Najväčší spoločný násobok čísel. Online kalkulačka Nájdenie (výpočet) GCD a NOC

Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku pod názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, vzťah medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), a venovať osobitnú pozornosť riešeniu príkladov. Najprv ukážme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel z hľadiska GCD týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.

Navigácia na stránke.

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd

Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúci vzťah medzi LCM a GCD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Zvážte príklady nájdenia LCM podľa vyššie uvedeného vzorca.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70 .

Riešenie.

V tomto príklade a=126, b=70. Využime vzťah medzi LCM a GCD vyjadrený vzorcom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme vypočítať LCM týchto čísel podľa napísaného vzorca.

Nájdite gcd(126, 70) pomocou Euklidovho algoritmu: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4, teda gcd(126, 70)=14.

Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.

odpoveď:

LCM(126,70)=630.

Príklad.

Čo je LCM(68, 34)?

Riešenie.

Pretože 68 je rovnomerne deliteľné 34 , potom gcd(68, 34)=34 . Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.

odpoveď:

LCM(68,34)=68.

Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla aab: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a .

Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory

Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak vytvoríme súčin všetkých prvočiniteľov týchto čísel, potom z tohto súčinu vylúčime všetky spoločné prvočísla, ktoré sú prítomné v rozšíreniach týchto čísel, potom sa výsledný súčin bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku týchto čísel.

Vyhlásené pravidlo pre hľadanie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). V skutočnosti sa súčin čísel a a b rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách čísel a a b. Na druhej strane, gcd(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel a a b (čo je popísané v časti o nájdení gcd pomocou rozkladu čísel na prvočísla ).

Vezmime si príklad. Nech vieme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Zostavte súčin všetkých faktorov týchto expanzií: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz z tohto produktu vylúčime všetky faktory, ktoré sú prítomné tak v rozšírení čísla 75, ako aj v rozšírení čísla 210 (takými faktormi sú 3 a 5), ​​potom bude produkt mať tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Príklad.

Po rozklade čísel 441 a 700 na prvočísla nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Riešenie.

Rozložme čísla 441 a 700 na prvočísla:

Dostaneme 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Teraz urobme súčin všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách týchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Touto cestou, LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

odpoveď:

LCM(441,700)= 44100.

Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak pripočítame chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.

Vezmime si napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich expanzie na prvočísla sú nasledovné: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorom 3, 5 a 5 z rozkladu čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozkladu čísla 210, dostaneme súčin 2 3 5 5 7, ktorého hodnota je LCM(75 , 210).

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.

Riešenie.

Najprv získame rozklad čísel 84 a 648 na prvočísla. Vyzerajú ako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 z rozkladu čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a 3 z rozkladu čísla 648 , dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7 , čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok čísel 84 a 648 je teda 4 536.

odpoveď:

LCM(84,648)=4536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si príslušnú vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.

Veta.

Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme v sekvenčnom výpočte m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , ..., mk = LCM(mk-1, ak).

Zvážte aplikáciu tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.

Príklad.

Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.

Riešenie.

V tomto príklade a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Najprv nájdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby sme to urobili, pomocou euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , teda gcd( 140, 9) = 1, odkiaľ LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.

Teraz nájdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou gcd(1 260, 54) , ktorý je tiež určený Euklidovým algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1260,54)=18, odkiaľ LCM(1260,54)= 126054:gcd(1260,54)= 1260 54:18=3780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.

Zostáva nájsť m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3 780, 250) pomocou Euklidovho algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Preto gcd(3 780, 250)=10 , odkiaľ gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.

Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.

odpoveď:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnohých prípadoch sa najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pohodlne nájde použitím prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým súčiniteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k získaným faktorom atď.

Uvažujme o príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou rozkladu čísel na prvočísla.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Riešenie.

Najprv získame expanzie týchto čísel na prvočísla: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočiniteľov) a 143=11 13 .

Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6 . Rozšírenie čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozšírení prvého čísla 84 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48 , dostaneme množinu faktorov 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V ďalšom kroku nie je potrebné pridávať faktory do tejto sady, pretože 7 je v nej už obsiahnutých. Nakoniec k faktorom 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143 . Dostaneme súčin 2 2 2 2 3 7 11 13 , čo sa rovná 48 048 .

Ale mnohé prirodzené čísla sú rovnomerne deliteľné inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné (pre 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliče čísla. Deliteľ prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva faktory, sa nazýva zložený .

Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločných deliteľov. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a a b je číslo, ktorým sú obe dané čísla bezo zvyšku deliteľné a a b.

spoločný násobok niekoľko čísel sa nazýva číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých jcommon násobkov je vždy ten najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo je tzv. najmenejspoločný násobok (LCM).

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutivita:

Asociativita:

Konkrétne, ak a sú prvočísla , potom:

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m a n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m a n. Navyše množina spoločných násobkov m,n sa zhoduje s množinou násobkov pre LCM( m,n).

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia. Ako aj:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).

NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho vzťah s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

kde p 1 ,...,p k sú rôzne prvočísla a d 1,...,dk a e 1 ,...,ek sú nezáporné celé čísla (môžu byť nulové, ak príslušné prvočíslo nie je v rozklade).

Potom LCM ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozšírenie LCM obsahuje všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté aspoň v jednom z rozšírenia čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto faktora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko po sebe idúcich výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- preniesť najväčšie rozšírenie na faktory požadovaného súčinu (súčin faktorov najväčšieho počtu z daných) a potom pridať faktory z rozšírenia ďalších čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sú v ňom menší počet krát;

- výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj vlastný LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) boli doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.

Prvočísla najväčšieho čísla 30 boli doplnené o faktor 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Toto je najmenší možný súčin (150, 250, 300...), ktorého všetky zadané čísla sú násobkami.

Čísla 2,3,11,37 sú prvočísla, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.

pravidlo. Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte všetky tieto čísla vynásobiť.

Ďalšia možnosť:

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:

1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) každého z týchto čísel;

4) vyberte najväčší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;

5) znásobte tieto právomoci.

Príklad. Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Riešenie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Vypíšeme najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov a vynásobíme ich:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Druhé číslo: b=

Oddeľovač číslicŽiadny oddeľovač medzery „ “

výsledok:

Najväčší spoločný deliteľ gcd( a,b)=6

Najmenší spoločný násobok LCM( a,b)=468

Nazýva sa najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku najväčší spoločný deliteľ(gcd) týchto čísel. Označuje sa gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) alebo hcf(a,b).

Najmenší spoločný násobok(LCM) dvoch celých čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné aab bezo zvyšku. Označené LCM(a,b) alebo lcm(a,b).

Celé čísla a a b sa nazývajú nesúdeliteľné ak nemajú iných spoločných deliteľov ako +1 a -1.

Najväčší spoločný deliteľ

Nech sú dané dve kladné čísla a 1 a a 2 1). Je potrebné nájsť spoločného deliteľa týchto čísel, t.j. nájsť také číslo λ , ktorý delí čísla a 1 a a 2 v rovnakom čase. Poďme si popísať algoritmus.

1) V tomto článku bude slovo číslo znamenať celé číslo.

Nechaj a 1 ≥ a 2 a nechať

kde m 1 , a 3 sú nejaké celé čísla, a 3 <a 2 (zvyšok z rozdelenia a 1 na a 2 by malo byť menej a 2).

Predstierajme to λ rozdeľuje a 1 a a 2, potom λ rozdeľuje m 1 a 2 a λ rozdeľuje a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. tvrdenie článku "Deliteľnosť čísel. Znak deliteľnosti"). Z toho vyplýva, že každý spoločný deliteľ a 1 a a 2 je spoločný deliteľ a 2 a a 3. Opak platí aj vtedy, ak λ spoločný deliteľ a 2 a a 3, potom m 1 a 2 a a 1 =m 1 a 2 +a 3 sa tiež delia na λ . Preto spoločný deliteľ a 2 a a 3 je tiež spoločný deliteľ a 1 a a 2. Pretože a 3 <a 2 ≤a 1 , potom môžeme povedať, že riešenie problému nájdenia spoločného deliteľa čísel a 1 a a 2 zredukovaný na jednoduchší problém hľadania spoločného deliteľa čísel a 2 a a 3 .

Ak a 3 ≠0, potom môžeme deliť a 2 na a 3. Potom

,

kde m 1 a a 4 sú nejaké celé čísla, ( a 4 zvyšok divízie a 2 na a 3 (a 4 <a 3)). Podobným uvažovaním dospejeme k záveru, že spoločné deliče čísel a 3 a a 4 je rovnaký ako spoločný deliteľ čísel a 2 a a 3 a tiež so spoločnými deliteľmi a 1 a a 2. Pretože a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... čísla, ktoré neustále klesajú, a keďže medzi nimi je konečný počet celých čísel a 2 a 0, potom v určitom kroku n, zvyšok divízie a n na a n+1 sa bude rovnať nule ( a n+2=0).

.

Každý spoločný deliteľ λ čísla a 1 a a 2 je tiež deliteľ čísel a 2 a a 3 , a 3 a a 4 , .... a n a a n+1. Platí to aj naopak, spoločné deliče čísel a n a a n+1 sú tiež deliče čísel a n-1 a a n , .... , a 2 a a 3 , a 1 a a 2. Ale spoločný deliteľ a n a a n+1 je číslo a n+1, pretože a n a a n+1 sú deliteľné a n+1 (pripomeňme si to a n+2=0). V dôsledku toho a n+1 je tiež deliteľ čísel a 1 a a 2 .

Všimnite si, že číslo a n+1 je najväčší deliteľ čísla a n a a n+1 , keďže najväčší deliteľ a n+1 je samo o sebe a n+1. Ak a n + 1 môže byť reprezentované ako súčin celých čísel, potom sú tieto čísla tiež spoločnými deliteľmi čísel a 1 a a 2. číslo a n+1 sa nazývajú najväčší spoločný deliteľčísla a 1 a a 2 .

čísla a 1 a a 2 môžu byť kladné aj záporné čísla. Ak sa jedno z čísel rovná nule, potom sa najväčší spoločný deliteľ týchto čísel bude rovnať absolútnej hodnote druhého čísla. Najväčší spoločný deliteľ nulových čísel nie je definovaný.

Vyššie uvedený algoritmus sa nazýva Euklidov algoritmus nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch celých čísel.

Príklad nájdenia najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel 630 a 434.

• Krok 1. Vydeľte číslo 630 číslom 434. Zvyšok je 196.
• Krok 2. Vydeľte číslo 434 číslom 196. Zvyšok je 42.
• Krok 3. Vydeľte číslo 196 číslom 42. Zvyšok je 28.
• Krok 4. Vydeľte číslo 42 číslom 28. Zvyšok je 14.
• Krok 5. Vydeľte číslo 28 číslom 14. Zvyšok je 0.

V kroku 5 je zvyšok delenia 0. Preto je najväčší spoločný deliteľ čísel 630 a 434 14. Všimnite si, že čísla 2 a 7 sú tiež deliteľmi čísel 630 a 434.

Coprime čísla

Definícia 1. Nech je najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2 sa rovná jednej. Potom sa volajú tieto čísla coprime čísla ktoré nemajú spoločného deliteľa.

Veta 1. Ak a 1 a a 2 relatívne prvočísla, a λ nejaké číslo, potom ľubovoľný spoločný deliteľ čísel λa 1 a a 2 je tiež spoločný deliteľ čísel λ a a 2 .

Dôkaz. Zvážte Euklidov algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa čísel a 1 a a 2 (pozri vyššie).

.

Z podmienok vety vyplýva, že najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2, a preto a n a a n+1 je 1. T.j. a n+1=1.

Všetky tieto rovnosti vynásobme λ , potom

.

Nech je spoločný deliteľ a 1 λ a a 2 je δ . Potom δ vstupuje ako faktor v a 1 λ , m 1 a 2 λ a v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Pozri "Deliteľnosť čísel", vyhlásenie 2). Ďalej δ vstupuje ako faktor v a 2 λ a m 2 a 3 λ , a teda vstupuje ako faktor do a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Takýmto uvažovaním sme o tom presvedčení δ vstupuje ako faktor v a n-1 λ a m n-1 a n λ , a teda v a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Pretože a n+1 = 1, potom δ vstupuje ako faktor v λ . Preto to číslo δ je spoločný deliteľ čísel λ a a 2 .

Zvážte špeciálne prípady vety 1.

Dôsledok 1. Nechaj a a c prvočísla sú relatívne b. Potom ich produkt ac je prvočíslo vzhľadom na b.

Naozaj. Z vety 1 ac a b majú rovnakých spoločných deliteľov ako c a b. Ale čísla c a b coprime, t.j. majú jediného spoločného deliteľa 1. Potom ac a b majú tiež jediného spoločného deliteľa 1. Preto ac a b obojstranne jednoduché.

Dôsledok 2. Nechaj a a b coprime čísla a nech b rozdeľuje ak. Potom b rozdeľuje a k.

Naozaj. Z podmienky tvrdenia ak a b majú spoločného deliteľa b. Na základe vety 1, b musí byť spoločným deliteľom b a k. V dôsledku toho b rozdeľuje k.

Dôsledok 1 možno zovšeobecniť.

Dôsledok 3. 1. Nechajte čísla a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m sú prvočísla relatívne k číslu b. Potom a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , súčin týchto čísel je prvočíslo vzhľadom na číslo b.

2. Nech máme dva rady čísel

tak, že každé číslo v prvom rade je prvočíslo vzhľadom na každé číslo v druhom rade. Potom produkt

Je potrebné nájsť také čísla, ktoré sú deliteľné každým z týchto čísel.

Ak je číslo deliteľné a 1, potom to vyzerá sa 1, kde s nejaké číslo. Ak q je najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2, potom

kde s 1 je nejaké celé číslo. Potom

je najmenší spoločný násobok čísel a 1 a a 2 .

a 1 a a 2 coprime, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 a a 2:

Nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Z uvedeného vyplýva, že ľubovoľný násobok čísel a 1 , a 2 , a 3 musí byť násobkom čísel ε a a 3 a naopak. Nech je najmenší spoločný násobok čísel ε a a 3 je ε jeden . Ďalej násobok čísel a 1 , a 2 , a 3 , a 4 musí byť násobkom čísel ε 1 a aštyri . Nech je najmenší spoločný násobok čísel ε 1 a a 4 je ε 2. Zistili sme teda, že všetky násobky čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sa zhodujú s násobkami nejakého konkrétneho čísla ε n , ktorý sa nazýva najmenší spoločný násobok daných čísel.

V konkrétnom prípade, keď čísla a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2, ako je znázornené vyššie, má tvar (3). Ďalej od r a 3 prvočíslo vzhľadom na čísla a 1 , a 2, potom a 3 je prvočíslo relatívne číslo a jeden · a 2 (dôsledok 1). Čiže najmenší spoločný násobok čísel a 1 ,a 2 ,a 3 je číslo a jeden · a 2 · a 3. Argumentujúc podobným spôsobom, dospejeme k nasledujúcim tvrdeniam.

Vyhlásenie 1. Najmenší spoločný násobok prvočíselných čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sa rovná ich súčinu a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Vyhlásenie 2. Akékoľvek číslo, ktoré je deliteľné každým zo základných čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je deliteľné aj ich súčinom a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Zvážte tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok.

Hľadanie faktoringom

Prvým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok rozdelením daných čísel na prvočísla.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť LCM čísel: 99, 30 a 28. Aby sme to dosiahli, rozložíme každé z týchto čísel na prvočísla:

Aby bolo požadované číslo deliteľné 99, 30 a 28, je potrebné a postačujúce, aby zahŕňalo všetky prvočísla týchto deliteľov. Aby sme to dosiahli, musíme zobrať všetky prvočísla týchto čísel na najvyššiu vyskytujúcu sa mocninu a vynásobiť ich:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Takže LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žiadne iné číslo menšie ako 13 860 nie je rovnomerne deliteľné 99, 30 alebo 28.

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel, musíte ich rozdeliť do prvočiniteľov, potom vziať každý prvočiniteľ s najväčším exponentom, s ktorým sa vyskytuje, a tieto faktory vynásobiť.

Keďže prvočísla nemajú žiadne spoločné prvočísla, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú koprimé. Preto

LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.

To isté treba urobiť pri hľadaní najmenšieho spoločného násobku rôznych prvočísel. Napríklad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hľadanie výberom

Druhým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok preložením.

Príklad 1. Keď je najväčšie z daných čísel rovnomerne deliteľné inými danými číslami, potom sa LCM týchto čísel rovná väčšiemu z nich. Napríklad zadané štyri čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je deliteľné 60, preto:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho spoločného násobku používa nasledujúci postup:

1. Určte najväčšie číslo z daných čísel.
2. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami najväčšieho čísla, vynásobíme ho prirodzenými číslami vo vzostupnom poradí a skontrolujeme, či zostávajúce dané čísla sú deliteľné výsledným súčinom.

Príklad 2. Dané tri čísla 24, 3 a 18. Určte najväčšie z nich – toto je číslo 24. Ďalej nájdite násobky 24 a skontrolujte, či je každé z nich deliteľné 18 a 3:

24 1 = 24 je deliteľné 3, ale nie je deliteľné 18.

24 2 = 48 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.

24 3 \u003d 72 - deliteľné 3 a 18.

Takže LCM(24; 3; 18) = 72.

Hľadanie pomocou postupného hľadania LCM

Tretím spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok postupným hľadaním LCM.

LCM dvoch daných čísel sa rovná súčinu týchto čísel vydelenému ich najväčším spoločným deliteľom.

Príklad 1. Nájdite LCM dvoch daných čísel: 12 a 8. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tieto čísla:

Produkt delíme na ich GCD:

Takže LCM(12; 8) = 24.

Na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel sa používa nasledujúci postup:

1. Najprv sa nájde LCM ľubovoľných dvoch z daných čísel.
2. Potom LCM nájdeného najmenšieho spoločného násobku a tretieho daného čísla.
3. Potom LCM výsledného najmenšieho spoločného násobku a štvrtého čísla atď.
4. Vyhľadávanie LCM teda pokračuje, pokiaľ existujú čísla.

Príklad 2. Nájdite LCM troch daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 sme už našli v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenší spoločný násobok 24 a tretie dané číslo - 9. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: gcd (24, 9) = 3. LCM vynásobte číslom 9:

Produkt delíme na ich GCD:

Takže LCM(12; 8; 9) = 72.

Pokračujme v diskusii o najmenšom spoločnom násobku, ktorú sme začali v časti LCM - Najmenší spoločný násobok, definícia, príklady. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, analyzujeme otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd

Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako definovať LCM prostredníctvom GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.

Definícia 1

Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Príklad 1

Je potrebné nájsť LCM čísel 126 a 70.

Riešenie

Vezmime si a = 126 , b = 70 . Dosaďte hodnoty vo vzorci na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Nájde GCD čísel 70 a 126. Na to potrebujeme Euklidov algoritmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , teda gcd (126 , 70) = 14 .

Vypočítajme LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

odpoveď: LCM (126, 70) = 630.

Príklad 2

Nájdite číslo 68 a 34.

Riešenie

GCD je v tomto prípade ľahké nájsť, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajte najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odpoveď: LCM(68,34) = 68.

V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, potom sa LCM týchto čísel bude rovnať prvému číslu.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory

Teraz sa pozrime na spôsob, ako nájsť LCM, ktorý je založený na rozklade čísel na prvočísla.

Definícia 2

Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:

• tvoríme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
• z ich získaných produktov vylúčime všetky hlavné faktory;
• produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.

Tento spôsob hľadania najmenšieho spoločného násobku je založený na rovnosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozširovaní týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa GCD dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.

Príklad 3

Máme dve čísla 75 a 210 . Môžeme ich vypočítať takto: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Ak vytvoríte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin nasledujúceho tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 441 a 700 , pričom sa obe čísla rozložia na prvočiniteľa.

Riešenie

Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozšírení týchto čísel, bude vyzerať takto: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto číslo je 7. Vylučujeme ho zo všeobecného produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odpoveď: LCM (441, 700) = 44100.

Uveďme ešte jednu formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Definícia 3

Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:

• Rozložme obe čísla na prvočísla:
• doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
• dostaneme súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.

Príklad 5

Vráťme sa k číslam 75 a 210 , pre ktoré sme už hľadali LCM v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3 , 5 a 5 číslo 75 doplniť chýbajúce faktory 2 a 7 čísla 210. Dostaneme: 2 3 5 5 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Príklad 6

Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.

Riešenie

Rozložme čísla z podmienky na prvočísla: 84 = 2 2 3 7 a 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajte k súčinu faktorov 2 , 2 , 3 a 7 čísla 84 chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a
3 čísla 648 . Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.

odpoveď: LCM (84, 648) = 4536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: dôsledne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.

Veta 1

Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k z týchto čísel sa zistí sekvenčný výpočet m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (m k − 1, ak) .

Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta aplikovať na konkrétne problémy.

Príklad 7

Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140 , 9 , 54 a 250 .

Riešenie

Predstavme si notáciu: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Použime euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Získame: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Preto m 2 = 1 260.

Teraz vypočítajme podľa rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . V priebehu výpočtov dostaneme m 3 = 3 780.

Zostáva nám vypočítať m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Získame m 4 \u003d 94 500.

LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500 .

odpoveď: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť pracné. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.

Definícia 4

Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:

• rozložiť všetky čísla na prvočísla;
• k súčinu faktorov prvého čísla doplňte chýbajúce faktory súčinu druhého čísla;
• pridať chýbajúce faktory tretieho čísla k produktu získanému v predchádzajúcej fáze atď.;
• výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.

Príklad 8

Je potrebné nájsť LCM piatich čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Riešenie

Rozložme všetkých päť čísel na prvočísla: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.

Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.

Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Obrátime sa na číslo 48, zo súčinu prvočiniteľov, z ktorých vezmeme 2 a 2. Potom pridáme jednoduchý faktor 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je najmenší spoločný násobok z piatich pôvodných čísel.

odpoveď: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Aby sa našiel najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia sa tieto čísla najskôr nahradiť číslami s opačným znamienkom a potom by sa mali výpočty vykonať podľa vyššie uvedených algoritmov.

Príklad 9

LCM(54,-34) = LCM(54,34) a LCM(-622,-46,-54,-888) = LCM(622,46,54,888).

Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak sa prijme, že a a − a- opačné čísla
potom množina násobkov a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.

Príklad 10

Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 a − 45 .

Riešenie

Zmeňme čísla − 145 a − 45 na ich opačné čísla 145 a 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou Euklidovho algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .

odpoveď: LCM (- 145, - 45) = 1 305 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter