Nemoguće brojke. Nemogući likovi - geometrija i umjetnost Nemogući predmet

Nemoguće je što
to ne moze postojati...
ili se desi...

Svrha lekcije: razvoj trodimenzionalnog vida učenika; sposobnost objašnjavanja nemogućnosti postojanja određene figure s geometrijskog gledišta; razvoj interesa za predmet.

Oprema: novine temeljene na materijalima sa stranice "Impossible World" (Internet), alati za konstruiranje figura, geometrijskih figura, ilustracija nemogućih figura.

Tijekom nastave:

Uvodni govor:
Kroz povijest ljudi su se susretali s optičkim iluzijama ove ili one vrste. Dovoljno je prisjetiti se fatamorgane u pustinji, iluzija stvorenih svjetlom i sjenom, kao i relativnog kretanja. Sljedeći primjer je nadaleko poznat: Mjesec, koji se diže s horizonta, čini se mnogo većim nego što je visoko na nebu. Sve su ovo samo neki od zanimljivih pojava koje se događaju u prirodi. Kad su te pojave, koje varaju vid i um, prvi put uočene, počele su uzburkavati maštu ljudi.

Od davnina su se optičke iluzije koristile za pojačavanje dojma umjetničkih djela ili poboljšanje izgleda arhitektonskih kreacija. Stari Grci koristili su se optičkim iluzijama kako bi usavršili izgled svojih velikih hramova. U srednjem vijeku u slikarstvu se ponekad koristila pomaknuta perspektiva. Kasnije su u grafici korištene mnoge druge iluzije. Među njima, jedinstvena i relativno nova vrsta optičke iluzije poznata je kao "nemogući objekti".

Jedna od važnih vještina za ljude koji rade u tehničkom području je sposobnost percipiranja trodimenzionalnih objekata u dvodimenzionalnoj ravnini. Impossible Objects izgrađen je oko trikova s ​​perspektivom i dubinom unutar 2D prostora. Nemogući u stvarnom trodimenzionalnom prostoru, utječu na naš vid zbog pomaknute perspektive, manipulacije dubinom i ravninom, varljivih optičkih nagovještaja, nedosljednosti u planovima, igre svjetla i sjene, nejasnih veza, zbog netočnih i kontradiktornih smjerova i veza, promijenjenog koda. točke i dr. „trikovi“ kojima grafičar pribjegava.

Namjerno korištenje nemogućih objekata u dizajnu datira još iz davnih vremena, prije pojave klasične perspektive. Umjetnici su pokušavali pronaći nova rješenja. Primjer je prikaz Navještenja iz 15. stoljeća na fresci katedrale Svete Marije u nizozemskom gradu Bredi. Slika prikazuje arkanđela Gabrijela koji Mariji donosi vijest o njezinom budućem Sinu. Freska je uokvirena s dva luka koja se redom oslanjaju na tri stupa. Međutim, treba obratiti pozornost na srednji stupac. Za razliku od ostalih, ona nestaje u pozadini iza štednjaka. S praktičnog stajališta, umjetnik je tu "nemogućnost" iskoristio kao posebnu tehniku ​​kako bi izbjegao dijeljenje scene na dvije polovice.

Primjer takvog luka prikazan je na sl. jedan

„Nemoguće figure“ su podijeljene u 4 grupe. Pokušajmo sada analizirati glavne brojke iz svake skupine. Dakle, prvi:

Student 1:

Nevjerojatan trokut - tribar.

Ova je figura možda prvi nemogući objekt objavljen u tisku. Pojavila se 1958. Njegovi autori, otac i sin Lionell i Roger Penrose, genetičar odnosno matematičar, definirali su objekt kao "trodimenzionalnu pravokutnu strukturu". Dobila je i naziv "tribar".

Odredite što je geometrijski nemoguće.

(Na prvi pogled tribar se čini samo slikom jednakostraničnog trokuta. Ali strane koje se spajaju na vrhu crteža izgledaju okomite. U isto vrijeme, lijevo i desno lice na dnu također izgledaju okomito. Ako pogledate svaki detalj zasebno, čini se stvarnim, ali općenito ova brojka ne može postojati. Nije deformiran, ali ispravni elementi su pogrešno spojeni prilikom crtanja.)

Evo još nekoliko primjera nemogućih figura baziranih na tribaru. Pokušajte objasniti njihovu nemogućnost.

Trostruko deformirani tribar

Trokut od 12 kockica

Krilati tribar

trostruki domino

Student 2:

Beskrajne stepenice

Ovu figuru najčešće nazivaju „Beskrajnim stubištem“, „Vječnim stubištem“ ili „Penroseovim stubištem“ – po svom tvorcu. Naziva se još i "stalno uzlaznom i silaznom stazom".

Ova brojka je prvi put objavljena 1958. Pred nama se pojavljuje stubište koje vodi, čini se, gore ili dolje, ali u isto vrijeme, osoba koja hoda duž njega ne ustaje ili pada. Nakon što završi svoju vizualnu rutu, bit će na početku staze.

„Beskrajne stepenice“ uspješno je iskoristio umjetnik Maurits K. Escher, ovoga puta u svojoj litografiji „Uspon i silazak“, nastaloj 1960. godine.

Stubište s četiri ili sedam stepenica.

Izrada ove figure s velikim brojem koraka autora bi mogla biti inspirirana hrpom običnih željezničkih pragova. Ako se budete penjati ovim ljestvama, bit ćete suočeni s izborom: hoćete li se popeti na četiri ili sedam stepenica.

Pokušajte objasniti koja su svojstva koristili tvorci ovog stubišta.

(Tvorci ovog stubišta iskoristili su prednost paralelnih linija pri projektiranju završnih dijelova blokova koji su na istoj udaljenosti; čini se da se neki od blokova uvijaju kako bi odgovarali iluziji).

Predlaže se pogledati drugu figuru. Stepenasti zid.

Student 3:

Sljedeća grupa figura pod općim nazivom "Svemirska vilica". Ovom figurom ulazimo u samu srž i bit nemogućeg. Ovo je možda najbrojnija klasa nemogućih objekata.

Ovaj notorni nemogući objekt s tri (ili dva?) zupca postao je popularan među inženjerima i entuzijastima zagonetki 1964. godine. Prva publikacija posvećena neobičnoj figuri pojavila se u prosincu 1964. godine. Autor ga je nazvao "Zagrada koja se sastoji od tri elementa." Opažanje i rješavanje (ako je moguće) nepodudarnosti u ovoj novoj vrsti dvosmislene figure zahtijeva stvarni pomak u vizualnoj fiksaciji. S praktičnog gledišta, ovaj čudni trozubac ili mehanizam u obliku nosača apsolutno je neprimjenjiv. Neki to jednostavno nazivaju "nesretnom pogreškom". Jedan od predstavnika zrakoplovne industrije predložio je korištenje njegovih svojstava u dizajnu međudimenzionalne svemirske vilice za ugađanje.

Toranj s četiri dvostruka stupa.

Student 4:

Još jedan nemogući objekt pojavio se 1966. u Chicagu kao rezultat originalnih eksperimenata fotografa dr. Charlesa F. Cochrana. Mnogi ljubitelji nemogućih figura eksperimentirali su s Crazy Boxom. U početku ga je autor nazvao "Free Box" i izjavio da je "dizajniran za prijevoz nemogućih predmeta u velikom broju".

Crazy Box je kockasti okvir okrenut naopako. Neposredni prethodnik Lude kutije bila je Nemoguća kutija od Eschera, a njen prethodnik je pak bila Neckerova kocka.

Nije riječ o nemogućem objektu, već o figuri u kojoj se dubinski parametar može percipirati dvosmisleno.

Neckerovu kocku prvi je opisao 1832. godine švicarski kristalograf Lewis A. Necker, koji je primijetio da kristali ponekad vizualno mijenjaju oblik kada ih gledate. Kad zavirimo u Neckerovu kocku, primjećujemo da je lice s vrhom u prvom planu, zatim u pozadini, skače iz jedne pozicije u drugu.

Još nekoliko nemogućih brojki.

Učitelj, nastavnik, profesor:

Sada pokušajte sami stvoriti neku nemoguću figuru.

Sat završava tako što učenici pokušavaju sami nacrtati nemoguću figuru.



Sposobnost stvaranja i operirati prostornim slikama karakterizira razinu općeg intelektualnog razvoja osobe. NA psihološke studije su eksperimentalno potvrdile da između sklonosti osobe da relevantne struke i stupanj razvijenosti prostornih predstava ima statistički značajan odnos. Raširena uporaba nemogućih figura u arhitektura, slikarstvo, psihologija, geometrija i u mnogim drugim područjima praktičnog života pružaju priliku da saznate više o razne profesije i odluči izbor budućeg zanimanja.

Ključne riječi: tribar, beskrajne ljestve, svemirska vilica, nemoguće kutije, trokut i Penroseove stepenice, Escherova kocka, Reutersvärdov trokut.

Svrha studije: proučavanje svojstava nemogućih figura uz pomoć 3-D modela.

Ciljevi istraživanja:

1. Proučiti vrste i napraviti klasifikaciju nemogućih figura.
2. Razmotrite načine konstruiranja nemogućih figura.
3. Stvorite nemoguće figure pomoću računalnog programa i 3D modeliranja.

Koncept nemogućih figura

Ne postoji objektivan koncept "nemogućih brojki". Iz jednog izvora nemoguća figura- vrsta optičke iluzije, figura koja izgleda kao projekcija običnog trodimenzionalnog objekta, nakon čijeg detaljnijeg ispitivanja postaju vidljive proturječne veze elemenata figure. I iz drugog izvora nemoguće figure- to su geometrijski kontradiktorne slike objekata koji ne postoje u stvarnom trodimenzionalnom prostoru. Nemogućnost proizlazi iz proturječnosti između podsvjesno percipirane geometrije prikazanog prostora i formalne matematičke geometrije.

Analizirajući različite definicije, dolazimo do zaključka:

nemoguća figura je plošni crtež koji ostavlja dojam trodimenzionalnog objekta na način da objekt sugeriran našom prostornom percepcijom ne može postojati, pa pokušaj njegovog stvaranja dovodi do (geometrijskih) proturječja jasno vidljivih promatraču.

Kada gledamo sliku koja daje dojam prostornog objekta, naš sustav prostorne percepcije pokušava pronaći prostorni oblik, orijentaciju i strukturu, počevši od analize pojedinačnih fragmenata i naznaka dubine. Nadalje, ti odvojeni dijelovi se kombiniraju i koordiniraju nekim redoslijedom kako bi se stvorila opća hipoteza o prostornoj strukturi objekta kao cjeline. Obično, unatoč činjenici da ravna slika može imati beskonačan broj prostornih interpretacija, naš mehanizam interpretacije odabire samo jednu – za nas najprirodniju. Upravo se ta interpretacija slike dodatno testira na mogućnost ili nemogućnost, a ne sam crtež. Nemoguća interpretacija pokazuje se kontradiktornom u svojoj strukturi - različite parcijalne interpretacije ne uklapaju se u zajedničku konzistentnu cjelinu.

Brojke su nemoguće ako su nemoguće njihove prirodne interpretacije. Međutim, to ne znači da ne postoji druga interpretacija iste figure koja bi mogla postojati. Stoga je pronalaženje metode za točan opis prostornih interpretacija figura jedan od glavnih načina za daljnji rad s nemogućim figurama i mehanizmima njihove interpretacije. Ako možete opisati različite interpretacije, onda ih možete usporediti, povezati sliku i njezine različite interpretacije (razumjeti mehanizme stvaranja interpretacija), provjeriti njihovu podudarnost ili utvrditi vrste nedosljednosti itd.

Vrste nemogućih figura

Nemoguće figure podijeljene su u dvije velike klase: neke imaju stvarne trodimenzionalne modele, dok druge nije moguće izraditi.

Tijekom rada na temi proučavane su 4 vrste nemogućih figura: tribar, beskrajne stepenice, nemoguće kutije i svemirska vilica. Svi su oni jedinstveni na svoj način.

Tribar (Penroseov trokut)

Ovo je geometrijski nemoguća figura čiji se elementi ne mogu povezati. Ipak, nemogući trokut postao je moguć. Švedski slikar Oscar Reitesvärd 1934. prvi je svijetu predstavio nemogući trokut kocki. U čast ovog događaja u Švedskoj je izdana poštanska marka. Tribar se može napraviti od papira. Ljubitelji origamija pronašli su način kako stvoriti i držati u rukama stvar koja se do sada činila kao ultimativna fantazija jednog znanstvenika. No, varaju nas vlastite oči kada gledamo projekciju trodimenzionalnog objekta s tri okomite crte. Promatraču se čini da vidi trokut, iako to zapravo nije.

Beskrajno stubište.

Dizajn, koji nema ni kraja ni ruba, osmislili su biolog Leionel Penrose i njegov sin matematičar Roger Penrose. Model je prvi put objavljen 1958. godine, nakon čega je stekao veliku popularnost, postao je klasična nemoguća figura, a njegov osnovni koncept korišten je u slikarstvu, arhitekturi i psihologiji. Penroseov model koraka stekao je najveću popularnost u usporedbi s drugim nerealnim figurama u području računalnih igara, zagonetki i optičkih iluzija. "Uz stepenice koje vode prema dolje" - ovako možete okarakterizirati Penroseove stepenice. Ideja ovog dizajna je da kada se kreću u smjeru kazaljke na satu, stepenice vode cijelo vrijeme gore, au suprotnom smjeru - dolje. U isto vrijeme, "vječno stubište" sastoji se od samo četiri raspona. To znači da se nakon samo četiri stepenice putnik nađe na istom mjestu gdje je i započeo kretanje.

Nemoguće kutije.

Još jedan nemogući objekt pojavio se 1966. u Chicagu kao rezultat originalnih eksperimenata fotografa dr. Charlesa F. Cochrana. Mnogi ljubitelji nemogućih figura eksperimentirali su s Crazy Boxom. Autor ga je izvorno nazvao "slobodnom kutijom" i izjavio da je "dizajniran za nošenje nemogućih predmeta u velikom broju". Crazy Box je kockasti okvir okrenut naopako. Neposredni prethodnik Lude kutije bila je Nemoguća kutija Eschera, a prethodnik je bila Neckerova kocka. Nije riječ o nemogućem objektu, već o figuri u kojoj se dubinski parametar može percipirati dvosmisleno. Kad zavirimo u Neckerovu kocku, primjećujemo da je lice s vrhom u prvom planu, zatim u pozadini, skače iz jedne pozicije u drugu.

Svemirska vilica.

Među svim nemogućim figurama posebno mjesto zauzima nemogući trozubac ("kozmička vilica"). Ako rukom zatvorite desnu stranu trozuba, tada ćemo vidjeti vrlo stvarnu sliku - tri okrugla zuba. Ako zatvorimo donji dio trozuba, tada ćemo također vidjeti pravu sliku - dva pravokutna zuba. Ali, ako uzmemo u obzir cijelu figuru kao cjelinu, ispada da se tri okrugla zuba postupno pretvaraju u dva pravokutna.

Dakle, možete vidjeti da su prednji plan i pozadina ovog crteža u sukobu. Odnosno, ono što je izvorno bilo u prvom planu vraća se natrag, a pozadina (srednji zub) puzi naprijed. Osim promjene prednjeg i pozadinskog plana, ovaj crtež ima još jedan učinak - ravni rubovi desne strane trozuba postaju zaobljeni na lijevoj. Učinak nemogućnosti postiže se činjenicom da naš mozak analizira konturu figure i pokušava prebrojati broj zuba. Mozak uspoređuje broj zubaca figure u lijevom i desnom dijelu slike, što izaziva osjećaj nemogućnosti figure. Kada bi figura imala značajno veći broj zuba (npr. 7 ili 8), tada bi ovaj paradoks bio manje izražen.

Izrada modela nemogućih figura prema crtežima

Trodimenzionalni model je fizički predočljiv objekt, gledajući ga u prostoru postaju vidljive sve pukotine i zavoji koji uništavaju iluziju nemogućnosti, a ovaj model gubi svoju “čaroliju”. Kada se ovaj model projicira na dvodimenzionalnu ravninu, dobiva se nemoguća figura. Ova nemoguća figura (za razliku od trodimenzionalnog modela) daje dojam nemogućeg objekta koji može postojati samo u ljudskoj mašti, ali ne iu prostoru.

Tribar

model od papira:

Nemogući bar

model od papira:

Konstrukcija nemogućih figura uprogramNemogućekonstruktor

Program Impossible Constructor dizajniran je za izradu slika nemogućih figura od kocki. Glavni nedostaci ovog programa bili su poteškoće u odabiru prave kocke (prilično je teško pronaći jednu od 32 kocke koje su dostupne u programu), kao i činjenica da nisu bile dostupne sve opcije za kocke. Predloženi program nudi potpuni skup kocki (64 kocke) za odabir, a također nudi praktičniji način pronalaženja potrebne kocke pomoću konstruktora kocke.

Modeliranje nemogućih figura.

Ispis 3Dmodeli nemogućih figurana pisaču

Tijekom rada na 3D printeru isprintani su modeli četiri nemoguće figure.

Penroseov trokut

Proces stvaranja tribara:

Evo što sam završio:

Escherova kocka

Proces izrade kocke: Na kraju se dobije model:

Penroseove stepenice(za samo četiri stepenice putnik se nađe na istom mjestu odakle je krenuo):

Reutersvärdov trokut(prvi nemogući trokut, koji se sastoji od devet kockica):

Proces pripreme za tisak omogućio je u praksi naučiti kako graditi stereometrijske figure na ravnini, izvoditi projekcije elemenata figure na zadanu ravninu i razmišljati o algoritmima za konstrukciju likova. Stvoreni modeli pomogli su vizualno vidjeti i analizirati svojstva nemogućih figura, usporediti ih s poznatim stereometrijskim figurama.

“Ako ne možete promijeniti situaciju, pogledajte je iz drugog kuta.”

Ovaj je citat izravno povezan s ovim djelom. Doista, nemoguće brojke postoje ako ih promatrate iz određenog kuta. Svijet nemogućih figura iznimno je zanimljiv i raznolik. Postoje od davnina do našeg vremena. Ima ih gotovo posvuda: u umjetnosti, arhitekturi, popularnoj kulturi, slikarstvu, ikonopisu, filatelistici. Nemoguće brojke su od velikog interesa za psihologe, kognitivne znanstvenike i evolucijske biologe, pomažući da saznamo više o našem vidu i prostornom razmišljanju. Danas računalne tehnologije, virtualna stvarnost i projekcije proširuju mogućnosti, tako da se kontradiktorni objekti mogu promatrati s novim interesom. Postoje mnoga zanimanja koja su na neki način povezana s nemogućim brojkama. Svi su oni traženi u suvremenom svijetu, pa je proučavanje nemogućih figura relevantno i potrebno.

Književnost:

1. Reutersvärd O. Nemoguće brojke. - M.: Stroyizdat, 1990, 206 str.
2. Penrose L., Penrose R. Nemogući objekti, Kvant, br. 5,1971., str.26
3. Tkacheva M. V. Rotirajuće kocke. - M.: Bustard, 2002. - 168 str.
4. http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
5. http://www.impworld.narod.ru/.
6. Levitin Karl Geometrijska rapsodija. - M.: Znanje, 1984, -176 str.
7. http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
8. http://im-possible.info/english/programs/
9. https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
10. https://newtonew.com/science/impossible-objects
11. http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
12. http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
13. http://geometry-and-art.ru/unn.html

Ključne riječi: tribar, beskonačno stubište, svemirska vilica, nemoguće kutije, Penroseov trokut i stepenice, Escherova kocka, Reutersvärdov trokut.

Napomena: Sposobnost stvaranja i rada s prostornim slikama karakterizira razinu općeg intelektualnog razvoja osobe. U psihološkim studijama eksperimentalno je potvrđeno da postoji statistički značajna povezanost između sklonosti osobe odgovarajućim profesijama i stupnja razvoja prostornih predodžbi. Raširena uporaba nemogućih figura u arhitekturi, slikarstvu, psihologiji, geometriji i mnogim drugim područjima praktičnog života omogućuje da se više upoznaju različita zanimanja i odluči o izboru budućeg zanimanja.

Postoji velika klasa slika za koje se može reći: "Što vidimo? Nešto čudno." To su crteži iskrivljene perspektive, i objekti nemogući u našem trodimenzionalnom svijetu, i nezamislive kombinacije sasvim stvarnih predmeta. Pojavljujući se početkom 11. stoljeća, takvi "čudni" crteži i fotografije danas su postali cijela grana umjetnosti koja se naziva imp art.

Malo povijesti

Slike s iskrivljenom perspektivom nalaze se već početkom prvog tisućljeća. Minijatura iz knjige Henrika II., nastala prije 1025. godine i pohranjena u Bavarskoj državnoj knjižnici u Münchenu, prikazuje Gospu s Djetetom. Na slici je prikazan svod koji se sastoji od tri stupa, a srednji stup bi se, prema zakonima perspektive, trebao nalaziti ispred Gospe, ali iza nje, što slici daje nadrealni učinak. Mi, nažalost, nikada nećemo saznati je li ova tehnika umjetnikov svjestan čin ili njegova pogreška.

Slike nemogućih figura, ne kao svjesni smjer u slikarstvu, već kao tehnike koje pojačavaju učinak percepcije slike, nalaze se u nizu slikara srednjeg vijeka. Na slici Pietera Breughela (Pieter Breughel) "Svraka na vješalima", nastaloj 1568., vidljiva su vješala nemogućeg dizajna, što daje učinak cijeloj slici u cjelini. Poznata gravura engleskog umjetnika XVIII stoljeća Williama Hogartha (William Hogarth) "Lažna perspektiva" pokazuje do kakvog apsurda može dovesti umjetnikovo neznanje o zakonima perspektive.

Početkom 20. stoljeća umjetnik Marcel Duchamp naslikao je promotivnu sliku za "Apolinere emajlirani" (1916.-1917.) u Muzeju umjetnosti u Philadelphiji. U dizajnu kreveta na platnu možete vidjeti nemoguće trokute i četverokute.

Utemeljitelj pravca nemoguće umjetnosti - imp-art (imp-art, nemoguće umjetnost) s pravom se naziva švedski umjetnik Oscar Rutesvarda (Oscar Reutersvard). Prvu nemoguću figuru "Opus 1" (N 293aa) majstor je nacrtao 1934. godine. Trokut je sastavljen od devet kocki. Umjetnik je nastavio eksperimentirati s neobičnim predmetima i 1940. stvorio figuru "Opus 2B", koja je smanjeni nemogući trokut, koji se sastoji od samo tri kocke. Sve su kocke stvarne, ali je njihov raspored u trodimenzionalnom prostoru nemoguć.

Isti je umjetnik izradio i prototip "nemogućeg stubišta" (1950.). Najpoznatiju klasičnu figuru, Nemogući trokut, stvorio je engleski matematičar Roger Penrose 1954. godine. Koristio je linearnu perspektivu, a ne paralelnu kao Rutesward, što je slici dalo dubinu i ekspresivnost, a time i veći stupanj nemogućnosti.

Najpoznatiji imp art umjetnik bio je M. C. Escher. Među njegovim najpoznatijim djelima su slike "Vodopad" ("Waterfall") (1961.) i "Uspon i silazak" ("Ascending and Descending"). Umjetnik je koristio efekt "beskonačnog stubišta", koji je otkrio Rutesward, a dodatno dopunio Penrose. Na platnu su prikazana dva reda čovječuljaka: kada se kreću u smjeru kazaljke na satu, čovječuljci se stalno dižu, a kada se kreću suprotno od kazaljke na satu, spuštaju se.

Malo geometrije

Postoji mnogo načina za stvaranje optičkih iluzija (od latinske riječi "iliusio" - pogreška, obmana - neadekvatna percepcija objekta i njegovih svojstava). Jedan od najspektakularnijih je smjer imp-arta, koji se temelji na slikama nemogućih figura. Nemogući objekti su crteži na ravnini (dvodimenzionalne slike), izvedeni na takav način da gledatelj ima dojam da takva struktura ne može postojati u našem stvarnom trodimenzionalnom svijetu. Klasična, kao što je već spomenuto, i jedna od najjednostavnijih takvih figura je nemogući trokut. Svaki dio figure (kutovi trokuta) postoji zasebno u našem svijetu, ali njihova kombinacija u trodimenzionalnom prostoru je nemoguća. Percepcija cijele figure kao sklopa netočnih veza između njezinih stvarnih dijelova dovodi do varljivog učinka nemoguće strukture. Pogled klizi po rubovima nemoguće figure i ne može je sagledati kao logičnu cjelinu. U stvarnosti, pogled pokušava rekonstruirati stvarnu trodimenzionalnu strukturu (vidi sliku), ali nailazi na neslaganje.

S geometrijskog gledišta, nemogućnost trokuta leži u činjenici da tri grede povezane u paru jedna s drugom, ali duž tri različite osi Kartezijevog koordinatnog sustava, tvore zatvorenu figuru!

Proces percepcije nemogućih objekata dijeli se na dvije faze: prepoznavanje figure kao trodimenzionalnog objekta i svijest o "nepravilnosti" predmeta i nemogućnosti njegovog postojanja u trodimenzionalnom svijetu.

Postojanje nemogućih figura

Mnogi ljudi vjeruju da su nemoguće figure stvarno nemoguće i da se ne mogu stvoriti u stvarnom svijetu. Ali moramo zapamtiti da je svaki crtež na listu papira projekcija trodimenzionalne figure. Stoga svaka figura nacrtana na komadu papira mora postojati u trodimenzionalnom prostoru. Nemogući objekti na slikama su projekcije trodimenzionalnih objekata, što znači da se objekti mogu realizirati u obliku skulpturalnih kompozicija (trodimenzionalnih objekata). Postoji mnogo načina za njihovo stvaranje. Jedna od njih je korištenje zakrivljenih linija kao stranica nemogućeg trokuta. Stvorena skulptura samo iz jedne točke izgleda nemoguće. S ove točke, zakrivljene strane izgledaju ravno, a cilj će biti postignut - stvoren je pravi "nemogući" objekt.

O dobrobitima imp art

Oskar Rutesward u knjizi "Omojliga figurer" (postoji ruski prijevod) govori o korištenju imp-art crteža za psihoterapiju. Piše da slike svojim paradoksima izazivaju iznenađenje, izoštravaju pozornost i želju za dešifriranjem. U Švedskoj se koriste u stomatološkoj praksi: gledajući slike u čekaonici, pacijenti se odvraćaju od neugodnih misli ispred zubarske ordinacije. Prisjećajući se koliko se čeka na termin u raznim ruskim birokratskim i drugim institucijama, može se pretpostaviti da nemoguće slike na zidovima soba za primanje mogu uljepšati vrijeme čekanja, umiriti posjetitelje i time smanjiti društvenu agresiju. Druga opcija bila bi da se na recepciji ugrade automati za igre na sreću ili, primjerice, lutke odgovarajuće fizionomije kao mete za pikado, ali, nažalost, ovakva inovacija u Rusiji nikada nije bila poticana.

Koristeći se fenomenom percepcije

Postoji li neki način da se poveća učinak nemogućnosti? Jesu li neki predmeti "nemogući" od drugih? I ovdje značajke ljudske percepcije dolaze u pomoć. Psiholozi su ustanovili da oko počinje promatrati predmet (sliku) od donjeg lijevog kuta, zatim pogled klizi udesno u središte i spušta se u donji desni kut slike. Takva putanja može biti posljedica činjenice da su naši preci pri susretu s neprijateljem najprije gledali u najopasniju desnu ruku, a zatim su pogled prelazili ulijevo, na lice i lik. Dakle, umjetnička percepcija će značajno ovisiti o tome kako je izgrađena kompozicija slike. Ta se značajka u srednjem vijeku jasno očitovala u izradi tapiserija: njihov je dizajn bio zrcalna slika izvornika, a dojam koji ostavljaju tapiserije i originali se razlikuje.

Ovo se svojstvo može uspješno koristiti pri stvaranju kreacija s nemogućim objektima, povećavajući ili smanjujući "stupanj nemogućnosti". Također otvara mogućnost dobivanja zanimljivih kompozicija korištenjem računalne tehnologije, bilo od nekoliko slika koje se okreću (možda koristeći različite vrste simetrije) jedna u odnosu na drugu, stvarajući drugačiji dojam o objektu i dublje razumijevanje suštine ideje. , ili iz onog koji se okreće (stalno ili trzajno) pomoću jednostavnog mehanizma pod određenim kutovima.

Takav pravac možemo nazvati poligonalnim (poligonalnim). Ilustracije prikazuju slike rotirane jednu u odnosu na drugu. Kompozicija je nastala na sljedeći način: crtež na papiru, rađen tušem i olovkom, skeniran je, digitaliziran i obrađen u grafičkom editoru. Možemo primijetiti pravilnost - rotirana slika ima veći "stupanj nemogućnosti" od originalne. To je lako objasniti: u procesu rada umjetnik podsvjesno nastoji stvoriti "ispravnu" sliku.

Kombinacije, kombinacije

Postoji skupina nemogućih objekata čija je skulpturalna realizacija nemoguća. Možda je najpoznatiji od njih "nemogući trozubac", odnosno "đavolja vilica" (P3-1). Ako pažljivo pogledate predmet, primijetit ćete da se tri zuba postupno pretvaraju u dva na zajedničkoj osnovi, što dovodi do sukoba percepcije. Uspoređujemo broj zuba iznad i dolje i dolazimo do zaključka da je predmet nemoguć. Na temelju "vilice" stvoreno je mnoštvo nemogućih objekata, uključujući i one gdje dio koji je cilindričan na jednom kraju postaje četvrtast na drugom.

Osim ove iluzije, postoje mnoge druge vrste optičkih iluzija (iluzije veličine, kretanja, boje itd.). Iluzija percepcije dubine jedna je od najstarijih i najpoznatijih optičkih iluzija. U tu skupinu spada Neckerova kocka (1832.), a 1895. Armand Thiery objavio je članak o posebnoj vrsti nemogućih figura. U ovom članku po prvi put je nacrtan objekt koji je kasnije dobio ime Thierry i nebrojeno puta korišten od strane op art umjetnika. Predmet se sastoji od pet identičnih rombova sa stranicama od 60 i 120 stupnjeva. Na slici možete vidjeti dvije kocke povezane jednom plohom. Ako gledate odozdo prema gore, jasno se vidi donja kocka sa dva zida na vrhu, a ako gledate odozgo prema dolje, gornja kocka sa zidovima na dnu.

Najjednostavnija figura poput Thierryja je, očito, iluzija "otvora piramide", koja je pravilan romb s linijom u sredini. Nemoguće je točno reći što vidimo - piramidu koja se uzdiže iznad površine ili otvor (udubljenje) na njoj. Ovaj efekt se koristi u grafici "Labirint (plan piramide)" iz 2003. Slika je dobila diplomu na međunarodnoj matematičkoj konferenciji i izložbi u Budimpešti 2003. "Ars(Dis)Symmetrica" ​​​​03. Rad koristi kombinaciju iluzije dubinske percepcije i nemogućih figura.

Zaključno, možemo reći da se smjer imp-arta kao sastavnog dijela optičke umjetnosti aktivno razvija, au bliskoj budućnosti nedvojbeno ćemo očekivati ​​nova otkrića u ovom području.

Kandidat tehničkih znanosti D. RAKOV (Institut za strojarstvo nazvan po A. A. Blagonravov RAS).

KNJIŽEVNOST

Rutesward O. Nemoguće brojke.- M.: Strojizdat, 1990.

Pod tim imenom časopis već gotovo četrdeset godina objavljuje crteže kojekakvih nemogućih figura i predmeta. Vidi "Znanost i život" br. 5, 8, 1969; broj 2, 1970.; broj 1, 1979.; broj 10, 1986.; broj 11 1989.; broj 8, 1994

Kandidat tehničkih znanosti D. RAKOV (Institut za strojarstvo nazvan po A. A. Blagonravov RAS).

Postoji velika klasa slika za koje se može reći: "Što vidimo? Nešto čudno." To su crteži iskrivljene perspektive, i objekti nemogući u našem trodimenzionalnom svijetu, i nezamislive kombinacije sasvim stvarnih predmeta. Pojavljujući se početkom 11. stoljeća, takvi "čudni" crteži i fotografije danas su postali cijela grana umjetnosti koja se naziva imp art.

William Hogard. "Nemoguća perspektiva", gdje je namjerno učinjeno najmanje četrnaest pogrešaka u perspektivi.

Madona s djetetom. 1025 godina.

Pieter Brueghel. „Svraka na vješalima“. 1568.

Oscar Rutesward. "Opus 1" (br. 293aa). 1934. godine

Oscar Rutesward. "Opus 2B". 1940. godine

Maurits Cornelius Escher. "Uspon i silazak".

Roger Penrose. "Nemogući trokut" 1954. godine

Konstrukcija "nemogućeg trokuta".

Skulptura "Nemogući trokut", pogled s različitih strana. Izgrađen je od krivocrtnih elemenata i izgleda nemoguće iz samo jedne točke.

bolestan 1. Morfološka tablica klasifikacije nemogućih objekata.

Osoba počinje gledati sliku od donjeg lijevog kuta (1), zatim prvo gleda u sredinu (2), a zatim u točku 3.

Ovisno o smjeru gledanja, vidimo različite predmete.

Nemoguća abeceda kombinacija je mogućih i nemogućih figura, među kojima postoji čak i element okvira. Autorov crtež.

Znanost i život // Ilustracije

"Moskva" (dijagram linija podzemne željeznice) i "Dvije linije sudbine". Crteži autora; računalna obrada. 2003. godine Slike pokazuju nove mogućnosti za izradu dijagrama i grafikona.

Znanost i život // Ilustracije

Kocka u kocki ("Tri puža"). Zakrenuta slika ima veći stupanj "nemogućnosti" od originala.

"Prokleta vilica" Na temelju ove figure stvorene su mnoge nemoguće slike.

Što vidimo - piramidu ili otvor?

Malo povijesti

Slike s iskrivljenom perspektivom nalaze se već početkom prvog tisućljeća. Minijatura iz knjige Henrika II., nastala prije 1025. godine i pohranjena u Bavarskoj državnoj knjižnici u Münchenu, prikazuje Gospu s Djetetom. Na slici je prikazan svod koji se sastoji od tri stupa, a srednji stup bi se, prema zakonima perspektive, trebao nalaziti ispred Gospe, ali iza nje, što slici daje nadrealni učinak. Mi, nažalost, nikada nećemo saznati je li ova tehnika umjetnikov svjestan čin ili njegova pogreška.

Slike nemogućih figura, ne kao svjesni smjer u slikarstvu, već kao tehnike koje pojačavaju učinak percepcije slike, nalaze se u nizu slikara srednjeg vijeka. Na slici Pietera Breughela (Pieter Breughel) "Svraka na vješalima", nastaloj 1568., vidljiva su vješala nemogućeg dizajna, što daje učinak cijeloj slici u cjelini. Poznata gravura engleskog umjetnika XVIII stoljeća Williama Hogartha (William Hogarth) "Lažna perspektiva" pokazuje do kakvog apsurda može dovesti umjetnikovo neznanje o zakonima perspektive.

Početkom 20. stoljeća umjetnik Marcel Duchamp naslikao je promotivnu sliku za "Apolinere emajlirani" (1916.-1917.) u Muzeju umjetnosti u Philadelphiji. U dizajnu kreveta na platnu možete vidjeti nemoguće trokute i četverokute.

Utemeljitelj pravca nemoguće umjetnosti - imp-art (imp-art, nemoguće umjetnost) s pravom se naziva švedski umjetnik Oscar Rutesvarda (Oscar Reutersvard). Prvu nemoguću figuru "Opus 1" (N 293aa) majstor je nacrtao 1934. godine. Trokut je sastavljen od devet kocki. Umjetnik je nastavio eksperimentirati s neobičnim predmetima i 1940. stvorio figuru "Opus 2B", koja je smanjeni nemogući trokut, koji se sastoji od samo tri kocke. Sve su kocke stvarne, ali je njihov raspored u trodimenzionalnom prostoru nemoguć.

Isti je umjetnik izradio i prototip "nemogućeg stubišta" (1950.). Najpoznatiju klasičnu figuru, Nemogući trokut, stvorio je engleski matematičar Roger Penrose 1954. godine. Koristio je linearnu perspektivu, a ne paralelnu kao Rutesward, što je slici dalo dubinu i ekspresivnost, a time i veći stupanj nemogućnosti.

Najpoznatiji imp art umjetnik bio je M. C. Escher. Među njegovim najpoznatijim djelima su slike "Vodopad" ("Waterfall") (1961.) i "Uspon i silazak" ("Ascending and Descending"). Umjetnik je koristio efekt "beskonačnog stubišta", koji je otkrio Rutesward, a dodatno dopunio Penrose. Na platnu su prikazana dva reda čovječuljaka: kada se kreću u smjeru kazaljke na satu, čovječuljci se stalno dižu, a kada se kreću suprotno od kazaljke na satu, spuštaju se.

Malo geometrije

Postoji mnogo načina za stvaranje optičkih iluzija (od latinske riječi "iliusio" - pogreška, obmana - neadekvatna percepcija objekta i njegovih svojstava). Jedan od najspektakularnijih je smjer imp-arta, koji se temelji na slikama nemogućih figura. Nemogući objekti su crteži na ravnini (dvodimenzionalne slike), izvedeni na takav način da gledatelj ima dojam da takva struktura ne može postojati u našem stvarnom trodimenzionalnom svijetu. Klasična, kao što je već spomenuto, i jedna od najjednostavnijih takvih figura je nemogući trokut. Svaki dio figure (kutovi trokuta) postoji zasebno u našem svijetu, ali njihova kombinacija u trodimenzionalnom prostoru je nemoguća. Percepcija cijele figure kao sklopa netočnih veza između njezinih stvarnih dijelova dovodi do varljivog učinka nemoguće strukture. Pogled klizi po rubovima nemoguće figure i ne može je sagledati kao logičnu cjelinu. U stvarnosti, pogled pokušava rekonstruirati stvarnu trodimenzionalnu strukturu (vidi sliku), ali nailazi na neslaganje.

S geometrijskog gledišta, nemogućnost trokuta leži u činjenici da tri grede povezane u paru jedna s drugom, ali duž tri različite osi Kartezijevog koordinatnog sustava, tvore zatvorenu figuru!

Proces percepcije nemogućih objekata dijeli se na dvije faze: prepoznavanje figure kao trodimenzionalnog objekta i svijest o "nepravilnosti" predmeta i nemogućnosti njegovog postojanja u trodimenzionalnom svijetu.

Postojanje nemogućih figura

Mnogi ljudi vjeruju da su nemoguće figure stvarno nemoguće i da se ne mogu stvoriti u stvarnom svijetu. Ali moramo zapamtiti da je svaki crtež na listu papira projekcija trodimenzionalne figure. Stoga svaka figura nacrtana na komadu papira mora postojati u trodimenzionalnom prostoru. Nemogući objekti na slikama su projekcije trodimenzionalnih objekata, što znači da se objekti mogu realizirati u obliku skulpturalnih kompozicija (trodimenzionalnih objekata). Postoji mnogo načina za njihovo stvaranje. Jedna od njih je korištenje zakrivljenih linija kao stranica nemogućeg trokuta. Stvorena skulptura samo iz jedne točke izgleda nemoguće. S ove točke, zakrivljene strane izgledaju ravno, a cilj će biti postignut - stvoren je pravi "nemogući" objekt.

O dobrobitima imp art

Oskar Rutesward u knjizi "Omojliga figurer" (postoji ruski prijevod) govori o korištenju imp-art crteža za psihoterapiju. Piše da slike svojim paradoksima izazivaju iznenađenje, izoštravaju pozornost i želju za dešifriranjem. U Švedskoj se koriste u stomatološkoj praksi: gledajući slike u čekaonici, pacijenti se odvraćaju od neugodnih misli ispred zubarske ordinacije. Prisjećajući se koliko se čeka na termin u raznim ruskim birokratskim i drugim institucijama, može se pretpostaviti da nemoguće slike na zidovima soba za primanje mogu uljepšati vrijeme čekanja, umiriti posjetitelje i time smanjiti društvenu agresiju. Druga opcija bila bi da se na recepciji ugrade automati za igre na sreću ili, primjerice, lutke odgovarajuće fizionomije kao mete za pikado, ali, nažalost, ovakva inovacija u Rusiji nikada nije bila poticana.

Koristeći se fenomenom percepcije

Postoji li neki način da se poveća učinak nemogućnosti? Jesu li neki predmeti "nemogući" od drugih? I ovdje značajke ljudske percepcije dolaze u pomoć. Psiholozi su ustanovili da oko počinje promatrati predmet (sliku) od donjeg lijevog kuta, zatim pogled klizi udesno u središte i spušta se u donji desni kut slike. Takva putanja može biti posljedica činjenice da su naši preci pri susretu s neprijateljem najprije gledali u najopasniju desnu ruku, a zatim su pogled prelazili ulijevo, na lice i lik. Dakle, umjetnička percepcija će značajno ovisiti o tome kako je izgrađena kompozicija slike. Ta se značajka u srednjem vijeku jasno očitovala u izradi tapiserija: njihov je dizajn bio zrcalna slika izvornika, a dojam koji ostavljaju tapiserije i originali se razlikuje.

Ovo se svojstvo može uspješno koristiti pri stvaranju kreacija s nemogućim objektima, povećavajući ili smanjujući "stupanj nemogućnosti". Također otvara mogućnost dobivanja zanimljivih kompozicija korištenjem računalne tehnologije, bilo od nekoliko slika koje se okreću (možda koristeći različite vrste simetrije) jedna u odnosu na drugu, stvarajući drugačiji dojam o objektu i dublje razumijevanje suštine ideje. , ili iz onog koji se okreće (stalno ili trzajno) pomoću jednostavnog mehanizma pod određenim kutovima.

Takav pravac možemo nazvati poligonalnim (poligonalnim). Ilustracije prikazuju slike rotirane jednu u odnosu na drugu. Kompozicija je nastala na sljedeći način: crtež na papiru, rađen tušem i olovkom, skeniran je, digitaliziran i obrađen u grafičkom editoru. Možemo primijetiti pravilnost - rotirana slika ima veći "stupanj nemogućnosti" od originalne. To je lako objasniti: u procesu rada umjetnik podsvjesno nastoji stvoriti "ispravnu" sliku.

Kombinacije, kombinacije

Postoji skupina nemogućih objekata čija je skulpturalna realizacija nemoguća. Možda je najpoznatiji od njih "nemogući trozubac", odnosno "đavolja vilica" (P3-1). Ako pažljivo pogledate predmet, primijetit ćete da se tri zuba postupno pretvaraju u dva na zajedničkoj osnovi, što dovodi do sukoba percepcije. Uspoređujemo broj zuba iznad i dolje i dolazimo do zaključka da je predmet nemoguć. Na temelju "vilice" stvoreno je mnoštvo nemogućih objekata, uključujući i one gdje dio koji je cilindričan na jednom kraju postaje četvrtast na drugom.

Osim ove iluzije, postoje mnoge druge vrste optičkih iluzija (iluzije veličine, kretanja, boje itd.). Iluzija percepcije dubine jedna je od najstarijih i najpoznatijih optičkih iluzija. U tu skupinu spada Neckerova kocka (1832.), a 1895. Armand Thiery objavio je članak o posebnoj vrsti nemogućih figura. U ovom članku po prvi put je nacrtan objekt koji je kasnije dobio ime Thierry i nebrojeno puta korišten od strane op art umjetnika. Predmet se sastoji od pet identičnih rombova sa stranicama od 60 i 120 stupnjeva. Na slici možete vidjeti dvije kocke povezane jednom plohom. Ako gledate odozdo prema gore, jasno se vidi donja kocka sa dva zida na vrhu, a ako gledate odozgo prema dolje, gornja kocka sa zidovima na dnu.

Najjednostavnija figura poput Thierryja je, očito, iluzija "otvora piramide", koja je pravilan romb s linijom u sredini. Nemoguće je točno reći što vidimo - piramidu koja se uzdiže iznad površine ili otvor (udubljenje) na njoj. Ovaj efekt se koristi u grafici "Labirint (plan piramide)" iz 2003. Slika je dobila diplomu na međunarodnoj matematičkoj konferenciji i izložbi u Budimpešti 2003. "Ars(Dis)Symmetrica" ​​​​03. Rad koristi kombinaciju iluzije dubinske percepcije i nemogućih figura.

Zaključno, možemo reći da se smjer imp-arta kao sastavnog dijela optičke umjetnosti aktivno razvija, au bliskoj budućnosti nedvojbeno ćemo očekivati ​​nova otkrića u ovom području.

KNJIŽEVNOST

Rutesward O. Nemoguće figure. - M.: Strojizdat, 1990.

Natpisi za ilustracije

bolestan 1. Tablica koju je izradio autor članka ne tvrdi da je potpuna i stroga, ali omogućuje procjenu cijele raznolikosti nemogućih brojki. U tablici se nalazi više od 300 tisuća kombinacija različitih elemenata. Kao ilustracije koriste se grafike autora članka i materijali sa stranice Vlada Aleksejeva.

Nemoguće figure su figure nacrtane u perspektivi na način da na prvi pogled izgledaju kao obične figure. Međutim, nakon detaljnijeg ispitivanja, gledatelj shvaća da takva figura ne može postojati u trodimenzionalnom prostoru. Escher je prikazivao nemoguće figure na svojim slavnim slikama Belvedere (1958.), Uzdizanje i spuštanje (1960.) i Vodopad (1961.). Jedan primjer nemoguće figure je slika suvremenog mađarskog umjetnika Istvana Orosa.

Istvan Oros "Raskrižje" (1999). Reprodukcija metalne gravure. Slika prikazuje mostove koji ne mogu postojati u trodimenzionalnom prostoru. Na primjer, postoje refleksije u vodi koje ne mogu biti izvorni mostovi.

Mobiusova traka

Möbiusova traka je 3D objekt koji ima samo jednu stranu. Takvu traku možete lako dobiti od trake papira tako da zavrnete jedan kraj trake, a zatim zalijepite oba kraja. Escher je prikazao Möbiusovu traku u Jahačima (1946.), Möbiusovoj traci II (Crveni mravi) (1963.) i Čvorovima (1965.).

"Čvorovi" - Maurits Cornelis Escher 1965

Kasnije su površine minimalne energije postale inspiracija za mnoge matematičke umjetnike. Brent Collins, koristi Möbiusove trake i minimalne energetske površine i druge vrste apstrakcije u kiparstvu.

Iskrivljene i neobične perspektive

Neobični perspektivni sustavi koji sadrže dvije ili tri točke nestajanja također su omiljena tema mnogih umjetnika. Oni također uključuju srodno područje - anamorfnu umjetnost. Escher je koristio iskrivljenu perspektivu u nekoliko svojih djela Gore i dolje (1947.), Kuća od stepenica (1951.) i Umjetnička galerija (1956.). Dick Termes koristi perspektivu od šest točaka za crtanje scena na sferama i poliedrima, kao što je prikazano u donjem primjeru.

Dick Termez "Kavez za čovjeka" (1978). Ovo je naslikana kugla koja je stvorena pomoću perspektive od šest točaka. Prikazuje geometrijsku strukturu u obliku mreže kroz koju je vidljiv krajolik. Tri grane prodiru u kavez, a po njemu gmižu gmazovi. Dok jedni istražuju svijet, drugi se nađu u kavezu.

Riječ anamorfan (anamorthic) nastala je od dvije grčke riječi "ana" (opet) i morthe (oblik). Anamorfne slike uključuju slike koje su tako jako iskrivljene da ih je nemoguće razaznati bez posebnog zrcala. Takvo zrcalo ponekad se naziva anamorfoskop. Kada se gleda kroz anamorfoskop, slika se "ponovno oblikuje" u prepoznatljivu sliku. Europski umjetnici rane renesanse bili su fascinirani linearnim anamorfnim slikama, gdje je izdužena slika ponovno postala normalna kada se gleda iz kuta. Poznata početnica je "Ambasadori" (1533.) Hansa Holbeina, koja prikazuje izduženu lubanju. Slika može biti nagnuta na vrhu stepenica kako bi ljudi koji se penju uz stepenice bili zastrašeni slikom lubanje. Anamorfne slike, koje zahtijevaju cilindrična zrcala za gledanje, bile su popularne u Europi i na Istoku u 17. i 18. stoljeću. Često su takve slike nosile poruke političkog protesta ili su bile erotskog sadržaja. Escher u svom radu nije koristio klasična anamorfna zrcala, no na nekim svojim slikama koristio je sferna zrcala. Njegov najpoznatiji rad u ovom stilu je Ruka s reflektirajućom sferom (1935.). Primjer u nastavku prikazuje klasičnu anamorfnu sliku Istvána Orosa.

Istvan Oros "Zdenac" (1998). Slika "Bunar" otisnuta je iz gravure na metalu. Rad je nastao povodom stogodišnjice rođenja M.K. Escher. Escher je pisao o izletima u matematičku umjetnost, poput šetnje prekrasnim vrtom u kojem se ništa ne ponavlja. Vrata na lijevoj strani slike odvajaju Escherov matematički vrt, smješten u mozgu, od fizičkog svijeta. U razbijenom zrcalu na desnoj strani slike nalazi se pogled na gradić Atrani na obali Amalfija u Italiji. Escher je volio to mjesto i ondje je neko vrijeme živio. Taj je grad prikazao na drugoj i trećoj slici iz ciklusa Metamorfoze. Ako umjesto zdenca postavite cilindrično zrcalo, kao što je prikazano desno, tada će se, kao čarolijom, u njemu pojaviti Escherovo lice.