Kako pomnožiti cijeli broj s decimalom. Množenje decimalnih razlomaka: pravila, primjeri, rješenja

§ 107. Zbrajanje decimalnih razlomaka.

Zbrajanje decimala se vrši na isti način kao i zbrajanje cijelih brojeva. Pogledajmo to na primjerima.

1) 0,132 + 2,354. Potpišimo pojmove jedan ispod drugog.

Ovdje se od zbrajanja 2 tisućinke sa 4 tisućinke dobije 6 tisućinki;
od dodavanja 3 stotinke s 5 stotinki, ispalo je 8 stotinki;
od zbrajanja 1 desetice sa 3 desetice -4 desetice i
od zbrajanja 0 cijelih brojeva sa 2 cijela broja - 2 cijela broja.

2) 5,065 + 7,83.

U drugom terminu nema tisućitki, pa je važno ne pogriješiti pri potpisivanju pojmova jedan ispod drugog.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Ovdje zbrajanjem tisućinki dobivamo 21 tisućinki; ispod tisućinki smo zapisali 1, a stotinkama dodali 2, pa smo na stotinskom mjestu dobili sljedeće članove: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; u zbroju daju 19 stotinki, pod stotinke smo potpisali 9, a 1 se računala kao desetinka itd.

Dakle, pri zbrajanju decimalnih razlomaka treba se pridržavati sljedećeg redoslijeda: razlomci se potpisuju jedan ispod drugog tako da su u svim pojmovima iste znamenke jedna ispod druge i da su svi zarezi u istom okomitom stupcu; desno od decimalnih mjesta nekih pojmova pripisuju, barem u mislima, toliki broj nula da svi pojmovi iza decimalnog zareza imaju isti broj znamenki. Zatim se zbrajanje izvodi po znamenkama, počevši od desne strane, au dobivenom iznosu zarez se stavlja u isti okomiti stupac kao iu ovim pojmovima.

§ 108. Oduzimanje decimalnih razlomaka.

Oduzimanje decimala se vrši na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Pokažimo to primjerima.

1) 9,87 - 7,32. Potpišimo subtrahend ispod umanjenika tako da jedinice iste znamenke budu jedna ispod druge:

2) 16,29 - 4,75. Potpišimo subtrahend ispod minuenda, kao u prvom primjeru:

Za oduzimanje desetina, trebalo je uzeti jednu cijelu jedinicu od 6 i podijeliti je na desetine.

3) 14.0213-5.350712. Potpišimo subtrahend ispod minuenda:

Oduzimanje je izvršeno na sljedeći način: budući da od 0 ne možemo oduzeti 2 milijuntinke, trebamo se pozvati na najbližu znamenku lijevo, tj. na stotisućinke, ali i tu je nula umjesto stotisućinki, pa uzimamo 1 desettisućiti od 3 desettisućinke i podijelimo na stotisućinke, dobivamo 10 stotisućinki, od kojih je 9 stotisućinki ostalo u kategoriji stotisućinka, a 1 stotisućinka se drobi na milijune, dobijemo 10 milijuna. Tako smo u zadnje tri znamenke dobili: milijunti dio 10, stotisućiti dio 9, desettisućiti dio 2. Radi veće jasnoće i praktičnosti (da ne zaboravimo), ovi su brojevi napisani na vrhu odgovarajućih razlomaka reduciranih znamenki. Sada možemo početi s oduzimanjem. Oduzimamo 2 milijuntinka od 10 milijuntinka, dobivamo 8 milijuntinka; oduzmemo 1 stotisućiti dio od 9 stotisućitih, dobivamo 8 stotisućitih itd.

Dakle, pri oduzimanju decimalnih razlomaka poštuje se sljedeći redoslijed: oduzeto se potpisuje ispod smanjenog tako da su iste znamenke jedna ispod druge i da su svi zarezi u istom okomitom stupcu; s desne strane pripisuju, barem u mislima, smanjenom ili oduzetom toliko nula da imaju isti broj znamenki, zatim oduzimaju po znamenkama, počevši s desne strane, a u dobivenoj razlici stavljaju zarez isti okomiti stupac u kojem se smanjuje i oduzima.

§ 109. Množenje decimalnih razlomaka.

Razmotrimo nekoliko primjera množenja decimalnih razlomaka.

Da bismo pronašli umnožak tih brojeva, možemo razmišljati na sljedeći način: ako faktor povećamo 10 puta, tada će oba faktora biti cijeli brojevi i tada ih možemo pomnožiti prema pravilima za množenje cijelih brojeva. Ali znamo da kada se jedan od faktora poveća nekoliko puta, proizvod se povećava za isti iznos. To znači da je broj koji se dobije množenjem cjelobrojnih faktora, odnosno 28 sa 23, 10 puta veći od pravog umnoška, ​​a da bi se dobio pravi umnožak potrebno je pronađeni umnožak smanjiti 10 puta. Dakle, ovdje morate jednom izvršiti množenje s 10 i jednom dijeljenje s 10, no množenje i dijeljenje s 10 izvodi se pomicanjem zareza udesno i ulijevo za jedan znak. Stoga trebate učiniti sljedeće: u množitelju pomaknite zarez udesno za jedan znak, iz ovoga će biti jednako 23, a zatim morate pomnožiti dobivene cijele brojeve:

Ovaj proizvod je 10 puta veći od pravog. Stoga se mora smanjiti za 10 puta, za što pomaknemo zarez jedan znak ulijevo. Dakle, dobivamo

28 2,3 = 64,4.

Za potrebe provjere možete napisati decimalni razlomak s nazivnikom i izvršiti radnju prema pravilu za množenje običnih razlomaka, tj.

2) 12,27 0,021.

Razlika između ovog primjera i prethodnog je u tome što su ovdje oba faktora predstavljena decimalnim razlomcima. Ali ovdje u procesu množenja nećemo paziti na zareze, odnosno množitelj ćemo privremeno povećati za 100 puta, a množitelj za 1000 puta, čime ćemo umnožak povećati za 100 000 puta. Dakle, množenjem 1227 sa 21, dobivamo:

1 227 21 = 25 767.

Uzimajući u obzir da je dobiveni umnožak 100.000 puta veći od pravog, sada ga moramo smanjiti za 100.000 puta pravilnim stavljanjem zareza, tada dobivamo:

32,27 0,021 = 0,25767.

Provjerimo:

Dakle, da bismo pomnožili dva decimalna razlomka, dovoljno ih je, ne pazeći na zareze, pomnožiti kao cijele brojeve i u umnošku odvojiti zarezom s desne strane onoliko decimala koliko ih je bilo u množeniku i u faktor zajedno.

U posljednjem primjeru rezultat je umnožak s pet decimala. Ako takva veća točnost nije potrebna, tada se vrši zaokruživanje decimalnog razlomka. Prilikom zaokruživanja trebate koristiti isto pravilo koje je navedeno za cijele brojeve.

§ 110. Množenje pomoću tablica.

Množenje decimala ponekad se može izvesti pomoću tablica. U tu svrhu možete, na primjer, koristiti one tablice množenja dvoznamenkastih brojeva, čiji je opis dat ranije.

1) Pomnožite 53 s 1,5.

Pomnožit ćemo 53 s 15. U tablici je ovaj umnožak jednak 795. Našli smo umnožak 53 s 15, ali je naš drugi faktor bio 10 puta manji, što znači da se umnožak mora smanjiti 10 puta, tj.

53 1,5 = 79,5.

2) Pomnožite 5,3 sa 4,7.

Prvo, pronađimo umnožak 53 sa 47 u tablici, to će biti 2491. Ali budući da smo množenik i množitelj povećali za ukupno 100 puta, tada je dobiveni umnožak 100 puta veći nego što bi trebao biti; tako da ovaj proizvod moramo smanjiti za faktor 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Pomnožite 0,53 sa 7,4.

Najprije u tablici nalazimo umnožak 53 sa 74; ovo će biti 3922. Ali budući da smo množitelj povećali za 100 puta, a množitelj za 10 puta, proizvod se povećao za 1000 puta; pa ga sada moramo smanjiti za faktor 1000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Dijeljenje decimala.

Gledat ćemo decimalno dijeljenje ovim redom:

1. Dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem,

1. Dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem.

1) Podijelite 2,46 s 2.

Prvo smo podijelili s 2 cijela broja, zatim desetinke i na kraju stotinke.

2) Podijelite 32,46 s 3.

32,46: 3 = 10,82.

Podijelili smo 3 desetice s 3, zatim smo počeli dijeliti 2 jedinice s 3; budući da je broj jedinica dividende (2) manji od djelitelja (3), morali smo staviti 0 u kvocijent; nadalje, ostatku smo srušili 4 desetine i podijelili 24 desetine s 3; primio privatno 8 desetina i napokon podijelio 6 stotaka.

3) Podijelite 1,2345 s 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Ovdje je u kvocijentu na prvom mjestu ispalo nula cijelih brojeva, jer jedan cijeli broj nije djeljiv s 5.

4) Podijelite 13,58 s 4.

Posebnost ovog primjera je da kada smo privatno dobili 9 stotinki, onda se našao ostatak jednak 2 stotinke, taj smo ostatak podijelili na tisućinke, dobili 20 tisućinki i doveli dijeljenje do kraja.

Pravilo. Dijeljenje decimalnog razlomka s cijelim brojem provodi se na isti način kao i dijeljenje cijelih brojeva, a dobiveni se ostaci pretvaraju u decimalne razlomke, sve manje; dijeljenje se nastavlja sve dok ostatak ne bude nula.

2. Dijeljenje decimalnog razlomka decimalnim razlomkom.

1) Podijelite 2,46 s 0,2.

Već znamo kako podijeliti decimalni razlomak cijelim brojem. Razmislimo može li se i ovaj novi slučaj dijeljenja svesti na prethodni? Svojedobno smo razmatrali izvanredno svojstvo kvocijenta, koje se sastoji u tome da on ostaje nepromijenjen dok se dividenda i djelitelj povećavaju ili smanjuju za isti broj puta. Lako bismo izvršili dijeljenje brojeva koji su nam ponuđeni da je djelitelj cijeli broj. Za to ga je dovoljno povećati 10 puta, a da bi se dobio točan kvocijent, potrebno je dividendu povećati za isti broj puta, odnosno 10 puta. Tada će dijeljenje ovih brojeva biti zamijenjeno dijeljenjem takvih brojeva:

i nema potrebe davati bilo kakve izmjene nasamo.

Napravimo ovu podjelu:

Dakle, 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Podijelite 1,25 s 1,6.

Povećavamo djelitelj (1.6) za 10 puta; da se kvocijent ne promijeni, dividendu povećamo za 10 puta; 12 cijelih brojeva nije djeljivo sa 16, pa upišemo u kvocijent 0 i podijelimo 125 desetinki sa 16, dobijemo 7 desetinki u kvocijentu i ostatak je 13. 13 desetinki podijelimo na stotinke tako da dodamo nulu, a 130 stotinki podijelimo sa 16 itd. Obratite pozornost na sljedeće:

a) kada se u količniku ne dobiju cijeli brojevi, umjesto njih se upisuju nula;

b) kad se nakon uzimanja znamenke djelitelja na ostatak dobije broj koji nije djeljiv djeliteljem, tada se u količniku upisuje nula;

c) kada nakon uklanjanja zadnje znamenke dividende dijeljenje ne završi, tada se dodavanjem nula ostacima nastavlja dijeljenje;

d) ako je dividenda cijeli broj, tada se pri dijeljenju s decimalnim razlomkom njezino povećanje provodi pripisivanjem nula.

Dakle, da biste podijelili broj decimalnim razlomkom, potrebno je odbaciti zarez u djelitelju, a zatim povećati djelitelj onoliko puta koliko se djelitelj povećao kad je u njemu ispušten zarez, a zatim izvršiti dijeljenje prema pravilo dijeljenja decimalnog razlomka cijelim brojem.

§ 112. Približni kvocijent.

U prethodnom odlomku razmatrali smo dijeljenje decimalnih razlomaka, au svim primjerima koje smo rješavali dijeljenje je dovedeno do kraja, odnosno dobiven je točan količnik. Međutim, u većini slučajeva ne može se dobiti točan kvocijent, koliko god produžili dijeljenje. Evo jednog takvog slučaja: podijelite 53 sa 101.

Već smo dobili pet znamenki u količniku, ali dijeljenje još nije završilo i nema nade da će ikada završiti, budući da se u ostatku počinju pojavljivati ​​brojevi koje smo prije upoznali. Brojevi će se također ponavljati u kvocijentu: očito će nakon broja 7 doći broj 5, zatim 2 i tako dalje bez kraja. U takvim slučajevima dijeljenje se prekida i ograničava na prvih nekoliko znamenki kvocijenta. Ovo privatno se zove približan. Kako izvršiti podjelu u ovom slučaju, pokazat ćemo primjerima.

Neka je potrebno podijeliti 25 s 3. Očito je da se takvim dijeljenjem ne može dobiti točan kvocijent, izražen kao cijeli broj ili decimalni razlomak. Stoga ćemo tražiti približan kvocijent:

25: 3 = 8 i ostatak 1

Približan kvocijent je 8; to je, naravno, manje od točnog kvocijenta, jer postoji ostatak 1. Da biste dobili točan kvocijent, potrebno je pronađenom približnom kvocijentu, odnosno 8, dodati razlomak koji nastane dijeljenjem ostatka , jednako 1, za 3; to će biti razlomak 1/3. To znači da će točan kvocijent biti izražen kao mješoviti broj 8 1/3. Kako je 1/3 pravi razlomak, tj. razlomak, manje od jednog, onda, odbacujući ga, pretpostavljamo greška, koji manje od jednog. Privatni 8 će približan kvocijent do jedan s nedostatkom. Ako uzmemo 9 umjesto 8, tada također dopuštamo grešku manju od jedan, jer nećemo dodati cijelu jedinicu, već 2/3. Takva privatna oporuka približni kvocijent do jedan s viškom.

Uzmimo sada još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 27 s 8. Budući da ovdje nećemo dobiti točan kvocijent izražen kao cijeli broj, tražit ćemo približni kvocijent:

27: 8 = 3 i ostatak 3.

Ovdje je pogreška 3/8, manja je od jedan, što znači da se približni kvocijent (3) nalazi do jedan s nedostatkom. Nastavljamo dijeljenje: ostatak od 3 dijelimo na desetine, dobivamo 30 desetina; Podijelimo ih sa 8.

Dobili smo privatno na licu mjesta 3 desetine, au ostatku b desetine. Ako se posebno ograničimo na broj 3.3 i odbacimo ostatak 6, tada ćemo dopustiti pogrešku manju od jedne desetine. Zašto? Zato što bi se točan kvocijent dobio kada bismo 3,3 dodali rezultat dijeljenja 6 desetinki s 8; iz ove podjele bi bilo 6/80, što je manje od jedne desetine. (Provjeri!) Dakle, ako se ograničimo na desetinke u kvocijentu, tada možemo reći da smo pronašli kvocijent točno do jedne desetine(s nedostatkom).

Nastavimo s dijeljenjem kako bismo pronašli još jedno decimalno mjesto. Da bismo to učinili, podijelimo 6 desetina na stotinke i dobijemo 60 stotinki; Podijelimo ih sa 8.

Privatno na trećem mjestu ispalo je 7, au ostatku 4 stotinke; ako ih odbacimo, tada dopuštamo pogrešku manju od jedne stotinke, jer je 4 stotinke podijeljeno s 8 manje od jedne stotinke. U takvim slučajevima kaže se da je kvocijent pronađen. točno do jedne stotinke(s nedostatkom).

U primjeru koji sada razmatramo možete dobiti točan kvocijent, izražen kao decimalni razlomak. Da biste to učinili, dovoljno je posljednji ostatak, 4 stotinke, podijeliti na tisućinke i podijeliti s 8.

Međutim, u velikoj većini slučajeva nemoguće je dobiti točan kvocijent i treba se ograničiti na njegove približne vrijednosti. Sada ćemo razmotriti takav primjer:

40: 7 = 5,71428571...

Točke na kraju broja označavaju da dijeljenje nije dovršeno, odnosno da je jednakost približna. Obično se približna jednakost piše ovako:

40: 7 = 5,71428571.

Uzeli smo kvocijent s osam decimala. Ali ako nije potrebna tako velika preciznost, može se ograničiti na cijeli dio kvocijenta, tj. na broj 5 (točnije, 6); radi veće točnosti, desetinke se mogu uzeti u obzir i kvocijent uzeti jednak 5,7; ako iz nekog razloga ta točnost nije dovoljna, tada se možemo zaustaviti na stotinkama i uzeti 5,71, itd. Napišimo pojedinačne kvocijente i imenujemo ih.

Prvi približni kvocijent do jedan 6.

Drugi » » » do jedne desetine 5.7.

Treći » » » do stotinke 5,71.

Četvrti » » » do jedne tisućinke od 5.714.

Dakle, da bi se dobio približni kvocijent do neke, na primjer, 3. decimale (tj. do jedne tisućinke), dijeljenje se zaustavlja čim se pronađe ovaj znak. U ovom slučaju treba zapamtiti pravilo navedeno u § 40.

§ 113. Najjednostavniji zadaci za kamate.

Nakon proučavanja decimalnih razlomaka, riješit ćemo još nekoliko problema s postotcima.

Ovi su zadaci slični onima koje smo rješavali u odjelu običnih razlomaka; ali sada ćemo stotinke pisati u obliku decimalnih razlomaka, dakle bez eksplicitno označenog nazivnika.

Prije svega, morate se moći lako prebaciti s običnog razlomka na decimalni razlomak s nazivnikom 100. Da biste to učinili, morate brojnik podijeliti s nazivnikom:

Tablica u nastavku pokazuje kako se broj sa simbolom % (postotak) zamjenjuje decimalom s nazivnikom 100:

Razmotrimo sada nekoliko problema.

1. Određivanje postotaka zadanog broja.

Zadatak 1. U jednom selu živi samo 1600 ljudi. Broj djece školske dobi je 25% od ukupnog stanovništva. Koliko je djece školske dobi u ovom selu?

U ovom zadatku trebate pronaći 25%, ili 0,25 od 1600. Zadatak se rješava množenjem:

1.600 0,25 = 400 (djeca).

Prema tome, 25% od 1600 je 400.

Za jasno razumijevanje ovog zadatka korisno je podsjetiti da na stotinjak stanovnika dolazi 25 djece školske dobi. Stoga, da biste pronašli broj sve djece školske dobi, prvo možete saznati koliko stotina ima broj 1600 (16), a zatim pomnožite 25 s brojem stotina (25 x 16 = 400). Na taj način možete provjeriti valjanost rješenja.

Zadatak 2.Štedionice daju štedišama 2% prihoda godišnje. Koliki će prihod godišnje dobiti deponent koji je položio: a) 200 rubalja? b) 500 rubalja? c) 750 rubalja? d) 1000 rubalja?

U sva četiri slučaja, za rješavanje problema bit će potrebno izračunati 0,02 od navedenih iznosa, tj. svaki od ovih brojeva morat će se pomnožiti s 0,02. Učinimo to:

a) 200 0,02 = 4 (rubalja),

b) 500 0,02 = 10 (rubalja),

c) 750 0,02 = 15 (rubalja),

d) 1.000 0,02 = 20 (rubalja).

Svaki od ovih slučajeva može se provjeriti sljedećim razmatranjima. Štedionice daju štedišama 2% prihoda, odnosno 0,02 od iznosa položenog na štednju. Ako je iznos 100 rubalja, tada bi 0,02 od toga bilo 2 rublja. To znači da svaka stotka donosi deponentu 2 rublje. prihod. Stoga je u svakom od razmatranih slučajeva dovoljno odrediti koliko je stotina u određenom broju i pomnožiti 2 rublje s tim brojem stotina. U primjeru a) stotine 2, dakle

2 2 \u003d 4 (rubalja).

U primjeru d) stotine su 10, što znači

2 10 \u003d 20 (rubalja).

2. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.

Zadatak 1. U proljeće je školu završilo 54 učenika, što je 6% od ukupnog broja učenika. Koliko je učenika bilo u školi tijekom prošle školske godine?

Najprije razjasnimo značenje ovog problema. Školu su završila 54 učenika, što je 6% od ukupnog broja učenika, odnosno 6 stotinki (0,06) svih učenika škole. To znači da znamo dio učenika izražen brojem (54) i razlomkom (0,06), a iz tog razlomka moramo pronaći cijeli broj. Dakle, pred nama je običan problem nalaženja broja po njegovom razlomku (§ 90 str. 6). Problemi ove vrste rješavaju se dijeljenjem:

To znači da je u školi bilo 900 učenika.

Takve zadatke korisno je provjeriti rješavanjem inverznog zadatka, tj. nakon rješavanja zadatka treba barem u mislima riješiti zadatak prvog tipa (pronalaženje postotka zadanog broja): uzmite pronađeni broj ( 900) kako je zadano i iz njega pronađite postotak naveden u riješenom zadatku, naime:

900 0,06 = 54.

Zadatak 2. Obitelj troši 780 rubalja na hranu tijekom mjeseca, što je 65% očevih mjesečnih prihoda. Odredite njegov mjesečni prihod.

Ovaj zadatak ima isto značenje kao i prethodni. Daje dio mjesečne zarade, izražen u rubljima (780 rubalja), i pokazuje da taj dio iznosi 65%, odnosno 0,65, ukupne zarade. A željena je cjelokupna zarada:

780: 0,65 = 1 200.

Stoga je željena zarada 1200 rubalja.

3. Određivanje postotka brojeva.

Zadatak 1.Školska knjižnica broji ukupno 6000 knjiga. Među njima je 1200 knjiga iz matematike. Koliki postotak matematičkih knjiga čini ukupan broj knjiga u knjižnici?

Već smo razmatrali (§97) ovu vrstu problema i došli do zaključka da za izračunavanje postotka dvaju brojeva trebate pronaći omjer tih brojeva i pomnožiti ga sa 100.

U našem zadatku trebamo pronaći postotak brojeva 1200 i 6000.

Prvo nađemo njihov omjer, a zatim ga pomnožimo sa 100:

Dakle, postotak brojeva 1200 i 6000 je 20. Drugim riječima, knjige iz matematike čine 20% od ukupnog broja svih knjiga.

Da bismo provjerili, rješavamo inverzni problem: pronađite 20% od 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

Zadatak 2. Tvornica bi trebala primiti 200 tona ugljena. Već je isporučeno 80 tona.Koliko je postotaka ugljena isporučeno u postrojenje?

Ovaj problem postavlja pitanje koliki je postotak jednog broja (80) u odnosu na drugi (200). Omjer ovih brojeva bit će 80/200. Pomnožimo to sa 100:

To znači da je isporučeno 40% ugljena.

Decimalno množenje odvija u tri faze.

Decimale se pišu u stupac i množe kao obični brojevi.

Brojimo broj decimalnih mjesta za prvu i drugu decimalu. Dodajemo njihov broj.

U dobivenom rezultatu brojimo s desna na lijevo onoliko znamenki koliko ih je ispalo u gornjem odlomku i stavljamo zarez.

Kako množiti decimale

Decimalne razlomke zapisujemo u stupac i množimo ih kao prirodne brojeve, zanemarujući zareze. Odnosno, 3,11 smatramo 311, a 0,01 1.

Primljeno 311 . Sada računamo broj znakova (znamenki) iza decimalne točke za oba razlomka. Prva decimala ima dvije znamenke, a druga dvije. Ukupan broj znamenki iza zareza:

Brojimo s desna na lijevo 4 znaka (broja) dobivenog broja. U rezultatu ima manje znamenki nego što je potrebno odvojiti zarezom. U tom slučaju trebate lijevo dodijeliti broj nula koji nedostaje.

Nedostaje nam jedna znamenka, pa jednu nulu pripisujemo lijevo.

Pri množenju bilo kojeg decimalnog razlomka na 10; 100; 1000 itd. decimalna točka pomiče se udesno za onoliko znamenki koliko ima nula iza jedinice.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5,6 1000 = 5600

Za množenje decimale s 0,1; 0,01; 0,001 itd. potrebno je u ovom razlomku zarez pomaknuti ulijevo za onoliko znamenki koliko je nula ispred jedinice.

Brojimo nula cijelih brojeva!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1,256 0,01 = 0,012 56

Da bismo razumjeli kako množiti decimale, pogledajmo konkretne primjere.

Pravilo decimalnog množenja

1) Množimo, zanemarujući zarez.

2) Kao rezultat, odvajamo onoliko znamenki iza zareza koliko ima iza zareza u oba faktora zajedno.

Pronađite umnožak decimala:

Za množenje decimala, množimo ne obraćajući pažnju na zareze. Odnosno, ne množimo 6,8 i 3,4, već 68 i 34. Kao rezultat, odvajamo onoliko znamenki iza decimalne točke koliko ima iza zareza u oba faktora zajedno. U prvom množitelju je jedna znamenka iza decimalne točke, u drugom također jedan. Ukupno odvajamo dvije znamenke iza decimalne točke, pa smo dobili konačan odgovor: 6,8∙3,4=23,12.

Množenje decimala bez uzimanja u obzir zareza. To jest, zapravo, umjesto množenja 36,85 s 1,14, množimo 3685 s 14. Dobivamo 51590. Sada, u ovom rezultatu, trebamo zarezom odvojiti onoliko znamenki koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije znamenke iza decimalne točke, drugi ima jednu. Ukupno tri znamenke odvajamo zarezom. Budući da je na kraju unosa nakon decimalne točke nula, ne pišemo je u odgovoru: 36,85∙1,4=51,59.

Da bismo pomnožili te decimale, množimo brojeve bez obraćanja pozornosti na zareze. Odnosno, pomnožimo prirodne brojeve 2315 i 7. Dobijemo 16205. U tom broju iza decimalne točke moraju biti odvojene četiri znamenke - onoliko koliko ih ima u oba faktora zajedno (po dvije u svakom). Konačni odgovor: 23,15∙0,07=1,6205.

Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem vrši se na isti način. Brojeve množimo ne vodeći računa o zarezu, odnosno 75 množimo sa 16. U dobivenom rezultatu iza zareza treba stajati onoliko predznaka koliko ima oba faktora zajedno - jedan. Dakle, 75∙1,6=120,0=120.

Množenje decimalnih razlomaka počinjemo množenjem prirodnih brojeva, budući da ne obraćamo pažnju na zareze. Nakon toga odvajamo onoliko znamenki iza zareza koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije decimale, a drugi dvije decimale. Ukupno, kao rezultat, nakon decimalne točke bi trebale biti četiri znamenke: 4,72∙5,04=23,7888.

I još par primjera za množenje decimalnih razlomaka:

www.for6cl.uznateshe.ru

Množenje decimalnih razlomaka, pravila, primjeri, rješenja.

Okrećemo se proučavanju sljedeće akcije s decimalnim razlomcima, sada ćemo sveobuhvatno razmotriti množenje decimala. Prvo, raspravimo opća načela množenja decimalnih razlomaka. Nakon toga prijeđimo na množenje decimalnog razlomka decimalnim razlomkom, pokažimo kako se izvodi množenje decimalnih razlomaka stupcem, razmotrimo rješenja primjera. Zatim ćemo analizirati množenje decimalnih razlomaka prirodnim brojevima, posebno s 10, 100 itd. Zaključno, razgovarajmo o množenju decimalnih razlomaka običnim razlomcima i mješovitim brojevima.

Recimo odmah da ćemo u ovom članku govoriti samo o množenju pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi analizirani su u člancima množenje racionalnih brojeva i množenje realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opća načela množenja decimala

Razmotrimo opća načela kojih se trebamo pridržavati prilikom množenja decimalnim razlomcima.

Budući da su decimale na kraju i beskonačni periodični razlomci decimalni oblik običnih razlomaka, množenje takvih decimala u biti je množenje običnih razlomaka. Drugim riječima, množenje konačnih decimala, množenje konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, kao i množenje periodičnih decimala svodi se na množenje običnih razlomaka nakon pretvaranja decimalnih razlomaka u obične.

Razmotrite primjere primjene glasovnog načela množenja decimalnih razlomaka.

Izvršite množenje decimala 1,5 i 0,75.

Zamijenimo umnožene decimalne razlomke odgovarajućim običnim razlomcima. Budući da je 1,5=15/10 i 0,75=75/100, onda. Možete smanjiti razlomak, a zatim odabrati cijeli dio iz nepravog razlomka, a prikladnije je zapisati dobiveni obični razlomak 1 125/1 000 kao decimalni razlomak 1,125.

Treba napomenuti da je prikladno množiti konačne decimalne frakcije u stupcu, o ovoj metodi množenja decimalnih frakcija ćemo govoriti u sljedećem odlomku.

Razmotrimo primjer množenja periodičnih decimalnih razlomaka.

Izračunajte umnožak periodičnih decimala 0,(3) i 2,(36) .

Pretvorimo periodične decimalne razlomke u obične razlomke:

Zatim. Možete pretvoriti dobiveni obični razlomak u decimalni razlomak:


Ako među umnoženim decimalnim razlomcima ima beskonačno neperiodičnih razlomaka, tada sve umnožene razlomke, uključujući konačne i periodične, treba zaokružiti na određenu znamenku (vidi zaokruživanje brojeva), a zatim izvršiti množenje konačnih decimalnih razlomaka dobivenih zaokruživanjem.

Pomnožite decimale 5,382… i 0,2.

Prvo, zaokružujemo beskonačni neperiodični decimalni razlomak, zaokruživanje se može učiniti na stotinke, imamo 5,382 ... ≈5,38. Konačni decimalni razlomak 0,2 ne treba zaokruživati ​​na stotinke. Dakle, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Ostaje izračunati proizvod konačnih decimalnih razlomaka: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1,076.

Množenje decimalnih razlomaka stupcem

Množenje konačnih decimalnih razlomaka može se izvesti stupcem, slično množenju stupcem prirodnih brojeva.

Idemo formulirati pravilo množenja decimalnih razlomaka. Da biste decimalne razlomke pomnožili stupcem, trebate:

• zanemarujući zareze, izvoditi množenje prema svim pravilima množenja stupcem prirodnih brojeva;
• u dobivenom broju decimalnom točkom s desne strane odvojite onoliko znamenaka koliko ima decimalnih mjesta u oba faktora zajedno, a ako nema dovoljno znamenaka u umnošku, tada s lijeve strane treba dodati potreban broj nula.

Razmotrite primjere množenja decimalnih razlomaka stupcem.

Pomnožite decimale 63,37 i 0,12.

Izvršimo množenje decimalnih razlomaka stupcem. Prvo množimo brojeve, zanemarujući zareze:


Ostaje staviti zarez u dobiveni proizvod. Ona treba odvojiti 4 znamenke s desne strane, budući da faktori imaju četiri decimale (dva u razlomku 3,37 i dva u razlomku 0,12). Tamo ima dovoljno brojeva, tako da ne morate dodavati nule s lijeve strane. Završimo zapis:


Kao rezultat, imamo 3,37 0,12 = 7,6044.

Izračunajte umnožak decimala 3,2601 i 0,0254.

Izvršivši množenje stupcem bez uzimanja u obzir zareza, dobivamo sljedeću sliku:


Sada u proizvodu trebate odvojiti 8 znamenki s desne strane zarezom, budući da je ukupan broj decimalnih mjesta umnoženih razlomaka osam. Ali proizvod ima samo 7 znamenki, stoga trebate dodijeliti onoliko nula s lijeve strane da se 8 znamenki može odvojiti zarezom. U našem slučaju, moramo dodijeliti dvije nule:


Time je završeno množenje decimalnih razlomaka stupcem.

Množenje decimala s 0,1, 0,01 itd.

Vrlo često morate množiti decimale s 0,1, 0,01 i tako dalje. Stoga je preporučljivo formulirati pravilo za množenje decimalnog razlomka ovim brojevima, što proizlazi iz gore razmotrenih načela množenja decimalnih razlomaka.

Tako, množenje zadane decimale s 0,1, 0,01, 0,001 i tako dalje daje razlomak, koji se dobiva iz izvornog, ako se u njegovom unosu zarez pomakne ulijevo za 1, 2, 3 i tako redom znamenke, a ako nema dovoljno znamenki za pomicanje zareza, tada se trebate dodati potreban broj nula s lijeve strane.

Na primjer, da biste pomnožili decimalni razlomak 54,34 s 0,1, trebate pomaknuti decimalni zarez ulijevo za 1 znamenku u razlomku 54,34 i dobit ćete razlomak 5,434, odnosno 54,34 0,1 \u003d 5,434. Uzmimo drugi primjer. Pomnožite decimalni razlomak 9,3 s 0,0001. Da bismo to učinili, moramo pomaknuti zarez 4 znamenke ulijevo u umnoženom decimalnom razlomku 9.3, ali zapis razlomka 9.3 ne sadrži toliki broj znakova. Dakle, moramo dodijeliti što više nula u zapisu razlomka 9.3 s lijeve strane kako bismo lako mogli prenijeti zarez na 4 znamenke, imamo 9.3 0.0001 \u003d 0.00093.

Imajte na umu da najavljeno pravilo za množenje decimalnog razlomka s 0,1, 0,01, ... vrijedi i za beskonačne decimalne razlomke. Na primjer, 0,(18) 0,01=0,00(18) ili 93,938… 0,1=9,3938… .

Množenje decimale prirodnim brojem

U svojoj srži množenje decimala prirodnim brojevima ne razlikuje se od množenja decimale decimalom.

Najpogodnije je množiti konačni decimalni razlomak s prirodnim brojem stupcem, dok se trebate pridržavati pravila za množenje stupcem decimalnih razlomaka o kojima smo govorili u jednom od prethodnih odlomaka.

Izračunaj umnožak 15 2.27 .

Izvršimo množenje prirodnog broja decimalnim razlomkom u stupcu:


Pri množenju periodičkog decimalnog razlomka prirodnim brojem periodični razlomak treba zamijeniti običnim razlomkom.

Pomnožite decimalni razlomak 0,(42) prirodnim brojem 22.

Prvo, pretvorimo periodičku decimalu u obični razlomak:

Sada izvršimo množenje: . Ovaj decimalni rezultat je 9,(3) .

A kad množite beskonačni neperiodični decimalni razlomak s prirodnim brojem, prvo morate zaokružiti.

Izvršite množenje 4 2.145….

Zaokružujući na stotinke izvorni beskonačni decimalni razlomak, doći ćemo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka. Imamo 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Množenje decimale s 10, 100, ...

Vrlo često morate množiti decimalne razlomke s 10, 100, ... Stoga je preporučljivo detaljno se zadržati na ovim slučajevima.

Hajdemo glas pravilo za množenje decimale s 10, 100, 1000 itd. Kada decimalni razlomak množite s 10, 100, ... u njegovom unosu, trebate pomaknuti zarez udesno za 1, 2, 3, ... znamenke, redom, i odbaciti dodatne nule s lijeve strane; ako u zapisu umnoženog ulomka nema dovoljno znamenki za prijenos zareza, potrebno je dodati potreban broj nula s desne strane.

Pomnožite decimalu 0,0783 sa 100.

Prenesimo razlomak 0,0783 dvije znamenke desno u zapis, i dobit ćemo 007,83. Ispuštanjem dvije nule s lijeve strane dobivamo decimalni razlomak 7,38. Dakle, 0,0783 100=7,83.

Pomnožite decimalni razlomak 0,02 s 10 000.

Da bismo pomnožili 0,02 s 10 000, moramo pomaknuti zarez za 4 znamenke udesno. Očito u zapisu razlomka 0,02 nema dovoljno znamenki za prijenos zareza na 4 znamenke, pa ćemo dodati nekoliko nula s desne strane kako bi se zarez mogao prenijeti. U našem primjeru dovoljno je dodati tri nule, imamo 0,02000. Nakon pomicanja zareza dobivamo unos 00200.0 . Ispuštanjem nula s lijeve strane dobivamo broj 200,0, koji je jednak prirodnom broju 200, rezultat je množenja decimalnog razlomka 0,02 s 10 000.

Navedeno pravilo vrijedi i za množenje beskonačnih decimalnih razlomaka s 10, 100, ... Kod množenja periodičnih decimalnih razlomaka treba paziti na period razlomka koji je rezultat množenja.

Pomnožite periodičku decimalu 5,32(672) s 1000.

Prije množenja periodični decimalni razlomak zapišemo kao 5,32672672672 ..., to će nam omogućiti da izbjegnemo pogreške. Sada pomaknimo zarez udesno za 3 znamenke, imamo 5 326,726726 ... . Tako se nakon množenja dobije periodični decimalni razlomak 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Kod množenja beskonačnih neperiodičnih razlomaka s 10, 100, ... potrebno je prvo zaokružiti beskonačni razlomak na određenu znamenku, a zatim izvršiti množenje.

Množenje decimale običnim razlomkom ili mješovitim brojem

Da biste pomnožili konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični decimalni razlomak s običnim razlomkom ili mješovitim brojem, trebate predstaviti decimalni razlomak kao obični razlomak, a zatim izvršiti množenje.

Pomnožite decimalni razlomak 0,4 s mješovitim brojem.

Budući da je 0,4=4/10=2/5 i tada. Rezultirajući broj može se napisati kao periodični decimalni razlomak 1.5(3) .

Kod množenja beskonačnog neperiodičnog decimalnog razlomka običnim razlomkom ili mješovitim brojem, obični razlomak ili mješoviti broj treba zamijeniti decimalnim razlomkom, zatim zaokružiti umnožene razlomke i završiti izračun.

Budući da je 2/3 \u003d 0,6666 ..., dakle. Nakon zaokruživanja umnoženih razlomaka na tisućinke, dolazimo do umnoška dvaju konačnih decimalnih razlomaka 3,568 i 0,667. Izvršimo množenje u stupcu:


Dobiveni rezultat treba zaokružiti na tisućinke, budući da su umnoženi razlomci uzeti s točnošću tisućinki, imamo 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Množenje decimalnih razlomaka. Pravila




Pronađite površinu pravokutnika s jednakim stranicama
1,4 dm i 0,3 dm. Pretvorite decimetre u centimetre:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Sada izračunajmo površinu u centimetrima.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm 2.

Pretvorite kvadratne centimetre u kvadrat
decimetri:

d m 2 \u003d 0,42 d m 2.

Dakle, S \u003d 1,4 dm 0,3 dm \u003d 0,42 dm 2.

Množenje dvije decimale radi se ovako:
1) brojevi se množe bez uzimanja u obzir zareza.
2) zarez u proizvodu stavlja se tako da se odvaja s desne strane
onoliko znakova koliko je razdvojeno u oba faktora
Uzeto zajedno. Na primjer:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Primjeri množenja decimalnih razlomaka u stupcu:



Umjesto množenja bilo kojeg broja s 0,1; 0,01; 0,001
ovaj broj možete podijeliti s 10; 100 ; odnosno 1000.
Na primjer:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Kada decimalni razlomak množimo prirodnim brojem, moramo:

1) množite brojeve, zanemarujući zarez;

2) u rezultirajućem proizvodu stavite zarez tako da s desne strane
od njega je bilo onoliko znamenki koliko u decimalnom razlomku.

Pronađimo proizvod 3.12 10 . Prema gornjem pravilu
prvo pomnožite 312 s 10 . Dobivamo: 312 10 \u003d 3120.
A sada dvije znamenke s desne strane odvojimo zarezom i dobijemo:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Dakle, kada smo množili 3,12 s 10, pomaknuli smo zarez za jedan
broj desno. Ako pomnožimo 3,12 sa 100, dobijemo 312, tj
zarez je pomaknut dvije znamenke udesno.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Kada množite decimalni razlomak s 10, 100, 1000 itd., trebate
u ovom razlomku pomaknite zarez udesno onoliko znakova koliko ima nula
nalazi se u množitelju. Na primjer:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Zadaci na temu "Množenje decimalnih razlomaka"

school-assistant.ru

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje decimala

Zbrajanje i oduzimanje decimala slično je zbrajanju i oduzimanju prirodnih brojeva, ali uz određene uvjete.

Pravilo. sastoji se od znamenki cijelog i razlomljenog dijela kao prirodnih brojeva.

Kad je napisano zbrajanje i oduzimanje decimala zarez koji odvaja cjelobrojni dio od razlomljenog mora biti u članovima i zbroju ili umanjeniku, oduzetiku i razlici u jednom stupcu (zarez ispod zareza od uvjeta do kraja izračuna).

Zbrajanje i oduzimanje decimala na liniju:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Zbrajanje i oduzimanje decimala u stupcu:

Zbrajanje decimalnih razlomaka zahtijeva gornji dodatni red za pisanje brojeva kada zbroj znamenki prelazi deseticu. Oduzimanje decimala zahtijeva gornji dodatni red za označavanje znamenke u kojoj se 1 posuđuje.

Ako nema dovoljno znamenki razlomljenog dijela desno od izraza ili smanjeno, tada se onoliko nula može dodati desno u razlomljenom dijelu (povećati dubinu bita razlomljenog dijela) koliko ima znamenki u drugom izrazu ili smanjena.

Decimalno množenje izvodi se na isti način kao i množenje prirodnih brojeva, prema istim pravilima, ali se u umnošku stavlja zarez prema zbroju znamenki faktora u razlomku, računajući s desna na lijevo (zbroj znamenki faktora je broj znamenki iza decimalne točke za faktore zajedno).

Na množenje decimala u stupcu se prva značajna znamenka s desne strane potpisuje ispod prve značajne znamenke s desne strane, kao u prirodnim brojevima:

Snimanje množenje decimala u stupcu:

Snimanje decimalno dijeljenje u stupcu:

Podcrtani znakovi su znakovi za prelamanje zareza jer djelitelj mora biti cijeli broj.

Pravilo. Na dijeljenje razlomaka djelitelj decimalnog razlomka povećava se za onoliko znamenki koliko ima znamenki u njegovom razlomačkom dijelu. Kako se razlomak ne bi mijenjao, dividenda se povećava za isti broj znamenki (u dividendi i djelitelju zarez se prenosi na isti broj znakova). Zarez se stavlja u kvocijent u fazi dijeljenja kada se dijeli cijeli dio razlomka.

Za decimalne razlomke, kao i za prirodne brojeve, ostaje pravilo: Ne možete podijeliti decimalu s nulom!

U prošloj lekciji smo naučili kako zbrajati i oduzimati decimalne razlomke (vidi lekciju " Zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka"). Istodobno su procijenili koliko su izračuni pojednostavljeni u usporedbi s uobičajenim "dvokatnim" frakcijama.

Nažalost, kod množenja i dijeljenja decimalnih razlomaka, ovaj učinak se ne pojavljuje. U nekim slučajevima decimalni zapis čak komplicira te operacije.

Prvo, uvedimo novu definiciju. Susretat ćemo ga dosta često, i to ne samo u ovoj lekciji.

Značajan dio broja je sve između prve i zadnje znamenke koja nije nula, uključujući najave. Govorimo samo o brojevima, decimalna točka se ne uzima u obzir.

Znamenke uključene u značajni dio broja nazivaju se značajnim znamenkama. Mogu se ponavljati i čak biti jednaki nuli.

Na primjer, razmotrite nekoliko decimalnih razlomaka i napišite njihove odgovarajuće značajne dijelove:

1. 91,25 → 9125 (značajne brojke: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (značajne brojke: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (značajne brojke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (značajne brojke: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (postoji samo jedna značajna brojka: 3).

Imajte na umu: nule unutar značajnog dijela broja ne idu nikamo. Već smo se susreli s nečim sličnim kada smo učili pretvarati decimalne razlomke u obične (vidi lekciju “Decimalni razlomci”).

Ova točka je toliko važna, a pogreške se ovdje prave tako često da ću objaviti test na ovu temu u bliskoj budućnosti. Obavezno vježbajte! A mi, naoružani konceptom značajnog dijela, nastavit ćemo, zapravo, s temom lekcije.

Decimalno množenje

Operacija množenja sastoji se od tri uzastopna koraka:

1. Za svaki razlomak napiši značajni dio. Dobit ćete dva obična cijela broja - bez ikakvih nazivnika i decimalnih točaka;
2. Pomnožite ove brojeve na bilo koji prikladan način. Izravno, ako su brojevi mali, ili u stupcu. Dobivamo značajan dio željenog razlomka;
3. Saznajte gdje je i za koliko znamenki decimalna točka pomaknuta u izvornim razlomcima da bi se dobio odgovarajući značajni dio. Izvršite obrnute pomake na značajnom dijelu dobivenom u prethodnom koraku.

Još jednom vas podsjećam da se nule na stranama značajnog dijela nikada ne uzimaju u obzir. Ignoriranje ovog pravila dovodi do pogrešaka.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10.000.

Radimo s prvim izrazom: 0,28 12,5.

1. Ispišimo značajne dijelove za brojeve iz ovog izraza: 28 i 125;
2. Njihov umnožak: 28 125 = 3500;
3. U prvom množitelju, decimalna točka je pomaknuta za 2 znamenke udesno (0,28 → 28), au drugom - za još jednu znamenku. Ukupno je potreban pomak ulijevo za tri znamenke: 3500 → 3,500 = 3,5.

Sada se pozabavimo izrazom 6.3 1.08.

1. Ispišimo značajne dijelove: 63 i 108;
2. Njihov umnožak: 63 108 = 6804;
3. Opet dva pomaka udesno: za 2 odnosno 1 znamenku. Ukupno - opet 3 znamenke udesno, tako da će obrnuti pomak biti 3 znamenke ulijevo: 6804 → 6,804. Ovaj put nema nula na kraju.

Došli smo do trećeg izraza: 132,5 0,0034.

1. Značajni dijelovi: 1325. i 34.;
2. Njihov proizvod: 1325 34 = 45 050;
3. U prvom razlomku, decimalna točka ide udesno za 1 znamenku, au drugom - za čak 4. Ukupno: 5 udesno. Izvodimo pomak za 5 ulijevo: 45050 → .45050 = 0.4505. Nula je uklonjena na kraju i dodana naprijed kako ne bi ostala “gola” decimalna točka.

Sljedeći izraz: 0,0108 1600,5.

1. Značajne dijelove zapisujemo: 108 i 16 005;
2. Množimo ih: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Brojimo brojeve nakon decimalne točke: u prvom broju su 4, u drugom - 1. Ukupno - opet 5. Imamo: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na kraju je uklonjena “extra” nula.

Konačno, posljednji izraz: 5,25 10,000.

1. Značajni dijelovi: 525 i 1;
2. Množimo ih: 525 1 = 525;
3. Prvi razlomak je pomaknut za 2 znamenke udesno, a drugi razlomak je pomaknut za 4 znamenke ulijevo (10 000 → 1,0000 = 1). Ukupno 4 − 2 = 2 znamenke lijevo. Izvodimo obrnuti pomak za 2 znamenke udesno: 525, → 52 500 (morali smo dodati nule).

Obratite pozornost na posljednji primjer: budući da se decimalna točka pomiče u različitim smjerovima, ukupni pomak je kroz razliku. Ovo je vrlo važna točka! Evo još jednog primjera:

Razmotrimo brojeve 1,5 i 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (pomak za 1 udesno); 12 500 → 125 (pomak 2 ulijevo). “Koračimo” 1 znamenku udesno, a zatim 2 znamenke ulijevo. Kao rezultat, pomaknuli smo se 2 − 1 = 1 znamenku ulijevo.

Decimalno dijeljenje

Podjela je možda najteža operacija. Naravno, ovdje možete djelovati analogno množenju: podijelite značajne dijelove, a zatim "pomaknite" decimalnu točku. Ali u ovom slučaju postoje mnoge suptilnosti koje negiraju potencijalne uštede.

Dakle, pogledajmo generički algoritam koji je malo duži, ali puno pouzdaniji:

1. Pretvorite sve decimale u obične razlomke. Uz malo vježbe, ovaj korak će vam oduzeti nekoliko sekundi;
2. Dobivene razlomke podijelite na klasičan način. Drugim riječima, pomnožite prvi razlomak s "obrnutim" drugim (pogledajte lekciju " Množenje i dijeljenje brojčanih razlomaka");
3. Ako je moguće, vratite rezultat kao decimalni broj. Ovaj korak je također brz, jer često nazivnik već ima snagu desetice.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Razmotrimo prvi izraz. Prvo, pretvorimo obi razlomke u decimale:

Isto radimo s drugim izrazom. Brojnik prvog razlomka ponovno se rastavlja na faktore:

Postoji važna točka u trećem i četvrtom primjeru: nakon što se riješimo decimalnog zapisa, pojavljuju se poništivi razlomci. Međutim, nećemo izvršiti ovo smanjenje.

Zadnji primjer je zanimljiv jer je brojnik drugog razlomka prost broj. Ovdje se jednostavno nema što faktorizirati, pa ga smatramo "prazno kroz":

Ponekad dijeljenje rezultira cijelim brojem (govorim o zadnjem primjeru). U tom slučaju treći korak se uopće ne izvodi.

Osim toga, pri dijeljenju se često pojavljuju "ružni" razlomci koji se ne mogu pretvoriti u decimale. Tu se dijeljenje razlikuje od množenja, gdje se rezultati uvijek izražavaju u decimalnom obliku. Naravno, u ovom slučaju, zadnji korak se opet ne izvodi.

Obratite pozornost i na 3. i 4. primjer. U njima namjerno ne reduciramo obične razlomke dobivene iz decimala. U suprotnom, to će zakomplicirati inverzni problem - ponovno predstavljanje konačnog odgovora u decimalnom obliku.

Zapamtite: osnovno svojstvo razlomka (kao i bilo koje drugo pravilo u matematici) samo po sebi ne znači da se mora primjenjivati ​​svugdje i uvijek, u svakoj prilici.

Kao obični brojevi.

2. Brojimo broj decimalnih mjesta za 1. decimalni razlomak i za 2. razlomak. Zbrajamo njihov broj.

3. U konačnom rezultatu brojimo s desna na lijevo onoliki broj znamenki koliko je ispalo u gornjem odlomku i stavljamo zarez.

Pravila za množenje decimala.

1. Množite ne pazeći na zarez.

2. U umnošku iza decimalne točke odvajamo onoliko znamenaka koliko iza zareza ima oba faktora zajedno.

Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem, morate:

1. Množite brojeve, zanemarujući zarez;

2. Kao rezultat toga, stavljamo zarez tako da desno od njega ima onoliko znamenki koliko u decimalnom ulomku.

Množenje decimalnih razlomaka stupcem.

Pogledajmo primjer:

Decimalne razlomke zapisujemo u stupac i množimo ih kao prirodne brojeve, zanemarujući zareze. Oni. 3,11 smatramo 311, a 0,01 1.

Rezultat je 311. Zatim brojimo broj decimalnih mjesta (znamenki) za oba razlomka. Postoje 2 znamenke u 1. decimali i 2 u 2. Ukupan broj znamenki iza decimalne točke:

2 + 2 = 4

Brojimo s desna na lijevo četiri znaka rezultata. U konačnom rezultatu ima manje znamenki nego što je potrebno odvojiti zarezom. U tom slučaju potrebno je s lijeve strane dodati broj nula koji nedostaje.

U našem slučaju nedostaje 1. znamenka, pa dodajemo 1 nulu s lijeve strane.

Bilješka:

Množenjem bilo kojeg decimalnog razlomka s 10, 100, 1000 i tako dalje, zarez u decimalnom razlomku pomiče se udesno za onoliko mjesta koliko ima nula iza jedinice.

Na primjer:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Bilješka:

Za množenje decimale s 0,1; 0,01; 0,001; i tako dalje, potrebno je u ovom razlomku pomaknuti zarez ulijevo za onoliko znakova koliko je nula ispred jedinice.

Brojimo nula cijelih brojeva!

Na primjer:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

U ovom vodiču ćemo pogledati svaku od ovih operacija jednu po jednu.

Sadržaj lekcije

Zbrajanje decimala

Kao što znamo, decimala ima cijeli i razlomački dio. Prilikom zbrajanja decimala, cijeli i razlomački dio se zbrajaju odvojeno.

Na primjer, zbrojimo decimale 3.2 i 5.3. Pogodnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu.

Najprije ta dva razlomka upišemo u stupac, pri čemu cijeli dijelovi moraju biti ispod cijelih, a razlomljeni ispod razlomačkih dijelova. U školi se taj zahtjev zove "zarez ispod zareza".

Zapišimo razlomke u stupac tako da zarez bude ispod zareza:

Počinjemo zbrajati razlomke: 2 + 3 \u003d 5. Zapisujemo pet u razlomke našeg odgovora:

Sada zbrajamo cijele dijelove: 3 + 5 = 8. Osam upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:

Sada zarezom odvajamo cijeli dio od razlomka. Da bismo to učinili, ponovno slijedimo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 8.5. Dakle, izraz 3,2 + 5,3 je jednak 8,5

Zapravo, nije sve tako jednostavno kao što se čini na prvi pogled. I ovdje postoje zamke, o kojima ćemo sada govoriti.

Mjesta u decimalama

Decimale, kao i obični brojevi, imaju svoje znamenke. To su desetina, stotinka, tisućinka. U ovom slučaju znamenke počinju nakon decimalne točke.

Prva znamenka nakon decimalne točke odgovara desetinkama, druga znamenka nakon decimalne točke za stotinke, treća znamenka nakon decimalne točke za tisućinke.

Decimalne znamenke pohranjuju neke korisne informacije. Konkretno, oni izvješćuju koliko je desetinki, stotinki i tisućinki u decimali.

Na primjer, razmotrite decimalni broj 0,345

Pozicija na kojoj se nalazi trojka zove se deseto mjesto

Položaj na kojem se nalazi četvorka zove se stotinsko mjesto

Pozicija na kojoj se nalazi petica zove se tisućinke

Pogledajmo ovu figuru. Vidimo da je u kategoriji desetinki trojka. Ovo sugerira da postoje tri desetinke u decimalnom razlomku 0,345.

Ako zbrojimo razlomke, tada ćemo dobiti izvorni decimalni razlomak 0,345

Vidi se da smo prvo dobili odgovor, ali smo ga pretvorili u decimalni razlomak i dobili 0,345.

Pri zbrajanju decimalnih razlomaka slijede se isti principi i pravila kao i kod zbrajanja običnih brojeva. Zbrajanje decimalnih razlomaka događa se znamenkama: desetinke se dodaju desetinkama, stotinke stotinkama, tisućinke tisućinkama.

Stoga je pri zbrajanju decimalnih razlomaka potrebno slijediti pravilo "zarez ispod zareza". Zarez ispod zareza daje isti redoslijed u kojem se desetinke dodaju desetinkama, stotinke stotinkama, tisućinke tisućinkama.

Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 1,5 + 3,4

Prije svega zbrajamo razlomke 5 + 4 = 9. Devetku upisujemo u razlomke našeg odgovora:

Sada zbrajamo cijele dijelove 1 + 3 = 4. Četvorku upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:

Sada zarezom odvajamo cijeli dio od razlomka. Da bismo to učinili, ponovno poštujemo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 4.9. Dakle, vrijednost izraza 1,5 + 3,4 je 4,9

Primjer 2 Odredi vrijednost izraza: 3,51 + 1,22

Ovaj izraz pišemo u stupac, poštujući pravilo "zarez ispod zareza"

Prije svega, dodajte razlomački dio, odnosno stotinke 1+2=3. Trojku pišemo u stoti dio našeg odgovora:

Sada dodajte desetine od 5+2=7. Sedam zapisujemo u deseti dio našeg odgovora:

Sada zbrojite cijele dijelove 3+1=4. Četvorku upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:

Cijeli dio od razlomka odvajamo zarezom, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 4.73. Dakle, vrijednost izraza 3,51 + 1,22 je 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Kao i kod običnih brojeva, kod zbrajanja decimalnih razlomaka, . U tom slučaju jedna znamenka se upisuje u odgovor, a ostale se prenose na sljedeću znamenku.

Primjer 3 Odredi vrijednost izraza 2,65 + 3,27

Ovaj izraz zapisujemo u stupac:

Dodajte stotinke od 5+7=12. Broj 12 neće stati u stoti dio našeg odgovora. Stoga u stoti dio upisujemo broj 2, a jedinicu prenosimo na sljedeći bit:

Sada zbrajamo desetine od 6+2=8 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 9. Broj 9 upisujemo u desetinu našeg odgovora:

Sada zbrojite cijele dijelove 2+3=5. Upisujemo broj 5 u cijeli broj našeg odgovora:

Dobio odgovor 5.92. Dakle, vrijednost izraza 2,65 + 3,27 je 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Primjer 4 Odredi vrijednost izraza 9,5 + 2,8

Napiši ovaj izraz u stupac

Zbrajamo razlomke 5 + 8 = 13. Broj 13 neće stati u razlomak našeg odgovora, pa prvo zapisujemo broj 3, a jedinicu prenosimo na sljedeću znamenku, odnosno prenosimo je na cijeli broj dio:

Sada zbrajamo cijele dijelove 9+2=11 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 12. Upisujemo broj 12 u cijeli dio našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobio odgovor 12.3. Dakle, vrijednost izraza 9,5 + 2,8 je 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Kod zbrajanja decimalnih razlomaka, broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka mora biti isti. Ako nema dovoljno znamenki, tada se ta mjesta u razlomku popunjavaju nulama.

Primjer 5. Odredi vrijednost izraza: 12,725 + 1,7

Prije nego što zapišemo ovaj izraz u stupac, učinimo jednakim broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka. Decimalni razlomak 12,725 ima tri znamenke iza decimalne točke, dok razlomak 1,7 ima samo jednu. Dakle, u razlomku 1,7 na kraju morate dodati dvije nule. Tada dobivamo razlomak 1.700. Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i početi računati:

Dodajte tisućinke 5+0=5. Broj 5 upisujemo u tisućiti dio našeg odgovora:

Dodajte stotinke 2+0=2. Upisujemo broj 2 u stoti dio našeg odgovora:

Dodajte desetine od 7+7=14. Broj 14 neće stati ni u desetinu našeg odgovora. Stoga prvo zapisujemo broj 4, a jedinicu prenosimo na sljedeći bit:

Sada zbrajamo cijele dijelove 12+1=13 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 14. Upisujemo broj 14 u cijeli dio našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobio odgovor 14,425. Dakle, vrijednost izraza 12,725+1,700 je 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Oduzimanje decimala

Kod oduzimanja decimalnih razlomaka morate slijediti ista pravila kao i kod zbrajanja: “zarez ispod zareza” i “jednak broj znamenki iza decimalne točke”.

Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 2,5 − 2,2

Ovaj izraz pišemo u stupac, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":

Računamo razlomački dio 5−2=3. Upisujemo broj 3 u deseti dio našeg odgovora:

Izračunajte cjelobrojni dio 2−2=0. Upisujemo nulu u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobili smo odgovor 0,3. Dakle, vrijednost izraza 2,5 − 2,2 jednaka je 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Primjer 2 Odredite vrijednost izraza 7.353 - 3.1

Ovaj izraz ima različit broj znamenki iza decimalne točke. U razlomku 7.353 tri su znamenke iza decimalne točke, a u razlomku 3.1 samo jedna. To znači da se u razlomku 3.1 moraju dodati dvije nule na kraju kako bi broj znamenki u oba razlomka bio isti. Onda dobijemo 3.100.

Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i izračunati ga:

Dobio sam odgovor 4,253. Dakle, vrijednost izraza 7,353 − 3,1 je 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Kao i kod običnih brojeva, ponekad ćete morati posuditi jedan od susjednog bita ako oduzimanje postane nemoguće.

Primjer 3 Odredi vrijednost izraza 3,46 − 2,39

Oduzmite stotinke od 6−9. Od broja 6 nemojte oduzimati broj 9. Dakle, trebate uzeti jedinicu od susjedne znamenke. Posudivši jedan od susjedne znamenke, broj 6 pretvara se u broj 16. Sada možemo izračunati stotinke od 16−9=7. Upisujemo sedam u stoti dio našeg odgovora:

Sada oduzmite desetine. Budući da smo uzeli jednu jedinicu u kategoriji desetina, brojka koja se tu nalazila smanjila se za jednu jedinicu. Drugim riječima, deseto mjesto sada nije broj 4, već broj 3. Izračunajmo desetinke od 3−3=0. U desetom dijelu našeg odgovora pišemo nulu:

Sada oduzmite cijele dijelove 3−2=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobio odgovor 1.07. Dakle, vrijednost izraza 3,46−2,39 jednaka je 1,07

3,46−2,39=1,07

Primjer 4. Odredite vrijednost izraza 3−1.2

Ovaj primjer oduzima decimalu od cijelog broja. Zapišimo ovaj izraz u stupac tako da cjelobrojni dio decimalnog razlomka 1,23 bude ispod broja 3

Neka sada broj znamenki iza decimalne točke bude isti. Da biste to učinili, nakon broja 3 stavite zarez i dodajte jednu nulu:

Sada oduzmite desetine: 0−2. Nemojte od nule oduzimati broj 2. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne znamenke. Posuđivanjem jedan od susjedne znamenke, 0 se pretvara u broj 10. Sada možete izračunati desetine od 10−2=8. Osmicu upisujemo u deseti dio našeg odgovora:

Sada oduzmite cijele dijelove. Ranije se broj 3 nalazio u cijelom broju, ali smo od njega posudili jednu jedinicu. Zbog toga se pretvorio u broj 2. Stoga oduzimamo 1 od 2. 2−1=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobio odgovor 1.8. Dakle, vrijednost izraza 3−1,2 je 1,8

Decimalno množenje

Množenje decimala je jednostavno, pa čak i zabavno. Da biste množili decimale, morate ih množiti kao obične brojeve, zanemarujući zareze.

Nakon dobivenog odgovora potrebno je zarezom odvojiti cijeli broj od razlomka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka, zatim izbrojati isti broj znamenki s desne strane odgovora i staviti zarez.

Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 2,5 × 1,5

Te decimalne razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze. Kako biste zanemarili zareze, možete privremeno zamisliti da ih uopće nema:

Dobili smo 375. Kod ovog broja potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate prebrojati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 2,5 i 1,5. U prvom razlomku je jedna znamenka iza decimalne točke, u drugom razlomku također jedna. Ukupno dva broja.

Vraćamo se na broj 375 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 3,75. Dakle, vrijednost izraza 2,5 × 1,5 je 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Primjer 2 Odredi vrijednost izraza 12,85 × 2,7

Pomnožimo ove decimale, zanemarujući zareze:

Dobili smo 34695. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 12,85 i 2,7. U razlomku 12.85 dvije su znamenke iza decimalne točke, u razlomku 2.7 jedna je znamenka - ukupno tri znamenke.

Vraćamo se na broj 34695 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 34,695. Dakle, vrijednost izraza 12,85 × 2,7 je 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Množenje decimale regularnim brojem

Ponekad postoje situacije kada trebate pomnožiti decimalni razlomak s običnim brojem.

Da biste pomnožili decimalu i običan broj, morate ih pomnožiti, bez obzira na zarez u decimali. Nakon dobivenog odgovora potrebno je zarezom odvojiti cijeli broj od razlomka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru izbrojati isti broj znamenki s desne strane i staviti zarez.

Na primjer, pomnožite 2,54 s 2

Množimo decimalni razlomak 2,54 s uobičajenim brojem 2, zanemarujući zarez:

Dobili smo broj 508. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,54. Razlomak 2,54 ima dvije znamenke iza decimalne točke.

Vraćamo se na broj 508 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 5.08. Dakle, vrijednost izraza 2,54 × 2 je 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Množenje decimala s 10, 100, 1000

Množenje decimala s 10, 100 ili 1000 radi se na isti način kao i množenje decimala običnim brojevima. Potrebno je izvršiti množenje, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku, zatim u odgovoru odvojiti cijeli broj od razlomka, računajući onoliko znamenki s desne strane koliko je iza decimalne točke bilo znamenki u decimali. frakcija.

Na primjer, pomnožite 2,88 s 10

Pomnožimo decimalni razlomak 2,88 s 10, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku:

Dobili smo 2880. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,88. Vidimo da u razlomku 2,88 postoje dvije znamenke iza decimalne točke.

Vraćamo se na broj 2880 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 28.80. Zadnju nulu odbacujemo - dobivamo 28,8. Dakle, vrijednost izraza 2,88 × 10 je 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Postoji drugi način množenja decimalnih razlomaka s 10, 100, 1000. Ova metoda je mnogo jednostavnija i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 2,88×10 na ovaj način. Bez davanja bilo kakvih izračuna, odmah gledamo faktor 10. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 2,88 pomaknemo decimalnu točku udesno za jednu znamenku, dobivamo 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Pokušajmo 2,88 pomnožiti sa 100. Odmah gledamo faktor 100. Zanima nas koliko je u njemu nula. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 2,88 pomaknemo decimalnu točku udesno za dvije znamenke, dobivamo 288

2,88 x 100 = 288

Pokušajmo 2,88 pomnožiti s 1000. Odmah gledamo faktor 1000. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 2,88 pomičemo decimalnu točku udesno za tri znamenke. Treće znamenke nema, pa dodajemo još jednu nulu. Kao rezultat, dobivamo 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Množenje decimala s 0,1 0,01 i 0,001

Množenje decimala s 0,1, 0,01 i 0,001 funkcionira na isti način kao i množenje decimale s decimalom. Razlomke je potrebno množiti kao obične brojeve, a u odgovoru staviti zarez, računajući onoliko znamenki s desne strane koliko ima znamenki iza decimalne točke u oba razlomka.

Na primjer, pomnožite 3,25 s 0,1

Ove razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze:

Dobili smo 325. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 3,25 i 0,1. U razlomku 3,25 dvije su znamenke iza decimalne točke, u razlomku 0,1 jedna je znamenka. Ukupno tri broja.

Vraćamo se na broj 325 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri znamenke s desne strane i staviti zarez. Nakon prebrojavanja tri znamenke, nalazimo da je brojeva gotovo. U ovom slučaju morate dodati jednu nulu i staviti zarez:

Dobili smo odgovor 0,325. Dakle, vrijednost izraza 3,25 × 0,1 je 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Postoji drugi način množenja decimala s 0,1, 0,01 i 0,001. Ova metoda je mnogo lakša i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 3,25 × 0,1 na ovaj način. Ne dajući nikakve izračune, odmah gledamo faktor 0,1. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 3,25 pomičemo decimalnu točku ulijevo za jednu znamenku. Pomaknuvši zarez za jednu znamenku ulijevo, vidimo da ispred tri nema više znamenki. U tom slučaju dodajte jednu nulu i stavite zarez. Kao rezultat, dobivamo 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 s 0,01. Odmah pogledajte množitelj od 0,01. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 3,25 pomaknemo zarez ulijevo za dvije znamenke, dobivamo 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 s 0,001. Odmah pogledajte množitelj od 0,001. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 3,25 pomaknemo decimalnu točku ulijevo za tri znamenke, dobivamo 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nemojte brkati množenje decimala s 0,1, 0,001 i 0,001 s množenjem s 10, 100, 1000. Uobičajena pogreška koju čini većina ljudi.

Pri množenju s 10, 100, 1000 zarez se pomiče udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.

A kod množenja s 0,1, 0,01 i 0,001 zarez se pomiče ulijevo za onoliko znamenki koliko je nula u množitelju.

Ako je u početku teško zapamtiti, možete koristiti prvu metodu, u kojoj se množenje izvodi kao s običnim brojevima. U odgovoru ćete morati odvojiti cijeli broj od razlomka tako što ćete prebrojati onoliko znamenki s desne strane koliko ima znamenki iza decimalne točke u oba razlomka.

Dijeljenje manjeg broja većim. Napredna razina.

U jednoj od prethodnih lekcija rekli smo da se pri dijeljenju manjeg broja s većim dobiva razlomak u čijem je brojniku djelitelj, a u nazivniku djelitelj.

Na primjer, da biste jednu jabuku podijelili na dvoje, potrebno je u brojnik napisati 1 (jedna jabuka), a u nazivnik 2 (dva prijatelja). Rezultat je razlomak. Tako će svaki prijatelj dobiti jabuku. Drugim riječima, pola jabuke. Razlomak je odgovor na problem kako podijeliti jednu jabuku na dvije

Ispostavilo se da ovaj problem možete dodatno riješiti ako podijelite 1 s 2. Uostalom, razlomka u bilo kojem razlomku znači dijeljenje, što znači da je to dijeljenje dopušteno iu razlomku. Ali kako? Navikli smo da je dividenda uvijek veća od djelitelja. A ovdje je, naprotiv, dividenda manja od djelitelja.

Sve će postati jasno ako se sjetimo da razlomak znači drobljenje, dijeljenje, dijeljenje. To znači da se jedinica može podijeliti na koliko god dijelova želite, a ne samo na dva dijela.

Kada se manji broj podijeli s većim, dobiva se decimalni razlomak u kojem će cijeli broj biti 0 (nula). Razlomak može biti bilo što.

Dakle, podijelimo 1 sa 2. Riješimo ovaj primjer s kutom:

Ne može se samo tako podijeliti na dvoje. Ako postavite pitanje "koliko je dvojki u jednom" , tada će odgovor biti 0. Stoga privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:

Sada, kao i obično, množimo kvocijent s djeliteljem da izvučemo ostatak:

Došao je trenutak kada se jedinica može podijeliti na dva dijela. Da biste to učinili, dodajte još jednu nulu desno od primljene:

Dobili smo 10. Podijelimo 10 sa 2, dobijemo 5. Peticu upišemo u razlomak našeg odgovora:

Sada vadimo posljednji ostatak kako bismo dovršili izračun. Pomnožimo 5 sa 2, dobivamo 10

Dobili smo odgovor 0,5. Dakle, razlomak je 0,5

Polovica jabuke može se napisati i decimalnim razlomkom 0,5. Ako zbrojimo ove dvije polovice (0,5 i 0,5), opet dobivamo originalnu jednu cijelu jabuku:

Ovo se također može razumjeti ako zamislimo kako je 1 cm podijeljen na dva dijela. Ako 1 centimetar podijelite na 2 dijela, dobit ćete 0,5 cm

Primjer 2 Odredite vrijednost izraza 4:5

Koliko je petica u četiri? Nikako. Pišemo privatno 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Ispod četiri upišemo nulu. Odmah oduzmite ovu nulu od dividende:

Sada počnimo dijeliti (dijeliti) četvorku na 5 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 4, dodamo nulu i podijelimo 40 s 5, dobivamo 8. Osam pišemo privatno.

Dovršavamo primjer množenjem 8 sa 5 i dobivamo 40:

Dobili smo odgovor 0,8. Dakle, vrijednost izraza 4:5 je 0,8

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 5: 125

Koliko brojeva 125 ima pet? Nikako. Privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Ispod petice upišemo 0. Od pet odmah oduzmite 0

Sada počnimo dijeliti (dijeliti) pet na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od ovih pet, pišemo nulu:

Podijelite 50 sa 125. Koliko brojeva 125 ima u 50? Nikako. Dakle, u količniku opet pišemo 0

Pomnožimo 0 sa 125, dobijemo 0. Zapišemo ovu nulu ispod 50. Odmah oduzmite 0 od 50

Sada dijelimo broj 50 na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 50, pišemo još jednu nulu:

Podijeli 500 sa 125. Koliko ima brojeva 125 u broju 500. U broju 500 četiri su broja 125. Četvorku pišemo zasebno:

Dovršavamo primjer množenjem 4 sa 125 i dobivamo 500

Dobili smo odgovor 0,04. Dakle, vrijednost izraza 5:125 je 0,04

Dijeljenje brojeva bez ostatka

Dakle, stavimo zarez u kvocijent iza jedinice, čime označavamo da je dijeljenje cijelih dijelova završeno i prelazimo na razlomački dio:

Dodajte nulu ostatku 4

Sada dijelimo 40 sa 5, dobivamo 8. Osam pišemo zasebno:

40−40=0. Primljeno 0 u ostatku. Dakle, podjela je u potpunosti završena. Dijeljenje 9 sa 5 rezultira decimalom od 1,8:

9: 5 = 1,8

Primjer 2. Podijeli 84 sa 5 bez ostatka

Prvo dijelimo 84 sa 5 kao i obično s ostatkom:

Dobio na privatno 16 i jos 4 na saldu. Sada ovaj ostatak dijelimo s 5. Stavljamo zarez u privatno, a ostatku 4 dodajemo 0

Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Osam upišemo u kvocijent iza decimalne točke:

i dovršite primjer provjerom postoji li još ostatak:

Dijeljenje decimale regularnim brojem

Decimalni razlomak, kao što znamo, sastoji se od cijelog i razlomka. Kada dijelite decimalni razlomak običnim brojem, prije svega trebate:

• podijeli cijeli broj decimalnog ulomka ovim brojem;
• nakon što je cijeli dio podijeljen, morate odmah staviti zarez u privatni dio i nastaviti s izračunom, kao kod običnog dijeljenja.

Na primjer, podijelimo 4,8 s 2

Zapišimo ovaj primjer kao kut:

Sada podijelimo cijeli dio s 2. Četiri podijeljeno s dva je dva. Dvojku pišemo privatno i odmah stavljamo zarez:

Sada pomnožimo količnik s djeliteljem i vidimo postoji li ostatak od dijeljenja:

4−4=0. Ostatak je nula. Još ne pišemo nulu jer rješenje nije dovršeno. Zatim nastavljamo računati, kao kod običnog dijeljenja. Skinite 8 i podijelite ga s 2

8: 2 = 4. Četvorku upišemo u kvocijent i odmah pomnožimo s djeliteljem:

Dobio odgovor 2.4. Vrijednost izraza 4,8: ​​2 jednako je 2,4

Primjer 2 Nađi vrijednost izraza 8.43:3

Podijelimo 8 sa 3, dobijemo 2. Iza dva odmah stavite zarez:

Sada množimo kvocijent djeliteljem 2 × 3 = 6. Ispod osmice upisujemo šesticu i nalazimo ostatak:

Podijelimo 24 sa 3, dobijemo 8. Osam napišemo privatno. Odmah ga množimo s djeliteljem da bismo dobili ostatak dijeljenja:

24−24=0. Ostatak je nula. Nula još nije zabilježena. Uzmite zadnje tri dividende i podijelite s 3, dobit ćemo 1. Odmah pomnožite 1 s 3 da dovršite ovaj primjer:

Dobio odgovor 2.81. Dakle, vrijednost izraza 8,43:3 jednaka je 2,81

Dijeljenje decimale decimalom

Da biste decimalni razlomak podijelili na decimalni razlomak, u djelitelju i djelitelju pomaknite zarez udesno za isti broj znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju, a zatim podijelite običnim brojem.

Na primjer, podijelite 5,95 s 1,7

Zapišimo ovaj izraz kao kut

Sada, u djelitelju i djelitelju, pomaknemo zarez udesno za isti broj znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju. Djelitelj ima jednu znamenku iza decimalne točke. Dakle, moramo pomaknuti zarez udesno za jednu znamenku u djelitelju iu djelitelju. Prijenos:

Nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, decimalni razlomak 5,95 pretvorio se u razlomak 59,5. A decimalni razlomak 1,7, nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvorio se u uobičajeni broj 17. I već znamo kako podijeliti decimalni razlomak s uobičajenim brojem. Daljnji izračun nije težak:

Zarez je pomaknut udesno radi lakšeg dijeljenja. To je dopušteno zbog činjenice da se pri množenju ili dijeljenju dividende i djelitelja istim brojem kvocijent ne mijenja. Što to znači?

Ovo je jedno od zanimljivih obilježja podjele. To se zove privatno vlasništvo. Razmotrimo izraz 9: 3 = 3. Ako se u ovom izrazu dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se kvocijent 3 neće promijeniti.

Pomnožimo dividendu i djelitelj s 2 i vidimo što će se dogoditi:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Kao što se vidi iz primjera, kvocijent se nije promijenio.

Ista stvar se događa kada nosimo zarez u djelitelju iu djelitelju. U prethodnom primjeru, gdje smo podijelili 5,91 s 1,7, pomaknuli smo zarez jednu znamenku udesno u djelitelju i djelitelju. Nakon pomicanja zareza, razlomak 5,91 pretvoren je u razlomak 59,1, a razlomak 1,7 u uobičajeni broj 17.

Zapravo, unutar ovog procesa dogodilo se množenje s 10. Evo kako je to izgledalo:

5,91 × 10 = 59,1

Dakle, broj znamenki iza decimalne točke u djelitelju ovisi o tome čime će se djelitelj i djelitelj pomnožiti. Drugim riječima, broj znamenki iza decimalne točke u djelitelju će odrediti koliko će znamenki u djelitelju iu djelitelju biti pomaknut zarez udesno.

Decimalno dijeljenje s 10, 100, 1000

Dijeljenje decimale s 10, 100 ili 1000 izvodi se na isti način kao . Na primjer, podijelimo 2,1 s 10. Riješimo ovaj primjer kutom:

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u djelitelju pomakne ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 2.1: 10. Gledamo razdjelnik. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za jednu znamenku. Pomaknemo zarez ulijevo za jednu znamenku i vidimo da više nema nijedne znamenke. U ovom slučaju dodajemo još jednu nulu prije broja. Kao rezultat, dobivamo 0,21

Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 100. U broju 100 postoje dvije nule. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za dvije znamenke:

2,1: 100 = 0,021

Pokušajmo podijeliti 2,1 s 1000. U broju 1000 postoje tri nule. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za tri znamenke:

2,1: 1000 = 0,0021

Decimalno dijeljenje s 0,1, 0,01 i 0,001

Dijeljenje decimale s 0,1, 0,01 i 0,001 vrši se na isti način kao . U djelitelju i u djelitelju treba pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko ima iza decimalne točke u djelitelju.

Na primjer, podijelimo 6,3 s 0,1. Najprije pomaknemo zareze u djelitelju iu djelitelju udesno za onoliko znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju. Djelitelj ima jednu znamenku iza decimalne točke. Dakle, pomaknemo zareze u djelitelju i u djelitelju udesno za jednu znamenku.

Nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, decimalni razlomak 6,3 pretvara se u uobičajeni broj 63, a decimalni razlomak 0,1, nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvara se u jedinicu. A dijeljenje 63 s 1 vrlo je jednostavno:

Dakle, vrijednost izraza 6,3:0,1 jednaka je 63

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u djelitelju prebacuje udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 6,3:0,1. Pogledajmo razdjelnik. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za jednu znamenku. Pomaknemo zarez udesno za jednu znamenku i dobijemo 63

Pokušajmo podijeliti 6,3 s 0,01. Djelitelj 0,01 ima dvije nule. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za dvije znamenke. Ali u dividendi postoji samo jedna znamenka iza decimalne točke. U tom slučaju na kraju se mora dodati još jedna nula. Kao rezultat, dobivamo 630

Pokušajmo podijeliti 6,3 s 0,001. Djelitelj 0,001 ima tri nule. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za tri znamenke:

6,3: 0,001 = 6300

Zadaci za samostalno rješavanje

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama