Funkcija f x je neparna ako. Parne i neparne funkcije

Koji su vam bili poznati u ovoj ili onoj mjeri. Također je navedeno da će se zaliha funkcionalnih svojstava postupno nadopunjavati. U ovom odjeljku bit će riječi o dva nova svojstva.

Definicija 1.

Funkcija y = f(x), x ê X, poziva se čak i ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = f (x).

Definicija 2.

Funkcija y = f(x), x ê X, naziva se neparnom ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = -f (x).

Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.

Riješenje. Imamo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4. To znači da za svaki x vrijedi jednakost f(-x) = f(x), tj. funkcija je parna.

Slično se može dokazati da su funkcije y - x 2, y = x 6, y - x 8 parne.

Dokažite da je y = x 3 ~ neparna funkcija.

Riješenje. Imamo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3. To znači da za svaki x vrijedi jednakost f (-x) = -f (x), tj. funkcija je neparna.

Slično se može dokazati da su funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 neparne.

Vi i ja smo se već više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju “zemaljsko” porijeklo, tj. mogu se nekako objasniti. To je slučaj i s parnim i s neparnim funkcijama. Vidi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y = x" (u nastavku ćemo posebno proučiti te funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako je n neparan broj, tada je funkcija y = x" neparan; ako je n paran broj, onda je funkcija y = xn parna.

Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je npr. funkcija y = 2x + 3. Doista, f(1) = 5, a f (-1) = 1. Kao što vidite, ovdje, dakle, niti identitet f(-x) = f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).

Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.

Proučavanje je li određena funkcija parna ili neparna obično se naziva proučavanje pariteta.

Definicije 1 i 2 odnose se na vrijednosti funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u točki x i u točki -x. To znači da točka -x pripada domeni definicije funkcije istovremeno s točkom x. Ako numerički skup X, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo da su (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrični skupovi, dok: neka x 1a;b, A x 2a;b .

Kako umetnuti matematičke formule na web stranicu?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web-stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule lako se umeću na web-mjesto u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšati vidljivost stranice u tražilicama. Djeluje već dugo (i, mislim, radit će zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako redovito koristite matematičke formule na svojoj stranici, preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičku notaciju u web preglednicima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML označavanje.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu sa svojom web stranicom, koja će se automatski učitati s udaljenog poslužitelja u pravo vrijeme (popis poslužitelja); (2) preuzmite skriptu MathJax s udaljenog poslužitelja na svoj poslužitelj i povežite je sa svim stranicama svoje stranice. Druga metoda - složenija i dugotrajnija - ubrzat će učitavanje stranica vašeg web-mjesta, a ako nadređeni MathJax poslužitelj iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vaše web-mjesto. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvu metodu jer je jednostavnija, brža i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve značajke MathJaxa na svojoj stranici.

Skriptu biblioteke MathJax možete povezati s udaljenog poslužitelja koristeći dvije opcije koda preuzete s glavnog MathJax web mjesta ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, trebat će ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal je konstruiran prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruiranje Mengerove spužve prilično je jednostavan: originalna kocka sa stranicom 1 podijeljena je ravninama paralelnim s njezinim stranama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 kocki uz nju duž strana. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Postupivši isto sa svakom od ovih kockica, dobivamo set od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskrajno, dobivamo Mengerovu spužvu.