1. Formule za izračunavanje vjerojatnosti događaja

1.3.1. Redoslijed neovisnih ispitivanja (Bernoullijeva shema)

Pretpostavimo da se neki eksperiment može ponoviti pod istim uvjetima. Neka ovo iskustvo bude ostvareno n puta, tj. niz od n testovi.

Definicija. Naknadna slijed n zovu se testovi međusobno nezavisni ako je bilo koji događaj povezan s određenim testom neovisan o događajima povezanim s drugim testovima.

Recimo taj neki događaj A vjerojatno da će se dogoditi str kao rezultat jednog testa ili se ne dogodi s vjerojatnošću q= 1- str.

Definicija . Slijed od n test tvori Bernoullijevu shemu ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

podslijed n testovi su međusobno nezavisni,

2) vjerojatnost događaja A ne mijenja se od testa do testa i ne ovisi o rezultatu u drugim testovima.

Događaj A naziva se "uspjeh" testa, a suprotni događaj naziva se "neuspjeh". Razmotrite događaj

=( in n testovi su se dogodili točno m"uspjeh").

Za izračunavanje vjerojatnosti ovog događaja vrijedi Bernoullijeva formula

str() =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

gdje - broj kombinacija od n elementi po m :

=
=
.

Primjer 1.16. Bacite kocku tri puta. Pronaći:

a) vjerojatnost da će dva puta ispasti 6 bodova;

b) vjerojatnost da se broj šestica ne pojavi više od dva puta.

Riješenje . „Uspjehom“ testa smatrat će se gubitak lica na kockici sa slikom od 6 točaka.

a) Ukupan broj testova - n=3, broj “uspjeha” – m = 2. Vjerojatnost "uspjeha" - str=, i vjerojatnost "neuspjeha" - q= 1 - =. Tada će, prema Bernoullijevoj formuli, vjerojatnost da strana sa šest bodova ispadne dva puta kao rezultat tri puta bacanja kocke biti jednaka

.

b) Označimo sa ALI događaj da će se lice s rezultatom 6 pojaviti najviše dva puta. Tada se događaj može prikazati kao zbroj tri nespojiva događanja A=
,

gdje NA 3 0 – događaj kada se lice od interesa nikad ne pojavi,

NA 3 1 - događaj kada se lice od interesa pojavljuje jednom,

NA 3 2 - događaj kada se lice od interesa pojavljuje dva puta.

Bernoullijevom formulom (1.6) nalazimo

str(ALI) = p(
) = str(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Uvjetna vjerojatnost događaja

Uvjetna vjerojatnost odražava utjecaj jednog događaja na vjerojatnost drugog. Promjena uvjeta pod kojima se eksperiment provodi također utječe

vjerojatnost nastanka događaja od interesa.

Definicija. Neka A i B- neki događaji i vjerojatnost str(B)> 0.

Uvjetna vjerojatnost razvoja događaja A pod uvjetom da „događaj Bveć dogodilo” je omjer vjerojatnosti nastanka tih događaja i vjerojatnosti događaja koji se dogodio prije događaja čiju vjerojatnost treba pronaći. Uvjetna vjerojatnost se označava kao str(A B). Zatim po definiciji

str (A  B) =
. (1.7)

Primjer 1.17. Baci dvije kocke. Prostor elementarnih događaja sastoji se od uređenih parova brojeva

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

U primjeru 1.16 utvrđeno je da događaj A=(broj bodova na prvoj kockici > 4) i događaj C=(zbroj bodova je 8) su ovisni. Uspostavimo odnos

.

Ovaj odnos se može tumačiti na sljedeći način. Pretpostavimo da je poznato da je rezultat prvog bacanja da je broj bodova na prvoj kockici > 4. Slijedi da bacanje druge kocke može dovesti do jednog od 12 ishoda koji čine događaj A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Istodobno, događaj C samo dva od njih (5.3) (6.2) mogu odgovarati. U ovom slučaju, vjerojatnost događaja C bit će jednako
. Dakle, informacija o pojavi događaja A utjecao na vjerojatnost događaja C.

Vjerojatnost stvaranja događaja

Teorem množenja

Vjerojatnost stvaranja događajaA 1 A 2  A n određuje se formulom

str(A 1 A 2  A n)=str(A 1)str(A 2  A 1)) str(A n  A 1 A 2  A n- 1). (1.8)

Za produkt dva događaja slijedi da

str(AB)=str(A B) str{B)=str(B A)str{A). (1.9)

Primjer 1.18. U seriji od 25 artikala, 5 artikala je neispravno. Slučajno se biraju 3 predmeta. Odredite vjerojatnost da su svi odabrani proizvodi neispravni.

Riješenje. Označimo događaje:

A 1 = (prvi proizvod je neispravan),

A 2 = (drugi proizvod je neispravan),

A 3 = (treći proizvod je neispravan),

A = (svi proizvodi su neispravni).

Događaj ALI proizvod je tri događaja A = A 1 A 2 A 3 .

Iz teorema množenja (1.6) dobivamo

str(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = str(A 1) str(A 2  A 1))str(A 3  A 1 A 2).

Klasična definicija vjerojatnosti omogućuje nam da pronađemo str(A 1) je omjer broja neispravnih proizvoda prema ukupnom broju proizvoda:

str(A 1)= ;

str(A 2) – ovo je omjer broja neispravnih proizvoda preostalih nakon povlačenja jednog, prema ukupnom broju preostalih proizvoda:

str(A 2  A 1))= ;

str(A 3) je omjer broja neispravnih proizvoda preostalih nakon povlačenja dva neispravna proizvoda prema ukupnom broju preostalih proizvoda:

str(A 3  A 1 A 2)=.

Zatim vjerojatnost događaja A bit će jednako

str(A) ==
.

U početku, budući da je bila samo zbirka informacija i empirijskih opažanja igre kocke, teorija vjerojatnosti postala je čvrsta znanost. Fermat i Pascal su prvi dali matematički okvir.

Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerojatnosti

Dva pojedinca kojima teorija vjerojatnosti duguje mnoge temeljne formule, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, potonji je bio prezbiterijanski svećenik. Očigledno je želja ove dvojice znanstvenika da dokažu pogrešnost mišljenja o određenoj Fortune, darujući sreću njezinim miljenicima, dala poticaj istraživanjima na ovom području. Dapače, bilo koji Kockanje sa svojim pobjedama i porazima, to je samo simfonija matematičkih principa.

Zahvaljujući uzbuđenju Chevaliera de Merea, koji je podjednako bio kockar i osoba koja nije bila ravnodušna prema znanosti, Pascal je bio prisiljen pronaći način za izračunavanje vjerojatnosti. De Merea je zanimalo ovo pitanje: "Koliko puta trebate baciti dvije kocke u paru da vjerojatnost dobivanja 12 bodova bude veća od 50%?". Drugo pitanje koje je iznimno zanimalo gospodina: "Kako podijeliti ulog između sudionika u nedovršenoj igri?" Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerojatnosti. Zanimljivo je da je osoba de Mere ostala poznata na ovim prostorima, a ne u književnosti.

Prije toga nijedan matematičar još nije pokušao izračunati vjerojatnosti događaja, jer se vjerovalo da je to samo nagađanje. Blaise Pascal je dao prvu definiciju vjerojatnosti događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može opravdati matematički. Teorija vjerojatnosti postala je temelj statistike i naširoko se koristi u modernoj znanosti.

Što je slučajnost

Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, tada možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda iskustva.

Iskustvo je provedba specifičnih radnji u stalnim uvjetima.

Kako bi se moglo raditi s rezultatima iskustva, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerojatnost slučajnog događaja

Da bismo mogli prijeći na matematički dio vjerojatnosti, potrebno je definirati sve njezine komponente.

Vjerojatnost događaja je numerička mjera mogućnosti pojave nekog događaja (A ili B) kao rezultat iskustva. Vjerojatnost se označava kao P(A) ili P(B).

Teorija vjerojatnosti je:

• pouzdan događaj će se zajamčeno dogoditi kao rezultat eksperimenta R(Ω) = 1;
• nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi R(Ø) = 0;
• slučajan događaj se nalazi između sigurnog i nemogućeg, odnosno vjerojatnost njegovog događanja je moguća, ali nije zajamčena (vjerojatnost slučajni događaj uvijek unutar 0≤P(A)≤1).

Odnosi među događajima

I jedan i zbroj događaja A + B uzimaju se u obzir kada se događaj računa u implementaciji barem jedne od komponenti, A ili B, ili obje - A i B.

U međusobnom odnosu, događaji mogu biti:

• Jednako moguće.
• kompatibilan.
• Nespojivo.
• Suprotno (međusobno se isključuje).
• Ovisna.

Ako se dva događaja mogu dogoditi s jednakom vjerojatnošću, onda oni jednako moguće.

Ako pojava događaja A ne poništava vjerojatnost pojave događaja B, tada oni kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne dogode u isto vrijeme u istom eksperimentu, tada se oni nazivaju nekompatibilan. bacanje novčića - dobar primjer: pojavljivanje repova je automatski nepojavljivanje glava.

Vjerojatnost za zbroj takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od zbroja vjerojatnosti svakog od događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog događaja onemogućuje pojavu drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Zatim je jedan od njih označen kao A, a drugi - Ā (čitaj kao "ne A"). Događaj A znači da se Ā nije dogodio. Ova dva događaja čine potpunu grupu sa zbrojem vjerojatnosti jednakim 1.

Zavisni događaji međusobno utječu, smanjujući ili povećavajući vjerojatnost jedni drugima.

Odnosi među događajima. Primjeri

Puno je lakše razumjeti principe teorije vjerojatnosti i kombinacije događaja koristeći primjere.

Eksperiment koji će se provesti je izvlačenje kuglica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementarni ishod.

Događaj je jedan od moguće ishode iskustva - crvena lopta, plava lopta, lopta s brojem šest itd.

Test broj 1. Ima 6 kuglica od kojih su tri plave s neparnim brojevima, a ostale tri crvene s parnim brojevima.

Test broj 2. Sudjeluje 6 lopti plave boje brojevima od jedan do šest.

Na temelju ovog primjera možemo imenovati kombinacije:

• Pouzdan događaj. Na španjolskom br. 2, događaj "uzmi plavu loptu" je pouzdan, jer je vjerojatnost njegovog pojavljivanja 1, jer su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "uzmi loptu s brojem 1" slučajan.
• Nemoguć događaj. Na španjolskom br. 1 s plavim i crvenim kuglicama, događaj "dobiti ljubičastu loptu" je nemoguć, jer je vjerojatnost njegove pojave 0.
• Ekvivalentni događaji. Na španjolskom br. 1, jednako su vjerojatni događaji „dobiti loptu brojem 2” i „dobiti loptu brojem 3”, a događaji „dobiti loptu parnim brojem” i „dobiti loptu brojem 2” ” imaju različite vjerojatnosti.
• Kompatibilni događaji. Dobivanje šestice u procesu bacanja kocke dvaput zaredom su kompatibilni događaji.
• Nespojivi događaji. Na istom španjolskom Događaji br. 1 "dobiti crvenu loptu" i "dobiti loptu s neparnim brojem" ne mogu se kombinirati u istom iskustvu.
• suprotnih događaja. Najviše vrhunski primjer Ovo je bacanje novčića, pri čemu je izvlačenje glava isto što i ne izvlačenje repa, a zbroj njihovih vjerojatnosti je uvijek 1 (puna grupa).
• Ovisni događaji. Dakle, na španjolskom Broj 1, možete si postaviti cilj da dva puta zaredom izvučete crvenu loptu. Izdvajanje ili ne izdvajanje prvi put utječe na vjerojatnost izdvajanja drugi put.

Vidljivo je da prvi događaj značajno utječe na vjerojatnost drugog (40% i 60%).

Formula vjerojatnosti događaja

Prijelaz s proricanja sudbine na točne podatke događa se prijenosom teme na matematičku razinu. To jest, prosudbe o slučajnom događaju poput "visoke vjerojatnosti" ili "minimalne vjerojatnosti" mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Već je dopušteno ocjenjivati, uspoređivati ​​i uvoditi takav materijal u složenije izračune.

Sa stajališta izračuna, definicija vjerojatnosti događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda prema broju svih mogućih ishoda iskustva s obzirom na određeni događaj. Vjerojatnost je označena s P (A), gdje P znači riječ "vjerojatnost", koja se s francuskog prevodi kao "vjerojatnost".

Dakle, formula za vjerojatnost događaja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbroj svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. Vjerojatnost događaja uvijek je između 0 i 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Proračun vjerojatnosti događaja. Primjer

Uzmimo španjolski. 1 s kuglicama, koje su ranije opisane: 3 plave kuglice s brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice s brojevima 2/4/6.

Na temelju ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih zadataka:

• A - ispuštanje crvene lopte. Postoje 3 crvene kuglice, a ukupno 6 opcija. Ovo je najjednostavniji primjer, u kojem je vjerojatnost događaja P(A)=3/6=0,5.
• B - ispuštanje parnog broja. Ukupno ima 3 (2,4,6) parna broja, a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerojatnost ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
• C - gubitak broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogućih ishoda 6. Vjerojatnost događaja C je P(C)=4/6= 0,67.

Kao što se može vidjeti iz izračuna, događaj C ima veću vjerojatnost, jer je broj mogućih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.

Nespojivi događaji

Takvi se događaji ne mogu pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španjolskom Broj 1, nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, paran i neparan broj ne mogu se pojaviti u kockici u isto vrijeme.

Vjerojatnost dva događaja smatra se vjerojatnošću njihovog zbroja ili umnoška. Zbroj takvih događaja A + B smatra se događajem koji se sastoji u pojavi događaja A ili B, a umnožak njihovih AB - u pojavi oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dviju kockica u jednom bacanju.

Zbroj više događaja je događaj koji podrazumijeva pojavu barem jednog od njih. Proizvod nekoliko događaja je zajednička pojava svih njih.

U teoriji vjerojatnosti, u pravilu, uporaba unije "i" označava zbroj, unije "ili" - množenje. Formule s primjerima pomoći će vam razumjeti logiku zbrajanja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja

Ako se uzme u obzir vjerojatnost zajednički događaji, tada je vjerojatnost zbroja događaja jednaka zbroju njihovih vjerojatnosti:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: izračunavamo vjerojatnost da u španjolskom. Broj 1 s plavim i crvenim kuglicama ispustit će broj između 1 i 4. Računat ćemo ne jednom akcijom, već zbrojem vjerojatnosti elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 lopti ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uvjet su 2 i 3. Vjerojatnost da dobijete broj 2 je 1/6, vjerojatnost broja 3 je također 1/6. Vjerojatnost da dobijete broj između 1 i 4 je:

Vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja kompletne grupe je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerojatnosti dobivanja svih brojeva, tada kao rezultat dobivamo jedan.

To vrijedi i za suprotne događaje, npr. u pokusu s novčićem, gdje je jedna njegova strana događaj A, a druga suprotni događaj Ā, kao što je poznato,

R(A) + R(Ā) = 1

Vjerojatnost stvaranja nekompatibilnih događaja

Množenje vjerojatnosti koristi se kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom opažanju. Vjerojatnost da će se događaji A i B u njemu pojaviti u isto vrijeme jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti, odnosno:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerojatnost da u Broj 1 kao rezultat dva pokušaja, plava kuglica će se pojaviti dva puta, jednako

Odnosno, vjerojatnost da će se dogoditi događaj kada će se, kao rezultat dva pokušaja izvlačenja kuglica, izvući samo plave kuglice, iznosi 25%. Vrlo je jednostavno izvesti praktične pokuse na ovom problemu i vidjeti je li to doista tako.

Zajednički događaji

Događaji se smatraju zajedničkim kada se pojavljivanje jednog od njih može podudarati s pojavljivanjem drugog. Unatoč činjenici da su zajednički, razmatra se vjerojatnost neovisnih događaja. Primjerice, bacanje dviju kockica može dati rezultat kada na objema padne broj 6. Iako su se događaji poklopili i pojavili u isto vrijeme, oni su neovisni jedan o drugome – mogla je ispasti samo jedna šestica, druga kocka nema utjecaj na to.

Vjerojatnost zajedničkih događaja smatra se vjerojatnošću njihovog zbroja.

Vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja. Primjer

Vjerojatnost zbroja događaja A i B, koji su zajednički jedan prema drugome, jednaka je zbroju vjerojatnosti događaja umanjenom za vjerojatnost njihovog umnoška (odnosno njihove zajedničke provedbe):

R zglob. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Pretpostavimo da je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem 0,4. Zatim događaj A - pogađanje mete u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da je moguće pogoditi metu i iz prvog i iz drugog hica. Ali događaji nisu ovisni. Kolika je vjerojatnost događaja pogotka mete s dva hica (barem jednim)? Prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je: "Vjerojatnost pogotka cilja s dva hica je 64%."

Ova formula za vjerojatnost događaja također se može primijeniti na nekompatibilne događaje, gdje je vjerojatnost zajedničkog pojavljivanja događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem predložene formule.

Geometrija vjerojatnosti za jasnoću

Zanimljivo je da se vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja može prikazati kao dva područja A i B koja se međusobno sijeku. Kao što možete vidjeti na slici, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Imajte na umu da geometrijska rješenja nije neuobičajeno u teoriji vjerojatnosti.

Definicija vjerojatnosti zbroja skupa (više od dva) zajedničkih događaja prilično je glomazna. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.

Ovisni događaji

Ovisni događaji nazivaju se ako pojava jednog (A) od njih utječe na vjerojatnost pojavljivanja drugog (B). Štoviše, uzima se u obzir utjecaj i pojave događaja A i njegovog nepojavljivanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju ovisnima, samo je jedan od njih zavisan (B). Uobičajena vjerojatnost označavana je kao P(B) ili vjerojatnost neovisnih događaja. Kod zavisnih se uvodi novi koncept - uvjetna vjerojatnost P A (B), koja je vjerojatnost ovisnog događaja B pod uvjetom da se dogodio događaj A (hipoteza) o kojem on ovisi.

Ali događaj A je također slučajan, pa također ima vjerojatnost koja se mora i može uzeti u obzir u izračunima. Sljedeći primjer pokazat će kako raditi s ovisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračuna vjerojatnosti zavisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja je standardni špil karata.

Na primjeru špila od 36 karata, razmotrite ovisne događaje. Potrebno je odrediti vjerojatnost da će druga izvučena karta iz špila biti karo, ako je prva izvučena karta:

1. Tamburin.
2. Drugo odijelo.

Očito, vjerojatnost drugog događaja B ovisi o prvom događaju A. Dakle, ako je prva opcija točna, što je 1 karta (35) i 1 karo (8) manje u špilu, vjerojatnost događaja B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Ako je druga opcija točna, tada je u špilu 35 karata, a ukupni broj tambura (9), tada je vjerojatnost sljedećeg događaja B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Može se vidjeti da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta karo, tada se vjerojatnost događaja B smanjuje, i obrnuto.

Množenje zavisnih događaja

Na temelju prethodnog poglavlja prvi događaj (A) prihvaćamo kao činjenicu, ali on u biti ima slučajan karakter. Vjerojatnost ovog događaja, odnosno vađenja tamburice iz špila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budući da teorija ne postoji sama po sebi, već je pozvana da služi praktičnim svrhama, pošteno je primijetiti da je najčešće potrebna vjerojatnost stvaranja ovisnih događaja.

Prema teoremu o umnošku vjerojatnosti ovisnih događaja, vjerojatnost pojavljivanja zajednički ovisnih događaja A i B jednaka je vjerojatnosti jednog događaja A, pomnoženoj s uvjetnom vjerojatnošću događaja B (ovisno o A):

P (AB) \u003d P (A) * PA (B)

Zatim u primjeru sa špilom, vjerojatnost izvlačenja dviju karata s karo je:

9/36*8/35=0,0571 ili 5,7%

A vjerojatnost da prvo ne izvadite dijamante, a zatim dijamante, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Vidi se da je vjerojatnost događanja događaja B veća, pod uvjetom da se prva izvuče karta boje koja nije karo. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.

Ukupna vjerojatnost događaja

Kada problem s uvjetnim vjerojatnostima postane višestruk, ne može se izračunati konvencionalnim metodama. Kada postoji više od dvije hipoteze, naime A1, A2, ..., A n , .. čini potpunu grupu događaja pod uvjetom:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Dakle, formula ukupne vjerojatnosti za događaj B na puna grupa slučajni događaji A1,A2,…,A n je jednak:

Pogled u budućnost

Vjerojatnost slučajnog događaja bitna je u mnogim područjima znanosti: ekonometriji, statistici, fizici itd. Kako se neki procesi ne mogu deterministički opisati, jer su sami po sebi probabilistički, potrebne su posebne metode rada. Teorija vjerojatnosti događaja može se koristiti u bilo kojem tehnološkom području kao način utvrđivanja mogućnosti pogreške ili kvara.

Može se reći da prepoznavanjem vjerojatnosti na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.

Možete li dobiti na lutriji? Kakve su šanse da pogodite točan broj brojeva i dobijete jackpot ili juniorsku nagradu? Vjerojatnost dobitka lako se izračunava, svatko to može učiniti sam.

Kako se izračunava vjerojatnost dobitka na lutriji?

Brojčane lutrije održavaju se prema određenim formulama, a šanse za svaki događaj (pobjeda u jednoj ili drugoj kategoriji) izračunavaju se matematički. Štoviše, ova se vjerojatnost izračunava za bilo koji željenu vrijednost, bilo da je to "5 od 36", "6 od 45", ili "7 od 49" i ne mijenja se, jer ovisi samo o ukupnom broju brojeva (loptica, brojeva) i koliko ih je trebate pogoditi.

Na primjer, za lutriju "5 od 36", vjerojatnosti su uvijek sljedeće

• pogodite dva broja - 1:8
• pogodi tri broja - 1:81
• pogodite četiri broja - 1: 2 432
• pogodite pet brojeva - 1: 376 992

Drugim riječima, ako označite jednu kombinaciju (5 brojeva) na listiću, tada je šansa da pogodite "dvojku" samo 1 od 8. Ali "pet" brojeva je puno teže uhvatiti, ovo je već 1 šansa od 376 992. Upravo taj (376 tisuća) broj Na lutriji 5 od 36 ima svakakvih kombinacija, a ako ih sve ispunite, možete je sigurno osvojiti. Istina, iznos dobitka u ovom slučaju neće opravdati ulaganje: ako listić košta 80 rubalja, tada će označavanje svih kombinacija koštati 30 159 360 rubalja. Jackpot je obično mnogo manji.

Općenito, sve su vjerojatnosti odavno poznate, a preostaje samo pronaći ih ili sami izračunati, koristeći odgovarajuće formule.

Za one koji su previše lijeni da gledaju, predstavljamo vjerojatnosti dobitka za glavne numeričke lutrije Stoloto - prikazane su u ovoj tablici

Potrebna objašnjenja

Lotto Widget vam omogućuje izračunavanje vjerojatnosti dobitka za lutrije s jednim automatom za lutriju (bez bonus loptica) ili s dvije lutrije. Također možete izračunati vjerojatnosti raspoređenih stopa

Izračun vjerojatnosti za lutrije s jednim lutrijskim bubnjem (bez bonus kuglica)

Koriste se samo prva dva polja u kojima je numerička formula lutrije, na primjer: - "5 od 36", "6 od 45", "7 od 49". U principu, može se izračunati gotovo bilo koji svjetska lutrija. Postoje samo dva ograničenja: prva vrijednost ne smije biti veća od 30, a druga ne smije biti veća od 99.

Ako lutrija ne koristi dodatne brojeve *, tada nakon odabira numeričke formule ostaje pritisnuti gumb za izračunavanje i rezultat je spreman. Nije bitno želite li znati kolika je vjerojatnost za koji događaj - osvajanje jackpota, osvajanje druge/treće kategorije ili jednostavno saznati je li teško pogoditi 2-3 broja od traženog broja - rezultat je izračunava se gotovo odmah!

Primjer izračuna. Vjerojatnost da pogodite 5 od 36 je 1 naprema 376 992

Primjeri. Vjerojatnosti osvajanja glavnog dobitka na lutriji:
"5 od 36" (Gosloto, Rusija) - 1:376 922
"6 od 45" (Gosloto, Rusija; Saturday Lotto, Australija; Lotto, Austrija) - 1:8 145 060
"6 od 49" (Sportloto, Rusija; La Primitiva, Španjolska; Lotto 6/49, Kanada) - 1:13 983 816
"6 od 52" (Super Loto, Ukrajina; Illinois Lotto, SAD; Mega TOTO, Malezija) - 1:20 358 520
"7 od 49" (Gosloto, Rusija; Lotto Max, Kanada) - 1:85 900 584

Lutrije s dva loto bubnja (+ bonus loptica)

Ako se u lutriji koriste dva bubnja za lutriju, tada za izračun moraju biti popunjena sva 4 polja. Prva dva sadrže numeričku formulu lutrije (5 od 36, 6 od 45 itd.), treće i četvrto polje označavaju broj bonus loptica (x od n). Važno: ovaj se izračun može koristiti samo za lutrije s dva bubnja za lutriju. Ako se bonus loptica uzme iz glavnog lutrijskog bubnja, tada se vjerojatnost dobitka u ovoj određenoj kategoriji smatra drugačije.

* Budući da se pri korištenju dva bubnja za lutriju šansa za dobitak izračunava međusobnim množenjem vjerojatnosti, tada je za ispravan izračun lutrije s jednim bubnjem za lutriju izbor dodatni broj zadana vrijednost je 1 od 1, odnosno ne uzima se u obzir.

Primjeri. Vjerojatnosti osvajanja glavnog dobitka na lutriji:
"5 od 36 + 1 od 4" (Gosloto, Rusija) - 1:1 507 978
"4 od 20 + 4 od 20" (Gosloto, Rusija) - 1:23 474 025
"6 od 42 + 1 od 10" (Megalot, Ukrajina) - 1:52 457 860
"5 od 50 + 2 od 10" (EuroJackpot) - 1:95 344 200
"5 od 69 + 1 od 26" (Powerball, SAD) - 1: 292 201 338

Primjer izračuna. Šansa da dvaput pogodite 4 od 20 (u dva polja) je 1 prema 23,474,025

Dobra ilustracija složenosti igre s dva lutrijska bubnja je lutrija Gosloto 4 od 20. Vjerojatnost da pogodite 4 broja od 20 u jednom polju je prilično mala, šansa za ovo je 1 prema 4845. Ali kada trebate osvojiti oba polja... tada se vjerojatnost izračunava njihovim množenjem. To jest, u ovom slučaju množimo 4 845 sa 4 845, što daje 23 474 025. Dakle, jednostavnost ove lutrije je varljiva, osvojite Glavna nagrada teže od 6 od 45 ili 6 od 49

Izračun vjerojatnosti (proširene stope)

U ovom slučaju, vjerojatnost dobitka izračunava se pri korištenju proširenih oklada. Na primjer, ako je na lutriji 6 od 45, označite 8 brojeva, tada će vjerojatnost osvajanja glavnog dobitka (6 od 45) biti 1 šansa od 290 895. Na vama je da odlučite hoćete li koristiti proširene stope. Uzimajući u obzir činjenicu da je njihov trošak vrlo visok (u ovom slučaju 8 označenih brojeva je 28 opcija), vrijedi znati kako to povećava šanse za dobitak. Štoviše, sada je to tako jednostavno učiniti!

Izračun vjerojatnosti dobitka (6 od 45) na primjeru proširene oklade (označeno 8 brojeva)

I druge mogućnosti

Koristeći naš widget, možete izračunati vjerojatnost dobitka u bingo lutriji, na primjer, u " Ruski loto". Glavna stvar koju treba uzeti u obzir je broj poteza dodijeljenih za početak pobjede. Da budemo jasniji: dugo vremena u ruskoj lutriji jackpot se mogao osvojiti ako 15 brojeva ( u jednom polju) zatvoreno u 15 poteza. Vjerojatnost takvog događaja je apsolutno fantastična, 1 naprema 45,795,673,964,460,800 (ovu vrijednost možete provjeriti i sami dobiti). Zbog toga, uzgred, dugi niz godina u ruskoj lutriji nitko nije mogao pogoditi jackpot, te se prisilno dijelio.

Dana 20. ožujka 2016. promijenjena su pravila ruske lutrije. Jackpot se sada može osvojiti ako 15 brojeva (od 30) zatvoreno u 15 poteza. Ispada analogno proširenoj stopi - nakon svega, 15 brojeva je pogodeno od 30 dostupnih! A ovo je potpuno drugačija mogućnost:

Prilika za osvajanje jackpota (prema novim pravilima) na lutriji Russian Lotto

I kao zaključak, dat ćemo vjerojatnost dobitka na lutriji korištenjem bonus loptice iz glavnog automata za lutriju (naš widget ne broji takve vrijednosti). Od najpoznatijih

Sportloto "6 od 49"(Gosloto, Rusija), La Primitiva "6 od 49" (Španjolska)
Kategorija "5 + bonus lopta": vjerojatnost 1:2 330 636

SuperEnalotto "6 od 90"(Italija)
Kategorija "5 + bonus lopta": vjerojatnost 1:103 769 105

Oz Loto "7 od 45"(Australija)
Kategorija "6 + bonus lopta": vjerojatnost 1:3 241 401
"5 + 1" - vjerojatnost 1:29,602
"3 +1" - vjerojatnost 1:87

Loto "6 od 59"(Velika Britanija)
Kategorija "5 + 1 bonus lopta": vjerojatnost 1:7 509 579

Znati kako procijeniti vjerojatnost događaja na temelju omjera ključno je za odabir prave oklade. Ako ne razumijete kako prevesti kladioničarske koeficijente u koeficijente, nikada nećete moći shvatiti kako se koeficijenti klađenja mogu usporediti s koeficijentima. stvarne šanse da će se događaj održati. Treba imati na umu da ako je vjerojatnost događaja prema kladionicama niža od vjerojatnosti istog događaja prema vašoj vlastitoj verziji, oklada na taj događaj bit će vrijedna. Na web stranici Odds.ru možete usporediti tečajeve za različite događaje.

1.1. Vrste koeficijenata

Kladionice obično nude tri vrste koeficijenata - decimalne, frakcijske i američke. Pogledajmo svaku od sorti.

1.2. Decimalni koeficijenti

Decimalni koeficijenti, kada se pomnože s veličinom uloga, omogućuju vam da izračunate cjelokupni iznos koji ćete dobiti u ruke ako pobijedite. Na primjer, ako se uložite 1 USD na kvotu 1,80, ako pobijedite, dobit ćete 1,80 USD (1 USD je vraćeni iznos oklade, 0,80 USD je dobitak na okladi, što je ujedno i vaša neto dobit).

Odnosno, vjerojatnost ishoda, prema kladioničarima, iznosi 55%.

1.3. Razlomci kvota

Frakcijski koeficijenti su najtradicionalnija vrsta koeficijenata. Brojnik pokazuje potencijalni iznos neto dobitaka. Nazivnik je iznos oklade koji je potrebno napraviti da bi se ostvario isti dobitak. Na primjer, izgledi od 7/2 znači da da biste dobili neto dobitak od 7 USD, morate se uložiti 2 USD.

Da bi se izračunala vjerojatnost događaja na temelju decimalnog koeficijenta, treba izvršiti jednostavni proračuni Nazivnik podijelite zbrojem brojnika i nazivnika. Za gornji koeficijent 7/2, izračun će biti sljedeći:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

Odnosno, vjerojatnost ishoda, prema kladioničarima, iznosi 22%.

1.4. američki izgledi

Ova vrsta omjera je popularna u Sjeverna Amerika. Na prvi pogled djeluju prilično komplicirano i nerazumljivo, ali nemojte se bojati. Razumijevanje američkih koeficijenata može biti korisno, na primjer, kada igrate u američkim kockarnicama, za razumijevanje citata prikazanih u sjevernoameričkim sportskim prijenosima. Smislimo kako procijeniti vjerojatnost ishoda na temelju američkih koeficijenata.

Prije svega, morate shvatiti da su američki izgledi pozitivni i negativni. Negativni američki tečajevi uvijek su u formatu, na primjer, "-150". To znači da za primanje 100$ neto dobit(pobjeda), trebate uložiti 150 dolara.

Pozitivni američki koeficijent izračunava se obrnuto. Na primjer, imamo koeficijent "+120". To znači da da biste dobili 120 $ neto dobiti (dobitak), morate se kladiti u 100 $.

Izračun vjerojatnosti temeljen na negativnim američkim koeficijentima vrši se pomoću sljedeće formule:

(-(negativni SAD izgledi)) / ((-(negativni SAD izgledi)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

Odnosno, vjerojatnost događaja za koji je dan negativni američki koeficijent "-150" je 60%.

Sada razmotrite slične izračune za pozitivni američki koeficijent. Vjerojatnost se u ovom slučaju izračunava pomoću sljedeće formule:

100 / (pozitivni izgledi za SAD + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

Odnosno, vjerojatnost događaja za koji je dan pozitivan američki koeficijent "+120" je 45%.

1.5. Kako pretvoriti koeficijente iz jednog formata u drugi?

Mogućnost prevođenja tečajeva iz jednog formata u drugi može vam dobro poslužiti kasnije. Začudo, još uvijek postoje kladionice u kojima se tečajevi ne preračunavaju i prikazuju samo u jednom formatu, što je za nas neobično. Pogledajmo primjere kako to učiniti. Ali prvo moramo naučiti kako izračunati vjerojatnost ishoda na temelju koeficijenta koji nam je dan.

1.6. Kako izračunati decimalni koeficijent na temelju vjerojatnosti?

Ovdje je sve vrlo jednostavno. Potrebno je 100 podijeliti s postotnom vjerojatnošću događaja. To jest, ako je procijenjena vjerojatnost događaja 60%, trebate:

Uz procijenjenu vjerojatnost događaja od 60%, decimalni izgledi bili bi 1,66.

1.7. Kako izračunati frakcijski koeficijent na temelju vjerojatnosti?

U tom slučaju potrebno je 100 podijeliti s vjerojatnošću događaja i od dobivenog rezultata oduzeti jedan. Na primjer, vjerojatnost događaja je 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

Odnosno, dobivamo frakcijski koeficijent od 1,5/1 ili, radi lakšeg brojanja, - 3/2.

1.8. Kako izračunati američki koeficijent na temelju vjerojatnog ishoda?

Ovdje će puno ovisiti o vjerojatnosti događaja - hoće li biti više od 50% ili manje. Ako je vjerojatnost događaja veća od 50%, izračun će se izvršiti prema sljedećoj formuli:

- ((vjerojatnost) / (100 - vjerojatnost)) * 100

Na primjer, ako je vjerojatnost događaja 80%, tada:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

Uz procijenjenu vjerojatnost događaja od 80%, dobili smo negativni američki koeficijent "-400".

Ako je vjerojatnost događaja manja od 50 posto, formula će biti sljedeća:

((100 - vjerojatnost) / vjerojatnost) * 100

Na primjer, ako je vjerojatnost događaja 40%, tada:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

Uz procijenjenu vjerojatnost događaja od 40%, dobili smo pozitivan američki koeficijent "+150".

Ovi izračuni pomoći će vam da bolje razumijete koncept oklada i kvota, naučite kako procijeniti prava vrijednost jednu ili drugu stopu.

Kada se baca novčić, može se reći da će pasti na glavu, ili vjerojatnost od ovoga je 1/2. Naravno, to ne znači da ako se novčić baci 10 puta, nužno će 5 puta pasti na glavu. Ako je novčić "pošten" i ako se baci mnogo puta, tada će glave biti vrlo blizu pola vremena. Dakle, postoje dvije vrste vjerojatnosti: eksperimentalni i teoretski .

Eksperimentalna i teorijska vjerojatnost

Ako bacite novčić veliki broj puta - recimo 1000 - i brojeći koliko puta se pojavi u glavama, možemo odrediti vjerojatnost da će doći u glavu. Ako se glave pojave 503 puta, možemo izračunati vjerojatnost da će se pojaviti:
503/1000, odnosno 0,503.

to eksperimentalni definicija vjerojatnosti. Ova definicija vjerojatnosti proizlazi iz promatranja i proučavanja podataka i prilično je uobičajena i vrlo korisna. Na primjer, evo nekih vjerojatnosti koje su određene eksperimentalno:

1. Šansa da žena oboli od raka dojke je 1/11.

2. Ako poljubite nekoga tko je prehlađen, tada je vjerojatnost da ćete i vi dobiti prehladu 0,07.

3. Osoba koja je upravo izašla iz zatvora ima 80% šanse da se vrati u zatvor.

Ako uzmemo u obzir bacanje novčića i uzimajući u obzir da je jednako vjerojatno da će doći do heads ili repova, možemo izračunati vjerojatnost da će doći do heads: 1 / 2. Ovo je teorijska definicija vjerojatnosti. Evo nekih drugih vjerojatnosti koje su teoretski određene pomoću matematike:

1. Ako je u sobi 30 ljudi, vjerojatnost da dvoje od njih imaju isti rođendan (bez godine) je 0,706.

2. Tijekom putovanja sretnete nekoga i tijekom razgovora otkrijete da imate zajedničkog poznanika. Tipična reakcija: "To ne može biti!" Zapravo, ova fraza ne odgovara, jer je vjerojatnost takvog događaja prilično visoka - nešto više od 22%.

Stoga se eksperimentalna vjerojatnost utvrđuje promatranjem i prikupljanjem podataka. Teorijske vjerojatnosti određene su matematičkim zaključivanjem. Primjeri eksperimentalnih i teorijskih vjerojatnosti, kao što su oni o kojima smo govorili gore, a posebno oni koje ne očekujemo, navode nas na važnost proučavanja vjerojatnosti. Možete pitati: "Što je prava vjerojatnost?" Zapravo, nema ga. Eksperimentalno je moguće odrediti vjerojatnosti unutar određenih granica. One se mogu, ali ne moraju podudarati s vjerojatnostima koje dobivamo teoretski. Postoje situacije u kojima je puno lakše definirati jednu vrstu vjerojatnosti nego drugu. Na primjer, bilo bi dovoljno pronaći vjerojatnost prehlade pomoću teorijske vjerojatnosti.

Izračun eksperimentalnih vjerojatnosti

Razmotrimo prvo eksperimentalnu definiciju vjerojatnosti. Osnovno načelo koje koristimo za izračunavanje takvih vjerojatnosti je sljedeće.

Princip P (eksperimentalno)

Ako se u eksperimentu u kojem se vrši n opažanja situacija ili događaj E pojavi m puta u n opažanja, tada se kaže da je eksperimentalna vjerojatnost događaja P (E) = m/n.

Primjer 1 Sociološko istraživanje. Održan pilot studija utvrditi broj ljevaka, dešnjaka i osoba koje imaju podjednako razvijene obje ruke.Rezultati su prikazani na grafu.

a) Odredite vjerojatnost da je osoba dešnjak.

b) Odredite vjerojatnost da je osoba ljevak.

c) Odredite vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama.

d) Većina PBA turnira ima 120 igrača. Na temelju ovog eksperimenta, koliko igrača može biti ljevoruko?

Riješenje

a) Broj ljudi koji su dešnjaci je 82, broj ljevorukih je 17, a broj onih koji podjednako tečno govore objema rukama je 1. Ukupan broj opažanja je 100. Dakle, vjerojatnost da je osoba dešnjak je P
P = 82/100, ili 0,82, ili 82%.

b) Vjerojatnost da je osoba ljevak je P, gdje je
P = 17/100 ili 0,17 ili 17%.

c) Vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama je P, gdje
P = 1/100 ili 0,01 ili 1%.

d) 120 bacača kugle, a od (b) možemo očekivati ​​da će 17% biti ljevoruki. Odavde
17% od 120 = 0,17,120 = 20,4,
odnosno možemo očekivati ​​20-ak igrača koji će biti ljevoruki.

Primjer 2 Kontrola kvalitete . Za proizvođača je vrlo važno zadržati kvalitetu svojih proizvoda visoka razina. Zapravo, tvrtke angažiraju inspektore za kontrolu kvalitete kako bi osigurale ovaj proces. Cilj je puštanje minimalnog mogućeg broja neispravnih proizvoda. Ali budući da tvrtka proizvodi tisuće artikala svaki dan, ne može si priuštiti pregled svakog artikla kako bi utvrdila je li neispravan ili ne. Kako bi saznali koliki je postotak proizvoda neispravan, tvrtka testira mnogo manje proizvoda.
Ministarstvo Poljoprivreda SAD zahtijeva da 80% sjemena koje uzgajivači prodaju proklija. Za utvrđivanje kakvoće sjemena koje poljoprivredno poduzeće proizvodi, od proizvedenih sjemenki sadi se 500 sjemenki. Nakon toga je izračunato da je proklijalo 417 sjemenki.

a) Kolika je vjerojatnost da će sjeme proklijati?

b) Zadovoljava li sjeme državne standarde?

Riješenje a) Znamo da je od 500 sjemenki koje su posađene 417 proklijalo. Vjerojatnost klijanja sjemena P, i
P = 417/500 = 0,834, ili 83,4%.

b) Budući da je postotak proklijalog sjemena premašio 80% na zahtjev, sjeme zadovoljava državne standarde.

Primjer 3 TV gledanost. Prema statistici, u Sjedinjenim Državama postoji 105 500 000 TV kućanstava. Svaki tjedan se prikupljaju i obrađuju podaci o gledanosti programa. Unutar jednog tjedna, 7.815.000 kućanstava pratilo je CBS-ovu hit humorističnu seriju Svi vole Raymonda, a 8.302.000 kućanstava pratilo je popularne serije Zakon i red na NBC-u (Izvor: Nielsen Media Research). Koja je vjerojatnost da je TV jednog doma podešen na "Svi vole Raymonda" tijekom određenog tjedna? na "Zakon i red"?

Riješenje Vjerojatnost da je TV u jednom kućanstvu postavljen na "Svi vole Raymonda" je P, i
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Mogućnost da je kućni TV bio postavljen na "Zakon i red" je P, i
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ti se postoci nazivaju ocjenama.

teorijska vjerojatnost

Pretpostavimo da radimo eksperiment, kao što je bacanje novčića ili strelice, izvlačenje karte iz špila ili testiranje predmeta na pokretnoj traci. Svaki mogući ishod takvog eksperimenta naziva se Egzodus . Skup svih mogućih ishoda naziva se prostor ishoda . Događaj to je skup ishoda, odnosno podskup prostora ishoda.

Primjer 4 Bacanje pikada. Pretpostavimo da u eksperimentu "bacanja strelica" strelica pogodi metu. Pronađite sve od sljedećeg:

b) Ishodni prostor

Riješenje
a) Ishodi su: pogađanje crnog (H), pogađanje crvenog (K) i pogađanje bijelog (B).

b) Postoji prostor za ishod (pogodi crno, pogodi crveno, pogodi bijelo), koji se može napisati jednostavno kao (B, R, B).

Primjer 5 Bacanje kocke. Kocka je kocka sa šest strana, od kojih svaka ima jednu do šest točaka.


Pretpostavimo da bacamo kocku. Pronaći
a) Ishodi
b) Ishodni prostor

Riješenje
a) Ishodi: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ishodni prostor (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Vjerojatnost da se događaj E dogodi označavamo kao P(E). Na primjer, "novčić će pasti na repove" može se označiti s H. Tada je P(H) vjerojatnost da će novčić pasti na repove. Kada svi ishodi eksperimenta imaju istu vjerojatnost pojavljivanja, kaže se da su jednako vjerojatni. Da biste vidjeli razliku između događaja koji su jednako vjerojatni i događaja koji nisu jednako vjerojatni, razmotrite cilj prikazan u nastavku.

Za cilj A, crni, crveni i bijeli događaji pogotka su jednako vjerojatni, budući da su crni, crveni i bijeli sektori isti. Međutim, za metu B zone s tim bojama nisu iste, odnosno njihovo pogađanje nije jednako vjerojatno.

Načelo P (teoretski)

Ako se događaj E može dogoditi na m načina od n mogućih jednako vjerojatnih ishoda iz prostora ishoda S, tada teorijska vjerojatnost događaj, P(E) je
P(E) = m/n.

Primjer 6 Kolika je vjerojatnost bacanja 3 bacanjem kocke?

Riješenje Na kockici postoji 6 jednako vjerojatnih ishoda i postoji samo jedna mogućnost bacanja broja 3. Tada će vjerojatnost P biti P(3) = 1/6.

Primjer 7 Kolika je vjerojatnost bacanja parnog broja na kockicu?

Riješenje Događaj je bacanje parnog broja. To se može dogoditi na 3 načina (ako bacite 2, 4 ili 6). Broj jednakovjerojatnih ishoda je 6. Tada je vjerojatnost P(parni) = 3/6, odnosno 1/2.

Koristit ćemo niz primjera koji se odnose na standardni špil od 52 karte. Takav se špil sastoji od karata prikazanih na donjoj slici.

Primjer 8 Kolika je vjerojatnost izvlačenja asa iz dobro promiješanog špila karata?

Riješenje Ima 52 ishoda (broj karata u špilu), jednako su vjerojatni (ako je špil dobro izmiješan), a postoje 4 načina za izvlačenje asa, pa je prema P principu vjerojatnost
P (izvlačenje asa) = 4/52 ili 1/13.

Primjer 9 Pretpostavimo da bez gledanja odaberemo jedan kliker iz vrećice od 3 crvena klikera i 4 zelena klikera. Kolika je vjerojatnost da odaberete crvenu kuglu?

Riješenje Postoji 7 jednako vjerojatnih ishoda za dobivanje bilo koje lopte, a budući da je broj načina za izvlačenje crvene kuglice 3, dobivamo
P (odabir crvene kuglice) = 3/7.

Sljedeće izjave rezultat su P principa.

Svojstva vjerojatnosti

a) Ako se događaj E ne može dogoditi, tada je P(E) = 0.
b) Ako se događaj E mora dogoditi tada je P(E) = 1.
c) Vjerojatnost da će se događaj E dogoditi je broj između 0 i 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na primjer, kod bacanja novčića, slučaj da novčić padne na rub ima nultu vjerojatnost. Vjerojatnost da je novčić glava ili rep ima vjerojatnost 1.

Primjer 10 Pretpostavimo da su iz špila s 52 karte izvučene 2 karte. Kolika je vjerojatnost da su obojica pikovi?

Riješenje Broj načina n izvlačenja 2 karte iz dobro promiješanog špila od 52 karte je 52 C 2 . Budući da su 13 od 52 karte pikovi, broj m načina za izvlačenje 2 pikova je 13 C 2 . Zatim,
P (istezanje 2 vrha) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Primjer 11 Pretpostavimo da su 3 osobe nasumično odabrane iz grupe od 6 muškaraca i 4 žene. Kolika je vjerojatnost da će biti izabran 1 muškarac i 2 žene?

Riješenje Broj načina za odabir troje ljudi iz grupe od 10 ljudi 10 C 3 . Jedan muškarac može se izabrati na 6 C 1 načina, a 2 žene mogu se izabrati na 4 C 2 načina. Prema temeljno načelo brojeći, broj načina za odabir 1. muškarca i 2 žene 6 C 1 . 4C2. Zatim, vjerojatnost da će biti izabran 1 muškarac i 2 žene je
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Primjer 12 Bacanje kocke. Kolika je vjerojatnost bacanja ukupno 8 na dvije kocke?

Riješenje Na svakoj kockici postoji 6 mogućih ishoda. Ishodi se udvostručuju, odnosno postoji 6,6 ili 36 mogućih načina na koje mogu pasti brojevi na dvije kockice. (Bolje je ako su kocke različite, recimo da je jedna crvena, a druga plava - to će pomoći u vizualizaciji rezultata.)

Parovi brojeva koji zbrojem daju 8 prikazani su na slici ispod. Postoji 5 moguće načine dobivanje zbroja jednakog 8, stoga je vjerojatnost 5/36.