V matematike sa každá zbierka čísel organizovaných nejakým spôsobom, ktoré nasledujú za sebou, nazýva postupnosť. Zo všetkých existujúcich postupností čísel sa rozlišujú dva zaujímavé prípady: algebraické a geometrické postupnosti.

Čo je to aritmetická progresia?

Hneď by sa malo povedať, že algebraická progresia sa často nazýva aritmetika, pretože jej vlastnosti študuje odvetvie matematiky - aritmetika.

Táto postupnosť je postupnosť čísel, v ktorej sa každý ďalší člen líši od predchádzajúceho o nejaké konštantné číslo. Nazýva sa to rozdiel algebraickej progresie. Pre jednoznačnosť ho označujeme latinským písmenom d.

Príklad takejto postupnosti môže byť nasledovný: 3, 5, 7, 9, 11 ..., tu vidíte, že číslo 5 je väčšie ako 3 x 2, 7 je tiež väčšie ako 5 x 2 atď. na. Takže v uvedenom príklade d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Čo sú aritmetické postupnosti?

Povaha týchto usporiadaných postupností čísel je do značnej miery určená znamienkom čísla d. Existujú nasledujúce typy algebraických postupností:

• zvýšenie, keď je d kladné (d>0);
• konštantná, keď d = 0;
• klesá, keď je d záporné (d<0).

Príklad v predchádzajúcom odseku ukazuje rastúci priebeh. Príkladom klesajúcej postupnosti je nasledujúca postupnosť čísel: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Konštantná postupnosť, ako vyplýva z jej definície, je súbor rovnakých čísel.

n-tý člen postupu

Vzhľadom na to, že každé nasledujúce číslo v uvažovanej postupnosti sa od predchádzajúceho líši konštantou d, možno ľahko určiť jeho n-tý člen. K tomu potrebujete poznať nielen d, ale aj 1 – prvý člen progresie. Pomocou rekurzívneho prístupu je možné získať vzorec algebraickej postupnosti na nájdenie n-tého člena. Vyzerá to takto: a n = a 1 + (n-1)*d. Tento vzorec je pomerne jednoduchý a môžete ho pochopiť na intuitívnej úrovni.

Tiež nie je ťažké ho používať. Napríklad v postupnosti zobrazenej vyššie (d=2, a 1 =3) definujme jej 35. člen. Podľa vzorca sa bude rovnať: a 35 \u003d 3 + (35-1) * 2 \u003d 71.

Vzorec pre sumu

Keď je daný aritmetický postup, súčet jeho prvých n členov je často sa vyskytujúcim problémom spolu s určením hodnoty n-tého člena. Vzorec pre súčet algebraickej progresie je napísaný takto: ∑ n 1 \u003d n * (a 1 + a n) / 2, tu ikona ∑ n 1 označuje, že sú sčítané 1. až n-tý člen.

Vyššie uvedený výraz možno získať použitím vlastností tej istej rekurzie, ale existuje jednoduchší spôsob, ako dokázať jej platnosť. Zapíšme si prvé 2 a posledné 2 členy tohto súčtu, vyjadrime ich číslami a 1 , a n a d, a dostaneme: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Teraz si všimnite, že ak pridáte prvý člen k poslednému, bude sa presne rovnať súčtu druhého a predposledného člena, teda a 1 + a n. Podobným spôsobom možno ukázať, že rovnaký súčet možno získať sčítaním tretieho a predposledného člena atď. V prípade dvojice čísel v postupnosti dostaneme n/2 súčtov, z ktorých každé sa rovná a 1 +a n . To znamená, že získame vyššie uvedený vzorec pre algebraickú postupnosť pre súčet: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Pre nepárový počet členov n sa získa podobný vzorec, ak sa dodrží vyššie uvedená úvaha. Nezabudnite pridať zostávajúci výraz, ktorý je v strede priebehu.

Ukážeme, ako použiť vyššie uvedený vzorec na príklade jednoduchej postupnosti, ktorá bola predstavená vyššie (3, 5, 7, 9, 11 ...). Napríklad musíte určiť súčet prvých 15 jej členov. Najprv si definujme 15 . Pomocou vzorca pre n-tý termín (pozri predchádzajúci odsek) dostaneme: a 15 \u003d a 1 + (n-1) * d \u003d 3 + (15-1) * 2 \u003d 31. Teraz môžete použiť vzorec pre súčet algebraickej postupnosti: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Je zaujímavé uviesť zaujímavý historický fakt. Vzorec pre súčet aritmetickej progresie prvýkrát získal Karl Gauss (slávny nemecký matematik 18. storočia). Keď mal len 10 rokov, učiteľ zadal úlohu nájsť súčet čísel od 1 do 100. Malý Gauss vraj tento problém vyriešil za pár sekúnd, pričom poznamenal, že sčítaním čísel po dvojiciach od začiatku resp. koniec sekvencie, vždy môžete dostať 101, a keďže je takýchto súm 50, rýchlo dal odpoveď: 50 * 101 = 5050.

Príklad riešenia problému

Na doplnenie témy algebraickej progresie uvedieme príklad riešenia ďalšieho kuriózneho problému, čím si upevníme pochopenie preberanej témy. Nech je daný nejaký postup, pre ktorý je známy rozdiel d = -3, ako aj jeho 35. člen a 35 = -114. Je potrebné nájsť 7. člen progresie a 7 .

Ako je zrejmé z podmienky úlohy, hodnota a 1 je neznáma, preto vzorec pre n-tý člen nemožno použiť priamo. Nepohodlná je tiež metóda rekurzie, ktorá sa ťažko implementuje manuálne a je tu vysoká pravdepodobnosť, že urobíte chybu. Postupujme takto: vypíšeme vzorce pre a 7 a a 35 , máme: a 7 \u003d a 1 + 6 * da a 35 \u003d a 1 + 34 * d. Odčítaním druhého výrazu od prvého výrazu dostaneme: a 7 - a 35 \u003d a 1 + 6 * d - a 1 - 34 * d. Odkiaľ nasleduje: a 7 \u003d a 35 - 28 * d. Zostáva nahradiť známe údaje zo stavu problému a zapísať odpoveď: a 7 \u003d -114 - 28 * (-3) \u003d -30.

Geometrická progresia

Aby sme podrobnejšie odhalili tému článku, uvádzame stručný popis iného typu progresie - geometrického. V matematike sa tento názov chápe ako postupnosť čísel, v ktorej sa každý nasledujúci člen líši od predchádzajúceho nejakým faktorom. Tento faktor označujeme písmenom r. Nazýva sa menovateľom uvažovaného typu progresie. Príkladom tejto postupnosti čísel môže byť: 1, 5, 25, 125, ...

Ako je možné vidieť z vyššie uvedenej definície, algebraické a geometrické postupnosti sú svojou myšlienkou podobné. Rozdiel medzi nimi je v tom, že prvý sa mení pomalšie ako druhý.

Geometrická progresia môže byť tiež rastúca, konštantná a klesajúca. Jeho typ závisí od hodnoty menovateľa r: ak r>1, potom nastáva rastúca progresia, ak r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Vzorce geometrickej postupnosti

Podobne ako v prípade algebraickej, aj tu sú vzorce geometrickej postupnosti redukované na definíciu jej n-tého člena a súčet n členov. Nižšie sú uvedené tieto výrazy:

• a n = a 1 * r (n-1) - tento vzorec vyplýva z definície geometrickej progresie.
• ∑ n 1 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1). Je dôležité poznamenať, že ak r = 1, potom vyššie uvedený vzorec dáva neistotu, takže ho nemožno použiť. V tomto prípade sa súčet n členov bude rovnať jednoduchému súčinu a 1 *n.

Napríklad nájdime súčet iba 10 členov postupnosti 1, 5, 25, 125, ... Keď vieme, že a 1 = 1 a r = 5, dostaneme: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Výsledná hodnota je jasným príkladom toho, ako rýchlo rastie geometrická progresia.

Snáď prvou zmienkou o tomto postupe v histórii je legenda so šachovnicou, keď priateľ jedného sultána, ktorý ho naučil hrať šach, požiadal o obilie za jeho službu. Okrem toho by množstvo zŕn malo byť nasledovné: na prvú bunku šachovnice je potrebné dať jedno zrno, na druhé dvakrát toľko ako na prvé, na tretie 2 krát viac ako na druhé a tak ďalej. Sultán ochotne súhlasil s touto žiadosťou, ale nevedel, že bude musieť vysypať všetky koše svojej krajiny, aby dodržal slovo.

Niekto narába so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým pojmom zo sekcií vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca počítadla taxíkov (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „pochopiť podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.

Matematická postupnosť čísel

Je zvykom nazývať číselnú postupnosť radom čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadny ľubovoľný súbor čísel a čísel. Pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom pomocou jasne matematicky formulovateľnej závislosti. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.

a - hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, kde ordinál v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „narastajúca“.

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Hodnota zadaného člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu nejakého ľubovoľného člena a n aritmetickej progresie. Môžete to urobiť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetického postupu, od prvého po požadovaný. Tento spôsob však nie je vždy prijateľný, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového alebo osemmiliónového členu. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifický aritmetický postup však možno skúmať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti možno určiť ako súčet prvého člena postupnosti s rozdielom postupnosti vynásobený číslom požadovaného člena mínus jedna .

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného člena

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen postupnosti je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: je potrebné nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného člena použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tejto metódy výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet treba nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého člena, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Vyriešme napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

V úlohe je potrebné určiť súčet členov radu od 56 do 101.

Riešenie. Na určenie súčtu progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Takže súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku - taxametra (taxi car meter). Zoberme si taký príklad.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazd 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v nákladoch na pristátie.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo je počet prejdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Rozdiel v postupe d = 22 p.

číslo, ktoré nás zaujíma - hodnota (27 + 1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od svietidla. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných odvetviach matematiky.

Iný druh číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia je charakterizovaná veľkou rýchlosťou zmeny v porovnaní s aritmetickou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne často, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja exponenciálne.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrický graf nakreslí trochu iný obrázok:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. termín postupu

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti vydelenému menovateľom zníženým o jednu:

Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:

Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

IV Jakovlev | Materiály z matematiky | MathUs.ru

Aritmetický postup

Aritmetický postup je špeciálny druh postupnosti. Preto pred definovaním aritmetickej (a potom geometrickej) progresie musíme stručne diskutovať o dôležitom koncepte číselnej postupnosti.

Následná sekvencia

Predstavte si zariadenie, na ktorého obrazovke sa postupne zobrazujú niektoré čísla. Povedzme 2; 7; 13; jeden; 6; 0; 3; : : : Takáto množina čísel je len príkladom postupnosti.

Definícia. Číselná postupnosť je množina čísel, v ktorej možno každému číslu priradiť jedinečné číslo (to znamená dať do súladu s jedným prirodzeným číslom)1. Číslo s číslom n sa nazýva n-tý člen postupnosti.

Takže vo vyššie uvedenom príklade má prvé číslo číslo 2, čo je prvý člen postupnosti, ktorý možno označiť a1 ; číslo päť má číslo 6, čo je piaty člen postupnosti, ktorý možno označiť a5 . Vo všeobecnosti je n-tý člen sekvencie označený a (alebo bn, cn, atď.).

Veľmi výhodná je situácia, keď n-tý člen postupnosti môže byť špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec an = 2n 3 určuje postupnosť: 1; jeden; 3; 5; 7; : : : Vzorec an = (1)n definuje postupnosť: 1; jeden; jeden; jeden; : : :

Nie každá množina čísel je postupnosť. Takže segment nie je sekvencia; obsahuje ¾príliš veľa¿ čísel na prečíslovanie. Množina R všetkých reálnych čísel tiež nie je postupnosť. Tieto skutočnosti sú dokázané v priebehu matematickej analýzy.

Aritmetická postupnosť: základné definície

Teraz sme pripravení definovať aritmetickú progresiu.

Definícia. Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej sa každý člen (počnúc druhým) rovná súčtu predchádzajúceho člena a nejakého pevného čísla (nazývaného rozdiel aritmetického postupu).

Napríklad sekvencia 2; 5; osem; jedenásť; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 2 a rozdielom 3. Sekvencia 7; 2; 3; osem; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 7 a rozdielom 5. Sekvencia 3; 3; 3; : : : je aritmetický postup s nulovým rozdielom.

Ekvivalentná definícia: Postupnosť an sa nazýva aritmetická progresia, ak rozdiel an+1 an je konštantná hodnota (nezávislá od n).

Aritmetická progresia sa nazýva rastúca, ak je jej rozdiel kladný, a klesajúca, ak je jej rozdiel záporný.

1 A tu je stručnejšia definícia: postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Napríklad postupnosť reálnych čísel je funkcia f: N! R.

V predvolenom nastavení sa postupnosti považujú za nekonečné, to znamená, že obsahujú nekonečný počet čísel. Ale nikto sa neobťažuje uvažovať aj o konečných postupnostiach; v skutočnosti môže byť každá konečná množina čísel nazývaná konečnou postupnosťou. Napríklad konečná sekvencia 1; 2; 3; štyri; 5 pozostáva z piatich čísel.

Vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti

Je ľahké pochopiť, že aritmetický postup je úplne určený dvoma číslami: prvým členom a rozdielom. Preto vyvstáva otázka: ako, keď poznáme prvý člen a rozdiel, nájsť ľubovoľný člen aritmetickej progresie?

Nie je ťažké získať požadovaný vzorec pre n-tý člen aritmetickej progresie. Nechajte

Úloha 1. V aritmetickom postupe 2; 5; osem; jedenásť; : : : nájdite vzorec n-tého členu a vypočítajte stý člen.

Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Vlastnosť a znak aritmetického postupu

vlastnosť aritmetickej progresie. V aritmetickej postupnosti a pre ľubovoľné

Inými slovami, každý člen aritmetickej postupnosti (počnúc od druhého) je aritmetickým priemerom susedných členov.

čo sa vyžadovalo.

Všeobecnejšie povedané, aritmetický postup a spĺňa rovnosť

a n = a n k+ a n+k

pre ľubovoľné n > 2 a ľubovoľné prirodzené k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ukazuje sa, že vzorec (2) je nielen nevyhnutnou, ale aj postačujúcou podmienkou, aby postupnosť bola aritmetickou progresiou.

Znak aritmetického postupu. Ak platí rovnosť (2) pre všetky n > 2, potom postupnosť an je aritmetická postupnosť.

Dôkaz. Prepíšme vzorec (2) takto:

a na n 1= a n+1a n:

To ukazuje, že rozdiel an+1 an nezávisí od n, a to znamená, že postupnosť an je aritmetická progresia.

Vlastnosť a znamienko aritmetickej progresie možno formulovať ako jeden výrok; pre pohodlie to urobíme pre tri čísla (toto je situácia, ktorá sa často vyskytuje pri problémoch).

Charakterizácia aritmetickej progresie. Tri čísla a, b, c tvoria aritmetickú postupnosť práve vtedy, ak 2b = a + c.

Úloha 2. (Moskva štátna univerzita, Ekonomická fakulta, 2007) Tri čísla 8x, 3x2 a 4 v zadanom poradí tvoria klesajúcu aritmetickú postupnosť. Nájdite x a napíšte rozdiel tohto postupu.

Riešenie. Podľa vlastnosti aritmetického postupu máme:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

Ak x = 1, potom sa získa klesajúca progresia 8, 2, 4 s rozdielom 6. Ak x = 5, potom sa získa rastúca progresia 40, 22, 4; tento prípad nefunguje.

Odpoveď: x = 1, rozdiel je 6.

Súčet prvých n členov aritmetickej progresie

Legenda hovorí, že raz učiteľ povedal deťom, aby našli súčet čísel od 1 do 100 a posadili sa, aby si potichu prečítali noviny. Jeden chlapec však v priebehu niekoľkých minút povedal, že problém vyriešil. Bol to 9-ročný Carl Friedrich Gauss, neskôr jeden z najväčších matematikov histórie.

Nápad malého Gaussa bol takýto. Nechaj

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Napíšme túto sumu v opačnom poradí:

S = 100 + 99 + 98 + : : + 3 + 2 + 1;

a pridajte tieto dva vzorce:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Každý výraz v zátvorkách sa rovná 101 a takýchto výrazov je celkovo 100. Preto

2S = 101 100 = 10 100;

Túto myšlienku použijeme na odvodenie súčtového vzorca

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Užitočnú modifikáciu vzorca (3) získame dosadením vzorca pre n-tý člen an = a1 + (n 1)d do neho:

Úloha 3. Nájdite súčet všetkých kladných trojciferných čísel deliteľných 13.

Riešenie. Trojciferné čísla, ktoré sú násobkami 13, tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom 104 a rozdielom 13; N-tý termín tohto postupu je:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Poďme zistiť, koľko členov obsahuje naša progresia. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

V našej progresii je teda 69 členov. Podľa vzorca (4) nájdeme požadované množstvo:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37 674: 2

Aritmetický postup pomenovať postupnosť čísel (členov postupnosti)

V ktorom sa každý nasledujúci člen líši od predchádzajúceho oceľovým členom, ktorý sa nazýva aj krokový alebo postupový rozdiel.

Takže nastavením kroku progresie a jej prvého členu môžete pomocou vzorca nájsť ktorýkoľvek z jeho prvkov

Vlastnosti aritmetického postupu

1) Každý člen aritmetického postupu, počnúc druhým číslom, je aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho člena postupu

Opak je tiež pravdou. Ak sa aritmetický priemer susedných nepárnych (párnych) členov postupu rovná prvku, ktorý stojí medzi nimi, potom je táto postupnosť čísel aritmetickým postupom. Týmto tvrdením je veľmi ľahké skontrolovať akúkoľvek sekvenciu.

Tiež vďaka vlastnosti aritmetickej progresie možno vyššie uvedený vzorec zovšeobecniť na nasledujúce

Dá sa to ľahko overiť, ak výrazy napíšeme napravo od znamienka rovnosti

V praxi sa často používa na zjednodušenie výpočtov v problémoch.

2) Súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa vypočíta podľa vzorca

Dobre si zapamätajte vzorec pre súčet aritmetickej progresie, je nevyhnutný pri výpočtoch a je celkom bežný v jednoduchých životných situáciách.

3) Ak potrebujete nájsť nie celý súčet, ale časť postupnosti od jej k-tého člena, bude sa vám hodiť nasledujúci súčtový vzorec

4) Je praktické nájsť súčet n členov aritmetickej postupnosti od k-tého čísla. Ak to chcete urobiť, použite vzorec

Tu teoretická látka končí a prechádzame k riešeniu problémov, ktoré sú v praxi bežné.

Príklad 1. Nájdite štyridsiaty člen aritmetickej postupnosti 4;7;...

Riešenie:

Podľa stavu máme

Definujte krok postupu

Podľa známeho vzorca nájdeme štyridsiaty člen progresie

Príklad2. Aritmetický postup je daný jeho tretím a siedmym členom. Nájdite prvý člen postupu a súčet desiatich.

Riešenie:

Dané prvky postupnosti zapisujeme podľa vzorcov

Odčítame prvú rovnicu od druhej rovnice, ako výsledok nájdeme krok postupu

Nájdená hodnota sa dosadí do ktorejkoľvek z rovníc, aby sa našiel prvý člen aritmetickej progresie

Vypočítajte súčet prvých desiatich členov progresie

Bez použitia zložitých výpočtov sme našli všetky požadované hodnoty.

Príklad 3. Aritmetický postup je daný menovateľom a jedným z jeho členov. Nájdite prvý člen postupnosti, súčet jeho 50 termínov od 50 a súčet prvých 100.

Riešenie:

Napíšme vzorec pre stý prvok postupu

a nájsť prvé

Na základe prvého nájdeme 50. termín progresie

Nájdenie súčtu časti progresie

a súčet prvých 100

Súčet postupu je 250.

Príklad 4

Nájdite počet členov aritmetického postupu, ak:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Riešenie:

Rovnice napíšeme z hľadiska prvého člena a kroku postupu a definujeme ich

Získané hodnoty dosadíme do súčtového vzorca, aby sme určili počet členov v súčte

Vykonávanie zjednodušení

a vyriešiť kvadratickú rovnicu

Z dvoch zistených hodnôt je pre stav problému vhodné iba číslo 8. Súčet prvých ôsmich členov progresie je teda 111.

Príklad 5

vyriešiť rovnicu

1+3+5+...+x=307.

Riešenie: Táto rovnica je súčtom aritmetickej progresie. Vypíšeme jeho prvý termín a nájdeme rozdiel v progresii