 i 2. Drugim riječima, ako podprsten prstena sadrži sve prirodne brojeve, tada je Z0=Z.
Definiciji 1 može se dati prošireni aksiomatski karakter. Početni koncepti ove aksiomatske teorije bit će:
1) Skup Z, čiji se elementi nazivaju cijelim brojevima.
2) Poseban cijeli broj koji se naziva nula i označava se s 0.
3) Ternarne relacije + i (.
Kao i obično, N označava skup prirodnih brojeva s zbrajanjem (i množenjem (). U skladu s definicijom 1, sustav cijelih brojeva je algebarski sustav (Z; +, (, N) za koji vrijede sljedeći aksiomi:
1. (Aksiomi prstena.)
1.1.
Ovaj aksiom znači da je + binarna algebarska operacija na skupu Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, odnosno broj 0 je neutralan element u odnosu na zbrajanje.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, odnosno za svaki cijeli broj postoji suprotan broj a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Ovaj aksiom znači da je množenje binarna algebarska operacija na skupu Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.)
2. (Aksiomi koji povezuju prsten Z sa sustavom prirodnih brojeva.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Aksiom minimalnosti.)
Ako je Z0 podprsten prstena Z i N(Z0, tada je Z0=Z.
Napomenimo neka svojstva cjelobrojnog sustava.
1. Svaki cijeli broj može se prikazati kao razlika dvaju prirodnih brojeva. Ova reprezentacija je dvosmislena, sa z=a-b i z=c-d, gdje su a,b,c,d(N, ako i samo ako je a+d=b+c.
Dokaz. Označimo sa Z0 skup svih cijelih brojeva od kojih se svaki može prikazati kao razlika dvaju prirodnih brojeva. Očito, ((a(N) a=a-0, i stoga N(Z0.
Zatim, neka je x,y(Z0, to jest x=a-b, y=c-d, gdje je a,b,c,d(N. Tada je x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)-( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- ( a(d(b(c). Odavde je jasno da x-y, x(y(Z0 i, prema tome, Z0 je podprsten prstena Z koji sadrži skup N. Ali onda, prema aksiomu 3, Z0=Z i time je dokazan prvi dio svojstva 1. Drugi iskaz ovog svojstva je očit.
2. Prsten cijelih brojeva je komutativni prsten s jedinicom, a nula tog prstena je prirodni broj 0, a jedinica tog prstena je prirodni broj 1.
Dokaz. Neka je x,y(Z. Prema svojstvu 1 x=a-b, y=c-d, gdje je a,b,c,d(N. Tada je x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b)). Dakle, zbog komutativnosti množenja prirodnih brojeva zaključujemo da je xy=yx. Komutativnost množenja u prstenu Z je dokazana. Preostale izjave Svojstva 2 slijede iz sljedećih očitih jednakosti, u kojima 0 i 1 označavaju prirodne brojeve nula i jedan: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x) .

2.2. POSTOJANJE SUSTAVA CIJELIH BROJEVA.

Sustav cijelih brojeva definiran je u 2.1 kao minimalni inkluzijski prsten koji sadrži sve prirodne brojeve. Postavlja se pitanje: postoji li takav prsten? Drugim riječima, je li sustav aksioma iz 2.1 konzistentan? Da bi se dokazala dosljednost ovog sustava aksioma, potrebno je konstruirati njegovu interpretaciju u očito dosljednoj teoriji. Takvu teoriju možemo smatrati aritmetikom prirodnih brojeva.
Dakle, počnimo konstruirati interpretaciju sustava aksioma 2.1. Skup ćemo smatrati početnim. Na ovom skupu definiramo dvije binarne operacije i binarnu relaciju. Kako se zbrajanje i množenje parova svodi na zbrajanje i množenje prirodnih brojeva, onda su, kao i za prirodne brojeve, zbrajanje i množenje parova komutativno, asocijativno, a množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje. Provjerimo, na primjer, komutativnost zbrajanja parova: +===+.
Razmotrimo svojstva relacije ~. Kako je a+b=b+a, onda je ~, odnosno odnos ~ refleksivan. Ako je ~, odnosno a+b1=b+a1, onda je a1+b=b1+a, odnosno ~. To znači da je relacija simetrična. Neka dalje ~ i ~. Tada su istinite jednakosti a+b1=b+a1 i a1+b2=b1+a2. Zbrajanjem ovih jednakosti dobivamo a+b2=b+a2, odnosno ~. To znači da je relacija ~ također tranzitivna i, prema tome, ekvivalencija. Klasu ekvivalencije koja sadrži par označit ćemo s. Dakle, klasa ekvivalencije može biti označena bilo kojim svojim parom i u isto vrijeme
(1)
Skup svih klasa ekvivalencije označavamo sa. Naš je zadatak pokazati da će taj skup, uz odgovarajuću definiciju operacija zbrajanja i množenja, biti interpretacija sustava aksioma iz 2.1. Operacije na skupu definiramo jednakostima:
(2)
(3)
Ako su i, tj. na skupu N istinite jednakosti a+b(=b+a(, c+d(=a+c(), tada vrijedi jednakost (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), iz čega, na temelju (1), dobivamo da. To znači da jednakost (2) definira jedinstvenu operaciju zbrajanja na skupu, neovisno o izbor parova koji označavaju klase koje se zbrajaju. Na sličan način provjerava se i jedinstvenost množenja klasa. Dakle, jednakosti (2) i (3) definiraju binarne algebarske operacije na skupu.
Budući da se zbrajanje i množenje klasa svodi na zbrajanje i množenje parova, te su operacije komutativne, asocijativne, a množenje klasa je distributivno u odnosu na zbrajanje. Iz jednakosti zaključujemo da je klasa neutralan element u odnosu na zbrajanje i za svaku klasu postoji klasa suprotna njoj. To znači da je skup prsten, odnosno da su zadovoljeni aksiomi grupe 1 iz 2.1.
Razmotrimo podskup prstena. Ako je a(b, onda prema (1) , a ako je a
Na skupu definiramo binarnu relaciju (slijedi (; naime, klasu slijedi klasa, gdje je x(prirodni broj iza x. Klasa koja prirodno slijedi označena je s (. Jasno je da klasa ne slijedi bilo koja klasa i svaka klasa iza nje i, štoviše, samo jedna znači da je relacija (sljedi) unarna algebarska operacija na skupu N.
Razmotrimo mapiranje. Očito je ovo preslikavanje bijektivno i uvjeti f(0)= , f(x()==(=f(x)(). To znači da je preslikavanje f izomorfizam algebre (N;0,() na algebru (;, (). Drugim riječima, algebra (;,() je interpretacija Peanovog sustava aksioma. Identificiranjem ovih izomorfnih algebri, to jest, pretpostavkom da je sam skup N podskup Ova ista identifikacija u očitim jednakostima dovodi do jednakosti a(c =a+c, a(c=ac), što znači da se zbrajanje i množenje u prstenu na podskupu N podudaraju sa zbrajanjem i množenjem prirodnih brojeva. Utvrđena je zadovoljivost aksioma 2. Ostaje provjeriti zadovoljivost aksioma minimalnosti.
Neka je Z0 bilo koji potprsten prstena koji sadrži skup N i. Imajte na umu da i, stoga,. Ali kako je Z0 prsten, razlika tih klasa također pripada prstenu Z0. Iz jednakosti -= (= zaključujemo da je (Z0 i, prema tome, Z0=. Konzistentnost sustava aksioma u klauzuli 2.1 je dokazana.

2.3. JEDINSTVENOST SUSTAVA CIJELIH BROJEVA.

Postoji samo jedan sustav cijelih brojeva kako su intuitivno shvaćeni. To znači da sustav aksioma koji definira cijele brojeve mora biti kategoričan, odnosno bilo koje dvije interpretacije ovog sustava moraju biti izomorfne. Kategoričan znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan sustav cijelih brojeva. Uvjerimo se da je to stvarno tako.
Neka su (Z1;+,(,N) i (Z2;(,(,N)) bilo koje dvije interpretacije sustava aksioma u klauzuli 2.1. Dovoljno je dokazati postojanje takvog bijektivnog preslikavanja f:Z1®Z2 za koje prirodni brojevi ostaju fiksni i osim Štoviše, za sve elemente x i y iz prstena Z1 vrijede sljedeće jednakosti:
(1)
. (2)
Primijetimo da budući da je N(Z1 i N(Z2), tada
, a(b=a(b. (3)
Neka su x(Z1 i x=a-b, gdje je a,b(N. Pridružimo ovom elementu x=a-b element u=a(b, gdje je (oduzimanje u prstenu Z2. Ako je a-b=c-d, tada je a+d) =b+c, ​​odakle, na temelju (3), a(d=b(c i, prema tome, a(b=c(d). To znači da naša korespondencija ne ovisi o predstavniku elementa x u obliku razlike dva prirodna broja i time je određeno preslikavanje f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Jasno je da ako je v(Z2 i v=c(d), onda je v=f(c-d ).Znači da je svaki element iz Z2 slika ispod preslikavanja f i stoga je preslikavanje f surjektivno.
Ako je x=a-b, y=c-d, gdje je a,b,c,d(N i f(x)=f(y), tada je a(b=c(d. Ali tada je a(d=b(d, u sila (3) a+d=b+c, ​​odnosno a-b=c-d Dokazali smo da jednakost f(x)=f(y) implicira jednakost x=y, odnosno da je preslikavanje f injektivno .
Ako je a(N, tada je a=a-0 i f(a)=f(a-0)=a(0=a. To znači da su prirodni brojevi fiksni pod preslikavanjem f. Nadalje, ako je x=a-b, y=c-d, gdje je a,b,c,d(N, zatim x+y=(a+c)- i f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c) )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Valjanost jednakosti (1) je dokazana. Provjerimo jednakost (2). Budući da je f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c), a s druge strane f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). To znači f(xy)=f(x)(f(y), što dovršava dokaz kategoričnosti sustava aksioma 2.1.

2.4. DEFINICIJA I SVOJSTVA SUSTAVA RACIONALNIH BROJEVA.

Skup Q racionalnih brojeva u njihovom intuitivnom razumijevanju je polje za koje je skup cijelih brojeva Z podprsten. Očito je da ako je Q0 potpolje polja Q koje sadrži sve cijele brojeve, tada je Q0=Q. Ova svojstva ćemo koristiti kao osnovu za strogu definiciju sustava racionalnih brojeva.
Definicija 1. Sustav racionalnih brojeva je algebarski sustav (Q;+,(;Z) za koji su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
1. algebarski sustav (Q;+,() je polje;
2. prsten Z cijelih brojeva je podprsten polja Q;
3. (uvjet minimalnosti) ako potpolje Q0 polja Q sadrži podprsten Z, tada je Q0=Q.
Ukratko, sustav racionalnih brojeva je polje minimalne inkluzije koje sadrži podprsten cijelih brojeva. Moguće je dati detaljniju aksiomatsku definiciju sustava racionalnih brojeva.
Teorema. Svaki racionalni broj x može se prikazati kao kvocijent dvaju cijelih brojeva, tj
, gdje je a,b(Z, b(0. (1)
Ovaj prikaz je višeznačan, a gdje su a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Dokaz. Označimo s Q0 skup svih racionalnih brojeva koji se mogu predstaviti u obliku (1). Dovoljno je uvjeriti se da je Q0=Q. Neka, gdje je a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Tada prema svojstvima polja imamo: , a za c(0. To znači da je Q0 zatvoren za oduzimanje i dijeljenje brojevima ne jednako nuli, i, prema tome, potpolje je polja Q. Budući da je bilo koji cijeli broj a moguće predstaviti u obliku, tada je Z(Q0. Odavde, zbog uvjeta minimalnosti, slijedi da je Q0=Q. Dokaz drugi dio teoreme je očit.

2.5. POSTOJANJE SUSTAVA RACIONALNIH BROJEVA.

Sustav racionalnih brojeva definiran je kao minimalno polje koje sadrži podprsten cijelih brojeva. Prirodno se postavlja pitanje postoji li takvo polje, odnosno je li sustav aksioma koji definira racionalne brojeve konzistentan? Da bi se dokazala dosljednost, potrebno je konstruirati interpretaciju ovog sustava aksioma. U ovom slučaju se može pouzdati u postojanje sustava cijelih brojeva. Kada konstruiramo interpretaciju, skup Z(Z\(0) ćemo smatrati početnom točkom. Na tom skupu definiramo dvije binarne algebarske operacije
, (1)
(2)
i binarnu relaciju
(3)
Svrsishodnost upravo ovakvog određenja operacija i odnosa proizlazi iz činjenice da će u interpretaciji koju gradimo par izražavati posebnost.
Lako je provjeriti da su operacije (1) i (2) komutativne, asocijativne, a množenje distributivno u odnosu na zbrajanje. Sva ova svojstva testiraju se u odnosu na odgovarajuća svojstva zbrajanja i množenja cijelih brojeva. Provjerimo npr. asocijativnost parova množenja: .
Slično se provjerava da je relacija ~ ekvivalencija, te je stoga skup Z(Z\(0) podijeljen u klase ekvivalencije. Skup svih klasa označavamo s, a klasu koja sadrži par s. Dakle , klasa se može označiti bilo kojim svojim parom i Na temelju uvjeta (3), dobivamo:
. (4)
Naš zadatak je definirati operaciju zbrajanja i množenja na skupu tako da on bude polje. Ove operacije definiramo jednakostima:
, (5)
(6)
Ako je, dakle, ab1=ba1, odnosno cd1=dc1, tada množenjem ovih jednakosti dobivamo (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), što znači da Ovo nas uvjerava da jednakost (6 ) doista definira jedinstvenu operaciju na skupu klasa, neovisno o izboru predstavnika u svakoj klasi. Na isti način provjerava se jedinstvenost operacije (5).
Budući da se zbrajanje i množenje klasa svodi na zbrajanje i množenje parova, operacije (5) i (6) su komutativne, asocijativne, a množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje.
Iz jednakosti zaključujemo da je klasa neutralni elementi u odnosu na zbrajanje i za svaku klasu postoji element nasuprot njoj. Slično, iz jednakosti slijedi da je klasa neutralni element u odnosu na množenje i za svaku klasu postoji inverzna klasa. To znači da je to polje u odnosu na operacije (5) i (6); prvi uvjet u definiciji klauzule 2.4 je zadovoljen.
Razmotrimo sljedeći skup. Očito,. Skup je zatvoren prema oduzimanju i množenju i stoga je podprsten polja. Stvarno,. Razmotrimo zatim preslikavanje, . Surjektivnost ovog preslikavanja je očita. Ako je f(x)=f(y), to jest, tada je x(1=y(1 ili x=y. Stoga je preslikavanje f također injektivno. Štoviše, . Dakle, preslikavanje f je izomorfizam prstena u Identificirajući ovo izomorfne prstenove, možemo pretpostaviti da je prsten Z podprsten, odnosno uvjet 2 u definiciji 2.4 ostaje da se dokaže minimalnost polja potpolje i, a budući da - polje, dakle, dokazano je da postoji sustav racionalnih brojeva je dokazano.

2.6. JEDINSTVENOST SUSTAVA RACIONALNIH BROJEVA.

Budući da postoji samo jedan sustav racionalnih brojeva u njihovom intuitivnom razumijevanju, aksiomatska teorija racionalnih brojeva, koja je ovdje predstavljena, mora biti kategorična. Kategoričan znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan sustav racionalnih brojeva. Pokažimo da je to doista tako.
Neka su (Q1;+, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) bilo koja dva sustava racionalnih brojeva. Dovoljno je dokazati postojanje bijektivnog preslikavanja pod kojim svi cijeli brojevi ostaju fiksni i, dodatno , uvjeti su zadovoljeni
(1)
(2)
za bilo koje elemente x i y iz polja Q1.
Kvocijent elemenata a i b u polju Q1 označit ćemo s, a u polju Q2 s a:b. Budući da je Z podprsten svakog od polja Q1 i Q2, tada su za sve cijele brojeve a i b jednakosti istinite
, . (3)
Neka i, gdje, . Pridružimo tom elementu x element y=a:b iz polja Q2. Ako je jednakost istinita u polju Q1, gdje, tada po teoremu 2.4 u prstenu Z vrijedi jednakost ab1=ba1, ili na temelju (3) vrijedi jednakost, a zatim po istoj teoremi jednakost a:b= a1:b1 vrijedi u polju Q2 . To znači da pridruživanjem elementa y=a:b iz polja Q2 elementu iz polja Q1 definiramo preslikavanje, .
Bilo koji element iz polja Q2 može se prikazati kao a:b, gdje je i, prema tome, slika elementa iz polja Q1. To znači da je preslikavanje f surjektivno.
Ako, onda u polje Q1 i onda. Dakle, preslikavanje f je bijektivno i svi cijeli brojevi ostaju fiksni. Preostaje dokazati valjanost jednakosti (1) i (2). Neka je i, gdje je a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Tada i, odakle, na temelju (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Slično, i gdje.
Izomorfizam interpretacija (Q1;+, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) je dokazan.

ODGOVORI, UPUTE, RJEŠENJA.

1.1.1. Riješenje. Neka je uvjet aksioma 4 istinit (svojstvo prirodnih brojeva tako da ((0) i. Neka. Tada M zadovoljava premisu aksioma 4, jer ((0)(0(M i. Prema tome, M=N, tj. Svaki prirodan broj ima svojstvo (. Obrnuto. Pretpostavimo da za bilo koje svojstvo (iz činjenice da je ((0) i, slijedi. Neka je M podskup od N takav da je 0(M i. Pokažimo da je M = N. Uvedimo svojstvo (, pod pretpostavkom. Zatim ((0), budući da, i. Dakle, prema tome, M=N.
1.1.2. Odgovor: Izjave 1. i 4. Peanovog aksioma su istinite. Tvrdnja 2. aksioma je netočna.
1.1.3. Odgovor: tvrdnje 2,3,4 Peanovih aksioma su istinite. Tvrdnja 1. aksioma je netočna.
1.1.4. Tvrdnje 1, 2, 3 Peanovih aksioma su istinite. Tvrdnja 4. aksioma je netočna. Smjer: dokazati da skup zadovoljava premisu aksioma 4, formuliranu u smislu operacije ali.
1.1.5. Savjet: da biste dokazali istinitost tvrdnje aksioma 4, razmotrite podskup M od A koji zadovoljava uvjete: a) 1((M, b) , i skup. Dokažite to. Tada je M=A.
1.1.6. Izjave 1., 2. i 3. Peanovog aksioma su istinite. Izjava Peanovog 4. aksioma je lažna.
1.6.1. a) Rješenje: Prvo dokažite da ako je 1 ujutro. Leđa. Neka sam
1.6.2. a) Rješenje: Pretpostavimo suprotno. Neka M označi skup svih brojeva koji nemaju svojstvo (. Prema pretpostavci, M((. Prema teoremu 1, M ima najmanji element n(0. Bilo koji broj x
1.8.1. f) Koristite stavke e) i stavke c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, dakle, (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Koristiti imovinu.
k) Koristite stavku b).
l) Koristite stavke b) i stavke h).
1.8.2. c) Imamo, dakle, . Dakle, .
d) Imamo. Stoga, .
i) .
1.8.3. a) Ako su (i (različita rješenja jednadžbe ax2+bx=c, tada je a(2+b(=a(2+b(). S druge strane, ako je, na primjer, (b) Neka (i ( biti različita rješenja jednadžbe. Ako ((. Međutim (2=a(+b>a(, dakle, (>a). Imamo kontradikciju.
c) Neka su (i ( različiti korijeni jednadžbe i (>(. Tada je 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Dakle a((+()=2, ali (+(>2, dakle a((+()>2, što je nemoguće.
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Savjet: budući da je i, imamo x=y; c) x=y(y+2), y - bilo koji prirodni broj; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Do permutacija x=1, y=2, z=3. Rješenje: Neka je, na primjer, x(y(z. Tada je xyz=x+y+z(3z, tj. xy(3. Ako je xy=1, onda je x=y=1 i z=2+z), što je nemoguće. Ako je xy=2, onda je x=1, y=2, tj. ako je xy=3, tada je 3z=4+z. tj. z=2, što je u suprotnosti s pretpostavkom y(z.
1.8.5. b) Ako je x=a, y=b rješenje jednadžbe, onda je ab+b=a, tj. a>ab, što je nemoguće. d) Ako je x=a, y=b rješenje jednadžbe, tada je b
1.8.6. a) x=ky, gdje su k,y proizvoljni prirodni brojevi i y(1. b) x je proizvoljan prirodan broj, y=1. c) x je proizvoljan prirodan broj, y=1. d) Ne postoji rješenje. e) x1=1; x2=2; x3=3. e) x>5.
1.8.7. a) Ako je a=b, onda je 2ab=a2+b2. Neka, na primjer, a

KNJIŽEVNOST

1. Redkov M.I. Numerički sustavi. /Metodološke preporuke za izučavanje kolegija "Numerički sustavi". Dio 1.- Omsk: Državni pedagoški institut Omsk, 1984.- 46 str.
2. Ershova T.I. Numerički sustavi. / Metodološki razvoj za praktičnu nastavu - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68 str.