U matematici se svaka zbirka brojeva organiziranih na neki način koji slijede jedan za drugim naziva nizom. Od svih postojećih nizova brojeva razlikuju se dva zanimljiva slučaja: algebarska i geometrijska progresija.

Što je aritmetička progresija?

Treba odmah reći da se algebarska progresija često naziva aritmetikom, budući da njezina svojstva proučava grana matematike - aritmetika.

Ova progresija je niz brojeva u kojem se svaki sljedeći član razlikuje od prethodnog za neki stalni broj. Zove se razlika algebarske progresije. Definicije radi, označavamo ga latiničnim slovom d.

Primjer takvog niza može biti sljedeći: 3, 5, 7, 9, 11 ..., ovdje možete vidjeti da je broj 5 veći od 3 za 2, 7 je također veći od 5 za 2, i tako na. Dakle, u prikazanom primjeru, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Što su aritmetičke progresije?

Priroda ovih uređenih nizova brojeva uvelike je određena predznakom broja d. Postoje sljedeće vrste algebarskih progresija:

• raste kada je d pozitivan (d>0);
• konstanta kada je d = 0;
• opadajući kada je d negativan (d<0).

Primjer u prethodnom odlomku pokazuje rastuću progresiju. Primjer opadajućeg niza je sljedeći niz brojeva: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Konstantna progresija, kao što proizlazi iz njene definicije, je skup identičnih brojeva.

n-ti član progresije

Zbog činjenice da se svaki sljedeći broj u progresiji koja se razmatra razlikuje za konstantu d od prethodnog, njen n-ti član može se lako odrediti. Da biste to učinili, morate znati ne samo d, već i 1 - prvi član progresije. Koristeći rekurzivni pristup, može se dobiti algebarska progresijska formula za pronalaženje n-tog člana. Izgleda ovako: a n = a 1 + (n-1)*d. Ova formula je prilično jednostavna i možete je razumjeti na intuitivnoj razini.

Također ga nije teško koristiti. Na primjer, u gore prikazanoj progresiji (d=2, a 1 =3), definirajmo njen 35. član. Prema formuli, to će biti jednako: a 35 \u003d 3 + (35-1) * 2 \u003d 71.

Formula za zbroj

Kada je dana aritmetička progresija, zbroj njegovih prvih n članova je problem koji se često pojavljuje, zajedno s određivanjem vrijednosti n-tog člana. Formula za zbroj algebarske progresije napisana je na sljedeći način: ∑ n 1 \u003d n * (a 1 + a n) / 2, ovdje ikona ∑ n 1 označava da su članovi od 1. do n-ti zbrojeni.

Gornji izraz može se dobiti pribjegavanjem svojstvima iste rekurzije, ali postoji lakši način da se dokaže njegova valjanost. Zapišimo prva 2 i posljednja 2 člana ovog zbroja izrazivši ih brojevima a 1 , a n i d i dobit ćemo: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Sada imajte na umu da ako dodate prvi član posljednjem, tada će on biti točno jednak zbroju drugog i pretposljednjeg člana, to jest, a 1 + a n. Na sličan način se može pokazati da se isti zbroj može dobiti zbrajanjem trećeg i pretposljednjeg člana, i tako dalje. U slučaju para brojeva u nizu, dobivamo n/2 zbroja od kojih je svaki jednak a 1 +a n . To jest, dobivamo gornju formulu za algebarsku progresiju za zbroj: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Za nespareni broj članova n, slična formula se dobiva ako se slijedi gornje razmišljanje. Samo ne zaboravite dodati preostali izraz, koji je u središtu progresije.

Pokazat ćemo kako koristiti gornju formulu na primjeru jednostavne progresije koja je gore predstavljena (3, 5, 7, 9, 11 ...). Na primjer, trebate odrediti zbroj prvih 15 njegovih članova. Prvo, definirajmo 15 . Koristeći formulu za n-ti član (vidi prethodni odlomak), dobivamo: a 15 \u003d a 1 + (n-1) * d \u003d 3 + (15-1) * 2 \u003d 31. Sada možete primijeniti formula za zbroj algebarske progresije: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Zanimljivo je navesti zanimljivu povijesnu činjenicu. Formulu za zbroj aritmetičke progresije prvi je dobio Karl Gauss (slavni njemački matematičar iz 18. stoljeća). Kad je imao samo 10 godina, učiteljica mu je postavila zadatak da pronađe zbroj brojeva od 1 do 100. Priča se da je mali Gauss riješio ovaj zadatak u nekoliko sekundi, napominjući da je zbrajanjem brojeva u parovima od početka i kraj niza, uvijek možete dobiti 101, a kako takvih zbrojeva ima 50, brzo je dao odgovor: 50 * 101 = 5050.

Primjer rješenja problema

Kao završetak teme algebarske progresije, dat ćemo primjer rješavanja još jednog zanimljivog problema, čime ćemo učvrstiti razumijevanje teme koja se razmatra. Neka je dana neka progresija za koju je poznata razlika d = -3, kao i njen 35. član a 35 = -114. Potrebno je pronaći 7. član progresije a 7 .

Kao što se može vidjeti iz uvjeta problema, vrijednost 1 je nepoznata, stoga se formula za n-ti član ne može izravno koristiti. Također, nezgodna je metoda rekurzije, koju je teško implementirati ručno, a velika je vjerojatnost da ćete pogriješiti. Nastavimo na sljedeći način: napišemo formule za a 7 i a 35 , imamo: a 7 \u003d a 1 + 6 * d i a 35 \u003d a 1 + 34 * d. Oduzimamo drugi izraz od prvog izraza, dobivamo: a 7 - a 35 \u003d a 1 + 6 * d - a 1 - 34 * d. Odakle slijedi: a 7 \u003d a 35 - 28 * d. Ostaje zamijeniti poznate podatke iz uvjeta problema i zapisati odgovor: a 7 \u003d -114 - 28 * (-3) \u003d -30.

Geometrijska progresija

Da bismo potpunije otkrili temu članka, dajemo kratak opis druge vrste progresije - geometrijske. U matematici se pod ovim nazivom podrazumijeva niz brojeva u kojem se svaki sljedeći član razlikuje od prethodnog po nekom faktoru. Ovaj faktor označavamo slovom r. Naziva se nazivnik vrste progresije koja se razmatra. Primjer ovog niza brojeva bio bi: 1, 5, 25, 125, ...

Kao što se može vidjeti iz gornje definicije, algebarske i geometrijske progresije slične su po svojoj zamisli. Razlika između njih je u tome što se prvi mijenja sporije od drugog.

Geometrijska progresija također može biti rastuća, konstantna i opadajuća. Njegov tip ovisi o vrijednosti nazivnika r: ako je r>1, tada postoji rastuća progresija, ako je r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Formule geometrijske progresije

Kao iu slučaju algebarske, formule geometrijske progresije svode se na definiciju njezina n-tog člana i zbroj n članova. Ispod su ovi izrazi:

• a n = a 1 * r (n-1) - ova formula proizlazi iz definicije geometrijske progresije.
• ∑ n 1 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1). Važno je napomenuti da ako je r = 1, gornja formula daje nesigurnost, pa se ne može koristiti. U ovom slučaju, zbroj n članova bit će jednak jednostavnom umnošku a 1 *n.

Na primjer, pronađimo zbroj samo 10 članova niza 1, 5, 25, 125, ... Znajući da je a 1 = 1 i r = 5, dobivamo: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Dobivena vrijednost jasan je primjer koliko brzo raste geometrijska progresija.

Možda je prvi spomen ove progresije u povijesti legenda sa šahovskom pločom, kada je prijatelj jednog sultana, nakon što ga je naučio igrati šah, tražio žito za njegovu službu. Štoviše, količina zrna trebala je biti sljedeća: na prvu ćeliju šahovske ploče potrebno je staviti jedno zrno, na drugu dvostruko više nego na prvu, na treću 2 puta više nego na drugu, a tako dalje. Sultan je dragovoljno pristao na ovaj zahtjev, ali nije znao da će morati isprazniti sve kante svoje zemlje kako bi održao svoju riječ.

Netko s oprezom tretira riječ "progresija", kao vrlo složen pojam iz dijelova više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksi šaltera (gdje i dalje ostaju). A razumjeti suštinu (a u matematici nema ništa važnije od "razumijevanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, analizirajući nekoliko elementarnih koncepata.

Matematički niz brojeva

Uobičajeno je da se numerički niz naziva niz brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.

i 1 je prvi član niza;

i 2 je drugi član niza;

i 7 je sedmi član niza;

i n je n-ti član niza;

Međutim, ne zanima nas proizvoljan skup brojki i brojeva. Usredotočit ćemo se na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem ovisnošću koja se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.

a - vrijednost člana numeričkog niza;

n je njegov serijski broj;

f(n) je funkcija gdje je ordinal u numeričkom nizu n argument.

Definicija

Aritmetičkom progresijom obično se naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:

a n - vrijednost tekućeg člana aritmetičke progresije;

a n+1 - formula sljedećeg broja;

d - razlika (određeni broj).

Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član niza koji se razmatra biti veći od prethodnog, a takva aritmetička progresija će biti rastuća.

Na donjem grafikonu lako je vidjeti zašto se niz brojeva naziva "rastući".

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vrijednost navedenog člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost nekog proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To možete učiniti tako da uzastopno izračunate vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, od prvog do željenog. Međutim, ovaj način nije uvijek prihvatljiv ako je, primjerice, potrebno pronaći vrijednost pettisućitog ili osmomilijuntog člana. Tradicionalni izračun će trajati dugo. Međutim, određena aritmetička progresija može se istražiti pomoću određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnožen s brojem željenog člana, minus jedan .

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.

Primjer izračuna vrijednosti zadanog člana

Riješimo sljedeći problem pronalaženja vrijednosti n-tog člana aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 članova

Rješenje: za određivanje vrijednosti zadanog člana koristimo se formulom:

a(n) = a1 + d(n-1)

Zamjenom podataka iz izjave problema u izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. član niza jednak je 258,6.

Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje ne zauzima više od 2 retka.

Zbroj zadanog broja članova

Vrlo često, u određenom aritmetičkom nizu, potrebno je odrediti zbroj vrijednosti nekih njegovih segmenata. Također ne treba izračunavati vrijednosti svakog izraza i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je broj članova čiji se zbroj treba pronaći mali. U drugim slučajevima prikladnije je koristiti sljedeću formulu.

Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnoženom s brojem člana n i podijeljenom s dva. Ako u formuli vrijednost n-tog člana zamijenimo izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:

Primjer izračuna

Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

U zadatku se traži da se odredi zbroj članova niza od 56 do 101.

Riješenje. Upotrijebimo formulu za određivanje zbroja progresije:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Prvo odredimo zbroj vrijednosti 101 člana progresije zamjenom zadanih uvjeta našeg problema u formulu:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Očito, da bi se saznao zbroj članova progresije od 56. do 101. potrebno je od S 101 oduzeti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer je:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka vratimo se na primjer aritmetičkog niza danog u prvom odlomku – taksimetar (taksimetar). Razmotrimo takav primjer.

Ulazak u taksi (koji uključuje 3 km) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rublja / km. Dužina putovanja 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.

1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 = 27 km.

2. Daljnji izračun nije ništa drugo nego raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.

Članski broj je broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je zbroj.

Prvi izraz u ovom problemu bit će jednak a 1 = 50 rubalja.

Razlika progresije d = 22 p.

broj koji nas zanima - vrijednost (27 + 1)-tog člana aritmetičke progresije - očitanje brojila na kraju 27. kilometra - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje temelje se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji je duljina orbite geometrijski ovisna o udaljenosti nebeskog tijela od svjetiljke. Osim toga, različiti numerički nizovi uspješno se koriste u statistici i drugim primijenjenim granama matematike.

Druga vrsta niza brojeva je geometrijska

Geometrijska progresija karakterizirana je velikom brzinom promjene u usporedbi s aritmetičkom. Nije slučajno da se u politici, sociologiji, medicini često, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tijekom epidemije, kaže da se proces razvija eksponencijalno.

N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je 2, odnosno:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrijednost tekućeg člana geometrijske progresije;

b n+1 - formula sljedećeg člana geometrijske progresije;

q je nazivnik geometrijske progresije (konstantan broj).

Ako je grafikon aritmetičke progresije ravna linija, tada geometrijski crta nešto drugačiju sliku:

Kao i u slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na potenciju n umanjenu za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađite 5. član progresije

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Zbroj zadanog broja članova također se izračunava posebnom formulom. Zbroj prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen s nazivnikom umanjenim za jedan:

Ako se b n zamijeni pomoću gore opisane formule, vrijednost zbroja prvih n članova razmatranog niza brojeva poprimit će oblik:

Primjer. Geometrijska progresija počinje s prvim članom jednakim 1. Nazivnik je postavljen na 3. Nađimo zbroj prvih osam članova.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

IV Jakovljev | Materijali iz matematike | MathUs.ru

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je posebna vrsta niza. Stoga, prije definiranja aritmetičke (a potom i geometrijske) progresije, moramo ukratko raspraviti važan koncept niza brojeva.

Naknadna slijed

Zamislite uređaj na čijem se ekranu jedan za drugim prikazuju neki brojevi. Recimo 2; 7; 13; jedan; 6; 0; 3; : : : Takav skup brojeva samo je primjer niza.

Definicija. Numerički niz je skup brojeva u kojem se svakom broju može dodijeliti jedinstveni broj (odnosno dovesti u korespondenciju s jednim prirodnim brojem)1. Broj s brojem n naziva se n-ti član niza.

Dakle, u gornjem primjeru, prvi broj ima broj 2, koji je prvi član niza, koji se može označiti s a1 ; broj pet ima broj 6 koji je peti član niza, koji se može označiti a5 . Općenito, n-ti član niza označava se s an (ili bn , cn itd.).

Vrlo zgodna situacija je kada se n-ti član niza može odrediti nekom formulom. Na primjer, formula an = 2n 3 specificira niz: 1; jedan; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n definira niz: 1; jedan; jedan; jedan; : : :

Nije svaki skup brojeva niz. Dakle, segment nije niz; sadrži ¾previše¿ brojeva za ponovno numeriranje. Skup R svih realnih brojeva također nije niz. Ove činjenice se dokazuju tijekom matematičke analize.

Aritmetička progresija: osnovne definicije

Sada smo spremni definirati aritmetičku progresiju.

Definicija. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član (počevši od drugog) jednak zbroju prethodnog člana i nekog fiksnog broja (koji se naziva razlika aritmetičke progresije).

Na primjer, niz 2; 5; osam; jedanaest; : : : je aritmetička progresija s prvim članom 2 i razlikom 3. Niz 7; 2; 3; osam; : : : je aritmetička progresija s prvim članom 7 i razlikom 5. Niz 3; 3; 3; : : : je aritmetička progresija s nula razlike.

Ekvivalentna definicija: Niz an naziva se aritmetička progresija ako je razlika an+1 an konstantna vrijednost (ne ovisi o n).

Kaže se da je aritmetička progresija rastuća ako je razlika pozitivna, a opadajuća ako je razlika negativna.

1 Evo još sažetije definicije: niz je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva. Na primjer, niz realnih brojeva je funkcija f: N! R.

Prema zadanim postavkama, nizovi se smatraju beskonačnima, odnosno sadrže beskonačan broj brojeva. Ali nitko se ne zamara razmatranjem i konačnih nizova; zapravo, svaki konačni skup brojeva može se nazvati konačnim nizom. Na primjer, konačna sekvenca 1; 2; 3; četiri; 5 se sastoji od pet brojeva.

Formula n-tog člana aritmetičke progresije

Lako je razumjeti da je aritmetička progresija u potpunosti određena dvama brojevima: prvim članom i razlikom. Stoga se postavlja pitanje: kako, znajući prvi član i razliku, pronaći proizvoljan član aritmetičke progresije?

Nije teško dobiti željenu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Neka

Zadatak 1. U aritmetičkoj progresiji 2; 5; osam; jedanaest; : : : pronađite formulu n-tog člana i izračunajte stoti član.

Riješenje. Prema formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Svojstvo i predznak aritmetičke progresije

svojstvo aritmetičke progresije. U aritmetičkoj progresiji za bilo koji

Drugim riječima, svaki član aritmetičke progresije (počevši od drugog) je aritmetička sredina susjednih članova.

što je i bilo potrebno.

Općenitije, aritmetička progresija an zadovoljava jednakost

a n = a n k+ a n+k

za svaki n > 2 i svaki prirodni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Pokazuje se da formula (2) nije samo nužan nego i dovoljan uvjet da niz bude aritmetička progresija.

Predznak aritmetičke progresije. Ako jednakost (2) vrijedi za sve n > 2, tada je niz an aritmetička progresija.

Dokaz. Prepišimo formulu (2) na sljedeći način:

a na n 1= a n+1a n:

To pokazuje da razlika an+1 an ne ovisi o n, a to samo znači da je niz an aritmetička progresija.

Svojstvo i predznak aritmetičke progresije mogu se formulirati kao jedna izjava; zbog praktičnosti, učinit ćemo to za tri broja (to je situacija koja se često događa u problemima).

Karakterizacija aritmetičke progresije. Tri broja a, b, c tvore aritmetičku progresiju ako i samo ako je 2b = a + c.

Zadatak 2. (Moskovsko državno sveučilište, Ekonomski fakultet, 2007.) Tri broja 8x, 3 x2 i 4 navedenim redom tvore padajuću aritmetičku progresiju. Nađi x i napiši razliku te progresije.

Riješenje. Po svojstvu aritmetičke progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Ako je x = 1, tada se dobiva opadajuća progresija od 8, 2, 4 s razlikom od 6. Ako je x = 5, tada se dobiva rastuća progresija od 40, 22, 4; ovaj slučaj ne radi.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije

Legenda kaže da je jednom učitelj rekao djeci da nađu zbroj brojeva od 1 do 100 i sjeo da tiho čita novine. Međutim, za nekoliko minuta jedan dječak je rekao da je riješio problem. Bio je to 9-godišnji Carl Friedrich Gauss, kasnije jedan od najvećih matematičara u povijesti.

Ideja malog Gaussa je bila ova. Neka

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapišimo ovaj zbroj obrnutim redom:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

i dodajte ove dvije formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Svaki član u zagradama jednak je 101, a takvih članova ima ukupno 100. Dakle

2S = 101 100 = 10100;

Ovu ideju koristimo za izvođenje formule zbroja

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Korisna modifikacija formule (3) dobiva se zamjenom formule za n-ti član an = a1 + (n 1)d u nju:

Zadatak 3. Odredi zbroj svih pozitivnih troznamenkastih brojeva djeljivih s 13.

Riješenje. Troznamenkasti brojevi koji su višekratnici broja 13 tvore aritmetičku progresiju s prvim članom 104 i razlikom 13; n-ti član ove progresije je:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Saznajmo koliko članova sadrži naša progresija. Da bismo to učinili, rješavamo nejednadžbu:

an 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Dakle, u našem nizu ima 69 članova. Prema formuli (4) nalazimo traženi iznos:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (članovi progresije)

U kojem se svaki sljedeći termin razlikuje od prethodnog čeličnim pojmom, koji se također zove razlika u koraku ili progresiji.

Dakle, postavljanjem koraka progresije i njenog prvog člana, možete pronaći bilo koji od njenih elemenata pomoću formule

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije.

Vrijedi i obrnuto. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu koji stoji između njih, tada je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Ovom tvrdnjom vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također pomoću svojstva aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće

To je lako provjeriti ako izraze napišemo desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se formulom

Zapamtite dobro formulu za zbroj aritmetičke progresije, ona je neizostavna u izračunima i prilično je česta u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbroj, već dio niza počevši od njegovog k -tog člana, tada će vam dobro doći sljedeća formula za zbroj

4) Od praktičnog je interesa pronaći zbroj n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, upotrijebite formulu

Tu završava teorijsko gradivo i prelazimo na rješavanje problema uobičajenih u praksi.

Primjer 1. Nađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Riješenje:

Prema stanju, imamo

Definirajte korak napredovanja

Prema poznatoj formuli nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer2. Aritmetičku progresiju daju njen treći i sedmi član. Nađi prvi član progresije i zbroj desetica.

Riješenje:

Zadane elemente progresije zapisujemo prema formulama

Oduzimamo prvu jednadžbu od druge jednadžbe, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađena vrijednost zamjenjuje se u bilo koju od jednadžbi kako bi se pronašao prvi član aritmetičke progresije

Izračunajte zbroj prvih deset članova progresije

Bez primjene složenih izračuna pronašli smo sve tražene vrijednosti.

Primjer 3. Aritmetička progresija dana je nazivnikom i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbroj njegovih 50 članova počevši od 50 i zbroj prvih 100.

Riješenje:

Napišimo formulu za stoti element progresije

i pronaći prvi

Na temelju prvog nalazimo 50. član progresije

Pronalaženje zbroja dijela progresije

i zbroj prvih 100

Zbroj progresije je 250.

Primjer 4

Odredite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Riješenje:

Jednadžbe napišemo u terminima prvog člana i koraka progresije te ih definiramo

Dobivene vrijednosti zamjenjujemo u formulu zbroja kako bismo odredili broj članova u zbroju

Izrada pojednostavljenja

i riješiti kvadratnu jednadžbu

Od dvije pronađene vrijednosti, samo je broj 8 prikladan za stanje problema. Stoga je zbroj prvih osam članova progresije 111.

Primjer 5

riješiti jednadžbu

1+3+5+...+x=307.

Rješenje: Ova jednadžba je zbroj aritmetičke progresije. Ispisujemo njegov prvi član i nalazimo razliku progresije