Gráfica X 2 y 3x 1. Graficar transformaciones con el módulo

1. Función fraccionaria lineal y su gráfica

Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se denomina función racional fraccionaria.

Probablemente ya esté familiarizado con el concepto de números racionales. Similarmente funciones racionales son funciones que se pueden representar como cociente de dos polinomios.

Si una función racional fraccionaria es un cociente de dos funciones lineales - polinomios de primer grado, es decir ver función

y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama fraccionario lineal.

Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario, la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario, el función es una constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales, excepto para x = -d/c. Las gráficas de funciones fraccionarias lineales no difieren en forma de la gráfica que conoces y = 1/x. La curva que es la gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado de x en valor absoluto, la función y = 1/x decrece indefinidamente en valor absoluto y ambas ramas de la gráfica se acercan al eje de abscisas: la derecha se acerca por arriba y la izquierda por abajo. Las rectas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.

Ejemplo 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Solución.

Seleccionemos la parte entera: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazar 3 segmentos unitarios a la derecha, estirar a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazar 2 segmentos de unidad hacia arriba.

Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de la misma forma, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones fraccionarias lineales son hipérbolas desplazadas a lo largo de los ejes de coordenadas de varias maneras y alargadas a lo largo del eje Oy.

Para trazar un gráfico de alguna función lineal-fraccional arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará encontrar las rectas a las que se aproximan sus ramas - las asíntotas de la hipérbola x = -d/c y y = a/c.

Ejemplo 2

Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).

Solución.

La función no está definida, cuando x = -1. Por lo tanto, la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüemos a qué se acercan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.

Para ello, dividimos el numerador y el denominador de la fracción por x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Como x → ∞ la fracción tiende a 3/2. Por tanto, la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.

Ejemplo 3

Traza la función y = (2x + 1)/(x + 1).

Solución.

Seleccionamos la “parte entera” de la fracción:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una representación simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de intervalos de 2 unidades hacia arriba a lo largo del eje Oy.

Dominio de definición D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función crece en cada uno de los intervalos del dominio de definición.

Respuesta: figura 1.

2. Función fraccional-racional

Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado mayor que el primero.

Ejemplos de tales funciones racionales:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Si la función y = P(x) / Q(x) es un cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfico será, por regla general, más complicado y, a veces, puede ser difícil construirlo exactamente. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces es suficiente aplicar técnicas similares a las que ya hemos conocido anteriormente.

Sea la fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.

Trazar funciones racionales fraccionarias

Considere varias formas de representar gráficamente una función fraccionaria-racional.

Ejemplo 4

Trace la función y = 1/x 2 .

Solución.

Usamos el gráfico de la función y \u003d x 2 para trazar el gráfico y \u003d 1 / x 2 y usamos el método de "dividir" los gráficos.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rango de valores E(y) = (0; +∞).

No hay puntos de intersección con los ejes. La función es pareja. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x desde 0 hasta +∞.

Respuesta: figura 2.

Ejemplo 5

Trace la función y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Solución.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x/3 + 1/3.

Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.

Respuesta: figura 3.

Ejemplo 6

Trace la función y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Solución.

El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica respecto al eje y. Antes de graficar, nuevamente transformamos la expresión resaltando la parte entera:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Tenga en cuenta que la selección de la parte entera en la fórmula de una función fraccionaria-racional es una de las principales al trazar gráficos.

Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir, la recta y = 1 es una asíntota horizontal.

Respuesta: figura 4.

Ejemplo 7

Considere la función y = x/(x 2 + 1) e intente encontrar exactamente su valor más grande, es decir, el punto más alto en la mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Es obvio que nuestra curva no puede "trepar" muy alto, ya que el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, debes resolver la ecuación x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Entonces nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, debe averiguar para qué A más grande la ecuación A \u003d x / (x 2 + 1) tendrá una solución. Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Ax 2 - x + A \u003d 0. Esta ecuación tiene una solución cuando 1 - 4A 2 ≥ 0. A partir de aquí encontramos el valor más grande A \u003d 1/2.

Respuesta: Figura 5, max y(x) = ½.

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La construcción de gráficas de funciones que contienen módulos suele causar considerables dificultades a los escolares. Sin embargo, no todo es tan malo. Es suficiente recordar varios algoritmos para resolver tales problemas, y puede trazar fácilmente incluso la función más aparentemente compleja. Veamos cuáles son estos algoritmos.

1. Graficar la función y = |f(x)|

Tenga en cuenta que el conjunto de valores de la función y = |f(x)| : y ≥ 0. Así, las gráficas de tales funciones siempre se ubican completamente en el semiplano superior.

Trazar la función y = |f(x)| consta de los siguientes cuatro sencillos pasos.

1) Construye cuidadosa y cuidadosamente la gráfica de la función y = f(x).

2) Dejar sin cambios todos los puntos de la gráfica que están encima o sobre el eje 0x.

3) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x, se muestra simétricamente con respecto al eje 0x.

Ejemplo 1. Dibujar una gráfica de la función y = |x 2 - 4x + 3|

1) Construimos un gráfico de la función y \u003d x 2 - 4x + 3. Es obvio que el gráfico de esta función es una parábola. Encontremos las coordenadas de todos los puntos de intersección de la parábola con los ejes de coordenadas y las coordenadas del vértice de la parábola.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x1 = 3, x2 = 1.

Por lo tanto, la parábola corta el eje 0x en los puntos (3, 0) y (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Por lo tanto, la parábola corta el eje 0y en el punto (0, 3).

Coordenadas del vértice de la parábola:

x en \u003d - (-4/2) \u003d 2, y en \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Por tanto, el punto (2, -1) es el vértice de esta parábola.

Dibuja una parábola usando los datos recibidos (Figura 1)

2) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto al eje 0x.

3) Obtenemos la gráfica de la función original ( arroz. 2, mostrado por la línea de puntos).

2. Trazar la función y = f(|x|)

Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = f(|x|) son pares:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Esto significa que las gráficas de tales funciones son simétricas respecto al eje 0y.

Graficar la función y = f(|x|) consiste en la siguiente cadena simple de acciones.

1) Trace la función y = f(x).

2) Dejar aquella parte de la gráfica para la que x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica situada en el semiplano derecho.

3) Mostrar la parte del gráfico especificada en el párrafo (2) simétricamente al eje 0y.

4) Como gráfico final, seleccione la unión de las curvas obtenidas en los párrafos (2) y (3).

Ejemplo 2. Dibujar una gráfica de la función y = x 2 – 4 · |x| + 3

Como x 2 = |x| 2, entonces la función original se puede reescribir de la siguiente manera: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Y ahora podemos aplicar el algoritmo propuesto anteriormente.

1) Construimos con cuidado y cuidado el gráfico de la función y \u003d x 2 - 4 x + 3 (ver también arroz. una).

2) Dejamos aquella parte de la gráfica para la que x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica situada en el semiplano derecho.

3) Muestre el lado derecho del gráfico simétricamente al eje 0y.

(Fig. 3).

Ejemplo 3. Dibujar una gráfica de la función y = log 2 |x|

Aplicamos el esquema dado anteriormente.

1) Graficamos la función y = log 2 x (Figura 4).

3. Graficar la función y = |f(|x|)|

Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = |f(|x|)| también son pares. De hecho, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), y por lo tanto, sus gráficas son simétricas respecto al eje 0y. El conjunto de valores de tales funciones: y ≥ 0. Por lo tanto, las gráficas de tales funciones se ubican completamente en el semiplano superior.

Para trazar la función y = |f(|x|)|, necesita:

1) Construya un gráfico ordenado de la función y = f(|x|).

2) Deje sin cambios la parte del gráfico que está arriba o en el eje 0x.

3) La parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x debe mostrarse simétricamente con respecto al eje 0x.

4) Como gráfico final, seleccione la unión de las curvas obtenidas en los párrafos (2) y (3).

Ejemplo 4. Dibujar una gráfica de la función y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Tenga en cuenta que x 2 = |x| 2. Por lo tanto, en lugar de la función original y = -x 2 + 2|x| - una

puedes usar la función y = -|x| 2 + 2|x| – 1, ya que sus gráficas son las mismas.

Construimos un gráfico y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Para ello utilizamos el algoritmo 2.

a) Graficamos la función y \u003d -x 2 + 2x - 1 (figura 6).

b) Dejamos aquella parte de la gráfica, que se encuentra en el semiplano derecho.

c) Muestre la parte resultante del gráfico simétricamente al eje 0y.

d) El gráfico resultante se muestra en la figura con una línea de puntos (figura 7).

2) No hay puntos por encima del eje 0x, dejamos los puntos en el eje 0x sin cambios.

3) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto a 0x.

4) El gráfico resultante se muestra en la figura con una línea de puntos (Figura 8).

Ejemplo 5. Trazar la función y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Primero necesitas trazar la función y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Para ello, volvemos al algoritmo 2.

a) Trace cuidadosamente la función y = (2x – 4) / (x + 3) (Figura 9).

Tenga en cuenta que esta función es lineal-fraccional y su gráfico es una hipérbola. Para construir una curva, primero necesitas encontrar las asíntotas del gráfico. Horizontal - y \u003d 2/1 (la relación de los coeficientes en x en el numerador y el denominador de una fracción), vertical - x \u003d -3.

2) La parte del gráfico que está arriba o en el eje 0x se mantendrá sin cambios.

3) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x se mostrará simétricamente con respecto a 0x.

4) El gráfico final se muestra en la figura. (Figura 11).

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"Logaritmo natural" - 0.1. logaritmos naturales. 4. "Dardos logarítmicos". 0.04. 7.121.

"Función de potencia grado 9" - U. Parábola cúbica. Y = x3. Maestra de grado 9 Ladoshkina I.A. Y = x2. Hipérbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n donde n es un número natural dado. X. El exponente es un número natural par (2n).

"Función cuadrática" - 1 Definición de la función cuadrática 2 Propiedades de la función 3 Gráficas de funciones 4 Desigualdades cuadráticas 5 Conclusión. Propiedades: Desigualdades: Elaborado por Andrey Gerlitz, estudiante del grado 8A. Plan: Gráfico: -Intervalos de monotonicidad en a > 0 en a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Función cuadrática y su gráfico" - Decisión y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A-pertenece. Cuando a=1, la fórmula y=ax toma la forma.

"Función cuadrática de clase 8" - 1) Construye la parte superior de la parábola. Trazar una función cuadrática. X. -7. Trazar la función. Álgebra Grado 8 Docente 496 colegio Bovina TV -1. Plan de construcción. 2) Construya el eje de simetría x=-1. y.

1. Función fraccionaria lineal y su gráfica

Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se denomina función racional fraccionaria.

Probablemente ya esté familiarizado con el concepto de números racionales. Similarmente funciones racionales son funciones que se pueden representar como cociente de dos polinomios.

Si una función racional fraccionaria es un cociente de dos funciones lineales - polinomios de primer grado, es decir ver función

y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama fraccionario lineal.

Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario, la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario, el función es una constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales, excepto para x = -d/c. Las gráficas de funciones fraccionarias lineales no difieren en forma de la gráfica que conoces y = 1/x. La curva que es la gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado de x en valor absoluto, la función y = 1/x decrece indefinidamente en valor absoluto y ambas ramas de la gráfica se acercan al eje de abscisas: la derecha se acerca por arriba y la izquierda por abajo. Las rectas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.

Ejemplo 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Solución.

Seleccionemos la parte entera: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazar 3 segmentos unitarios a la derecha, estirar a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazar 2 segmentos de unidad hacia arriba.

Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de la misma forma, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones fraccionarias lineales son hipérbolas desplazadas a lo largo de los ejes de coordenadas de varias maneras y alargadas a lo largo del eje Oy.

Para trazar un gráfico de alguna función lineal-fraccional arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará encontrar las rectas a las que se aproximan sus ramas - las asíntotas de la hipérbola x = -d/c y y = a/c.

Ejemplo 2

Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).

Solución.

La función no está definida, cuando x = -1. Por lo tanto, la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüemos a qué se acercan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.

Para ello, dividimos el numerador y el denominador de la fracción por x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Como x → ∞ la fracción tiende a 3/2. Por tanto, la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.

Ejemplo 3

Traza la función y = (2x + 1)/(x + 1).

Solución.

Seleccionamos la “parte entera” de la fracción:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una representación simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de intervalos de 2 unidades hacia arriba a lo largo del eje Oy.

Dominio de definición D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función crece en cada uno de los intervalos del dominio de definición.

Respuesta: figura 1.

2. Función fraccional-racional

Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado mayor que el primero.

Ejemplos de tales funciones racionales:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Si la función y = P(x) / Q(x) es un cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfico será, por regla general, más complicado y, a veces, puede ser difícil construirlo exactamente. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces es suficiente aplicar técnicas similares a las que ya hemos conocido anteriormente.

Sea la fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.

Trazar funciones racionales fraccionarias

Considere varias formas de representar gráficamente una función fraccionaria-racional.

Ejemplo 4

Trace la función y = 1/x 2 .

Solución.

Usamos el gráfico de la función y \u003d x 2 para trazar el gráfico y \u003d 1 / x 2 y usamos el método de "dividir" los gráficos.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rango de valores E(y) = (0; +∞).

No hay puntos de intersección con los ejes. La función es pareja. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x desde 0 hasta +∞.

Respuesta: figura 2.

Ejemplo 5

Trace la función y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Solución.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x/3 + 1/3.

Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.

Respuesta: figura 3.

Ejemplo 6

Trace la función y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Solución.

El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica respecto al eje y. Antes de graficar, nuevamente transformamos la expresión resaltando la parte entera:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Tenga en cuenta que la selección de la parte entera en la fórmula de una función fraccionaria-racional es una de las principales al trazar gráficos.

Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir, la recta y = 1 es una asíntota horizontal.

Respuesta: figura 4.

Ejemplo 7

Considere la función y = x/(x 2 + 1) e intente encontrar exactamente su valor más grande, es decir, el punto más alto en la mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Es obvio que nuestra curva no puede "trepar" muy alto, ya que el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, debes resolver la ecuación x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Entonces nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, debe averiguar para qué A más grande la ecuación A \u003d x / (x 2 + 1) tendrá una solución. Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Ax 2 - x + A \u003d 0. Esta ecuación tiene una solución cuando 1 - 4A 2 ≥ 0. A partir de aquí encontramos el valor más grande A \u003d 1/2.

Respuesta: Figura 5, max y(x) = ½.

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