Praktična primjena izravne i obrnute proporcionalnosti. Sastavljanje sustava jednadžbi

Proporcionalnost je odnos između dviju veličina u kojem promjena jedne od njih povlači za sobom promjenu druge za isti iznos.

Proporcionalnost je izravna i obrnuta. U ovoj lekciji ćemo pogledati svaki od njih.

Sadržaj lekcije

Izravna proporcionalnost

Pretpostavimo da se automobil kreće brzinom od 50 km/h. Podsjećamo da je brzina prijeđeni put u jedinici vremena (1 sat, 1 minuta ili 1 sekunda). U našem primjeru, automobil se kreće brzinom od 50 km / h, odnosno u jednom satu će prijeći udaljenost jednaku pedeset kilometara.

Nacrtajmo udaljenost koju je automobil priješao za 1 sat.

Neka auto vozi još sat vremena istom brzinom od pedeset kilometara na sat. Tada ispada da će automobil prijeći 100 km

Kao što je vidljivo iz primjera, udvostručenje vremena dovelo je do povećanja prijeđene udaljenosti za isti iznos, odnosno dvostruko.

Za veličine kao što su vrijeme i udaljenost kaže se da su izravno proporcionalne. Odnos između tih veličina naziva se izravna proporcionalnost.

Izravna proporcionalnost je odnos između dviju veličina, u kojem povećanje jedne od njih povlači povećanje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna vrijednost smanji za određeni broj puta, onda se druga smanji za isti iznos.

Pretpostavimo da je prvotno bilo planirano voziti automobil 100 km u 2 sata, ali nakon vožnje od 50 km, vozač je odlučio napraviti pauzu. Tada se ispostavlja da će se smanjenjem udaljenosti za pola, vrijeme smanjiti za isti iznos. Drugim riječima, smanjenje prijeđene udaljenosti dovest će do smanjenja vremena za isti faktor.

Zanimljiva značajka izravno proporcionalnih veličina je da je njihov omjer uvijek konstantan. To jest, kada se mijenjaju vrijednosti izravno proporcionalnih veličina, njihov omjer ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru udaljenost je najprije iznosila 50 km, a vrijeme jedan sat. Omjer udaljenosti i vremena je broj 50.

Ali povećali smo vrijeme kretanja za 2 puta, čineći ga jednakim dva sata. Time se prijeđeni put povećao za isto toliko, odnosno postao je jednak 100 km. Omjer sto kilometara prema dva sata opet je broj 50

Poziva se broj 50 koeficijent izravne proporcionalnosti. Pokazuje kolika je udaljenost po satu kretanja. U ovom slučaju koeficijent igra ulogu brzine kretanja, budući da je brzina omjer prijeđene udaljenosti i vremena.

Proporcije se mogu načiniti iz izravno proporcionalnih količina. Na primjer, omjeri i čine udio:

Pedeset kilometara odnosi se na jedan sat kao što je sto kilometara povezano s dva sata.

Primjer 2. Trošak i količina kupljene robe izravno su proporcionalni. Ako 1 kg slatkiša košta 30 rubalja, tada će 2 kg istih slatkiša koštati 60 rubalja, 3 kg - 90 rubalja. S povećanjem cijene kupljene robe za isti se iznos povećava i njezina količina.

Budući da su vrijednost robe i njezina količina izravno proporcionalne, njihov je omjer uvijek stalan.

Zapišimo omjer trideset rubalja na jedan kilogram

Sada zapišimo čemu je jednak omjer šezdeset rubalja i dva kilograma. Ovaj će omjer opet biti jednak trideset:

Ovdje je koeficijent izravne proporcionalnosti broj 30. Ovaj koeficijent pokazuje koliko rubalja po kilogramu slatkiša. U ovom primjeru koeficijent igra ulogu cijene jednog kilograma robe, jer je cijena omjer troška robe i njene količine.

Obrnuta proporcionalnost

Razmotrite sljedeći primjer. Udaljenost između dva grada je 80 km. Motociklist je krenuo iz prvog grada i brzinom 20 km/h do drugog grada stigao za 4 sata.

Ako je brzina motociklista bila 20 km/h, to znači da je svaki sat prevalio udaljenost od dvadeset kilometara. Prikažimo na slici udaljenost koju je prešao motociklist i vrijeme njegovog kretanja:

U povratku motociklist je vozio brzinom 40 km/h, a na istom putu je proveo 2 sata.

Lako je vidjeti da se pri promjeni brzine za isto toliko promijenilo i vrijeme kretanja. Štoviše, promijenio se u suprotnom smjeru - to jest, brzina se povećala, a vrijeme se, naprotiv, smanjilo.

Veličine kao što su brzina i vrijeme nazivamo obrnuto proporcionalnim. Odnos između tih veličina naziva se obrnuta proporcionalnost.

Obrnuta proporcionalnost je odnos između dviju veličina u kojem povećanje jedne od njih povlači smanjenje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna vrijednost smanji za određeni broj puta, onda se druga poveća za isti iznos.

Na primjer, ako je na povratku brzina motociklista bila 10 km/h, tada bi istih 80 km prešao za 8 sati:

Kao što se može vidjeti iz primjera, smanjenje brzine dovelo je do povećanja vremena putovanja za isti faktor.

Osobitost obrnuto proporcionalnih veličina je u tome što je njihov umnožak uvijek konstantan. To jest, kada se mijenjaju vrijednosti obrnuto proporcionalnih veličina, njihov proizvod ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru udaljenost između gradova bila je 80 km. Pri promjeni brzine i vremena motociklista ta je udaljenost uvijek ostala nepromijenjena.

Motociklist bi tu udaljenost brzinom od 20 km/h mogao prijeći za 4 sata, a brzinom od 40 km/h za 2 sata, a brzinom od 10 km/h za 8 sati. U svim slučajevima umnožak brzine i vremena iznosio je 80 km

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Možete beskrajno pričati o prednostima učenja uz pomoć video lekcija. Prvo, izražavaju misli jasno i razumljivo, dosljedno i strukturirano. Drugo, potrebno im je određeno vrijeme, nisu, često su rastegnuti i zamorni. Treće, učenicima su uzbudljiviji od uobičajenih lekcija na koje su navikli. Možete ih pogledati u opuštenoj atmosferi.

U mnogim zadacima iz kolegija matematike učenici 6. razreda susrest će se s izravnom i obrnutom proporcionalnošću. Prije nego što počnete proučavati ovu temu, vrijedi se sjetiti što su proporcije i koje osnovno svojstvo imaju.

Tema "Proporcije" posvećena je prethodnoj video lekciji. Ovo je logičan nastavak. Vrijedno je napomenuti da je tema vrlo važna i često se susreće. Trebalo bi to jednom zauvijek ispravno shvatiti.

Kako bismo pokazali važnost teme, video tutorijal počinje zadatkom. Uvjet se pojavljuje na ekranu i najavljuje ga spiker. Snimka podataka data je u obliku dijagrama kako bi je učenik koji gleda video snimku mogao što bolje razumjeti. Bilo bi bolje da se prvi put pridržava ovog oblika snimanja.

Nepoznato, kao što je uobičajeno u većini slučajeva, označava se latiničnim slovom x. Da biste ga pronašli, prvo morate pomnožiti vrijednosti unakrsno. Tako će se dobiti jednakost dva omjera. To sugerira da je to povezano s proporcijama i da je vrijedno zapamtiti njihovo glavno svojstvo. Imajte na umu da su sve vrijednosti dane u istoj jedinici mjere. Inače ih je bilo potrebno dovesti u istu dimenziju.

Nakon pregleda metode rješenja u videu, ne bi trebalo biti nikakvih poteškoća u takvim zadacima. Spiker komentira svaki potez, objašnjava sve radnje, prisjeća se proučenog materijala koji se koristi.

Odmah nakon gledanja prvog dijela video lekcije "Izravni i obrnuti proporcionalni odnosi", možete ponuditi učeniku da riješi isti problem bez pomoći upita. Nakon toga se može predložiti alternativni zadatak.

Ovisno o mentalnim sposobnostima učenika, možete postupno povećavati složenost sljedećih zadataka.

Nakon prvog razmatranog problema dana je definicija izravno proporcionalnih veličina. Definiciju čita spiker. Glavni koncept je istaknut crvenom bojom.

Zatim se demonstrira još jedan problem na temelju kojeg se objašnjava obrnuto proporcionalni odnos. Najbolje je da učenik ove pojmove zapisuje u bilježnicu. Po potrebi, prije kolokvija, student može lako pronaći sva pravila i definicije te ih ponovno pročitati.

Nakon što pogleda ovaj video, učenik 6. razreda će razumjeti kako koristiti proporcije u određenim zadacima. Ovo je važna tema koja se ni u kom slučaju ne smije propustiti. Ako učenik nije prilagođen percipirati materijal koji je učitelj prezentirao tijekom lekcije među ostalim učenicima, tada će takvi resursi za učenje biti veliki spas!

I. Izravno proporcionalne veličine.

Neka vrijednost g ovisi o veličini x. Ako s povećanjem x nekoliko puta veći na povećava za isti faktor, onda takve vrijednosti x i na nazivaju se izravno proporcionalnim.

Primjeri.

1 . Količina kupljene robe i trošak nabave (po fiksnoj cijeni jedne jedinice robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je više robe kupljeno, toliko je puta više i plaćeno.

2 . Prijeđena udaljenost i vrijeme potrošeno na nju (pri konstantnoj brzini). Koliko je put duži, toliko ćemo više vremena potrošiti na njega.

3 . Volumen tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)

II. Svojstvo izravne proporcionalnosti veličina.

Ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada je omjer dviju proizvoljnih vrijednosti prve količine jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge količine.

Zadatak 1. Za pekmez od malina 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko će šećera biti potrebno ako se uzme 9 kg maline?

Riješenje.

Raspravljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer na 9 kg maline. Masa malina i masa šećera upravno su proporcionalne: koliko puta manje malina, toliko je potrebno šećera. Dakle, omjer uzetih (težinski) malina ( 12:9 ) bit će jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobivamo omjer:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Rješenje problema moglo ovako:

Pusti dalje 9 kg maline uzeti x kg Sahara.

(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru, i nije važno gore ili dolje. Značenje: koliko puta broj 12 više broja 9 , isti broj 8 više broja x, tj. ovdje postoji izravna ovisnost).

Odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Zadatak 2. auto za 3 sata prijeđena udaljenost 264 km. Koliko će mu trebati 440 km ako putuje istom brzinom?

Riješenje.

Neka za x sati automobil će prijeći udaljenost 440 km.

Odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.

Pojam izravne proporcionalnosti

Zamislite da razmišljate o kupnji svog omiljenog slatkiša (ili onoga što vam se jako sviđa). Slatkiši u trgovini imaju svoju cijenu. Pretpostavimo 300 rubalja po kilogramu. Što više bombona kupite, više ćete novca platiti. Odnosno, ako želite 2 kilograma - platite 600 rubalja, a ako želite 3 kilograma - dajte 900 rubalja. Čini se da je s ovim sve jasno, zar ne?

Ako da, onda vam je sada jasno što je izravna proporcionalnost - to je koncept koji opisuje omjer dviju veličina koje ovise jedna o drugoj. A omjer tih količina ostaje nepromijenjen i stalan: za koliko se dijelova jedna od njih povećava ili smanjuje, za isti broj dijelova proporcionalno se povećava ili smanjuje druga.

Izravna proporcionalnost može se opisati sljedećom formulom: f(x) = a*x, a a u ovoj formuli je konstantna vrijednost (a = const). U našem primjeru slatkiša, cijena je konstanta, konstanta. Ne povećava se niti smanjuje, koliko god slatkiša odlučili kupiti. Neovisna varijabla (argument) x je koliko ćete kilograma slatkiša kupiti. A zavisna varijabla f(x) (funkcija) je koliko novca na kraju platite za svoju kupnju. Dakle, možemo zamijeniti brojeve u formuli i dobiti: 600 r. = 300 r. * 2 kg.

Međuzaključak je sljedeći: ako argument raste, funkcija također raste, ako se argument smanjuje, funkcija također opada

Funkcija i njena svojstva

Izravna proporcionalna funkcija je poseban slučaj linearne funkcije. Ako je linearna funkcija y = k*x + b, tada za izravnu proporcionalnost izgleda ovako: y = k*x, gdje se k naziva faktorom proporcionalnosti, a to je uvijek broj različit od nule. Izračunavanje k je jednostavno - nalazi se kao kvocijent funkcije i argumenta: k = y/x.

Da bi bilo jasnije, uzmimo još jedan primjer. Zamislite da se automobil kreće od točke A do točke B. Brzina mu je 60 km/h. Ako pretpostavimo da brzina gibanja ostaje konstantna, tada se može uzeti kao konstanta. A onda napišemo uvjete u obliku: S \u003d 60 * t, a ova je formula slična funkciji izravne proporcionalnosti y \u003d k * x. Povucimo dalje paralelu: ako k \u003d y / x, tada se brzina automobila može izračunati, znajući udaljenost između A i B i vrijeme provedeno na cesti: V \u003d S / t.

A sada, iz primijenjene primjene znanja o izravnoj proporcionalnosti, vratimo se njezinoj funkciji. Svojstva koja uključuju:

njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva (kao i njegov podskup);

funkcija je neparna;

promjena varijabli izravno je proporcionalna cijeloj duljini brojevnog pravca.

Direktna proporcionalnost i njezin grafikon

Graf ravnoproporcionalne funkcije je pravac koji siječe ishodište. Za njegovu izgradnju dovoljno je označiti samo još jednu točku. I spojite ga i ishodište linije.

U slučaju grafikona, k je nagib. Ako je nagib manji od nule (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf i x-os čine šiljasti kut, a funkcija je rastuća.

I još jedno svojstvo grafa funkcije izravne proporcionalnosti izravno je povezano s nagibom k. Pretpostavimo da imamo dvije neidentične funkcije i, prema tome, dva grafa. Dakle, ako su koeficijenti k ovih funkcija jednaki, njihovi su grafovi paralelni na koordinatnoj osi. A ako koeficijenti k nisu međusobno jednaki, grafovi se sijeku.

Primjeri zadataka

Odlučimo par problemi izravne proporcionalnosti

Počnimo jednostavno.

1. zadatak: Zamislite da je 5 kokoši snijelo 5 jaja u 5 dana. A ako ima 20 kokoši, koliko će jaja snijeti za 20 dana?

Rješenje: nepoznanicu označimo s x. A mi ćemo raspravljati na sljedeći način: koliko je puta bilo više kokoši? Podijelite 20 s 5 i saznajte da je 4 puta. A koliko će puta više jaja snijeti 20 kokoši u istih 5 dana? Također 4 puta više. Dakle, naše nalazimo ovako: 5 * 4 * 4 \u003d 80 jaja snijet će 20 kokoši u 20 dana.

Sada je primjer malo kompliciraniji, preformulirajmo problem iz Newtonove "Opće aritmetike". Zadatak 2: Pisac može napisati 14 stranica nove knjige za 8 dana. Kad bi imao pomoćnike, koliko bi ljudi bilo potrebno da napišu 420 stranica u 12 dana?

Rješenje: Smatramo da se broj ljudi (pisac + pomoćnici) povećava s povećanjem količine posla ako se on mora obaviti u istom vremenu. Ali koliko puta? Podijelimo li 420 s 14, dobivamo da se povećava 30 puta. Ali budući da se prema uvjetu zadatka daje više vremena za rad, broj pomoćnika se ne povećava za 30 puta, već na ovaj način: x \u003d 1 (pisac) * 30 (puta): 12/8 (dani). Hajdemo transformirati i otkriti da će x = 20 ljudi napisati 420 stranica u 12 dana.

Riješimo još jedan problem sličan onima koje smo imali u primjerima.

3. zadatak: Dva automobila krenula su na isti put. Jedan se kretao brzinom 70 km/h i prešao istu udaljenost za 2 sata kao drugi za 7 sati. Nađi brzinu drugog automobila.

Rješenje: Kao što se sjećate, put je određen brzinom i vremenom - S = V *t. Budući da su oba automobila išla istim putem, možemo izjednačiti dva izraza: 70*2 = V*7. Gdje nalazimo da je brzina drugog automobila V = 70*2/7 = 20 km/h.

I još nekoliko primjera zadataka s funkcijama izravne proporcionalnosti. Ponekad se u zadacima traži pronaći koeficijent k.

Zadatak 4: Zadane su funkcije y = - x / 16 i y = 5x / 2, odredite njihove koeficijente proporcionalnosti.

Rješenje: Kao što se sjećate, k = y/x. Dakle, za prvu funkciju koeficijent je -1/16, a za drugu k = 5/2.

Također možete naići na zadatak poput Zadatka 5: Zapišite formulu izravne proporcionalnosti. Njegov graf i graf funkcije y \u003d -5x + 3 nalaze se paralelno.

Rješenje: Funkcija koja nam je dana u uvjetu je linearna. Znamo da je izravna proporcionalnost poseban slučaj linearne funkcije. Također znamo da ako su koeficijenti k funkcija jednaki, njihovi grafovi su paralelni. To znači da je sve što je potrebno izračunati koeficijent poznate funkcije i postaviti izravnu proporcionalnost pomoću poznate formule: y \u003d k * x. Koeficijent k \u003d -5, izravna proporcionalnost: y \u003d -5 * x.

Zaključak

Sada ste naučili (ili zapamtili, ako ste već obradili ovu temu), kako se zove izravna proporcionalnost, i razmotrio je primjeri. Također smo razgovarali o funkciji izravne proporcionalnosti i njenom grafu, riješili npr. nekoliko zadataka.

Ako je ovaj članak bio koristan i pomogao razumjeti temu, recite nam o tome u komentarima. Tako da znamo možemo li vam koristiti.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.

Dovršio: Chepkasov Rodion

učenica 6 "B" razreda

MBOU "Srednja škola br. 53"

Barnaul

Voditelj: Bulykina O.G.

profesorica matematike

MBOU "Srednja škola br. 53"

Barnaul

Uvod. jedan

Odnosi i proporcije. 3

Izravni i obrnuti razmjeri. četiri

Primjena izravne i obrnute proporcionalnosti 6

ovisnosti u rješavanju raznih problema.

Zaključak. jedanaest

Književnost. 12

Uvod.

Riječ proporcija dolazi od latinske riječi proporcija, što općenito znači proporcionalnost, ravnomjernost dijelova (određeni međusobni omjer dijelova). Pitagorejci su u antičko doba visoko cijenili učenje o proporcijama. Proporcijama su povezivali misli o redu i ljepoti u prirodi, o suglasnim akordima u glazbi i harmoniji u svemiru. Neke vrste proporcija nazivaju glazbenim ili harmoničkim.

Čovjek je još u davnim vremenima otkrio da su sve pojave u prirodi međusobno povezane, da je sve u stalnom kretanju, mijeni i, kada se izrazi brojevima, otkriva nevjerojatne obrasce.

Pitagorejci i njihovi sljedbenici tražili su numerički izraz za sve što postoji na svijetu. Našli su; da su matematičke proporcije u osnovi glazbe (omjer duljine žice i visine tona, odnos između intervala, omjer zvukova u akordima koji daju harmonijski zvuk). Pitagorejci su pokušali matematički potkrijepiti ideju o jedinstvu svijeta, tvrdili su da su osnova svemira simetrični geometrijski oblici. Pitagorejci su tražili matematičko opravdanje ljepote.

Slijedeći pitagorejce, srednjovjekovni učenjak Augustin nazvao je ljepotu "numeričkom jednakošću". Skolastički filozof Bonaventura je napisao: "Nema ljepote i zadovoljstva bez proporcionalnosti, ali proporcionalnost prvenstveno postoji u brojevima. Potrebno je da sve bude izračunljivo." O upotrebi proporcija u umjetnosti, Leonardo da Vinci je napisao u svojoj raspravi o slikarstvu: "Slikar u obliku proporcija utjelovljuje iste obrasce koji vrebaju u prirodi koje znanstvenik poznaje u obliku numeričkog zakona."

Proporcije su se koristile u rješavanju raznih problema kako u antici tako iu srednjem vijeku. Određene vrste problema sada se lako i brzo rješavaju pomoću proporcija. Proporcije i proporcionalnost koristili su se i koriste se ne samo u matematici, već iu arhitekturi i umjetnosti. Proporcionalnost u arhitekturi i umjetnosti znači poštivanje određenih omjera veličina različitih dijelova građevine, figure, skulpture ili drugog umjetničkog djela. Proporcionalnost je u takvim slučajevima uvjet za pravilnu i lijepu konstrukciju i sliku

U svom radu pokušao sam razmotriti korištenje izravnih i obrnutih proporcionalnih odnosa u različitim područjima okolnog života, pratiti vezu s akademskim predmetima kroz zadatke.

Odnosi i proporcije.

Kvocijent dvaju brojeva naziva se stav ove brojevima.

Emisije stavova, koliko je puta prvi broj veći od drugog, odnosno koliki je dio prvog broja od drugog.

Zadatak.

U trgovinu je dovezeno 2,4 tone krušaka i 3,6 tona jabuka. Koji dio uvezenog voća čine kruške?

Riješenje . Nađi koliko je voća ukupno doneseno: 2,4 + 3,6 = 6 (t). Da bismo saznali koji dio donesenog voća čine kruške, napravit ćemo omjer 2,4:6 =. Odgovor se također može napisati kao decimalni broj ili kao postotak: = 0,4 = 40%.

međusobno inverzni nazvao brojevima, čiji su umnošci jednaki 1. Prema tome odnos se naziva inverzni odnos.

Razmotrite dva jednaka omjera: 4,5:3 i 6:4. Stavimo znak jednakosti između njih i dobijemo omjer: 4,5:3=6:4.

Proporcija je jednakost dviju relacija: a : b =c :d ili = , gdje su a i d ekstremni uvjeti proporcije, c i b srednji članovi(svi članovi proporcije su različiti od nule).

Osnovno svojstvo proporcije:

u pravom omjeru, umnožak krajnjih članova jednak je umnošku srednjih članova.

Primjenom svojstva komutativnosti množenja dobivamo da u pravom omjeru možete zamijeniti ekstremne ili srednje članove. Rezultirajuće proporcije također će biti točne.

Koristeći osnovno svojstvo proporcije, može se pronaći njezin nepoznati član ako su poznati svi ostali članovi.

Da bismo pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, potrebno je pomnožiti srednje članove i podijeliti s poznatim ekstremnim članom. x : b = c : d , x =

Da bismo pronašli nepoznati srednji član proporcije, moramo pomnožiti krajnje članove i podijeliti s poznatim srednjim članom. a : b = x : d , x = .

Izravni i obrnuti razmjeri.

Vrijednosti dviju različitih veličina mogu međusobno ovisiti jedna o drugoj. Dakle, površina kvadrata ovisi o duljini njegove stranice, i obrnuto - duljina stranice kvadrata ovisi o njegovoj površini.

Kaže se da su dvije količine proporcionalne ako, s povećanjem

(smanjenje) jedne od njih za nekoliko puta, druga se povećava (smanjuje) za isti iznos.

Ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti tih veličina jednaki.

Primjer izravni proporcionalni odnos .

Na benzinskoj postaji 2 litre benzina teže 1,6 kg. Koliko će težiti 5 litara benzina?

Riješenje:

Težina kerozina proporcionalna je njegovom volumenu.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4

Odgovor: 4 kg.

Ovdje omjer težine i volumena ostaje nepromijenjen.

Dvije veličine nazivamo obrnuto proporcionalnima ako se jedna od njih nekoliko puta poveća (smanji) druga smanji (poveća) za isti iznos.

Ako su veličine obrnuto proporcionalne, tada je omjer vrijednosti jedne veličine jednak obrnutom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

P primjerobrnuti proporcionalni odnos.

Dva pravokutnika imaju istu površinu. Duljina prvog pravokutnika je 3,6 m, a širina 2,4 m. Duljina drugog pravokutnika je 4,8 m. Odredi širinu drugog pravokutnika.

Riješenje:

1 pravokutnik 3,6 m 2,4 m

2 pravokutnika 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m

Odgovor: 1,8 m.

Kao što vidite, problemi s proporcionalnim količinama mogu se riješiti pomoću proporcija.

Nisu svake dvije veličine izravno proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Na primjer, visina djeteta raste s dobi, ali te vrijednosti nisu proporcionalne, jer kada se dob udvostruči, visina djeteta se ne udvostručuje.

Praktična primjena izravne i obrnute proporcionalnosti.

Zadatak #1

Školska knjižnica raspolaže s 210 udžbenika matematike, što je 15% cjelokupnog knjižničnog fonda. Koliko knjiga ima knjižnični fond?

Riješenje:

Ukupno udžbenika - ? - 100%

matematičari - 210 -15%

15% 210 računa

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 udžbenika

100% x račun. petnaest

Odgovor: 1400 udžbenika.

Zadatak #2

Biciklist prijeđe 75 km za 3 sata. Koliko će vremena trebati biciklistu da istom brzinom prijeđe 125 km?

Riješenje:

3 h – 75 km

H - 125 km

Vrijeme i udaljenost su izravno proporcionalni, dakle

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Odgovor: 5 sati.

Zadatak #3

8 identičnih cijevi napuni bazen za 25 minuta. Za koliko minuta će 10 takvih cijevi napuniti bazen?

Riješenje:

8 lula - 25 minuta

10 cijevi - ? minuta

Broj cijevi je obrnuto proporcionalan vremenu, dakle

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Odgovor: 20 minuta.

Zadatak #4

Tim od 8 radnika obavi zadatak za 15 dana. Koliko radnika može izvršiti zadatak u 10 dana, radeći pri istoj produktivnosti?

Riješenje:

8 radnih - 15 dana

Radni - 10 dana

Broj radnika je obrnuto proporcionalan broju dana, dakle

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Odgovor: 12 radnika.

Zadatak broj 5

Od 5,6 kg rajčice dobije se 2 litre umaka. Koliko se litara umaka može dobiti od 54 kg rajčice?

Riješenje:

5,6 kg - 2 l

54 kg - ? l

Broj kilograma rajčice izravno je proporcionalan količini dobivenog umaka, dakle

5,6: 54 = 2: x,

x =
,

x = 19.

Odgovor: 19 l.

Zadatak broj 6

Za grijanje školske zgrade ugljen se vadio 180 dana po utrošku

0,6 tona ugljena dnevno. Za koliko će dana trajati ta rezerva ako se dnevno troši 0,5 tona?

Riješenje:

Broj dana

Stopa potrošnje

Broj dana je obrnuto proporcionalan stopi potrošnje ugljena, dakle

180: x = 0,5: 0,6,

x \u003d 180 * 0,6: 0,5,

x = 216.

Odgovor: 216 dana.

Zadatak broj 7

U željeznoj rudi na 7 dijelova željeza otpada 3 dijela nečistoća. Koliko tona nečistoća ima ruda koja sadrži 73,5 tona željeza?

Riješenje:

Broj komada

Težina

Željezo

73,5

nečistoće

Broj dijelova izravno je proporcionalan masi, dakle

7 : 73,5 = 3 : x.

x \u003d 73,5 * 3: 7,

x = 31,5.

Odgovor: 31,5 tona

Zadatak broj 8

Automobil je prešao 500 km, potrošivši 35 litara benzina. Koliko litara benzina trebaš da prijeđeš 420 km?

Riješenje:

Udaljenost, km

Benzin, l

Udaljenost je izravno proporcionalna potrošnji benzina, dakle

500 : 35 = 420 : x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29,4.

Odgovor: 29,4 litara

Zadatak broj 9

U 2 sata smo ulovili 12 karasa. Koliko će se šarana uloviti za 3 sata?

Riješenje:

Broj karasa ne ovisi o vremenu. Ove količine nisu ni izravno proporcionalne ni obrnuto proporcionalne.

Odgovor: Nema odgovora.

Zadatak broj 10

Rudarska tvrtka mora kupiti 5 novih strojeva za određeni iznos novca po cijeni od 12 tisuća rubalja po jednom. Koliko od ovih automobila tvrtka može kupiti ako cijena jednog automobila postane 15 000 rubalja?

Riješenje:

Broj automobila, kom.

Cijena, tisuća rubalja

Broj automobila obrnuto je proporcionalan trošku, dakle

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

Odgovor: 4 automobila.

Zadatak broj 11

U gradu N na trgu P nalazi se trgovina čiji je vlasnik toliko strog da odbija 70 rubalja od plaće za kašnjenje od 1 kašnjenja dnevno. Dvije djevojke Yulia i Natasha rade u jednom odjelu. Plaće im ovise o broju radnih dana. Julija je dobila 4100 rubalja za 20 dana, a Nataša je trebala dobiti više za 21 dan, ali je kasnila 3 dana zaredom. Koliko će rubalja dobiti Natasha?

Riješenje:

Radni dan

Plaća, rub.

Julija

4100

Natasha

Plaća je upravno proporcionalna broju radnih dana, dakle

20 : 21 = 4100 : x,

x = 4305.

4305 rub. Natasha je trebala.

4305 - 3 * 70 = 4095 (rub.)

Odgovor: Natasha će dobiti 4095 rubalja.

Zadatak broj 12

Udaljenost između dva grada na karti je 6 cm. Odredite udaljenost između tih gradova na zemlji ako je mjerilo karte 1:250000.

Riješenje:

Označimo udaljenost između gradova na tlu kroz x (u centimetrima) i pronađimo omjer duljine segmenta na karti i udaljenosti na tlu, koja će biti jednaka mjerilu karte: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Odgovor: 15 km.

Zadatak broj 13

4000 g otopine sadrži 80 g soli. Kolika je koncentracija soli u ovoj otopini?

Riješenje:

Težina, g

Koncentracija, %

Riješenje

4000

Sol

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Odgovor: Koncentracija soli je 2%.

Zadatak broj 14

Banka daje kredit na 10% godišnje. Dobili ste zajam od 50.000 rubalja. Koliko morate vratiti banci godišnje?

Riješenje:

50 000 rub.

100%

x utrljati.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rub. iznosi 10%.

50 000 + 5000 = 55 000 (rubalja)

Odgovor: za godinu dana, 55.000 rubalja će biti vraćeno banci.

Zaključak.

Kao što možemo vidjeti iz gornjih primjera, izravni i obrnuti proporcionalni odnosi primjenjivi su u raznim područjima života:

Ekonomija,

trgovina,

u proizvodnji i industriji,

školski život,

kuhanje,

Građevinarstvo i arhitektura.

sportski,

stočarstvo,

topografija,

fizičari,

kemija itd.

Na ruskom jeziku također postoje poslovice i izreke koje uspostavljaju izravne i obrnute odnose:

Kako dođe, tako će i odgovoriti.

Što je panj viši, to je sjena viša.

Što više ljudi, to manje kisika.

I spremno, da glupo.

Matematika je jedna od najstarijih znanosti, nastala je na temelju potreba i potreba čovječanstva. Prošavši kroz povijest formiranja od antičke Grčke, i dalje ostaje relevantan i neophodan u svakodnevnom životu svake osobe. Koncept izravne i obrnute proporcionalnosti poznat je od davnina, budući da su zakoni proporcije pokretali arhitekte tijekom svake izgradnje ili stvaranja bilo koje skulpture.

Poznavanje proporcija naširoko se koristi u svim sferama ljudskog života i djelovanja - bez njih se ne može pri slikanju slika (krajolika, mrtve prirode, portreta itd.), Također su raširene među arhitektima i inženjerima - općenito je teško zamisliti stvaranje bilo čega bilo čega bez korištenja znanja o proporcijama i njihovom odnosu.

Književnost.

Matematika-6, N.Ya. Vilenkin i drugi.

Algebra -7, G.V. Dorofejev i drugi.

Matematika-9, GIA-9, uredio F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhov

Matematika-6, didaktički materijali, P.V. Čulkov, A.B. Uedinov

Zadaci iz matematike za razrede 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Prosvjetljenje" 1988.

Zbirka zadataka i primjera iz matematike 5-6 razred, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. "Akvarij" 1997