Čistá stratégia- deterministický (okrem náhodnosti) plán činnosti. V predchádzajúcej kapitole sme uvažovali iba o čistých stratégiách. O zmiešaných stratégiách sa bude diskutovať v časti 2.2, ale zatiaľ, ak nie je uvedené inak, pod pojmom stratégia máme vždy na mysli čistú stratégiu.

Veľmi často v procese prezentácie budeme ilustrovať koncepty riešenia s príkladmi bimaticových hier, takže uvedieme príslušné definície.

Definícia 2.1. koniec hry je hra, v ktorej množina hráčov a množina stratégií každého hráča obsahuje konečný počet prvkov. Konečná hra dvoch osôb sa nazýva bimatická hra.

Priezvisko pochádza z pohodlnej formy zaznamenávania výhier v takejto hre – pomocou dvojitej matice.

Pre ďalšiu analýzu je vhodné rozdeliť stratégie v ľubovoľnom strategickom profile s na stratégiu niektorých /-tých hráčov s a stratégie všetkých ostatných hráčov s_ (. Formálne s = (.y, s,). Neznamená to, že vymeníme súradnice strategického profilu, iba zavedieme iný spôsob jeho označenia.

Prvým konceptom riešenia hry, ktorý budeme uvažovať, je rovnováha v dominantných stratégiách.

Definícia 2.2. Stratégia /-tého hráča prísne dominoval jeho stratégia s“ ak Uj(s jt s ,) > h,(s", s ,) pre ľubovoľnú množinu s , stratégií zostávajúcich hráčov. V tomto prípade sa stratégia s" nazýva prísne dominoval.

V podstate to znamená, že pre každého pevné v množine stratégií zostávajúcich hráčov i-tý hráč, ktorý si zvolí stratégiu s, získa striktne väčšia výhra než pri voľbe stratégie s". Je logické predpokladať, že racionálny hráč by si nemal vyberať striktne dominované stratégie. Takýto predpoklad v najjednoduchších hrách môže stačiť na nájdenie riešenia hry.

Definícia 2.3. Profil stratégií s* =(s*, s^,..., s*) sa nazýva rovnováhu v (prísne) dominantné stratégie, ak u ktoréhokoľvek i-tého hráča stratégia s“ striktne dominuje nad ktoroukoľvek inou jeho stratégiou.

Môže sa zdať, že tento koncept riešenia môže viesť len k triviálnym záverom. Každý hráč má vo svojich stratégiách jednu, ktorá mu prinesie odmenu viac ako ktorákoľvek iná, bez ohľadu na to, ako sa jeho súperi správajú. Potom použije presne túto stratégiu v rovnováhe. Všetko je celkom zrejmé. Ale je to práve táto situácia, ktorá je typická pre azda najznámejšiu a pre analýzu množstva praktických situácií z hry „väzňova dilema“ veľmi dôležitá.

Príklad 2.1 (dilema väzňov). Dvaja zločinci sú vo väzbe v rôznych celách a nemôžu spolu komunikovať. Vyšetrovanie má dostatok dôkazov na to, aby každého z nich odsúdili za menší trestný čin na jeden rok. No na veľký zločin, za ktorý zločincom hrozí desať rokov väzenia, vyšetrovanie nemá dostatok dôkazov. Zástupcovia vyšetrovania ponúkajú každému zo zločincov dohodu: zločinec dostane termín

o rok menej, ak predloží dôkazy proti svojmu partnerovi, čo bude stačiť na jeho obvinenie zo závažného zločinu. Predpokladajme, že zločinci sa zaoberajú len počtom rokov, ktoré strávia vo väzení, každý ďalší rok je mínus jedna jednotka užitočnosti. Potom môžu byť výnosy zločincov reprezentované nasledujúcou dvojitou maticou:

V prípade, že účastníci hry nie sú uvedení, budeme predpokladať, že rôzne stratégie prvého účastníka zodpovedajú riadkom dvojitej matice a stratégie druhého účastníka zodpovedajú stĺpcom. Ak v našom príklade prvý väzeň vypovedá a druhý nevypovedá, tak prvý bude prepustený a druhý dostane desať rokov väzenia.

Je ľahké vidieť, že bez ohľadu na to, ako sa druhý väzeň správa akokoľvek, zisk je väčší (doba odňatia slobody je kratšia), ak poskytnete dôkaz (pre prvého hráča sú prvé súradnice v prvom riadku dvojitej matice prísne väčšie ako v druhom riadku, pre druhého hráča sú druhé súradnice v dvojitej matici prvého stĺpca striktne väčšie ako v druhom stĺpci). Potom bude rovnováha v dominantných stratégiách profilom stratégií (svedčiť, svedčiť).

zaujímavé v tento príkladže hráči, ktorí si zvolia správanie, ktoré zvyšuje ich výplatu, skončia v situácii, keď sú ich výplaty nízke v porovnaní s opačnou situáciou – keď sa obaja rozhodnú mlčať. Vysvetlenie spočíva v prítomnosti silného vonkajšieho účinku, t.j. silný vplyv akcií jedného hráča na výplaty iného hráča. Výsledkom je, že rovnovážny profil stratégií sa ukazuje ako jediný paretovský neefektívny v tejto hre. Upozorňujeme, že Paretova efektivita, žiaduca z pohľadu účastníkov hry, nemusí byť žiaduca zo sociálneho hľadiska, ako v tomto prípade.

Pri analýze ekonomických situácií sa často vyskytujú situácie ako väzňova dilema. Uvažujme napríklad o konkurencii dvoch obchodov predávajúcich podobný súbor produktov. Pre zjednodušenie predpokladajme, že obchody môžu účtovať len dve cenové úrovne – vysokú alebo nízku. Spotrebitelia prirodzene uprednostňujú nákup v obchode s nižšími cenami. Potom môžu výnosy obchodov, charakterizované ich ziskami, vyzerať napríklad takto:

Z hľadiska rovnováhy je tu situácia analogická s väzňovou dilemou - rovnováha v dominantných stratégiách (nízke ceny, nízke ceny) je jediným paretovským neefektívnym profilom (a tiež žiaducim zo sociálneho hľadiska).

Už spomínaná široká obľuba Väzňova dilema bola dôvodom, prečo sa na jej príklade pokúsili experimentálne otestovať správnosť predpovedí teórie hier. Test bol, že dva cudzinci bolo navrhnuté hrať hru o peniaze s cenami (napríklad v dolároch) blízkymi tým, ktoré sú uvedené pre hru dvoch obchodov. Každý z účastníkov sa rozhodoval samostatne (často anonymne) a pred prevzatím výhry nepoznal rozhodnutia druhého hráča. Ukázalo sa, že za takýchto podmienok v mnohých hrách nedospeli hráči k rovnovážnemu výsledku za predpokladu, že peňažné výhry správne odhadnú svoje výhry. Z výsledkov týchto experimentov samozrejme nevyplýva, že predpovede teórie hier sú nesprávne, ale len to, že hráči pri hodnotení svojej výplaty brali do úvahy aj nepeňažné faktory – úvahy o altruizme, férovosti atď. Ak sú výnosy hráčov správne odhadnuté, mali by hráči preferovať dominantnú stratégiu, a teda ju zvoliť (v duchu odhalených preferencií v mikroekonómii). Preto hodnota experimentov tohto druhu nespočíva v testovaní herných teoretických predpovedí, ale v hodnotení úlohy nemateriálnej motivácie v konaní jednotlivcov.

Teória hier výrazne menej ako pojem silnej dominancie využíva pojem slabej dominancie.

Definícia 2.4. Stratégia /-tého hráča, slabo dominantný jeho stratégia s“ ak m,(s, s ,) > m; (sJ, s ,) pre ľubovoľný súbor stratégií iných hráčov s_j, navyše pre aspoň jeden súbor stratégií iných hráčov je nerovnosť striktne splnená. Potom sa nazýva stratégia s slabo dominoval.

V prípade nestriktných nerovností už nie je možné tvrdiť, že racionálny hráč nezvolí slabo dominovanú stratégiu, hoci takéto správanie vyzerá celkom logicky. Existuje, aj keď sa zriedka používa, definícia rovnováhy v slabo dominantných stratégiách analogická k prípadu silnej dominancie.

Definícia 2.5. Volá sa strategický profil s* = (s*, Sj,..., s*). rovnováha v slabo dominantných stratégiách, ak u ktoréhokoľvek i-tého hráča stratégia s“ slabo dominuje nad ktoroukoľvek inou z jeho stratégií.

Príklad 2.2 (uzavretá aukcia druhej ceny). Uzavretá aukcia druhej ceny sa koná medzi dvoma osobami. Aukcia je usporiadaná nasledovne. Každý z účastníkov uvádza nezápornú mieru, pričom nepozná miery ostatných účastníkov (v obálke). Člen, ktorý urobil najvyššia ponuka, zaplatí maximálnu sumu spomedzi ponúk ostatných účastníkov (t. j. sumu druhej, ale hodnotu ponuky) a dostane nejakú položku. Ak boli ponuky hráčov napríklad 100 a 90, tak účastník, ktorý dal ponuku 100, vyhráva aukciu, získava predmet za 90 – veľkosť druhej ponuky. Nechajte každého účastníka posúdiť predmet vyjadrený v peňažných jednotkách, v2> 0. Tieto odhady sú známe všetkým účastníkom. Pre zjednodušenie popisu hry, ak obaja účastníci uvádzajú rovnakú mieru, potom predmet pripadne prvému účastníkovi.

V tejto hre bude stratégia prvého hráča s veľkosťou jeho stávky. Keďže miera je nezáporná, množina všetkých možných stratégií

5, = 0 = u,(o, s 2) > w,(s, s 2) = u, - s 2 v x slabo dominuje stratégii s,.

Ukázali sme, že pre prvého hráča stratégia pomenovať svoje skóre ako stávku slabo dominuje akejkoľvek inej stratégii. Je ľahké si overiť, že podobné tvrdenie platí aj pre druhého hráča. Všimnite si, že v našej úvahe sme nikdy nepoužili fakt, že hráč pozná odhad iného hráča, čo znamená, že v prípade hry s neúplnými informáciami v uzavretej aukcii druhej ceny bude nemenej výhodné menovať váš odhad než urobiť akúkoľvek inú ponuku.

Môže sa zdať, že pre predávajúceho je nerentabilné zariadiť aukciu druhej ceny, keď môže zabezpečiť aukciu prvej ceny a získať hodnotu nie druhej, ale prvej ponuky. Hodnota sadzieb v prípade aukcie prvej ceny v rovnováhe však bude nižšia. Viac o výnose aukcií si povieme v kap. 5. Medzitým podotýkame, že druhá cenová aukcia je veľmi populárna a je hojne využívaná napr. Google a "Yandex" pri predaji kontextovej reklamy na internete.

Rovnováha v dominantných stratégiách existuje len v malej triede hier. Hráči zvyčajne nemajú jedinú stratégiu, ktorá by dominovala všetkým ostatným. Koncept dominancie však umožňuje nájsť riešenia v širšej triede hier. Aby ste to dosiahli, musíte dôsledne uvažovať o činnostiach hráčov. Už sme poznamenali, že racionálny hráč nezvolí striktne dominovanú stratégiu. To však znamená, že druhý hráč môže hru analyzovať, pričom ignoruje možnosť voľby takejto stratégie súpera. Možno nejaká analýza odhalí, že iný hráč má dominantnú stratégiu, ktorá nebola dominantná v pôvodnej hre. A tak ďalej. Uveďme formálnu definíciu.

Proces postupné vylúčenie silne dominovaných stratégií je nastavený nasledovne. Vylúčme z úvahy všetky striktne dominované stratégie hráčov, t.j. zvážiť novú hru, v ktorej sú všetky dominantné stratégie vylúčené zo súboru možných stratégií hráčov. Potom v tomto Nová hra eliminujeme všetky prísne dominované stratégie atď.

Je možné, že takýto proces skončí, keď hráčom zostane niekoľko stratégií, ale je možné, že každý hráč bude mať len jednu nevylúčenú stratégiu, potom je logické považovať súbor týchto stratégií za riešenie hry. .

Definícia 2.6. Ak v dôsledku postupnej eliminácie silne dominovaných stratégií zostane každému hráčovi jediná stratégia, potom sa profil týchto stratégií nazýva tzv. rovnováha dominancie.

V príklade 1.1 sme získali práve takúto rovnováhu. Uvažujme ešte o jednom príklade.

Strategický profil (N, P) je jedinou Nashovou rovnováhou v tejto hre. Ale všimnite si, že aby si druhý hráč mohol vybrať P, musí si byť istý, že prvý hráč nezvolí B. Ale výplata prvého hráča je rovnaká, ak si druhý hráč vyberie II. Navyše výberom B sa prvý hráč nemusí báť, že druhý hráč si vyberie L. Možno sa racionálny druhý hráč zamyslí nad voľbou stratégie C.

Druhá otázka, na ktorú sa zatiaľ nenašla jednoznačná odpoveď: ako sa hráči dostanú do Nashovej rovnováhy?

Ideálny teoretický scenár je nasledovný. Hráči nezávisle vytvárajú očakávania o činnostiach iných hráčov a potom si vyberajú činnosti, ktoré maximalizujú ich zisk vzhľadom na dané očakávania. Ak v tomto prípade očakávania zodpovedajú akciám, ktoré si hráči skutočne vybrali, získame Nashovu rovnováhu. Tento spôsob uvažovania nám umožňuje nazvať Nashovu rovnováhu situáciou s sebanaplňujúce očakávania. Ale odkiaľ pochádzajú očakávania? A ktorá z Nashových rovnováh, ak ich je niekoľko, sa vyberie ako výsledok opísaného procesu? V rámci uvažovaného scenára zostávajú tieto otázky nezodpovedané.

Ďalší prístup zahŕňa prítomnosť tréningu hráčov. Hráči sa buď teoreticky naučia hru hrať (spomeňme si na študenta ekonómie), alebo zažívajú podobné interakcie (napr. skúsený pracovník príde na nový tím), čo im umožňuje správne formovať očakávania a zvoliť si optimálne správanie. Tento scenár umožňuje vysvetliť formovanie očakávaní, ale po prvé redukuje rozsah herných modelov iba na štandardné, študované a často sa vyskytujúce situácie interakcie a po druhé môže viesť k tomu, že situácie jednotlivých a opakovaných interakcie sa nerozlišujú a tie sa výrazne líšia v stratégiách a metódach riešenia v rámci teórie hier, ktorým sa budeme podrobnejšie venovať v kap. štyri.

Tretím scenárom je, že medzi hráčmi existuje predchádzajúca dohoda alebo zvyky, zákony alebo pokyny tretích strán, ktoré riadia interakciu hráčov. V tomto prípade dohody alebo pokyny nemusia byť záväzné, ale ak sa odporúča hrať Nashovu rovnováhu, potom žiadny z hráčov nemá túžbu (sám) odchýliť sa od predpísaného správania. Je jasné, že takýto scenár nie je možný v každej situácii. Okrem toho sa súčasťou hry môže stať aj samotný proces vytvárania dohody alebo zapojenia tretích strán.

Napokon, tretia prirodzená otázka, ktorá vyvstáva pri štúdiu konceptu Nashovej rovnováhy, je nasledujúca: existuje nejaký empirický dôkaz, že skutoční hráči si zvyčajne vyberajú rovnovážne stratégie? Aj tu je mimoriadne ťažké dať stručnú a jednoznačnú odpoveď. Povaha problémov, ktoré vznikajú, je zároveň v súlade s predmetom experimentálnej ekonómie. Preto sa obmedzujeme na odporúčanie obrátiť sa na odbornú literatúru, napríklad knihu, kde sú výborne rozobraté otázky experimentálnej metodológie a prezentovaných množstvo výsledkov.

Sú hry, ktoré nemajú rovnováhu čisté stratégie(pozri príklad 3.1), preto vzniká otázka: aké podmienky sú dostatočné na existenciu takejto rovnováhy? Sformulujme a dokážme tvrdenie o existencii Nashovej rovnováhy v čistých stratégiách v hrách, ktoré nie sú konečné.

Vyhlásenie 2.3. Ak sú sady stratégií pre každého z hráčov S t sú neprázdne konvexné kompakty v euklidovskom priestore a výplatná funkcia každého hráča a- nepretržitý v s a kvázi konkávne v 5, potom má hra Nashovu rovnováhu v čistých stratégiách.

Dôkaz. Pripomeňte si formuláciu Kakutaiove vety, ktorý použijeme pri dôkaze. Nechaj X- neprázdny konvexný kompaktný zasadený v Rn, X* je množina jeho podmnožín a/ je také horné polospojité zobrazenie z X v X*,že za každý bod x e x veľa f(x) neprázdne, uzavreté a konvexné. Potom má mapovanie / pevný bod.

Myšlienkou dokázať naše tvrdenie je vytvoriť mapovanie, ktoré spĺňa podmienky Kakutaniho vety. Aby sme to dosiahli, mierne predefinujeme zobrazenie najlepšej odpovede. Čisto technicky budeme predpokladať, že najlepšia odpoveď závisí nielen od stratégií ostatných hráčov, ale aj od hráčovej vlastnej stratégie s y (s). So zmenou vlastnej stratégie hráča kedy fixné stratégie zvyšok hráčov, najlepšia odpoveď sa samozrejme nezmení. Teraz si predstavme notáciu na zobrazenie najlepšej odpovede pre všetkých hráčov ako karteziánsky súčin s(s) = s,(s) x s 2 (s) x... x s n (s). Toto mapovanie ku každému profilu priraďuje množinu profilov, v ktorých má každý hráč najlepšia cesta reaguje na stratégie ostatných hráčov. Pevný bod mapovania S, t.j. profilu s také že s e s(s)> je podľa definície Nashova rovnováha. Ukážme, že zobrazenie 5 spĺňa podmienky Kakutaniho vety. Overenie každej podmienky bude predstavovať samostatný dôkaz.

• 1. Ukážme, že množina S všetky profily - konvexný kompakt. Keďže pod podmienkou presadzovania množiny stratégií každého z hráčov S sú neprázdne konvexné kompaktné množiny, potom karteziánsky súčin S = S t X S2 X...x S n je konvexný kompakt.
• 2. Displej s má neprázdne obrázky. Podľa Weierstrassovej vety spojitá funkcia a- dosiahne na uzavretej ohraničenej množine 5 svoju maximálnu hodnotu. v dôsledku toho s má neprázdne obrázky.
• 3. Zobrazte obrázky s uzavreté a konvexné. Od výplatnej funkcie každého hráča u t kvázi konkávne v s ak potom vlastnosťou kvázikonkávnej funkcie množina $. = (s. | u t (s i9 s .) > k) za pevné s .a k zatvorené o uzavretá oblasť definície a je konvexný, ak nie je prázdny. Keďže to platí pre každého k, potom tiež platí, že množina 5. = (5/1 u t(s", 5 ,) > max. hm. (s., s .)}

konvexné. Ale potom karteziánsky súčin 5(5) = s x (s) X s2(S) x... x s n CS) je uzavretý a konvexný.

4. Ukážme, že mapovanie § polosúvislý zhora. Pre funkciu používame podmienku spojitosti a od s. Dokážeme protirečením. Predpokladajme, že displej § ns je horný semikontinuálny. Potom sú tu sekvencie strategických profilov s m a s m , kde t -číslo sekvenčného prvku, také, že pre ľubovoľné t s"" e S, s m e s(s""), lim s"" = s° e S, ale lim s"" = s° g lim s(s""). To znamená, že existuje a

t~* oo t->/a -? oo

skala, pre ktorú stratégia s f ° nie je najlepšou odozvou na s 0, t.j. existuje stratégia s" také že a,(s", s 0,) > u,(y] s° ;). Potom môžeme nájsť e > 0 také, že m,(s/, s 0 ,) > m, (s ; °, s 0 ,) + Ze, odkiaľ

Keďže podľa predpokladu je funkcia m spojitá, lim s m = s°, lim s"" = s°,

m*oo m-*oo

s dostatočne veľkým m správny

Zlúčením nerovností (2.8)-(2.10) do jedného reťazca dostaneme

Zo vzťahov (2.11) vyplýva, že u,(s", s"") > m,(s/", s"") + s, ale to je v rozpore s podmienkou s"" e s(s""), pretože s" poskytuje striktne väčšiu odmenu ako s/", ako odpoveď na s"". Došli k rozporu. Preto bol náš pôvodný predpoklad, že s nie je horná polospojitá, nesprávny.

Ukázali sme, že mapovanie S spĺňa všetky podmienky Kakutaniho vety, a preto má pevný bod. Tento pevný bod je Nashova rovnováha. Tvrdenie 2.3 je dokázané. ?

Najmä vyhlásenie 2.3 zaručuje existenciu Nashovej rovnováhy v príklade 2.7, ale nie v príklade 2.8, kde sú výplatné funkcie hráčov nespojité.

„Príklad z práce.

Maticovú hru pre dvoch hráčov s nulovým súčtom možno považovať za nasledujúcu abstraktnú hru pre dvoch hráčov.

Prvý hráč má m stratégií i = 1,2,...,m, druhý má n stratégií j= 1,2,...,n. Každá dvojica stratégií ( i, j) má pridelené číslo a ij , vyjadrenie odmeny hráča 1 na úkor hráča 2, ak prvý hráč prijme jeho i- stratégia a 2 - vaša j-tá stratégia.

Každý hráč urobí jeden ťah: hráč 1 si vyberie ten svoj i-tá stratégia ( i= ), 2 – vlastný j-tá stratégia ( j=
), po ktorom vyhráva hráč 1 a ij na úkor hráča 2 (ak a ij < 0, to znamená, že hráč 1 platí druhému hráčovi | a ij|). Tu sa hra končí.

Stratégia každého hráča i=
; j =
často nazývaná čistá stratégia.

Ak vezmeme do úvahy maticu

ALE=

potom vykonanie každej hry maticovej hry s maticou ALE závisí od výberu hráča 1 i-tý riadok a hráč 2 j-tý stĺpec a hráč 1 (na úkor hráča 2) dostane odmenu a ij .

Hlavnou vecou pri štúdiu hier je koncept optimálnych stratégií pre hráčov. Tento koncept má intuitívne nasledujúci význam: stratégia hráča je optimálna, ak mu aplikácia tejto stratégie poskytuje najväčšiu garantovanú odmenu pre všetky možné stratégie druhého hráča. Na základe týchto pozícií hráč 1 skúma výplatnú maticu ALE takto: pre každú hodnotu i (i =
) minimálna hodnota výhry je určená v závislosti od použitých stratégií hráča 2

a ij (i=
)

tie. je určená minimálna odmena pre hráča 1 za predpokladu, že akceptuje svoju i-tú čistú stratégiu, potom sa takáto stratégia nájde z týchto minimálnych výnosov i = i o, pri ktorej bude táto minimálna výplata maximálna, t.j. Nachádza

a ij =
=(1)

Definícia . číslo definovaný vzorcom (1) sa nazýva nižšia čistá cena hry a ukazuje, akú minimálnu výplatu si môže hráč 1 zaručiť tým, že použije svoje čisté stratégie na všetky možné akcie hráča 2.

Hráč 2 by sa svojím optimálnym správaním mal snažiť čo najviac minimalizovať výplatu hráča 1 na úkor jeho stratégií. Preto pre hráča 2

a ij

tie. určí sa maximálna výhra hráča 1 za predpokladu, že hráč 2 uplatní svoju j-tá čistá stratégia, potom hráč 2 nájde napr j = j 1 stratégia, v ktorej hráč 1 dostane min výplatu, t.j. nájde

a ij =
=(2).

Definícia . číslo , určený vzorcom (2), sa nazýva čistá horná cena hry a ukazuje čo maximálna výhra hráč 1 sa môže zaručiť prostredníctvom svojich stratégií.

Inými slovami, použitím svojich čistých stratégií si hráč 1 môže zabezpečiť odmenu nie menšiu ako a hráč 2 môže použitím svojich čistých stratégií zabrániť hráčovi 1 vyhrať viac ako .

Definícia . Ak v hre s maticou A =, potom táto hra vraj má sedlo bod v čistých stratégiách a internetová cena hry

 = =.

sedlový bod je dvojica čistých stratégií (i o , j o ) hráčov 1 a 2, pod ktorými sa dosiahne rovnosť =. Tento pojem má nasledovný význam: ak jeden z hráčov dodrží stratégiu zodpovedajúcu sedlovému bodu, potom druhý hráč nemôže urobiť lepšie, ako dodržať stratégiu zodpovedajúcu sedlovému bodu. Matematicky sa to dá napísať aj inak:

kde i, j sú akékoľvek čisté stratégie hráčov 1 a 2; (i o , j o ) sú stratégie, ktoré tvoria sedlový bod.

Teda na základe (3) sedlového prvku
je minimum v i o -tom riadku a maximum v j o -tom stĺpci matice A. Hľadanie sedlového bodu matice A je nasledovné: v matici A postupne v každom riadok nájdite minimálny prvok a skontrolujte, či je tento prvok maximálny stĺpec. Ak áno, potom ide o sedlový prvok a jemu zodpovedajúca dvojica stratégií tvorí sedlový bod. Pár čistých stratégií (i o , j o ) hráčov 1 a 2, tvoriacich sedlový hrot a sedlový prvok
, sa volá rozhodnutie hry . V čom i o a j o volal optimálne čistenie stratégií hráči 1 a 2.

Príklad 1

Sedlový bod je pár ( i o = 3;j o= 1), pri ktorom = == 2.

Všimnite si, že hoci odmena v situácii (3;3) sa tiež rovná 2 = =, nejde o sedlový bod, pretože táto odmena nie je maximálna medzi odmenami v treťom stĺpci.

Príklad 2

Z analýzy výplatnej matice je to vidieť
, t.j. táto matrica nemá sedlový bod. Ak si hráč 1 zvolí svoju stratégiu čistého maxima i = 2, potom hráč 2, ktorý si zvolil svoj minimax j= 2, prehrá iba 20. V tomto prípade je pre hráča 1 výhodné zvoliť stratégiu i = 1, t.j. odchýliť sa od svojej čistej maximalínovej stratégie a vyhrať 30. Potom bude pre hráča 2 výhodné zvoliť stratégiu j = 1, t.j. odchýliť sa od svojej čistej minimax stratégie a stratiť 10. Na druhej strane si hráč 1 musí zvoliť svoju 2. stratégiu, aby vyhral 40, a hráč 2 reaguje výberom svojej 2. stratégie atď.

Zvážte príklad. Nech je daná herná matica (4):

Je potrebné nájsť spodnú cenu hry α, hornú cenu hry β a stratégie minimax a skontrolovať, či sú stabilné. Riešenie. Z analýzy ďalších stĺpcov a riadkov dostaneme: α = 5, β = 5. Maximin sa rovná minimaxu! Prípad je špeciálny. Čo z toho vyplýva? Zoberme si pár minimax stratégií: K 2 a C 3 . Ak sa obaja budú držať týchto stratégií, potom bude výplata 5. Teraz povedzme, že sme sa dozvedeli o správaní súpera. Čo urobíme? Ale nič! Naďalej sa budeme držať stratégie K 2, pretože akákoľvek odchýlka od nej je pre nás nerentabilná. Či už vieme alebo nevieme o správaní nepriateľa, stále sa budeme držať stratégie K 2! To isté platí pre „modrých“ – pre nich nemá zmysel meniť stratégiu C 3 . V tomto príklade je dvojica stratégií K2 a C3 stabilná, t.j. predstavuje rovnovážnu polohu a dáva riešenie hry. Prečo sa to stalo? Pretože v matici je špeciálny prvok 5; je to minimum v jeho riadku a zároveň maximum v jeho stĺpci. Takýto prvok je tzv sedlový bod. Ak má matica sedlový bod (t. j. spodná cena hry sa rovná hornej), potom má hra riešenie v čistých stratégiách: je to dvojica stratégií, ktoré sa pretínajú v sedlovom bode. Samotný sedlový bod udáva cenu hry – v našom príklade sa rovná 5. Trieda hier, ktoré majú sedlový bod, má v teórii hier veľký význam. Predovšetkým je dokázané, že ak podľa pravidiel hry každý z hráčov pozná výsledok všetkých doterajších ťahov, svojich aj súperových (tzv. hra s kompletnými informáciami), potom hra má sedlovú pointu, a preto má riešenie v čistých stratégiách. Príklady hier s úplnými informáciami sú: šach, dáma, piškvorky atď. Uveďme príklad hry s úplnými informáciami, ktorej riešenie sa dá ľahko nájsť. Dvaja hráči - K a C - striedavo kladú rovnaké mince na okrúhly stôl. Pozícia každej mince je zvolená ľubovoľne, pokiaľ sa neprekrýva s ostatnými. Vyhráva hráč, ktorý vloží mincu ako posledný (keď už nie je miesto pre ostatných). Chce to trochu premýšľania, aby ste sa uistili, že výsledok tejto hry je vždy vopred stanovený záver a že existuje dobre definovaná stratégia, ktorá zaručí výhru hráčovi, ktorý vloží mincu ako prvý (nech je to K). Totiž, K musí dať prvú mincu do stredu stola a potom na každý ťah C musí reagovať ťahom presne symetrickým vzhľadom na stred stola! Chudák C sa môže správať ako chce, aj tak nemá spásu... Evidentne má takáto hra zmysel len pre toho, kto nepozná riešenie. Je zvláštne, že presne to isté je aj v prípade takýchto populárna hra ako šach! Táto hra má zmysel len dovtedy, kým sa nenájde riešenie. Teoreticky bolo dokázané, že riešenie existuje a výsledok šachovej partie je v podstate vopred daný: ak každá strana použije svoju vlastnú optimálnu stratégiu, potom sa hra buď vždy skončí výhrou bieleho, alebo vždy výhrou pre bieleho. Čierna, alebo vždy remíza! Ale čo presne? To ešte nevieme, keďže počet možných stratégií je príliš veľký na to, aby sme skonštruovali maticu šachovej partie a našli v nej sedlový bod... Milovníkov šachu zrejme zaujíma, že šachová partia nebude čoskoro vyriešené. Na záver poznamenávame, že v matici môže byť nie jeden, ale niekoľko sedlových bodov; potom je toľko riešení hry v čistých stratégiách, koľko je sedlových bodov. Každý z nich dáva odmenu rovnajúcu sa cene hry.

5. TEÓRIA HER A ŠTATISTICKÉ RIEŠENIA

5.1. Maticová hra s nulovým súčtom

Ekonomické a matematické modelovanie sa vykonáva za nasledujúcich podmienok:

Istota;

Neistoty.

Modelovanie za podmienok istoty predpokladá dostupnosť všetkých počiatočných regulačných údajov potrebných na to (maticové modelovanie, plánovanie siete a manažment).

Modelovanie v ohrození sa vykonáva za stochastickej neistoty, keď sú hodnoty niektorých počiatočných údajov náhodné a sú známe zákony rozdelenia pravdepodobnosti týchto náhodných premenných (regresná analýza, teória radenia).

Modelovanie v podmienkach neistoty zodpovedá úplnej absencii niektorých údajov na to potrebných (teória hier).

Matematické modely na prijímanie optimálnych rozhodnutí v konfliktné situácie postavené v podmienkach neistoty.

V teórii hier sa používajú tieto základné pojmy:

stratégia;

win funkcia.

pohybovať sa budeme nazývať výber a implementáciu jednej z akcií stanovených v pravidlách hry hráčom.

Stratégia - Ide o technológiu na výber postupu pre každý pohyb v závislosti od situácie.

win funkcia slúži na určenie výšky platby porazeného hráča víťazovi.

V maticovej hre je výplatná funkcia reprezentovaná ako platobná matica :

kde je výška platby hráčovi I, ktorý si vybral ťah , od hráča II, ktorý si ťah vybral .

V takejto párovej hre sú hodnoty výplatných funkcií oboch hráčov v každej situácii rovnaké vo veľkosti a opačné v znamienku, t.j. a táto hra sa volá nulová suma .

Proces „hrania maticovej hry“ je znázornený takto:

Platobná matica je nastavená;

Hráč I, bez ohľadu na hráča II, si vyberie jeden z riadkov tejto matice, napríklad -th;

Hráč II, bez ohľadu na hráča I, si vyberie jeden zo stĺpcov tejto matice, napríklad - th;

Prvok matice určuje, koľko hráča dostanem od hráča II. Samozrejme, ak , potom hovoríme o skutočnej strate hráča I.

Antagonistická párová hra s výplatnou maticou sa bude nazývať hra.

Príklad

Uvažujme o hre.

Platobná matica je daná:

.

Nech si hráč I, bez ohľadu na hráča II, vyberie 3. riadok tejto matice a hráč II, bez ohľadu na hráča I, vyberie 2. stĺpec tejto matice:

Potom hráč I dostane 9 jednotiek od hráča II.

5.2. Optimálna čistá stratégia v maticovej hre

Optimálna stratégia Stratégia hráča I sa nazýva taká, že hráč II nezníži svoju výplatu za akúkoľvek voľbu stratégie, a taká stratégia hráča II, že nezvýši svoju stratu pri akejkoľvek voľbe stratégie hráča I.

Zvolením i-tého riadku výplatnej matice ako ťahu si hráč I zabezpečí výplatu aspoň v hodnote v najhoršom prípade, keď sa hráč II snaží túto hodnotu minimalizovať. Preto si hráč vyberie -tý riadok, ktorý mu poskytne maximálnu výplatu:

.

Hráč II argumentuje podobným spôsobom a môže si zaručiť minimálnu stratu:

.

Nasledujúca nerovnosť je vždy pravdivá:

Hodnota sa volá nižšia cena hry .

Hodnota sa volá najvyššia cena hry .

Optimálne stratégie sú tzv čisté , ak sú pre nich splnené rovnosti:

,

.

Hodnota sa volá čistá cena hry , ak .

Optimálne čisté stratégie a forma sedlový bod platobná matica.

Pre sedlový bod sú splnené tieto podmienky:

t.j. prvok je najmenší v rade a najväčší v stĺpci.

Ak teda výplatná matica má sedlový bod , potom môžete nájsť optimálne čisté stratégie hráčov.

Čistá stratégia hráča I môže byť reprezentovaná usporiadanou množinou čísel (vektorom), v ktorej sú všetky čísla rovné nule, okrem čísla na -tom mieste, ktoré sa rovná jednej.

Čistá stratégia hráča II môže byť reprezentovaná usporiadanou množinou čísel (vektorom), v ktorej sa všetky čísla rovnajú nule, okrem čísla na -tom, ktoré sa rovná jednej.

Príklad

.

Zvolením niektorého riadku výplatnej matice ako ťahu si hráč I zabezpečí výplatu v najhoršom prípade nie menšiu ako je hodnota v stĺpci označenom:

Preto si hráč I vyberie 2. riadok výplatnej matice, ktorý mu poskytuje maximálnu výplatu bez ohľadu na ťah hráča II, ktorý sa bude snažiť túto hodnotu minimalizovať:

Hráč II argumentuje podobne a ako ťah zvolí 1. stĺpec:

Existuje teda sedlový bod matice výplaty:

čo zodpovedá optimálnej čistej stratégii pre hráča I a pre hráča II tak, že hráč I nezníži svoju výplatu za akúkoľvek zmenu stratégie hráča II a hráč II nezvýši svoju stratu za akúkoľvek zmenu stratégie hráča I.

5.3. Optimálna zmiešaná stratégia v maticovej hre

Ak výplatná matica nemá sedlový bod, potom nie je pre žiadneho hráča racionálne používať jednu čistú stratégiu. Ziskovejšie použitie "pravdepodobnostné zmesi" čisté stratégie. Potom sú už zmiešané stratégie definované ako optimálne.

Zmiešaná stratégia hráč sa vyznačuje rozdelením pravdepodobnosti náhodná udalosť, spočívajúci vo výbere ťahu týmto hráčom.

Zmiešaná stratégia hráča I je taká usporiadaná množina čísel (vektor), ktorý spĺňa dve podmienky:

1) pre, t.j. pravdepodobnosť výberu každého riadku výplatnej matice nie je záporná;

2), t.j. výber každého z riadkov výplatnej matice v súhrne predstavuje celá skupina diania.

Zmiešaná stratégia hráča II je usporiadaná množina čísel (vektor) spĺňajúci podmienky:

Čiastka na úhradu hráčovi I, ktorý zvolí zmiešanú stratégiu

od hráča II, ktorý zvolil zmiešanú stratégiu

,

je priemer

.

Optimálne nazývané zmiešané stratégie

a ,

ak je pre ľubovoľné zmiešané stratégie splnená nasledujúca podmienka:

t.j. pri optimálnej zmiešanej stratégii je výplata hráča I najväčšia a strata hráča II najmenšia.

Ak v matici výplaty nie je sedlový bod, potom

,

t.j. existuje kladný rozdiel ( zachovaný rozdiel )

- ³ 0,

a hráči musia hľadať ďalšie príležitosti, aby s istotou získali väčší podiel z tohto rozdielu vo svoj prospech.

Príklad

Zvážte hru danú výplatnou maticou:

.

Zistite, či existuje sedlový bod:

, .

Ukazuje sa, že v matici výplaty nie je sedlový bod a nerozdelený rozdiel je:

.

5.4. Hľadanie optimálnych zmiešaných stratégií

na 2×2 hry

Určenie optimálnych zmiešaných stratégií pre výplatnú maticu s rozmermi sa vykonáva metódou hľadania optimálnych bodov funkcie dvoch premenných.

Nech je pravdepodobnosť, že hráč I vyberie prvý riadok výplatnej matice

rovná sa . Potom je pravdepodobnosť výberu druhého radu .

Nech sa pravdepodobnosť, že hráč II vyberie prvý stĺpec, rovná . Potom je pravdepodobnosť výberu druhého stĺpca .

Výška platby hráčovi I hráčom II sa rovná:

Extrémna hodnota zisku hráča I a straty hráča II zodpovedá podmienkam:

;

.

Optimálne zmiešané stratégie hráčov I a II sú teda:

5.5. Geometrické riešenie 2× hiern

S nárastom dimenzie výplatnej matice od do už nie je možné zredukovať definíciu optimálnych zmiešaných stratégií na hľadanie optima funkcie dvoch premenných. Avšak vzhľadom na to, že jeden z hráčov má len dve stratégie, možno použiť geometrické riešenie.

Hlavné fázy hľadania riešenia hry sú nasledovné.

V rovine zavedieme súradnicový systém. Položme na os úsečku. Z ľavého a pravého konca tohto segmentu nakreslíme kolmice.

Ľavý a pravý koniec segmentu jednotiek zodpovedá dvom stratégiám a , dostupným pre hráča I. Na nakreslených kolmiciach odložíme výplaty tohto hráča. Napríklad pre výplatnú maticu

také výplaty hráča I pri výbere stratégie budú a , a pri výbere stratégie budú a .

Spojme výplatné body hráča I, zodpovedajúce stratégiám hráča II, priamymi úsečkami. Potom vytvorená prerušovaná čiara, ktorá ohraničuje graf zdola, určuje spodnú hranicu výplaty hráča I.

Nájdenie optimálnej zmiešanej stratégie pre hráča I

,

čo zodpovedá bodu na spodnej hranici výplaty hráča I s maximálnou súradnicou.

Venujme pozornosť skutočnosti, že v uvažovanom príklade s použitím iba dvoch stratégií a , zodpovedajúcich rovným čiaram pretínajúcim sa v nájdenom bode na spodnej hranici výplaty hráča I, môže hráč II zabrániť hráčovi I získať väčšiu vyplatiť.

Hra je teda zredukovaná na hru a optimálna zmiešaná stratégia hráča II v uvažovanom príklade je

,

kde je pravdepodobnosť rovnaká ako v hre:

5.6. Riešenie hrym× n

Ak maticová hra nemá riešenie v čistých stratégiách (t. j. neexistuje sedlový bod) a vzhľadom na veľký rozmer matice výplaty ju nemožno vyriešiť graficky, potom na získanie riešenia použite metóda lineárneho programovania .

Nech je daná výplatná matica dimenzie:

.

Musíme nájsť pravdepodobnosti , s ktorým hráčom musím voliť jeho ťahy, aby mu táto zmiešaná stratégia zaručila výplatu minimálne , bez ohľadu na výber ťahov hráčom II.

Pre každý ťah vybraný hráčom II je výplata hráča I určená závislosťami:

Vydelíme obe strany nerovností a zavedieme nový zápis:

Rovnosť

Bude mať formu:

Keďže hráč chcem maximalizovať zisk, recipročné musí byť minimalizované. Potom bude mať úloha lineárneho programovania pre hráča I podobu:

pod obmedzeniami

Problém pre hráča II je podobne konštruovaný ako duálny:

pod obmedzeniami

Riešením úloh simplexovou metódou dostaneme:

,

5.7. Vlastnosti riešenia maticových hier

Pred riešením problému hľadania optimálnych stratégií by sa mali skontrolovať dve podmienky:

Je možné zjednodušiť platobnú maticu?

Má výplatná matica sedlový bod?

Zvážte možnosť zjednodušenia platobnej matice:

Vzhľadom k tomu, že hráč sa snažím získať najväčšia výhra, potom môže byť -tý riadok vymazaný z výplatnej matice, pretože tento ťah nikdy nepoužije, ak je nasledujúci vzťah spokojný s iným -tým riadkom:

Podobne, v snahe o čo najmenšiu stratu, hráč II nikdy nezvolí -tý stĺpec v matici výplat ako ťah a tento stĺpec môže byť prečiarknutý, ak platí nasledujúci vzťah s ktorýmkoľvek iným -tým stĺpcom:

Väčšina jednoduché riešenie hra je prítomnosť sedlového bodu v zjednodušenej výplatnej matici, ktorý spĺňa nasledujúcu podmienku (podľa definície):

Príklad

Vzhľadom na výplatnú maticu:

.

Zjednodušenie platobnej matice:

Prítomnosť sedlového bodu:

5.8. Hra s prírodou

Na rozdiel od problémov teórie hier v problémy teórie štatistických rozhodnutí neistá situácia nemá antagonistické konfliktné zafarbenie a závisí od objektívnej reality, ktorá sa bežne nazýva "príroda" .

V maticových hrách s prírodou je hráč II súborom neistých faktorov, ktoré ovplyvňujú efektivitu prijímaných rozhodnutí.

Matrixové hry s prírodou sa od bežných maticových hier líšia len tým, že keď hráč I zvolí optimálnu stratégiu, už sa nedá spoliehať na to, že hráč II sa bude snažiť minimalizovať svoju stratu. Preto spolu s výplatnou maticou uvádzame riziková matica :

kde je hodnota rizika hráča I pri použití ťahu za podmienok, rovná rozdielu medzi výplatou ten hráč by som dostal, keby vedel, že podmienka bude stanovená, t.j. , a výplatu , ktorú dostane, pričom pri výbere ťahu nevie, že podmienka bude splnená.

Výplatná matica je teda jedinečne transformovaná na rizikovú maticu a spätná transformácia je nejednoznačná.

Príklad

Win Matrix:

.

Matica rizika:

možné dve problémové vyhlásenia o výbere riešenia v matrixovej hre s prírodou :

maximalizácia zisku;

Minimalizácia rizika.

Problém rozhodovania možno nastaviť pre jednu z dvoch podmienok:

- v ohrození keď je známa funkcia rozdelenia pravdepodobnosti stratégií prírody, napríklad náhodná premenná výskytu každej z navrhovaných špecifických ekonomických situácií;

- v podmienkach neistoty keď takáto funkcia rozdelenia pravdepodobnosti nie je známa.

5.9. Riešenie úloh v teórii štatistických riešení

v ohrození

Pri rozhodovaní pod rizikom hráč I pozná pravdepodobnosti nástup stavov prírody.

Potom je účelné, aby hráč I zvolil stratégiu, pre ktorú priemerná hodnota výnosu, meraná pozdĺž línie, je maximálna :

.

Pri riešení tohto problému pomocou matice rizika získame rovnaké riešenie zodpovedajúce minimálne priemerné riziko :

.

5.10. Riešenie úloh v teórii štatistických riešení

v podmienkach neistoty

Pri rozhodovaní v neistote môžete použiť nasledujúce kritériá :

Waldovo kritérium maxima;

kritérium minimálne riziko Savage;

Kritérium pesimizmu - Hurwitzov optimizmus;

Laplaceov princíp nedostatočného rozumu.

Zvážte maximálne Waldovo kritérium .

Hra s prírodou sa hrá ako s rozumným agresívnym súperom, t. j. prístup zaistenia je realizovaný z pozície extrémneho pesimizmu pre výplatnú maticu:

.

Zvážte Savage kritérium minimálneho rizika .

Podobne ako predchádzajúci prístup z pozície extrémneho pesimizmu pre maticu rizika:

.

Zvážte kritérium pesimizmu - Hurwitzov optimizmus .

Ponúka možnosť nenechať sa viesť extrémnym pesimizmom ani extrémnym optimizmom:

kde je miera pesimizmu;

pri extrémnom optimizme,

at - extrémny pesimizmus.

Zvážte Laplaceov princíp nedostatočného rozumu .

Predpokladá sa, že všetky prírodné stavy sú rovnako pravdepodobné:

,

.

Závery k piatej časti

Maticovej hry sa zúčastňujú dvaja hráči a výplatná funkcia, ktorá slúži na určenie výšky platby od porazeného hráča k víťazovi, je reprezentovaná ako výplatná matica. Bolo dohodnuté, že hráč I si vyberie jeden z riadkov výplatnej matice ako ťah a hráč II si vyberie jeden z jeho stĺpcov. Potom na priesečníku vybraného riadka a stĺpca tejto matice je číselná hodnota platby hráčovi I od hráča II (ak je táto hodnota kladná, potom hráč, ktorý som skutočne vyhral, ​​a ak je záporná, potom hráč II. v podstate vyhral).

Ak je vo výplatnej matici sedlový bod, hráči majú optimálne čisté stratégie, t.j. aby vyhrali, každý z nich musí zopakovať svoj jeden optimálny ťah. Ak nie je bod sedla, potom na víťazstvo musí každý z nich použiť optimálnu zmiešanú stratégiu, t. j. použiť zmes ťahov, z ktorých každý musí byť vykonaný s optimálnou pravdepodobnosťou.

Nájdenie optimálnych zmiešaných stratégií pre hry 2×2 sa vykonáva výpočtom optimálnych pravdepodobností pomocou známych vzorcov. Používaním geometrické riešenie 2×n hry, definícia optimálnych zmiešaných stratégií v nich sa redukuje na hľadanie optimálnych zmiešaných stratégií pre hry 2×2. Na riešenie m×n hier sa používa metóda lineárneho programovania, aby sa v nich našli optimálne zmiešané stratégie.

Niektoré výplatné matice sa hodia na zjednodušenie, v dôsledku čoho sa ich rozmer zmenšuje vymazaním riadkov a stĺpcov zodpovedajúcich nesľubným ťahom.

Ak je hráč II súborom neistých faktorov, ktoré závisia od objektívnej reality a nemajú antagonistické zafarbenie konfliktov, potom sa takáto hra nazýva hra s prírodou a na jej riešenie sa používajú problémy teórie štatistických rozhodnutí. Potom sa spolu s výplatnou maticou zavedie matica rizika a sú možné dve formulácie problému výberu riešenia v maticovej hre s prírodou: maximalizácia zisku a minimalizácia rizika.

Riešenie problémov teórie štatistického rozhodovania za rizikových podmienok ukazuje, že pre hráča I je účelné zvoliť stratégiu, pre ktorú je priemerná hodnota (očakávania) výplaty, braná podľa matice výplaty maximálna, resp. ktorá je rovnaká) priemerná hodnota (očakávania) rizika, brané čiarou matice rizika, je minimálna. Pri rozhodovaní v neistote sa používajú tieto kritériá: Waldovo kritérium maxima, Savageovo kritérium minimálneho rizika, Hurwitzovo pesimisticko-optimistické kritérium, Laplaceov princíp nedostatočného rozumu.

Otázky na samovyšetrenie

Ako sú definované základné pojmy teórie hier: pohyb, stratégia a výplatná funkcia?

Ako je výplatná funkcia zastúpená v maticovej hre?

Prečo sa maticová hra nazýva nulový súčet?

Aký je proces hrania maticovej hry?

Aká hra sa nazýva hra m×n?

Aká je optimálna stratégia maticovej hry?

Aká je optimálna stratégia pre maticovú hru s názvom pure?

Čo znamená sedlový bod matice výplaty?

Aká je optimálna stratégia pre maticovú hru s názvom zmiešaná?

Aká je zmiešaná stratégia hráča?

Aký je prínos pre hráča I od hráča II, ktorý si zvolil zmiešané stratégie?

Aké zmiešané stratégie sa nazývajú optimálne?

Čo znamená nerozdelený rozdiel?

Aká metóda sa používa na nájdenie optimálnych zmiešaných stratégií pre hry 2×2?

Ako sa nájdu optimálne zmiešané stratégie pre hry 2×n?

Aká metóda sa používa na nájdenie optimálnych zmiešaných stratégií pre hry m×n?

Aké sú vlastnosti riešenia maticových hier?

Čo znamená zjednodušenie platobnej matice a za akých podmienok ju možno zaviesť?

Ktorá maticová hra sa ľahšie rieši, keď matica výplaty má alebo nemá sedlový bod?

Aké problémy teórie hier súvisia s problémami teórie štatistických rozhodnutí?

Ako sa matica výplaty transformuje na maticu rizika?

Aké dve formulácie problému výberu riešení sú možné v maticovej hre s prírodou?

Za aké dve podmienky možno nastaviť problémy rozhodovania v matrixovej hre s prírodou?

Akú stratégiu je vhodné pre hráča zvoliť pri riešení problému teórie štatistických rozhodnutí pod rizikom?

Aké rozhodovacie kritériá možno použiť pri riešení problémov teórie štatistického rozhodovania v neistote?

Príklady riešenia problémov

1. Platobná matica udáva výšku zisku podniku pri predaji odlišné typy produktov (stĺpcov) v závislosti od stanoveného dopytu (riadkov). Je potrebné určiť optimálnu stratégiu podniku na výrobu produktov rôznych typov a zodpovedajúci maximálny (priemerný) príjem z ich predaja.

Označte danú maticu a uveďte premenné . Použijeme aj maticu (vektor) . Potom a t.j.

Inverzná matica sa vypočíta:

Hodnoty sa nachádzajú:

.

Pravdepodobnosti sa počítajú:

Priemerný príjem z predaja sa určuje:

.

2. Firma "Pharmatsevt" - výrobca liekov a biomedicínskych produktov v regióne. Je známe, že dopyt po niektorých liekoch vrcholí letné obdobie(lieky kardiovaskulárnej skupiny, analgetiká), pre ostatných - na jesenné a jarné obdobie (antiinfekčné, antitusické).

Náklady na 1 konv. Jednotky produkty na september až október boli: pre prvú skupinu (kardiovaskulárne lieky a analgetiká) - 20 rubľov; pre druhú skupinu (antiinfekčné, antitusické lieky) - 15 rubľov.

Podľa pozorovaní nad viacerými v posledných rokoch Marketingová služba spoločnosti zistila, že môže predať 3050 konvenčných jednotiek počas dvoch uvažovaných mesiacov v teplom počasí. Jednotky produktov prvej skupiny a 1100 konv. Jednotky výrobky druhej skupiny; v chladnom počasí - 1525 arb. Jednotky produktov prvej skupiny a 3690 konv. Jednotky druhá skupina.

V súvislosti s možnými zmenami počasia je úlohou určiť stratégiu spoločnosti pri výrobe produktov, ktorá poskytuje maximálny príjem z predaja pri predajnej cene 40 rubľov. za 1 konv. Jednotky výrobky prvej skupiny a 30 p. - druhá skupina.

RIEŠENIE. Firma má dve stratégie:

Počasie bude tento rok teplé;

Počasie bude chladné.

Ak spoločnosť prijme stratégiu a počasie je skutočne teplé (stratégia prírody), tak vyrobené produkty (3050 konvenčných jednotiek liekov prvej skupiny a 1100 konvenčných jednotiek druhej skupiny) sa plne zrealizujú a príjmy sa byť

3050×(40-20)+1100×(30-15)=77500 r.

V podmienkach chladného počasia (prírodná stratégia) sa lieky druhej skupiny budú predávať v plnom rozsahu a prvá skupina sa bude predávať iba v množstve 1525 konvenčných jednotiek. Jednotky a niektoré lieky zostanú nepredané. Príjem bude

1525×(40-20)+1100×(30-15)-20×()=16500 r.

Podobne, ak formulár prijme stratégiu a počasie je skutočne chladné, výnosy budú

1525×(40-20)+3690×(30-15)=85850 r.

V teplom počasí bude príjem

1525×(40-20)+1100×(30-15)-()×15=8150 r.

Ak vezmeme do úvahy firmu a počasie ako dvoch hráčov, dostaneme výplatnú maticu

,

Cena hry sa pohybuje v rozmedzí

Z výplatnej matice je možné vidieť, že za všetkých podmienok bude príjem firmy najmenej 16 500 rubľov, ale ak počasie sa zhodujú so zvolenou stratégiou, potom môže byť príjem spoločnosti 77 500 rubľov.

Poďme nájsť riešenie hry.

Pravdepodobnosť uplatnenia stratégie firmou označme ako , cez stratégiu a . Po grafickom vyriešení hry dostaneme , pričom cena hry r.

Optimálny plán na výrobu liekov bude

Preto je vhodné, aby firma v priebehu septembra a októbra vyrobila 2379 konvenčných jednotiek. Jednotky liekov prvej skupiny a 2239,6 konvenčných jednotiek. Jednotky lieky druhej skupiny, potom za každého počasia dostane príjem najmenej 46 986 rubľov.

V podmienkach neistoty, ak nie je možné pre spoločnosť použiť zmiešanú stratégiu (zmluvy s inými organizáciami), používame na určenie optimálnej stratégie spoločnosti nasledujúce kritériá:

Waldeho kritérium:

Hurwitzovo kritérium: pre jednoznačnosť akceptujeme, potom pre stratégiu spoločnosti

pre stratégiu

pre firmu je vhodné použiť stratégiu.

Savageovo kritérium. Maximálny prvok v prvom stĺpci je 77500, v druhom stĺpci je to 85850.

Prvky matice rizika sa nachádzajú z výrazu

,

kde , ,

Matica rizika má tvar

,

je vhodné použiť stratégiu alebo .

Preto je vhodné, aby firma uplatňovala stratégiu resp.

Upozorňujeme, že každé z posudzovaných kritérií nemožno považovať za úplne vyhovujúce konečná voľba rozhodnutia, ale ich spoločná analýza umožňuje jasnejšie prezentovať dôsledky prijímania určitých manažérskych rozhodnutí.

Pri známom rozdelení pravdepodobnosti rôznych stavov prírody je rozhodovacím kritériom maximálne matematické očakávanie výnosu.

Nech je pre uvažovaný problém známe, že pravdepodobnosti teplého a studeného počasia sú rovné a rovné 0,5, potom sa optimálna stratégia firmy určí takto:

Pre firmu je vhodné použiť stratégiu resp.

Úlohy na samostatnú prácu

1. Podnik môže vyrábať tri druhy produktov (A, B a C), pričom získava zisk, ktorý závisí od dopytu. Dopyt zase môže mať jeden zo štyroch stavov (I, II, III a IV). V nasledujúcej matici prvky charakterizujú zisk, ktorý podnik získa pri uvoľnení --tého produktu a --tý stav dopytu:

Zmiešaná stratégia SA hráča A je aplikácia čistých stratégií A1, A2, ..., Am s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pi, ..., pm a súčet pravdepodobností sa rovná 1: Zmiešané stratégie hráča A sa zapisujú ako matica alebo ako reťazec SA = (p1, p2, ..., pi, ..., pm) Podobne zmiešané stratégie hráča B sa označujú: , alebo, SB = (q1, q2, ..., qi, ..., qn ), kde súčet pravdepodobnosti výskytu stratégií je rovný 1: Čisté stratégie možno považovať za špeciálny prípad zmiešaných stratégií a možno ich špecifikovať ako reťazec v ktorom 1 zodpovedá čistej stratégii. Na základe princípu minimax sa určí optimálne riešenie (resp. riešenie) hry: ide o dvojicu optimálnych stratégií S*A , S*B vo všeobecnom prípade zmiešaných, ktoré majú nasledujúcu vlastnosť: ak sa jeden z hráčov pridŕža k jeho optimálnej stratégii, potom nemôže byť pre druhého výhodné odchýliť sa od jeho. Výplata zodpovedajúca optimálnemu riešeniu sa nazýva hodnota hry v. Cena hry uspokojuje nerovnosť: ? ? v? ? (3.5) kde? a? - nižšie a top ceny hry. Platí nasledujúca hlavná veta teórie hier – Neumannova veta. Každá konečná hra má aspoň jedno optimálne riešenie, možno medzi zmiešanými stratégiami. Nech S*A = (p*1, p*2, ..., p*i, ..., p*m) a S*B = (q*1, q*2, ..., q* i, ..., q*n) - dvojica optimálnych stratégií. Ak je čistá stratégia zahrnutá do optimálnej zmiešanej stratégie s nenulovou pravdepodobnosťou, potom sa nazýva aktívna. Platí veta o aktívnych stratégiách: ak jeden z hráčov dodrží svoju optimálnu zmiešanú stratégiu, potom výplata zostane nezmenená a rovná sa nákladom na hru v, ak druhý hráč neprekročí svoje aktívne stratégie. Táto veta má veľký praktický význam – dáva konkrétne modely na nájdenie optimálnych stratégií pri absencii sedlového bodu. Predstavte si hru 2×2, čo je najjednoduchší prípad konečnej hry. Ak má takáto hra sedlový bod, tak optimálnym riešením je dvojica čistých stratégií zodpovedajúcich tomuto bodu. Hra, v ktorej neexistuje sedlový bod, v súlade s hlavnou vetou teórie hier existuje optimálne riešenie a je určené dvojicou zmiešaných stratégií S*A = (p*1, p*2) a S*B = (q*1, q*2). Aby sme ich našli, používame vetu o aktívnych stratégiách. Ak sa hráč A bude držať svojej optimálnej stratégie S "A, potom sa jeho priemerná výplata bude rovnať cene hry v, bez ohľadu na to, akú aktívnu stratégiu hráč B použije. Pre hru 2 × 2 je akákoľvek čistá stratégia súpera aktívny, ak nie je bod sedla Výplata hráča A (strata hráča B) je náhodná veličina, ktorej matematické očakávanie (priemerná hodnota) je cenou hry. Preto priemerný zisk hráča A (optimálna stratégia) sa bude rovnať v pre 1. aj 2. stratégiu súpera matica Priemerná výplata hráča A, ak používa optimálnu zmiešanú stratégiu, a hráča B - čistá stratégia B1 (toto zodpovedá 1. stĺpcu výplatnej matice P), sa rovná cene hry v: a11 p*1+ a21 p*2= v. Že priemernú výhru dostane hráč A, ak 2. hráč použije stratégiu B2, t.j. a12 p*1+ a22 p *2= v. Ak vezmeme do úvahy, že p*1+ p*2= 1, dostaneme sústavu rovníc na určenie optimálnej stratégie S "A a hodnotu hry v: (3.6) Riešením tejto sústavy získame opt optimálna stratégia (3.7) a cena hry (3.8) Aplikovaním vety o aktívnych stratégiách pri hľadaní SВ*-optimálnej stratégie hráča B dostaneme, že pre akúkoľvek čistú stratégiu hráča A (A1 alebo A2) je priemer strata hráča B sa rovná cene hry v, m .e. (3.9) Potom je optimálna stratégia určená vzorcami: (3.10)