Broj mogućih ishoda. Zadaci klasičnog određivanja vjerojatnosti Primjeri rješenja
Vjerojatnost događaja. U životnoj praksi za slučajne događaje ili pojave koriste se sljedeći izrazi: nemoguće, malo vjerojatno, jednako vjerojatno, pouzdano i drugi koji pokazuju koliko smo sigurni u pojavu tog događaja. Kada kažemo da je slučajni događaj malo vjerojatan, mislimo da kada se isti uvjeti ponavljaju mnogo puta, taj se događaj događa mnogo rjeđe nego što se ne događa. Naprotiv, vrlo vjerojatan događaj događa se češće nego ne. Ako se pod određenim uvjetima dva različita slučajna događaja događaju jednako često, tada se smatraju jednako vjerojatnim. Ako smo uvjereni da će se određeni događaj pod određenim uvjetima sigurno dogoditi, onda kažemo da je izvjestan. Ako smo, naprotiv, sigurni da se neki događaj neće dogoditi pod određenim uvjetima, tada kažemo da je taj događaj nemoguć.
Međutim, utvrđujući na ovaj način mogućnost nastanka slučajnog događaja, ne možemo uvoditi stroge statističke zakonitosti, jer je to često povezano s našom subjektivnom procjenom tog događaja, ograničenom nedostatnošću našeg znanja.
Uvesti stroge statističke zakone, stroge matematička definicija vjerojatnost kao stupanj objektivne mogućnosti slučajnog događaja.
Da bismo dali matematičku definiciju vjerojatnosti, potrebno je razmotriti neki jednostavan primjer nastanka masovnih događaja. Najjednostavnijim primjerima takvih događaja obično se smatra gubitak jedne ili druge strane novčića prilikom bacanja ili nekog broja prilikom bacanja kocke. Ovdje se zasebnim događajem smatra gubitak jednog ili drugog lica (broja).
Iz prakse je poznato da je nemoguće unaprijed točno odrediti koji će se broj (koliko bodova) pojaviti u jednom bacanju kocke (jednom događaju). Stoga će dobivanje određenog broja bodova biti slučajan događaj.
Međutim, ako uzmemo u obzir cijeli niz sličnih događaja - bacanje kocke više puta, onda će svaka strana ispasti veliki broj jednom i slučajni događaji već će biti masovno. Za njih vrijede određeni zakoni.
Iz prakse je poznato da će prilikom bacanja kocke dobiti isti broj, npr. dva puta zaredom, biti moguće, tri puta zaredom - već malo vjerojatno, četiri puta zaredom - još manje vjerojatno, a npr. deset puta zaredom – gotovo nemoguće.
Nadalje, ako napravite samo šest bacanja kocke, tada se neki brojevi mogu pojaviti dva puta, a neki - nijedan. Ovdje je teško uočiti bilo kakav obrazac u izgledu određenog broja. Međutim, ako se broj bacanja poveća na 60, ispada da će se svaki broj pojaviti otprilike deset puta. Ovdje se pojavljuje određeni obrazac. Međutim, zbog slučajnosti prilikom bacanja kocke (njezin početni položaj, brzina, putanja leta), broj različitih brojeva u različitim serijama eksperimenata bit će različit. Razlog tome je nedovoljan broj samih eksperimenata.
Ako broj bacanja povećamo na šest tisuća, tada se ispostavlja da će otprilike jedna šestina svih bacanja dovesti do pojave svakog broja. A što je veći broj bacanja, to će broj ispadanja određenog broja biti bliži
Omjer broja pojavljivanja određenog broja pri višestrukom bacanju kocke prema puni broj bacanje se naziva učestalost ponavljanja danog događaja u nizu homogenih pokušaja. S povećanjem ukupnog broja testova, učestalost ponavljanja će težiti određenoj konstantnoj granici određenoj određenom serijom eksperimenata.
Ova granica se naziva vjerojatnost danog događaja. Međutim, tendencija ograničavanja stope ponavljanja će se uočiti samo uz neograničeno povećanje broja testova.
Općenito, ako se neki događaj dogodi Hz puta od ukupnog broja pokusa, tada se matematički vjerojatnost definira kao granica omjera broja povoljnih događaja prema ukupnom broju događaja (neke homogene grupe pokusa), uz uvjet da broj pokusa u ovoj skupini teži beskonačnosti. Drugim riječima, vjerojatnost događaja u našem slučaju bit će zapisana na sljedeći način:
U fizici se slučajna varijabla često mijenja tijekom vremena. Tada se npr. vjerojatnost određenog stanja sustava može odrediti formulom
gdje je vrijeme u kojem sustav ostaje u ovom stanju, ukupno vrijeme promatranja.
Iz toga proizlazi da je za eksperimentalno određivanje vjerojatnosti nekog događaja potrebno provesti, ako ne beskonačan, onda vrlo velik broj testova, pronaći broj povoljnih događaja i na temelju njihova omjera pronaći vjerojatnost ovog događaja.
U mnogim praktičnim slučajevima, to je upravo ono što se radi za određivanje vjerojatnosti. U ovom slučaju, vjerojatnost
utvrdit će se što točnije veći broj testovi će se provoditi ili što je duže vremensko razdoblje tijekom kojeg se događaji razmatraju.
Međutim, u mnogim slučajevima, vjerojatnost određenog događaja (osobito fizičkog) može se saznati bez provođenja testova. To je takozvana prethodna vjerojatnost. Može se provjeriti, naravno, eksperimentalno.
Da bismo ga pronašli u slučaju bacanja kocke, razmišljat ćemo na sljedeći način. Pošto je kocka jednolika i baca se na razne načine, tada će se svako od šest lica jednako vjerojatno pojaviti (nijedno lice neće imati prednost nad ostalima). Stoga, budući da postoji samo šest lica, možemo reći da je vjerojatnost da dobijemo jedno od njih jednaka . U ovom slučaju, da biste odredili vjerojatnost, ne možete uopće provoditi testove, već pronaći vjerojatnost na temelju općih razmatranja.
Funkcija distribucije. U danim primjerima, slučajna varijabla može uzeti samo nekoliko (vrlo specifičan broj) različita značenja. Nazvali smo događaje kada je slučajna varijabla uzela jednu od ovih vrijednosti i tim događajima dodijelili određenu vjerojatnost.
Ali uz takve količine (bacanje kockica, novčića itd.) postoje slučajne veličine koje mogu poprimiti bezbroj različitih beskonačno bliskih vrijednosti (kontinuirani spektar). U ovom slučaju karakteristična je sljedeća značajka: vjerojatnost jednog događaja, koja se sastoji u činjenici da slučajna varijabla poprimi neku strogo definiranu vrijednost, jednaka je nuli. Stoga ima smisla govoriti samo o vjerojatnosti da slučajna varijabla poprimi vrijednosti koje se nalaze u određenom rasponu vrijednosti od do
Vjerojatnost pronalaženja vrijednosti u intervalu označena je kao Kada se pomakne na infinitezimalni interval vrijednosti, vjerojatnost će već biti, a ikone pokazuju da slučajna varijabla može poprimiti vrijednosti u intervalima ili, tj. od do ili
Sve se na svijetu događa deterministički ili slučajno...
Aristotel
Vjerojatnost: Osnovna pravila
Teorija vjerojatnosti izračunava vjerojatnosti raznih događaja. Temelj teorije vjerojatnosti je koncept slučajnog događaja.
Na primjer, bacite novčić, on nasumično padne na glavu ili rep. Ne znaš unaprijed na koju će stranu novčić stati. Sklapate ugovor o osiguranju, ne znate unaprijed hoće li biti izvršene isplate ili ne.
U aktuarskim izračunima morate moći procijeniti vjerojatnost različitih događaja, stoga teorija vjerojatnosti igra ključnu ulogu. Nijedna druga grana matematike ne može se baviti vjerojatnostima događaja.
Pogledajmo pobliže bacanje novčića. Postoje 2 međusobno isključiva ishoda: ispada grb ili ispadaju repovi. Ishod bacanja je slučajan, jer promatrač ne može analizirati i uzeti u obzir sve čimbenike koji utječu na rezultat. Kolika je vjerojatnost da grb ispadne? Većina će odgovoriti ½, ali zašto?
Neka bude formalno A ukazuje na gubitak grba. Neka se novčić baca n jednom. Zatim vjerojatnost događaja A može se definirati kao udio onih bacanja koja rezultiraju grbom:
Gdje n ukupan broj bacanja, n(A) broj grbova pada.
Relacija (1) naziva se frekvencija događanja A u dugom nizu testova.
Ispada da je u raznim serijama testova odgovarajuća učestalost općenito n klastere oko neke konstantne vrijednosti GODIŠNJE). Ova količina se zove vjerojatnost događaja A a označava se slovom R- skraćenica za engleska riječ vjerojatnost – vjerojatnost.
Formalno imamo:
(2)
Ovaj zakon se zove zakon velikih brojeva.
Ako je novčić pošten (simetričan), tada je vjerojatnost dobivanja grba jednaka vjerojatnosti dobivanja glava i jednaka je ½.
Neka A I U neki događaji, na primjer, je li se dogodio osigurani slučaj ili ne. Unija dva događaja je događaj koji se sastoji od izvršenja događaja A, događaji U, ili oba događaja zajedno. Sjecište dva događaja A I U naziva događaj koji se sastoji u provedbi kao događaj A, i događaji U.
Osnovna pravila Računica vjerojatnosti događaja je sljedeća:
1. Vjerojatnost bilo kojeg događaja je između nule i jedan:
2. Neka su A i B dva događaja, tada:
Ona glasi ovako: vjerojatnost spajanja dva događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja minus vjerojatnost međusobnog križanja događaja. Ako su događaji nekompatibilni ili se ne preklapaju, tada je vjerojatnost kombinacije (zbroja) dvaju događaja jednaka zbroju vjerojatnosti. Ovaj zakon se zove zakon dodatak vjerojatnosti.
Za neki događaj kažemo da je pouzdan ako mu je vjerojatnost jednaka 1. Pri analizi određenih pojava postavlja se pitanje kako pojava događaja utječe na U po nastanku događaja A. Da biste to učinili, unesite uvjetna vjerojatnost :
(4)
Ona glasi ovako: vjerojatnost pojave A s obzirom na to U jednaka je vjerojatnosti presjeka A I U, podijeljeno s vjerojatnošću događaja U.
Formula (4) pretpostavlja da je vjerojatnost događaja U Iznad nule.
Formula (4) se također može napisati kao:
(5)
Ovo je formula množenje vjerojatnosti.
Također se naziva i uvjetna vjerojatnost a posteriori vjerojatnost događaja A- vjerojatnost pojave A nakon ofenzive U.
U tom slučaju se sama vjerojatnost naziva apriorno vjerojatnost. Postoji još nekoliko važnih formula koje se intenzivno koriste u aktuarskim izračunima.
Formula ukupne vjerojatnosti
Pretpostavimo da se provodi eksperiment čiji se uvjeti mogu unaprijed odrediti međusobno međusobno isključive pretpostavke (hipoteze):
Pretpostavljamo da ili postoji hipoteza, ili... ili. Vjerojatnosti ovih hipoteza su poznate i jednake:
Tada formula vrijedi puna vjerojatnosti :
(6)
Vjerojatnost događanja događaja A jednak zbroju umnožaka vjerojatnosti pojavljivanja A za svaku hipotezu o vjerojatnosti ove hipoteze.
Bayesova formula
Bayesova formula
omogućuje vam da ponovno izračunate vjerojatnost hipoteza u svjetlu nove informaciješto je dalo rezultat A.
Bayesova formula je u određenom smislu inverzna formula ukupne vjerojatnosti.
Razmotrite sljedeći praktični problem.
Problem 1
Pretpostavimo da se avion srušio i stručnjaci su zaokupljeni istraživanjem uzroka. 4 razloga zašto je došlo do katastrofe unaprijed su poznata: ili uzrok, ili, ili, ili. Prema dostupnim statistikama, ovi razlozi imaju sljedeće vjerojatnosti:
Prilikom ispitivanja mjesta nesreće pronađeni su tragovi paljenja goriva; prema statistikama, vjerojatnost ovog događaja iz jednog ili drugog razloga je sljedeća:
Pitanje: koji je najvjerojatniji uzrok katastrofe?
Izračunajmo vjerojatnosti uzroka u uvjetima nastanka događaja A.
Iz ovoga se vidi da je prvi razlog najvjerojatniji, jer je njegova vjerojatnost najveća.
Problem 2
Zamislite avion koji slijeće na aerodrom.
Po slijetanju vrijeme mogu biti sljedeći: nema niskih oblaka (), niskih oblaka da (). U prvom slučaju, vjerojatnost sigurnog slijetanja je P1. U drugom slučaju - P2. Jasno je da P1>P2.
Uređaji koji omogućuju slijepo slijetanje imaju vjerojatnost rada bez problema R. Ako je oblačnost niska, a instrumenti za slijepo slijetanje nisu uspjeli, vjerojatnost uspješnog slijetanja je veća P3, i P3<Р2 . Poznato je da je za određeno uzletište udio dana u godini s malom naoblakom jednak .
Nađite vjerojatnost sigurnog slijetanja aviona.
Moramo pronaći vjerojatnost.
Postoje dvije mogućnosti koje se međusobno isključuju: uređaji za slijepo slijetanje rade, uređaji za slijepo slijetanje su otkazali, tako da imamo:
Dakle, prema formuli ukupne vjerojatnosti:
Problem 3
Osiguravajuće društvo nudi životno osiguranje. 10% osiguranika ove tvrtke su pušači. Ako osiguranik ne puši, vjerojatnost njegove smrti tijekom godine je 0,01, a ako je pušač, tada je ta vjerojatnost 0,05.
Koliki je udio pušača među umrlim osiguranicima tijekom godine?
Mogući odgovori: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Riješenje
Upisujemo događaje:
Uvjet problema znači da
Osim toga, budući da događaji tvore potpunu skupinu upareno nekompatibilnih događaja, tada .
Vjerojatnost koja nas zanima je .
Koristeći Bayesovu formulu, imamo:
stoga je ispravna opcija ( U).
Problem 4
Osiguravajuće društvo prodaje ugovore o životnom osiguranju u tri kategorije: standardno, povlašteno i ultrapovlašteno.
50% svih osiguranika su standardni, 40% povlašteni i 10% ultrapovlašteni.
Vjerojatnost smrti unutar godine dana za standardnog osiguranika je 0,010, za povlaštenog 0,005, a za ultrapovlaštenog 0,001.
Kolika je vjerojatnost da je umrli osiguranik ultrapovlašten?
Riješenje
Uzmimo u obzir sljedeće događaje:
Što se tiče ovih događaja, vjerojatnost koja nas zanima je . Po stanju:
Budući da događaji , tvore potpunu skupinu upareno nekompatibilnih događaja, korištenjem Bayesove formule imamo:
Slučajne varijable i njihove karakteristike
Neka to bude neka slučajna varijabla, na primjer, šteta od požara ili iznos plaćanja osiguranja.
Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira funkcija raspodjele.
Definicija. Funkcija 
nazvao distribucijska funkcija
nasumična varijabla ξ
.
Definicija. Ako postoji funkcija takva da za proizvoljne a učinjeno
onda kažu da je slučajna varijabla ξ Ima funkcija gustoće vjerojatnosti f(x).
Definicija. Neka . Za kontinuiranu funkciju raspodjele F teorijski α-kvantil naziva se rješenje jednadžbe.
Ovo rješenje možda nije jedino.
Kvantilna razina ½ nazivaju teoretskim medijan , razine kvantila ¼ I ¾ -donji i gornji kvartil odnosno.
U aktuarskim primjenama igra važnu ulogu Čebiševljeva nejednakost:
na bilo kojem
Simbol matematičkog očekivanja.
Ona glasi ovako: vjerojatnost da je modul veći ili jednak matematičkom očekivanju modula podijeljenom s .
Životni vijek kao slučajna varijabla
Neizvjesnost trenutka smrti glavni je faktor rizika u životnom osiguranju.
O trenutku smrti pojedinca ne može se reći ništa određeno. Međutim, ako imamo posla s velikom homogenom skupinom ljudi i ne zanima nas sudbina pojedinih ljudi iz te skupine, onda smo u okvirima teorije vjerojatnosti kao znanosti o masovnim slučajnim pojavama koje imaju svojstvo stabilnosti frekvencije. .
Odnosno, možemo govoriti o životnom vijeku kao slučajnoj varijabli T.
Funkcija preživljavanja
Teorija vjerojatnosti opisuje stohastičku prirodu bilo koje slučajne varijable T distribucijska funkcija F(x), koja se definira kao vjerojatnost da slučajna varijabla T manje od broja x:
.
U aktuarskoj matematici lijepo je raditi ne s distribucijskom funkcijom, već s dodatnom distribucijskom funkcijom 
.
Što se tiče dugovječnosti, to je vjerojatnost da će osoba doživjeti starost x godine.
nazvao funkcija preživljavanja(funkcija preživljavanja):
Funkcija preživljavanja ima sljedeća svojstva:
Životne tablice obično pretpostavljaju da ih ima dobna granica (ograničavanje dobi) (obično godine) i, prema tome, na x>.
Kada se smrtnost opisuje analitičkim zakonima, obično se pretpostavlja da je životni vijek neograničen, ali su vrsta i parametri zakona odabrani tako da je vjerojatnost života nakon određene dobi zanemariva.
Funkcija preživljavanja ima jednostavno statističko značenje.
Recimo da promatramo skupinu novorođenčadi (obično), koju promatramo i možemo zabilježiti trenutke njihove smrti.
Označimo broj živih predstavnika ove skupine u dobi s . Zatim:
.
Simbol E ovdje i dolje se koristi za označavanje matematičkog očekivanja.
Dakle, funkcija preživljavanja jednaka je prosječnom udjelu onih koji prežive do starenja iz neke fiksne skupine novorođenčadi.
U aktuarskoj matematici često se ne radi s funkcijom preživljavanja, već s upravo uvedenom vrijednošću (fiksiranje početne veličine grupe).
Funkcija preživljavanja može se rekonstruirati iz gustoće:
Karakteristike životnog vijeka
S praktičnog gledišta važne su sljedeće karakteristike:
1 . Prosjek doživotno
,
2
. Disperzija doživotno
,
Gdje 
,
Želite znati matematičke izglede da vaša oklada bude uspješna? Onda postoje dvije dobre vijesti za vas. Prvo: da biste izračunali sposobnost trčanja, ne morate provoditi složene izračune i trošiti puno vremena. Dovoljno je koristiti jednostavne formule, s kojima će vam trebati nekoliko minuta. Drugo: nakon što pročitate ovaj članak, možete lako izračunati vjerojatnost prolaska bilo koje vaše transakcije.
Da biste ispravno odredili sposobnost trčanja, morate poduzeti tri koraka:
- Izračunajte postotak vjerojatnosti ishoda događaja prema kladionici;
- Sami izračunajte vjerojatnost pomoću statističkih podataka;
- Saznajte vrijednost oklade, uzimajući u obzir obje vjerojatnosti.
Pogledajmo detaljno svaki od koraka, koristeći ne samo formule, već i primjere.
Brzi prolaz
Izračunavanje vjerojatnosti uključene u tečajeve kladionice
Prvi korak je saznati s kojom vjerojatnošću sam kladioničar procjenjuje šanse za određeni ishod. Jasno je da kladionice ne postavljaju kvote tek tako. Za to koristimo sljedeću formulu:
PB=(1/K)*100%,
gdje je P B vjerojatnost ishoda prema kladionici;
K – kladioničarski tečaj na ishod.
Recimo da je tečaj na pobjedu londonskog Arsenala u utakmici protiv Bayern Münchena 4. To znači da je vjerojatnost njihove pobjede kladionica procijenjena kao (1/4)*100%=25%. Ili Đoković igra protiv Youzhnyja. Množitelj Novakove pobjede je 1,2, njegove šanse su (1/1,2)*100%=83%.
Ovako sama kladionica procjenjuje šanse za uspjeh svakog igrača i tima. Nakon što smo završili prvi korak, prelazimo na drugi.
Izračun vjerojatnosti događaja od strane igrača
Druga točka našeg plana je naša vlastita procjena vjerojatnosti događaja. Budući da matematički ne možemo uzeti u obzir parametre kao što su motivacija i ton igre, koristit ćemo se pojednostavljenim modelom i koristiti samo statistiku iz prethodnih susreta. Za izračunavanje statističke vjerojatnosti ishoda koristimo se formulom:
PI=(UM/M)*100%,
GdjePI– vjerojatnost događaja prema igraču;
UM – broj uspješnih utakmica u kojima se dogodio takav događaj;
M – ukupan broj utakmica.
Da bi bilo jasnije, navedimo primjere. Andy Murray i Rafael Nadal odigrali su 14 međusobnih mečeva. U njih 6 ukupno je bilo manje od 21 u utakmicama, u 8 ukupno više. Morate saznati vjerojatnost da će sljedeća utakmica biti odigrana s većim zbrojem: (8/14)*100=57%. Valencia je protiv Atlética na Mestalli odigrala 74 utakmice u kojima je ostvarila 29 pobjeda. Vjerojatnost pobjede Valencije: (29/74)*100%=39%.
A sve to saznajemo samo zahvaljujući statistici prethodnih utakmica! Naravno, neće biti moguće izračunati takvu vjerojatnost za bilo koju novu momčad ili igrača, tako da je ova strategija klađenja prikladna samo za utakmice u kojima se protivnici susreću više puta. Sada znamo kako odrediti kladioničarske i vlastite vjerojatnosti ishoda i imamo svo znanje da prijeđemo na posljednji korak.
Određivanje vrijednosti oklade
Vrijednost (vrijednost) oklade i prolaznost imaju izravnu vezu: što je veća vrijednost, veća je šansa za prolaz. Vrijednost se izračunava na sljedeći način:
V=PI*K-100%,
gdje je V vrijednost;
P I – vjerojatnost ishoda prema kladitelju;
K – kladioničarski tečaj na ishod.
Recimo, želimo se kladiti na pobjedu Milana u utakmici protiv Rome i računamo da je vjerojatnost pobjede "crveno-crnih" 45%. Kladionica nam nudi kvotu 2,5 za ovaj ishod. Bi li takva oklada bila vrijedna? Provodimo izračune: V=45%*2,5-100%=12,5%. Odlično, imamo vrijednu okladu s dobrim izgledima za prolaz.
Uzmimo drugi slučaj. Marija Šarapova igra protiv Petre Kvitove. Želimo se dogovoriti da Maria pobijedi, čija je vjerojatnost, prema našim izračunima, 60%. Kladionice nude množitelj 1,5 za ovaj ishod. Određujemo vrijednost: V=60%*1,5-100=-10%. Kao što vidite, ova oklada nema nikakvu vrijednost i treba je izbjegavati.
Teorija vjerojatnosti je prilično opsežna samostalna grana matematike. U školskom tečaju teorija vjerojatnosti se raspravlja vrlo površno, ali u Jedinstvenom državnom ispitu i Državnoj ispitnoj akademiji postoje problemi na ovu temu. Međutim, rješavanje školskih zadataka nije tako teško (barem što se tiče aritmetičkih operacija) - ovdje ne morate brojati derivacije, uzimati integrale i rješavati složene trigonometrijske transformacije - glavno je znati baratati prostim brojevima i razlomci.
Teorija vjerojatnosti - osnovni pojmovi
Glavni pojmovi teorije vjerojatnosti su test, ishod i slučajni događaj. Test u teoriji vjerojatnosti je eksperiment - bacanje novčića, izvlačenje karte, izvlačenje - sve su to testovi. Rezultat testa, kao što možda pretpostavljate, naziva se ishod.
Što je slučajni događaj? U teoriji vjerojatnosti pretpostavlja se da se test provodi više puta i da ima mnogo ishoda. Slučajni događaj je skup ishoda suđenja. Na primjer, ako bacite novčić, mogu se dogoditi dva slučajna događaja - glava ili rep.
Ne brkajte koncepte ishoda i slučajnog događaja. Ishod je jedan rezultat jednog pokusa. Slučajni događaj je skup mogućih ishoda. Usput, postoji takav izraz kao nemoguć događaj. Na primjer, događaj "bacanje broja 8" na standardnoj kocki je nemoguć.
Kako pronaći vjerojatnost?
Svi mi otprilike razumijemo što je vjerojatnost i vrlo često koristimo ovu riječ u svom rječniku. Osim toga, čak možemo izvući neke zaključke o vjerojatnosti određenog događaja, na primjer, ako je snijeg izvan prozora, najvjerojatnije možemo reći da nije ljeto. Međutim, kako ovu pretpostavku možemo numerički izraziti?
Da bismo uveli formulu za određivanje vjerojatnosti, uvodimo još jedan pojam - povoljan ishod, odnosno ishod koji je povoljan za određeni događaj. Definicija je, naravno, prilično dvosmislena, ali prema uvjetima problema uvijek je jasno koji je ishod povoljan.
Na primjer: U razredu je 25 ljudi, od kojih su tri Katya. Učitelj dodijeli Olyi dužnost, a njoj treba partner. Koja je vjerojatnost da će Katya postati vaš partner?
U ovom primjeru, povoljan ishod je partnerica Katya. Taj ćemo problem riješiti malo kasnije. Ali prvo, koristeći dodatnu definiciju, uvodimo formulu za pronalaženje vjerojatnosti.
- P = A/N, gdje je P vjerojatnost, A broj povoljnih ishoda, N ukupan broj ishoda.
Svi školski problemi vrte se oko ove formule, a glavna poteškoća obično leži u pronalaženju ishoda. Ponekad ih je lako pronaći, ponekad ne baš.
Kako riješiti probleme vjerojatnosti?
Problem 1
Sada riješimo gornji problem.
Broj povoljnih ishoda (učitelj će izabrati Katju) je tri, jer su u razredu tri Katje, a ukupnih ishoda je 24 (25-1, jer je Olja već izabrana). Tada je vjerojatnost: P = 3/24=1/8=0,125. Dakle, vjerojatnost da će Olyin partner biti Katya iznosi 12,5%. Nije teško, zar ne? Pogledajmo nešto malo kompliciranije.
Problem 2
Novčić je bačen dva puta, kolika je vjerojatnost da dobijete jednu glavu i jednu rep?
Dakle, razmotrimo općenite rezultate. Kako novčići mogu sletjeti - glava/glava, rep/rep, glava/rep, rep/glava? To znači da je ukupan broj ishoda 4. Koliko povoljnih ishoda? Dva - glava/repovi i repovi/glave. Dakle, vjerojatnost dobivanja kombinacije glava/rep je:
- P = 2/4 = 0,5 ili 50 posto.
Sada pogledajmo ovaj problem. Maša u džepu ima 6 kovanica: dvije nominalne vrijednosti 5 rubalja i četiri nominalne vrijednosti 10 rubalja. Maša je prebacila 3 novčića u drugi džep. Koja je vjerojatnost da će kovanice od 5 rubalja završiti u različitim džepovima?
Radi jednostavnosti, označimo kovanice brojevima - 1,2 - kovanice od pet rubalja, 3,4,5,6 - kovanice od deset rubalja. Dakle, kako novčići mogu biti u vašem džepu? Postoji ukupno 20 kombinacija:
- 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.
Na prvi pogled može se činiti da neke kombinacije nedostaju, na primjer 231, ali u našem slučaju kombinacije 123, 231 i 321 su ekvivalentne.
Sada brojimo koliko povoljnih ishoda imamo. Za njih uzimamo one kombinacije koje sadrže ili broj 1 ili broj 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Ima ih 12. Dakle, vjerojatnost je jednaka:
- P = 12/20 = 0,6 ili 60%.
Ovdje predstavljeni problemi vjerojatnosti prilično su jednostavni, ali nemojte misliti da je vjerojatnost jednostavna grana matematike. Odlučite li se za nastavak školovanja na fakultetu (osim humanističkih), svakako ćete imati nastavu iz više matematike u kojoj ćete se upoznati sa složenijim pojmovima ove teorije, a zadaci će tamo biti puno teži .
Mnogi se, kada se suoče s konceptom “teorije vjerojatnosti”, uplaše, misleći da je to nešto neodoljivo, vrlo složeno. Ali zapravo sve nije tako tragično. Danas ćemo pogledati osnovni koncept i naučiti kako riješiti probleme na konkretnim primjerima.
Znanost
Što proučava takva grana matematike kao što je "teorija vjerojatnosti"? Bilježi uzorke i količine. Znanstvenici su se prvi put zainteresirali za ovo pitanje još u osamnaestom stoljeću, kada su proučavali kockanje. Osnovni pojam teorije vjerojatnosti je događaj. To je svaka činjenica koja je utvrđena iskustvom ili opažanjem. Ali što je iskustvo? Drugi temeljni koncept teorije vjerojatnosti. To znači da ovaj splet okolnosti nije stvoren slučajno, već s određenom svrhom. Što se tiče promatranja, ovdje sam istraživač ne sudjeluje u eksperimentu, već je samo svjedok tih događaja, on ni na koji način ne utječe na ono što se događa.
Događaji
Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerojatnosti događaj, ali nismo razmatrali klasifikaciju. Svi su podijeljeni u sljedeće kategorije:
- Pouzdan.
- Nemoguće.
- Slučajno.
Bez obzira na vrstu događaja, opaženih ili stvorenih tijekom iskustva, svi oni podliježu ovoj klasifikaciji. Pozivamo vas da se upoznate sa svakom vrstom zasebno.
Pouzdan događaj
To je okolnost za koju je poduzet potreban niz mjera. Da bismo bolje razumjeli suštinu, bolje je navesti nekoliko primjera. Ovom zakonu podliježu fizika, kemija, ekonomija i viša matematika. Teorija vjerojatnosti uključuje tako važan koncept kao pouzdani događaj. Evo nekoliko primjera:
- Radimo i primamo naknadu u vidu plaće.
- Dobro smo položili ispite, prošli na natjecanju i za to dobivamo nagradu u vidu upisa u obrazovnu ustanovu.
- Novac smo uložili u banku, a ako treba, vratit ćemo ga.
Takvi događaji su pouzdani. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, sigurno ćemo dobiti očekivani rezultat.
Nemogući događaji
Sada razmatramo elemente teorije vjerojatnosti. Predlažemo prijeći na objašnjenje sljedeće vrste događaja, naime nemogućeg. Prvo, odredimo najvažnije pravilo - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Od ove formulacije ne može se odstupiti pri rješavanju problema. Radi pojašnjenja, evo primjera takvih događaja:
- Voda se smrzavala na temperaturi od plus deset (to je nemoguće).
- Nedostatak električne energije ni na koji način ne utječe na proizvodnju (jednako nemoguće kao u prethodnom primjeru).
Ne vrijedi navoditi više primjera, budući da gore opisani vrlo jasno odražavaju bit ove kategorije. Nemoguć događaj se nikada neće dogoditi tijekom eksperimenta ni pod kojim okolnostima.
Slučajni događaji
Pri proučavanju elemenata teorije vjerojatnosti posebnu pozornost treba posvetiti ovoj vrsti događaja. To je ono što znanost proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može dogoditi, ali i ne mora. Osim toga, test se može provoditi neograničeni broj puta. Živopisni primjeri uključuju:
- Bacanje novčića je iskustvo ili test, pad glava je događaj.
- Izvlačenje lopte na slijepo iz vreće je test, dobivanje crvene lopte je događaj, i tako dalje.
Takvih primjera može biti neograničen broj, ali, općenito, suština bi trebala biti jasna. Kako bismo saželi i sistematizirali stečena znanja o događajima, donosimo tablicu. Teorija vjerojatnosti proučava samo posljednju vrstu od svih prikazanih.
Ime | definicija | |
Pouzdan | Događaji koji se odvijaju uz 100% jamstvo ako su zadovoljeni određeni uvjeti. | Upis u obrazovnu ustanovu nakon dobrog položenog prijemnog ispita. |
Nemoguće | Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim okolnostima. | Pada snijeg pri temperaturi zraka od plus trideset Celzijevih stupnjeva. |
Slučajno | Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tijekom eksperimenta/testiranja. | Pogodak ili promašaj prilikom ubacivanja košarkaške lopte u obruč. |
Zakoni
Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava mogućnost događanja događaja. Kao i drugi, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerojatnosti:
- Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
- Zakon velikih brojeva.
Kada izračunavate mogućnost nečeg složenog, možete koristiti skup jednostavnih događaja kako biste na lakši i brži način postigli rezultat. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerojatnosti lako dokazuju pomoću određenih teorema. Predlažemo da se najprije upoznate s prvim zakonom.
Konvergencija nizova slučajnih varijabli
Imajte na umu da postoji nekoliko vrsta konvergencije:
- Niz slučajnih varijabli konvergira u vjerojatnosti.
- Skoro nemoguće.
- Srednja kvadratna konvergencija.
- Konvergencija distribucije.
Dakle, odmah na početku, vrlo je teško shvatiti suštinu. Evo definicija koje će vam pomoći razumjeti ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Niz se zove konvergentan u vjerojatnosti, ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojem niz teži je veći od nule i blizak jedinici.
Prijeđimo na sljedeći prikaz, skoro sigurno. Za niz se kaže da konvergira skoro sigurno na slučajnu varijablu s n koja teži beskonačnosti i P koja teži vrijednosti blizu jedinici.
Sljedeća vrsta je konvergencija srednjeg kvadrata. Kada se koristi SC konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa svodi se na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa.
Ostaje posljednja vrsta, pogledajmo je ukratko kako bismo mogli izravno prijeći na rješavanje problema. Konvergencija u distribuciji ima još jedno ime - "slaba", a kasnije ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim točkama kontinuiteta granične funkcije distribucije.
Obećanje ćemo svakako održati: slaba konvergencija se od svega navedenog razlikuje po tome što slučajna varijabla nije definirana u prostoru vjerojatnosti. To je moguće jer se uvjet formira isključivo pomoću distribucijskih funkcija.
Zakon velikih brojeva
Teoreme teorije vjerojatnosti, kao što su:
- Čebiševljeva nejednakost.
- Čebiševljev teorem.
- Generalizirani Čebiševljev teorem.
- Markovljev teorem.
Ako uzmemo u obzir sve te teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetaka listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerojatnosti u praksi. Predlažemo da to učinite odmah. Ali prije toga, pogledajmo aksiome teorije vjerojatnosti; oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema.
Aksiomi
S prvim smo se već susreli kada smo govorili o nemogućem događaju. Podsjetimo: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Dali smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: snijeg je pao na temperaturi zraka od trideset stupnjeva Celzijusa.
Drugi je sljedeći: pouzdani događaj događa se s vjerojatnošću jednakom jedan. Sada ćemo pokazati kako ovo napisati matematičkim jezikom: P(B)=1.
Treće: Slučajni događaj se može, ali i ne mora dogoditi, ali mogućnost se uvijek kreće od nula do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veće su šanse; ako se vrijednost približava nuli, vjerojatnost je vrlo mala. Zapišimo ovo matematičkim jezikom: 0<Р(С)<1.
Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerojatnost zbroja dva događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti. Zapisujemo to matematičkim jezikom: P(A+B)=P(A)+P(B).
Aksiomi teorije vjerojatnosti su najjednostavnija pravila koja nije teško zapamtiti. Pokušajmo riješiti neke probleme na temelju već stečenog znanja.
Listić lutrije
Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer – lutriju. Zamislite da ste kupili jednu srećku za sreću. Koja je vjerojatnost da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno u optjecaju sudjeluje tisuću ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od petsto rubalja, deset ih ima po stotinu rubalja, pedeset ima nagradu od dvadeset rubalja, a sto ima nagradu od pet. Problemi vjerojatnosti temelje se na pronalaženju mogućnosti sreće. Sada ćemo zajedno analizirati rješenje gornjeg zadatka.
Ako koristimo slovo A za označavanje dobitka od pet stotina rubalja, tada će vjerojatnost dobivanja A biti jednaka 0,001. Kako smo ovo dobili? Samo trebate podijeliti broj "sretnih" listića s njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).
B je dobitak od sto rubalja, vjerojatnost će biti 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000)
C - dobitak je dvadeset rubalja. Pronalazimo vjerojatnost, ona je jednaka 0,05.
Preostale ulaznice nas ne zanimaju jer je njihov nagradni fond manji od navedenog u uvjetu. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerojatnost da dobijete najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerojatnost pojave određenog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim radnjama. Ostaje još samo zbrojiti potrebne podatke, a odgovor koji dobivamo je 0,061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka.
Špil karata
Problemi u teoriji vjerojatnosti mogu biti složeniji; na primjer, uzmimo sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset i šest karata. Vaš zadatak je izvući dvije karte u nizu bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna.
Prvo, pronađimo vjerojatnost da će prva karta biti as, za to dijelimo četiri sa trideset šest. Stavili su ga na stranu. Izvadimo drugu kartu, to će biti as s vjerojatnošću tri trideset petine. Vjerojatnost drugog događaja ovisi o tome koju smo kartu prvu izvukli, pitamo se je li to bio as ili ne. Iz ovoga slijedi da događaj B ovisi o događaju A.
Sljedeći korak je pronaći vjerojatnost istovremenog događanja, odnosno množimo A i B. Njihov umnožak nalazimo na sljedeći način: množimo vjerojatnost jednog događaja s uvjetnom vjerojatnošću drugog, koju izračunavamo, pretpostavljajući da je prvi dogodio se događaj, odnosno izvukli smo asa s prvom kartom.
Da bi sve bilo jasno, dajmo oznaku takvom elementu kao što su događaji. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunava se na sljedeći način: P(B/A).
Nastavimo rješavati naš problem: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ili P(A * B) = P(B) * P(A/B). Vjerojatnost je jednaka (4/36) * ((3/35)/(4/36). Računamo zaokruživanjem na najbližu stotinku. Imamo: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09.Vjerojatnost da ćemo izvući dva asa zaredom je devet stotinki.Vrijednost je vrlo mala, iz čega slijedi da je vjerojatnost da se događaj dogodi izuzetno mala.
Zaboravljeni broj
Predlažemo da analiziramo još nekoliko varijanti zadataka koje proučava teorija vjerojatnosti. Primjere rješavanja nekih od njih već ste vidjeli u ovom članku. Pokušajmo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio zadnju znamenku telefonskog broja svog prijatelja, ali kako je poziv bio vrlo važan, počeo je birati sve redom . Moramo izračunati vjerojatnost da neće nazvati više od tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako se poznaju pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerojatnosti.
Prije nego pogledate rješenje, pokušajte ga sami riješiti. Znamo da posljednja znamenka može biti od nula do devet, odnosno deset vrijednosti ukupno. Vjerojatnost da dobijete pravu je 1/10.
Zatim, moramo razmotriti opcije za podrijetlo događaja, pretpostavimo da je dječak dobro pogodio i odmah upisao pravu, vjerojatnost takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv promašuje, a drugi je na meti. Izračunajmo vjerojatnost takvog događaja: pomnožimo 9/10 s 1/9, a kao rezultat također dobivamo 1/10. Treća opcija: prvi i drugi poziv pokazali su se na krivoj adresi, tek trećim je dječak stigao gdje je htio. Izračunavamo vjerojatnost takvog događaja: 9/10 pomnoženo s 8/9 i 1/8, što rezultira 1/10. Druge mogućnosti prema uvjetima problema nas ne zanimaju, pa samo trebamo zbrajati dobivene rezultate, na kraju imamo 3/10. Odgovor: vjerojatnost da se dječak neće javiti više od tri puta je 0,3.
Kartice s brojevima
Pred vama je devet karata, na svakoj je ispisan broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavili su ih u kutiju i temeljito izmiješali. Morate izračunati vjerojatnost da
- pojavit će se paran broj;
- dvoznamenkasti.
Prije nego prijeđemo na rješenje, uvjetujmo da je m broj uspješnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Nađimo vjerojatnost da će broj biti paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, to će biti naše m, ukupno je devet mogućih opcija, odnosno m=9. Tada je vjerojatnost 0,44 ili 4/9.
Razmotrimo drugi slučaj: broj opcija je devet, a ne može uopće biti uspješnih ishoda, odnosno m je jednako nula. Vjerojatnost da će izvučena karta sadržavati dvoznamenkasti broj također je nula.
- Kako skuhati šipak u termos boci za liječenje prehlade
- Molitva Svetom Tripunu za rad
- Kako prizvati Slendermana u stvarnom životu?
- Krilov je istovremeno bio izvanredan matematičar, fizičar i inženjer
- Alexandra Korintska molitva
- Nasljedstvo i razvoj Je li naslijeđe toliko važno?
- Harry Potter knjige na engleskom
- Organizacijski čimbenici koji uzrokuju stres
- Recept za pirjani kupus u laganom kuhalu: jednostavan, brz i ukusan
- Osmica štapova, opis i karakteristike karata
- Odrezak i medaljoni od lososa
- Charlotte s jabukama i cimetom u pećnici - jednostavan i ukusan recept Charlotte s jabukama i cimetom recept
- Klasični uskršnji recept Tatjane Litvinove
- Odakle prezimena?
- Što znači broj 666. Tumačenja broja “666. Biblijska imena nisu samo imena
- 666 znači. Tumačenja broja “666. Negativno značenje - pohlepa, neobuzdane strasti
- Zašto vam je potreban proizvodni kalendar?
- Načini očuvanja korisnih svojstava vrganja Suše li se vrganji?
- Pirjani krumpir s junetinom na tavi
- Riba pečena u pećnici