بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع از دو متغیر در یک منطقه بسته. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش

اکستروم تابع چیست و شرط لازم برای اکستروم چیست؟

حداکثر یک تابع حداکثر و حداقل تابع است.

شرط لازم برای ماکزیمم و مینیمم (افراط) تابع به شرح زیر است: اگر تابع f(x) در نقطه x = a حدی داشته باشد، در این نقطه مشتق یا صفر است، یا بی نهایت، یا می کند. وجود ندارد.

این شرط لازم است، اما کافی نیست. مشتق در نقطه x = a می‌تواند ناپدید شود، به بی‌نهایت برود یا وجود نداشته باشد بدون اینکه تابع در این نقطه اکسترموم داشته باشد.

شرط کافی برای حداکثر بودن تابع (حداکثر یا حداقل) چیست؟

شرط اول:

اگر در مجاورت کافی با نقطه x = a، مشتق f?(x) در سمت چپ a مثبت و در سمت راست a منفی باشد، در این صورت در خود نقطه x = a تابع f(x) است. بیشترین

اگر در مجاورت کافی با نقطه x = a، مشتق f?(x) در سمت چپ a منفی و در سمت راست a مثبت باشد، آنگاه در خود نقطه x = a تابع f(x) است. کمترینبه شرطی که تابع f(x) در اینجا پیوسته باشد.

در عوض، می‌توانید از شرط کافی دوم برای حداکثر تابع استفاده کنید:

بگذارید در نقطه x = و اولین مشتق f؟(x) ناپدید شود. اگر مشتق دوم f??(a) منفی باشد، تابع f(x) در نقطه x = a ماکزیمم دارد، اگر مثبت باشد، حداقل است.

نقطه بحرانی یک تابع چیست و چگونه آن را پیدا کنیم؟

این مقدار آرگومان تابعی است که در آن تابع یک اکسترموم دارد (یعنی حداکثر یا حداقل). برای پیدا کردن آن، شما نیاز دارید مشتق را پیدا کنیدتابع f?(x) و با برابر کردن آن با صفر، معادله را حل کنید f?(x) = 0. ریشه های این معادله، و همچنین نقاطی که مشتق این تابع در آنها وجود ندارد، نقاط بحرانی هستند، یعنی مقادیر آرگومان که ممکن است در آن یک اکسترموم وجود داشته باشد. . با نگاه کردن به آنها به راحتی قابل شناسایی هستند نمودار مشتق: ما به مقادیری از آرگومان علاقه مندیم که در آن نمودار تابع محور آبسیسا (محور Ox) را قطع می کند و آنهایی که نمودار دچار شکستگی می شود.

مثلا پیدا کنیم منتهی الیه سهمی.

تابع y(x) = 3x2 + 2x - 50.

مشتق تابع: y?(x) = 6x + 2

معادله را حل می کنیم: y?(x) = 0

6x + 2 = 0، 6x = -2، x = -2/6 = -1/3

در این حالت نقطه بحرانی x0=-1/3 است. برای این مقدار آرگومان است که تابع دارد نقاط بحرانی. برای دریافت آن پیدا کردن، عدد یافت شده در عبارت را به جای "x" جایگزین تابع می کنیم:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

نحوه تعیین حداکثر و حداقل یک تابع، یعنی. بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن؟

اگر علامت مشتق هنگام عبور از نقطه بحرانی x0 از «بعلاوه» به «منهای» تغییر کند، آنگاه x0 برابر است با حداکثر امتیاز; اگر علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر کند، x0 است حداقل امتیاز; اگر علامت تغییر نکند، در نقطه x0 نه حداکثر وجود دارد و نه حداقل.

برای مثال در نظر گرفته شده:

مقدار دلخواه آرگومان را در سمت چپ نقطه بحرانی می گیریم: x = -1

وقتی x = -1، مقدار مشتق y خواهد بود؟ (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (یعنی علامت منفی).

اکنون یک مقدار دلخواه آرگومان را در سمت راست نقطه بحرانی می گیریم: x = 1

برای x = 1، مقدار مشتق y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 خواهد بود (یعنی علامت مثبت).

همانطور که می بینید، هنگام عبور از نقطه بحرانی، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این بدان معنی است که در مقدار بحرانی x0 یک نقطه حداقل داریم.

بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در فاصله(روی بخش) با همان رویه پیدا می شوند، فقط با در نظر گرفتن این واقعیت که، شاید، همه نقاط بحرانی در بازه مشخص شده قرار نگیرند. آن نقاط بحرانی که خارج از فاصله زمانی هستند باید از بررسی حذف شوند. اگر فقط یک نقطه بحرانی در داخل بازه وجود داشته باشد، یا حداکثر یا حداقل خواهد داشت. در این حالت برای تعیین بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع، مقادیر تابع در انتهای بازه را نیز در نظر می گیریم.

برای مثال، بیایید بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع را پیدا کنیم

y (x) \u003d 3 گناه (x) - 0.5x

در فواصل زمانی:

بنابراین مشتق تابع است

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

معادله 3cos(x) - 0.5 = 0 را حل می کنیم

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

ما نقاط بحرانی را در بازه [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (در بازه ذکر نشده است)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (در بازه ذکر نشده است)

ما مقادیر تابع را در مقادیر بحرانی آرگومان می یابیم:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

مشاهده می شود که در بازه [-9; 9] تابع بیشترین مقدار را در x = -4.88 دارد:

x = -4.88، y = 5.398،

و کوچکترین - در x = 4.88:

x = 4.88، y = -5.398.

در بازه [-6; -3] ما فقط یک نقطه بحرانی داریم: x = -4.88. مقدار تابع در x = -4.88 y = 5.398 است.

مقدار تابع را در انتهای بازه پیدا می کنیم:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

در بازه [-6; -3] ما بیشترین مقدار تابع را داریم

y = 5.398 در x = -4.88

کوچکترین مقدار است

y = 1.077 در x = -3

چگونه می توان نقاط عطف نمودار تابع را پیدا کرد و اضلاع تحدب و تقعر را تعیین کرد؟

برای پیدا کردن تمام نقاط عطف خط y \u003d f (x)، باید مشتق دوم را پیدا کنید، آن را با صفر برابر کنید (معادله را حل کنید) و تمام مقادیر x را آزمایش کنید که مشتق دوم برای آنها صفر است. ، بی نهایت است یا وجود ندارد. اگر در هنگام عبور از یکی از این مقادیر، مشتق دوم علامت آن را تغییر دهد، نمودار تابع در این نقطه دارای عطف است. اگر تغییر نکرد، عطف وجود ندارد.

ریشه های معادله f ? (x) = 0 و همچنین نقاط احتمالی ناپیوستگی تابع و مشتق دوم، دامنه تابع را به تعدادی بازه تقسیم می کند. تحدب در هر یک از فواصل آنها با علامت مشتق دوم تعیین می شود. اگر مشتق دوم در نقطه‌ای از بازه مورد مطالعه مثبت باشد، خط y = f(x) در اینجا به سمت بالا مقعر و اگر منفی باشد، به سمت پایین است.

چگونه حداکثر یک تابع از دو متغیر را پیدا کنیم؟

برای یافتن منتهی الیه تابع f(x,y)، قابل تفکیک در ناحیه تخصیص آن، به موارد زیر نیاز دارید:

1) نقاط بحرانی را پیدا کنید و برای این کار سیستم معادلات را حل کنید

fx (x,y) = 0، fy؟ (x,y) = 0

2) برای هر نقطه بحرانی P0(a;b)، بررسی کنید که آیا علامت تفاوت بدون تغییر باقی می ماند یا خیر

برای تمام نقاط (x; y) به اندازه کافی نزدیک به P0. اگر تفاوت یک علامت مثبت را حفظ کند، در نقطه P0 حداقل، اگر منفی است، حداکثر داریم. اگر تفاوت علامت خود را حفظ نکند، در نقطه Р0 اکسترومی وجود ندارد.

به طور مشابه، انتهای تابع برای تعداد بیشتری از آرگومان ها تعیین می شود.

شرک برای همیشه پس از چیست؟
کارتون: Shrek Forever پس از سال اکران: 2010 اولین نمایش (روسیه): 20 می 2010 کشور: ایالات متحده آمریکا کارگردان: Michael Pitchel فیلمنامه: Josh Klausner, Darren Lemke ژانر: کمدی خانوادگی، فانتزی، ماجراجویی وب سایت رسمی: www.shrekforeverafter.com plot قاطر

آیا می توانم در دوران قاعدگی خون اهدا کنم؟
پزشکان اهدای خون در دوران قاعدگی را توصیه نمی کنند، زیرا. از دست دادن خون، اگرچه به مقدار قابل توجهی نیست، مملو از کاهش سطح هموگلوبین و بدتر شدن بهزیستی زن است. در طی فرآیند اهدای خون، وضعیت رفاه می تواند تا کشف خونریزی بدتر شود. بنابراین زنان باید در دوران قاعدگی از اهدای خون خودداری کنند. و در حال حاضر در روز 5 پس از اتمام آنها

چه مقدار کیلو کالری در ساعت هنگام شستشوی کف ها مصرف می شود
انواع فعالیت بدنی مصرف انرژی، کیلوکالری در ساعت پخت و پز 80 لباس پوشیدن 30 رانندگی با ماشین 50 گردگیری 80 غذا خوردن 30 باغبانی 135 اتو کردن لباس ها 45 تختخوابی 130 خرید 80 کار بی تحرک 75 خرد کردن چوب 300 شستن کف 130-15

کلمه "سرکش" به چه معناست؟
کلاهبردار، دزدی است که به دزدی کوچک دست می زند، یا فردی سرکش که مستعد حقه های متقلبانه است. تأیید این تعریف در فرهنگ ریشه‌شناسی کریلوف آمده است که بر اساس آن کلمه «کلاهبردار» از کلمه «دزد» (دزد، شیاد) شبیه به فعل &la تشکیل شده است.

نام آخرین داستان منتشر شده از برادران استروگاتسکی چیست؟
داستان کوتاهی از آرکادی و بوریس استروگاتسکی "درباره مسئله چرخش" برای اولین بار در آوریل 2008 در سالنامه علمی تخیلی "Non. Century XXI" (ضمیمه مجله "Vokrug sveta" که به سردبیری بوریس استروگاتسکی منتشر شد) منتشر شد. . این نشریه به 75مین سالگرد بوریس استروگاتسکی اختصاص داشت.

کجا می توانم داستان های شرکت کنندگان برنامه Work And Travel USA را بخوانم
کار و سفر ایالات متحده آمریکا (کار و سفر در ایالات متحده آمریکا) یک برنامه تبادل دانشجوی محبوب است که در آن می توانید تابستان را در آمریکا سپری کنید، به طور قانونی در بخش خدمات کار کنید و سفر کنید. برنامه History of the Work & Travel بخشی از برنامه Cultural Exchange Pro مبادلات بین دولتی است.

گوش. مرجع آشپزی و تاریخی برای بیش از دو قرن و نیم، کلمه "اوخا" برای تعیین سوپ یا جوشانده ماهی تازه استفاده می شود. اما زمانی بود که این کلمه به طور گسترده‌تری تعبیر می‌شد. آنها سوپ را نشان دادند - نه تنها ماهی، بلکه گوشت، نخود و حتی شیرین. بنابراین در سند تاریخی - "

پورتال های اطلاعات و استخدام Superjob.ru - پورتال استخدام Superjob.ru از سال 2000 در بازار استخدام آنلاین روسیه فعالیت می کند و در بین منابع ارائه دهنده کار و جستجوی پرسنل پیشرو است. روزانه بیش از 80000 رزومه متخصص و بیش از 10000 جای خالی به پایگاه داده سایت اضافه می شود.

انگیزه چیست
تعریف انگیزه انگیزه (از زبان lat. moveo - من حرکت می کنم) - یک انگیزه برای عمل; یک فرآیند پویا از یک برنامه فیزیولوژیکی و روانی که رفتار انسان را کنترل می کند، جهت، سازمان، فعالیت و ثبات آن را تعیین می کند. توانایی انسان برای ارضای نیازهای خود از طریق کار انگیزه

باب دیلن کیست
باب دیلن (eng. Bob Dylan، نام واقعی - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman؛ زادهٔ ۲۴ مه ۱۹۴۱) یک ترانه‌سرا آمریکایی است که - طبق نظرسنجی مجله رولینگ استون - دومین (

نحوه حمل و نقل گیاهان داخلی
باغبان پس از خرید گیاهان سرپوشیده با این وظیفه مواجه می شود که چگونه گل های عجیب و غریب خریداری شده را بدون آسیب تحویل دهد. دانستن قوانین اولیه برای بسته بندی و حمل و نقل گیاهان داخلی به حل این مشکل کمک می کند. گیاهان برای حمل و نقل یا حمل و نقل باید بسته بندی شوند. مهم نیست که فاصله گیاهان چقدر کم است، ممکن است آسیب ببینند، خشک شوند و در زمستان

فرآیند یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش، یادآور یک پرواز جذاب حول یک جسم (نمودار یک تابع) در یک هلیکوپتر با شلیک از یک توپ دوربرد در نقاط خاص و انتخاب از بین است. این نقاط نقاط بسیار ویژه ای برای ضربات کنترلی هستند. امتیازها به روشی خاص و طبق قوانین خاصی انتخاب می شوند. با چه قوانینی؟ در ادامه در این مورد صحبت خواهیم کرد.

اگر تابع y = f(ایکس) پیوسته در بازه [ آ, ب]، سپس به این بخش می رسد کمترین و بالاترین ارزش ها . این می تواند در هر دو اتفاق بیفتد نقاط افراطییا در انتهای بخش بنابراین، برای پیدا کردن کمترین و بزرگترین مقادیر تابع ، پیوسته روی قطعه [ آ, ب]، باید مقادیر آن را در همه محاسبه کنید نقاط بحرانیو در انتهای بخش، و سپس کوچکترین و بزرگترین آنها را انتخاب کنید.

اجازه دهید، برای مثال، برای تعیین حداکثر مقدار تابع مورد نیاز است f(ایکس) در بخش [ آ, ب] . برای انجام این کار، تمام نقاط بحرانی آن را در [ آ, ب] .

نقطه بحرانی نقطه ای نامیده می شود که در آن تابع تعریف شده است، و او مشتقیا صفر است یا وجود ندارد. سپس باید مقادیر تابع را در نقاط بحرانی محاسبه کنید. و در نهایت، باید مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و در انتهای بخش مقایسه کرد ( f(آ) و f(ب) ). بزرگترین این اعداد خواهد بود بزرگترین مقدار تابع در بخش [آ, ب] .

مشکل پیدا کردن کوچکترین مقادیر تابع .

ما با هم به دنبال کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع هستیم

مثال 1. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش [-1, 2] .

راه حل. مشتق این تابع را پیدا می کنیم. مشتق را با صفر () برابر کنید و دو نقطه بحرانی بدست آورید: و . برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، کافی است مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه محاسبه کنید، زیرا نقطه به بخش تعلق ندارد [-1، 2]. این مقادیر تابع عبارتند از: , , . نتیجه می شود که کوچکترین مقدار تابع(در نمودار زیر با رنگ قرمز مشخص شده است)، برابر با -7، در انتهای سمت راست بخش - در نقطه، و بزرگترین(همچنین روی نمودار قرمز است)، برابر با 9 است - در نقطه بحرانی.

اگر تابع در یک بازه معین پیوسته باشد و این بازه یک قطعه نباشد (اما مثلاً یک بازه باشد؛ تفاوت بین بازه و پاره: نقاط مرزی بازه در بازه گنجانده نشده است، اما نقاط مرزی بخش در بخش گنجانده شده است)، سپس در میان مقادیر تابع ممکن است کوچکترین و بزرگترین وجود نداشته باشد. بنابراین، برای مثال، تابع نشان داده شده در شکل زیر در ]-∞، +∞[ پیوسته است و بزرگترین مقدار را ندارد.

با این حال، برای هر بازه ای (بسته، باز یا بی نهایت)، ویژگی زیر از توابع پیوسته برقرار است.

مثال 4. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش [-1, 3] .

راه حل. مشتق این تابع را مشتق ضریب می‌یابیم:

.

مشتق را با صفر برابر می کنیم که یک نقطه بحرانی به ما می دهد: . به بازه [-1، 3] تعلق دارد. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می کنیم:

بیایید این مقادیر را با هم مقایسه کنیم. نتیجه گیری: برابر با -5/13، در نقطه و بزرگترین ارزشبرابر 1 در نقطه .

ما به جستجوی کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع با هم ادامه می دهیم

معلمانی هستند که در مبحث یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع، به دانش آموزان مثال هایی پیچیده تر از نمونه هایی که اکنون در نظر گرفته شده است، نمی گویند، یعنی نمونه هایی که در آنها تابع چند جمله ای یا کسری است، عددساز است. و مخرج آن چند جمله ای هستند. اما ما خود را به چنین نمونه هایی محدود نمی کنیم ، زیرا در بین معلمان دوستداران تفکر کامل دانش آموزان وجود دارد (جدول مشتقات). بنابراین از لگاریتم و تابع مثلثاتی استفاده خواهد شد.

مثال 6. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش .

راه حل. مشتق این تابع را به صورت می‌یابیم مشتق محصول :

مشتق را با صفر برابر می کنیم که یک نقطه بحرانی به دست می دهد: . متعلق به بخش است. برای یافتن کوچک‌ترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می‌کنیم:

نتیجه همه اقدامات: تابع به حداقل مقدار خود می رسد، برابر 0، در یک نقطه و در یک نقطه و بزرگترین ارزشمساوی با ه² , در نقطه .

مثال 7. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش .

راه حل. مشتق این تابع را پیدا می کنیم:

مشتق را با صفر برابر کنید:

تنها نقطه بحرانی متعلق به بخش است. برای یافتن کوچک‌ترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می‌کنیم:

نتیجه: تابع به حداقل مقدار خود می رسد، برابر با ، در نقطه و بزرگترین ارزش, برابر با , در نقطه .

در مسائل Extremal اعمال شده، یافتن کوچکترین (بزرگترین) مقادیر تابع، به عنوان یک قاعده، به یافتن حداقل (حداکثر) کاهش می یابد. اما این حداقلها یا حداکثرها نیستند که مورد توجه عملی بیشتری هستند، بلکه ارزشهای استدلالی هستند که در آنها به دست می آیند. هنگام حل مشکلات کاربردی، یک مشکل اضافی ایجاد می شود - تلفیقی توابعی که پدیده یا فرآیند مورد بررسی را توصیف می کند.

مثال 8مخزن با ظرفیت 4 عدد که به شکل موازی شکل با پایه مربع و در قسمت بالایی باز است باید قلع بندی شود. ابعاد مخزن چقدر باید باشد تا با کمترین مواد پوشش داده شود؟

راه حل. اجازه دهید ایکس- سمت پایه ساعت- ارتفاع مخزن، اس- سطح آن بدون پوشش، V- حجم آن مساحت سطح مخزن با فرمول بیان می شود. تابعی از دو متغیر است. عنوان کردن اسبه عنوان تابعی از یک متغیر، از این واقعیت استفاده می‌کنیم که، Wherece. جایگزینی عبارت یافت شده ساعتبه فرمول برای اس:

اجازه دهید این تابع را برای یک اکستروم بررسی کنیم. در همه جا در ]0، +∞[ و قابل تفکیک است

.

مشتق را با صفر () برابر می کنیم و نقطه بحرانی را پیدا می کنیم. علاوه بر این، در، مشتق وجود ندارد، اما این مقدار در حوزه تعریف گنجانده نشده است و بنابراین نمی تواند یک نقطه افراطی باشد. بنابراین، - تنها نقطه بحرانی. بیایید با استفاده از علامت کافی دوم آن را برای وجود یک اکستروم بررسی کنیم. بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم. وقتی مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد (). این بدان معنی است که وقتی تابع به حداقل می رسد . چون این حداقل - تنها منتهی این تابع، کوچکترین مقدار آن است. بنابراین، ضلع پایه مخزن باید برابر با 2 متر و ارتفاع آن باشد.

مثال 9از پاراگراف آ، واقع در خط راه آهن، به نقطه از جانب، در فاصله ای از آن ل، کالا باید حمل شود. هزینه حمل یک واحد وزن در واحد مسافت با راه آهن برابر است و از طریق بزرگراه برابر است با . به چه نقطه ای مخط راه‌آهن باید بزرگراه باشد تا بار را از آن جا به جا کند ولیکه در از جانببه صرفه ترین بود ABخط آهن مستقیم فرض می شود)؟

اکستروم تابع چیست و شرط لازم برای اکستروم چیست؟

حداکثر یک تابع حداکثر و حداقل تابع است.

شرط لازم برای ماکزیمم و مینیمم (افراط) تابع به شرح زیر است: اگر تابع f(x) در نقطه x = a حدی داشته باشد، در این نقطه مشتق یا صفر است، یا بی نهایت، یا می کند. وجود ندارد.

این شرط لازم است، اما کافی نیست. مشتق در نقطه x = a می‌تواند ناپدید شود، به بی‌نهایت برود یا وجود نداشته باشد بدون اینکه تابع در این نقطه اکسترموم داشته باشد.

شرط کافی برای حداکثر بودن تابع (حداکثر یا حداقل) چیست؟

شرط اول:

اگر در مجاورت کافی با نقطه x = a، مشتق f?(x) در سمت چپ a مثبت و در سمت راست a منفی باشد، در این صورت در خود نقطه x = a تابع f(x) است. بیشترین

اگر در مجاورت کافی با نقطه x = a، مشتق f?(x) در سمت چپ a منفی و در سمت راست a مثبت باشد، آنگاه در خود نقطه x = a تابع f(x) است. کمترینبه شرطی که تابع f(x) در اینجا پیوسته باشد.

در عوض، می‌توانید از شرط کافی دوم برای حداکثر تابع استفاده کنید:

بگذارید در نقطه x = و اولین مشتق f؟(x) ناپدید شود. اگر مشتق دوم f??(a) منفی باشد، تابع f(x) در نقطه x = a ماکزیمم دارد، اگر مثبت باشد، حداقل است.

نقطه بحرانی یک تابع چیست و چگونه آن را پیدا کنیم؟

این مقدار آرگومان تابعی است که در آن تابع یک اکسترموم دارد (یعنی حداکثر یا حداقل). برای پیدا کردن آن، شما نیاز دارید مشتق را پیدا کنیدتابع f?(x) و با برابر کردن آن با صفر، معادله را حل کنید f?(x) = 0. ریشه های این معادله، و همچنین نقاطی که مشتق این تابع در آنها وجود ندارد، نقاط بحرانی هستند، یعنی مقادیر آرگومان که ممکن است در آن یک اکسترموم وجود داشته باشد. . با نگاه کردن به آنها به راحتی قابل شناسایی هستند نمودار مشتق: ما به مقادیری از آرگومان علاقه مندیم که در آن نمودار تابع محور آبسیسا (محور Ox) را قطع می کند و آنهایی که نمودار دچار شکستگی می شود.

مثلا پیدا کنیم منتهی الیه سهمی.

تابع y(x) = 3x2 + 2x - 50.

مشتق تابع: y?(x) = 6x + 2

معادله را حل می کنیم: y?(x) = 0

6x + 2 = 0، 6x = -2، x = -2/6 = -1/3

در این حالت نقطه بحرانی x0=-1/3 است. برای این مقدار آرگومان است که تابع دارد نقاط بحرانی. برای دریافت آن پیدا کردن، عدد یافت شده در عبارت را به جای "x" جایگزین تابع می کنیم:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

نحوه تعیین حداکثر و حداقل یک تابع، یعنی. بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن؟

اگر علامت مشتق هنگام عبور از نقطه بحرانی x0 از «بعلاوه» به «منهای» تغییر کند، آنگاه x0 برابر است با حداکثر امتیاز; اگر علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر کند، x0 است حداقل امتیاز; اگر علامت تغییر نکند، در نقطه x0 نه حداکثر وجود دارد و نه حداقل.

برای مثال در نظر گرفته شده:

مقدار دلخواه آرگومان را در سمت چپ نقطه بحرانی می گیریم: x = -1

وقتی x = -1، مقدار مشتق y خواهد بود؟ (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (یعنی علامت منفی).

اکنون یک مقدار دلخواه آرگومان را در سمت راست نقطه بحرانی می گیریم: x = 1

برای x = 1، مقدار مشتق y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 خواهد بود (یعنی علامت مثبت).

همانطور که می بینید، هنگام عبور از نقطه بحرانی، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این بدان معنی است که در مقدار بحرانی x0 یک نقطه حداقل داریم.

بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در فاصله(روی بخش) با همان رویه پیدا می شوند، فقط با در نظر گرفتن این واقعیت که، شاید، همه نقاط بحرانی در بازه مشخص شده قرار نگیرند. آن نقاط بحرانی که خارج از فاصله زمانی هستند باید از بررسی حذف شوند. اگر فقط یک نقطه بحرانی در داخل بازه وجود داشته باشد، یا حداکثر یا حداقل خواهد داشت. در این حالت برای تعیین بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع، مقادیر تابع در انتهای بازه را نیز در نظر می گیریم.

برای مثال، بیایید بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع را پیدا کنیم

y (x) \u003d 3 گناه (x) - 0.5x

در فواصل زمانی:

بنابراین مشتق تابع است

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

معادله 3cos(x) - 0.5 = 0 را حل می کنیم

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

ما نقاط بحرانی را در بازه [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (در بازه ذکر نشده است)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (در بازه ذکر نشده است)

ما مقادیر تابع را در مقادیر بحرانی آرگومان می یابیم:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

مشاهده می شود که در بازه [-9; 9] تابع بیشترین مقدار را در x = -4.88 دارد:

x = -4.88، y = 5.398،

و کوچکترین - در x = 4.88:

x = 4.88، y = -5.398.

در بازه [-6; -3] ما فقط یک نقطه بحرانی داریم: x = -4.88. مقدار تابع در x = -4.88 y = 5.398 است.

مقدار تابع را در انتهای بازه پیدا می کنیم:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

در بازه [-6; -3] ما بیشترین مقدار تابع را داریم

y = 5.398 در x = -4.88

کوچکترین مقدار است

y = 1.077 در x = -3

چگونه می توان نقاط عطف نمودار تابع را پیدا کرد و اضلاع تحدب و تقعر را تعیین کرد؟

برای پیدا کردن تمام نقاط عطف خط y \u003d f (x)، باید مشتق دوم را پیدا کنید، آن را با صفر برابر کنید (معادله را حل کنید) و تمام مقادیر x را آزمایش کنید که مشتق دوم برای آنها صفر است. ، بی نهایت است یا وجود ندارد. اگر در هنگام عبور از یکی از این مقادیر، مشتق دوم علامت آن را تغییر دهد، نمودار تابع در این نقطه دارای عطف است. اگر تغییر نکرد، عطف وجود ندارد.

ریشه های معادله f ? (x) = 0 و همچنین نقاط احتمالی ناپیوستگی تابع و مشتق دوم، دامنه تابع را به تعدادی بازه تقسیم می کند. تحدب در هر یک از فواصل آنها با علامت مشتق دوم تعیین می شود. اگر مشتق دوم در نقطه‌ای از بازه مورد مطالعه مثبت باشد، خط y = f(x) در اینجا به سمت بالا مقعر و اگر منفی باشد، به سمت پایین است.

چگونه حداکثر یک تابع از دو متغیر را پیدا کنیم؟

برای یافتن منتهی الیه تابع f(x,y)، قابل تفکیک در ناحیه تخصیص آن، به موارد زیر نیاز دارید:

1) نقاط بحرانی را پیدا کنید و برای این کار سیستم معادلات را حل کنید

fx (x,y) = 0، fy؟ (x,y) = 0

2) برای هر نقطه بحرانی P0(a;b)، بررسی کنید که آیا علامت تفاوت بدون تغییر باقی می ماند یا خیر

برای تمام نقاط (x; y) به اندازه کافی نزدیک به P0. اگر تفاوت یک علامت مثبت را حفظ کند، در نقطه P0 حداقل، اگر منفی است، حداکثر داریم. اگر تفاوت علامت خود را حفظ نکند، در نقطه Р0 اکسترومی وجود ندارد.

به طور مشابه، انتهای تابع برای تعداد بیشتری از آرگومان ها تعیین می شود.

کدام نوشیدنی های گازدار غیر الکلی سطوح را تمیز می کنند
عقیده ای وجود دارد که نوشیدنی گازدار غیر الکلی کوکاکولا می تواند گوشت را حل کند. متاسفانه هیچ مدرک مستقیمی برای این موضوع وجود ندارد. برعکس، حقایق مثبتی وجود دارد که تأیید می کند گوشت باقی مانده در نوشیدنی کوکاکولا به مدت دو روز در خواص مصرف کننده تغییر می کند و در هیچ کجا ناپدید نمی شود.

طرح بندی آپارتمان های معمولی، توضیحات و عکس های خانه ها را می توان در وب سایت ها یافت: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko. net/art

نحوه درمان روان رنجوری
Neurosis (novolat. neurosis، از یونانی دیگر می آید. νε?ρον - عصبی؛ مترادف - روان عصبی، اختلال عصبی) - در کلینیک: نام جمعی برای گروهی از اختلالات برگشت پذیر روان زا عملکردی که تمایل به

آفلیون چیست؟
مرکز نقطه ای در مدار است که در آن جسمی در مداری بیضوی به دور جسم دیگر به حداکثر فاصله خود از جسم دوم می رسد. در همان نقطه، طبق قانون دوم کپلر، سرعت حرکت مداری به حداقل می رسد. مرکز در نقطه ای کاملاً مخالف پریاپسیس قرار دارد. در موارد خاص، مرسوم است که از اصطلاحات خاص استفاده شود:

مامون چیست
Mamon (m. R.)، mammon (f. R.) - کلمه ای که از یونانی گرفته شده است. مامونا و به معنی ثروت، گنج های زمینی، نعمت ها. برای برخی از مردمان بت پرست باستان، او خدای ثروت و سود بود. متی و لوقا انجیلیان در کتاب مقدس ذکر کرده اند: «هیچ کس نمی تواند دو ارباب را خدمت کند، زیرا یا از یکی متنفر خواهد بود و دیگری.

عید پاک ارتدکس در سال 2049 چه زمانی است
در سال 2015، عید پاک ارتدکس در 12 آوریل و عید پاک کاتولیک در 5 آوریل خواهد بود. در تقویم های کلیسا، تاریخ های عید پاک ارتدکس بر اساس تقویم جولیان (سبک قدیمی) ارائه می شود، در حالی که عید پاک کاتولیک مطابق با تقویم مدرن میلادی (سبک جدید) در نظر گرفته می شود، بنابراین مطابقت تاریخ ها نیاز به تلاش ذهنی دارد.

روبل چیست
روبل نام ارزهای مدرن روسیه، بلاروس (روبل بلاروس)، ترانسنیستریا (روبل پریدنسترووی) است. روبل روسیه در اوستیای جنوبی و آبخازیا نیز در گردش است. در گذشته - واحد پولی جمهوری ها و اعیان روسیه، دوک نشین بزرگ مسکو، پادشاهی روسیه، دوک نشین بزرگ لیتوانی، امپراتوری روسیه و انواع مختلف

آریل شارون چه مدت در کما بود؟
آریل آریک شارون (شاینرمن) - نظامی، سیاسی و دولتمرد اسرائیل، نخست وزیر اسرائیل در سال 2001 - 2006. تاریخ تولد: 26 فوریه 1928 محل تولد: شهرک کفار ملال در نزدیکی کفار صبا، اسرائیل تاریخ مرگ: 11 ژانویه 2014 محل مرگ: رامت گان، گوش دان، ایز

نئاندرتال ها چه کسانی بودند
انسان نئاندرتال، انسان نئاندرتال (lat. Homo neanderthalensis یا Homo sapiens neanderthalensis) گونه فسیلی از مردم است که 300-24 هزار سال پیش می زیسته است. منشا نام اعتقاد بر این است که جمجمه نئاندرتال برای اولین بار در سال 1856 پیدا شد.

جفری راش چند ساله است
جفری راش بازیگر سینما و تئاتر استرالیایی است. برنده اسکار (1997)، بفتا (1996، 1999)، گلدن گلوب (1997، 2005). معروف ترین فیلم ها با مشارکت او - "درخشش"

نحوه تعیین فواصل تحدب و تقعر نمودار تابع
اکستروم تابع چیست و شرط لازم برای اکستروم چیست؟ حداکثر یک تابع حداکثر و حداقل تابع است. شرط لازم برای ماکزیمم و مینیمم (افراط) تابع به شرح زیر است: اگر تابع f(x) در نقطه x = a حدی داشته باشد، در این نقطه مشتق یا صفر است، یا بی نهایت، یا می کند. وجود ندارد. این شرط لازم است، اما کافی نیست. مشتق در t

یک کار مینیاتوری و نسبتاً ساده از نوع که به عنوان راه نجات برای یک دانش آموز شناور عمل می کند. در طبیعت، قلمرو خواب آلود اواسط ژوئیه، پس وقت آن است که با یک لپ تاپ در ساحل ساکن شوید. در اوایل صبح، یک پرتو خورشیدی از تئوری پخش شد تا به زودی بر روی تمرین متمرکز شود، که با وجود سبکی اعلام شده، حاوی قطعات شیشه ای در شن است. در این راستا، توصیه می کنم وجداناً چند نمونه از این صفحه را در نظر بگیرید. برای حل تکالیف عملی باید بتوانید مشتقات را پیدا کنیدو مطالب مقاله را درک کنید فواصل یکنواختی و افراطی یک تابع.

ابتدا به طور خلاصه در مورد موضوع اصلی. در یک درس در مورد تداوم عملکردمن تعریف تداوم در یک نقطه و تداوم در یک فاصله را ارائه کردم. رفتار مثالی یک تابع در یک قطعه به روشی مشابه فرموله می شود. یک تابع در یک قطعه پیوسته است اگر:

1) در بازه پیوسته است.
2) پیوسته در یک نقطه سمت راستو در نقطه ترک کرد.

پاراگراف دوم به اصطلاح می پردازد تداوم یک طرفهدر یک نقطه عمل می کند. چندین رویکرد برای تعریف آن وجود دارد، اما من به خطی که قبلاً شروع شده است می‌مانم:

تابع در یک نقطه پیوسته است سمت راست، اگر در یک نقطه معین تعریف شده باشد و حد سمت راست آن با مقدار تابع در یک نقطه معین منطبق باشد: . در نقطه پیوسته است ترک کرد، اگر در یک نقطه معین تعریف شده باشد و حد سمت چپ آن برابر با مقدار آن نقطه باشد:

تصور کنید که نقاط سبز میخ هایی هستند که نوار لاستیکی جادویی روی آن ها وصل شده است:

خط قرمز را ذهنی در دستان خود بگیرید. بدیهی است، مهم نیست که چقدر نمودار را به سمت بالا و پایین بکشیم (در امتداد محور)، تابع همچنان باقی خواهد ماند. محدود- یک پرچین در بالا، یک پرچین در پایین، و محصول ما در یک پادوک چرا می کند. به این ترتیب، یک تابع پیوسته روی یک قطعه روی آن محدود شده است. در جریان تجزیه و تحلیل ریاضی، این واقعیت به ظاهر ساده بیان شده و به طور دقیق ثابت می شود قضیه اول وایرشتراس.... بسیاری از مردم از اینکه جملات ابتدایی به طور خسته کننده ای در ریاضیات اثبات می شوند، آزرده می شوند، اما این معنای مهمی دارد. فرض کنید یک ساکن خاص قرون وسطی ترسناک نمودار را فراتر از محدوده دید به آسمان کشید، این درج شد. قبل از اختراع تلسکوپ، عملکرد محدود در فضا اصلاً مشخص نبود! به راستی، از کجا می دانی چه چیزی فراتر از افق در انتظار ماست؟ از این گذشته ، زمانی زمین مسطح در نظر گرفته می شد ، بنابراین امروزه حتی حمل و نقل از راه دور معمولی نیاز به اثبات دارد =)

مطابق با قضیه دوم وایرشتراس, پیوسته در بخشتابع به آن می رسد لبه بالایی دقیقو او لبه پایینی دقیق .

شماره نیز نامیده می شود حداکثر مقدار تابع در بخشو نشان داده شده با، و عدد - حداقل مقدار تابع در بازهبا اطلاع .

در مورد ما:

توجه داشته باشید : در تئوری، رکوردها رایج هستند .

به طور کلی، بزرگترین مقدار در بالاترین نقطه نمودار قرار دارد و کوچکترین - جایی که پایین ترین نقطه است.

مهم!همانطور که قبلاً در مقاله در مورد اشاره شد حداکثر عملکرد, بزرگترین مقدار تابعو کوچکترین مقدار تابع – یکسان نیست، چی حداکثر عملکردو حداقل عملکرد. بنابراین، در این مثال، عدد حداقل تابع است، اما مقدار حداقل نیست.

به هر حال، در خارج از بخش چه اتفاقی می افتد؟ بله، حتی سیل، در چارچوب مشکل مورد بررسی، این اصلاً برای ما جالب نیست. این کار فقط شامل یافتن دو عدد است و بس!

علاوه بر این، راه حل صرفاً تحلیلی است، بنابراین، نیازی به کشیدن نیست!

الگوریتم روی سطح قرار دارد و خود را از شکل بالا نشان می دهد:

1) مقادیر تابع را در آن بیابید نقاط بحرانی, که متعلق به این بخش هستند.

یک چیز دیگر را بگیرید: نیازی به بررسی شرایط کافی برای اکستریم نیست، زیرا، همانطور که نشان داده شد، وجود حداقل یا حداکثر وجود دارد. هنوز تضمین نشده استحداقل یا حداکثر مقدار چقدر است. تابع نمایش به حداکثر خود می رسد و به خواست سرنوشت، همان عدد بزرگترین مقدار تابع در بازه است. اما، البته، چنین تصادفی همیشه اتفاق نمی افتد.

بنابراین، در مرحله اول، محاسبه مقادیر تابع در نقاط بحرانی متعلق به بخش، سریعتر و آسانتر است، بدون اینکه مزاحمتی برای داشتن یا نبودن آنها ایجاد شود.

2) مقادیر تابع را در انتهای بخش محاسبه می کنیم.

3) از میان مقادیر تابع موجود در پاراگراف 1 و 2، کوچکترین و بزرگترین عدد را انتخاب کرده، پاسخ را یادداشت کنید.

در ساحل دریای آبی می نشینیم و پاشنه های پا را در آب کم عمق می زنیم:

مثال 1

بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را در یک بخش پیدا کنید

راه حل:
1) مقادیر تابع را در نقاط بحرانی متعلق به این بخش محاسبه کنید:

اجازه دهید مقدار تابع را در نقطه بحرانی دوم محاسبه کنیم:

2) مقادیر تابع را در انتهای بخش محاسبه کنید:

3) نتایج "پررنگ" با نمایی و لگاریتم به دست آمد که به طور قابل توجهی مقایسه آنها را پیچیده می کند. به همین دلیل، ما خود را با یک ماشین حساب یا اکسل مسلح می کنیم و مقادیر تقریبی را محاسبه می کنیم، فراموش نکنیم که:

حالا همه چیز مشخص است.

پاسخ:

مثال کسری-عقلانی برای حل مستقل:

مثال 6

مقادیر حداکثر و حداقل یک تابع را در یک قطعه پیدا کنید