Úlohy pre klasickú definíciu pravdepodobnosti. Základy teórie pravdepodobnosti pre poistných matematikov

Pôvodne bola teória pravdepodobnosti len zbierkou informácií a empirických pozorovaní z hry kocky, z ktorej sa stala solídna veda. Fermat a Pascal boli prví, ktorí tomu dali matematický rámec.

Od úvah o večnom k ​​teórii pravdepodobnosti

Dvaja jednotlivci, ktorým teória pravdepodobnosti vďačí za mnohé základné vzorce, Blaise Pascal a Thomas Bayes, sú známi ako hlboko veriaci ľudia, druhý z nich bol presbyteriánskym kazateľom. Zdá sa, že túžba týchto dvoch vedcov dokázať mylnú predstavu o istej Fortune, darovať šťastie jej obľúbencom, dala impulz výskumu v tejto oblasti. Veď v skutočnosti je každá hazardná hra so svojimi výhrami a prehrami len symfóniou matematických princípov.

Vďaka nadšeniu Chevalier de Mere, ktorý bol rovnako hazardným hráčom a človekom, ktorému nebola ľahostajná veda, bol Pascal nútený nájsť spôsob, ako vypočítať pravdepodobnosť. De Mere zaujala táto otázka: „Koľkokrát je potrebné hodiť dve kocky v pároch, aby pravdepodobnosť získania 12 bodov presiahla 50 %?“. Druhá otázka, ktorá pána mimoriadne zaujala: "Ako rozdeliť stávku medzi účastníkov nedokončenej hry?" Pascal samozrejme úspešne odpovedal na obe otázky de Mereho, ktorý sa stal nevedomým iniciátorom rozvoja teórie pravdepodobnosti. Je zaujímavé, že osoba de Mere zostala známa v tejto oblasti, a nie v literatúre.

Predtým sa žiadny matematik ešte nepokúsil vypočítať pravdepodobnosti udalostí, pretože sa verilo, že ide len o hádanie. Blaise Pascal dal prvú definíciu pravdepodobnosti udalosti a ukázal, že ide o špecifický údaj, ktorý možno odôvodniť matematicky. Teória pravdepodobnosti sa stala základom štatistiky a je široko používaná v modernej vede.

Čo je náhodnosť

Ak vezmeme do úvahy test, ktorý sa môže opakovať nekonečne veľakrát, potom môžeme definovať náhodnú udalosť. Toto je jeden z možných výsledkov tejto skúsenosti.

Skúsenosť je vykonávanie konkrétnych akcií v konštantných podmienkach.

Aby bolo možné pracovať s výsledkami skúseností, udalosti sa zvyčajne označujú písmenami A, B, C, D, E ...

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti

Aby sme mohli prejsť k matematickej časti pravdepodobnosti, je potrebné definovať všetky jej zložky.

Pravdepodobnosť udalosti je numerická miera možnosti výskytu nejakej udalosti (A alebo B) v dôsledku skúsenosti. Pravdepodobnosť sa označuje ako P(A) alebo P(B).

Teória pravdepodobnosti je:

• spoľahlivý udalosť sa zaručene vyskytne ako výsledok experimentu Р(Ω) = 1;
• nemožné udalosť sa nikdy nemôže stať Р(Ø) = 0;
• náhodný udalosť leží medzi istou a nemožnou, to znamená, že pravdepodobnosť jej výskytu je možná, ale nie je zaručená (pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vždy v rámci 0≤P(A)≤1).

Vzťahy medzi udalosťami

Jedna aj súčet udalostí A + B sa berú do úvahy, keď sa udalosť započítava do implementácie aspoň jednej zo zložiek, A alebo B, alebo oboch - A aj B.

Vo vzájomnom vzťahu môžu byť udalosti:

• Rovnako možné.
• kompatibilné.
• Nekompatibilné.
• Opačný (vzájomne sa vylučujúci).
• Závislý.

Ak sa dve udalosti môžu stať s rovnakou pravdepodobnosťou, tak potom rovnako možné.

Ak výskyt udalosti A neruší pravdepodobnosť výskytu udalosti B, potom oni kompatibilné.

Ak udalosti A a B nikdy nenastanú v rovnakom čase v tom istom experimente, potom sa nazývajú nezlučiteľné. hod mincou - dobrý príklad: vzhľad chvostov automaticky znamená, že sa neobjavia hlavy.

Pravdepodobnosť súčtu takýchto nezlučiteľných udalostí pozostáva zo súčtu pravdepodobností každej z týchto udalostí:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ak výskyt jednej udalosti znemožňuje výskyt inej udalosti, potom sa nazývajú opačné. Potom je jeden z nich označený ako A a druhý - Ā (čítaj ako „nie A“). Výskyt udalosti A znamená, že Ā nenastala. Tieto dve udalosti tvoria celá skupina so súčtom pravdepodobností rovným 1.

Závislé udalosti sa vzájomne ovplyvňujú, navzájom sa znižujú alebo zvyšujú pravdepodobnosť.

Vzťahy medzi udalosťami. Príklady

Oveľa jednoduchšie je pochopiť princípy teórie pravdepodobnosti a kombinácie udalostí pomocou príkladov.

Experiment, ktorý sa uskutoční, je vytiahnuť loptičky z krabice a výsledkom každého experimentu je elementárny výsledok.

Podujatie je jedným z možné výsledky skúsenosti - červená guľa, modrá guľa, guľa s číslom šesť atď.

Test číslo 1. K dispozícii je 6 loptičiek, z ktorých tri sú modré s nepárnymi číslami a ďalšie tri sú červené s párnymi číslami.

Test číslo 2. Zúčastňuje sa 6 loptičiek modrej farby s číslami od jedna do šesť.

Na základe tohto príkladu môžeme pomenovať kombinácie:

• Spoľahlivé podujatie. V španielčine Č. 2, udalosť "získaj modrú loptičku" je spoľahlivá, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je 1, pretože všetky loptičky sú modré a nemôže chýbať. Zatiaľ čo udalosť „získaj loptu s číslom 1“ je náhodná.
• Nemožná udalosť. V španielčine 1 s modrými a červenými loptičkami je udalosť „získaj fialovú guľu“ nemožná, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je 0.
• Ekvivalentné udalosti. V španielčine Č. 1, udalosti „získaj loptu s číslom 2“ a „získaj loptu s číslom 3“ sú rovnako pravdepodobné a udalosti „získaj loptu s párnym číslom“ a „dostaň loptu s číslom 2“ “ majú rôzne pravdepodobnosti.
• Kompatibilné udalosti. Získanie šestky v procese hodu kockou dvakrát za sebou sú kompatibilné udalosti.
• Nekompatibilné udalosti. V tej istej španielčine Udalosti č. 1 „získaj červenú loptičku“ a „získaj loptičku s nepárnym číslom“ nemožno kombinovať v rovnakom zážitku.
• opačné udalosti. Väčšina ukážkový príklad Ide o hádzanie mincí, kedy je kreslenie hláv rovnaké ako nekreslenie chvostov a súčet ich pravdepodobností je vždy 1 (celá skupina).
• Závislé udalosti. Takže po španielsky Č. 1, môžete si dať za cieľ vytiahnuť červenú guľu dvakrát za sebou. Jeho extrahovanie alebo neextrahovanie prvýkrát ovplyvňuje pravdepodobnosť jeho extrakcie druhýkrát.

Je vidieť, že prvá udalosť výrazne ovplyvňuje pravdepodobnosť druhej (40 % a 60 %).

Vzorec pravdepodobnosti udalosti

Prechod od veštenia k exaktným údajom nastáva prenesením témy do matematickej roviny. To znamená, že úsudky o náhodnej udalosti, ako je „vysoká pravdepodobnosť“ alebo „minimálna pravdepodobnosť“, možno previesť na špecifické číselné údaje. Takýto materiál je už prípustné hodnotiť, porovnávať a zavádzať do zložitejších výpočtov.

Z hľadiska výpočtu je definícia pravdepodobnosti udalosti pomerom počtu elementárnych pozitívnych výsledkov k počtu všetkých možných výsledkov skúsenosti s ohľadom na konkrétnu udalosť. Pravdepodobnosť sa označuje P (A), kde P znamená slovo „pravdepodobnosť“, čo je z francúzštiny preložené ako „pravdepodobnosť“.

Takže vzorec pre pravdepodobnosť udalosti je:

Kde m je počet priaznivých výsledkov pre udalosť A, n je súčet všetkých možných výsledkov pre túto skúsenosť. Pravdepodobnosť udalosti je vždy medzi 0 a 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti. Príklad

Vezmime si španielčinu. č. 1 s loptičkami, ktorý je popísaný vyššie: 3 modré gule s číslami 1/3/5 a 3 červené gule s číslami 2/4/6.

Na základe tohto testu možno zvážiť niekoľko rôznych úloh:

• A - pokles červenej gule. K dispozícii sú 3 červené gule a celkovo 6 možností najjednoduchší príklad, v ktorom je pravdepodobnosť udalosti P(A)=3/6=0,5.
• B - vypustenie párneho čísla. Spolu sú 3 (2,4,6) párne čísla a celkový počet možných číselných možností je 6. Pravdepodobnosť tejto udalosti je P(B)=3/6=0,5.
• C - strata čísla väčšieho ako 2. Takéto možnosti sú 4 (3,4,5,6) z celkového počtu možných výsledkov 6. Pravdepodobnosť udalosti C je P(C)=4/6= 0,67.

Ako je možné vidieť z výpočtov, udalosť C má vyššiu pravdepodobnosť, pretože počet možných pozitívnych výsledkov je vyšší ako v prípade A a B.

Nekompatibilné udalosti

Takéto udalosti sa nemôžu objaviť súčasne v tej istej skúsenosti. Ako v španielčine č.1, nie je možné získať modrú a červenú loptičku súčasne. To znamená, že môžete získať modrú alebo červenú guľu. Rovnako tak sa v kocke nemôže súčasne objaviť párne a nepárne číslo.

Pravdepodobnosť dvoch udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu alebo súčinu. Súčet takýchto udalostí A + B sa považuje za udalosť, ktorá spočíva v objavení sa udalosti A alebo B a súčin ich AB - v objavení sa oboch. Napríklad vzhľad dvoch šestiek naraz na tvárach dvoch kociek v jednom hode.

Súčet niekoľkých udalostí je udalosť, ktorá predpokladá výskyt aspoň jednej z nich. Výsledkom viacerých udalostí je spoločný výskyt všetkých.

V teórii pravdepodobnosti spravidla použitie spojenia „a“ označuje súčet, spojenie „alebo“ - násobenie. Vzorce s príkladmi vám pomôžu pochopiť logiku sčítania a násobenia v teórii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí

Ak sa berie do úvahy pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí, potom sa pravdepodobnosť súčtu udalostí rovná súčtu ich pravdepodobností:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Napríklad: vypočítame pravdepodobnosť, že v španiel. Č. 1 s modrými a červenými guľôčkami padne číslo medzi 1 a 4. Počítame nie jednou akciou, ale súčtom pravdepodobností elementárnych zložiek. Takže v takomto experimente je len 6 loptičiek alebo 6 zo všetkých možných výsledkov. Čísla spĺňajúce podmienku sú 2 a 3. Pravdepodobnosť získania čísla 2 je 1/6, pravdepodobnosť čísla 3 je tiež 1/6. Pravdepodobnosť získania čísla medzi 1 a 4 je:

Pravdepodobnosť súčtu nekompatibilných udalostí celej skupiny je 1.

Ak teda v experimente s kockou spočítame pravdepodobnosti získania všetkých čísel, vo výsledku dostaneme jedno.

To platí aj pre opačné udalosti, napríklad pri pokuse s mincou, kde jedna z jej strán je udalosť A a druhá opačná udalosť Ā, ako je známe,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Pravdepodobnosť vzniku nekompatibilných udalostí

Násobenie pravdepodobností sa používa pri zvažovaní výskytu dvoch alebo viacerých nezlučiteľných udalostí v jednom pozorovaní. Pravdepodobnosť, že sa v ňom udalosti A a B objavia súčasne, sa rovná súčinu ich pravdepodobností, alebo:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Napríklad pravdepodobnosť, že v č. 1 ako výsledok dvoch pokusov sa dvakrát objaví modrá guľa, rovná sa

To znamená, že pravdepodobnosť, že dôjde k udalosti, keď v dôsledku dvoch pokusov s extrakciou loptičiek budú extrahované iba modré loptičky, je 25%. Je veľmi jednoduché urobiť praktické experimenty s týmto problémom a zistiť, či je to skutočne tak.

Spoločné akcie

Udalosti sa považujú za spoločné, keď sa vzhľad jednej z nich môže zhodovať so vzhľadom druhej. Napriek tomu, že sú spoločné, zvažuje sa pravdepodobnosť nezávislých udalostí. Napríklad hod dvoma kockami môže dať výsledok, keď na oboch padne číslo 6. Hoci sa udalosti zhodovali a objavili sa v rovnakom čase, sú na sebe nezávislé – vypadnúť mohla len jedna šestka, druhá kocka nemá žiadnu vplyv na to.

Pravdepodobnosť spoločných udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu.

Pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí. Príklad

Pravdepodobnosť súčtu udalostí A a B, ktoré sú vo vzájomnom vzťahu spoločné, sa rovná súčtu pravdepodobností udalosti mínus pravdepodobnosť ich súčinu (teda ich spoločnej realizácie):

R kĺb. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Predpokladajme, že pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,4. Potom udalosť A - zasiahnutie cieľa v prvom pokuse, B - v druhom pokuse. Tieto udalosti sú spoločné, pretože je možné, že je možné zasiahnuť cieľ z prvého aj z druhého výstrelu. Ale udalosti nie sú závislé. Aká je pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami (aspoň jednou)? Podľa vzorca:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpoveď na otázku znie: "Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami je 64%."

Tento vzorec pravdepodobnosti udalosti možno aplikovať aj na nezlučiteľné udalosti, kde pravdepodobnosť spoločného výskytu udalosti P(AB) = 0. To znamená, že pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí možno považovať za špeciálny prípad. navrhovaného vzorca.

Pravdepodobná geometria pre prehľadnosť

Je zaujímavé, že pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí možno znázorniť ako dve oblasti A a B, ktoré sa navzájom pretínajú. Ako vidíte na obrázku, plocha ich spojenia sa rovná celkovej ploche mínus plocha ich priesečníka. Toto geometrické vysvetlenie robí zdanlivo nelogický vzorec zrozumiteľnejším. Poznač si to geometrické riešenia nie je nezvyčajné v teórii pravdepodobnosti.

Definícia pravdepodobnosti súčtu množiny (viac ako dvoch) spoločných udalostí je dosť ťažkopádna. Na jej výpočet je potrebné použiť vzorce, ktoré sú pre tieto prípady poskytnuté.

Závislé udalosti

Závislé udalosti sa nazývajú, ak výskyt jednej (A) z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej (B). Okrem toho sa berie do úvahy vplyv tak výskytu udalosti A, ako aj jej neprítomnosti. Hoci udalosti sa podľa definície nazývajú závislé, iba jedna z nich je závislá (B). Obvyklá pravdepodobnosť bola označená ako P(B) alebo pravdepodobnosť nezávislých udalostí. V prípade závislých sa zavádza nový pojem - podmienená pravdepodobnosť P A (B), čo je pravdepodobnosť závislej udalosti B za podmienky, že nastala udalosť A (hypotéza), od ktorej závisí.

Ale udalosť A je tiež náhodná, takže má aj pravdepodobnosť, ktorá sa musí a môže brať do úvahy pri výpočtoch. Nasledujúci príklad ukáže, ako pracovať so závislými udalosťami a hypotézou.

Príklad výpočtu pravdepodobnosti závislých udalostí

Dobrým príkladom na výpočet závislých udalostí je štandardný balíček kariet.

Na príklade balíčka 36 kariet zvážte závislé udalosti. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že druhá vytiahnutá karta z balíčka bude diamantová farba, ak prvá vytiahnutá karta je:

1. Tamburína.
2. Ďalší oblek.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť druhej udalosti B závisí od prvej udalosti A. Ak teda platí prvá možnosť, čo je v balíčku o 1 kartu (35) a 1 diamant (8) menej, pravdepodobnosť udalosti B:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Ak platí druhá možnosť, potom je v balíčku 35 kariet a celkový počet tamburína (9), potom pravdepodobnosť nasledujúcej udalosti B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Je vidieť, že ak je udalosť A podmienená tým, že prvou kartou je diamant, tak pravdepodobnosť udalosti B klesá a naopak.

Násobenie závislých udalostí

Na základe predchádzajúcej kapitoly prijímame prvú udalosť (A) ako fakt, no v podstate má náhodný charakter. Pravdepodobnosť tejto udalosti, konkrétne extrakcie tamburíny z balíčka kariet, sa rovná:

P(A) = 9/36 = 1/4

Keďže teória neexistuje sama o sebe, ale má slúžiť praktickým účelom, je spravodlivé poznamenať, že najčastejšie je potrebná pravdepodobnosť vzniku závislých udalostí.

Podľa vety o súčine pravdepodobností závislých udalostí sa pravdepodobnosť výskytu spoločne závislých udalostí A a B rovná pravdepodobnosti jednej udalosti A, vynásobenej podmienenou pravdepodobnosťou udalosti B (v závislosti od A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Potom v príklade s balíčkom je pravdepodobnosť ťahania dvoch kariet s diamantovou farbou:

9/36 * 8/35 = 0,0571 alebo 5,7 %

A pravdepodobnosť, že sa najskôr vyťažia nie diamanty a potom diamanty, sa rovná:

27/36 * 9/35 = 0,19 alebo 19 %

Je vidieť, že pravdepodobnosť výskytu udalosti B je väčšia za predpokladu, že sa najskôr vytiahne karta inej farby ako diamant. Tento výsledok je celkom logický a pochopiteľný.

Celková pravdepodobnosť udalosti

Keď sa problém s podmienenými pravdepodobnosťami stane mnohostranným, nemožno ho vypočítať konvenčnými metódami. Ak existujú viac ako dve hypotézy, a to A1, A2, ..., A n , .. tvoria ucelenú skupinu udalostí za podmienky:

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Takže vzorec pre celkovú pravdepodobnosť pre udalosť B s úplnou skupinou náhodných udalostí A1, A2, ..., A n je:

Pohľad do budúcnosti

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je podstatná v mnohých oblastiach vedy: ekonometria, štatistika, fyzika atď. Keďže niektoré procesy nemožno opísať deterministicky, keďže samy sú pravdepodobnostné, sú potrebné špeciálne metódy práce. Teória pravdepodobnosti udalosti môže byť použitá v akejkoľvek technologickej oblasti ako spôsob určenia možnosti chyby alebo poruchy.

Dá sa povedať, že rozpoznaním pravdepodobnosti akosi urobíme teoretický krok do budúcnosti, keď sa na ňu pozeráme cez prizmu vzorcov.

V ekonomike, ako aj v iných oblastiach ľudská aktivita alebo v prírode sa neustále musíme zaoberať udalosťami, ktoré sa nedajú presne predpovedať. Objem predaja tovaru teda závisí od dopytu, ktorý sa môže výrazne líšiť, a od množstva ďalších faktorov, ktoré je takmer nemožné zohľadniť. Preto pri organizácii výroby a predaja treba predpovedať výsledok takýchto činností buď na základe vlastnej predchádzajúcej skúsenosti, alebo podobnej skúsenosti iných ľudí, prípadne intuície, ktorá je tiež z veľkej časti založená na experimentálnych údajoch.

Aby bolo možné nejako zhodnotiť posudzovanú udalosť, je potrebné vziať do úvahy alebo špeciálne zorganizovať podmienky, v ktorých sa táto udalosť zaznamenáva.

Nazýva sa implementácia určitých podmienok alebo akcií na identifikáciu predmetnej udalosti skúsenosti alebo experimentovať.

Podujatie sa volá náhodný ak v dôsledku experimentu môže alebo nemusí nastať.

Podujatie sa volá autentické, ak sa nevyhnutne objaví v dôsledku tejto skúsenosti, a nemožné ak sa nemôže objaviť v tomto zážitku.

Napríklad sneženie v Moskve 30. novembra je náhodná udalosť. Každodenný východ slnka možno považovať za určitú udalosť. Sneženie na rovníku možno považovať za nemožnú udalosť.

Jedným z hlavných problémov v teórii pravdepodobnosti je problém stanovenia kvantitatívnej miery možnosti výskytu udalosti.

Algebra udalostí

Udalosti sa nazývajú nezlučiteľné, ak ich nemožno pozorovať spolu v rovnakom zážitku. Prítomnosť dvoch a troch áut v jednej predajni na predaj v rovnakom čase sú teda dve nezlučiteľné udalosti.

súčet udalosťou je udalosť, ktorá spočíva v výskyte aspoň jednej z týchto udalostí

Príkladom súčtu udalostí je prítomnosť aspoň jedného z dvoch produktov v obchode.

práca udalosti sa nazýva udalosť spočívajúca v súčasnom výskyte všetkých týchto udalostí

Udalosť spočívajúca v objavení sa dvoch tovarov súčasne v predajni je produktom udalostí: - vzhľad jedného produktu, - vzhľad iného produktu.

Udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí, ak sa aspoň jedna z nich nevyhnutne vyskytne v zážitku.

Príklad. Prístav má dve kotviská pre lode. Možno zvážiť tri udalosti: - neprítomnosť plavidiel v kotviskách, - prítomnosť jedného plavidla na jednom z kotvísk, - prítomnosť dvoch plavidiel na dvoch kotviskách. Tieto tri udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí.

Naproti nazývajú sa dve jedinečné možné udalosti, ktoré tvoria kompletnú skupinu.

Ak je jedna z opačných udalostí označená ako , potom opačná udalosť je zvyčajne označená ako .

Klasické a štatistické definície pravdepodobnosti udalosti

Každý z rovnako možných výsledkov testu (experimentov) sa nazýva elementárny výsledok. Zvyčajne sa označujú písmenami. Napríklad sa hádže kockou. Podľa počtu bodov na stranách môže byť šesť základných výsledkov.

Z elementárnych výsledkov môžete poskladať komplexnejšiu udalosť. Udalosť s párnym počtom bodov je teda určená tromi výsledkami: 2, 4, 6.

Kvantitatívnym meradlom možnosti výskytu uvažovanej udalosti je pravdepodobnosť.

Najčastejšie sa používajú dve definície pravdepodobnosti udalosti: klasický a štatistické.

Klasická definícia pravdepodobnosti súvisí s pojmom priaznivý výsledok.

Exodus sa nazýva priaznivý túto udalosť, ak jej výskyt znamená výskyt tejto udalosti.

V danom príklade je uvažovaná udalosť párnym počtom bodov na poklesnutej hrane a má tri priaznivé výsledky. V tomto prípade generál
počet možných výsledkov. Takže tu môžete použiť klasickú definíciu pravdepodobnosti udalosti.

Klasická definícia sa rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k celkovému počtu možných výsledkov

kde je pravdepodobnosť udalosti , je počet priaznivých výsledkov pre udalosť, je celkový počet možných výsledkov.

V uvažovanom príklade

Štatistická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom relatívnej frekvencie výskytu udalosti v experimentoch.

Relatívna frekvencia výskytu udalosti sa vypočíta podľa vzorca

kde je počet výskytov udalosti v sérii experimentov (testov).

Štatistická definícia. Pravdepodobnosť udalosti je číslo, voči ktorému je relatívna frekvencia stabilizovaná (stanovená) s neobmedzeným nárastom počtu experimentov.

V praktických problémoch sa relatívna frekvencia berie ako pravdepodobnosť udalosti pri dostatočnej veľké čísla testy.

Z týchto definícií pravdepodobnosti udalosti je vidieť, že nerovnosť vždy platí

Na určenie pravdepodobnosti udalosti na základe vzorca (1.1) sa často používajú kombinatorikové vzorce na zistenie počtu priaznivých výsledkov a celkového počtu možných výsledkov.

Je zrejmé, že každá udalosť má určitú mieru možnosti jej výskytu (jej realizácie). Aby bolo možné kvantitatívne porovnávať udalosti medzi sebou podľa stupňa ich možnosti, je samozrejme potrebné priradiť ku každej udalosti určité číslo, ktoré je tým väčšie, čím je udalosť možnejšia. Toto číslo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti.

Pravdepodobnosť udalosti- je číselným meradlom miery objektívnej možnosti vzniku tejto udalosti.

Zvážte stochastický experiment a náhodnú udalosť A pozorovanú v tomto experimente. Zopakujme tento experiment n-krát a nech m(A) je počet experimentov, v ktorých sa udalosť A stala.

Vzťah (1.1)

volal relatívna frekvencia udalosť A v sérii experimentov.

Je ľahké overiť platnosť vlastností:

ak sú A a B nekompatibilné (AB= ), potom ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Relatívna frekvencia sa určuje až po sérii experimentov a vo všeobecnosti sa môže meniť od série k sérii. Skúsenosti však ukazujú, že v mnohých prípadoch, keď sa počet experimentov zvyšuje, relatívna frekvencia sa blíži k určitému číslu. Táto skutočnosť stability relatívnej frekvencie bola opakovane overená a možno ju považovať za experimentálne preukázanú.

Príklad 1.19.. Ak hodíte jednou mincou, nikto nemôže predpovedať, na ktorej strane pristane. Ale ak hodíte dve tony mincí, každý povie, že asi jedna tona spadne ako erb, to znamená, že relatívna frekvencia pádu erbu je približne 0,5.

Ak so zvyšujúcim sa počtom experimentov relatívna frekvencia udalosti ν(A) smeruje k nejakému pevnému číslu, potom hovoríme, že udalosť A je štatisticky stabilná a toto číslo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A.

Pravdepodobnosť udalosti A zavolá sa nejaké pevné číslo P(A), ku ktorému sa relatívna frekvencia ν(A) tohto deja približuje so zvyšujúcim sa počtom experimentov, tj.

Táto definícia sa nazýva štatistická definícia pravdepodobnosti .

Zvážte nejaký stochastický experiment a nechajte priestor jeho elementárnych udalostí pozostávať z konečnej alebo nekonečnej (ale spočítateľnej) množiny elementárnych udalostí ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . Predpokladajme, že každej elementárnej udalosti ω i je priradené určité číslo - р i , ktoré charakterizuje mieru možnosti výskytu tejto elementárnej udalosti a spĺňa nasledujúce vlastnosti:

Takéto číslo p i sa nazýva elementárna pravdepodobnosť udalostiω i.

Teraz nech A je náhodná udalosť pozorovaná v tomto experimente, ktorej zodpovedá určitá množina

V takomto nastavení pravdepodobnosť udalosti A sa nazýva súčet pravdepodobností elementárnych udalostí v prospech A(zahrnuté v zodpovedajúcej sade A):

(1.4)

Takto zavedená pravdepodobnosť má rovnaké vlastnosti ako relatívna frekvencia, a to:

A ak AB \u003d (A a B sú nekompatibilné),

potom P(A+B) = P(A) + P(B)

Skutočne, podľa (1.4)

V poslednom vzťahu sme využili skutočnosť, že žiadna elementárna udalosť nemôže súčasne uprednostňovať dve nezlučiteľné udalosti.

Osobitne upozorňujeme, že teória pravdepodobnosti neuvádza metódy na určenie p i, treba ich hľadať z praktických úvah alebo získať z vhodného štatistického experimentu.

Ako príklad zvážte klasická schéma teória pravdepodobnosti. Za týmto účelom uvažujme stochastický experiment, ktorého priestor elementárnych udalostí pozostáva z konečného (n) počtu prvkov. Predpokladajme navyše, že všetky tieto elementárne udalosti sú rovnako pravdepodobné, to znamená, že pravdepodobnosti elementárnych udalostí sú p(ω i)=p i =p. Z toho teda vyplýva

Príklad 1.20. Pri hode symetrickou mincou je rovnako možný erb a chvost, ich pravdepodobnosti sú 0,5.

Príklad 1.21. Keď sa hodí symetrická kocka, všetky tváre sú rovnako pravdepodobné, ich pravdepodobnosť je 1/6.

Nech je teraz udalosť A uprednostňovaná m elementárnymi udalosťami, zvyčajne sa nazývajú výsledky v prospech udalosti A. Potom

Prijaté klasická definícia pravdepodobnosti: pravdepodobnosť P(A) udalosti A sa rovná pomeru počtu výsledkov uprednostňujúcich udalosť A k celkovému počtu výsledkov

Príklad 1.22. Urna obsahuje m bielych loptičiek a n čiernych. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?

rozhodnutie. Celkom je m+n elementárnych udalostí. Všetky sú rovnako neuveriteľné. Priaznivá udalosť A z nich m. v dôsledku toho .

Z definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:

Nehnuteľnosť 1. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej.

V skutočnosti, ak je udalosť spoľahlivá, potom každý elementárny výsledok testu uprednostňuje udalosť. V tomto prípade m=p, v dôsledku toho

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Nehnuteľnosť 2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

V skutočnosti, ak je udalosť nemožná, potom žiadny zo základných výsledkov súdneho konania nepodporuje túto udalosť. V tomto prípade t= 0, teda P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Nehnuteľnosť 3.Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi nulou a jednou.

V skutočnosti len časť z celkového počtu základných výsledkov testu uprednostňuje náhodnú udalosť. To znamená 0≤m≤n, čo znamená 0≤m/n≤1, preto pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa dvojitú nerovnosť 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Porovnaním definícií pravdepodobnosti (1.5) a relatívnej frekvencie (1.1) dospejeme k záveru: definícia pravdepodobnosti nevyžaduje vykonanie testovania v realite; definícia relatívnej frekvencie predpokladá, že testy sa skutočne vykonali. Inými slovami, pravdepodobnosť sa vypočíta pred zážitkom a relatívna frekvencia - po zážitku.

Výpočet pravdepodobnosti si však vyžaduje predchádzajúce informácie o počte alebo pravdepodobnosti základných výsledkov v prospech danej udalosti. Ak takéto predbežné informácie neexistujú, na určenie pravdepodobnosti sa použijú empirické údaje, to znamená, že relatívna frekvencia udalosti sa určí z výsledkov stochastického experimentu.

Príklad 1.23. oddelenie technická kontrola objavený 3 neštandardné diely v dávke 80 náhodne vybraných dielov. Relatívna frekvencia výskytu neštandardných častí r (A)= 3/80.

Príklad 1.24. Podľa účelu.vyrobené 24 výstrel a bolo zaregistrovaných 19 zásahov. Relatívna frekvencia zasiahnutia cieľa. r (A)=19/24.

Dlhodobé pozorovania ukázali, že ak sa experimenty uskutočňujú za rovnakých podmienok, pričom v každom z nich je počet testov dostatočne veľký, potom relatívna frekvencia vykazuje vlastnosť stability. Táto nehnuteľnosť je že v rôznych experimentoch sa relatívna frekvencia mení málo (čím menej, tým viac testov sa robí), kolíše okolo určitého konštantného čísla. Ukázalo sa, že toto konštantné číslo možno brať ako približnú hodnotu pravdepodobnosti.

Vzťah medzi relatívnou frekvenciou a pravdepodobnosťou bude podrobnejšie a presnejšie popísaný nižšie. Teraz ilustrujme vlastnosť stability na príkladoch.

Príklad 1.25. Podľa švédskych štatistík relatívnu pôrodnosť dievčat v roku 1935 podľa mesiacov charakterizujú nasledujúce čísla (čísla sú usporiadané v poradí mesiacov, počnúc od január): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Relatívna frekvencia kolíše okolo čísla 0,481, čo možno považovať za približnú hodnotu pravdepodobnosti mať dievčatá.

Všimnite si, že štatistiky rôznych krajinách uveďte približne rovnakú hodnotu relatívnej frekvencie.

Príklad 1.26. Uskutočnili sa opakované pokusy hádzaním mincou, pri ktorých sa rátal počet výskytov „erbu“. Výsledky niekoľkých experimentov sú uvedené v tabuľke.

Udalosti, ktoré sa vyskytujú v skutočnosti alebo v našej predstave, môžeme rozdeliť do 3 skupín. Toto sú určité udalosti, ktoré sa určite stanú, nemožné udalosti a náhodné udalosti. Teória pravdepodobnosti študuje náhodné udalosti, t.j. udalosti, ktoré môžu, ale nemusia nastať. Tento článok bude prezentovaný v zhrnutie vzorce teórie pravdepodobnosti a príklady riešenia úloh z teórie pravdepodobnosti, ktoré budú v 4. úlohe USE v matematike (úroveň profilu).

Prečo potrebujeme teóriu pravdepodobnosti

Historicky potreba štúdia týchto problémov vznikla v 17. storočí v súvislosti s rozvojom a profesionalizáciou tzv. hazardných hier a príchod kasína. Bol to skutočný fenomén, ktorý si vyžadoval jeho štúdium a výskum.

Hranie kariet, kociek, rulety vytváralo situácie, v ktorých mohla nastať ktorákoľvek z konečného počtu rovnako pravdepodobných udalostí. Bolo potrebné poskytnúť číselné odhady možnosti výskytu udalosti.

V 20. storočí sa ukázalo, že táto zdanlivo ľahkomyseľná veda hrá dôležitú úlohu pri pochopení základných procesov prebiehajúcich v mikrokozme. Bol vytvorený moderná teória pravdepodobnosti.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti

Predmetom štúdia teórie pravdepodobnosti sú udalosti a ich pravdepodobnosti. Ak je udalosť zložitá, potom ju možno rozdeliť na jednoduché komponenty, ktorých pravdepodobnosti sa dajú ľahko nájsť.

Súčet udalostí A a B sa nazýva udalosť C, ktorá spočíva v tom, že buď udalosť A, alebo udalosť B, alebo udalosti A a B sa stali súčasne.

Súčinom udalostí A a B je udalosť C, ktorá spočíva v tom, že sa stala udalosť A aj udalosť B.

Udalosti A a B sa považujú za nezlučiteľné, ak sa nemôžu stať súčasne.

Udalosť A je vraj nemožná, ak sa nemôže stať. Takáto udalosť je označená symbolom .

Udalosť A sa nazýva istá, ak k nej určite dôjde. Takáto udalosť je označená symbolom .

Nech je každej udalosti A priradené číslo P(A). Toto číslo P(A) sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A, ak sú s takouto korešpondenciou splnené nasledujúce podmienky.

Dôležitým špeciálnym prípadom je situácia, keď existujú rovnako pravdepodobné elementárne výsledky a ľubovoľné z týchto výsledkov tvoria udalosti A. V tomto prípade možno pravdepodobnosť zaviesť vzorcom . Takto zavedená pravdepodobnosť sa nazýva klasická pravdepodobnosť. Dá sa dokázať, že v tomto prípade platia vlastnosti 1-4.

Problémy v teórii pravdepodobnosti, ktoré sa nachádzajú na skúške z matematiky, súvisia najmä s klasickou pravdepodobnosťou. Takéto úlohy môžu byť veľmi jednoduché. Obzvlášť jednoduché sú problémy v teórii pravdepodobnosti v demo verzie. Vypočítať počet priaznivých výsledkov je jednoduché, počet všetkých výsledkov je zapísaný priamo v podmienke.

Odpoveď dostaneme podľa vzorca.

Príklad úlohy zo skúšky z matematiky na určenie pravdepodobnosti

Na stole je 20 koláčov - 5 s kapustou, 7 s jablkami a 8 s ryžou. Marina si chce dať koláč. Aká je pravdepodobnosť, že si dá ryžový koláč?

rozhodnutie.

Celkovo je 20 ekvipravdepodobných základných výsledkov, to znamená, že Marina môže vziať ktorýkoľvek z 20 koláčov. Musíme ale odhadnúť pravdepodobnosť, že si Marina vezme ryžový karbonátok, teda kde A je výber ryžového karbonátku. To znamená, že máme celkovo 8 priaznivých výsledkov (výber ryžových koláčov). Potom sa pravdepodobnosť určí podľa vzorca:

Nezávislé, opačné a svojvoľné udalosti

Avšak v otvorená nádobaúlohy začali spĺňať zložitejšie úlohy. Preto upriamme pozornosť čitateľa na ďalšie otázky študované v teórii pravdepodobnosti.

Udalosti A a B sa nazývajú nezávislé, ak pravdepodobnosť každého z nich nezávisí od toho, či nastala iná udalosť.

Udalosť B spočíva v tom, že udalosť A nenastala, t.j. udalosť B je opačná k udalosti A. Pravdepodobnosť opačnej udalosti sa rovná jednej mínus pravdepodobnosť priamej udalosti, t.j. .

Vety o sčítaní a násobení, vzorce

Pre ľubovoľné udalosti A a B sa pravdepodobnosť súčtu týchto udalostí rovná súčtu ich pravdepodobností bez pravdepodobnosti ich spoločné podujatie, t.j. .

Pre nezávislé udalosti A a B sa pravdepodobnosť súčinu týchto udalostí rovná súčinu ich pravdepodobností, t.j. v tomto prípade .

Posledné 2 tvrdenia sa nazývajú vety o sčítaní a násobení pravdepodobností.

Nie vždy je počítanie výsledkov také jednoduché. V niektorých prípadoch je potrebné použiť kombinatoriku. Najdôležitejšie je spočítať počet udalostí, ktoré spĺňajú určité podmienky. Niekedy sa takéto výpočty môžu stať nezávislými úlohami.

Koľkými spôsobmi môže byť 6 študentov usadených na 6 prázdnych miestach? Prvý študent obsadí ktorékoľvek zo 6 miest. Každá z týchto možností zodpovedá 5 spôsobom umiestnenia druhého študenta. Pre tretieho žiaka sú 4 voľné miesta, pre štvrtého - 3, pre piateho - 2, šiesty obsadí jediné zostávajúce miesto. Ak chcete zistiť počet všetkých možností, musíte nájsť produkt, ktorý je označený symbolom 6! a prečítajte si "šesť faktoriál".

Vo všeobecnom prípade je odpoveď na túto otázku daná vzorcom pre počet permutácií n prvkov.V našom prípade .

Zvážte teraz ďalší prípad s našimi študentmi. Koľkými spôsobmi môžu byť 2 študenti usadení na 6 prázdnych miestach? Prvý študent obsadí ktorékoľvek zo 6 miest. Každá z týchto možností zodpovedá 5 spôsobom umiestnenia druhého študenta. Ak chcete nájsť počet všetkých možností, musíte nájsť produkt.

Vo všeobecnom prípade je odpoveď na túto otázku daná vzorcom pre počet umiestnení n prvkov na k prvkov

V našom prípade.

A posledný z tejto série. Koľkými spôsobmi je možné vybrať 3 študentov zo 6? Prvý študent môže byť vybraný 6 spôsobmi, druhý 5 spôsobmi a tretí 4 spôsobmi. Ale medzi týmito možnosťami sa tí istí traja študenti vyskytujú 6-krát. Ak chcete zistiť počet všetkých možností, musíte vypočítať hodnotu: . Vo všeobecnom prípade je odpoveď na túto otázku daná vzorcom pre počet kombinácií prvkov podľa prvkov:

V našom prípade.

Príklady riešenia úloh zo skúšky z matematiky na určenie pravdepodobnosti

Úloha 1. Zo zbierky, vyd. Jaščenko.

Na tanieri je 30 koláčov: 3 s mäsom, 18 s kapustou a 9 s čerešňami. Sasha náhodne vyberie jeden koláč. Nájdite pravdepodobnosť, že skončí s čerešňou.

.

Odpoveď: 0,3.

Úloha 2. Zo zbierky, vyd. Jaščenko.

V každej dávke 1000 žiaroviek, priemerne 20 chybných. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraná žiarovka zo série je dobrá.

Riešenie: Počet použiteľných žiaroviek je 1000-20=980. Potom pravdepodobnosť, že náhodne vybratá žiarovka zo série bude použiteľná, je:

Odpoveď: 0,98.

Pravdepodobnosť, že študent U. správne vyrieši viac ako 9 úloh v teste z matematiky, je 0,67. Pravdepodobnosť, že U. správne vyrieši viac ako 8 úloh, je 0,73. Nájdite pravdepodobnosť, že U. správne vyrieši práve 9 úloh.

Ak si predstavíme číselnú os a označíme na nej body 8 a 9, tak uvidíme, že podmienka „U. správne vyriešiť presne 9 úloh“ je súčasťou podmienky „U. správne vyriešiť viac ako 8 úloh“, ale nevzťahuje sa na podmienku „W. správne vyriešiť viac ako 9 problémov.

Avšak podmienka „U. správne vyriešiť viac ako 9 úloh“ je obsiahnutá v podmienke „U. správne vyriešiť viac ako 8 problémov. Ak teda označíme udalosti: „W. správne vyriešiť presne 9 úloh" - cez A, "U. správne vyriešiť viac ako 8 problémov" - cez B, "U. správne vyriešiť viac ako 9 problémov “cez C. Potom bude riešenie vyzerať takto:

Odpoveď: 0,06.

Na skúške z geometrie študent odpovedá na jednu otázku zo zoznamu skúšobných otázok. Pravdepodobnosť, že ide o trigonometrickú otázku, je 0,2. Pravdepodobnosť, že ide o otázku vonkajších rohov, je 0,15. Neexistujú žiadne otázky súvisiace s týmito dvoma témami súčasne. Nájdite pravdepodobnosť, že študent dostane na skúške otázku na jednu z týchto dvoch tém.

Zamyslime sa nad tým, aké akcie máme. Sú nám dané dve nezlučiteľné udalosti. To znamená, že buď sa otázka bude týkať témy „Trigonometria“, alebo témy „Vonkajšie uhly“. Podľa vety o pravdepodobnosti sa pravdepodobnosť nezlučiteľných udalostí rovná súčtu pravdepodobností každej udalosti, musíme nájsť súčet pravdepodobností týchto udalostí, to znamená:

Odpoveď: 0,35.

Miestnosť je osvetlená lampášom s tromi lampami. Pravdepodobnosť vyhorenia jednej lampy za rok je 0,29. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň jedna lampa do roka nevyhorí.

Uvažujme o možných udalostiach. Máme tri žiarovky, z ktorých každá môže a nemusí vyhorieť nezávisle od akejkoľvek inej žiarovky. Sú to nezávislé udalosti.

Potom naznačíme varianty takýchto udalostí. Akceptujeme zápis: - žiarovka svieti, - žiarovka je vypálená. A hneď potom vypočítame pravdepodobnosť udalosti. Napríklad pravdepodobnosť udalosti, pri ktorej sa vyskytli tri nezávislé udalosti „žiarovka vyhorela“, „žiarovka svieti“, „žiarovka svieti“: .

Všimnite si, že nezlučiteľných udalostí je pre nás priaznivých iba 7. Pravdepodobnosť takýchto udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností každej udalosti: .

Odpoveď: 0,975608.

Ďalší problém môžete vidieť na obrázku:

Vy a ja sme teda pochopili, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, s ktorými sa môžete stretnúť vo verzii skúšky.

Keďže vieme, že pravdepodobnosť sa dá zmerať, skúsme ju vyjadriť číslami. Sú tri možné cesty.

Ryža. 1.1. Meranie pravdepodobnosti

PRAVDEPODOBNOSŤ URČENÁ SYMETRIOU

Sú situácie, v ktorých sú možné výsledky rovnako pravdepodobné. Napríklad pri jednorazovom hode mincou, ak je minca štandardná, je pravdepodobnosť získania hláv alebo chvostov rovnaká, t.j. P(hlavy) = P(konce). Keďže sú možné len dva výsledky, potom P(hlavy) + P(konce) = 1, teda P(hlavy) = P(hlavy) = 0,5.

V experimentoch, kde majú výsledky rovnaké šance, že nastanú, je pravdepodobnosť udalosti E, P(E):

Príklad 1.1. Minca sa hodí trikrát. Aká je pravdepodobnosť dvoch hláv a jedného chvosta?

Najprv nájdime všetky možné výsledky: Aby sme sa uistili, že všetky možné možnosti sme našli, použijeme stromový diagram (pozri kapitolu 1, časť 1.3.1).

Existuje teda 8 rovnako pravdepodobných výsledkov, teda ich pravdepodobnosť je 1/8. Udalosť E – dvaja „orli“ a „chvosty“ – boli tri. Preto:

Príklad 1.2. Štandardná kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že súčet bodov je 9 alebo viac?

Poďme nájsť všetky možné výsledky.

Tabuľka 1.2. Celkový počet bodov získaných dvojitým hodom kockou

Takže v 10 z 36 možných výsledkov je súčet bodov 9, teda:

EMPIRICKY STANOVENÁ PRAVDEPODOBNOSŤ

Príklad s mincou z Table. 1.1 jasne ilustruje mechanizmus určovania pravdepodobností.

O celkový počet ktorých experimenty sú úspešné, pravdepodobnosť požadovaného výsledku sa vypočíta takto:

Pomer je relatívna frekvencia výskytu určitého výsledku v dostatočne dlhom experimente. Pravdepodobnosť sa vypočíta buď na základe údajov experimentu, na základe údajov z minulosti.

Príklad 1.3. Z päťsto testovaných elektrických lámp 415 pracovalo viac ako 1000 hodín. Na základe údajov tohto experimentu možno dospieť k záveru, že pravdepodobnosť normálnej prevádzky lampy tohto typu po dobu dlhšiu ako 1 000 hodín je:

Poznámka. Ovládanie je deštruktívne, takže nie všetky svietidlá sa dajú otestovať. Ak by sa testovala iba jedna lampa, pravdepodobnosť by bola 1 alebo 0 (t. j. bude schopná pracovať 1000 hodín alebo nie). Preto je potrebné experiment zopakovať.

Príklad 1.4. V tabuľke. 1.3 uvádza údaje o skúsenostiach mužov pracujúcich v spoločnosti:

Tabuľka 1.3. Mužské pracovné skúsenosti

Aká je pravdepodobnosť, že ďalší človek najatý firmou bude pracovať aspoň dva roky?

rozhodnutie.

Z tabuľky vyplýva, že 38 zo 100 zamestnancov je vo firme dlhšie ako dva roky. Empirická pravdepodobnosť, že ďalší zamestnanec zostane v spoločnosti dlhšie ako dva roky, je:

Zároveň to predpokladáme nový zamestnanec„Typické a pracovné podmienky sa nemenia.

SUBJEKTÍVNE HODNOTENIE PRAVDEPODOBNOSTI

V podnikaní sa často vyskytujú situácie, v ktorých neexistuje symetria a neexistujú ani experimentálne údaje. Stanovenie pravdepodobnosti priaznivého výsledku pod vplyvom názorov a skúseností výskumníka je preto subjektívne.

Príklad 1.5.

1. Investičný expert sa domnieva, že pravdepodobnosť dosiahnutia zisku počas prvých dvoch rokov je 0,6.

2. Prognóza marketingového manažéra: pravdepodobnosť predaja 1000 kusov produktu v prvom mesiaci po jeho uvedení na trh je 0,4.