Nevjerojatne brojke. Nemoguće figure i njihovo modeliranje

Uvod………………………………………………………………………………..2

Glavni dio. Nemoguće figure……………….……………………………4

2.1. Malo povijesti…………………………………………………………….4

2.2. Vrste nemogućih figura…………………………………………………….6

2.3. Oscar Ruthersvärd – otac nemoguće figure………………………..11

2.4. Moguće su nemoguće brojke!……………………………………..13

2.5. Upotreba nemogućih figura………………………………………………………………………………………………………………14

Zaključak…………………………………………………………………………..15

Bibliografija………………………………………………………………16

Uvod

Već neko vrijeme zanimaju me takve figure koje na prvi pogled izgledaju obično, ali kad se bolje pogleda vidi se da u njima nešto ne štima. Najviše su me zanimale takozvane nemoguće figure, gledajući na koje se čini da postoje stvarni svijet oni ne mogu. Htio sam znati više o njima.

“Svijet nemogućih figura” jedna je od najzanimljivijih tema koja je svoj nagli razvoj dobila tek početkom 20. stoljeća. Međutim, mnogo ranije su se mnogi znanstvenici i filozofi bavili ovom problematikom. Čak i tako jednostavni volumetrijski oblici kao što su kocka, piramida, paralelopiped mogu se prikazati kao kombinacija nekoliko figura koje se nalaze na različitim udaljenostima od oka promatrača. U ovom slučaju uvijek treba postojati linija duž koje se slika pojedinačnih dijelova spaja u cjelovitu sliku.

“Nemoguća figura je trodimenzionalni objekt nacrtan na papiru koji ne može postojati u stvarnosti, ali koji se, međutim, može vidjeti kao dvodimenzionalna slika.” Ovo je jedna od vrsta optičke iluzije, figura koja na prvi pogled izgleda kao projekcija običnog trodimenzionalnog objekta, čijim pomnijim ispitivanjem postaju vidljive proturječne veze elemenata figure. Stvara se iluzija o nemogućnosti postojanja takve figure u trodimenzionalnom prostoru.

Preda mnom se postavilo pitanje: "Postoje li nemoguće figure u stvarnom svijetu?"

Ciljevi projekta:

1. Saznajte kakoak stvoriopojavljuju se nestvarne figure.

2. Pronađite aplikacijenemoguće figure.

Ciljevi projekta:

1. Proučiti literaturu na temu "Nemoguće figure".

2 .Napravite klasifikacijunemoguće figure.

3.PRazmotrite načine konstruiranja nemogućih figura.

4.Stvorite nemogućelik.

Tema mog rada je relevantna jer je razumijevanje paradoksa jedan od znakova kreativnosti koju posjeduju najbolji matematičari, znanstvenici i umjetnici. Mnogi radovi s nerealnim objektima mogu se klasificirati kao "intelektualne matematičke igre". Takav svijet moguće je modelirati samo uz pomoć matematičkih formula, čovjek to jednostavno nije u stanju zamisliti. A za razvoj prostorne mašte, nemoguće figure ispadaju korisnima. Čovjek neumorno mentalno stvara oko sebe ono što će mu biti jednostavno i razumljivo. Ne može ni zamisliti da su neki predmeti koji ga okružuju možda "nemogući". Zapravo, svijet je jedan, ali se može promatrati iz različitih kutova.

Nemogućefigure

Malo povijesti

Nemoguće figure često se nalaze na starim gravurama, slikama i ikonama - u nekim slučajevima imamo očite pogreške u prijenosu perspektive, u drugima - s namjerna lažna predstavljanja uvjetovana umjetničkom namjerom.

U srednjovjekovnom japanskom i perzijskom slikarstvu nemogući objekti sastavni su dio orijentalnog umjetnički stil, koji daje samo općenite nacrte slike, čije detalje gledatelj “mora” osmisliti sam, u skladu sa svojim preferencijama. Ovdje imamo školu. Našu pozornost privlači arhitektonska struktura u pozadini čija je geometrijska nedosljednost očita. Može se tumačiti i kao unutarnji zid prostorije i kao vanjski zid zgrade, ali su oba tumačenja netočna, jer je riječ o ravnini koja je i vanjski i vanjski zid, tj. slika prikazuje tipičan nemoguć objekt.

Slike s iskrivljenom perspektivom nalaze se već početkom prvog tisućljeća. Na minijaturi iz knjige Henrika II., nastaloj prije 1025. i čuvanoj u Bavarskoj državna knjižnica u Münchenu naslikao Bogorodicu s djetetom. Slika prikazuje svod koji se sastoji od tri stupa, a srednji stup, prema zakonima perspektive, trebao bi se nalaziti ispred Madone, ali iza nje, što slici daje učinak nestvarnosti.

Vrstenemoguće figure.

“Nemoguće figure” su podijeljene u 4 skupine. Dakle, prvi:

Nevjerojatan trokut - tribar.

Ova je figura možda prvi nemogući objekt objavljen u tisku. Pojavila se 1958. Njegovi autori, otac i sin Lionell i Roger Penrose, genetičar odnosno matematičar, definirali su ovaj objekt kao "trodimenzionalnu pravokutnu strukturu". Dobila je i naziv "tribar". Na prvi pogled tribar se čini samo slikom jednakostraničnog trokuta. Ali strane koje se spajaju na vrhu crteža izgledaju okomite. U isto vrijeme, lijevo i desno lice na dnu također izgledaju okomito. Ako pogledate svaki detalj zasebno, čini se stvarnim, ali, općenito, ova brojka ne može postojati. Nije deformiran, ali prilikom crtanja ispravni elementi su pogrešno spojeni.

Evo još nekoliko primjera nemogućih figura baziranih na tribaru.

Trostruko deformirani tribar	Trokut od 12 kockica
Krilati tribar	trostruki domino

Beskrajne stepenice

Ovu figuru najčešće nazivaju „Beskrajnim stubištem“, „Vječnim stubištem“ ili „Penroseovim stubištem“ – po svom tvorcu. Naziva se i "stalno uzlaznom i silaznom stazom".

Ova brojka je prvi put objavljena 1958. Pred nama se pojavljuje stubište koje vodi, čini se, gore ili dolje, ali u isto vrijeme, osoba koja hoda duž njega ne ustaje ili pada. Nakon što završi svoju vizualnu rutu, bit će na početku staze.

"Beskrajno stubište" uspješno je upotrijebio umjetnik Maurits K. Escher, ovaj put u svojoj litografiji Uspon i silazak iz 1960. godine.

Stubište s četiri ili sedam stepenica. Izrada ove figure s velikim brojem koraka autora bi mogla biti inspirirana hrpom običnih željezničkih pragova. Ako se budete penjati ovim ljestvama, bit ćete suočeni s izborom: hoćete li se popeti na četiri ili sedam stepenica.

Tvorci ovog stubišta iskoristili su prednost paralelnih linija pri projektiranju završnih dijelova blokova koji su na istoj udaljenosti; čini se da su neki od blokova iskrivljeni kako bi odgovarali iluziji.

Svemirska vilica.

Sljedeća grupa figura pod općim nazivom "Svemirska vilica". Ovom figurom ulazimo u samu srž i bit nemogućeg. Ovo je možda najbrojnija klasa nemogućih objekata.

Ovaj notorni nemogući objekt s tri (ili dva?) zupca postao je popularan među inženjerima i entuzijastima zagonetki 1964. godine. Prva publikacija posvećena neobičnoj figuri pojavila se u prosincu 1964. godine. Autor ga je nazvao "Zagrada koja se sastoji od tri elementa."

S praktičnog gledišta, ovaj čudni trozubac ili mehanizam u obliku nosača apsolutno je neprimjenjiv. Neki to jednostavno nazivaju "nesretnom pogreškom". Jedan od predstavnika zrakoplovne industrije predložio je korištenje njegovih svojstava u dizajnu međudimenzionalne svemirske vilice za ugađanje.

Nemoguće kutije

Još jedan nemogući objekt pojavio se 1966. u Chicagu kao rezultat originalnih eksperimenata fotografa dr. Charlesa F. Cochrana. Mnogi ljubitelji nemogućih figura eksperimentirali su s Crazy Boxom. Autor ga je izvorno nazvao "Besplatna kutija" i izjavio da je "dizajniran za slanje nemogućih predmeta u velikom broju”.

"Luda ​​kutija" je kockasti okvir okrenut naopako. Neposredni prethodnik Lude kutije bila je Nemoguća kutija (od Eschera), a njezina prethodnica bila je Neckerova kocka.

Nije riječ o nemogućem objektu, već o figuri u kojoj se dubinski parametar može percipirati dvosmisleno.

Kad zavirimo u Neckerovu kocku, primjećujemo da je lice s vrhom u prvom planu, zatim u pozadini, skače iz jedne pozicije u drugu.

Oscar Ruthersward - otac nemoguće figure.

"Otac" nemogućih figura je švedski umjetnik Oscar Ruthersvärd. Švedski umjetnik Oskar Rutersvärd, stručnjak za stvaranje slika nemogućih figura, tvrdio je da je slabo upućen u matematiku, ali je, unatoč tome, svoju umjetnost podigao na rang znanosti, stvarajući cijelu teoriju stvaranja nemogućih figura prema određenom broju uzoraka. .

Podijelio je figure u dvije glavne skupine. Jednu od njih nazvao je "pravim nemogućim brojkama". To su dvodimenzionalne slike trodimenzionalnih tijela koja se mogu bojati i sjenčati na papiru, ali nemaju monolitnu i stabilnu dubinu.

Druga vrsta su dvojbene nemoguće brojke. Ove figure nisu pojedinačna čvrsta tijela. Kombinacija su dva odn više figure. Ne mogu se ni slikati niti na njih staviti svjetlo i sjene.

Prava nemoguća figura sastoji se od fiksnog broja mogućih elemenata, dok dvojbena "gubi" određeni broj elemenata ako ih pratite pogledom.

Jednu verziju ovih nemogućih figura vrlo je lako napraviti, a mnoge od onih koje mehanički crtaju geometrijske su

figure, kada razgovaraju telefonom, učinile su to više puta. Treba potrošiti pet, šest ili sedam paralelne linije, završite ove linije na različitim krajevima na različite načine - i nemoguća figura je spremna. Ako se, na primjer, nacrta pet paralelnih linija, onda se one mogu završiti kao dvije grede s jedne i tri s druge strane.

Na slici vidimo tri varijante sumnjivih nemogućih figura. S lijeve strane tro-sedmerostruk sagrađen od sedam linija, u kojem tri grede prelaze u sedam. Lik u sredini, građen od tri linije, u kojima jedna greda prelazi u dvije okrugle grede. Slika na desnoj strani, građena od četiri linije, u kojima se dvije okrugle grede pretvaraju u dvije grede

Rutersvärd je za života naslikao oko 2500 figura. Rutersvärdove knjige objavljene su na mnogim jezicima, uključujući ruski.

Moguće su nemoguće figure!

Mnogi ljudi vjeruju da su nemoguće figure stvarno nemoguće i da se ne mogu stvoriti u stvarnom svijetu. Ali moramo zapamtiti da je svaki crtež na listu papira projekcija trodimenzionalne figure. Stoga svaka figura nacrtana na komadu papira mora postojati u trodimenzionalnom prostoru. Nemogući objekti na slikama su projekcije trodimenzionalnih objekata, što znači da se objekti mogu realizirati u obliku skulpturalnih kompozicija. Postoji mnogo načina za njihovo stvaranje. Jedna od njih je korištenje zakrivljenih linija kao stranica nemogućeg trokuta. Stvorena skulptura samo iz jedne točke izgleda nemoguće. S ove točke, zakrivljene strane izgledaju ravno, a cilj će biti postignut - stvoren je pravi "nemogući" objekt.

Ruski umjetnik Anatolij Konenko, naš suvremenik, podijelio je nemoguće figure u 2 klase: neke je moguće modelirati u stvarnosti, a druge ne. Modeli nemogućih figura nazivaju se Amesovi modeli.

Napravio sam Amesov model svoje nemoguće kutije. Uzeo sam četrdeset i dvije kocke i zalijepio ih, rezultat je bila kocka kojoj nedostaje dio ruba. Napominjem da je za stvaranje potpune iluzije potreban pravi kut gledanja i pravo osvjetljenje.

Proučavao sam nemoguće figure pomoću Eulerovog teorema i došao do sljedećeg zaključka: Eulerov teorem, koji je istinit za svaki konveksni poliedar, nije istinit za nemoguće figure, ali je istinit za njihove Amesove modele.

Svoje nemoguće figure stvaram koristeći savjete O. Rutersvärda. Na papiru sam nacrtao sedam paralelnih linija. Odozdo sam ih spojio isprekidanom linijom, a odozgo im dao oblik paralelopipeda. Pogledajte ga prvo odozgo, a zatim odozdo. Postoji beskonačan broj takvih figura. Vidi privitak.

Primjena nemogućih figura

Nemoguće figure ponekad pronađu neočekivanu namjenu. Oskar Rutersvärd u svojoj knjizi “Omojliga figurer” govori o upotrebi imp-art crteža za psihoterapiju. Piše da slike svojim paradoksima izazivaju iznenađenje, izoštravaju pozornost i želju za dešifriranjem. Psiholog Roger Shepard iskoristio je ideju o trozubu za svoju sliku nemogućeg slona.

U Švedskoj se koriste u stomatološkoj praksi: gledajući slike u čekaonici, pacijenti se odvraćaju od neugodnih misli ispred zubarske ordinacije.

Nemoguće figure nadahnule su umjetnike da stvore potpuno novi smjer u slikarstvu, nazvan impossibilism. Nemogući su nizozemski umjetnik Escher. Njegovom peru pripadaju poznate litografije "Vodopad", "Uspon i silazak" i "Belvedere". Umjetnik je koristio efekt "beskrajnog stubišta" koji je otkrio Rootesward.

U inozemstvu, na ulicama gradova, možemo vidjeti arhitektonska utjelovljenja nemogućih figura.

Najpoznatija upotreba nemogućih figura u popularna kultura - Logo automobilske tvrtke Renault

Matematičari kažu da palače u koje se možete spustiti stepenicama koje vode gore mogu postojati. Da biste to učinili, samo trebate izgraditi takvu strukturu ne u trodimenzionalnom, već, recimo, u četverodimenzionalni prostor. I u virtualni svijet, koji nam otvara modernu računalnu tehnologiju, a možete učiniti nešto krivo. Tako se danas ostvaruju ideje čovjeka koji je na početku stoljeća vjerovao u postojanje nemogućih svjetova.

Zaključak.

Nemoguće brojke tjeraju naš um da prvo vidi što ne bi trebalo biti, a zatim traži odgovor - što je pogrešno učinjeno, što je vrhunac paradoksa. A odgovor ponekad nije tako lako pronaći – on se krije u optičkoj, psihološkoj, logičkoj percepciji crteža.

Razvoj znanosti, potreba za razmišljanjem na novi način, potraga za ljepotom - svi ti zahtjevi suvremenog života tjeraju nas da tražimo nove metode koje mogu promijeniti prostorno razmišljanje i maštu.

Proučavajući literaturu na tu temu, mogao sam odgovoriti na pitanje "Postoje li nemoguće figure u stvarnom svijetu?" Shvatio sam da je nemoguće moguće i da se nestvarne figure mogu napraviti vlastitim rukama. Stvorio sam Amesov model nemoguće kocke i testirao Eulerov teorem na njemu. Nakon što sam pogledao kako sastaviti nemoguće figure, uspio sam nacrtati vlastite nemoguće figure. Uspio sam to pokazati

Zaključak 1: Sve nemoguće figure mogu postojati u stvarnom svijetu.

Zaključak 2: Eulerov teorem, koji je istinit za svaki konveksni poliedar, nije istinit za nemoguće figure, ali je istinit za njihove Amesove modele.

Zaključak 3: Još uvijek postoje mnoga područja u kojima će se koristiti nemoguće brojke.

Stoga možemo reći da je svijet nemogućih figura iznimno zanimljiv i raznolik. Proučavanje nemogućih figura prilično je važnost u pogledu geometrije. Rad se može koristiti u nastavi matematike za razvijanje prostornog mišljenja učenika. Za kreativni ljudi, skloni invenciji, nemoguće figure su svojevrsna poluga za stvaranje nečeg novog, neobičnog.

Bibliografija

Levitin Karl Geometrijska rapsodija. - M .: Znanje, 1984, -176 str.

Penrose L., Penrose R. Nemogući objekti, Kvant, br. 5,1971., str.26

Reutersvärd O. Nemoguće brojke. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 str.

Tkacheva M.V. Rotirajuće kocke. - M.: Bustard, 2002. - 168 str.

Mnogi ljudi vjeruju da su nemoguće figure stvarno nemoguće i da se ne mogu stvoriti u stvarnom svijetu. Međutim, iz školskog tečaja geometrije znamo da je crtež prikazan na listu papira projekcija trodimenzionalne figure na ravninu. Stoga svaka figura nacrtana na listu papira mora postojati u trodimenzionalnom prostoru. Štoviše, postoji beskonačan broj trodimenzionalnih objekata, kada se projiciraju na ravninu, dobiva se određena ravna figura. Isto vrijedi i za nemoguće figure.

Naravno, nijedna od nemogućih figura ne može se stvoriti djelovanjem u ravnoj liniji. Na primjer, ako uzmete tri identična bloka drveta, ne možete ih kombinirati na takav način da dobijete nemogući trokut. Međutim, kod projiciranja trodimenzionalne figure na ravninu, neke linije mogu postati nevidljive, preklapati se, spajati, itd. Na temelju toga možemo uzeti tri različite šipke i napraviti trokut, prikazan na slici ispod (Sl. 1). Ovu fotografiju izradio je poznati popularizator djela M.K. Eschera, autora velikog broja knjiga Brune Ernsta. U prvom planu fotografije vidimo lik nemogućeg trokuta. U pozadini se nalazi ogledalo, koje odražava istu figuru iz druge točke gledišta. I vidimo da zapravo lik nemogućeg trokuta nije zatvoren, nego otvoren lik. I samo s točke s koje promatramo lik čini se da okomita traka figure prelazi vodoravnu traku, zbog čega se lik čini nemogućim. Kad bismo malo pomaknuli kut gledanja, odmah biste vidjeli prazninu na slici i izgubila bi svoj učinak nemogućnosti. Činjenica da nemoguća figura izgleda nemoguće samo s jedne točke gledišta karakteristična je za sve nemoguće figure.

Riža. jedan. Fotografija nemogućeg trokuta Bruna Ernsta.

Kao što je gore spomenuto, broj figura koje odgovaraju danoj projekciji je beskonačan, tako da gornji primjer nije jedini način za konstruiranje nemogućeg trokuta u stvarnosti. belgijski umjetnik Mathieu Hamaekers izradio je skulpturu prikazanu na sl. 2. Na lijevoj fotografiji prikazan je frontalni pogled na lik u kojem izgleda kao nemogući trokut, središnja fotografija prikazuje istu figuru zakrenutu za 45°, a na desnoj fotografiji je figura zarotirana za 90°.

Riža. 2. Fotografija nemogućeg trokuta koju je napravio Mathieu Hemakers.

Kao što vidite, na ovoj slici uopće nema ravnih linija, svi elementi figure su zakrivljeni na određeni način. Međutim, kao iu prethodnom slučaju, efekt nemogućnosti vidljiv je samo pod jednim kutom gledanja, kada se sve zakrivljene linije projiciraju u ravne linije, a ako ne obratite pozornost na neke sjene, lik izgleda nemoguće.

Drugi način stvaranja nemogućeg trokuta predložio je ruski umjetnik i dizajner Vjačeslav Kolejčuk i objavio ga u časopisu "Tehnička estetika" br. 9 (1974.). Svi rubovi ovog dizajna su ravne linije, a lica su zakrivljena, iako ta krivulja nije vidljiva u frontalnom pogledu figure. Stvorio je takav model trokuta od drveta.

Riža. 3. Model nemogućeg trokuta Vjačeslava Kolejčuka.

Ovaj model kasnije je rekreirao Elber Gershon, član Odjela za računalne znanosti na Institutu Technion u Izraelu. Njegova verzija (vidi sliku 4) prvo je dizajnirana na računalu, a zatim ponovno stvorena u stvarnosti pomoću trodimenzionalnog pisača. Ako malo pomaknemo kut gledanja nemogućeg trokuta, tada ćemo vidjeti lik sličan drugoj fotografiji na sl. četiri.

Riža. četiri. Varijanta konstrukcije nemogućeg trokuta Elbera Gershona.

Vrijedno je napomenuti da kada bismo sada gledali same figure, a ne njihove fotografije, odmah bismo vidjeli da niti jedna prikazana figura nije nemoguća i koja je tajna svake od njih. Jednostavno ne bismo mogli vidjeti te figure kao nemoguće, budući da imamo stereoskopski vid. To jest, naše oči, smještene na određenoj udaljenosti jedna od druge, vide isti objekt s dvije bliske, ali ipak različite točke gledišta, a naš mozak, primivši dvije slike iz naših očiju, kombinira ih u jednu sliku. Ranije je rečeno da nemoguć objekt izgleda nemoguće samo s jedne točke gledišta, a budući da objekt promatramo s dva stajališta, odmah vidimo trikove pomoću kojih je ovaj ili onaj objekt stvoren.

Znači li to da je u stvarnosti još uvijek nemoguće vidjeti nemoguć predmet? Ne, možeš. Ako zatvorite jedno oko i pogledate figuru, izgledat će nemoguće. Stoga su u muzejima, kada demonstriraju nemoguće figure, posjetitelji prisiljeni jednim okom gledati u njih kroz malu rupu u zidu.

Postoji još jedan način na koji možete vidjeti nemoguću figuru, i to s dva oka odjednom. Sastoji se u sljedećem: trebate stvoriti ogromnu figuru visoku kao višekatna zgrada, postaviti je na golem otvoreni prostor i promatrati je s vrlo velike udaljenosti. velika udaljenost. U ovom slučaju, čak i gledajući lik s dva oka, to ćete shvatiti kao nemoguće zbog činjenice da će oba vaša oka dobiti slike koje se praktički ne razlikuju jedna od druge. Ovako nemoguća figura nastala je u australskom gradu Perthu.

Ako je nemogući trokut relativno lako konstruirati u stvarnom svijetu, onda nije tako lako stvoriti nemoguć trokut u trodimenzionalnom prostoru. Značajka ove figure je prisutnost kontradikcije između prednjeg i pozadinskog plana figure, kada pojedini elementi figure glatko prelaze u pozadinu na kojoj se nalazi figura.

Riža. 5. Dizajn je sličan nemogućem trozubu.

U Institutu za očnu optiku u gradu Aachenu (Njemačka) uspjeli su riješiti ovaj problem stvaranjem posebne instalacije. Dizajn se sastoji od dva dijela. Ispred su tri okrugla stupa i graditelj. Ovaj dio je osvijetljen samo odozdo. Iza stupova nalazi se polupropusno (polupropusno) ogledalo s reflektirajućim slojem koji se nalazi ispred, odnosno gledatelj ne vidi ono što je iza ogledala, već vidi samo odraz stupova u njemu.

Riža. 6. Dijagram postavljanja koji reproducira nemoguć trozubac.

Postoji velika klasa slika za koje se može reći: "Što vidimo? Nešto čudno." To su crteži iskrivljene perspektive, i objekti nemogući u našem trodimenzionalnom svijetu, i nezamislive kombinacije sasvim stvarnih predmeta. Pojavljujući se početkom 11. stoljeća, takvi "čudni" crteži i fotografije danas su postali cijela grana umjetnosti koja se naziva imp art.

Malo povijesti

Slike s iskrivljenom perspektivom nalaze se već početkom prvog tisućljeća. Minijatura iz knjige Henrika II., nastala prije 1025. godine i pohranjena u Bavarskoj državnoj knjižnici u Münchenu, prikazuje Gospu s Djetetom. Na slici je prikazan svod koji se sastoji od tri stupa, a srednji stup bi se, prema zakonima perspektive, trebao nalaziti ispred Gospe, ali iza nje, što slici daje nadrealni učinak. Mi, nažalost, nikada nećemo saznati je li ova tehnika umjetnikov svjestan čin ili njegova pogreška.

Slike nemogućih figura, ne kao svjesni smjer u slikarstvu, već kao tehnike koje pojačavaju učinak percepcije slike, nalaze se u nizu slikara srednjeg vijeka. Na slici Pietera Breughela (Pieter Breughel) "Svraka na vješalima", nastaloj 1568., vidljiva su vješala nemogućeg dizajna, što daje učinak cijeloj slici u cjelini. Na poznatoj graviri engl umjetnik XVIII Stoljeća William Hogarth (William Hogarth) "Lažna perspektiva" pokazuje kakav apsurd može dovesti umjetnikovo neznanje o zakonima perspektive.

Početkom 20. stoljeća umjetnik Marcel Duchamp naslikao je promotivnu sliku za "Apolinere emajlirani" (1916.-1917.) u Muzeju umjetnosti u Philadelphiji. U dizajnu kreveta na platnu možete vidjeti nemoguće trokute i četverokute.

Utemeljitelj smjera nemoguća umjetnost- imp-art (imp-umjetnost, nemoguća umjetnost) s pravom se naziva švedski umjetnik Oscar Rutesvard (Oscar Reutersvard). Prvu nemoguću figuru "Opus 1" (N 293aa) majstor je nacrtao 1934. godine. Trokut je sastavljen od devet kocki. Umjetnik je nastavio eksperimentirati s neobičnim predmetima i 1940. stvorio figuru "Opus 2B", koja je smanjeni nemogući trokut, koji se sastoji od samo tri kocke. Sve su kocke stvarne, ali je njihov raspored u trodimenzionalnom prostoru nemoguć.

Isti je umjetnik izradio i prototip "nemogućeg stubišta" (1950.). Najpoznatiju klasičnu figuru, Nemogući trokut, stvorio je engleski matematičar Roger Penrose 1954. godine. Koristio je linearnu perspektivu, a ne paralelnu kao Rutesward, što je slici dalo dubinu i ekspresivnost, a time i veći stupanj nemogućnosti.

Najviše poznati umjetnik imp art je postao M. K. Escher (M. C. Escher). Među njegovim najpoznatijim djelima su slike "Vodopad" ("Waterfall") (1961.) i "Uspon i silazak" ("Ascending and Descending"). Umjetnik je koristio efekt "beskonačnog stubišta", koji je otkrio Rutesward, a dodatno dopunio Penrose. Na platnu su prikazana dva reda čovječuljaka: kada se kreću u smjeru kazaljke na satu, čovječuljci se stalno dižu, a kada se kreću suprotno od kazaljke na satu, spuštaju se.

Malo geometrije

Postoji mnogo načina za stvaranje optičkih iluzija (od latinske riječi "iliusio" - pogreška, obmana - neadekvatna percepcija objekta i njegovih svojstava). Jedan od najspektakularnijih je smjer imp-arta, koji se temelji na slikama nemogućih figura. Nemogući objekti su crteži na ravnini (dvodimenzionalne slike), izvedeni na takav način da gledatelj ima dojam da takva struktura ne može postojati u našem stvarnom trodimenzionalnom svijetu. Klasična, kao što je već spomenuto, i jedna od najjednostavnijih takvih figura je nemogući trokut. Svaki dio figure (kutovi trokuta) postoji zasebno u našem svijetu, ali njihova kombinacija u trodimenzionalnom prostoru je nemoguća. Percepcija cijele figure kao sklopa netočnih veza između njezinih stvarnih dijelova dovodi do varljivog učinka nemoguće strukture. Pogled klizi po rubovima nemoguće figure i ne može je sagledati kao logičnu cjelinu. U stvarnosti, pogled pokušava rekonstruirati stvarnu trodimenzionalnu strukturu (vidi sliku), ali nailazi na neslaganje.

S geometrijskog gledišta, nemogućnost trokuta leži u činjenici da tri grede povezane u paru jedna s drugom, ali duž tri različite osi Kartezijevog koordinatnog sustava, tvore zatvorenu figuru!

Proces percepcije nemogućih objekata dijeli se na dvije faze: prepoznavanje figure kao trodimenzionalnog objekta i svijest o "nepravilnosti" predmeta i nemogućnosti njegovog postojanja u trodimenzionalnom svijetu.

Postojanje nemogućih figura

Mnogi ljudi vjeruju da su nemoguće figure stvarno nemoguće i da se ne mogu stvoriti u stvarnom svijetu. Ali moramo zapamtiti da je svaki crtež na listu papira projekcija trodimenzionalne figure. Stoga svaka figura nacrtana na komadu papira mora postojati u trodimenzionalnom prostoru. Nemogući objekti na slikama su projekcije trodimenzionalnih objekata, što znači da se objekti mogu realizirati u obliku skulpturalnih kompozicija (trodimenzionalnih objekata). Postoji mnogo načina za njihovo stvaranje. Jedna od njih je korištenje zakrivljenih linija kao stranica nemogućeg trokuta. Stvorena skulptura samo iz jedne točke izgleda nemoguće. S ove točke, zakrivljene strane izgledaju ravno, a cilj će biti postignut - stvoren je pravi "nemogući" objekt.

O dobrobitima imp art

Oskar Rutesward u knjizi "Omojliga figurer" (postoji ruski prijevod) govori o korištenju imp-art crteža za psihoterapiju. Piše da slike svojim paradoksima izazivaju iznenađenje, izoštravaju pozornost i želju za dešifriranjem. U Švedskoj se koriste u stomatološkoj praksi: gledajući slike u čekaonici, pacijenti se odvraćaju od neugodnih misli ispred zubarske ordinacije. Prisjećajući se koliko se čeka na termin u raznim ruskim birokratskim i drugim institucijama, može se pretpostaviti da nemoguće slike na zidovima soba za primanje mogu uljepšati vrijeme čekanja, umiriti posjetitelje i time smanjiti društvenu agresiju. Druga mogućnost bila bi instalacija u recepcijama automati za igre na sreću ili, na primjer, lutke s odgovarajućim licima kao mete za pikado, ali, nažalost, ova vrsta inovacije u Rusiji nikada nije bila poticana.

Koristeći se fenomenom percepcije

Postoji li neki način da se poveća učinak nemogućnosti? Jesu li neki predmeti "nemogući" od drugih? I ovdje značajke ljudske percepcije dolaze u pomoć. Psiholozi su ustanovili da oko počinje promatrati predmet (sliku) od donjeg lijevog kuta, zatim pogled klizi udesno u središte i spušta se u donji desni kut slike. Takva putanja može biti posljedica činjenice da su naši preci pri susretu s neprijateljem prvo gledali na najopasnije desna ruka, a onda je pogled krenuo ulijevo, na lice i lik. Dakle, umjetnička percepcija će značajno ovisiti o tome kako je izgrađena kompozicija slike. Ta se značajka u srednjem vijeku jasno očitovala u izradi tapiserija: njihov je dizajn bio zrcalna slika izvornika, a dojam koji ostavljaju tapiserije i originali se razlikuje.

Ovo se svojstvo može uspješno koristiti pri stvaranju kreacija s nemogućim objektima, povećavajući ili smanjujući "stupanj nemogućnosti". Također otvara mogućnost za zanimljive kompozicije korištenjem računalne tehnologije, bilo iz nekoliko slika koje se okreću (možda koristeći različite vrste simetrije) jedna u odnosu na drugu, stvarajući drugačiji dojam o objektu i dublje razumijevanje suštine ideje za publiku, ili iz jedne koja se rotira ( trajno ili trzajno) uz pomoć jednostavnog mehanizma pod nekim kutovima.

Takav pravac možemo nazvati poligonalnim (poligonalnim). Ilustracije prikazuju slike rotirane jednu u odnosu na drugu. Kompozicija je nastala na sljedeći način: crtež na papiru, rađen tušem i olovkom, skeniran je, digitaliziran i obrađen u grafički urednik. Možemo primijetiti pravilnost - rotirana slika ima veći "stupanj nemogućnosti" od originalne. To je lako objasniti: u procesu rada umjetnik podsvjesno nastoji stvoriti "ispravnu" sliku.

Kombinacije, kombinacije

Postoji skupina nemogućih objekata čija je skulpturalna realizacija nemoguća. Možda je najpoznatiji od njih "nemogući trozubac", odnosno "đavolja vilica" (P3-1). Ako pažljivo pogledate predmet, primijetit ćete da se tri zuba postupno pretvaraju u dva na zajedničkoj osnovi, što dovodi do sukoba percepcije. Uspoređujemo broj zuba iznad i dolje i dolazimo do zaključka da je predmet nemoguć. Na temelju "vilice" stvoreno je mnoštvo nemogućih objekata, uključujući i one gdje dio koji je cilindričan na jednom kraju postaje četvrtast na drugom.

Osim ove iluzije, postoje mnoge druge vrste optičkih iluzija (iluzije veličine, kretanja, boje itd.). Iluzija percepcije dubine jedna je od najstarijih i najpoznatijih optičkih iluzija. Ovoj skupini pripada Neckerova kocka (1832.), a 1895. Armand Thiery objavio je članak o poseban obrazac nemoguće figure. U ovom članku po prvi put je nacrtan objekt koji je kasnije dobio ime Thierry i nebrojeno puta korišten od strane op art umjetnika. Predmet se sastoji od pet identičnih rombova sa stranicama od 60 i 120 stupnjeva. Na slici možete vidjeti dvije kocke povezane jednom plohom. Ako gledate odozdo prema gore, jasno se vidi donja kocka sa dva zida na vrhu, a ako gledate odozgo prema dolje, gornja kocka sa zidovima na dnu.

Najviše jednostavna figura od Thierryjevih, ovo je očito iluzija "otvora piramide", koja je pravilan romb s linijom u sredini. Nemoguće je točno reći što vidimo - piramidu koja se uzdiže iznad površine ili otvor (udubljenje) na njoj. Ovaj efekt se koristi u grafici "Labirint (plan piramide)" iz 2003. Slika je dobila diplomu na međunarodnoj matematičkoj konferenciji i izložbi u Budimpešti 2003. "Ars(Dis)Symmetrica" ​​​​03. Rad koristi kombinaciju iluzije dubinske percepcije i nemogućih figura.

Zaključno, možemo reći da je smjer imp art as komponenta Optička umjetnost se aktivno razvija, au bliskoj budućnosti nedvojbeno ćemo očekivati ​​nova otkrića u ovom području.

Kandidat tehničkih znanosti D. RAKOV (Institut za strojarstvo nazvan po A. A. Blagonravov RAS).

KNJIŽEVNOST

Rutesward O. Nemoguće brojke.- M.: Strojizdat, 1990.

Pod tim imenom časopis već gotovo četrdeset godina objavljuje crteže kojekakvih nemogućih figura i predmeta. Vidi "Znanost i život" br. 5, 8, 1969; broj 2, 1970.; broj 1, 1979.; broj 10, 1986.; broj 11 1989.; broj 8, 1994

Slika 1.

Ovo je nemoguć tribar. Ovaj crtež nije ilustracija prostornog objekta, jer takav objekt ne može postojati. Naše OKO prihvaća dana činjenica a sam predmet bez poteškoća. Možemo iznijeti niz argumenata u obranu nemogućnosti objekta.Na primjer, lice C leži u horizontalnoj ravnini, dok je lice A nagnuto prema nama, a lice B je nagnuto od nas, a ako su lica A i B odstupaju jedan od drugoga, ne mogu se susresti na vrhu figure, kao što vidimo u ovom slučaju. Možemo primijetiti da tribar tvori zatvoreni trokut, sve tri grede su okomite jedna na drugu, a zbroj njegovih unutarnjih kutova je 270 stupnjeva, što je nemoguće. U pomoć možemo pozvati osnovna načela stereometrije, naime da se tri neparalelne ravnine uvijek sastaju u istoj točki. Međutim, na slici 1 vidimo sljedeće:

• Tamno siva ravnina C susreće ravninu B; linija raskrižja - l;
• Tamno siva ravnina C susreće se sa svijetlosivom ravninom A; linija raskrižja - m;
• Bijela ravnina B susreće se sa svijetlosivom ravninom A; linija raskrižja - n;
• Presječne linije l, m, n sijeku u tri različite točke.

Dakle, predmetni lik ne zadovoljava jednu od osnovnih tvrdnji stereometrije, da se tri neparalelne ravnine (u ovom slučaju A, B, C) moraju sastajati u jednoj točki.

Ukratko: koliko god naše razmišljanje bilo složeno ili jednostavno, OKO nam signalizira proturječnosti bez ikakvog objašnjenja sa svoje strane.

Nemogući tri-bar je paradoksalan u nekoliko pogleda. Oku je potreban djelić sekunde da prenese poruku: "Ovo je zatvoreni objekt koji se sastoji od tri crte." Trenutak kasnije slijedi: "Ovaj objekt ne može postojati...". Treća poruka mogla bi se pročitati kao: "... i stoga je prvi dojam bio pogrešan." U teoriji, takav bi se objekt trebao razbiti u mnoge linije koje nemaju smislen odnos jedni s drugima i više se ne skupljaju u obliku trokrake. Međutim, to se ne događa, a OKO ponovno signalizira: "Ovo je predmet, tribar." Ukratko, zaključak je da je i objekt i ne-objekt, a to je prvi paradoks. Oba tumačenja jednako vrijede, kao da je OKO ostavio konačni pravorijek višeg autoriteta.

Druga paradoksalna značajka nemogućeg tribara proizlazi iz razmatranja o njegovoj konstrukciji. Ako je šipka A okrenuta prema nama, a šipka B okrenuta od nas, a ipak se susreću, tada kut koji oni tvore mora ležati na dva mjesta u isto vrijeme, jedno bliže promatraču, a drugo dalje. (Isto se odnosi i na druga dva kuta jer objekt ostaje istog oblika kada ga drugi kut okrene prema gore.)

Slika 2. Bruno Ernst, fotografija nemogućeg tri-bara, 1985
Slika 3. Gerard Traarbach, "Perfect timing", ulje na platnu, 100x140 cm, 1985., obrnuto tiskano
Slika 4. Dirk Huiser, "Kocka", irisirani sitotisak, 48x48 cm, 1984.

Stvarnost nemogućih objekata

Jedno od najtežih pitanja o nemogućim brojkama odnosi se na njihovu stvarnost: postoje li one doista ili ne? Naravno, crtež nemogućeg trobrana postoji i to se ne dovodi u pitanje. Međutim, u isto vrijeme, nema sumnje da trodimenzionalni oblik koji nam predstavlja OKO, kao takav, ne postoji u okolnom svijetu. Iz tog razloga odlučili smo govoriti o nemogućem objekti a ne o nemogućem figure(iako su pod ovim imenom na engleskom poznatiji). Čini se da je ovo zadovoljavajuće rješenje za ovu dilemu. Pa ipak, kada, na primjer, pažljivo ispitujemo nemogući tribar, njegova nas prostorna realnost nastavlja zbunjivati.

Suočeni s objektom rastavljenim na odvojene dijelove, gotovo je nemoguće povjerovati da se jednostavnim spajanjem šipki i kocki može dobiti željeni nemogući tri-bar.

Slika 3 posebno je privlačna stručnjacima za kristalografiju. Predmet je predstavljen kao kristal koji polako raste, kocke su umetnute u postojeće kristalna rešetka bez narušavanja ukupne strukture.

Fotografija na slici 2 je stvarna, iako tri-bar, sastavljena od kutija cigara i fotografirana ispod određeni kut, nerealno je. Ovo je vizualna šala koju je osmislio Roger Penrose, koautor prvog članka i Impossible Tribar.

Slika 5

Na slici 5 prikazan je tribar sastavljen od numeriranih blokova dimenzija 1x1x1 dm. Jednostavnim prebrojavanjem blokova možemo saznati da je volumen figure 12 dm 3, a površina 48 dm 2.

Slika 6
Slika 7

Na sličan način možemo izračunati udaljenost koju će bubamara prijeći uz tribar (slika 7). Središnja točka svake trake označena je brojem, a smjer kretanja označen je strelicama. Dakle, površina tribara je predstavljena kao dugačka kontinuirana cesta. Bubamara mora napraviti četiri potpuna kruga prije povratka na početnu točku.

Slika 8

Možda ćete početi sumnjati da nemogući tri-bar ima neke tajne sa svoje nevidljive strane. Ali lako se može nacrtati prozirna nemoguća trostruka šipka (slika 8). U ovom slučaju vidljive su sve četiri strane. Međutim, objekt i dalje izgleda sasvim stvarno.

Postavimo ponovno pitanje: što zapravo čini tribar figurom koja se može tumačiti na toliko mnogo načina. Treba imati na umu da OKO obrađuje sliku nemogućeg predmeta iz mrežnice na isti način kao slike običnih predmeta - stolice ili kuće. Rezultat je "prostorna slika". U ovoj fazi nema razlike između nemoguće tri-bar i obične stolice. Dakle, nemoguće tribar postoji u dubinama našeg mozga na istoj razini kao i svi drugi objekti koji nas okružuju. Neuspjeh oka da potvrdi trodimenzionalnu "vitalnost" tri-bara u stvarnosti ni na koji način ne umanjuje činjenicu da je nemogući tri-bar prisutan u našoj glavi.

U 1. poglavlju naišli smo na nemogući objekt čije je tijelo nestajalo u nigdje. NA crtež olovkom"Putnički vlak" (sl. 11) Fons de Vogelaere je suptilno upotrijebio isti princip s ojačanim stupom na lijevoj strani slike. Pratimo li stupac odozgo prema dolje, ili zatvorimo donji dio slike, vidjet ćemo stupac koji podupiru četiri stupa (od kojih su samo dva vidljiva). Međutim, pogledate li isti stup odozdo, vidjet ćete prilično širok otvor kroz koji može proći vlak. Čvrsti kameni blokovi u isto su vrijeme... tanji od zraka!

Ovaj je objekt dovoljno jednostavan za kategorizaciju, ali ispada da je prilično složen kada ga počnemo analizirati. Istraživači poput Broydricka Throa pokazali su da sam opis ovog fenomena dovodi do proturječja. Sukob na jednoj od granica. OKO prvo izračunava konture, a zatim iz njih skuplja oblike. Do zabune dolazi kada staze imaju dvije svrhe odjednom u dva različita oblika ili dijela oblika, kao na slici 11.

Slika 9

Slična situacija događa se na slici 9. Na ovoj slici konturna linija l pojavljuje se i kao granica forme A i kao granica forme B. Međutim, ona nije granica obje forme u isto vrijeme. Ako vaše oči prvo gledaju na vrh crteža, a zatim, gledajući prema dolje, liniju lće se percipirati kao granica forme A i tako će ostati sve dok se ne ustanovi da je A otvorena figura. U ovom trenutku, OKO nudi drugo tumačenje linije l, naime da je to granica oblika B. Ako pogledamo natrag prema gore l, onda se vraćamo na prvo tumačenje.

Kad bi to bila jedina nejasnoća, onda bismo mogli govoriti o piktografskom dvojniku. No zaključak kompliciraju dodatni čimbenici, poput fenomena nestajanja figure u pozadini, a posebice prostorne reprezentacije figure OKOM. U tom smislu već možete drugačije pogledati slike 7, 8 i 9 iz 1. poglavlja. Iako se ove vrste figura čine pravim prostornim objektima, možemo ih privremeno nazvati nemogućim objektima i opisati (ali ne i objasniti) sljedećim općim pojmovima: OKO izračunava iz ovih objekata dva različita međusobno isključiva trodimenzionalna oblika koji unatoč tome postoje .istovremeno. To se može vidjeti na slici 11 u onome što nam se čini kao monolitni stup. Međutim, nakon ponovnog pregleda, čini se da je otvoren, s prostranim otvorom u sredini kroz koji, kao što je prikazano na slici, može proći vlak.

Slika 10. Arthur Stibbe, "Sprijeda i iza", karton/akril, 50x50 cm, 1986.
Slika 11. Fons de Vogelaere, „Putnički vlak“, crtež olovkom, 80x98 cm, 1984.

Nemogući objekt kao paradoks

Slika 12. Oscar Reutersvärd, "Perspective japonaise n° 274 dda", crtež tušem u boji, 74x54 cm

Na početku ovog poglavlja nemogući objekt vidjeli smo kao trodimenzionalni paradoks, odnosno sliku čiji su stereografski elementi u međusobnom sukobu. Prije dubljeg istraživanja ovog paradoksa, potrebno je razumjeti postoji li tako nešto kao što je slikovni paradoks. Zapravo postoji - sjetite se sirena, sfingi i još mnogo toga vilinska bićačesto nalazimo u likovnim umjetnostima srednjeg vijeka i rane renesanse. Ali u ovom slučaju nije narušen rad OKA takvom piktografskom jednadžbom kao što je žena + riba = sirena, već naše znanje (osobito poznavanje biologije), prema kojem je takva kombinacija neprihvatljiva. Samo tamo gdje su prostorni podaci na slici retine međusobno proturječni, "automatska" obrada podataka od strane OKA ne uspijeva. OKO nije spremno obraditi ovako čudan materijal, a svjedočimo jednom za nas novom vizualnom doživljaju.

Slika 13a. Harry Turner, crtež iz serije "Paradoxical patterns", mješovita tehnika, 1973.-78.
Slika 13b. Harry Turner, "Kutak", mješovita tehnika, 1978

Prostorne informacije sadržane u slici s mrežnice (kada gledamo samo jednim okom) možemo podijeliti u dvije klase - prirodne i kulturološke. Prva klasa sadrži informacije koje nisu pod utjecajem kulturnog okruženja osobe, a nalaze se i na slikama. Takva prava "neiskvarena priroda" uključuje sljedeće:

• Objekti iste veličine čine se manji što su udaljeniji. Ovo je osnovno načelo linearne perspektive, koja je igrala veliku ulogu u vizualnim umjetnostima od renesanse;
• Bliži nam je objekt koji djelomično blokira drugi objekt;
• Predmeti ili dijelovi predmeta međusobno povezani su na istoj udaljenosti od nas;
• Objekti koji su relativno udaljeni od nas bit će manje razaznaljivi i bit će skriveni plavom izmaglicom prostorne perspektive;
• Strana predmeta na koju svjetlost pada svjetlija je od suprotne strane, a sjene pokazuju u suprotnom smjeru od izvora svjetlosti.

Slika 14. Zenon Kulpa, "Nemoguće figure", tuš/papir, 30x21 cm, 1980.

U kulturnom okruženju, sljedeća dva čimbenika igraju važnu ulogu u našem vrednovanju prostora. Ljudi su svoj životni prostor stvorili na način da njime dominiraju pravi kutovi. Naša arhitektura, namještaj i mnogi alati u osnovi se sastoje od pravokutnika. Možemo reći da smo naš svijet spakirali u pravokutni koordinatni sustav, u svijet ravnih linija i kutova.

Slika 15. Mitsumasa Anno, "Presjek kocke"
Slika 16. Mitsumasa Anno, "Komplicirana drvena slagalica"
Slika 17. Monika Buch, Plava kocka, akril/drvo, 80x80 cm, 1976.

Dakle, naša druga klasa prostornih informacija - kulturalna, jasna je i razumljiva:

• Površina je ravnina koja se nastavlja sve dok nam drugi detalji ne kažu da nije završila;
• Kutovi pod kojima se susreću tri ravnine određuju tri glavna pravca, pa stoga cik-cak linije mogu označavati širenje ili skupljanje.

Slika 18. Tamas Farcas, "Kristal", irisirani otisak, 40x29 cm, 1980.
Slika 19. Frans Erens, akvarel, 1985

U našem kontekstu, razlika između prirodnog i kulturnog okruženja vrlo je korisna. Naš vizualni osjećaj evoluirao je u prirodnom okruženju, a također ima nevjerojatnu sposobnost točne i točne obrade prostornih informacija iz kulturne kategorije.

Nemogući objekti (barem većina njih) postoje zbog prisutnosti međusobno kontradiktornih prostornih iskaza. Na primjer, na slici Josa de Meya "Dvostruko čuvana vrata zimske Arkadije" (Sl. 20), ravna površina koja tvori gornji dio zida rastavlja se u nekoliko ravnina na različitim udaljenostima od promatrača. Dojam različitih udaljenosti stvaraju i preklapajući dijelovi figure u "Isprijeda i iza" Arthura Stibbea (sl. 10), koji proturječe pravilu ravne površine. Na crtežu u akvarelu Fransa Erensa (sl. 19), polica prikazana u perspektivi, s opadajućim krajem govori nam da se nalazi horizontalno, odmičući se od nas, a također je pričvršćena za nosače na način da biti vertikalan. Na slici "Pet nosača" Fons de Vogelaerea (sl. 21) bit ćemo preplavljeni brojnim stereografskim paradoksima. Iako slika ne sadrži paradoksalna preklapanja objekata, u njoj ima mnogo paradoksalnih poveznica. Zanimljivost je način na koji je središnja figura spojena sa stropom. Pet figura koje podupiru strop povezuju parapet i strop s toliko paradoksalnih spojeva da OKO beskonačno traži točku s koje bi ih bolje sagledalo.

Slika 20. Jos de Mey, "Dvostruko čuvana vrata zimske Arkadije", platno/akril, 60x70 cm, 1983.
Slika 21. Fons de Vogelaere, "Pet nosača", crtež olovkom, 80x98 cm, 1985.

Mogli biste pomisliti da sa svakim mogući tip stereografskog elementa koji se pojavljuje na slici, relativno je lako sastaviti sustavni pregled nemogućih figura:

• Oni koji sadrže elemente perspektive koji su u međusobnom sukobu;
• Oni u kojima su elementi perspektive u sukobu s prostornim informacijama naznačenim elementima koji se preklapaju;
• itd.

Međutim, uskoro ćemo otkriti da za mnoge od ovih sukoba nećemo moći pronaći postojeće primjere, dok će neke nemoguće objekte biti teško uklopiti u takav sustav. Međutim, takva će nam klasifikacija omogućiti otkrivanje još mnogo dosad nepoznatih vrsta nemogućih objekata.

Slika 22. Shigeo Fukuda, "Slike iluzije", sitotisak, 102x73 cm, 1984.

Definicije

Da zaključimo ovo poglavlje, pokušajmo definirati nemoguće objekte.

U svojoj prvoj publikaciji o slikama s nemogućim objektima M.K. Eschera, koji se pojavio oko 1960. godine, došao sam do sljedeće formulacije: mogući objekt uvijek se može smatrati projekcijom – prikazom trodimenzionalnog objekta. Međutim, u slučaju nemogućih objekata ne postoji trodimenzionalni objekt čiji je prikaz zadana projekcija, te u ovom slučaju nemoguće objekt možemo nazvati iluzornim prikazom. Ova definicija nije samo nepotpuna, nego je i netočna (vratit ćemo se na to u 7. poglavlju), budući da se odnosi samo na matematičku stranu nemogućih objekata.

Slika 23. Oscar Reutersvärd, „Kubična organizacija prostora“, crtež tušem u boji, 29x20,6 cm.
U stvarnosti taj prostor nije popunjen jer veće kocke nisu povezane s manjim kockama.

Zenon Kulpa nudi sljedeću definiciju: slika nemogućeg objekta je dvodimenzionalni lik koji daje dojam postojećeg trodimenzionalnog objekta, a taj lik ne može postojati na način na koji ga mi prostorno tumačimo; stoga svaki pokušaj njezina stvaranja dovodi do (prostornih) proturječja, koja su gledatelju jasno vidljiva.

Kulpina posljednja primjedba sugerira jedan praktičan način da saznate je li neki objekt nemoguć ili nije: pokušajte ga sami stvoriti. Uskoro ćete vidjeti, možda i prije početka gradnje, da to nećete moći.

Više bih volio definiciju koja naglašava da OKO, analizirajući nemoguć objekt, dolazi do dva proturječna zaključka. Više mi se sviđa ova definicija jer hvata razlog za te međusobno proturječne zaključke, a osim toga, pojašnjava činjenicu da nemogućnost nije matematičko svojstvo figure, već svojstvo gledateljeve interpretacije figure.

Na temelju toga predlažem sljedeću definiciju:

Nemogući objekt ima dvodimenzionalni prikaz, što OKO tumači kao trodimenzionalni objekt, au isto vrijeme, OKO utvrđuje da taj objekt ne može biti trodimenzionalan, jer su prostorne informacije sadržane u slici kontradiktorne.

Slika 24. Oscar Reutersväird, "Impossible four-takt with Crossbars"
Slika 25. Bruno Ernst, "Mješovite iluzije", fotografija, 1985.



Sposobnost stvaranja i operirati prostornim slikama karakterizira razinu općeg intelektualni razvoj osoba. NA psihološke studije su eksperimentalno potvrdile da između sklonosti osobe da relevantne struke i stupanj razvijenosti prostornih predstava ima statistički značajan odnos. Raširena uporaba nemogućih figura u arhitektura, slikarstvo, psihologija, geometrija i u mnogim drugim područjima praktični život pružiti priliku da saznate više o razne profesije i odluči izbor budućeg zanimanja.

Ključne riječi: tribar, beskrajne ljestve, svemirska vilica, nemoguće kutije, trokut i Penroseove stepenice, Escherova kocka, Reutersvärdov trokut.

Svrha studije: proučavanje svojstava nemogućih figura uz pomoć 3-D modela.

Ciljevi istraživanja:

1. Proučiti vrste i napraviti klasifikaciju nemogućih figura.
2. Razmotrite načine konstruiranja nemogućih figura.
3. Stvorite nemoguće figure pomoću računalnog programa i 3D modeliranja.

Koncept nemogućih figura

Ne postoji objektivan koncept "nemogućih brojki". Iz jednog izvora nemoguća figura- vrsta optičke iluzije, figura koja izgleda kao projekcija običnog trodimenzionalnog objekta, nakon čijeg detaljnijeg ispitivanja postaju vidljive proturječne veze elemenata figure. I iz drugog izvora nemoguće figure- to su geometrijski kontradiktorne slike objekata koji ne postoje u stvarnom trodimenzionalnom prostoru. Nemogućnost proizlazi iz proturječnosti između podsvjesno percipirane geometrije prikazanog prostora i formalne matematičke geometrije.

analiziranje različite definicije, dolazimo do zaključka:

nemoguća figura je plošni crtež koji ostavlja dojam trodimenzionalnog objekta na način da objekt sugeriran našom prostornom percepcijom ne može postojati, pa pokušaj njegovog stvaranja dovodi do (geometrijskih) proturječja jasno vidljivih promatraču.

Kada gledamo sliku koja daje dojam prostornog objekta, naš sustav prostorne percepcije pokušava pronaći prostorni oblik, orijentaciju i strukturu, počevši od analize pojedinačnih fragmenata i naznaka dubine. Nadalje, ti odvojeni dijelovi se kombiniraju i koordiniraju nekim redoslijedom kako bi se stvorila opća hipoteza o prostornoj strukturi objekta kao cjeline. Obično, unatoč činjenici da ravna slika može imati beskonačan broj prostornih interpretacija, naš mehanizam interpretacije odabire samo jednu – za nas najprirodniju. Upravo se ta interpretacija slike dodatno testira na mogućnost ili nemogućnost, a ne sam crtež. Nemoguća interpretacija pokazuje se kontradiktornom u svojoj strukturi - različite parcijalne interpretacije ne uklapaju se u zajedničku konzistentnu cjelinu.

Brojke su nemoguće ako su nemoguće njihove prirodne interpretacije. Međutim, to ne znači da ne postoji druga interpretacija iste figure koja bi mogla postojati. Stoga je pronalaženje metode za točan opis prostornih interpretacija figura jedan od glavnih načina za daljnji rad s nemogućim figurama i mehanizmima njihove interpretacije. Ako možete opisati različite interpretacije, onda ih možete usporediti, povezati sliku i njezine različite interpretacije (razumjeti mehanizme stvaranja interpretacija), provjeriti njihovu podudarnost ili utvrditi vrste nedosljednosti itd.

Vrste nemogućih figura

Nemoguće figure podijeljene su u dvije velike klase: neke imaju stvarne trodimenzionalne modele, dok druge nije moguće izraditi.

Tijekom rada na temi proučavane su 4 vrste nemogućih figura: tribar, beskrajne stepenice, nemoguće kutije i svemirska vilica. Svi su oni jedinstveni na svoj način.

Tribar (Penroseov trokut)

Ovo je geometrijski nemoguća figura čiji se elementi ne mogu povezati. Ipak, nemogući trokut postao je moguć. Švedski slikar Oscar Reitesvärd 1934. prvi je svijetu predstavio nemogući trokut kocki. U čast ovog događaja u Švedskoj je izdana poštanska marka. Tribar se može napraviti od papira. Ljubitelji origamija pronašli su način kako stvoriti i držati u rukama stvar koja se do sada činila kao ultimativna fantazija jednog znanstvenika. No, varaju nas vlastite oči kada gledamo projekciju trodimenzionalnog objekta iz tri okomite linije. Promatraču se čini da vidi trokut, iako to zapravo nije.

Beskrajno stubište.

Dizajn, koji nema ni kraja ni ruba, osmislili su biolog Leionel Penrose i njegov sin matematičar Roger Penrose. Model je prvi put objavljen 1958. godine, nakon čega je stekao veliku popularnost, postao je klasična nemoguća figura, a njegov osnovni koncept korišten je u slikarstvu, arhitekturi i psihologiji. Penroseov model koraka stekao je najveću popularnost u usporedbi s drugim nerealnim figurama u području računalnih igara, slagalica, optičke iluzije. "Uz stepenice koje vode prema dolje" - ovako možete okarakterizirati Penroseove stepenice. Ideja ovog dizajna je da kada se kreću u smjeru kazaljke na satu, stepenice vode cijelo vrijeme gore, au suprotnom smjeru - dolje. U isto vrijeme, "vječno stubište" sastoji se od samo četiri raspona. To znači da se nakon samo četiri stepenice putnik nađe na istom mjestu gdje je i započeo kretanje.

Nemoguće kutije.

Još jedan nemogući objekt pojavio se 1966. u Chicagu kao rezultat originalnih eksperimenata fotografa dr. Charlesa F. Cochrana. Mnogi ljubitelji nemogućih figura eksperimentirali su s Crazy Boxom. Autor ga je izvorno nazvao "slobodnom kutijom" i izjavio da je "dizajniran za nošenje nemogućih predmeta u velikom broju". Crazy Box je kockasti okvir okrenut naopako. Neposredni prethodnik Lude kutije bila je Nemoguća kutija Eschera, a prethodnik je bila Neckerova kocka. Nije riječ o nemogućem objektu, već o figuri u kojoj se dubinski parametar može percipirati dvosmisleno. Kad zavirimo u Neckerovu kocku, primjećujemo da je lice s vrhom u prvom planu, zatim u pozadini, skače iz jedne pozicije u drugu.

Svemirska vilica.

Među svim nemogućim figurama posebno mjesto zauzima nemogući trozubac ("kozmička vilica"). Ako rukom zatvorite desnu stranu trozuba, tada ćemo vidjeti vrlo stvarnu sliku - tri okrugla zuba. Ako zatvorimo donji dio trozuba, tada ćemo također vidjeti pravu sliku - dva pravokutna zuba. Ali, ako uzmemo u obzir cijelu figuru kao cjelinu, ispada da se tri okrugla zuba postupno pretvaraju u dva pravokutna.

Tako se vidi da prednji i pozadina ova brojka je u sukobu. Odnosno, ono što je izvorno bilo u prvom planu vraća se natrag, a pozadina (srednji zub) puzi naprijed. Osim promjene prednjeg i pozadinskog plana, ovaj crtež ima još jedan učinak - ravni rubovi desne strane trozuba postaju zaobljeni na lijevoj. Učinak nemogućnosti postiže se činjenicom da naš mozak analizira konturu figure i pokušava prebrojati broj zuba. Mozak uspoređuje broj zubaca figure u lijevom i desnom dijelu slike, što izaziva osjećaj nemogućnosti figure. Kada bi figura imala značajno veći broj zuba (npr. 7 ili 8), tada bi ovaj paradoks bio manje izražen.

Izrada modela nemogućih figura prema crtežima

Trodimenzionalni model je fizički predočljiv objekt, gledajući ga u prostoru postaju vidljive sve pukotine i zavoji koji uništavaju iluziju nemogućnosti, a ovaj model gubi svoju “čaroliju”. Kada se ovaj model projicira na dvodimenzionalnu ravninu, dobiva se nemoguća figura. Ova nemoguća brojka (za razliku od 3D model), daje dojam nemogućeg objekta koji može postojati samo u mašti čovjeka, ali ne iu prostoru.

Tribar

model od papira:

Nemogući bar

model od papira:

Konstrukcija nemogućih figura uprogramNemogućekonstruktor

Program Impossible Constructor dizajniran je za izradu slika nemogućih figura od kocki. Glavni nedostaci ovog programa bili su poteškoće u odabiru prave kocke (prilično je teško pronaći jednu od 32 kocke koje su dostupne u programu), kao i činjenica da nisu bile dostupne sve opcije za kocke. Predloženi program nudi potpuni skup kocki (64 kocke) za odabir, a također nudi praktičniji način pronalaženja potrebne kocke pomoću konstruktora kocke.

Modeliranje nemogućih figura.

Ispis 3Dmodeli nemogućih figurana pisaču

Tijekom rada na 3D printeru isprintani su modeli četiri nemoguće figure.

Penroseov trokut

Proces stvaranja tribara:

Evo što sam završio:

Escherova kocka

Proces izrade kocke: Na kraju se dobije model:

Penroseove stepenice(za samo četiri stepenice putnik se nađe na istom mjestu odakle je krenuo):

Reutersvärdov trokut(prvi nemogući trokut, koji se sastoji od devet kockica):

Proces pripreme za tisak omogućio je u praksi naučiti kako graditi stereometrijske figure na ravnini, izvoditi projekcije elemenata figure na zadanu ravninu i razmišljati o algoritmima za konstrukciju likova. Stvoreni modeli pomogli su vizualno vidjeti i analizirati svojstva nemogućih figura, usporediti ih s poznatim stereometrijskim figurama.

“Ako ne možete promijeniti situaciju, pogledajte je iz drugog kuta.”

Ovaj je citat izravno povezan s ovim djelom. Doista, nemoguće brojke postoje ako ih promatrate iz određenog kuta. Svijet nemogućih figura iznimno je zanimljiv i raznolik. Postoje od davnina do našeg vremena. Ima ih gotovo posvuda: u umjetnosti, arhitekturi, popularnoj kulturi, slikarstvu, ikonopisu, filatelistici. Nemoguće brojke su od velikog interesa za psihologe, kognitivne znanstvenike i evolucijske biologe, pomažući da saznamo više o našem vidu i prostornom razmišljanju. Danas računalna tehnologija virtualna stvarnost a projekcije proširuju mogućnosti tako da se kontradiktorni objekti mogu promatrati s novim interesom. Postoje mnoga zanimanja koja su na neki način povezana s nemogućim brojkama. Svi su oni traženi u suvremenom svijetu, pa je proučavanje nemogućih figura relevantno i potrebno.

Književnost:

1. Reutersvärd O. Nemoguće brojke. - M.: Stroyizdat, 1990, 206 str.
2. Penrose L., Penrose R. Nemogući objekti, Kvant, br. 5,1971., str.26
3. Tkacheva M. V. Rotirajuće kocke. - M.: Bustard, 2002. - 168 str.
4. http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
5. http://www.impworld.narod.ru/.
6. Levitin Karl Geometrijska rapsodija. - M.: Znanje, 1984, -176 str.
7. http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
8. http://im-possible.info/english/programs/
9. https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
10. https://newtonew.com/science/impossible-objects
11. http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
12. http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
13. http://geometry-and-art.ru/unn.html

Ključne riječi: tribar, beskonačno stubište, svemirska vilica, nemoguće kutije, Penroseov trokut i stepenice, Escherova kocka, Reutersvärdov trokut.

Napomena: Sposobnost stvaranja i rada s prostornim slikama karakterizira razinu općeg intelektualnog razvoja osobe. U psihološkim studijama eksperimentalno je potvrđeno da postoji statistički značajna povezanost između sklonosti osobe odgovarajućim profesijama i stupnja razvoja prostornih predodžbi. Raširena uporaba nemogućih figura u arhitekturi, slikarstvu, psihologiji, geometriji i mnogim drugim područjima praktičnog života omogućuje da se više upoznaju različita zanimanja i odluči o izboru budućeg zanimanja.