Što trebate znati o Penroseovom trokutu? Penroseov trokut. Stvorite nemogući trokut Izrada figure vlastitim rukama

Nemoguće je ipak moguće. A živopisna potvrda toga je nemogući Penroseov trokut. Otkriven u prošlom stoljeću, još uvijek se često nalazi u znanstvenoj literaturi. I koliko god iznenađujuće zvučalo, možete ga čak i sami napraviti. A to je vrlo lako učiniti. Mnogi ljubitelji crtanja ili skupljanja origamija to već dugo mogu učiniti.

Značenje Penroseovog trokuta

Postoji nekoliko naziva za ovu figuru. Neki ga nazivaju nemogućim trokutom, drugi samo trokutom. Ali najčešće možete pronaći definiciju točno "Penroseovog trokuta".

Pod ovim definicijama podrazumijeva se jedna od glavnih nemogućih figura. Sudeći po nazivu, nemoguće je dobiti takvu figuru u stvarnosti. Ali u praksi je dokazano da je to ipak moguće. Dobit će oblik samo ako ga gledate s određene točke pod pravim kutom. Sa svih ostalih strana, brojka je sasvim realna. Predstavlja tri ruba kocke. I lako je napraviti takav dizajn.

Povijest otkrića

Penroseov trokut otkrio je davne 1934. godine švedski umjetnik Oscar Reutersvärd. Figura je bila predstavljena u obliku kocki sastavljenih zajedno. U budućnosti se umjetnik počeo nazivati ​​"ocem nemogućih figura".

Možda bi Reutersvärdov crtež ostao malo poznat. No 1954. godine švedski matematičar Roger Penrose napisao je rad o nemogućim brojkama. Ovo je bilo drugo rođenje trokuta. Istina, znanstvenik ga je predstavio u poznatijem obliku. Nije koristio kocke, već grede. Tri su grede međusobno spojene pod kutom od 90 stupnjeva. Razlika je bila i u tome što je Reutersvärd pri slikanju koristio paralelnu perspektivu. I Penrose je primijenio linearnu perspektivu, što je crtež učinilo još nemogućim. Takav je trokut objavljen 1958. u britanskom psihološkom časopisu.

Godine 1961. umjetnik Maurits Escher (Nizozemska) izradio je jednu od svojih najpopularnijih litografija, Vodopad. Nastala je pod dojmom koji je izazvao članak o nemogućim brojkama.

Osamdesetih godina prošlog stoljeća na državnim poštanskim markama Švedske prikazani su tribar i druge nemoguće figure. To je trajalo nekoliko godina.

Krajem prošlog stoljeća (točnije 1999.) u Australiji je nastala aluminijska skulptura koja prikazuje nemogući Penroseov trokut. Dosegla je visinu od 13 metara. Slične skulpture, samo manjih dimenzija, nalaze se iu drugim zemljama.

Nemoguće u stvarnosti

Kao što ste mogli pretpostaviti, Penroseov trokut zapravo nije trokut u uobičajenom smislu. To su tri strane kocke. Ali ako gledate iz određenog kuta, dobivate iluziju trokuta zbog činjenice da se 2 kuta potpuno podudaraju na ravnini. Bliži od gledatelja i udaljeni kutovi vizualno su kombinirani.

Ako ste pažljivi, možete pogoditi da tribar nije ništa više od iluzije. Stvarni izgled figure može dati sjenu iz nje. To pokazuje da uglovi zapravo nisu povezani. I, naravno, sve postaje jasno ako uzmete figuru.

Izrada figure vlastitim rukama

Penroseov trokut može se sastaviti samostalno. Na primjer, od papira ili kartona. A dijagrami će vam pomoći u tome. Samo ih treba isprintati i zalijepiti. Na internetu postoje dva dijagrama. Jedan od njih je malo lakši, drugi je teži, ali popularniji. Oba su prikazana na slikama.

Trokut Penrose bit će zanimljiv proizvod koji će se svakako svidjeti gostima. Sigurno neće proći nezapaženo. Prvi korak za njegovu izradu je priprema sheme. Prebacuje se na papir (karton) pomoću printera. A onda je još lakše. Samo ga treba rezati oko perimetra. Dijagram već ima sve potrebne linije. Bit će prikladnije raditi s debljim papirom. Ako je dijagram ispisan na tankom papiru, ali želite nešto gušće, praznina se jednostavno nanosi na odabrani materijal i izrezuje duž konture. Kako biste spriječili pomicanje kruga, možete ga pričvrstiti spajalicama za papir.

Zatim morate odrediti linije duž kojih će se obradak saviti. U pravilu je predstavljen na dijagramu.Savijamo dio. Zatim određujemo mjesta koja su podložna lijepljenju. Premazani su PVA ljepilom. Dio je spojen u jednu figuru.

Detalj se može bojati. I u početku možete koristiti karton u boji.

Nacrtaj nemoguću figuru

Može se nacrtati i Penroseov trokut. Za početak, na listu je nacrtan jednostavan kvadrat. Njegova veličina nije bitna. S bazom na donjoj strani kvadrata nacrtan je trokut. Mali pravokutnici nacrtani su u kutovima iznutra. Njihove strane će morati biti izbrisane, ostavljajući samo one koje su zajedničke s trokutom. Rezultat bi trebao biti trokut s skraćenim kutovima.

S lijeve strane gornjeg donjeg kuta povlači se ravna linija. Ista linija, ali nešto kraća, povučena je iz donjeg lijevog kuta. Linija koja se proteže iz desnog kuta nacrtana je paralelno s osnovicom trokuta. Ispada druga dimenzija.

Po principu druge crta se treća dimenzija. Samo u ovom slučaju, sve linije se temelje na kutovima figure, ne prve, već druge dimenzije.

Danas otvaram novi odjeljak pod nazivom “Rezanje”, gdje ću postavljati crteže, predloške, kao i modele optičkih iluzija. Danas ćemo napraviti nemogući trokut od papira. Budući da ne možemo stvoriti nemogući trokut, napravit ćemo model koji ćemo razmotriti iz određenog kuta.

1. Preuzmite i ispišite
2. Slijedite upute na slici

Kako ispravno razmotriti nemogući trokut?

Budući da se iluzija temelji na dvosmislenom crtežu kocke u izometrijski prikaz. Tada će se u ovoj orijentaciji kutovi najbliži gledatelju i kut udaljeniji od gledatelja podudarati. To znači da kada idemo niz najbliži rub kocke i dva donja ruba, vraćamo se na početna točka, gdje staza zapravo završava na udaljenom uglu.

Ovaj nemogući Penroseov trokut

U takvom području slikovne umjetnosti kao što je slikanje ljudske kože, najnoviji trend danas su figure optičkih iluzija, posebno Penroseov trokut ili tribar, koji se također naziva nemogućim. Prvi je put ovaj oblik otkrio, odnosno izmislio, švedski slikar Oscar Reutersvärd, koji ga je svijetu predstavio u obliku skupa kocaka na prijelazu 1935. godine. Kasnije, već 80-ih godina našeg stoljeća, trobarski uzorak tiskan je u Švedskoj na poštanskoj marki.

No, slika nemogućeg Penroseovog trokuta, koja spada u kategoriju optičkih iluzija, postala je široko poznata 1958. godine, nakon objavljivanja publikacije engleskog matematičara Rogera Penrosea o nemogućim figurama, objavljene u British Journal of Psychology. Inspiriran ovom publikacijom, slavni nizozemski slikar Maurits Escher stvorio je 1961. jedno od svojih najpopularnijih djela, Vodopad.

Optička iluzija

Optičke iluzije u slikarstvu su vizualna iluzija percepcije stvarne slike koju stvara umjetnik određenim rasporedom linija na ravnini. Istodobno, gledatelj netočno procjenjuje veličinu kutova figure ili duljinu njezinih strana, što je predmet proučavanja takvih pododjeljaka psihologije kao što je, na primjer, gestalt terapija. Osim Eschera, stvaranjem optičkih iluzija bavio se još jedan veliki umjetnik, svjetski poznati Salvador Dali. Živopisna ilustracija njegove strasti je, na primjer, slika "Labudovi odraženi u slonovima".

Spomenuti trokut također se odnosi na optičke iluzije, točnije na onaj njihov dio, koji se naziva nemogućim likovima. Nazivaju se tako zbog osjećaja koji se javlja pri pogledu na takav oblik da je njegovo postojanje u stvarnom svijetu jednostavno nemoguće.

Primjena iluzija

Zbog svog jedinstvenog oblika, iluzorni predmeti predmet su velike pozornosti ne samo umjetnika i tattoo umjetnika - trokut koji je napravio sam ili uz pomoć stručnjaka također može djelovati kao logotip tvrtke. Sjajni primjeri ove upotrebe iluzornih oblika su: logo psihodeličnog glazbenog benda koji svira narodnu glazbu, Conundum in Deed, koji je nemoguća kocka, ili brend proizvođača čipova Digilent Inc, koji je klasična trokutasta slika Penrosea.

Možete izraditi vlastiti logotip bez pribjegavanja profesionalcima. Da biste to učinili, samo slijedite upute, prema kojima možete izvesti jednostavan crtež na papiru ili tabletu i napraviti trodimenzionalnu figuru. Može se postaviti kao natpis ili vanjska reklama za vašu trgovinu.

Kako to učiniti sami

Korak po korak upute kako nacrtati tribar pomoću Adobe Illustrator:

1. Prvo trebate napraviti 3 kvadrata s alatom Rectangle. Da biste to učinili, prvo trebate otići na izbornik Pogled i omogućiti Pametne vodiče.
2. Sada je potrebno sve selektirati i otići na Object meni, zatim na Transform i otvoriti Transform each, gdje u Scale prozoru treba staviti vrijednost Vertical Scale = 86.6% i kliknuti OK.
3. Sada morate svakom licu postaviti vlastiti kut rotacije, a za to idite na Window open Transform. Tu prvo upišite vrijednost za kosinu (Shear), a zatim za rotaciju (Rotate): gornja površina kocke je Shear +30°, Rotate -30°; desna površina - smicanje +30°, rotacija +30°; lijeva površina — smicanje -30°, rotacija -30°.
4. Sada, pomoću linija Smart Guides, trebate spojiti sve dijelove kocke zajedno: da biste to učinili, zakačite kut jedne od stranica mišem i povucite je na drugu, poravnavajući ih.
5. U ovoj fazi trebate rotirati kocku za 30°: da biste to učinili, idite na Objekt, odaberite Transformiraj i zakreni, tamo postavite vrijednost kuta na 30° i kliknite U redu.
6. Budući da vam je potrebno 6 kocki da biste dobili tri-bar, trebate odabrati kocku, pritisnuti Alt i Shift i mišem povući odabrani objekt u stranu, razvlačeći ga u vodoravnom smjeru. Bez uklanjanja odabira, pritisnite CMD + D 6 puta. Dobili smo 6 kockica.
7. Ostavljajući odabir na posljednjoj kocki, pritisnite Enter i u prozoru Pomicanje promijenite vrijednost kuta na 240 °, zatim pritisnite Kopiraj. Zatim ponovno pritisnite CMD + D dok ne dobijete 6 kopija.
8. Sada ponovite sve: ponovno pritisnite Enter, odaberite posljednju kocku, postavite samo kut na 120 ° i napravite samo 5 kopija.
9. Koristeći Selection Tool, trebate odabrati gornju površinu oblika (možete je promijeniti boju kako bi bila jasnija), otvoriti izbornik Object - Arrange - Send to back. Sada odaberite obojenu površinu gornje kocke, idite na Object - Arrange - Bring to Front.

Penroseova iluzija je spremna. Može se objaviti na vašoj stranici na društvenim mrežama ili blogu ili koristiti za posao.

Dmitrij Rakov

Naše oči ne mogu vidjeti
prirodu objekata.
Zato ih nemojte forsirati
duševne zablude.

Tit Lukrecije Kar

Uobičajeni izraz "varanje oka" u biti je pogrešan. Oči nas ne mogu prevariti, jer su one samo posredna veza između predmeta i ljudskog mozga. Optička varka obično ne nastaje zbog onoga što vidimo, već zato što nesvjesno promišljamo i nehotice griješimo: "okom, a ne okom, um zna gledati svijet."

Jedan od najspektakularnijih trendova u umjetničkom tijeku optičke umjetnosti (op-art) je imp-art (imp-art, nemoguće umjetnost), koji se temelji na slici nemogućih figura. Nemogući objekti su crteži na ravnini (svaka ravnina je dvodimenzionalna), koji prikazuju trodimenzionalne strukture, čije postojanje je nemoguće u stvarnom trodimenzionalnom svijetu. Klasičan i jedan od najjednostavnijih oblika je nemogući trokut.

U nemogućem trokutu svaki kut je sam po sebi moguć, ali paradoks nastaje kada ga promatramo kao cjelinu. Stranice trokuta usmjerene su i prema promatraču i od njega, tako da njegovi pojedini dijelovi ne mogu tvoriti pravi trodimenzionalni objekt.

Zapravo, naš mozak tumači crtež u ravnini kao trodimenzionalni model. Svijest postavlja "dubinu" na kojoj se nalazi svaka točka slike. Naše ideje o stvarnom svijetu su u sukobu, s određenom nedosljednošću, i moramo donijeti neke pretpostavke:

• ravne 2D linije tumače se kao ravne 3D linije;
• 2D paralelne linije tumače se kao 3D paralelne linije;
• oštri i tupi kutovi tumače se kao pravi kutovi u perspektivi;
• vanjske linije se tretiraju kao granica forme. Ova vanjska granica iznimno je važna za izgradnju cjelovite slike.

Ljudski um najprije stvara opću sliku predmeta, a zatim ispituje pojedine dijelove. Svaki kut je kompatibilan s prostornom perspektivom, ali kada se ponovno spoje, tvore prostorni paradoks. Ako zatvorite bilo koji od kutova trokuta, tada nemogućnost nestaje.

Povijest nemogućih figura

S pogreškama u gradnji prostora umjetnici su se susretali prije tisuću godina. No, prvim koji je gradio i analizirao nemoguće objekte smatra se švedski umjetnik Oscar Reutersvärd, koji je 1934. godine naslikao prvi nemogući trokut, koji se sastojao od devet kockica.

		"Moskva", grafika (mastiljava olovka), 50x70 cm, 2003

Neovisno o Reutersvaerdu, engleski matematičar i fizičar Roger Penrose ponovno otkriva nemogući trokut i objavljuje njegovu sliku u British Psychology Journalu 1958. Iluzija koristi "lažnu perspektivu". Ponekad se takva perspektiva naziva kineskom, budući da se sličan način crtanja, kada je dubina crteža "dvosmislena", često nalazi u djelima kineskih umjetnika.

Na crtežu "Tri puža" mala i velika kocka nisu orijentirane u normalnom izometrijskom pogledu. Manja kocka se spaja s većom na prednjoj i stražnjoj strani, što znači, slijedeći trodimenzionalnu logiku, da ima iste dimenzije nekih stranica kao i velika. Isprva se crtež čini kao stvarni prikaz čvrstog tijela, ali kako analiza napreduje, otkrivaju se logičke kontradikcije ovog objekta.

Crtež "Tri puža" nastavlja tradiciju druge poznate nemoguće figure - nemoguće kocke (kutije).

"IQ", grafika (mastiljava olovka), 50x70 cm, 2001		"Gore i dolje", M. Escher

Kombinacija različitih objekata može se pronaći iu ne tako ozbiljnoj brojci "IQ" (kvocijent inteligencije). Zanimljivo je da neki ljudi ne percipiraju nemoguće objekte zbog činjenice da njihova svijest nije u stanju poistovjetiti plošne slike s trodimenzionalnim objektima.

Donald E. Simanek smatra da je razumijevanje vizualnih paradoksa jedno od obilježja vrste kreativnosti koju posjeduju najbolji matematičari, znanstvenici i umjetnici. Mnogi radovi s paradoksalnim objektima mogu se pripisati "intelektualnim matematičkim igrama". Moderna znanost govori o 7-dimenzionalnom ili 26-dimenzionalnom modelu svijeta. Takav svijet moguće je modelirati samo uz pomoć matematičkih formula, čovjek to jednostavno nije u stanju zamisliti. Tu dobro dolaze nemoguće brojke. S filozofskog gledišta, oni služe kao podsjetnik da sve fenomene (u analizi sustava, znanosti, politici, ekonomiji itd.) treba promatrati u svim složenim i neočitim odnosima.

Različiti nemogući (i mogući) objekti prikazani su na slici "Nemoguća abeceda".

Treća popularna nemoguća figura je nevjerojatno stubište koje je stvorio Penrose. Neprekidno ćete se ili uspinjati (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) ili spuštati (u smjeru kazaljke na satu) duž njega. Penroseov model činio je temelj poznate slike M. Eschera "Gore i dolje" ("Uspinjanje i silaženje").

Postoji još jedna skupina objekata koji se ne mogu implementirati. Klasična figura je nemogući trozubac ili "đavolja vilica".

Nakon pažljivog proučavanja slike, možete vidjeti da se tri zuba postupno pretvaraju u dva na jednoj osnovi, što dovodi do sukoba. Uspoređujemo broj zuba odozgo i odozdo i dolazimo do zaključka da je predmet nemoguć.

Ima li veće koristi od nemogućih crteža od umnih igara? U nekim bolnicama posebno su obješene slike nemogućih predmeta, budući da njihovo ispitivanje može dugo okupirati pacijente. Bilo bi logično takve crteže objesiti na blagajni, u policiji i na drugim mjestima gdje čekanje na red ponekad traje vječno. Crteži bi mogli djelovati kao svojevrsni "kronofagi", tj. rasipnici vremena.

Također poznat po imenima nemogući trokut i tribar.

Priča

Ova brojka je stekla veliku popularnost nakon objave članka o nemogućim figurama u British Journal of Psychology engleskog matematičara Rogera Penrosea 1958. godine. U ovom je članku nemogući trokut prikazan u najopćenitijem obliku - u obliku tri grede međusobno povezane pod pravim kutom. Pod utjecajem ovog članka, nizozemski umjetnik Maurits Escher stvorio je jednu od svojih poznatih litografija Vodopad.

skulpture

13-metarska skulptura nemogućeg trokuta od aluminija podignuta je 1999. godine u gradu Perthu (Australija).

Deutsches Technikmuseum Berlin, veljača 2008. 0004.JPG

Ista skulptura pri promjeni gledišta

Ostale brojke

Iako je sasvim moguće izgraditi analoge Penroseovog trokuta na temelju pravilnih poligona, njihov vizualni učinak nije tako impresivan. Kako se broj strana povećava, objekt izgleda jednostavno savijen ili uvrnut.

vidi također

• Tri zeca (engleski) tri zeca )

Napišite recenziju na članak "Penroseov trokut"

Izvadak koji karakterizira Penroseov trokut

Rekavši sve što mu je naređeno, Balašev je rekao da car Aleksandar želi mir, ali neće započeti pregovore osim pod uvjetom da ... Ovdje je Balašev oklijevao: sjetio se onih riječi koje car Aleksandar nije napisao u pismu, ali koje je svakako naredio Saltikovu da ih ubaci u reskript i koje je Balaševu naredio da preda Napoleonu. Balašev se sjećao ovih riječi: "sve dok na ruskom tlu ne ostane niti jedan naoružani neprijatelj", ali neka vrsta složenog osjećaja ga je zadržala. Nije mogao izgovoriti te riječi iako je želio. Oklijevao je i rekao: pod uvjetom da se francuske trupe povuku iza Njemana.
Napoleon je primijetio Balaševljevu smetenost kad je izgovarao svoje posljednje riječi; lice mu je drhtalo, lijeva mu je potkoljenica počela odmjereno drhtati. Ne mičući se sa svog mjesta, počeo je govoriti višim i žurnijim glasom nego prije. Tijekom govora koji je uslijedio, Balashev je, više puta spuštajući oči, nehotice primijetio drhtanje lista u Napoleonovoj lijevoj nozi, koje se pojačavalo što je više podizao glas.
“Želim mir ništa manje od cara Aleksandra”, započeo je. “Zar nisam osamnaest mjeseci činio sve da ga dobijem? Osamnaest mjeseci čekam objašnjenje. Ali da bih započeo pregovore, što se od mene traži? rekao je, namrštivši se i napravivši energičnu upitnu gestu svojom malom bijelom i punašnom rukom.
- Povlačenje trupa za Neman, suvereno, - rekao je Balashev.
- Za Neman? ponovi Napoleon. - Dakle, sada se želite povući iza Njemana - samo za Njeman? ponovi Napoleon, gledajući ravno u Balaševa.
Balašev je s poštovanjem pognuo glavu.
Umjesto da su prije četiri mjeseca tražili povlačenje iz Numberanije, sada su tražili povlačenje samo preko Njemana. Napoleon se brzo okrenuo i počeo koračati po sobi.
- Kažete da se od mene traži da se povučem iza Njemana da započnem pregovore; ali prije dva mjeseca zahtijevali su od mene da se povučem preko Odre i Visle na potpuno isti način, i usprkos tome, pristajete na pregovore.
Šutke je hodao od jednog kuta sobe do drugog i ponovno se zaustavio pred Balaševom. Lice kao da mu se skamenilo u svom strogom izrazu, a lijeva mu je noga drhtala još brže nego prije. Napoleon je poznavao ovo drhtanje svog lijevog lista. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Drhtanje moje lijeve potkoljenice odličan je znak,] kasnije je rekao.