Kvadratna jednadžba gdje je diskriminant 0. Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Čovjek je koristio jednadžbe u davna vremena, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućuje rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe pomoću općenite formule koja ima sljedeći oblik:

Diskriminantna formula ovisi o stupnju polinoma. Gornja formula je prikladna za rješavanje kvadratnih jednadžbi sljedećeg oblika:

Diskriminant ima sljedeća svojstva koja trebate znati:

* "D" je 0 kada polinom ima više korijena (jednakih korijena);

* "D" je simetričan polinom s obzirom na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štoviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi bez obzira na proširenje u kojem su korijeni uzeti.

Recimo da nam je dana kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:

1 jednadžba

Prema formuli imamo:

Budući da \, jednadžba ima 2 korijena. Definirajmo ih:

Gdje mogu riješiti jednadžbu pomoću diskriminantnog mrežnog rješavača?

Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje mrežnih jednadžbi bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete pogledati video upute i saznati kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

U ovom ćemo članku razmotriti rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Ali prvo, ponovimo koje se jednadžbe nazivaju kvadratnim. Jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat. Kao što vidimo, koeficijent za x 2 nije jednak nuli, pa stoga koeficijenti za x ili slobodni član mogu biti jednaki nuli, u kojem slučaju dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1) Ako je b = 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c = 0;

2) Ako je b ≠ 0, c = 0, tada je ax 2 + bx = 0;

3) Ako je b = 0, c = 0, tada je ax 2 = 0.

• Hajde da smislimo kako riješiti jednadžbe oblika ax 2 + c = 0.

Da bismo riješili jednadžbu, pomaknemo slobodni član c na desnu stranu jednadžbe, dobivamo

sjekira 2 = ‒s. Budući da je a ≠ 0, obje strane jednadžbe dijelimo s a, tada je x 2 = ‒c/a.

Ako je ‒s/a > 0, tada jednadžba ima dva korijena

x = ±√(–c/a) .

Ako –c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo s primjerima razumjeti kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednadžbu 2x 2 ‒ 32 = 0.

Odgovor: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Primjer 2. Riješite jednadžbu 2x 2 + 8 = 0.

Odgovor: jednadžba nema rješenja.

• Smislimo kako to riješiti jednadžbe oblika ax 2 + bx = 0.

Da bismo riješili jednadžbu ax 2 + bx = 0, faktorizirajmo je, odnosno izvadimo x iz zagrade, dobivamo x(ax + b) = 0. Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak na nulu. Tada je ili x = 0, ili ax + b = 0. Rješavanjem jednadžbe ax + b = 0 dobivamo ax = - b, odakle je x = - b/a. Jednadžba oblika ax 2 + bx = 0 uvijek ima dva korijena x 1 = 0 i x 2 = ‒ b/a. Pogledajte kako rješenje jednadžbi ovog tipa izgleda na dijagramu.

Učvrstimo naše znanje konkretnim primjerom.

Primjer 3. Riješite jednadžbu 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ili 3x – 12 = 0

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Jednadžbe trećeg tipa ax 2 = 0 rješavaju se vrlo jednostavno.

Ako je ax 2 = 0, tada je x 2 = 0. Jednadžba ima dva jednaka korijena x 1 = 0, x 2 = 0.

Radi jasnoće, pogledajmo dijagram.

Uvjerimo se kod rješavanja primjera 4 da se jednadžbe ovog tipa mogu vrlo jednostavno riješiti.

Primjer 4. Riješite jednadžbu 7x 2 = 0.

Odgovor: x 1, 2 = 0.

Nije uvijek odmah jasno koju vrstu nepotpune kvadratne jednadžbe moramo riješiti. Razmotrite sljedeći primjer.

Primjer 5. Riješite jednadžbu

Pomnožite obje strane jednadžbe s zajednički nazivnik, odnosno do 30

Skratimo to

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Otvorimo zagrade

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Dajmo slično

Pomaknimo 99 s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući predznak u suprotan

Odgovor: nema korijena.

Pogledali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća s takvim zadacima. Budite oprezni pri određivanju vrste nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja o ovoj temi, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo riješiti probleme koji se pojave.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Općinski proračun obrazovna ustanova prosjek sveobuhvatna škola № 11

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija Rad je dostupan u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu

Povijest kvadratnih jednadžbi

Babilon

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog stupnja, već i drugog stupnja u davna vremena bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema povezanih s pronalaženjem područja zemljišne parcele, s razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe znao riješiti oko 2000 pr. e. Babilonci. Pravila za rješavanje ovih jednadžbi, izložena u babilonskim tekstovima, u biti se podudaraju sa suvremenim, ali u tim tekstovima nema koncepta negativnog broja i opće metode rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Drevna grčka

Rješavanje kvadratnih jednadžbi također je rađeno u Drevna grčka znanstvenici kao što su Diofant, Euklid i Heron. Diofant Diofant iz Aleksandrije starogrčki je matematičar koji je vjerojatno živio u 3. stoljeću nove ere. Glavno Diofantovo djelo je “Aritmetika” u 13 knjiga. Euklid. Euklid je starogrčki matematičar, autor prve teorijske rasprave o matematici koja je došla do nas, Heron. Heron - grčki matematičar i inženjer prvi u Grčkoj u 1. stoljeću nove ere. daje čisto algebarski način rješavanja kvadratne jednadžbe

Indija

Problemi o kvadratnim jednadžbama nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aryabhattiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), ocrtao je opće pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik: ax2 + bx = c, a> 0. (1) U jednadžbi (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptina vladavina je u biti ista kao naša. Javna natjecanja u rješavanju teških problema bila su uobičajena u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem pomračuje zvijezde, tako učen čovjek zasjenit će njegovu slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su se često iznosili u poetskom obliku.

To je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. stoljeća. Bhaskars.

“Jato živahnih majmuna

A dvanaestorica uz trsove, najevši se do mile volje, zabavila su se

Počeli su skakati, viseći

Osmi dio njih na kvadrat

Koliko je bilo majmuna?

Zabavljao sam se na čistini

Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni. Bhaskar zapisuje jednadžbu koja odgovara problemu kao x2 - 64x = - 768 i, kako bi dovršio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje 322 objema stranama, a zatim dobiva: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratne jednadžbe u Europa XVII stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po uzoru na Al-Khorezmija u Europi su prvi put navedene u Knjizi o abaku, koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, u kojem se odražava utjecaj matematike, kako iz zemalja islama, tako i iz antičke Grčke, odlikuje se cjelovitošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavanje problema i prvi je u Europi uveo negativni brojevi. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz Abakove knjige korišteni su u gotovo svim europskim udžbenicima 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII. Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opći pogled Viet ga ima, ali Viet je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Uzimaju u obzir, osim pozitivnih, i negativni korijeni. Tek u 17.st. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan oblik.

Definicija kvadratne jednadžbe

Jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c brojevi, naziva se kvadratnom.

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

Brojevi a, b, c su koeficijenti kvadratne jednadžbe, a je prvi koeficijent (ispred x²), a ≠ 0, b je drugi koeficijent (ispred x), c je slobodni član (bez x).

Koja od ovih jednadžbi nije kvadratna??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Vrste kvadratnih jednadžbi

Reducirana je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent jednak jedan. Takva se jednadžba može dobiti dijeljenjem cijelog izraza s vodećim koeficijentom a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kvadratna jednadžba se naziva potpunom ako su svi njeni koeficijenti različiti od nule.

Nepotpunom se naziva kvadratna jednadžba u kojoj je barem jedan od koeficijenata, osim vodećeg (bilo drugi koeficijent ili slobodni član), jednak nuli.

Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Metoda I Opća formula za izračunavanje korijena

Naći korijene kvadratne jednadžbe sjekira 2 + b + c = 0 Općenito, trebali biste koristiti algoritam u nastavku:

Izračunajte vrijednost diskriminante kvadratne jednadžbe: ovo je izraz za nju D= b 2 - 4ac

Izvođenje formule:

Bilješka: Očito je da je formula za korijen višestrukosti 2 poseban slučaj opće formule, dobiven supstitucijom jednakosti D=0 u nju i zaključka o nepostojanju pravih korijena na D0, te (stil prikaza (sqrt ( -1))=i) = i.

Prikazana metoda je univerzalna, ali daleko od jedine. Rješavanju jedne jednadžbe može se pristupiti na različite načine, a preferencije obično ovise o rješavatelju. Osim toga, često se u tu svrhu neka od metoda pokaže mnogo elegantnijom, jednostavnijom i manje radno zahtjevnom od standardne.

Metoda II. Korijeni kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom b III metoda. Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

IV metoda. Korištenje parcijalnih omjera koeficijenata

Postoje posebni slučajevi kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti u međusobnom odnosu, što ih čini mnogo lakšim za rješavanje.

Korijeni kvadratne jednadžbe u kojoj je zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana jednak drugom koeficijentu

Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2 + bx + c = 0 zbroj prvog koeficijenta i slobodnog člana jednak je drugom koeficijentu: a+b=c, tada su njegovi korijeni -1 i broj suprotan omjeru slobodnog člana prema vodećem koeficijentu ( -c/a).

Stoga, prije rješavanja bilo koje kvadratne jednadžbe, trebali biste provjeriti mogućnost primjene ovog teorema na nju: usporedite zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana s drugim koeficijentom.

Korijeni kvadratne jednadžbe čiji je zbroj svih koeficijenata nula

Ako je u kvadratnoj jednadžbi zbroj svih njezinih koeficijenata nula, tada su korijeni takve jednadžbe 1 i omjer slobodnog člana prema vodećem koeficijentu ( c/a).

Stoga, prije rješavanja jednadžbe standardnim metodama, trebali biste provjeriti primjenjivost ovog teorema na nju: zbrojite sve koeficijente ove jednadžbe i provjerite nije li taj zbroj jednak nuli.

V metoda. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne faktore

Ako je trinom oblika (stil prikaza ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) može se nekako predstaviti kao produkt linearnih faktora (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), tada možemo pronaći korijene jednadžbe sjekira 2 + bx + c = 0- bit će -m/k i n/l, doista, ipak (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0dugalijeva desna strelica kx+m=0čaša lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, a riješivši naznačeno linearne jednadžbe, dobivamo gore navedeno. Imajte na umu da se kvadratni trinom ne rastavlja uvijek na linearne faktore sa stvarnim koeficijentima: to je moguće ako odgovarajuća jednadžba ima stvarne korijene.

Razmotrimo neke posebne slučajeve

Korištenje formule kvadrata zbroja (razlike).

Ako kvadratni trinom ima oblik (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , tada ga primjenom gornje formule na njega možemo rastaviti na linearne faktore i , dakle, pronađite korijene:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izdvajanje punog kvadrata zbroja (razlike)

Gornja formula također se koristi pomoću metode koja se zove "odabir punog kvadrata zbroja (razlike)". U odnosu na gornju kvadratnu jednadžbu s prethodno uvedenim oznakama, to znači sljedeće:

Bilješka: Ako primijetite, ova se formula podudara s onom predloženom u odjeljku "Korijeni reducirane kvadratne jednadžbe", koja se pak može dobiti iz opće formule (1) zamjenom jednakosti a=1. Ova činjenica nije samo slučajnost: opisanom metodom, iako uz dodatno obrazloženje, moguće je zaključiti opća formula, te također dokazati svojstva diskriminante.

VI metoda. Korištenje izravnog i inverznog Vieta teorema

Vietin izravni teorem (vidi dolje u istoimenom odjeljku) i njegov inverzni teorem omogućuju usmeno rješavanje gornjih kvadratnih jednadžbi, bez pribjegavanja prilično glomaznim izračunima pomoću formule (1).

Prema obrnutom teoremu, svaki par brojeva (broj) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, budući da je rješenje sustava jednadžbi u nastavku, korijeni su jednadžbe

U općem slučaju, tj. za nereduciranu kvadratnu jednadžbu ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Izravni teorem pomoći će vam usmeno pronaći brojeve koji zadovoljavaju ove jednadžbe. Uz njegovu pomoć možete odrediti znakove korijena bez poznavanja samih korijena. Da biste to učinili, trebali biste slijediti pravilo:

1) ako je slobodni član negativan, tada korijeni imaju drugačiji znak, a najveći modul korijena je znak suprotnog predznaka drugi koeficijent jednadžbe;

2) ako je slobodni član pozitivan, tada oba korijena imaju s istim znakom, a to je predznak suprotan predznaku drugog koeficijenta.

VII metoda. Način prijenosa

Takozvana metoda "prijenosa" omogućuje smanjenje rješenja nereduciranih i nesvodljivih jednadžbi na oblik reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima dijeljenjem s vodećim koeficijentom na rješenje reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima. To je kako slijedi:

Zatim se jednadžba usmeno rješava na gore opisani način, zatim se vraćaju na izvornu varijablu i pronalaze korijene jednadžbi (stil prikaza y_(1)=ax_(1)) g 1 = sjekira 1 I g 2 = sjekira 2 .(stil prikaza y_(2)=ax_(2))

Geometrijsko značenje

Graf kvadratne funkcije je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su apscise točaka presjeka parabole s osi apscisa. Ako je opisana parabola kvadratna funkcija, ne siječe se s x-osom, jednadžba nema pravih korijena. Ako parabola siječe os x u jednoj točki (na vrhu parabole), jednadžba ima jedan pravi korijen (također se kaže da jednadžba ima dva korijena koja se podudaraju). Ako parabola siječe x-os u dvije točke, jednadžba ima dva stvarna korijena (vidi sliku desno.)

Ako koeficijent (stil prikaza a) a pozitivni, grane parabole su usmjerene prema gore i obrnuto. Ako koeficijent (stil prikaza b) bpozitivno (ako je pozitivno (stil prikaza a) a, ako je negativan, obrnuto), tada vrh parabole leži u lijevoj poluravnini i obrnuto.

Primjena kvadratnih jednadžbi u životu

Kvadratna jednadžba se široko koristi. Koristi se u mnogim izračunima, strukturama, sportovima, a također i oko nas.

Razmotrimo i navedimo neke primjere primjene kvadratne jednadžbe.

Sport. Visoki skokovi: tijekom zaleta skakača koriste se izračuni vezani uz parabolu kako bi se postigao najjasniji mogući udar na zalet i visoki let.

Također, slični izračuni su potrebni u bacanju. Domet leta objekta ovisi o kvadratnoj jednadžbi.

Astronomija. Putanje planeta mogu se pronaći pomoću kvadratne jednadžbe.

Let zrakoplovom. Polijetanje zrakoplova glavna je komponenta leta. Evo izračuna za mali otpor i ubrzanje polijetanja.

Kvadratne jednadžbe također se koriste u raznim ekonomskim disciplinama, u programima za obradu zvuka, videa, vektorske i rasterske grafike.

Zaključak

Kao rezultat obavljenog rada, pokazalo se da su kvadratne jednadžbe ponovno privukle znanstvenike drevna vremena, već su se s njima susretali pri rješavanju nekih problema i pokušavali ih riješiti. S obzirom razne načine rješavajući kvadratne jednadžbe, došao sam do zaključka da nisu sve jednostavne. Po mom mišljenju najviše najbolji način rješavanje kvadratnih jednadžbi je rješavanje formulama. Formule se lako pamte, ova metoda je univerzalna. Potvrđena je hipoteza da se jednadžbe široko koriste u životu i matematici. Nakon proučavanja teme naučio sam mnogo Zanimljivosti o kvadratnim jednadžbama, njihovoj uporabi, primjeni, vrstama, rješenjima. I rado ću ih nastaviti proučavati. Nadam se da će mi ovo pomoći da dobro položim ispite.

Popis korištene literature

Materijali stranice:

Wikipedia

Otvorena lekcija.rf

Priručnik za elementarnu matematiku Vygodsky M. Ya.

Samo. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi

potrebno je datu jednadžbu dovesti u standardni oblik, tj. na obrazac:

Ako vam je jednadžba već dana u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu. Najvažnije je to učiniti kako treba

odrediti sve koeficijente, A, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena zove se diskriminirajući . Kao što vidite, da bismo pronašli X, mi

koristimo samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratna jednadžba. Samo ga pažljivo ubacite

vrijednosti a, b i c Računamo u ovu formulu. Zamjenjujemo sa njihov znakovi!

Na primjer, u jednadžbi:

A =1; b = 3; c = -4.

Zamjenjujemo vrijednosti i pišemo:

Primjer je gotovo riješen:

Ovo je odgovor.

Najčešće pogreške su zabune s vrijednostima predznaka a, b I S. Ili bolje rečeno, sa zamjenom

negativne vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje u pomoć dolazi detaljna snimka formule

s određenim brojevima. Ako imate problema s izračunima, učinite to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Opisujemo sve detaljno, pažljivo, ne propuštajući ništa sa svim znakovima i zagradama:

Kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Sada zabilježite praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka.

Prvi termin. Ne budi lijen prije rješavanje kvadratne jednadžbe dovesti ga u standardni oblik.

Što to znači?

Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede a, b i c.

Ispravno konstruirajte primjer. Prvo X na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:

Riješite se minusa. Kako? Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i završiti rješavanje primjera.

Odlučite sami. Sada biste trebali imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijenje! Po Vietin teorem.

Za rješavanje zadanih kvadratnih jednadžbi, tj. ako je koeficijent

x 2 +bx+c=0,

Zatimx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Za potpunu kvadratnu jednadžbu u kojoj a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podijelite cijelu jednadžbu s A:

→ →

Gdje x 1 I x 2 - korijeni jednadžbe.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožiti

jednadžba sa zajedničkim nazivnikom.

Zaključak. Praktičan savjet:

1. Kvadratnu jednadžbu prije rješavanja dovodimo u standardni oblik i gradimo Pravo.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem svega

jednadžbe po -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim

faktor.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti pomoću

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi pravih, višestrukih i kompleksnih korijena. Faktorizacija kvadratni trinom. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktoringa.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati ovako:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može prikazati kao proizvod faktora (faktoriziran):
.

Nadalje pretpostavljamo da - realni brojevi.
Razmotrimo diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant jednak nuli, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je zamišljena jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako gradite graf funkcije
,
koja je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Na , graf siječe x-os (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule vezane uz kvadratnu jednadžbu

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Provodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
Gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
To pokazuje da jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Riješenje

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Diskriminantu nalazimo:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo faktorizaciju kvadratnog trinoma:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-os u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Sječe apscisnu os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

Odgovor

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Riješenje

Napišimo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Diskriminantu nalazimo:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-osu (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen faktoriziran dva puta:
,
onda se takav korijen obično naziva višestruki. Odnosno, oni vjeruju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovor

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Riješenje

Napišimo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Diskriminantu nalazimo:
.
Diskriminanta je negativna, . Stoga nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim


.

Graf funkcije ne siječe x-os. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe x-osu (os). Stoga nema pravih korijena.

Odgovor

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.