Ako riešiť jednoduché goniometrické nerovnosti. Riešenie goniometrických nerovností

1.5 Goniometrické nerovnice a metódy ich riešenia

1.5.1 Riešenie jednoduchých goniometrických nerovníc

Väčšina autorov moderných učebníc matematiky navrhuje, aby sme naše úvahy o tejto téme začali riešením najjednoduchších goniometrických nerovností. Princíp riešenia najjednoduchších trigonometrických nerovností je založený na znalosti a schopnosti určiť na trigonometrickom kruhu hodnoty nielen hlavných goniometrických uhlov, ale aj iných hodnôt.

Zatiaľ riešenie nerovníc v tvare , , , môžeme vykonať nasledovne: najprv nájdeme nejaký interval (), na ktorom je táto nerovnosť pravdivá, a potom zapíšeme konečnú odpoveď pridaním na konce nájdených interval násobok periódy sínusu alebo kosínusu: ( ). V tomto prípade sa hodnota ľahko nájde, pretože alebo . Hľadanie hodnoty sa opiera o intuíciu študentov, ich schopnosť všímať si rovnosť oblúkov alebo úsečiek s využitím symetrie jednotlivých častí sínusového alebo kosínusového grafu. A to je niekedy nad sily dosť veľkého počtu študentov. Aby sa prekonali uvedené ťažkosti, učebnice v posledných rokoch používali iný prístup k riešeniu najjednoduchších goniometrických nerovností, čo však nezlepšilo výsledky vzdelávania.

Už niekoľko rokov pomerne úspešne používame vzorce koreňov príslušných rovníc na hľadanie riešení goniometrických nerovností.

Túto tému študujeme nasledujúcim spôsobom:

1. Vytvárame grafy a y \u003d a za predpokladu, že .

Potom zapíšeme rovnicu a jej riešenie. Dávať n 0; 1; 2 nájdeme tri korene zloženej rovnice: . Hodnoty sú úsečky troch po sebe idúcich priesečníkov grafov a y = a. je zrejmé, že nerovnosť vždy platí na intervale () a na intervale () - nerovnosť .

Ak na konce týchto intervalov pridáme číslo, ktoré je násobkom periódy sínusu, v prvom prípade dostaneme riešenie nerovnice v tvare: ; a v druhom prípade riešenie nerovnosti v tvare:

Len na rozdiel od sínusu zo vzorca, ktorý je riešením rovnice, pre n = 0 dostaneme dva korene a tretí koreň pre n = 1 v tvare . A opäť sú tri po sebe idúce úsečky priesečníkov grafov a . V intervale () je splnená nerovnosť, v intervale () nerovnosť

Teraz je ľahké zapísať riešenia nerovníc a . V prvom prípade dostaneme: ;

a v druhom: .

Zhrnúť. Na vyriešenie nerovnice alebo je potrebné zostaviť zodpovedajúcu rovnicu a vyriešiť ju. Z výsledného vzorca nájdite korene a a napíšte odpoveď nerovnice v tvare: .

Pri riešení nerovníc zo vzorca koreňov príslušnej rovnice nájdeme korene a a odpoveď nerovnice zapíšeme v tvare: .

Táto technika vám umožňuje naučiť všetkých študentov, ako riešiť trigonometrické nerovnosti. táto technika sa úplne spolieha na zručnosti, ktoré si študenti pevne osvojili. Ide o schopnosť najjednoduchšie riešiť a nájsť hodnotu premennej pomocou vzorca. Okrem toho sa stáva úplne voliteľným starostlivo vyriešiť veľké množstvo cvičení pod vedením učiteľa s cieľom demonštrovať všetky druhy techník uvažovania v závislosti od znamienka nerovnosti, hodnoty modulu čísla a a jeho znamienka. A samotný proces riešenia nerovnosti sa stáva krátkym a, čo je veľmi dôležité, jednotným.

Ďalšou výhodou tejto metódy je, že uľahčuje riešenie nerovností, aj keď pravá strana nie je tabuľkovou hodnotou sínus alebo kosínus.

Ukážme si to na konkrétnom príklade. Nech je potrebné vyriešiť nerovnosť. Napíšme zodpovedajúcu rovnicu a vyriešme ju:

Poďme nájsť hodnoty a .

Pre n = 1

Pre n = 2

Napíšeme konečnú odpoveď na túto nerovnosť:

V uvažovanom príklade riešenia najjednoduchších trigonometrických nerovností môže existovať iba jedna nevýhoda - prítomnosť určitého množstva formalizmu. Ak sa však všetko vyhodnotí iba z týchto pozícií, bude možné obviniť z formalizmu aj vzorce koreňov kvadratickej rovnice, ako aj všetky vzorce na riešenie goniometrických rovníc a oveľa viac.

Navrhovaná metóda, hoci zaberá dôstojné miesto pri formovaní zručností a schopností na riešenie goniometrických nerovností, nemožno podceňovať význam a vlastnosti iných metód na riešenie goniometrických nerovností. To zahŕňa aj intervalovú metódu.

Uvažujme o jeho podstate.

Set upravil A.G. Mordkoviča, hoci netreba ignorovať ani iné učebnice. § 3. Metódy výučby témy "Tigonometrické funkcie" v kurze algebry a začiatok analýzy Pri štúdiu goniometrických funkcií v škole možno rozlíšiť dve hlavné etapy: ü Počiatočné oboznámenie sa s goniometrickými funkciami ...

Počas výskumu boli riešené nasledovné úlohy: 1) Analyzovali sa súčasné učebnice algebry a začiatkov matematickej analýzy s cieľom identifikovať metódy riešenia iracionálnych rovníc a nerovníc v nich prezentovaných. Vykonaná analýza nám umožňuje vyvodiť tieto závery: Na strednej škole sa nevenuje dostatočná pozornosť metódam riešenia rôznych iracionálnych rovníc, hlavne ...

Algebra projekt "Riešenie goniometrických nerovníc" Vypracovala žiačka 10. triedy "B" Julia Kazachková Vedúci: učiteľka matematiky Kochakova N.N.

Cieľ Upevniť materiál na tému „Riešenie goniometrických nerovností“ a vytvoriť poznámku pre študentov, aby sa pripravili na nadchádzajúcu skúšku.

Ciele Zhrnúť materiál na danú tému. Usporiadajte prijaté informácie. Zvážte túto tému na skúške.

Relevantnosť Relevantnosť témy, ktorú som si zvolila, spočíva v tom, že v úlohách skúšky sú zahrnuté úlohy na tému „Riešenie goniometrických nerovníc“.

Goniometrické nerovnosti Nerovnosť je vzťah, ktorý spája dve čísla alebo výrazy prostredníctvom jedného zo znakov: (väčšie ako); ≥ (väčšie alebo rovné). Goniometrická nerovnosť je nerovnosť obsahujúca goniometrické funkcie.

Goniometrické nerovnice Riešenie nerovníc obsahujúcich goniometrické funkcie sa redukuje spravidla na riešenie najjednoduchších nerovníc tvaru: sin x>a, sin x a, čos x a,tgx a, ctg x

Algoritmus riešenia goniometrických nerovníc Na osi zodpovedajúcej danej goniometrickej funkcii vyznačte danú číselnú hodnotu tejto funkcie. Nakreslite čiaru cez označený bod, ktorý pretína jednotkový kruh. Vyberte priesečníky čiary a kruhu, berúc do úvahy striktné alebo neprísne znamienko nerovnosti. Vyberte oblúk kruhu, na ktorom sa nachádzajú riešenia nerovnosti. Určte hodnoty uhlov v počiatočnom a koncovom bode kruhového oblúka. Zapíšte riešenie nerovnice s prihliadnutím na periodicitu danej goniometrickej funkcie.

Vzorce na riešenie goniometrických nerovností sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arctg + πn). ctgx

Grafické riešenie hlavných goniometrických nerovností sinx >a

Grafické riešenie hlavných goniometrických nerovností sinx

Grafické riešenie hlavných goniometrických nerovností cosx >a

Grafické riešenie hlavných goniometrických nerovností cosx

Grafické riešenie hlavných goniometrických nerovností tgx >a

Grafické riešenie hlavných goniometrických nerovností tgx

Grafické riešenie hlavných goniometrických nerovností ctgx >a

Grafické riešenie hlavných goniometrických nerovností ctgx

Spôsoby riešenia goniometrických nerovností Riešenie goniometrických nerovností pomocou číselného kruhu; Riešenie goniometrických nerovností pomocou grafu funkcie. :

Riešenie goniometrických nerovností pomocou číselného kruhu Príklad 1: : Odpoveď:

Riešenie goniometrických nerovností pomocou číselného kruhu Príklad 1: Odpoveď:

Riešenie goniometrických nerovností pomocou funkčného grafu Príklad: Odpoveď:

Výsledkom práce som si upevnil vedomosti na tému „Riešenie goniometrických nerovností“. Systematizoval informácie prijaté na túto tému pre pohodlie ich vnímania: odvodil algoritmus na riešenie goniometrických nerovností; načrtol dva spôsoby riešenia; ukázal príklady riešení. :

Výsledok práce K môjmu projektu je ako hotový produkt pripojená aj „Pripomienka pre študentov pri príprave na skúšku z algebry“. Dokument Microsoft Office Word (2). docx:

V literatúre bola použitá učebnica algebry pre ročník 10 „Algebra a začiatok analýzy“, ktorú vydal A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

Algoritmus na riešenie najjednoduchších goniometrických nerovností a rozpoznávanie spôsobov riešenia goniometrických nerovností.

Učitelia najvyššej kvalifikačnej kategórie:

Širko F.M. Progress village, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, PEI stredná škola "New Way"

Univerzálne metódy výučby prírodno-matematických disciplín neexistujú. Každý učiteľ nájde svoje spôsoby vyučovania prijateľné len pre neho.

Naše dlhoročné pedagogické skúsenosti ukazujú, že študenti sa ľahšie učia materiál, ktorý si vyžaduje koncentráciu pozornosti a ukladanie veľkého množstva informácií do pamäte, ak sa naučia používať algoritmy vo svojich činnostiach v počiatočnej fáze učenia sa zložitej témy. Takouto témou je podľa nás téma riešenia goniometrických nerovností.

Takže predtým, ako začneme so študentmi identifikovať techniky a metódy na riešenie goniometrických nerovností, vypracujeme a opravíme algoritmus na riešenie najjednoduchších goniometrických nerovností.

Algoritmus na riešenie najjednoduchších goniometrických nerovností

Označíme body na príslušnej osi ( pre hriech X- os y, precos X- os OX)

Obnovíme kolmicu na os, ktorá bude pretínať kružnicu v dvoch bodoch.

Najprv na kruhu označíme bod, ktorý podľa definície patrí do intervalu rozsahu hodnôt oblúkovej funkcie.

Vychádzajúc z podpísaného bodu vytieňujeme oblúk kružnice zodpovedajúcej tieňovanej časti osi.

Osobitnú pozornosť venujeme smerovaniu obchvatu. Ak je prechod v smere hodinových ručičiek (t.j. existuje prechod cez 0), potom druhý bod na kruhu bude záporný, ak proti smeru hodinových ručičiek - kladný.

Odpoveď zapisujeme ako interval s prihliadnutím na periodicitu funkcie.

Pozrime sa na fungovanie algoritmu s príkladmi.

1) hriech ≥ 1/2;

rozhodnutie:

Nakreslite jednotkový kruh.;

Označíme bod ½ na osi y.

Obnovte kolmicu na os,

ktorý pretína kružnicu v dvoch bodoch.

Podľa definície arcsínusu označíme ako prvé

bod π/6.

Vytieňujeme časť osi, ktorá zodpovedá

danej nerovnosti, nad bodom ½.

Vytieňujeme oblúk kruhu zodpovedajúci zatienenej časti osi.

Obtok sa robí proti smeru hodinových ručičiek, dostali sme bod 5π/6.

Odpoveď zapisujeme ako interval s prihliadnutím na periodicitu funkcie;

odpoveď:X;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Najjednoduchšia nerovnosť sa rieši pomocou rovnakého algoritmu, ak v zázname odpovede nie je tabuľková hodnota.

Študenti na prvých hodinách pri riešení nerovností na tabuli nahlas vyslovujú každý krok algoritmu.

2) 5 cos X – 1 ≥ 0;

R Riešenie:pri

5 cos X – 1 ≥ 0;

cos X ≥ 1/5;

Nakreslite jednotkový kruh.

Na osi OX označíme bod so súradnicou 1/5.

Obnovíme kolmicu na os, ktorá

pretína kružnicu v dvoch bodoch.

Najprv na kruhu označíme bod, ktorý podľa definície patrí do intervalu rozsahu hodnôt arkozínu (0; π).

Vytieňujeme časť osi, ktorá zodpovedá tejto nerovnosti.

Počnúc od podpísaného bodu arccos 1/5, vytieňujte oblúk kružnice zodpovedajúcej vytieňovanej časti osi.

Obtok sa robí v smere hodinových ručičiek (t.j. existuje prechod cez 0), čo znamená, že druhý bod na kruhu bude záporný - arccos 1/5.

Odpoveď zapisujeme ako interval s prihliadnutím na periodicitu funkcie od menšej hodnoty po väčšiu.

odpoveď: X  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Zlepšenie schopnosti riešiť trigonometrické nerovnosti uľahčujú otázky: „Ako vyriešime skupinu nerovností?“; "Ako sa líši jedna nerovnosť od druhej?"; "Ako je jedna nerovnosť podobná druhej?"; Ako by sa zmenila odpoveď, keby bola daná striktná nerovnosť? Ako by sa zmenila odpoveď, keby namiesto znamienka „“ bolo znamienko

Úloha analyzovať zoznam nerovností z hľadiska spôsobov ich riešenia vám umožňuje vypracovať ich rozpoznanie.

Žiaci dostávajú na hodine nerovnice, ktoré musia riešiť.

otázka: Zvýrazniť nerovnosti, ktoré vyžadujú použitie ekvivalentných transformácií pri redukcii goniometrickej nerovnosti na najjednoduchšiu?

Odpoveď 1, 3, 5.

otázka: Aké sú nerovnosti, pri ktorých je potrebné považovať zložitý argument za jednoduchý?

odpoveď: 1, 2, 3, 5, 6.

otázka: Aké sú nerovnosti, pri ktorých možno použiť trigonometrické vzorce?

odpoveď: 2, 3, 6.

otázka: Aké sú nerovnosti, pri ktorých môžete použiť metódu zavedenia novej premennej?

odpoveď: 6.

Úloha analyzovať zoznam nerovností z hľadiska spôsobov ich riešenia vám umožňuje vypracovať ich rozpoznanie. Pri rozvíjaní zručností je dôležité vyčleniť fázy ich implementácie a formulovať ich vo všeobecnej forme, ktorá je uvedená v algoritme na riešenie najjednoduchších trigonometrických nerovností.

Väčšina študentov nemá rada trigonometrické nerovnosti. Ale márne. Ako hovorievala jedna postava,

“Len neviete, ako ich variť”

Ako teda „variť“ a s čím podať nerovnosť so sínusom, na to prídeme v tomto článku. Budeme riešiť najjednoduchším spôsobom – pomocou jednotkového kruhu.

Takže najprv potrebujeme nasledujúci algoritmus.

Algoritmus na riešenie nerovností so sínusom:

1. položte číslo $a$ na sínusovú os a nakreslite priamku rovnobežnú s osou kosínusu, kým sa nepretne s kružnicou;
2. priesečníky tejto čiary s kružnicou sa vyplnia, ak nerovnosť nie je prísna, a nevyplnia sa, ak je nerovnosť prísna;
3. oblasť riešenia nerovnosti bude nad čiarou a po kružnicu, ak nerovnosť obsahuje znak „$>$“, a pod čiarou a po kruh, ak nerovnica obsahuje znak „$<$”;
4. na nájdenie priesečníkov riešime trigonometrickú rovnicu $\sin(x)=a$, dostaneme $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. nastavením $n=0$ nájdeme prvý priesečník (nachádza sa buď v prvom alebo vo štvrtom kvadrante);
6. na nájdenie druhého bodu sa pozrieme, ktorým smerom ideme cez oblasť k druhému priesečníku: ak v kladnom smere, potom by sa malo zvoliť $n=1$ a ak v zápornom smere, potom $n=- 1 $;
7. ako odpoveď sa vypíše interval od menšieho priesečníka $+ 2\pi n$ k väčšiemu $+ 2\pi n$.

Obmedzenie algoritmu

Dôležité: d tento algoritmus nefunguje pre nerovnosti tvaru $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Špeciálne prípady pri riešení nerovnice so sínusom

Je tiež dôležité poznamenať nasledujúce prípady, ktoré je oveľa pohodlnejšie riešiť logicky bez použitia vyššie uvedeného algoritmu.

Špeciálny prípad 1. Vyriešte nerovnosť:

$\sin(x) \leq 1.$

Keďže definičný obor goniometrickej funkcie $y=\sin(x)$ je najviac $1$, ľavá strana nerovnosti pre akékoľvek$x$ z domény (a doménou sínusu sú všetky reálne čísla) nie je väčšie ako $1$. A preto ako odpoveď napíšeme: $x \in R$.

Dôsledok:

$\sin(x) \geq -1.$

Špeciálny prípad 2. Vyriešte nerovnosť:

$\sin(x)< 1.$

Aplikovaním argumentov podobných špeciálnemu prípadu 1 dostaneme, že ľavá strana nerovnosti je menšia ako $1$ pre všetky $x \in R$, okrem bodov, ktoré sú riešením rovnice $\sin(x) = 1 dolár. Vyriešením tejto rovnice budeme mať:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

A preto ako odpoveď napíšeme: $x \in R \obrátené lomítko \vľavo\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\vpravo\)$.

Dôsledok: nerovnosť sa rieši podobne

$\sin(x) > -1,$

Príklady riešenia nerovností pomocou algoritmu.

Príklad 1: Vyriešte nerovnosť:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Všimnite si súradnicu $\frac(1)(2)$ na sínusovej osi.
2. Nakreslite čiaru rovnobežnú s osou kosínusu a prechádzajúcu týmto bodom.
3. Všimnite si priesečníky. Budú zatienené, pretože nerovnosť nie je striktná.
4. Znamienko nerovnosti je $\geq$, čo znamená, že maľujeme nad oblasťou nad čiarou, t.j. menší polkruh.
5. Nájdite prvý priesečník. Ak to chcete urobiť, premeňte nerovnosť na rovnosť a vyriešte ju: $\sin(x)=\frac(1)(2) \\Šípka doprava \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Ďalej nastavíme $n=0$ a nájdeme prvý priesečník: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Nájdeme druhý bod. Naša oblasť ide od prvého bodu kladným smerom, takže $n$ nastavíme na $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Riešenie teda bude mať tvar:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\vpravo], \ n \in Z.$

Príklad 2: Vyriešte nerovnosť:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Na sínusovej osi označíme súradnicu $- \frac(1)(2)$ a nakreslíme priamku rovnobežnú s osou kosínusu a prechádzajúcu týmto bodom. Všimnite si priesečníky. Nebudú zatienené, pretože nerovnosť je prísna. Znak nerovnosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Pri ďalšom nastavení $n=0$ nájdeme prvý priesečník: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Naša oblasť ide od prvého bodu záporným smerom, takže $n$ nastavíme na $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Takže riešením tejto nerovnosti bude interval:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

Príklad 3: Vyriešte nerovnosť:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0,$

Tento príklad nie je možné okamžite vyriešiť pomocou algoritmu. Najprv ho musíte previesť. Robíme presne tak, ako by sme urobili s rovnicou, ale nezabudnite na znamienko. Delenie alebo násobenie záporným číslom to obráti!

Presuňme teda všetko, čo neobsahuje goniometrickú funkciu, na pravú stranu. Dostaneme:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Vydeľte ľavú a pravú stranu $-2$ (nezabudnite na znamienko!). Bude mať:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Opäť sme dostali nerovnosť, ktorú nedokážeme vyriešiť pomocou algoritmu. Tu však stačí vykonať zmenu premennej:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Dostaneme trigonometrickú nerovnosť, ktorú je možné vyriešiť pomocou algoritmu:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Táto nerovnosť bola vyriešená v príklade 1, takže si požičiame odpoveď odtiaľ:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\vpravo].$

Rozhodnutie sa však ešte neskončilo. Musíme sa vrátiť k pôvodnej premennej.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\vpravo].$

Predstavme si medzeru ako systém:

$\left\(\begin(pole)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(pole) \right.$

Na ľavej strane systému je výraz ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), ktorý patrí do intervalu. Ľavá hranica intervalu je zodpovedná za prvú nerovnosť a pravá hranica je zodpovedná za druhú. Okrem toho zátvorky zohrávajú dôležitú úlohu: ak je zátvorka hranatá, potom nerovnosť bude neprísna a ak je okrúhla, potom prísna. našou úlohou je získať $ x $ vľavo v oboch nerovnostiach.

Presuňme $\frac(\pi)(6)$ z ľavej strany na pravú stranu, dostaneme:

$\left\(\begin(pole)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(pole) \right.$

Pre zjednodušenie budeme mať:

$\left\(\begin(pole)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi č.\koniec(pole) \vpravo.$

Vynásobením ľavej a pravej strany 4 dolármi dostaneme:

$\left\(\begin(pole)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(pole) \right. $

Zostavením systému do intervalu dostaneme odpoveď:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\vpravo], \ n \in Z.$

Nerovnice sú vzťahy v tvare a › b, kde a a b sú výrazy obsahujúce aspoň jednu premennú. Nerovnosti môžu byť prísne - ‹, › a neprísne - ≥, ≤.

Goniometrické nerovnosti sú vyjadrenia tvaru: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, v ktorých F(x) je reprezentovaná jednou alebo viacerými goniometrickými funkciami .

Príkladom najjednoduchšej goniometrickej nerovnosti je: sin x ‹ 1/2. Takéto problémy sa zvyčajne riešia graficky, na to boli vyvinuté dve metódy.

Metóda 1 - Riešenie nerovností vynesením funkcie

Ak chcete nájsť interval, ktorý spĺňa podmienky nerovnosti sin x ‹ 1/2, musíte urobiť nasledovné:

1. Na súradnicovej osi zostrojte sínusoidu y = sin x.
2. Na tej istej osi nakreslite graf numerického argumentu nerovnosti, t.j. priamku prechádzajúcu bodom ½ ordináty OY.
3. Označte priesečníky dvoch grafov.
4. Vytieňujte segment, ktorý je riešením príkladu.

Keď sú vo výraze silné znaky, priesečníky nie sú riešením. Keďže najmenšia kladná perióda sínusoidy je 2π, zapíšeme odpoveď takto:

Ak znamienka výrazu nie sú striktné, potom musí byť interval riešenia uzavretý v hranatých zátvorkách - . Odpoveď na problém možno zapísať aj ako ďalšiu nerovnosť:

Metóda 2 - Riešenie goniometrických nerovností pomocou jednotkovej kružnice

Podobné problémy sa dajú ľahko vyriešiť pomocou trigonometrického kruhu. Algoritmus vyhľadávania je veľmi jednoduchý:

1. Najprv nakreslite jednotkový kruh.
2. Potom si musíte všimnúť hodnotu funkcie oblúka argumentu pravej strany nerovnosti na oblúku kruhu.
3. Je potrebné nakresliť priamku prechádzajúcu hodnotou oblúkovej funkcie rovnobežne s osou x (OX).
4. Potom zostáva len vybrať oblúk kruhu, ktorý je množinou riešení goniometrickej nerovnosti.
5. Odpoveď napíšte v požadovanom tvare.

Analyzujme kroky riešenia na príklade nerovnosti sin x › 1/2. Na kruhu sú vyznačené body α a β – hodnoty

Body oblúka umiestnené nad α a β sú intervalom na riešenie danej nerovnosti.

Ak potrebujete vyriešiť príklad pre cos, potom bude oblúk odpovedí umiestnený symetricky k osi OX a nie OY. Rozdiel medzi intervalmi riešenia pre sin a cos môžete zvážiť v diagramoch nižšie v texte.

Grafické riešenia nerovností tangens a kotangens sa budú líšiť od sínusových aj kosínusových. Je to spôsobené vlastnosťami funkcií.

Arkustangens a arkotangens sú dotyčnice k trigonometrickej kružnici a minimálna kladná perióda pre obe funkcie je π. Aby ste mohli rýchlo a správne použiť druhú metódu, musíte si zapamätať, na ktorej osi sú vynesené hodnoty sin, cos, tg a ctg.

Tangenta dotyčnica prebieha rovnobežne s osou OY. Ak nanesieme hodnotu arctg a na jednotkovú kružnicu, potom sa druhý požadovaný bod bude nachádzať v diagonálnej štvrtine. rohy

Sú to prerušovacie body funkcie, pretože graf k nim má tendenciu, ale nikdy ich nedosiahne.

V prípade kotangens prebieha dotyčnica rovnobežne s osou OX a funkcia je prerušená v bodoch π a 2π.

Komplexné trigonometrické nerovnosti

Ak argument funkcie nerovnosti nie je reprezentovaný len premennou, ale celým výrazom obsahujúcim neznámu, potom hovoríme o komplexnej nerovnosti. Priebeh a poradie jeho riešenia sú trochu odlišné od vyššie opísaných metód. Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie nasledujúcej nerovnosti:

Grafické riešenie umožňuje konštrukciu obyčajnej sínusoidy y = sin x pre ľubovoľne zvolené hodnoty x. Vypočítajme tabuľku so súradnicami pre referenčné body grafu:

Výsledkom by mala byť pekná krivka.

Pre uľahčenie hľadania riešenia nahrádzame argument komplexnej funkcie