V tomto článku ponúkame príklady matematických modelov. Okrem toho budeme venovať pozornosť fázam vytvárania modelov a analyzovať niektoré problémy spojené s matematickým modelovaním.

Ďalšou otázkou, ktorú máme, sú matematické modely v ekonómii, na ktorých príklady sa pozrieme o niečo neskôr. Navrhujeme začať náš rozhovor samotným pojmom „model“, stručne zvážiť ich klasifikáciu a prejsť k našim hlavným otázkam.

Pojem "model"

Často počujeme slovo „modelka“. Čo je to? Tento pojem má veľa definícií, tu sú len tri z nich:

• špecifický objekt, ktorý je vytvorený na prijímanie a uchovávanie informácií, odrážajúcich niektoré vlastnosti alebo charakteristiky, a tak ďalej, originálu tohto objektu (tento špecifický objekt môže byť vyjadrený v rôznych formách: mentálna, popis pomocou znakov atď.);
• Model znamená aj znázornenie konkrétnej situácie, života alebo manažmentu;
• model môže byť zmenšenou kópiou objektu (vytvárajú sa na podrobnejšie štúdium a analýzu, pretože model odráža štruktúru a vzťahy).

Na základe všetkého, čo bolo povedané skôr, môžeme vyvodiť malý záver: model vám umožňuje podrobne študovať zložitý systém alebo objekt.

Všetky modely možno klasifikovať podľa niekoľkých charakteristík:

• podľa oblasti použitia (vzdelávacie, experimentálne, vedecko-technické, herné, simulačné);
• podľa dynamiky (statickej a dynamickej);
• podľa odvetvia vedomostí (fyzikálne, chemické, geografické, historické, sociologické, ekonomické, matematické);
• spôsobom prezentácie (vecným a informačným).

Informačné modely sa zase delia na symbolické a verbálne. A to symbolické – do počítačových aj nepočítačových. Teraz prejdime k podrobnému zváženiu príkladov matematického modelu.

Matematický model

Ako možno uhádnete, matematický model odráža akékoľvek vlastnosti objektu alebo javu pomocou špeciálnych matematických symbolov. Matematika je potrebná na modelovanie vzorcov okolitého sveta v jeho vlastnom špecifickom jazyku.

Metóda matematického modelovania vznikla pomerne dávno, pred tisíckami rokov, spolu s príchodom tejto vedy. Impulz k rozvoju tejto metódy modelovania však dal vznik počítačov (elektronických počítačov).

Teraz prejdime ku klasifikácii. Môže sa vykonávať aj podľa niektorých znakov. Sú uvedené v tabuľke nižšie.

Navrhujeme zastaviť sa a bližšie sa pozrieť na najnovšiu klasifikáciu, pretože odráža všeobecné vzorce modelovania a ciele vytváraných modelov.

Opisné modely

V tejto kapitole sa navrhujeme podrobnejšie venovať deskriptívnym matematickým modelom. Aby bolo všetko veľmi jasné, uvedieme príklad.

Začnime tým, že tento pohľad možno nazvať deskriptívnym. Je to spôsobené tým, že jednoducho robíme výpočty a prognózy, ale nemôžeme žiadnym spôsobom ovplyvniť výsledok udalosti.

Pozoruhodným príkladom deskriptívneho matematického modelu je výpočet dráhy letu, rýchlosti a vzdialenosti od Zeme kométy, ktorá napadla priestory našej slnečnej sústavy. Tento model je popisný, keďže všetky získané výsledky nás môžu len varovať pred akýmkoľvek nebezpečenstvom. Výsledok akcie bohužiaľ nevieme ovplyvniť. Na základe získaných výpočtov je však možné prijať akékoľvek opatrenia na zachovanie života na Zemi.

Optimalizačné modely

Teraz si povieme niečo o ekonomických a matematických modeloch, ktorých príklady môžu slúžiť ako rôzne súčasné situácie. V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré za určitých podmienok pomáhajú nájsť správnu odpoveď. Určite majú nejaké parametre. Aby to bolo úplne jasné, pozrime sa na príklad z poľnohospodárskeho sektora.

Máme sýpku, ale obilie sa veľmi rýchlo kazí. V tomto prípade musíme zvoliť správne teplotné podmienky a optimalizovať proces skladovania.

Môžeme teda definovať pojem „model optimalizácie“. V matematickom zmysle ide o sústavu rovníc (lineárnych aj nie), ktorých riešenie pomáha nájsť optimálne riešenie v konkrétnej ekonomickej situácii. Pozreli sme sa na príklad matematického modelu (optimalizácie), ale rád by som dodal: tento typ patrí do triedy extrémnych problémov, pomáhajú opísať fungovanie ekonomického systému.

Všimnime si ešte jednu nuanciu: modely môžu mať rôznu povahu (pozri tabuľku nižšie).

Multikriteriálne modely

Teraz vás pozývame, aby ste sa trochu porozprávali o matematickom modeli multikriteriálnej optimalizácie. Predtým sme uviedli príklad matematického modelu na optimalizáciu procesu podľa ktoréhokoľvek kritéria, ale čo ak ich je veľa?

Pozoruhodným príkladom viackriteriálnej úlohy je organizácia správnej, zdravej a zároveň ekonomickej výživy pre veľké skupiny ľudí. S takýmito úlohami sa často stretávame v armáde, školských jedálňach, letných táboroch, nemocniciach a pod.

Aké kritériá máme v tejto úlohe?

1. Výživa by mala byť zdravá.
2. Výdavky na jedlo by mali byť minimálne.

Ako vidíte, tieto ciele sa vôbec nezhodujú. To znamená, že pri riešení problému je potrebné hľadať optimálne riešenie, rovnováhu medzi dvoma kritériami.

Herné modely

Keď hovoríme o herných modeloch, je potrebné pochopiť pojem „teória hier“. Jednoducho povedané, tieto modely odrážajú matematické modely skutočných konfliktov. Musíte len pochopiť, že na rozdiel od skutočného konfliktu má herný matematický model svoje špecifické pravidlá.

Teraz poskytneme minimum informácií z teórie hier, ktoré vám pomôžu pochopiť, čo je herný model. Model teda nevyhnutne obsahuje strany (dve alebo viac), ktoré sa zvyčajne nazývajú hráči.

Všetky modely majú určité vlastnosti.

Herný model môže byť párový alebo viacnásobný. Ak máme dva subjekty, konflikt je párový, ak je viac, je viacnásobný. Môžete tiež rozlíšiť antagonistickú hru, nazýva sa to aj hra s nulovým súčtom. Ide o model, v ktorom sa zisk jedného z účastníkov rovná strate druhého.

Simulačné modely

V tejto časti sa budeme venovať simulačným matematickým modelom. Príklady úloh:

• model populačnej dynamiky mikroorganizmov;
• model molekulárneho pohybu a pod.

V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré sú čo najbližšie k reálnym procesom. Celkovo napodobňujú nejaký prejav v prírode. V prvom prípade môžeme napríklad simulovať dynamiku počtu mravcov v jednej kolónii. Zároveň môžete sledovať osud každého jednotlivca. V tomto prípade sa matematický popis používa zriedkavo, častejšie sú prítomné písomné podmienky:

• po piatich dňoch samica kladie vajíčka;
• po dvadsiatich dňoch mravec uhynie atď.

Používajú sa teda na opis veľkého systému. Matematickým záverom je spracovanie získaných štatistických údajov.

Požiadavky

Je veľmi dôležité vedieť, že tento typ modelu má určité požiadavky, vrátane tých, ktoré sú uvedené v tabuľke nižšie.

Všestrannosť	Táto vlastnosť vám umožňuje použiť rovnaký model pri popise podobných skupín objektov. Je dôležité poznamenať, že univerzálne matematické modely sú úplne nezávislé od fyzickej povahy skúmaného objektu
Primeranosť	Tu je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť vám umožňuje čo najpresnejšie reprodukovať skutočné procesy. V operačných úlohách je táto vlastnosť matematického modelovania veľmi dôležitá. Príkladom modelu je proces optimalizácie využitia plynového systému. V tomto prípade sa porovnávajú vypočítané a skutočné ukazovatele, v dôsledku čoho sa kontroluje správnosť zostaveného modelu
Presnosť	Táto požiadavka implikuje zhodu hodnôt, ktoré získame pri výpočte matematického modelu a vstupných parametrov nášho reálneho objektu
Ekonomický	Požiadavka nákladovej efektívnosti pre akýkoľvek matematický model je charakterizovaná nákladmi na implementáciu. Ak s modelom pracujete manuálne, potom si musíte vypočítať, koľko času zaberie vyriešenie jedného problému pomocou tohto matematického modelu. Ak hovoríme o počítačom podporovanom dizajne, potom sa vypočítajú ukazovatele nákladov na čas a pamäť počítača

Fázy modelovania

Celkovo je matematické modelovanie zvyčajne rozdelené do štyroch etáp.

1. Formulácia zákonov spájajúcich časti modelu.
2. Štúdium matematických problémov.
3. Určenie zhody praktických a teoretických výsledkov.
4. Analýza a modernizácia modelu.

Ekonomický a matematický model

V tejto časti stručne poukážeme na problém. Príklady úloh:

• vytvorenie výrobného programu na výrobu mäsových výrobkov, ktorý zabezpečuje maximálny zisk z výroby;
• maximalizácia zisku organizácie výpočtom optimálneho množstva stolov a stoličiek vyrobených v továrni na výrobu nábytku atď.

Ekonomicko-matematický model zobrazuje ekonomickú abstrakciu, ktorá je vyjadrená pomocou matematických pojmov a symbolov.

Počítačový matematický model

Príklady počítačového matematického modelu sú:

• hydraulické problémy pomocou vývojových diagramov, diagramov, tabuliek atď.;
• problémy s pevnou mechanikou a pod.

Počítačový model je obraz objektu alebo systému prezentovaný vo forme:

• tabuľky;
• blokové schémy;
• diagramy;
• grafika a pod.

Tento model navyše odráža štruktúru a prepojenia systému.

Konštrukcia ekonomického a matematického modelu

Už sme hovorili o tom, čo je ekonomicko-matematický model. Práve teraz sa zváži príklad riešenia problému. Musíme analyzovať výrobný program, aby sme identifikovali rezervu na zvýšenie zisku s posunom v sortimente.

Nebudeme sa plne zaoberať problémom, ale vytvoríme iba ekonomický a matematický model. Kritériom našej úlohy je maximalizácia zisku. Potom má funkcia tvar: А=р1*х1+р2*х2..., smerujúci k maximu. V tomto modeli p je zisk na jednotku a x je počet vyrobených jednotiek. Ďalej, na základe skonštruovaného modelu, je potrebné urobiť výpočty a zhrnúť.

Príklad zostavenia jednoduchého matematického modelu

Úloha. Rybár sa vrátil s týmto úlovkom:

• 8 rýb - obyvateľov severných morí;
• 20 % úlovku tvoria obyvatelia južných morí;
• Z miestnej rieky sa nenašla ani jedna ryba.

Koľko rýb kúpil v obchode?

Takže príklad konštrukcie matematického modelu tohto problému vyzerá takto. Celkový počet rýb označíme x. Podľa podmienky 0,2x je počet rýb žijúcich v južných zemepisných šírkach. Teraz skombinujeme všetky dostupné informácie a dostaneme matematický model úlohy: x=0,2x+8. Riešime rovnicu a dostaneme odpoveď na hlavnú otázku: kúpil 10 rýb v obchode.

POZNÁMKY K PREDNÁŠKE

Podľa sadzby

"Matematické modelovanie strojov a dopravných systémov"

Predmet skúma problematiku matematického modelovania, formu a princíp reprezentácie matematických modelov. Uvažujú sa numerické metódy riešenia jednorozmerných nelineárnych systémov. Zaoberá sa problematikou počítačového modelovania a výpočtového experimentu. Zvažujú sa metódy spracovania údajov získaných ako výsledok vedeckých alebo priemyselných experimentov; výskum rôznych procesov, zisťovanie vzorcov v správaní objektov, procesov a systémov. Zvažujú sa metódy interpolácie a aproximácie experimentálnych údajov. Zvažuje sa problematika počítačového modelovania a riešenia nelineárnych dynamických systémov. Uvažuje sa najmä o metódach numerickej integrácie a riešení obyčajných diferenciálnych rovníc prvého, druhého a vyššieho rádu.

Prednáška: Matematické modelovanie. Forma a princípy reprezentácie matematických modelov

Prednáška rozoberá všeobecné otázky matematického modelovania. Uvádza sa klasifikácia matematických modelov.

Počítač pevne vstúpil do našich životov a prakticky neexistuje oblasť ľudskej činnosti, kde by sa počítač nepoužíval. Počítače sa dnes vo veľkej miere využívajú v procese tvorby a výskumu nových strojov, nových technologických postupov a hľadania ich optimálnych možností; pri riešení ekonomických problémov, pri riešení problémov plánovania a riadenia výroby na rôznych úrovniach. Vytváranie veľkých objektov v raketovej technike, výrobe lietadiel, stavbe lodí, ako aj projektovanie priehrad, mostov atď. je vo všeobecnosti nemožné bez použitia počítačov.

Pre využitie počítača pri riešení aplikovaných úloh je potrebné v prvom rade aplikovaný problém „preložiť“ do formálneho matematického jazyka, t. pre skutočný objekt, proces alebo systém musí byť zostavený jeho matematický model.

Slovo „model“ pochádza z latinského modus (kópia, obrázok, obrys). Modelovanie je nahradenie niektorého objektu A iným objektom B. Nahradený objekt A sa nazýva pôvodný alebo modelovací objekt a náhrada B sa nazýva model. Inými slovami, model je náhradný objekt za pôvodný objekt, ktorý poskytuje štúdium niektorých vlastností originálu.

Účelom modelovania je získavať, spracovávať, prezentovať a využívať informácie o objektoch, ktoré sa navzájom ovplyvňujú a s vonkajším prostredím; a model tu pôsobí ako prostriedok na pochopenie vlastností a vzorcov správania objektu.

Modelovanie je široko používané v rôznych oblastiach ľudskej činnosti, najmä v oblasti dizajnu a manažmentu, kde sú procesy prijímania efektívnych rozhodnutí na základe prijatých informácií špeciálne.

Model je vždy zostavený so špecifickým účelom, ktorý ovplyvňuje, ktoré vlastnosti objektívneho javu sú významné a ktoré nie. Model je ako projekcia objektívnej reality z určitého uhla. Niekedy, v závislosti od cieľov, môžete získať množstvo projekcií objektívnej reality, ktoré sa dostanú do konfliktu. Typické je to spravidla pre komplexné systémy, v ktorých každá projekcia vyberá z množiny nepodstatných to, čo je pre konkrétny účel podstatné.

Teória modelovania je veda, ktorá študuje spôsoby, ako študovať vlastnosti pôvodných objektov na základe ich nahradenia inými modelovými objektmi. Teória modelovania je založená na teórii podobnosti. Pri modelovaní nedochádza k absolútnej podobnosti a iba sa usiluje o to, aby model dostatočne odrážal aspekt fungovania skúmaného objektu. Absolútna podobnosť môže nastať iba vtedy, keď je jeden objekt nahradený iným presne rovnakým.

Všetky modely možno rozdeliť do dvoch tried:

1. skutočný,

2. ideálne.

Na druhej strane, skutočné modely možno rozdeliť na:

1. v plnom rozsahu,

2. fyzické,

3. matematický.

Ideálne modely možno rozdeliť na:

1. vizuálny,

2. ikonický,

3. matematický.

Skutočné modely v plnom rozsahu sú skutočné objekty, procesy a systémy, na ktorých sa vykonávajú vedecké, technické a priemyselné experimenty.

Reálne fyzikálne modely sú modely, figuríny, ktoré reprodukujú fyzikálne vlastnosti originálov (kinematické, dynamické, hydraulické, tepelné, elektrické, svetelné modely).

Skutočné matematické modely sú analógové, štrukturálne, geometrické, grafické, digitálne a kybernetické modely.

Ideálne vizuálne modely sú diagramy, mapy, kresby, grafy, grafy, analógy, štrukturálne a geometrické modely.

Ideálne modely znakov sú symboly, abeceda, programovacie jazyky, usporiadaná notácia, topologická notácia, sieťová reprezentácia.

Ideálne matematické modely sú analytické, funkčné, simulačné a kombinované modely.

Vo vyššie uvedenej klasifikácii majú niektoré modely dvojitú interpretáciu (napríklad analóg). Všetky modely, okrem plnohodnotných, je možné kombinovať do jednej triedy mentálnych modelov, pretože sú produktom ľudského abstraktného myslenia.

Zastavme sa pri jednom z najuniverzálnejších typov modelovania – matematickom, ktorý spája simulovaný fyzikálny proces so systémom matematických vzťahov, ktorých riešenie nám umožňuje získať odpoveď na otázku o správaní sa objektu bez toho, aby sme vytvorili fyzický model, ktorý sa často ukazuje ako drahý a neefektívny.

Matematické modelovanie je prostriedkom na štúdium skutočného objektu, procesu alebo systému ich nahradením matematickým modelom, ktorý je vhodnejší pre experimentálny výskum pomocou počítača.

Matematický model je približná reprezentácia skutočných objektov, procesov alebo systémov, vyjadrená matematickými výrazmi a zachovávajúca podstatné črty originálu. Matematické modely v kvantitatívnej forme pomocou logických a matematických konštruktov popisujú základné vlastnosti objektu, procesu alebo systému, jeho parametre, vnútorné a vonkajšie súvislosti.

Vo všeobecnosti je matematický model reálneho objektu, procesu alebo systému reprezentovaný ako systém funkcionalít

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kde X je vektor vstupných premenných, X= t,

Y - vektor výstupných premenných, Y= t,

Z - vektor vonkajších vplyvov, Z= t,

t - časová súradnica.

Konštrukcia matematického modelu pozostáva z určenia súvislostí medzi určitými procesmi a javmi, vytvorenia matematického aparátu, ktorý umožňuje kvantitatívne a kvalitatívne vyjadriť vzťah medzi určitými procesmi a javmi, medzi fyzikálnymi veličinami, ktoré sú pre odborníka zaujímavé, a faktormi, ktoré ovplyvňujú konečný výsledok.

Zvyčajne je ich toľko, že nie je možné uviesť do modelu celú ich zostavu. Pri konštrukcii matematického modelu je výskumnou úlohou identifikovať a vylúčiť z uvažovania faktory, ktoré významne neovplyvňujú konečný výsledok (matematický model zvyčajne obsahuje výrazne menší počet faktorov ako v skutočnosti). Na základe experimentálnych údajov sú predložené hypotézy o vzťahu medzi veličinami vyjadrujúcimi konečný výsledok a faktormi zavedenými do matematického modelu. Takéto spojenie často vyjadrujú sústavy parciálnych diferenciálnych rovníc (napríklad v úlohách mechaniky tuhých látok, kvapalín a plynov, teórii filtrácie, tepelnej vodivosti, teórii elektrostatických a elektrodynamických polí).

Konečným cieľom tejto fázy je formulácia matematického problému, ktorého riešenie s potrebnou presnosťou vyjadruje výsledky, ktoré sú pre odborníka zaujímavé.

Forma a princípy reprezentácie matematického modelu závisia od mnohých faktorov.

Na základe princípov konštrukcie sa matematické modely delia na:

1. analytický;

2. imitácia.

V analytických modeloch sú procesy fungovania reálnych objektov, procesov alebo systémov zapísané vo forme explicitných funkčných závislostí.

Analytický model je rozdelený do typov v závislosti od matematického problému:

1. rovnice (algebraické, transcendentálne, diferenciálne, integrálne),

2. aproximačné problémy (interpolácia, extrapolácia, numerická integrácia a diferenciácia),

3. optimalizačné problémy,

4. stochastické problémy.

Keď sa však objekt modelovania stáva zložitejším, vytváranie analytického modelu sa stáva neriešiteľným problémom. Potom je výskumník nútený použiť simulačné modelovanie.

V simulačnom modelovaní je fungovanie objektov, procesov alebo systémov popísané súborom algoritmov. Algoritmy simulujú skutočné elementárne javy, ktoré tvoria proces alebo systém, pričom zachovávajú ich logickú štruktúru a postupnosť v čase. Simulačné modelovanie umožňuje zo zdrojových údajov získať informácie o stavoch procesu alebo systému v určitých časových bodoch, ale predpovedanie správania sa objektov, procesov alebo systémov je tu náročné. Môžeme povedať, že simulačné modely sú počítačové výpočtové experimenty s matematickými modelmi, ktoré napodobňujú správanie reálnych objektov, procesov alebo systémov.

V závislosti od povahy reálnych procesov a systémov, ktoré sa študujú, môžu byť matematické modely:

1. deterministický,

2. stochastický.

V deterministických modeloch sa predpokladá, že neexistujú náhodné vplyvy, prvky modelu (premenné, matematické súvislosti) sú pomerne presne stanovené a správanie systému je možné presne určiť. Pri konštrukcii deterministických modelov sa najčastejšie používajú algebraické rovnice, integrálne rovnice a maticová algebra.

Stochastický model zohľadňuje náhodný charakter procesov v skúmaných objektoch a systémoch, ktorý je popísaný metódami teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.

Podľa typu vstupných informácií sa modely delia na:

1. nepretržitý,

2. diskrétne.

Ak sú informácie a parametre spojité a matematické spojenia stabilné, potom je model spojitý. A naopak, ak sú informácie a parametre diskrétne a spojenia sú nestabilné, potom je matematický model diskrétny.

Na základe správania modelov v čase sa delia na:

1. statický,

2. dynamický.

Statické modely popisujú správanie sa objektu, procesu alebo systému v akomkoľvek časovom bode. Dynamické modely odrážajú správanie sa objektu, procesu alebo systému v čase.

Na základe stupňa zhody medzi matematickým modelom a skutočným objektom, procesom alebo systémom sa matematické modely delia na:

1. izomorfný (tvarovo rovnaký),

2. homomorfné (tvarovo odlišné).

Model sa nazýva izomorfný, ak medzi ním a skutočným objektom, procesom alebo systémom existuje úplná zhoda element po elemente. Homomorfný - ak existuje zhoda iba medzi najvýznamnejšími komponentmi objektu a modelu.

V budúcnosti, aby sme stručne definovali typ matematického modelu vo vyššie uvedenej klasifikácii, budeme používať nasledujúci zápis:

Prvé písmeno:

D - deterministický,

C - stochastické.

Druhé písmeno:

N - spojité,

D - diskrétne.

Tretie písmeno:

A - analytické,

A - imitácia.

1. Neexistuje (presnejšie, neberie sa do úvahy) vplyv náhodných procesov, t.j. deterministický model (D).

2. Informácie a parametre sú priebežné, t.j. model - spojitý (N),

3. Fungovanie modelu kľukového mechanizmu je popísané formou nelineárnych transcendentálnych rovníc, t.j. model - analytický (A)

2. Prednáška: Vlastnosti konštrukcie matematických modelov

Prednáška popisuje proces konštrukcie matematického modelu. Je uvedený verbálny algoritmus procesu.

Pre využitie počítača pri riešení aplikovaných úloh je potrebné v prvom rade aplikovaný problém „preložiť“ do formálneho matematického jazyka, t. pre skutočný objekt, proces alebo systém musí byť zostavený jeho matematický model.

Matematické modely v kvantitatívnej forme pomocou logických a matematických konštruktov popisujú základné vlastnosti objektu, procesu alebo systému, jeho parametre, vnútorné a vonkajšie súvislosti.

Na zostavenie matematického modelu potrebujete:

1. starostlivo analyzovať skutočný objekt alebo proces;

2. vyzdvihnúť jeho najvýznamnejšie znaky a vlastnosti;

3. definovať premenné, t.j. parametre, ktorých hodnoty ovplyvňujú hlavné vlastnosti a vlastnosti objektu;

4. popísať závislosť základných vlastností objektu, procesu alebo systému od hodnôt premenných pomocou logicko-matematických vzťahov (rovnice, rovnosti, nerovnosti, logicko-matematické konštrukcie);

5. zvýrazňovať vnútorné súvislosti objektu, procesu alebo systému pomocou obmedzení, rovníc, rovníc, nerovností, logických a matematických konštrukcií;

6. identifikovať vonkajšie súvislosti a popísať ich pomocou obmedzení, rovníc, rovníc, nerovností, logických a matematických konštrukcií.

Matematické modelovanie okrem štúdia objektu, procesu alebo systému a zostavovania jeho matematického popisu zahŕňa aj:

1. konštrukcia algoritmu, ktorý modeluje správanie objektu, procesu alebo systému;

2. kontrola primeranosti modelu a objektu, procesu alebo systému na základe výpočtových a úplných experimentov;

3. úprava modelu;

4. použitie modelu.

Matematický popis skúmaných procesov a systémov závisí od:

1. povaha reálneho procesu alebo systému a je zostavená na základe zákonov fyziky, chémie, mechaniky, termodynamiky, hydrodynamiky, elektrotechniky, teórie plasticity, teórie pružnosti atď.

2. požadovaná spoľahlivosť a presnosť štúdia a výskumu reálnych procesov a systémov.

Vo fáze výberu matematického modelu sa zisťujú: linearita a nelinearita objektu, procesu alebo systému, dynamika alebo statickosť, stacionárnosť alebo nestacionárnosť, ako aj stupeň determinizmu skúmaného objektu alebo procesu. V matematickom modelovaní sa zámerne abstrahuje od špecifickej fyzikálnej podstaty objektov, procesov alebo systémov a zameriava sa hlavne na štúdium kvantitatívnych závislostí medzi veličinami, ktoré tieto procesy popisujú.

Matematický model nie je nikdy úplne identický s uvažovaným objektom, procesom alebo systémom. Na základe zjednodušenia a idealizácie ide o približný popis objektu. Preto sú výsledky získané analýzou modelu približné. Ich presnosť je určená stupňom primeranosti (zhody) medzi modelom a objektom.

Konštrukcia matematického modelu sa zvyčajne začína konštrukciou a analýzou najjednoduchšieho, najhrubšieho matematického modelu uvažovaného objektu, procesu alebo systému. V budúcnosti, ak je to potrebné, sa model zdokonaľuje a jeho súlad s objektom je úplnejší.

Uveďme si jednoduchý príklad. Je potrebné určiť povrch stola. Zvyčajne sa to robí meraním jeho dĺžky a šírky a následným vynásobením výsledných čísel. Tento elementárny postup vlastne znamená nasledovné: reálny objekt (plocha stola) je nahradený abstraktným matematickým modelom – obdĺžnikom. Rozmery získané meraním dĺžky a šírky povrchu stola sú priradené k obdĺžniku a plocha takéhoto obdĺžnika sa približne považuje za požadovanú plochu stola.

Obdĺžnikový model písacieho stola je však najjednoduchší a najhrubší model. Ak k problému pristúpite serióznejšie, pred použitím obdĺžnikového modelu na určenie plochy stola je potrebné tento model skontrolovať. Kontroly je možné vykonať nasledovne: zmerajte dĺžky protiľahlých strán stola, ako aj dĺžky jeho uhlopriečok a navzájom ich porovnajte. Ak sú s požadovaným stupňom presnosti dĺžky protiľahlých strán a dĺžky uhlopriečok v pároch rovnaké, potom možno povrch stola skutočne považovať za obdĺžnik. V opačnom prípade bude musieť byť obdĺžnikový model odmietnutý a nahradený všeobecným štvoruholníkom. Pri vyššej požiadavke na presnosť môže byť potrebné model ešte spresniť, napríklad zohľadniť zaoblenie rohov stola.

Pomocou tohto jednoduchého príkladu sa ukázalo, že matematický model nie je jednoznačne určený objektom, procesom alebo systémom, ktorý sa skúma. Pre tú istú tabuľku môžeme použiť buď obdĺžnikový model, alebo zložitejší model všeobecného štvoruholníka, alebo štvoruholník so zaoblenými rohmi. Výber jedného alebo druhého modelu je určený požiadavkou presnosti. So zvyšujúcou sa presnosťou musí byť model komplikovaný, berúc do úvahy nové a nové vlastnosti skúmaného objektu, procesu alebo systému.

Zoberme si ďalší príklad: štúdium pohybu kľukového mechanizmu (obr. 2.1).

Ryža. 2.1.

Pre kinematickú analýzu tohto mechanizmu je v prvom rade potrebné zostrojiť jeho kinematický model. Pre to:

1. Mechanizmus nahradíme jeho kinematickou schémou, kde sú všetky spoje nahradené tuhými spojmi;

2. Pomocou tohto diagramu odvodíme pohybovú rovnicu mechanizmu;

3. Diferencovaním posledného dostaneme rovnice rýchlostí a zrýchlenia, ktoré sú diferenciálnymi rovnicami 1. a 2. rádu.

Napíšme tieto rovnice:

kde C 0 je krajná pravá poloha posúvača C:

r – polomer kľuky AB;

l – dĺžka ojnice BC;

– uhol natočenia kľuky;

Výsledné transcendentálne rovnice predstavujú matematický model pohybu plochého axiálneho kľukového mechanizmu na základe nasledujúcich zjednodušujúcich predpokladov:

1. nezaujímali nás konštrukčné formy a usporiadanie hmôt obsiahnutých v mechanizme telies a všetky telesá mechanizmu sme nahradili rovnými segmentmi. V skutočnosti majú všetky články mechanizmu hmotnosť a pomerne zložitý tvar. Napríklad ojnica je zložitá zostava, ktorej tvar a rozmery samozrejme ovplyvnia pohyb mechanizmu;

2. pri konštrukcii matematického modelu pohybu uvažovaného mechanizmu sme tiež nebrali do úvahy elasticitu telies zaradených do mechanizmu, t.j. všetky články boli považované za abstraktné absolútne tuhé telesá. V skutočnosti sú všetky telesá zahrnuté v mechanizme elastické telesá. Pri pohybe mechanizmu sa nejako zdeformujú a dokonca sa v nich môžu vyskytnúť elastické vibrácie. To všetko samozrejme ovplyvní aj pohyb mechanizmu;

3. nebrali sme do úvahy výrobnú chybu článkov, medzery v kinematických dvojiciach A, B, C atď.

Je teda dôležité ešte raz zdôrazniť, že čím vyššie sú požiadavky na presnosť výsledkov riešenia úlohy, tým väčšia je potreba pri konštrukcii matematického modelu brať do úvahy vlastnosti skúmaného objektu, procesu alebo systému. Tu je však dôležité zastaviť sa včas, pretože zložitý matematický model sa môže zmeniť na ťažko riešiteľný problém.

Model sa najľahšie skonštruuje, keď sú dobre známe zákony, ktoré určujú správanie a vlastnosti objektu, procesu alebo systému, a existujú rozsiahle praktické skúsenosti s ich aplikáciou.

Zložitejšia situácia nastáva, keď sú naše poznatky o skúmanom objekte, procese alebo systéme nedostatočné. V tomto prípade je pri konštrukcii matematického modelu potrebné urobiť ďalšie predpoklady, ktoré majú povahu hypotéz, takýto model sa nazýva hypotetický. Závery získané ako výsledok štúdia takéhoto hypotetického modelu sú podmienené. Na overenie záverov je potrebné porovnať výsledky štúdia modelu na počítači s výsledkami celoplošného experimentu. Otázka použiteľnosti určitého matematického modelu na štúdium uvažovaného objektu, procesu alebo systému teda nie je matematickou otázkou a nedá sa vyriešiť matematickými metódami.

Hlavným kritériom pravdy je experiment, prax v najširšom zmysle slova.

Konštrukcia matematického modelu v aplikovaných úlohách je jednou z najzložitejších a najdôležitejších etáp práce. Prax ukazuje, že výber správneho modelu v mnohých prípadoch znamená vyriešenie problému o viac ako polovicu. Náročnosť tejto etapy je v tom, že si vyžaduje kombináciu matematických a špeciálnych znalostí. Preto je veľmi dôležité, aby pri riešení aplikovaných úloh mali matematici špeciálne znalosti o objekte a ich partneri, špecialisti, mali určitú matematickú kultúru, výskumné skúsenosti vo svojom odbore, znalosť počítačov a programovania.

Prednáška 3. Počítačové modelovanie a výpočtový experiment. Riešenie matematických modelov

Počítačové modelovanie ako nová metóda vedeckého výskumu je založené na:

1. vytváranie matematických modelov na popis skúmaných procesov;

2. pomocou najnovších počítačov s vysokou rýchlosťou (milióny operácií za sekundu) a schopných viesť dialóg s osobou.

Podstata počítačového modelovania je nasledovná: na základe matematického modelu sa pomocou počítača realizuje séria výpočtových experimentov, t.j. študujú sa vlastnosti objektov alebo procesov, zisťujú sa ich optimálne parametre a prevádzkové režimy a model sa spresňuje. Napríklad, ak máte rovnicu, ktorá opisuje priebeh konkrétneho procesu, môžete zmeniť jeho koeficienty, počiatočné a okrajové podmienky a študovať, ako sa bude objekt správať. Okrem toho je možné predpovedať správanie objektu za rôznych podmienok.

Výpočtový experiment vám umožňuje nahradiť nákladný experiment v plnom rozsahu počítačovými výpočtami. Umožňuje v krátkom čase a bez výraznejších materiálových nákladov naštudovať veľké množstvo možností navrhovaného objektu alebo procesu pre rôzne režimy jeho prevádzky, čo výrazne skracuje čas potrebný na vývoj zložitých systémov a ich implementáciu do výroby. .

Počítačové modelovanie a výpočtový experiment ako nová metóda vedeckého výskumu umožňuje zdokonaliť matematický aparát používaný pri zostavovaní matematických modelov a pomocou matematických metód umožňuje objasňovať a komplikovať matematické modely. Najsľubnejšie na realizáciu výpočtového experimentu je jeho využitie pri riešení hlavných vedeckých, technických a sociálno-ekonomických problémov našej doby (projektovanie reaktorov pre jadrové elektrárne, projektovanie priehrad a vodných elektrární, magnetohydrodynamických meničov energie a v oblasti ekonomiky - vypracovanie vyváženého plánu pre priemysel, región, pre krajinu atď.).

V niektorých procesoch, kde je prirodzený experiment nebezpečný pre ľudský život a zdravie, je výpočtový experiment jediným možným (termonukleárna fúzia, prieskum vesmíru, dizajn a výskum chemického a iného priemyslu).

Pre kontrolu primeranosti matematického modelu a reálneho objektu, procesu alebo systému sa výsledky počítačového výskumu porovnávajú s výsledkami experimentu na prototype plnoformátového modelu. Výsledky testov slúžia na úpravu matematického modelu alebo sa rieši otázka použiteľnosti zostrojeného matematického modelu na návrh alebo štúdium špecifikovaných objektov, procesov alebo systémov.

Na záver ešte raz zdôrazňujeme, že počítačové modelovanie a výpočtový experiment umožňujú zredukovať štúdium „nematematického“ objektu na riešenie matematického problému. Otvára sa tak možnosť využiť na jeho štúdium dobre vyvinutý matematický aparát v kombinácii s výkonnou výpočtovou technikou. To je základ pre využitie matematiky a počítačov na pochopenie zákonitostí reálneho sveta a ich využitie v praxi.

V problémoch navrhovania alebo štúdia správania sa reálnych objektov, procesov alebo systémov sú matematické modely zvyčajne nelineárne, pretože musia odrážať skutočné fyzikálne nelineárne procesy, ktoré sa v nich vyskytujú. Navyše parametre (premenné) týchto procesov sú vzájomne prepojené fyzikálnymi nelineárnymi zákonmi. Preto sa v problémoch navrhovania alebo štúdia správania reálnych objektov, procesov alebo systémov najčastejšie využívajú matematické modely ako DNA.

Podľa klasifikácie uvedenej v prednáške 1:

D – model je deterministický, absentuje (presnejšie sa neberie do úvahy) vplyv náhodných procesov.

N – spojitý model, informácie a parametre sú spojité.

A – analytický model, fungovanie modelu je popísané vo forme rovníc (lineárne, nelineárne, sústavy rovníc, diferenciálne a integrálne rovnice).

Postavili sme teda matematický model uvažovaného objektu, procesu alebo systému, t.j. prezentoval aplikovaný problém ako matematický. Potom začína druhá etapa riešenia aplikovaného problému - hľadanie alebo vývoj metódy na riešenie formulovaného matematického problému. Metóda musí byť vhodná pre jej implementáciu na počítači a zabezpečiť požadovanú kvalitu riešenia.

Všetky metódy riešenia matematických problémov možno rozdeliť do 2 skupín:

1. presné metódy riešenia problémov;

2. numerické metódy riešenia úloh.

V exaktných metódach riešenia matematických úloh možno odpoveď získať vo forme vzorcov.

Napríklad výpočet koreňov kvadratickej rovnice:

alebo napríklad výpočet derivačných funkcií:

alebo výpočet určitého integrálu:

Nahradením čísel do vzorca ako konečných desatinných zlomkov však stále získame približné hodnoty výsledku.

Pre väčšinu problémov, s ktorými sa v praxi stretávame, sú presné metódy riešenia buď neznáme, alebo poskytujú veľmi ťažkopádne vzorce. Nie sú však vždy potrebné. Aplikovaný problém možno považovať za prakticky vyriešený, ak ho dokážeme vyriešiť s požadovaným stupňom presnosti.

Na riešenie takýchto problémov boli vyvinuté numerické metódy, v ktorých sa riešenie zložitých matematických problémov redukuje na postupné vykonávanie veľkého počtu jednoduchých aritmetických operácií. Priamy rozvoj numerických metód patrí do výpočtovej matematiky.

Príkladom numerickej metódy je metóda obdĺžnikov na približnú integráciu, ktorá nevyžaduje výpočet primitívnej derivácie pre integrand. Namiesto integrálu sa vypočíta konečný kvadratúrny súčet:

x 1 =a – dolná hranica integrácie;

x n+1 =b – horná hranica integrácie;

n – počet segmentov, na ktoré je rozdelený integračný interval (a,b);

– dĺžka elementárneho segmentu;

f(x i) – hodnota integrandu na koncoch elementárnych integračných segmentov.

Čím väčší je počet segmentov n, na ktoré je integračný interval rozdelený, tým je približné riešenie bližšie k pravému, t.j. tým presnejší je výsledok.

V aplikovaných úlohách, ako pri použití exaktných metód riešenia, tak aj pri použití numerických metód riešenia, sú teda výsledky výpočtov približné. Dôležité je len zabezpečiť, aby chyby zapadali do požadovanej presnosti.

Numerické metódy na riešenie matematických úloh sú známe už dlho, ešte pred príchodom počítačov, no pre extrémnu zložitosť výpočtov sa používali len zriedka a len v relatívne jednoduchých prípadoch. Široké využitie numerických metód sa stalo možným vďaka počítačom.

vektor vstupných premenných, X = t,

Y - vektor výstupných premenných, Y=t,

Z je vektor vonkajších vplyvov, Z = t,

t - časová súradnica.

Stavebníctvo matematický model spočíva v určení súvislostí medzi určitými procesmi a javmi, vytvorením matematického aparátu, ktorý umožňuje kvantitatívne a kvalitatívne vyjadriť súvislosť medzi určitými procesmi a javmi, medzi fyzikálnymi veličinami, ktoré sú pre odborníka zaujímavé, a faktormi ovplyvňujúcimi konečný výsledok.

Zvyčajne je ich toľko, že nie je možné uviesť do modelu celú ich zostavu. Pri stavbe matematický model Pred štúdiou vyvstáva úloha identifikovať a vylúčiť z úvahy faktory, ktoré významne neovplyvňujú konečný výsledok ( matematický model zvyčajne zahŕňa výrazne menší počet faktorov ako v skutočnosti). Na základe experimentálnych údajov sa predkladajú hypotézy o vzťahu medzi veličinami vyjadrujúcimi konečný výsledok a faktormi, ktoré sa matematický model. Takéto spojenie je často vyjadrené diferenciálnymi systémami parciálne diferenciálne rovnice(napríklad v problematike mechaniky tuhých látok, kvapalín a plynov, teórii filtrácie, tepelnej vodivosti, teórii elektrostatických a elektrodynamických polí).

Konečným cieľom tejto fázy je formulácia matematického problému, ktorého riešenie s potrebnou presnosťou vyjadruje výsledky, ktoré sú pre odborníka zaujímavé.

Forma a princípy prezentácie matematický model závisí od mnohých faktorov.

Podľa zásad konštrukcie matematických modelov rozdelený na:

1. analytické;
2. imitácia.

V analytických modeloch sú procesy fungovania reálnych objektov, procesov alebo systémov zapísané v explicitnej forme funkčné závislosti.

Analytický model je rozdelený do typov v závislosti od matematického problému:

1. rovnice (algebraické, transcendentálne, diferenciálne, integrálne),
2. aproximačné problémy (interpolácia, extrapolácia, numerická integrácia A diferenciácia),
3. problémy s optimalizáciou,
4. stochastické problémy.

Keď sa však objekt modelovania stáva zložitejším, vytváranie analytického modelu sa stáva neriešiteľným problémom. Potom je výskumník nútený použiť simulácia.

IN simulačné modelovanie fungovanie objektov, procesov alebo systémov je opísané súborom algoritmov. Algoritmy simulujú skutočné elementárne javy, ktoré tvoria proces alebo systém, pričom ich zachovávajú logická štruktúra a postupnosť výskytu v čase. Simulačné modelovanie umožňuje získať informácie o zdrojových údajoch stavy procesu alebo systémov v určitých časových bodoch, ale predpovedanie správania objektov, procesov alebo systémov je tu náročné. Dá sa to povedať simulačné modely- tieto sa vykonávajú na počítači výpočtové experimenty s matematické modely, simulujúce správanie skutočných objektov, procesov alebo systémov.

V závislosti od charakteru reálnych procesov a skúmaných systémov matematických modelov môže byť:

1. deterministický,
2. stochastické.

V deterministických modeloch sa predpokladá, že neexistujú náhodné vplyvy, prvky modelu (premenné, matematické súvislosti) sú pomerne presne stanovené a správanie systému je možné presne určiť. Pri konštrukcii deterministických modelov sa najčastejšie používajú algebraické rovnice, integrálne rovnice a maticová algebra.

Stochastický model berie do úvahy náhodný charakter procesov v skúmaných objektoch a systémoch, ktorý je popísaný metódami teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.

Podľa typu vstupných informácií sa modely delia na:

1. nepretržitý,
2. diskrétne.

Ak sú informácie a parametre spojité a matematické spojenia stabilné, potom je model spojitý. A naopak, ak sú informácie a parametre diskrétne a spojenia sú nestabilné, potom matematický model- diskrétny.

Na základe správania modelov v čase sa delia na:

1. statický,
2. dynamický.

Statické modely popisujú správanie sa objektu, procesu alebo systému v akomkoľvek časovom bode. Dynamické modely odrážajú správanie sa objektu, procesu alebo systému v čase.

Podľa stupňa korešpondencie medzi

Čo je to matematický model?

Koncept matematického modelu.

Matematický model je veľmi jednoduchý koncept. A veľmi dôležité. Práve matematické modely spájajú matematiku a skutočný život.

Zjednodušene povedané, matematický model je matematický popis akejkoľvek situácie. To je všetko. Model môže byť primitívny alebo môže byť veľmi zložitý. Nech je situácia akákoľvek, taký je model.)

V akomkoľvek (opakujem - v akejkoľvek!) v prípade, že potrebujete niečo spočítať a vypočítať - zaoberáme sa matematickým modelovaním. Aj keď o tom nemáme podozrenie.)

P = 2 CB + 3 CM

Tento záznam bude matematickým modelom nákladov na naše nákupy. Model nezohľadňuje farbu obalu, dátum spotreby, slušnosť pokladníkov a pod. Preto ona Model, nejde o skutočný nákup. Ale výdavky, t.j. čo potrebujeme- to sa určite dozvieme. Ak je model správny, samozrejme.

Je užitočné predstaviť si, čo je to matematický model, ale nestačí to. Najdôležitejšie je vedieť postaviť tieto modely.

Zostavenie (konštrukcia) matematického modelu problému.

Vytvoriť matematický model znamená previesť podmienky problému do matematickej podoby. Tie. premeniť slová na rovnicu, vzorec, nerovnosť atď. Navyše ho transformujte tak, aby táto matematika presne zodpovedala východiskovému textu. V opačnom prípade skončíme s matematickým modelom nejakého iného problému, ktorý nám nie je známy.)

Presnejšie povedané, potrebujete

Na svete je nekonečné množstvo úloh. Preto ponúknite jasné pokyny krok za krokom na zostavenie matematického modelu akýkoľvekúlohy sú nemožné.

Existujú však tri hlavné body, ktorým musíte venovať pozornosť.

1. Akýkoľvek problém obsahuje text, napodiv.) Tento text spravidla obsahuje explicitné, otvorené informácie.Čísla, hodnoty atď.

2. Akýkoľvek problém má skryté informácie. Toto je text, ktorý predpokladá ďalšie znalosti vo vašej hlave. Bez nich to nejde. Navyše, matematické informácie sú často skryté za jednoduchými slovami a... unikajú pozornosti.

3. Musí byť zadaná akákoľvek úloha vzájomné prepojenie údajov. Toto spojenie môže byť uvedené v obyčajnom texte (niečo sa rovná niečomu), alebo môže byť skryté za jednoduchými slovami. Jednoduché a jasné fakty sú však často prehliadané. A model nie je nijako zostavený.

Hneď poviem: na uplatnenie týchto troch bodov si musíte problém prečítať (a pozorne!) niekoľkokrát. Bežná vec.

A teraz - príklady.

Začnime jednoduchým problémom:

Petrovič sa vrátil z rybolovu a hrdo predstavil svoj úlovok rodine. Pri bližšom skúmaní sa ukázalo, že 8 rýb pochádzalo zo severných morí, 20% všetkých rýb pochádzalo z južných morí a ani jedna nepochádzala z miestnej rieky, kde lovil Petrovič. Koľko rýb kúpil Petrovič v obchode s morskými plodmi?

Všetky tieto slová je potrebné premeniť na nejakú rovnicu. Aby ste to urobili, musíte, opakujem, vytvoriť matematické spojenie medzi všetkými údajmi v úlohe.

Kde začať? Najprv vyťažme všetky údaje z úlohy. Začnime po poriadku:

Venujme pozornosť prvému bodu.

Ktorá je tu? explicitné matematické informácie? 8 rýb a 20 %. Nie veľa, ale veľa nepotrebujeme.)

Venujme pozornosť druhému bodu.

hľadajú skryté informácie. Je to tu. Toto sú slová: „20 % všetkých rýb". Tu musíte pochopiť Čo sú úroky a ako sa počítajú? Inak sa problém nedá vyriešiť. Presne toto sú dodatočné informácie, ktoré by mali byť vo vašej hlave.

Je tu tiež matematický informácie, ktoré sú úplne neviditeľné. Toto otázka na úlohu: "Koľko rýb som kúpil...“ Toto je tiež číslo. A bez toho nevznikne žiadny model. Označme preto toto číslo písmenom "X". Zatiaľ nevieme, čomu sa x rovná, ale toto označenie nám bude veľmi užitočné. Viac podrobností o tom, čo si vziať za X a ako to zvládnuť, sú napísané v lekcii Ako riešiť úlohy z matematiky? Hneď si to zapíšme:

x kusov - celkový počet rýb.

V našom probléme sa južné ryby uvádzajú v percentách. Musíme ich premeniť na kúsky. Prečo? Čo potom akýkoľvek musí byť vypracovaný problém modelu v rovnakých množstvách. Kusy - takže všetko je na kusy. Ak sú uvedené, povedzme, hodiny a minúty, všetko preložíme do jednej veci – buď iba hodiny, alebo iba minúty. Nezáleží na tom, čo to je. To je dôležité všetky hodnoty boli rovnakého typu.

Vráťme sa k zverejňovaniu informácií. Kto nevie čo je percento to nikdy neprezradí, áno... A ktovie, ten hneď povie, že sa tu uvádzajú percentá z celkového počtu rýb. A toto číslo nepoznáme. Nič nebude fungovať!

Nie nadarmo uvádzame celkový počet rýb (v kusoch!) "X" určený. Južné ryby nebude možné spočítať na kusy, ale môžeme si ich zapísať? Páči sa ti to:

0,2 x kusov - počet rýb z južných morí.

Teraz sme stiahli všetky informácie z úlohy. Očividné aj skryté.

Venujme pozornosť tretiemu bodu.

hľadajú matematické spojenie medzi údajmi o úlohe. Toto spojenie je také jednoduché, že si ho mnohí nevšimnú... Často sa to stáva. Tu je užitočné jednoducho zapísať zhromaždené údaje na hromadu a zistiť, čo je čo.

čo máme? Jedzte 8 kusov severná ryba, 0,2 x kus- južná ryba a x ryby- celková suma. Je možné tieto údaje nejako prepojiť? Áno Ľahko! Celkový počet rýb rovná sa súčet južnej a severnej! No, kto by to bol povedal...) Tak si to zapíšeme:

x = 8 + 0,2 x

Toto je rovnica matematický model nášho problému.

Upozorňujeme, že v tomto probléme Nežiada sa od nás nič zložiť! Boli sme to my sami, z hlavy sme si uvedomili, že súčet južnej a severnej ryby nám dá celkový počet. Vec je taká zrejmá, že si ju nikto nevšimne. Ale bez týchto dôkazov nie je možné vytvoriť matematický model. Páči sa ti to.

Teraz môžete využiť plnú silu matematiky na vyriešenie tejto rovnice). To je presne dôvod, prečo bol zostavený matematický model. Poďme to vyriešiť lineárna rovnica a dostaneme odpoveď.

odpoveď: x = 10

Vytvorme matematický model iného problému:

Spýtali sa Petroviča: "Máte veľa peňazí?" Petrovič začal plakať a odpovedal: "Áno, len trochu. Ak miniem polovicu všetkých peňazí a polovicu zvyšku, zostane mi len jeden mešec peňazí..." Koľko peňazí má Petrovič ?

Opäť pracujeme bod po bode.

1. Hľadáme explicitné informácie. Nenájdete to hneď! Explicitné informácie sú jeden vrecko na peniaze. Existujú aj ďalšie polovice... No, na to sa pozrieme v druhom bode.

2. Hľadáme skryté informácie. Toto sú polovice. Čo? Nie veľmi jasné. Hľadáme ďalej. Je tu ešte jedna otázka: "Koľko peňazí má Petrovič?" Označme sumu peňazí písmenom "X":

X- všetky peniaze

A znova čítame problém. Už vedieť, že Petrovič X peniaze. Tu budú fungovať polovičky! Zapisujeme si:

0,5 x- polovica všetkých peňazí.

Zvyšok bude tiež polovičný, t.j. 0,5 x. A polovica polovice môže byť napísaná takto:

0,5 x 0,5 x = 0,25 x- polovica zvyšku.

Teraz boli všetky skryté informácie odhalené a zaznamenané.

3. Hľadáme súvislosť medzi zaznamenanými údajmi. Tu si môžete jednoducho prečítať Petrovičovo utrpenie a zapísať ho matematicky):

Ak miniem polovicu všetkých peňazí...

Zaznamenajme si tento proces. Všetky peniaze - X. Polovica - 0,5 x. Míňať znamená odnášať. Fráza sa zmení na nahrávku:

x - 0,5 x

áno polovicu zvyšku...

Odčítajme ďalšiu polovicu zvyšku:

x - 0,5 x - 0,25 x

potom mi ostane len jedna taška peňazí...

A tu sme našli rovnosť! Po všetkých odpočítaniach zostáva jedna taška peňazí:

x - 0,5 x - 0,25 x = 1

Tu to je, matematický model! Je to znova lineárna rovnica, vyriešime, dostaneme:

Otázka na zváženie. čo je štyri? Rubeľ, dolár, juan? A v akých jednotkách sa v našom matematickom modeli píšu peniaze? Vo vreciach! To znamená štyri taška peniaze od Petroviča. Tiež dobré.)

Úlohy sú, samozrejme, elementárne. Ide konkrétne o vystihnutie podstaty zostavovania matematického modelu. Niektoré úlohy môžu obsahovať oveľa viac údajov, v ktorých sa dá ľahko stratiť. To sa často stáva v tzv. kompetenčné úlohy. Ako extrahovať matematický obsah z hromady slov a čísel je znázornené na príkladoch

Ešte jedna poznámka. Pri klasických školských problémoch (potrubia napĺňajúce bazén, niekde plávajúce člny atď.) sa všetky údaje spravidla vyberajú veľmi starostlivo. Existujú dve pravidlá:
- v probléme je dostatok informácií na jeho vyriešenie,
- V probléme nie sú žiadne zbytočné informácie.

Toto je náznak. Ak v matematickom modeli zostane nejaká hodnota nevyužitá, zamyslite sa nad tým, či tam nie je chyba. Ak nie je dostatok údajov, s najväčšou pravdepodobnosťou neboli identifikované a zaznamenané všetky skryté informácie.

V kompetenčných a iných životných úlohách sa tieto pravidlá striktne nedodržiavajú. Nemam potuchy. Ale aj takéto problémy sa dajú riešiť. Ak, samozrejme, cvičíte na klasických.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.