Naš odgovor

Odabir prave oklade ne ovisi samo o intuiciji, sportskom znanju, koeficijentima klađenja, već io omjeru koeficijenata događaja. Sposobnost izračunavanja takvog pokazatelja u klađenju ključ je uspjeha u predviđanju nadolazećeg događaja na koji se treba kladiti.
U kladionicama postoje tri vrste tečajeva (za više detalja pogledajte članak), čija raznolikost određuje kako izračunati vjerojatnost događaja za igrača.

Decimalni koeficijenti

Izračun vjerojatnosti događaja u ovom slučaju odvija se prema formuli: 1/koeficijent događaja. = v.i, gdje je koeficijent sob. je koeficijent događaja, a c.i je vjerojatnost ishoda. Na primjer, uzimamo izglede za događaj od 1,80 na okladu od jedan dolar, što čini matematička radnja prema formuli, igrač dobiva da je vjerojatnost ishoda događaja prema kladionici 0,55 posto.

Razlomci kvota

Kada koristite frakcijske izglede, formula za izračun vjerojatnosti bit će drugačija. Dakle s koeficijentom 7/2, gdje prva znamenka znači moguću veličinu neto dobit, a drugi je veličina potrebne stope, da bi se dobila ova dobit, jednadžba će izgledati ovako: zn.coef / za zbroj zn.coef i hs.coef \u003d c.i. Ovdje je zn.coef nazivnik koeficijenta, chs.coef je brojnik koeficijenta, s.i je vjerojatnost ishoda. Dakle, za razlomačke koeficijente od 7/2, jednadžba izgleda kao 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, dakle, 0,22 posto vjerojatnosti ishoda događaja prema kladionici.

američki izgledi

Američki koeficijenti nisu jako popularni među kladioničarima i obično se koriste isključivo u SAD-u, imaju složenu i zamršenu strukturu. Da biste odgovorili na pitanje: "Kako izračunati vjerojatnost događaja na ovaj način?", Morate znati da takvi koeficijenti mogu biti negativni i pozitivni.

Koeficijent s predznakom "-", kao što je -150, pokazuje da se igrač mora uložiti 150 dolara kako bi ostvario neto dobit od 100 dolara. Vjerojatnost događaja izračunava se na temelju formule u kojoj trebate podijeliti negativni koeficijent sa zbrojem negativnog koeficijenta i 100. Ovo izgleda kao primjer oklade od -150, dakle (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, gdje je 0,6 pomnoženo sa 100 i ishod događaja je 60 posto. Ista formula vrijedi za pozitivne američke izglede.

"Nesreće nisu slučajne" ... Zvuči kao da je rekao neki filozof, ali zapravo je proučavanje nesreća puno velika znanost matematika. U matematici je slučajnost teorija vjerojatnosti. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove znanosti.

Što je teorija vjerojatnosti?

Teorija vjerojatnosti je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da vam bude malo jasnije, hajde mali primjer: Ako bacite novčić uvis, može pasti glava ili rep. Sve dok je novčić u zraku, obje ove mogućnosti su moguće. Odnosno vjerojatnost moguće posljedice omjer je 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila s 36 karata, tada će vjerojatnost biti označena kao 1:36. Čini se da se nema što istraživati ​​i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Ipak, ako određenu radnju ponavljate mnogo puta, tada možete identificirati određeni obrazac i na temelju njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Sumirajući sve navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom smislu proučava mogućnost događanja jednog od mogućih događaja u numeričkom smislu.

Sa stranica povijesti

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku teorija vjerojatnosti nije imala nikakve veze s matematikom. Opravdano je empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji se mogu reproducirati u praksi. Prvi radovi na ovom području kao matematičke discipline javljaju se u 17. stoljeću. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo vrijeme proučavali su kockanje i uvidjeli određene obrasce o kojima su odlučili govoriti javnosti.

Istu tehniku ​​izumio je Christian Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. Pojam "teorije vjerojatnosti", formule i primjere, koji se smatraju prvima u povijesti discipline, uveo je on.

Od nemale važnosti su radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceov i Poissonov teorem. Učinili su teoriju vjerojatnosti sličnijom matematičkoj disciplini. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedna od matematičkih grana.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Razvoj događaja

Glavni koncept ove discipline je "događaj". Događaji su tri vrste:

• Pouzdan. Oni koji će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni u jednom scenariju (novčić će ostati visjeti u zraku).
• Slučajno. One koje se hoće ili neće dogoditi. Na njih mogu utjecati različiti čimbenici koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda slučajni čimbenici koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, početni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima označeni su velikim latiničnim slovima, osim R, koje ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = "studenti nisu došli na predavanje".

NA praktičnih zadataka Događaji su zapisani riječima.

Jedan od najvažnije karakteristike događaji – njihova istovjetnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok on ne padne. Ali događaji također nisu jednako vjerojatni. To se događa kada netko namjerno utječe na ishod. Na primjer, "označeno" kartanje ili kocke, kod kojih je težište pomaknuto.

Događaji su također spojivi i nespojivi. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedan drugoga. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = "student je došao na predavanje."

Ti su događaji neovisni jedan o drugome, a pojava jednog od njih ne utječe na pojavu drugog. Nespojivi događaji definirani su činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istoj kovanici, tada gubitak "repova" onemogućuje pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Radnje na događajima

Događaji se mogu množiti i zbrajati, odnosno u disciplinu se uvode logički veznici "I" i "ILI".

Količina je određena činjenicom da se ili događaj A, ili B, ili oba mogu dogoditi u isto vrijeme. U slučaju kada su nekompatibilni, zadnja opcija je nemoguća, ispadaju ili A ili B.

Umnožavanje događaja sastoji se u pojavljivanju A i B u isto vrijeme.

Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Tvrtka se natječe za ugovore za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "tvrtka će dobiti prvi ugovor."
• A 1 = "tvrtka neće primiti prvi ugovor."
• B = "tvrtka će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = "tvrtka neće dobiti drugi ugovor"
• C = "tvrtka će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "tvrtka neće dobiti treći ugovor."

Pokušajmo izraziti sljedeće situacije pomoću radnji na događajima:

• K = "tvrtka će primiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednadžba će izgledati ovako: K = ABC.

• M = "firma neće dobiti niti jedan ugovor."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Kompliciramo zadatak: H = "firma će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna koji će ugovor tvrtka dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je evidentirati cijeli niz mogućih događaja:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima tvrtka ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Ostali mogući događaji također se bilježe odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava hrpu "ILI". Ako ovaj primjer prevedemo na ljudski jezik, tada će tvrtka dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Na sličan način možete zapisati druge uvjete u disciplini "Teorija vjerojatnosti". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerojatnost

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerojatnost događaja središnji koncept. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:

• klasični;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasična definicija koji zvuči ovako:

• Vjerojatnost situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku prema broju svih moguće ishode.

Formula izgleda ovako: P (A) \u003d m / n.

I zapravo događaj. Ako se dogodi suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A \u003d "izvucite kartu u boji srca." Postoji 36 karata u standardnom špilu, od kojih su 9 srca. Prema tome, formula za rješavanje problema izgledat će ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerojatnost da će karta u boji srca biti izvučena iz špila bit će 0,25.

na višu matematiku

Sada je postalo malo poznato što je teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja problema koji se susreću u školski plan i program. Međutim, teorija vjerojatnosti nalazi se iu višoj matematici koja se predaje na sveučilištima. Najčešće operiraju geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerojatnosti vrlo je zanimljiva. Formule i primjere (viša matematika) bolje je početi učiti od malih - od statističke (ili frekvencijske) definicije vjerojatnosti.

Statistički pristup nije u suprotnosti s klasičnim pristupom, već ga malo proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno utvrditi s kojim stupnjem vjerojatnosti će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko često će se dogoditi. Ovdje se uvodi novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti s W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se za predviđanje računa klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo, na primjer, mali zadatak.

Odjel tehnološke kontrole provjerava kvalitetu proizvoda. Od 100 proizvoda, 3 su nekvalitetna. Kako pronaći vjerojatnost učestalosti kvalitetnog proizvoda?

A = "izgled kvalitetnog proizvoda."

Wn(A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 pregledanih proizvoda, 3 su se pokazala loše kvalitete. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, to je količina kvalitetnog proizvoda.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerojatnosti naziva se kombinatorika. Njegovo glavno načelo je da ako se može napraviti određeni izbor A m različiti putevi, a izbor B - na n različitih načina, tada se izbor A i B može izvršiti množenjem.

Na primjer, postoji 5 cesta od grada A do grada B. Postoje 4 rute od grada B do grada C. Na koliko načina se može doći iz grada A u grad C?

Jednostavno je: 5x4 = 20, odnosno postoji dvadeset različitih načina da dođete od točke A do točke C.

Otežajmo zadatak. Na koliko načina postoji kartanje u pasijansu? U špilu od 36 karata, ovo je početna točka. Da biste saznali broj načina, morate "oduzeti" jednu kartu od početne točke i pomnožiti.

To jest, 36x35x34x33x32…x2x1= rezultat ne stane na zaslon kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti kao 36!. Znak "!" pored broja označava da se cijeli niz brojeva međusobno množi.

U kombinatorici postoje pojmovi kao što su permutacija, postavljanje i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređen skup elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponavljati, što znači da se jedan element može koristiti više puta. I to bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji sudjeluju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja izgledat će ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koji se razlikuju samo po redoslijedu postavljanja nazivaju se permutacijama. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije n elemenata po m su takvi spojevi u kojima je važno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullijeva formula

U teoriji vjerojatnosti, kao iu svakoj disciplini, postoje radovi izvrsnih istraživača u svom području koji su ga podigli na novu razinu. Jedno od tih djela je Bernoullijeva formula, koja vam omogućuje određivanje vjerojatnosti da će se određeni događaj dogoditi u neovisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojavljivanje A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju istog događaja u prethodnim ili sljedećim testovima.

Bernoullijeva jednadžba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m .

Vjerojatnost (p) pojave događaja (A) nepromijenjena je za svaki pokušaj. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u n broju eksperimenata izračunat će se formulom koja je prikazana gore. Sukladno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prva razina).

Zadatak 2: Posjetitelj trgovine će obaviti kupnju s vjerojatnošću 0,2. U trgovinu je samostalno ušlo 6 posjetitelja. Koja je vjerojatnost da će posjetitelj obaviti kupnju?

Rješenje: Budući da se ne zna koliko posjetitelja treba obaviti kupnju, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti pomoću Bernoullijeve formule.

A = "posjetitelj će obaviti kupnju."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (jer u trgovini ima 6 kupaca). Broj m promijenit će se od 0 (nijedan kupac neće kupiti) do 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobivamo rješenje:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Niti jedan kupac neće obaviti kupnju s vjerojatnošću 0,2621.

Kako se inače koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (druga razina) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera postavljaju se pitanja gdje su nestali C i p. S obzirom na p, broj na potenciju 0 bit će jednak jedan. Što se tiče C, može se pronaći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Kako je u prvom primjeru m = 0, odnosno C=1, što u principu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerojatnost kupnje robe od strane dva posjetitelja.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerojatnosti nije tako komplicirana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednadžba koristi se za izračunavanje malo vjerojatnih slučajnih situacija.

Osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju je λ = n x p. Evo tako jednostavne Poissonove formule (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja problema bit će razmotreni u nastavku.

Zadatak 3 O: Tvornica je proizvela 100.000 dijelova. Pojava neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerojatnost da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj, pa se za izračun koristi Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja problema ove vrste ne razlikuju se od ostalih zadataka discipline, potrebne podatke zamjenjujemo u gornju formulu:

A = "nasumično odabrani dio bit će neispravan."

p = 0,0001 (prema uvjetu dodjele).

n = 100000 (broj dijelova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formuli i dobivamo:

100 000 R (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti), čiji su primjeri rješenja napisani gore, Poissonova jednadžba ima nepoznatu e. U biti, može se pronaći formulom:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceov teorem

Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerojatnost pojavljivanja događaja A u svim shemama jednaka, tada se vjerojatnost pojavljivanja događaja A određeni broj puta u nizu pokušaja može nalazi se Laplaceovom formulom:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka koji će vam pomoći u nastavku.

Prvo pronađemo X m, zamijenimo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Pomoću tablica nalazimo broj ϕ (0,025) čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Dakle, vjerojatnost da će letak pogoditi točno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka uz pomoć kojih će biti navedeni u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerojatnost događaja, na temelju okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Glavna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) - uvjetna vjerojatnost, odnosno događaj A se može dogoditi pod uvjetom da je događaj B istinit.

R (V|A) - uvjetna vjerojatnost događaja V.

Dakle, završni dio kratkog tečaja "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješavanja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U skladište su dopremljeni telefoni tri firme. U isto vrijeme, dio telefona koji se proizvode u prvoj tvornici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Također je poznato da je prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugoj 4%, au trećoj 1%. Potrebno je pronaći vjerojatnost da će nasumično odabrani telefon biti neispravan.

A = "nasumično uzeti telefon."

B 1 - telefon koji je napravila prva tvornica. Sukladno tome pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat toga dobivamo:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - tako da smo pronašli vjerojatnost svake opcije.

Sada trebate pronaći uvjetne vjerojatnosti željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtkama:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Sada zamijenimo podatke u Bayesovu formulu i dobijemo:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, ali to je samo vrh ledenog brijega goleme discipline. I nakon svega napisanog, logično će biti postaviti pitanje je li teorija vjerojatnosti potrebna u životu. Običnom čovjeku teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga tko je njime više puta pogodio jackpot.

Postoji cijela klasa eksperimenata za koje se vjerojatnosti njihovih mogućih ishoda mogu lako procijeniti izravno iz uvjeta samog eksperimenta. Za to je nužno da različiti ishodi iskustva imaju simetriju i stoga budu objektivno jednako mogući.

Razmotrimo, na primjer, iskustvo bacanja kocke, tj. simetrična kocka, na čijim plohama drugačiji broj bodovi: od 1 do 6.

Zbog simetričnosti kocke, postoje razlozi da se svih šest mogućih ishoda eksperimenta smatra jednako mogućim. Upravo to nam daje za pravo pretpostaviti da će pri ponovljenom bacanju kocke svih šest lica ispadati približno jednako često. Ova pretpostavka, za ispravno izvedenu kost, doista je opravdana iskustvom; pri ponovljenom bacanju kocke svako se njezino lice pojavljuje u otprilike jednoj šestini svih slučajeva bacanja, a odstupanje tog udjela od 1/6 je to manje, što je manje više stečena su iskustva. Imajući u vidu da se pretpostavlja da je vjerojatnost određenog događaja jednaka jedinici, prirodno je padanju svakog pojedinog lica dodijeliti vjerojatnost jednaku 1/6. Ovaj broj karakterizira neka od objektivnih svojstava ovog slučajnog fenomena, naime svojstvo simetrije šest mogućih ishoda iskustva.

Za svaki pokus u kojem su mogući ishodi simetrični i jednako mogući, može se primijeniti slična tehnika, koja se naziva izravni izračun vjerojatnosti.

Simetrija mogućih ishoda eksperimenta obično se opaža samo u umjetno organiziranim eksperimentima, kao što je kockanje. Budući da je teorija vjerojatnosti u početku razvijena upravo na shemama kockanja, metoda izravnog izračuna vjerojatnosti, koja je povijesno nastala zajedno s pojavom matematičke teorije slučajnih pojava, dugo se smatrala glavnom i bila je temeljem takozvana "klasična" teorija vjerojatnosti. Istodobno su eksperimenti koji nisu imali simetriju mogućih ishoda umjetno reducirani na “klasičnu” shemu.

Unatoč ograničenom djelokrugu praktične aplikacije ove sheme, ipak je od određenog interesa, budući da je upravo na eksperimentima sa simetrijom mogućih ishoda, i na događajima povezanim s takvim eksperimentima, najlakše upoznati se s osnovnim svojstvima vjerojatnosti. Ponajprije ćemo se baviti takvim događajima koji omogućuju izravan izračun vjerojatnosti.

Uvedimo najprije neke pomoćne pojmove.

1. Kompletna grupa događaja.

Kaže se da nekoliko događaja u određenom iskustvu oblikuju puna grupa događaja, ako se barem jedan od njih mora nužno pojaviti kao rezultat eksperimenta.

Primjeri događaja koji čine potpunu grupu:

3) pojava 1,2,3,4,5,6 bodova pri bacanju kocke;

4) pojava bijele kugle i pojava crne kugle kada se jedna kugla izvadi iz urne u kojoj su 2 bijele i 3 crne kugle;

5) niti jedna tiskarska greška, jedna, dvije, tri ili više od tri tiskarske pogreške prilikom provjere stranice tiskanog teksta;

6) najmanje jedan pogodak i najmanje jedan promašaj s dva hica.

2. Nespojivi događaji.

Kaže se da je nekoliko događaja nespojivo u danom iskustvu ako se dva od njih ne mogu pojaviti zajedno.

Primjeri nekompatibilnih događaja:

1) gubitak grba i gubitak brojeva pri bacanju novčića;

2) pogodak i promašaj kada se puca;

3) pojavljivanje 1,3, 4 boda jednim bacanjem kocke;

4) točno jedan kvar, točno dva kvara, točno tri kvara tehničkog uređaja u deset sati rada.

3. Ekvivalentni događaji.

Za nekoliko događaja u danom eksperimentu kaže se da su jednako vjerojatni ako, prema uvjetima simetrije, postoji razlog za vjerovanje da nijedan od tih događaja nije objektivno mogućiji od drugog.

Primjeri jednako vjerojatnih događaja:

1) gubitak grba i gubitak brojeva pri bacanju novčića;

2) pojava 1,3, 4, 5 bodova pri bacanju kocke;

3) izgled karte karo, herc, boja trefa pri uklanjanju karte sa špila;

4) pojava kuglice s brojevima 1, 2, 3 kada se jedna kuglica izvadi iz urne u kojoj se nalazi 10 prenumeriranih kuglica.

Postoje skupine događaja koje imaju sva tri svojstva: čine cjelovitu skupinu, nekompatibilne su i jednako moguće; na primjer: pojava grba i brojeva pri bacanju novčića; pojava 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodova pri bacanju kocke. Događaji koji čine takvu skupinu nazivaju se slučajevi (inače "prilike").

Ako bilo koje iskustvo u svojoj strukturi ima simetriju mogućih ishoda, onda slučajevi predstavljaju iscrpan sustav jednako mogućih i međusobno isključivih ishoda iskustva. Za takvo se iskustvo kaže da je "svedeno na shemu slučajeva" (drugim riječima, na "shemu urni").

Shema slučajeva odvija se pretežno u umjetno organiziranim pokusima u kojima je unaprijed i svjesno osigurana ista mogućnost ishoda pokusa (kao npr. Kockanje). Za takve pokuse moguće je izravno izračunati vjerojatnosti na temelju procjene udjela takozvanih "povoljnih" slučajeva u ukupnom broju slučajeva.

Događaj se naziva povoljnim (ili "povoljnim") za neki događaj ako pojava tog događaja povlači za sobom pojavu tog događaja.

Na primjer, kod bacanja kocke moguće je šest slučajeva: pojavljivanje 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodova. Od toga je događaj - pojava parnog broja točaka - povoljan za tri slučaja: 2, 4, 6, a preostala tri nisu povoljna.

Ako se eksperiment svede na uzorak slučajeva, tada se vjerojatnost događaja u danom eksperimentu može procijeniti iz relativnog udjela povoljnih slučajeva. Vjerojatnost događaja izračunava se kao omjer broja povoljnih slučajeva prema ukupnom broju slučajeva:

gdje je P(A) vjerojatnost događaja; - ukupni broj slučajevi; je broj slučajeva pogodnih za događaj.

Budući da je broj povoljnih slučajeva uvijek između 0 i (0 za nemoguć i za određeni događaj), vjerojatnost događaja izračunata formulom (2.2.1) uvijek je racionalni pravi razlomak:

Formula (2.2.1), tzv. "klasična formula" za izračunavanje vjerojatnosti, odavno se pojavljuje u literaturi kao definicija vjerojatnosti. Danas se pri definiranju (objašnjavanju) vjerojatnosti obično polazi od drugih načela, izravno povezujući pojam vjerojatnosti s empirijskim pojmom učestalosti; formula (2.2.1) sačuvana je samo kao formula za izravno izračunavanje vjerojatnosti, prikladna ako i samo ako je eksperiment sveden na shemu slučajeva, tj. ima simetriju mogućih ishoda.

TEMA 1 . Klasična formula proračuni vjerojatnosti.

Osnovne definicije i formule:

Pokus čiji se ishod ne može predvidjeti naziva se slučajni eksperiment(SE).

Poziva se događaj koji se može ili ne mora dogoditi u određenom SE slučajni događaj.

elementarni ishodi imenuje događaje koji ispunjavaju uvjete:

1. kod svake implementacije SE javlja se jedan i samo jedan elementarni ishod;

2. Svaki događaj je neka kombinacija, neki skup elementarnih ishoda.

Skup svih mogućih elementarnih ishoda u potpunosti opisuje SE. Takav skup se zove prostor elementarnih ishoda(PEI). Izbor SEI za opisivanje ovog SC je dvosmislen i ovisi o problemu koji se rješava.

P (A) \u003d n (A) / n,

gdje je n ukupan broj jednako mogućih ishoda,

n (A) - broj ishoda koji čine događaj A, kako se kaže, favorizira događaj A.

Riječi "nasumično", "nasumično", "nasumično" samo jamče jednakost elementarnih ishoda.

Rješenje tipičnih primjera

Primjer 1 Iz urne koja sadrži 5 crvenih, 3 crne i 2 bijele kuglice, nasumično se izvlače 3 kuglice. Pronađite vjerojatnosti događaja:

ALI– “sve izvučene kuglice su crvene”;

NA– “sve izvučene kuglice su iste boje”;

IZ– “među izvađenim točno 2 crna”.

Riješenje:

Elementarni ishod ovog SE je trostruka (neuređena!) loptica. Dakle, ukupan broj ishoda je broj kombinacija: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Događaj ALI sastoji se samo od onih trojki koje su izvučene iz pet crvenih kuglica, tj. n (A )== 10.

događaj NA uz 10 crvenih trojki favoriziraju i crne trojke čiji je broj = 1. Dakle: n (B)=10+1=11.

događaj IZ favoriziraju se one trojke loptica koje sadrže 2 crne i jednu necrnu. Svaki način odabira dvije crne kuglice može se kombinirati s odabirom jedne necrne (od sedam). Prema tome: n(C) == 3 * 7 = 21.

Tako: GODIŠNJE) = 10/120; P(B) = 11/120; P.S) = 21/120.

Primjer 2 U uvjetima prethodnog zadatka pretpostavit ćemo da kuglice svake boje imaju svoj broj, počevši od 1. Odredite vjerojatnosti događaja:

D– “maksimalni dohvaćeni broj je 4”;

E– “maksimalni ekstrahirani broj je 3”.

Riješenje:

Za izračun n (D ), možemo pretpostaviti da urna sadrži jednu kuglicu s brojem 4, jednu kuglicu s većim brojem i 8 kuglica (3k+3ch+2b) s manjim brojevima. događaj D favoriziraju se one trojke kuglica koje obavezno sadrže kuglicu s brojem 4 i 2 kuglice s manjim brojevima. Prema tome: n(D) =

P(D) = 28/120.

Da bismo izračunali n (E), smatramo: postoje dvije kuglice s brojem 3 u urni, dvije sa velike brojke i šest loptica s manjim brojevima (2k+2h+2b). Događaj E sastoji se od dvije vrste tripleta:

1. jedna kuglica s brojem 3 i dvije s manjim brojevima;

2. dvije kuglice s brojem 3 i jedna s manjim brojem.

Prema tome: n (E )=

P(E) = 36/120.

Primjer 3 Svaka od M različitih čestica baca se nasumce u jednu od N ćelija. Pronađite vjerojatnosti događaja:

ALI– sve su čestice pale u drugu ćeliju;

NA– sve su čestice pale u jednu ćeliju;

IZ– svaka stanica ne sadrži više od jedne čestice (M £ N );

D– sve ćelije su zauzete (M =N +1);

E– druga ćelija sadrži točno do čestice.

Riješenje:

Za svaku česticu postoji N načina da dođete do određene ćelije. Prema osnovnom principu kombinatorike za M čestica, imamo N *N *N *…*N (M-puta). Dakle, ukupan broj ishoda u ovom SE je n = N M .

Za svaku česticu imamo jednu priliku ući u drugu ćeliju, stoga je n (A ) = 1*1*…*1= 1 M = 1, i P(A) = 1/ N M .

Ući u jednu ćeliju (do svih čestica) znači ući sve u prvu, ili sve u drugu, ili itd. sve u N-tom. Ali svaka od ovih N opcija može se implementirati na jedan način. Stoga je n (B)=1+1+…+1(N puta)=N i R(V)=N/N M .

Događaj C znači da svaka čestica ima jedan manji broj načina postavljanja od prethodne čestice, a prva može pasti u bilo koju od N ćelija. Zato:

n (C) \u003d N * (N -1) * ... * (N + M -1) i P (C) \u003d

U posebnom slučaju za M =N : R(S)=

Događaj D znači da jedna od ćelija sadrži dvije čestice, a svaka od (N -1) preostalih ćelija sadrži jednu česticu. Da bismo pronašli n (D ) raspravljamo na sljedeći način: odaberemo ćeliju u kojoj će biti dvije čestice, to se može učiniti na =N načina; tada odaberemo dvije čestice za ovu ćeliju, postoje načini da to učinimo. Nakon toga, preostale (N -1) čestice će se jedna po jedna rasporediti u preostale (N -1) ćelije, za to postoji (N -1)! načine.

Dakle, n(D) =

.

Broj n (E) može se izračunati na sljedeći način: do čestice za drugu ćeliju mogu se izvršiti na različite načine, a preostale (M - K) čestice nasumično se raspoređuju po (N -1) ćeliji (N -1) na M-K načina. Zato:

Prva razina

Teorija vjerojatnosti. Rješavanje problema (2019.)

Što je vjerojatnost?

Kad bih se prvi put susreo s ovim pojmom, ne bih razumio što je to. Pa ću pokušati objasniti na razumljiv način.

Vjerojatnost je šansa da će se željeni događaj dogoditi.

Na primjer, odlučili ste posjetiti prijatelja, zapamtite ulaz, pa čak i kat na kojem živi. Ali sam zaboravio broj i lokaciju stana. I sada stojite na stubištu, a ispred vas su vrata među kojima možete birati.

Kolika je šansa (vjerojatnost) da vam, ako pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj otvori? Cijeli stan, a prijatelj živi samo iza jednog od njih. S jednakim šansama možemo odabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je to šansa?

Vrata, prava vrata. Vjerojatnost pogađanja zvonjenjem na prva vrata: . Odnosno, jedan put od tri ćete sigurno pogoditi.

Želimo znati pozivom jednom, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

1. pozvali ste na 1 Vrata
2. pozvali ste na 2 Vrata
3. pozvali ste na 3 Vrata

A sada razmotrite sve opcije gdje prijatelj može biti:

a. Po 1 vrata
b. Po 2 vrata
u. Po 3 vrata

Usporedimo sve opcije u obliku tablice. Kvačica označava opcije kada vaš izbor odgovara lokaciji prijatelja, križić - kada se ne podudara.

Kako ti sve vidiš Može biti opcije prijateljevu lokaciju i vaš izbor na koja ćete vrata nazvati.

ALI povoljni ishodi svih . Odnosno, vremena ćete pogoditi tako da jednom pozvonite na vrata, tj. .

Ovo je vjerojatnost - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor podudara s lokacijom prijatelja) prema broju mogućih događaja.

Definicija je formula. Vjerojatnost se obično označava s p, pa je:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa uzmimo za – broj povoljnih ishoda, a za – ukupan broj ishoda.

Vjerojatnost se može napisati kao postotak, za to morate pomnožiti rezultat s:

Vjerojatno vam je riječ "ishodi" zapela za oko. Jer matematičari zovu razne aktivnosti(imamo takvu akciju - to je zvono na vratima) pokuse, onda se rezultat takvih pokusa obično naziva ishod.

Dobro, ishodi su povoljni i nepovoljni.

Vratimo se našem primjeru. Pretpostavimo da smo pozvonili na jedna od vrata, ali su nam se otvorila stranac. Nismo pogodili. Kolika je vjerojatnost da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste to mislili, onda je ovo greška. Hajdemo shvatiti.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Nazovite 1 Vrata
2) Poziv 2 Vrata

Prijatelj, uz sve ovo, sigurno stoji iza jednog od njih (uostalom, nije stajao iza ovog kojeg smo pozvali):

a) prijatelj 1 vrata
b) prijatelj za 2 vrata

Nacrtajmo tablicu ponovo:

Kao što vidite, postoje sve opcije, od kojih - povoljne. Odnosno, vjerojatnost je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmotrili je primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

I oni se nazivaju ovisni jer utječu na sljedeće radnje. Uostalom, ako je prijatelj otvorio vrata nakon prvog zvona, kolika bi bila vjerojatnost da je bio iza jednog od druga dva? Ispravno, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih mora biti nezavisna? Istina, postoje.

Udžbenički primjer je bacanje novčića.

1. Bacamo novčić. Kolika je vjerojatnost da će se pojaviti npr. glave? Tako je - jer opcije za sve (bilo glave ili repa, zanemarit ćemo vjerojatnost da novčić stoji na rubu), ali samo nama odgovara.
2. Ali repovi su ispali. U redu, ponovimo to. Koja je vjerojatnost da će se sada pojaviti? Ništa se nije promijenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. Koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka ispadaju repovi barem tisuću puta zaredom. Vjerojatnost padanja glava odjednom bit će ista. Uvijek postoje opcije, ali povoljne.

Razlikovanje zavisnih događaja od nezavisnih događaja je jednostavno:

1. Ako se eksperiment izvede jednom (jednom se baci novčić, jednom zazvoni zvono na vratima itd.), tada su događaji uvijek neovisni.
2. Ako se pokus izvodi više puta (jedanput se baci novčić, nekoliko puta pozvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek neovisan. I onda, ako se mijenja broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji ovisni, a ako ne, nezavisni su.

Vježbajmo malo da odredimo vjerojatnost.

Primjer 1

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da dobijete heads up dvaput zaredom?

Riješenje:

Razmotrite sve moguće opcije:

1. orao orao
2. orao rep
3. tails-eagle
4. Repovi-repovi

Kao što vidite, sve opcije. Od njih smo samo mi zadovoljni. To je vjerojatnost:

Ako uvjet traži jednostavno pronalaženje vjerojatnosti, tada se odgovor mora dati u obliku decimalni razlomak. Kad bi bilo naznačeno da se odgovor mora dati u postotku, tada bismo pomnožili s.

Odgovor:

Primjer 2

U bombonijeri su svi bomboni pakirani u isti omot. Međutim, od slatkiša - s orasima, konjakom, trešnjama, karamelom i nugatom.

Kolika je vjerojatnost da uzmete jedan slatkiš i dobijete slatkiš s orasima. Dajte svoj odgovor u postocima.

Riješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, uzimajući jedan slatkiš, to će biti jedan od onih u kutiji.

A koliko povoljnih ishoda?

Jer u kutiji su samo čokolade s orasima.

Odgovor:

Primjer 3

U kutiji loptica. od kojih su bijele i crne.

1. Kolika je vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice?
2. Dodali smo još crnih kuglica u kutiju. Kolika je vjerojatnost da sada izvučete bijelu kuglicu?

Riješenje:

a) U kutiji su samo kuglice. od kojih su bijele.

Vjerojatnost je:

b) Sada su kuglice u kutiji. A bijelih je ostalo taman toliko.

Odgovor:

Potpuna vjerojatnost

Na primjer, u kutiji crvenih i zelenih kuglica. Kolika je vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice

Zelena kugla:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbroj svih mogućih događaja jednak je (). Razumijevanje ove točke pomoći će vam u rješavanju mnogih problema.

Primjer 4

U kutiji su flomasteri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerojatnost da NE nacrtate crveni marker?

Riješenje:

Izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleni, plavi, žuti ili crni.

Vjerojatnost svih događaja. A vjerojatnost događaja koje smatramo nepovoljnim (kada izvučemo crveni flomaster) je .

Dakle, vjerojatnost da NE nacrtate crveni flomaster je -.

Odgovor:

Pravilo za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja

Već znate što su nezavisni događaji.

A ako trebate pronaći vjerojatnost da će se dva (ili više) neovisna događaja dogoditi u nizu?

Recimo da nas zanima kolika je vjerojatnost da jednom bacanjem novčića dva puta vidimo orla?

Već smo razmotrili - .

Što ako bacimo novčić? Kolika je vjerojatnost da vidite orla dva puta zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

1. Orao-orao-orao
2. Orao-glava-repi
3. Glava-rep-orao
4. Glava-rep-rep
5. repovi-orao-orao
6. Repovi-glave-repovi
7. Repovi-repovi-glave
8. Rep-rep-rep

Ne znam za vas, ali ja sam jednom krivo napravio ovaj popis. Wow! I jedina opcija (prva) nam odgovara.

Za 5 bacanja možete sami napraviti popis mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako marljivi kao vi.

Stoga su najprije uočili, a potom i dokazali, da se vjerojatnost određenog niza neovisnih događaja svaki put smanjuje za vjerojatnost jednog događaja.

Drugim riječima,

Razmotrite primjer iste, zlosretne kovanice.

Vjerojatnost da ćete doći do glave u suđenju? . Sada bacamo novčić.

Kolika je vjerojatnost da će se repovi zaredati?

Ovo pravilo ne funkcionira samo ako se od nas traži da pronađemo vjerojatnost da će se isti događaj dogoditi nekoliko puta zaredom.

Kad bismo željeli pronaći niz REP-ORAO-REP na uzastopnim preokretima, učinili bismo isto.

Vjerojatnost dobivanja repova - , glava - .

Vjerojatnost dobivanja niza REPOVI-ORAO-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti izradom tablice.

Pravilo za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Pa stani! Nova definicija.

Hajdemo shvatiti. Uzmimo naš istrošeni novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

1. Orao-orao-orao
2. Orao-glava-repi
3. Glava-rep-orao
4. Glava-rep-rep
5. repovi-orao-orao
6. Repovi-glave-repovi
7. Repovi-repovi-glave
8. Rep-rep-rep

Dakle, ovdje su nekompatibilni događaji, ovo je određeni, zadani slijed događaja. su nekompatibilni događaji.

Ako želimo odrediti kolika je vjerojatnost dvaju (ili više) nekompatibilnih događaja, tada zbrajamo vjerojatnosti tih događaja.

Morate shvatiti da su gubitak orla ili repa dva neovisna događaja.

Ako želimo odrediti kolika je vjerojatnost da niz) (ili bilo koji drugi) ispadne, tada koristimo pravilo množenja vjerojatnosti.
Kolika je vjerojatnost da ćete dobiti glavu u prvom bacanju, a repove u drugom i trećem?

Ali ako želimo znati kolika je vjerojatnost dobivanja jedne od nekoliko sekvenci, na primjer, kada se glave pojave točno jednom, tj. opcije i onda moramo dodati vjerojatnosti ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti zbrajanjem vjerojatnosti pojavljivanja svakog niza:

Dakle, zbrajamo vjerojatnosti kada želimo odrediti vjerojatnost nekog, nekompatibilnog, niza događaja.

Postoji odlično pravilo koje će vam pomoći da se ne zbunite kada množiti, a kada zbrajati:

Vratimo se na primjer gdje smo puta bacili novčić i želimo znati kolika je vjerojatnost da ćemo jednom vidjeti glave.
Što ce se dogoditi?

Treba ispustiti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) ILI (repovi I repovi I glave).
I tako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narančasta, žuta i crna. Kolika je vjerojatnost izvlačenja crvene ili zelena olovka i?

Riješenje:

Što ce se dogoditi? Moramo se izvući (crveno ILI zeleno).

Sada je jasno, zbrajamo vjerojatnosti ovih događaja:

Odgovor:

Primjer 6

Kocka se baca dvaput, koja je vjerojatnost da će ispasti ukupno 8?

Riješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerojatnost ispadanja s jednog (bilo kojeg) lica je .

Izračunavamo vjerojatnost:

Odgovor:

Vježbati.

Mislim da vam je sada postalo jasno kada trebate računati vjerojatnosti, kada ih zbrajati, a kada množiti. Nije li? Idemo malo vježbati.

Zadaci:

Uzmimo špil karata u kojem su karte pik, herc, 13 tref i 13 tambura. Od do As svake boje.

1. Kolika je vjerojatnost izvlačenja trefova u nizu (prvu izvučenu kartu vraćamo u špil i miješamo)?
2. Kolika je vjerojatnost izvlačenja crne karte (pik ili tref)?
3. Koja je vjerojatnost izvlačenja slike (jaket, dama, kralj ili as)?
4. Kolika je vjerojatnost izvlačenja dviju sličica u nizu (prvu izvučenu kartu uklanjamo iz špila)?
5. Kolika je vjerojatnost da ćete, uzimajući dvije karte, sakupiti kombinaciju - (Jack, Queen ili King) i As. Redoslijed kojim će karte biti izvučene nije bitan.

odgovori:

1. U špilu karata svake vrijednosti to znači:
2. Događaji su ovisni, jer se nakon prve izvučene karte smanjio broj karata u špilu (kao i broj “slika”). Ukupan broj pukova, dama, kraljeva i aseva u početnom špilu, što znači vjerojatnost izvlačenja "slike" s prvom kartom:

   Budući da vadimo prvu kartu iz špila, to znači da je u špilu već ostala karta od koje postoje slike. Vjerojatnost crtanja slike s drugom kartom:

   Budući da nas zanima situacija kada iz špila dobijemo: “slika” I “slika”, tada trebamo pomnožiti vjerojatnosti:

   Odgovor:

3. Nakon što se izvuče prva karta, broj karata u špilu će se smanjiti, pa imamo dvije mogućnosti:
   1) Prvom kartom izvadimo asa, drugom - jack, dama ili kralj
   2) Prvom kartom vadimo Jacka, Damu ili Kralja, drugom - asa. (kec i (žandar ili dama ili kralj)) ili ((žandar ili dama ili kralj) i as). Ne zaboravite smanjiti broj karata u špilu!

Ako si sam uspio riješiti sve probleme, onda si super momak! Sad ćete zadatke iz teorije vjerojatnosti na ispitu kliktati kao ludi!

TEORIJA VJEROJATNOSTI. PROSJEČNA RAZINA

Razmotrite primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znate li? Ovo je naziv kocke s brojevima na stranama. Koliko lica, toliko brojeva: od koliko do? Prije.

Dakle, bacamo kockicu i želimo da dođe do ili. I ispadamo.

U teoriji vjerojatnosti kažu što se dogodilo povoljan događaj(ne brkati s dobrim).

Ako bi ispao, događaj bi također bio povoljan. Ukupno se mogu dogoditi samo dva povoljna događaja.

Koliko loših? Budući da su svi mogući događaji, onda su nepovoljni od njih događaji (ovo je ako ispadne ili).

Definicija:

Vjerojatnost je omjer broja povoljnih događaja prema broju svih mogućih događaja.. Odnosno, vjerojatnost pokazuje koji je udio svih mogućih događaja povoljan.

Označite vjerojatnost latinično pismo(očigledno iz engleska riječ probability – vjerojatnost).

Uobičajeno je mjeriti vjerojatnost kao postotak (vidi temu). Da biste to učinili, vrijednost vjerojatnosti mora se pomnožiti s. U primjeru s kockom, vjerojatnost.

I u postocima: .

Primjeri (odlučite sami):

1. Koja je vjerojatnost da će bacanje novčića pasti na glave? A kolika je vjerojatnost repova?
2. Koja je vjerojatnost da će se paran broj pojaviti kada se kocka baci? A čime - neparnim?
3. U ladici obične, plave i crvene olovke. Nasumično izvlačimo jednu olovku. Koja je vjerojatnost izvlačenja jednostavnog?

rješenja:

1. Koliko opcija postoji? Glava i rep - samo dvije. A koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerojatnost

   Isto s repovima: .

2. Ukupno opcija: (koliko kocka ima strana, toliko razne opcije). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi :).
   Vjerojatnost. S neparnim, naravno, ista stvar.
3. Ukupno: . Povoljno: . Vjerojatnost: .

Potpuna vjerojatnost

Sve olovke u ladici su zelene. Kolika je vjerojatnost crtanja crvenom olovkom? Nema šanse: vjerojatnost (uostalom, povoljni događaji -).

Takav se događaj naziva nemogućim.

Kolika je vjerojatnost da nacrtate zelenu olovku? Povoljnih događaja ima točno onoliko koliko je ukupno događaja (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerojatnost je ili.

Takav se događaj naziva izvjesnim.

Ako se u kutiji nalaze zelena i crvena olovka, kolika je vjerojatnost da ćete izvući zelenu ili crvenu? Opet opet. Imajte na umu sljedeću stvar: vjerojatnost crtanja zelene je jednaka, a crvena je .

U zbroju, te su vjerojatnosti potpuno jednake. To je, zbroj vjerojatnosti svih mogućih događaja jednak je ili.

Primjer:

U kutiji s olovkama su plava, crvena, zelena, jednostavna, žuta, a ostale su narančaste. Kolika je vjerojatnost da ne nacrtate zeleno?

Riješenje:

Zapamtite da se sve vjerojatnosti zbrajaju. I vjerojatnost crtanja zelene je jednaka. To znači da je vjerojatnost da ne nacrtate zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi je minus vjerojatnost da će se događaj dogoditi.

Neovisni događaji i pravilo množenja

Bacite novčić dvaput i želite da oba puta ispadne glava. Koja je vjerojatnost za to?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Orao-Orao, Rep-Orao, Orao-Rep, Rep-Rep. Što drugo?

Cijela varijanta. Od njih nam samo jedan odgovara: Eagle-Eagle. Dakle, vjerojatnost je jednaka.

Dobro. Sada bacimo novčić. Prebrojite se. Dogodilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerojatnost smanjuje za faktor. Opće pravilo nazvao pravilo množenja:

Vjerojatnosti neovisnih događaja se mijenjaju.

Što su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne ovise jedni o drugima. Na primjer, kada bacamo novčić nekoliko puta, svaki put slijedi novo bacanje čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. S istim uspjehom možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Još primjera:

1. Kocka se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da će se pojaviti oba puta?
2. Novčić se baca puta. Kolika je vjerojatnost da ćete dvaput dobiti glavu, a zatim rep?
3. Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerojatnost da zbroj brojeva na njima bude jednak?

odgovori:

1. Događaji su neovisni, što znači da pravilo množenja funkcionira: .
2. Vjerojatnost orla je jednaka. Vjerojatnost repova također. Množimo:
3. 12 se može dobiti samo ako ispadnu dva -ki: .

Nespojivi događaji i pravilo zbrajanja

Nekompatibilni događaji su događaji koji se međusobno nadopunjuju do pune vjerojatnosti. Kao što naziv implicira, ne mogu se dogoditi u isto vrijeme. Na primjer, ako bacimo novčić, može ispasti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji s olovkama su plava, crvena, zelena, jednostavna, žuta, a ostale su narančaste. Kolika je vjerojatnost da nacrtate zeleno ili crveno?

Riješenje .

Vjerojatnost da nacrtate zelenu olovku je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji od svih: zeleno + crveno. Dakle, vjerojatnost crtanja zelene ili crvene je jednaka.

Ista se vjerojatnost može prikazati u sljedećem obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: zbrajaju se vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Mješoviti zadaci

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da će rezultat bacanja biti drugačiji?

Riješenje .

To znači da ako su glave prve, repovi bi trebali biti drugi, i obrnuto. Ispada da ovdje postoje dva para neovisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje množiti, a gdje zbrajati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte opisati što bi se trebalo dogoditi povezujući događaje s unijama "I" ili "ILI". Na primjer, u ovom slučaju:

Must roll (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Gdje je unija "i", bit će množenje, a gdje je "ili" zbrajanje:

Pokušajte sami:

1. Koja je vjerojatnost da dva bacanja novčića oba puta budu s istom stranom?
2. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerojatnost da će zbroj pasti bodove?

rješenja:

1. (Glavu gore i glavu gore) ili (rep gore i rep gore): .
2. Koje su opcije? i. Zatim:
   Smotao (i) ili (i) ili (i): .

Još jedan primjer:

Jednom bacamo novčić. Koja je vjerojatnost da će glave iskrsnuti barem jednom?

Riješenje:

Oh, kako ne želim prebirati po opcijama ... Glava-rep-rep, Orao-glava-rep, ... Ali ne morate! Razgovarajmo o punoj vjerojatnosti. Sjetio se? Kolika je vjerojatnost da orao nikada neće ispasti? Jednostavno je: repovi lete cijelo vrijeme, to znači.

TEORIJA VJEROJATNOSTI. UKRATKO O GLAVNOM

Vjerojatnost je omjer broja povoljnih događaja prema broju svih mogućih događaja.

Neovisni događaji

Dva su događaja neovisna ako pojava jednog ne mijenja vjerojatnost da će se drugi dogoditi.

Potpuna vjerojatnost

Vjerojatnost svih mogućih događaja je ().

Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi je minus vjerojatnost da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja

Vjerojatnost određenog niza neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog od događaja

Nespojivi događaji

Nekompatibilni događaji su oni događaji koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Niz nekompatibilnih događaja čini cjelovitu skupinu događaja.

Zbrajaju se vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Nakon što smo opisali što bi se trebalo dogoditi, koristeći unije "I" ili "ILI", umjesto "I" stavljamo znak množenja, a umjesto "ILI" - zbrajanje.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u onih 5%!

Sada ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, to je ... to je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položivši ispit, za upis na institut na proračun i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas uvjeravati ni u što, samo ću reći jedno...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se mnogo toga otvara pred njima. više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da budete bolji od drugih na ispitu i na kraju ... sretniji?

PUNITE SVOJU RUKU, RJEŠAVAJUĆI ZADATKE NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće pitati teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili je jednostavno nećete napraviti na vrijeme.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti puno puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije nužno) i svakako ih preporučamo.

Kako biste dobili ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 999 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator "6000 zadataka s rješenjima i odgovorima, za svaku temu, za sve razine složenosti." Definitivno je dovoljno da se uhvatite u koštac s rješavanjem problema na bilo koju temu.

Zapravo, to je puno više od običnog simulatora - cijeli program priprema. Ako je potrebno, možete ga koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima omogućen je tijekom cijelog trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!