Najmanji zajednički višekratnik cijelih brojeva. Načini pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika, nok is, i sva objašnjenja

Mrežni kalkulator omogućuje vam brzo pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika dva ili bilo kojeg drugog broja brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC

Pronađite GCD i NOC

Pronađeni GCD i NOC: 5806

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• U slučaju unosa pogrešnih znakova, polje za unos bit će označeno crvenom bojom
• pritisnite gumb "Pronađi GCD i NOC"

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmacima, točkama ili zarezima
• Duljina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje gcd i lcm dugih brojeva neće biti teško

Što je NOD i NOK?

Najveći zajednički djelitelj više brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi izvorni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj označava se skraćenicom GCD.
Najmanji zajednički višekratnik više brojeva je najmanji broj koji je djeljiv svakim od početnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik označava se skraćenicom NOC.

Kako provjeriti je li broj djeljiv drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka, možete se poslužiti nekim svojstvima djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombiniranjem može provjeriti djeljivost po nekim od njih i njihovim kombinacijama.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Znak djeljivosti broja s 2
Da bi se utvrdilo je li broj djeljiv s dva (je li paran), dovoljno je pogledati posljednju znamenku tog broja: ako je jednaka 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 2.
Riješenje: pogledajte zadnju znamenku: 8 znači da je broj djeljiv s dva.

2. Znak djeljivosti broja s 3
Broj je djeljiv s 3 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 3. Stoga, da biste odredili je li broj djeljiv s 3, trebate izračunati zbroj znamenki i provjeriti je li djeljiv s 3. Čak i ako se zbroj znamenki pokazao vrlo velikim, možete ponoviti isti postupak opet.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 3.
Riješenje: brojimo zbroj znamenki: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 3, što znači da je broj djeljiv s tri.

3. Znak djeljivosti broja s 5
Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka nula ili pet.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 5.
Riješenje: pogledajte zadnju znamenku: 8 znači da broj NIJE djeljiv s pet.

4. Znak djeljivosti broja s 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti s tri: broj je djeljiv s 9 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 9.
Riješenje: računamo zbroj znamenki: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 9, što znači da je broj djeljiv s devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći GCD dva broja

Najjednostavniji način izračuna najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva jest pronaći sve moguće djelitelje tih brojeva i odabrati najveći od njih.

Razmotrite ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Rastavljamo oba broja na faktore: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Nalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 \u003d 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina za pronalaženje najmanjeg višekratnika dvaju brojeva. Prvi način je da možete ispisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među njima izabrati takav broj koji će biti zajednički za oba broja, a ujedno i najmanji. A drugi je pronaći GCD ovih brojeva. Razmotrimo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati umnožak izvornih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Nađi umnožak brojeva 28 i 36: 28 36 = 1008
2. već se zna da je gcd(28, 36) 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Pronalaženje GCD i LCM za više brojeva

Najveći zajednički djelitelj može se naći za više brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj rastavljaju na proste faktore, zatim se pronalazi umnožak zajedničkih prostih faktora tih brojeva. Također, da biste pronašli GCD nekoliko brojeva, možete koristiti sljedeći odnos: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Slična relacija vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik brojeva: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo rastavimo brojeve na faktore: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2 .
3. Njihov umnožak će dati gcd: 1 2 2 = 4
4. Nađimo sada LCM: za ovo prvo pronađemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, trebate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik ključni su aritmetički koncepti koji vam omogućuju da jednostavno radite s običnim razlomcima. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.

Osnovni koncepti

Djelitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim je X djeljiv bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv s X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik broja 15, a 6 je višekratnik broja 12.

Za svaki par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički višekratnik je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očito, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da se u izračunima koriste najveći djelitelj GCD-a i najmanji višekratnik LCM-a. .

Najmanji djelitelj nema smisla jer je za svaki broj uvijek jedan. Najveći višekratnik je također besmislen, jer niz višekratnika teži beskonačnosti.

Pronalaženje GCD-a

Postoje mnoge metode za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:

• sekvencijalno nabrajanje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
• rastavljanje brojeva na nedjeljive faktore;
• Euklidov algoritam;
• binarni algoritam.

Danas su u obrazovnim ustanovama najpopularnije metode dekompozicije na proste faktore i Euklidov algoritam. Potonji se pak koristi u rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a potrebno je za provjeru mogućnosti rješavanja jednadžbe u cijelim brojevima.

Pronalaženje NOO-a

Najmanji zajednički višekratnik također je točno određen iterativnim nabrajanjem ili faktoriziranjem na nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD su povezani sljedećom relacijom:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Na primjer, ako je gcd(15,18) = 3, tada je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočitija upotreba LCM-a je pronaći zajednički nazivnik, koji je najmanji zajednički višekratnik zadani razlomci.

Koprosti brojevi

Ako par brojeva nema zajedničkih djelitelja, onda se takav par naziva međusobno prostim. GCM za takve parove uvijek je jednak jedinici, a na temelju povezanosti djelitelja i višekratnika, GCM za koproste je jednak njihovom umnošku. Na primjer, brojevi 25 i 28 su prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom umnošku. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti međusobno prosti.

Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator

S našim kalkulatorom možete izračunati GCD i LCM za bilo koji broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračunavanje zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici 5. i 6. razreda, no GCD i LCM su ključni pojmovi matematike i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.

Primjeri iz stvarnog života

Zajednički nazivnik razlomaka

Najmanji zajednički višekratnik koristi se kada se nalazi zajednički nazivnik nekoliko razlomaka. Pretpostavimo da je u aritmetičkom problemu potrebno zbrojiti 5 razlomaka:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Za zbrajanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, što se svodi na problem pronalaženja LCM-a. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definirani kao omjer LCM i nazivnika. Dakle, dodatni množitelji bi izgledali ovako:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Nakon toga pomnožimo sve razlomke s odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takve razlomke možemo lako zbrojiti i dobiti rezultat u obliku 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačni odgovor - 53/120.

Rješenje linearnih diofantovih jednadžbi

Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d / gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva ​​u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednadžbi za mogućnost cjelobrojnog rješenja. Prvo provjerite jednadžbu 150x + 8y = 37. Pomoću kalkulatora nalazimo gcd (150,8) = 2. Podijelite 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, stoga jednadžba nema cjelobrojne korijene.

Provjerimo jednadžbu 1320x + 1760y = 10120. Upotrijebite kalkulator da nađete gcd(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobivamo cijeli broj, stoga je Diofantova jednadžba rješiva ​​u cjelobrojnim koeficijentima .

Zaključak

GCD i LCM igraju važnu ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti naširoko se koriste u raznim područjima matematike. Koristite naš kalkulator za izračun najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.

Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju puno dodatnog znanja. NOC je jedan od glavnih, posebno se često koristi u temi. Tema se proučava u srednjoj školi, dok nije osobito teško razumjeti gradivo, osobi koja je upoznata s ovlastima i tablicom množenja neće biti teško odabrati potrebne brojeve i pronađite rezultat.

Definicija

Zajednički višekratnik je broj koji se može potpuno podijeliti na dva broja istovremeno (a i b). Najčešće se taj broj dobiva množenjem izvornih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv s oba broja odjednom, bez odstupanja.

NOC je skraćeni naziv, koji je uzet od prvih slova.

Načini dobivanja broja

Da biste pronašli LCM, metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna, mnogo je prikladnija za jednostavne jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Uobičajeno je dijeliti na faktore, što je veći broj, to će faktora biti više.

Primjer #1

Za najjednostavniji primjer, škole obično uzimaju jednostavne, jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći zadatak, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je vrlo jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat, tu je broj 21, jednostavno nema manjeg broja.

Primjer #2

Druga opcija je mnogo teža. Zadani su brojevi 300 i 1260, traženje LCM-a je obavezno. Za rješavanje zadatka pretpostavljaju se sljedeće radnje:

Rastavljanje prvog i drugog broja na najjednostavnije faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prva faza je završena.

Druga faza uključuje rad s već dobivenim podacima. Svaki od primljenih brojeva mora sudjelovati u izračunu konačnog rezultata. Za svaki faktor, najveći broj pojavljivanja uzet je iz izvornih brojeva. LCM je uobičajen broj pa se faktori iz brojeva moraju ponavljati u njemu do posljednjeg, čak i oni koji su prisutni u jednom primjerku. Oba početna broja imaju u svom sastavu brojeve 2, 3 i 5, u različitim stupnjevima, 7 je samo u jednom slučaju.

Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj od njegovih predstavljenih potencija u jednadžbu. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor, s točnim popunjavanjem zadatak se uklapa u dva koraka bez objašnjenja:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

To je cijeli zadatak, ako pokušate izračunati željeni broj množenjem, tada odgovor sigurno neće biti točan, jer 300 * 1260 = 378 000.

Ispitivanje:

6300 / 300 = 21 - točno;

6300 / 1260 = 5 je točno.

Točnost rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a s oba izvorna broja, ako je broj u oba slučaja cijeli broj, tada je odgovor točan.

Što znači NOC u matematici

Kao što znate, u matematici ne postoji niti jedna beskorisna funkcija, ova nije iznimka. Najčešća svrha ovog broja je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Ono što se obično uči u 5-6 razredu srednje škole. Također je dodatno zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti u problemu. Takav izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja - tri, pet i tako dalje. Što više brojeva - više radnji u zadatku, ali složenost toga se ne povećava.

Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, trebate pronaći njihov ukupni LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje rastavljanje na faktore, bez redukcije.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Za sastavljanje izraza potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su navedeni 2, 5, 3 - za sve te brojeve potrebno je odrediti maksimalni stupanj.

Pažnja: svi množitelji moraju biti dovedeni do potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, dekomponirajući se na razinu jednoznamenkastih brojeva.

Ispitivanje:

1) 3000 / 250 = 12 - točno;

2) 3000 / 600 = 5 - točno;

3) 3000 / 1500 = 2 je točno.

Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti na razini genija, sve je jednostavno i jasno.

Drugi način

U matematici je puno toga povezano, puno toga se može riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za nalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda može se koristiti u slučaju jednostavnih dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva. Sastavlja se tablica u koju se množitelj upisuje okomito, množitelj vodoravno, a umnožak se označava u presijecajućim ćelijama stupca. Tablicu možete prikazati linijom, uzima se broj i rezultati množenja ovog broja cijelim brojevima se pišu u nizu, od 1 do beskonačnosti, ponekad je dovoljno 3-5 točaka, drugi i sljedeći brojevi su podvrgnuti na isti računski proces. Sve se događa dok se ne pronađe zajednički višekratnik.

Zadani su brojevi 30, 35, 42, potrebno je pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:

1) Višekratnici od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Višekratnici od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Višekratnici od 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Primjetno je da su svi brojevi prilično različiti, jedini zajednički broj među njima je 210, pa će to biti LCM. Među procesima povezanim s ovim izračunom postoji i najveći zajednički djelitelj koji se izračunava prema sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali dovoljno značajna, LCM podrazumijeva izračun broja koji je djeljiv sa svim zadanim početnim vrijednostima, a GCD pretpostavlja izračun najveće vrijednosti kojom se dijele početni brojevi.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv s prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djeliteljom od $a$, a broj $a$ višekratnikom od $b$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ naziva se zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.

Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od tih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva $a$ i $b$, a označava se oznakom:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​ili \ D \ (a;b)$

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva:

1. Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Odredite NNO brojeva $121$ i $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=2\cdot 11=22$

Primjer 2

Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

Rastavimo brojeve na proste faktore

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje tih brojeva

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pronađimo umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, pomoću skupa djelitelja brojeva.

Primjer 3

Odredite NNO brojeva $48$ i $60$.

Riješenje:

Pronađite skup djelitelja od $48$: $\lijevo\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\desno\)$

Pronađimo sada skup djelitelja od $60$:$\ \lijevo\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\)$

Pronađimo presjek ovih skupova: $\lijevo\((\rm 1,2,3,4,6,12)\desno\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom skupu bit će broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.

Definicija NOC-a

Definicija 3

zajednički višekratnik prirodnih brojeva$a$ i $b$ je prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.

Zajednički višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi s originalom bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.

Najmanji zajednički višekratnik nazivat ćemo najmanji zajednički višekratnik i označavati ga s LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

1. Rastavite brojeve na proste faktore
2. Ispiši faktore koji su dio prvog broja i dodaj im faktore koji su dio drugog, a ne idu u prvi

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

Rastavite brojeve na proste faktore

99$=3\cdot 3\cdot 11$

Zapišite čimbenike uključene u prvi

dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu prvom

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanji zajednički višekratnik

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sastavljanje popisa djelitelja brojeva često oduzima mnogo vremena. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

Tvrdnje na kojima se temelji Euklidov algoritam:

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vtočkice b$, onda je $D(a;b)=b$

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b

Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati ​​brojeve koji se razmatraju dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv s drugim. Tada će manji od tih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.

Svojstva GCD i LCM

1. Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ djeljiv je s K$(a;b)$
2. Ako $a\vtočke b$ , tada je K$(a;b)=a$

Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, onda je K$(am;bm)=km$

Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ako $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , tada je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$

Za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi jednakost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Svaki zajednički djelitelj od $a$ i $b$ je djelitelj od $D(a;b)$

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo biste trebali odrediti značenje pojma "višestruko".

Višekratnik A je prirodan broj koji je bez ostatka djeljiv s A. Stoga se 15, 20, 25 i tako dalje mogu smatrati višekratnicima broja 5.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je s njima djeljiv bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodni broj koji je ravnomjerno djeljiv sa svim tim brojevima.

Da biste pronašli NOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve zgodno je ispisivati ​​u retku sve višekratnike tih brojeva dok se među njima ne pronađe zajednički. Višestruki se u zapisu označavaju velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici broja 4 mogu se napisati ovako:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj unos se izvodi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugi način za izračunavanje LCM-a.

Za izvršenje zadatka potrebno je predložene brojeve rastaviti na proste faktore.

Prvo morate napisati proširenje najvećeg broja u retku, a ispod njega - ostatak.

U proširenju svakog broja može postojati različit broj faktora.

Na primjer, rastavimo brojeve 50 i 20 na proste faktore.

U rastavljanju manjeg broja treba podcrtati faktore kojih nema u rastavljanju prvog najvećeg broja, a zatim mu ih dodati. U predstavljenom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možemo izračunati najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Dakle, umnožak prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja, koji nisu uključeni u rastavljanje većeg broja, bit će najmanji zajednički višekratnik.

Da bismo pronašli LCM tri ili više brojeva, sve ih treba rastaviti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz rastavljanja šesnaest (jedan je u rastavljanju dvadesetčetiri) nisu ušle u faktorizaciju većeg broja.

Dakle, potrebno ih je dodati u razgradnju većeg broja.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od tih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, NOC-ovi od dvanaest i dvadeset i četiri bili bi dvadeset i četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva koji nemaju iste djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom umnošku.

Na primjer, LCM(10, 11) = 110.