Ako nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti? Nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na segmente.

Najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota ordináty v uvažovanom intervale.

Ak chcete nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie, musíte:

1. Skontrolujte, ktoré stacionárne body sú zahrnuté v danom segmente.
2. Vypočítajte hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnych bodoch z kroku 3
3. Vyberte zo získaných výsledkov najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu.

Ak chcete nájsť maximálny alebo minimálny počet bodov, musíte:

1. Nájdite deriváciu funkcie $f"(x)$
2. Nájdite stacionárne body riešením rovnice $f"(x)=0$
3. Faktorizujte deriváciu funkcie.
4. Nakreslite súradnicovú čiaru, umiestnite na ňu stacionárne body a určte znamienka derivácie v získaných intervaloch pomocou zápisu vety 3.
5. Nájdite maximálny alebo minimálny počet bodov podľa pravidla: ak v určitom bode derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom to bude maximálny bod (ak z mínus na plus, bude to minimálny bod). V praxi je vhodné použiť obrázok šípok na intervaloch: na intervale, kde je derivácia kladná, sa šípka ťahá nahor a naopak.

Tabuľka derivácií niektorých elementárnych funkcií:

Základné pravidlá diferenciácie

1. Derivácia súčtu a rozdielu sa rovná derivácii každého člena

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Nájdite deriváciu funkcie $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivácia súčtu a rozdielu sa rovná derivácii každého člena

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivát produktu.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Nájdite deriváciu $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivácia kvocientu

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Nájdite deriváciu $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie vonkajšej funkcie a derivácie vnútornej funkcie.

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Nájdite minimálny bod funkcie $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Nájdite ODZ funkcie: $x+11>0; x>-11 $

2. Nájdite deriváciu funkcie $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Nájdite stacionárne body prirovnaním derivácie k nule

$(2x+21)/(x+11)=0$

Zlomok je nula, ak je čitateľ nula a menovateľ nie je nula

$2x+21=0; x≠ -11 $

4. Nakreslite súradnicovú čiaru, umiestnite na ňu stacionárne body a určte znamienka derivácie v získaných intervaloch. Aby sme to dosiahli, do derivácie dosadíme ľubovoľné číslo z krajnej pravej oblasti, napríklad nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. V minimálnom bode sa derivácia zmení znamienko z mínus na plus, preto je bod $ -10,5 $ minimálny bod.

Odpoveď: $-10,5 $

Nájdite maximálnu hodnotu funkcie $y=6x^5-90x^3-5$ na segmente $[-5;1]$

1. Nájdite deriváciu funkcie $y′=30x^4-270x^2$

2. Prirovnajte deriváciu k nule a nájdite stacionárne body

$30x^4-270x^2=0$

Vyberme spoločný faktor $30x^2$ zo zátvoriek

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Nastavte každý faktor rovný nule

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Vyberte stacionárne body, ktoré patria do daného segmentu $[-5;1]$

Stacionárne body $x=0$ a $x=-3$ sú pre nás vhodné

4. Z položky 3 vypočítajte hodnotu funkcie na koncoch úsečky a v stacionárnych bodoch

V tomto článku budem hovoriť o tom, ako aplikovať schopnosť nájsť na štúdium funkcie: nájsť jej najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu. A potom vyriešime niekoľko problémov z úlohy B15 z banky otvorených úloh pre .

Ako obvykle, začnime najprv teóriou.

Na začiatku každého štúdia funkcie ju nájdeme

Ak chcete nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie, musíte zistiť, v ktorých intervaloch sa funkcia zvyšuje a v ktorých klesá.

Aby ste to dosiahli, musíte nájsť deriváciu funkcie a študovať jej intervaly konštantného znamienka, teda intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko.

Intervaly, na ktorých je derivácia funkcie kladná, sú intervaly rastúcej funkcie.

Intervaly, na ktorých je derivácia funkcie záporná, sú intervaly klesajúcej funkcie.

1. Vyriešme úlohu B15 (č. 245184)

Aby sme to vyriešili, budeme postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:

a) Nájdite definičný obor funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie .

c) Nastavte ho na nulu.

d) Nájdite intervaly konštantného znamienka funkcie.

e) Nájdite bod, v ktorom funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu.

f) Nájdite hodnotu funkcie v tomto bode.

Podrobné riešenie tejto úlohy hovorím vo VIDEO LEKCI:

Váš prehliadač pravdepodobne nie je podporovaný. Ak chcete použiť simulátor „Unified State Examination Hour“, skúste si ho stiahnuť
Firefox

2. Vyriešme úlohu B15 (č. 282862)

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na segmente

Je zrejmé, že funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu na segmente v maximálnom bode, pri x=2. Nájdite hodnotu funkcie v tomto bode:

odpoveď: 5

3. Vyriešme úlohu B15 (č. 245180):

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Keďže rozsah pôvodnej funkcie title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Čitateľ je nula na . Skontrolujeme, či ODZ patrí do funkcie. Ak to chcete urobiť, skontrolujte, či je podmienka title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

takže bod patrí do ODZ funkcie

Skúmame znamienko derivácie napravo a naľavo od bodu:

Vidíme, že funkcia má najväčšiu hodnotu v bode . Teraz nájdime hodnotu funkcie na:

Poznámka 1. Všimnite si, že v tejto úlohe sme nenašli definičný obor funkcie: iba sme zafixovali obmedzenia a skontrolovali, či bod, v ktorom sa derivácia rovná nule, patrí do definičného oboru funkcie. V tomto probléme sa to ukázalo ako dosť. Nie vždy to však platí. Závisí to od úlohy.

Poznámka 2. Pri štúdiu správania komplexnej funkcie možno použiť nasledujúce pravidlo:

• ak vonkajšia funkcia zloženej funkcie rastie, potom funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu v tom istom bode, v ktorom vnútorná funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu. Vyplýva to z definície rastúcej funkcie: funkcia rastie na intervale I, ak väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
• ak vonkajšia funkcia komplexnej funkcie klesá, potom funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu v tom istom bode, v ktorom vnútorná funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu . Vyplýva to z definície klesajúcej funkcie: funkcia klesá na intervale I, ak väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

V našom príklade sa vonkajšia funkcia - zvyšuje v celej oblasti definície. Pod znamienkom logaritmu je výraz - štvorcová trojčlenka, ktorá pri zápornom seniorskom koeficiente nadobúda najväčšiu hodnotu v bode . Ďalej túto hodnotu x dosadíme do rovnice funkcie a nájsť jeho najväčšiu hodnotu.

Štandardný algoritmus na riešenie takýchto úloh zahŕňa po nájdení núl funkcie určenie znamienok derivácie na intervaloch. Potom výpočet hodnôt v nájdených bodoch maxima (alebo minima) a na hranici intervalu, v závislosti od toho, aká otázka je v stave.

Radím vám robiť veci trochu inak. prečo? Napísali o tom.

Navrhujem vyriešiť takéto úlohy nasledovne:

1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite nuly derivácie.
3. Určte, ktoré z nich patria do daného intervalu.
4. Vypočítame hodnoty funkcie na hraniciach intervalu a bodov bodu 3.
5. Vyvodíme záver (odpovedáme na položenú otázku).

V priebehu riešenia uvedených príkladov sa podrobne neuvažuje o riešení kvadratických rovníc, mali by ste to zvládnuť. Mali by tiež vedieť.

Zvážte príklady:

77422. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 –3x+4 na segmente [–2;0].

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch –2, –1 a 0:

Najväčšia hodnota funkcie je 6.

odpoveď: 6

77425. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 2 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch 1, 2 a 4:

Najmenšia hodnota funkcie je -2.

odpoveď: -2

77426. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 6x 2 na segmente [-3; 3].

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 0 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –3, 0 a 3:

Najmenšia hodnota funkcie je 0.

odpoveď: 0

77429. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Dostaneme korene: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Iba x = 1 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch 1 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77430. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmente [- 4; -1].

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Poďme ku koreňom:

Koreň х = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch –4, –1, –1/3 a 1:

Zistili sme, že najväčšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77433. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Poďme ku koreňom:

Koreň x = 4 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie nájdeme v bodoch 0 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je -109.

Odpoveď: -109

Zvážte metódu na určenie najväčších a najmenších hodnôt funkcií bez derivácie. Tento prístup je možné použiť, ak máte veľké problémy s definíciou derivátu. Princíp je jednoduchý - do funkcie dosadíme všetky celočíselné hodnoty z intervalu (faktom je, že vo všetkých takýchto prototypoch je odpoveď celé číslo).

77437. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d 7 + 12x - x 3 na segmente [-2; 2].

Nahrádzame body od -2 do 2: Zobraziť riešenie

77434. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 na segmente [-2; 0].

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Ako nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente?

Pre to postupujeme podľa známeho algoritmu:

1 . Nájdeme funkcie ODZ.

2 . Hľadanie derivácie funkcie

3 . Prirovnajte deriváciu k nule

4 . Nájdeme intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko, a z nich určíme intervaly nárastu a poklesu funkcie:

Ak je na intervale I derivácia funkcie 0" title="f^(prvočíslo)(x)>0">, то функция !} sa v tomto intervale zvyšuje.

Ak je na intervale I derivácia funkcie , potom funkcia v tomto intervale klesá.

5 . nachádzame maximálne a minimálne body funkcie.

AT maximálny bod funkcie, derivácia zmení znamienko z "+" na "-".

AT minimálny bod funkciederivácia zmení znamienko z „-“ na „+“.

6 . Nájdeme hodnotu funkcie na koncoch segmentu,

• potom porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v maximálnych bodoch a vyberte najväčšiu z nich, ak potrebujete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie
• alebo porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v minimálnych bodoch a vyberte najmenšiu z nich, ak potrebujete nájsť najmenšiu hodnotu funkcie

Avšak v závislosti od toho, ako sa funkcia správa na intervale, môže byť tento algoritmus výrazne zredukovaný.

Zvážte funkciu . Graf tejto funkcie vyzerá takto:

Zoberme si niekoľko príkladov riešenia problémov z Open Task Bank pre

1. Úloha B15 (#26695)

Na reze.

1. Funkcia je definovaná pre všetky reálne hodnoty x

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia a derivácia je kladná pre všetky hodnoty x. Preto funkcia rastie a nadobúda najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, teda pri x=0.

odpoveď: 5.

2 . Úloha B15 (č. 26702)

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na segmente.

1.Funkcia ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivácia je nula v , avšak v týchto bodoch nemení znamienko:

Preto title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} sa zvyšuje a nadobúda najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, pri .

Aby bolo jasné, prečo derivácia nemení znamienko, transformujeme výraz pre deriváciu takto:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

odpoveď: 5.

3. Úloha B15 (#26708)

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie na intervale .

1. Funkcie ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Umiestnime korene tejto rovnice na trigonometrický kruh.

Interval obsahuje dve čísla: a

Umiestnime znamenia. Aby sme to dosiahli, určíme znamienko derivácie v bode x=0: . Pri prechode bodmi a deriváciou sa zmení znamienko.

Znázornime zmenu znamienok derivácie funkcie na súradnicovej čiare:

Je zrejmé, že bod je minimálny bod (kde derivácia mení znamienko z „-“ na „+“), a aby ste našli najmenšiu hodnotu funkcie na intervale, musíte porovnať hodnoty funkcie. v minimálnom bode a na ľavom konci segmentu, .

Štúdium takéhoto objektu matematickej analýzy ako funkcie má veľký význam. význam a v iných oblastiach vedy. Napríklad v ekonomickej analýze sa neustále vyžaduje hodnotenie správania funkcie zisku, a to určiť jeho maximum význam a vypracovať stratégiu na jej dosiahnutie.

Inštrukcia

Štúdium akéhokoľvek správania by malo vždy začať hľadaním domény definície. Zvyčajne je podľa stavu konkrétneho problému potrebné určiť najväčší význam funkcie buď na celú túto oblasť, alebo na jej špecifický interval s otvorenými alebo uzavretými hranicami.

Na základe , najväčší je význam funkcie y(x0), pod ktorým je pre ktorýkoľvek bod definičného oboru splnená nerovnosť y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Graficky bude tento bod najvyšší, ak usporiadate hodnoty argumentu pozdĺž osi x a samotnú funkciu pozdĺž osi y.

Na určenie najväčšieho význam funkcie, postupujte podľa trojkrokového algoritmu. Všimnite si, že musíte vedieť pracovať s jednostranným a , ako aj vypočítať deriváciu. Nech je teda daná nejaká funkcia y(x) a je potrebné nájsť jej najväčšiu význam na nejakom intervale s hraničnými hodnotami A a B.

Zistite, či je tento interval v rozsahu funkcie. Aby ste to dosiahli, je potrebné ho nájsť po zvážení všetkých možných obmedzení: prítomnosť zlomku, druhej odmocniny atď. vo výraze. Doména definície je množina hodnôt argumentov, pre ktoré má funkcia zmysel. Určte, či je daný interval jeho podmnožinou. Ak áno, pokračujte ďalším krokom.

Nájdite derivát funkcie a vyriešte výslednú rovnicu rovnaním derivácie nule. Takto získate hodnoty takzvaných stacionárnych bodov. Vyhodnoťte, či aspoň jeden z nich patrí do intervalu A, B.

Zvážte tieto body v tretej fáze, nahraďte ich hodnoty do funkcie. V závislosti od typu intervalu vykonajte nasledujúce dodatočné kroky. Ak existuje segment tvaru [A, B], hraničné body sú zahrnuté v intervale, je to označené zátvorkami. Vypočítajte hodnoty funkcie pre x = A a x = B. Ak je otvorený interval (A, B), hraničné hodnoty sú prepichnuté, t.j. nie sú v ňom zahrnuté. Vyriešte jednostranné limity pre x→A a x→B. Kombinovaný interval tvaru [A, B) alebo (A, B), ktorého jedna hranica mu patrí a druhá nie. Nájdite jednostrannú hranicu, keďže x smeruje k dierovanej hodnote, a druhú dosaďte do funkcie. Nekonečný obojstranný interval (-∞, +∞) alebo jednostranné nekonečné intervaly tvaru: , (-∞, B) Pre reálne limity A a B postupujte podľa už popísaných princípov a pre nekonečné , hľadajte limity pre x→-∞ a x→+∞.

Úloha v tejto fáze