Se llaman números coprimos. Números coprimos: definición, ejemplos y propiedades

En este artículo, hablaremos sobre qué son los números coprimos. En el primer párrafo, formulamos definiciones para dos, tres o más números coprimos, damos varios ejemplos y mostramos en qué casos dos números pueden considerarse primos entre sí. Después de eso, pasamos a la formulación de las principales propiedades y sus pruebas. En la última sección, hablaremos sobre un concepto relacionado, los números primos por pares.

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¿Qué son los números coprimos?

Tanto dos enteros como más de ellos pueden ser coprimos. Para empezar, introducimos una definición para dos números, para lo cual necesitamos el concepto de su máximo común divisor. Si es necesario, repita el material dedicado a él.

Definición 1

Dos de estos números a y b serán primos entre sí, cuyo máximo común divisor es igual a 1, es decir mcd (a, b) = 1.

De esta definición, podemos concluir que el único divisor común positivo de dos números coprimos será igual a 1. Solo dos de esos números tienen dos divisores comunes: uno y menos uno.

¿Cuáles son algunos ejemplos de números primos relativos? Por ejemplo, tal par sería 5 y 11. Tienen un solo divisor positivo común, igual a 1, lo que es una confirmación de su mutua simplicidad.

Si tomamos dos números primos, entonces entre sí serán relativamente primos en todos los casos, pero tales relaciones mutuas también se forman entre números compuestos. Hay casos en los que un número en un par de coprimos es compuesto y el segundo es primo, o ambos son compuestos.

Esta afirmación se ilustra con el siguiente ejemplo: los números compuestos - 9 y 8 forman un par coprimo. Demostrémoslo calculando su máximo común divisor. Para ello, anotamos todos sus divisores (recomendamos releer el artículo sobre cómo encontrar los divisores de un número). Para 8, estos serán los números ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, y para 9 - ± 1, ± 3, ± 9. Elegimos de todos los divisores el que será común y más grande: este es uno. Por lo tanto, si mcd (8, - 9) = 1, entonces 8 y - 9 serán coprimos entre sí.

500 y 45 no son números primos entre sí, ya que tienen otro divisor común: 5 (ver el artículo sobre signos de divisibilidad por 5). Cinco es mayor que uno y es un número positivo. Otro par similar podría ser - 201 y 3 , ya que ambos se pueden dividir por 3 , como lo indica el signo de divisibilidad correspondiente.

En la práctica, es bastante común determinar la primacía mutua de dos números enteros. Descubrir esto se puede reducir a encontrar el máximo común divisor y compararlo con uno. También es conveniente usar una tabla de números primos para no hacer cálculos innecesarios: si uno de los números dados está en esta tabla, entonces es divisible solo por uno y por sí mismo. Echemos un vistazo a una solución a este problema.

Ejemplo 1

Condición: averiguar si los números 275 y 84 son coprimos.

Solución

Ambos números claramente tienen más de un divisor, por lo que no podemos llamarlos inmediatamente coprimos.

Calcula el máximo común divisor usando el algoritmo de Euclides: 275 = 84 3 + 23 , 84 = 23 3 + 15 , 23 = 15 1 + 8 , 15 = 8 1 + 7 , 8 = 7 1 + 1 , 7 = 7 1 .

Responder: como mcd (84, 275) = 1, entonces estos números serán coprimos.

Como dijimos anteriormente, la definición de tales números se puede extender a casos en los que no tenemos dos números, sino más.

Definición 2

Los enteros coprimos a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 serán cuando tengan el máximo común divisor igual a 1 .

En otras palabras, si tenemos un conjunto de algunos números con el mayor divisor positivo mayor que 1, entonces todos estos números no son mutuamente inversos entre sí.

Tomemos algunos ejemplos. Entonces, los números enteros -99, 17 y -27 son coprimos. Cualquier número de primos será coprimo con respecto a todos los miembros de la población, como en la secuencia 2, 3, 11, 19, 151, 293 y 667. Pero los números 12 , − 9 , 900 y − 72 coprimos no lo serán, porque además de la unidad tendrán un divisor positivo más igual a 3. Lo mismo se aplica a los números 17, 85 y 187: excepto uno, todos se pueden dividir por 17.

Por lo general, la simplicidad mutua de los números no es obvia a primera vista, este hecho debe probarse. Para saber si algunos números son coprimos, necesitas encontrar su máximo común divisor y sacar una conclusión basada en su comparación con uno.

Ejemplo 2

Condición: determinar si los números 331, 463 y 733 son coprimos.

Solución

Revisemos la tabla de números primos y determinemos que estos tres números están en ella. Entonces su divisor común solo puede ser uno.

Responder: todos estos números serán relativamente primos entre sí.

Ejemplo 3

Condición: dar prueba de que los números − 14 , 105 , − 2 107 y − 91 no son coprimos.

Solución

Comencemos por encontrar su máximo común divisor, después de lo cual nos aseguramos de que no sea igual a 1. Como los números negativos tienen los mismos divisores que los positivos correspondientes, entonces mcd (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = mcd (14 , 105 , 2 107 , 91) . De acuerdo con las reglas que dimos en el artículo sobre cómo encontrar el máximo común divisor, en este caso, el MCD será igual a siete.

Responder: siete es mayor que uno, lo que significa que estos números no son coprimos.

Propiedades básicas de los números coprimos

Dichos números tienen algunas propiedades importantes en la práctica. Los enumeramos en orden y los demostramos.

Definición 3

Si dividimos los enteros a y b por el número correspondiente a su máximo común divisor, obtenemos números primos relativos. En otras palabras, a: mcd(a, b) y b: mcd(a, b) serán coprimos.

Ya hemos probado esta propiedad. La demostración se encuentra en el artículo sobre las propiedades del máximo común divisor. Gracias a él, podemos definir pares de números coprimos: basta con tomar dos enteros cualesquiera y dividirlos por mcd. Como resultado, deberíamos obtener números coprimos.

Definición 4

Una condición necesaria y suficiente para la simplicidad mutua de los números a y b es la existencia de tales números enteros tu 0 y v0, para lo cual la igualdad un tu 0 + segundo v 0 = 1 será verdad

Prueba 1

Comenzaremos demostrando la necesidad de esta condición. Digamos que tenemos dos números primos relativamente, etiquetados como a y b. Entonces, por definición de este concepto, su máximo común divisor será igual a uno. Sabemos por las propiedades de mcd que para los enteros a y b existe una relación de Bezout a u 0 + b v 0 = mcd (a, b). De ahí obtenemos que un tu 0 + segundo v 0 = 1. Después de eso, necesitamos probar la suficiencia de la condición. Deja que la igualdad un tu 0 + segundo v 0 = 1 será cierto si mcd (a, b) divide y un , y b , entonces dividirá y sumará a tu 0 + b v 0, y unidad, respectivamente (esto se puede argumentar en base a las propiedades de divisibilidad). Y esto solo es posible si mcd(a, b) = 1, lo que prueba la sencillez mutua de a y b .

En efecto, si a y b son coprimos, entonces de acuerdo con la propiedad anterior, la igualdad se cumplirá un tu 0 + segundo v 0 = 1. Multiplicamos sus dos partes por c y obtenemos que una do tu 0 + segundo do v 0 = do. Podemos dividir el primer término a c tu 0 + b c v 0 por b , porque es posible para a c , y el segundo término también es divisible por b , porque uno de los factores que tenemos es b . De esto concluimos que la suma total se puede dividir por b, y como esta suma es igual a c, entonces c se puede dividir por b.

Definición 5

Si dos enteros a y b son coprimos, entonces mcd(a c, b) = mcd(c, b) .

Prueba 2

Demostremos que mcd (a c , b) dividirá a mcd (c , b) , y luego - que mcd (c , b) dividirá a mcd (a c , b) , lo que probará la corrección de la igualdad gcd (a · c, b) = mcd (c, b) .

Dado que mcd (a c , b) divide tanto a c como b y mcd (a c , b) divide a b , también dividirá a b c . Por lo tanto, mcd (a c, b) divide tanto a c como b c, por lo tanto, debido a las propiedades de mcd, también divide a mcd (a c, b c), que será igual a c gcd (a, b ) = c. Por lo tanto, mcd(a c, b) divide tanto a b como a c, por lo tanto, mcd(c, b) también divide.

También puedes decir que dado que mcd (c, b) divide tanto a c como a b, entonces dividirá tanto a c como a c. Esto significa que MCD (c , b) divide tanto a c como a b, por lo tanto, MCD (a c , b) también divide.

Por lo tanto, mcd (a c, b) y mcd (c, b) se dividen entre sí, lo que significa que son iguales.

Definición 6

Si los números en la secuencia un 1 , un 2 , ... , un k será coprimo con respecto a los números de la secuencia segundo 1 , segundo 2 , ... , segundo metro(para valores naturales de k y m), entonces sus productos un 1 un 2 … un k y segundo 1 segundo 2 … segundo metro son también coprimos, en particular, un 1 = un 2 = … = un k = un y segundo 1 = segundo 2 = ... = segundo metro = segundo, después un k y b m son coprimos.

Prueba 3

De acuerdo con la propiedad anterior, podemos escribir igualdades de la siguiente forma: mcd (a 1 a 2 … a k , b m) = mcd (a 2 a k , b m) = … = mcd (a k , b m) = 1 . La posibilidad de la última transición está asegurada por el hecho de que ak y bm son coprimos por suposición. Por lo tanto, MCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Denote a 1 a 2 … a k = A y obtenga que mcd (b 1 b 2 … b m , a 1 a 2 … a k) = mcd (b 1 b 2 … b m , A) = MCD (b 2 · … · b · segundo metro , UN) = … = MCD (segundo metro , UN) = 1 . Esto será cierto debido a la última igualdad de la cadena construida anteriormente. Así, hemos obtenido la igualdad mcd (b 1 b 2 … b m , a 1 a 2 … a k) = 1, que puede usarse para probar la simplicidad mutua de los productos un 1 un 2 … un k y segundo 1 segundo 2 … segundo metro

Estas son todas las propiedades de los números coprimos de las que nos gustaría hablarte.

El concepto de números primos por parejas

Sabiendo qué son los números coprimos, podemos formular la definición de números primos por pares.

Definición 7

Números primos por pares es una sucesión de números enteros a 1 , a 2 , … , a k , donde cada número es coprimo con respecto a los demás.

Un ejemplo de una secuencia de números primos por pares sería 14 , 9 , 17 y − 25 . Aquí todos los pares (14 y 9, 14 y 17, 14 y − 25, 9 y 17, 9 y − 25, 17 y − 25) son coprimos. Tenga en cuenta que la condición de coprimos es obligatoria para los números primos por pares, pero los números coprimos no serán primos por pares en todos los casos. Por ejemplo, en la sucesión 8, 16, 5 y 15 los números no lo son porque 8 y 16 no serán coprimos.

También debemos detenernos en el concepto de un conjunto de un cierto número de números primos. Siempre serán simples entre sí y por pares. Un ejemplo sería la secuencia 71 , 443 , 857 , 991 . En el caso de los números primos, los conceptos de simplicidad mutua y por pares coincidirán.

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Los libros de texto de matemáticas a veces son difíciles de leer. El lenguaje seco y claro de los autores no siempre es fácil de entender. Sí, y los temas siempre están interconectados, fluyen mutuamente. Para dominar un tema, debe plantear una serie de temas anteriores y, a veces, hojear todo el libro de texto. ¿Difícil? Sí. Y asumamos el riesgo de eludir estas dificultades e intentemos encontrar un enfoque no estándar para el tema. Hagamos una especie de excursión al país de los números. Sin embargo, dejaremos la definición igual, porque las reglas de las matemáticas no se pueden cancelar. Entonces, los números coprimos son números naturales con un divisor común igual a uno. ¿Esto está claro? Bastante.

Para un ejemplo más visual, tomemos los números 6 y 13. Ambos son divisibles por uno (mutuamente primos). Pero los números 12 y 14 no pueden ser tales, ya que son divisibles no solo por 1, sino también por 2. Los siguientes números, 21 y 47, tampoco encajan en la categoría de "números coprimos": se pueden dividir no solo por 1, sino también por 7.

Los números coprimos se denotan de la siguiente manera: ( a, y) = 1.

Se puede decir aún más simplemente: el divisor común (mayor) aquí es igual a uno.
¿Por qué necesitamos tal conocimiento? Razón suficiente.

Se incluyen mutuamente en algunos sistemas de encriptación. Aquellos que trabajan con cifrados de Hill o con el sistema de sustitución de César entienden que sin este conocimiento, no se puede llegar a ningún lado. Si ha oído hablar de los generadores, es poco probable que se atreva a negar: los números coprimos también se usan allí.

Ahora hablemos de formas de obtener unos tan simples, como entiendes, solo pueden tener dos divisores: son divisibles por sí mismos y por uno. Digamos que 11, 7, 5, 3 son números primos, pero 9 no lo es, porque este número ya es divisible por 9, 3 y 1.

Y si a es un número primo y a- del conjunto (1, 2, ... a- 1), entonces está garantizado ( a, a) = 1, o números coprimos — a y a.

Esto no es, más bien, ni siquiera una explicación, sino una repetición o resumen de lo que se acaba de decir.

Obtener números primos es posible, sin embargo, para números impresionantes (miles de millones, por ejemplo), este método es demasiado largo, pero, a diferencia de las superfórmulas, que a veces cometen errores, es más confiable.

Puede funcionar eligiendo a > a. Para hacer esto, se elige y de modo que el número en a no compartió Para ello, se multiplica un número primo por un número natural y se suma (o, por el contrario, se resta) un valor (por ejemplo, R), que es menos a:

y= R un + k

Si, por ejemplo, a = 71, R= 3, q=10, entonces, respectivamente, a aquí será igual a 713. Es posible otra selección, con grados.

Los números compuestos, a diferencia de los números coprimos, son divisibles por sí mismos, por 1 y por otros números (también sin resto).

En otras palabras, (excepto uno) se dividen en compuestos y simples.

Los números primos son números naturales que no tienen divisores no triviales (aparte del número en sí y la unidad). Su papel es especialmente importante en la criptografía actual, moderna y en rápido desarrollo, gracias a la cual, antes considerada una disciplina extremadamente abstracta, se ha vuelto tan demandada: los algoritmos de protección de datos se mejoran constantemente.

El número primo más grande lo encontró el oftalmólogo Martin Nowak, quien participó en el proyecto GIMPS (distribution computing) junto con otros entusiastas, de los cuales había alrededor de 15 000. Los cálculos tomaron seis largos años. Dos docenas y media de computadoras ubicadas en la clínica oftalmológica de Novak estuvieron involucradas. El resultado de titánico trabajo y perseverancia fue el número 225964951-1, escrito en 7816230 decimales. Por cierto, el récord del mayor número se estableció seis meses antes de este descubrimiento. Y había medio millón de carteles menos.

Un genio que quiera nombrar un número donde la duración del registro decimal "salta" por encima de la marca de los diez millones tiene la oportunidad de recibir no solo fama mundial, sino también $ 100,000. Por cierto, Nayan Khairatwal recibió una cantidad menor ($50,000) por el número que cruzó la marca del millón.

$p$ se llama número primo si solo tiene $2$ divisores: $1$ y él mismo.

El divisor de un número natural $a$ es un número natural por el cual el número original $a$ es divisible sin resto.

Ejemplo 1

Encuentra los divisores del número $6$.

Solución: Necesitamos encontrar todos los números por los cuales el número dado $6$ es divisible sin resto. Estos serán números: $1,2,3, 6$. Entonces el divisor del número $6$ serán los números $1,2,3,6.$

Respuesta: $1,2,3,6$.

Entonces, para encontrar los divisores de un número, necesitas encontrar todos los números naturales por los cuales el dado es divisible sin resto. Es fácil ver que el número $1$ será divisor de cualquier número natural.

Definición 2

Compuesto Se llama número a aquel que tiene otros divisores además de uno y de sí mismo.

Un ejemplo de número primo sería $13$, un ejemplo de número compuesto sería $14.$

Observación 1

El número $1$ tiene un solo divisor: este número en sí mismo, por lo que no se clasifica como primo ni compuesto.

Números coprimos

Definición 3

Números coprimos se llaman aquellos cuyo MCD es igual a $ 1 $. Entonces, para saber si los números son coprimos, es necesario encontrar su MCD y compararlo con $ 1 $.

coprimos por pares

Definición 4

Si en un conjunto de números dos cualesquiera son coprimos, entonces tales números se llaman coprimos por pares. Para dos números, los conceptos de "coprimos" y "coprimos por pares" son los mismos.

Ejemplo 2

$ 8, 15 $ - no prima, pero coprima.

$6, 8, 9$ son números coprimos, pero no coprimos por pares.

$8, 15, 49$ son pares coprimos.

Como podemos ver, para determinar si los números son coprimos, primero debes descomponerlos en factores primos. Prestemos atención a cómo hacerlo bien.

Factorización prima

Por ejemplo, factoricemos el número $180$:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Usamos la propiedad de los grados, luego obtenemos,

$180=2^2\cpunto 3^2\cpunto 5$

Tal representación de la descomposición en factores primos se llama canónica, es decir, para factorizar un número en forma canónica, es necesario usar la propiedad de la potencia y representar el número como un producto de potencias con diferentes bases

Descomposición canónica de un número natural en forma general

La expansión canónica de un número natural en general tiene la forma:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

donde $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ son números primos y los exponentes son números naturales.

Representar un número en forma de descomposición canónica en conjuntos simples facilita la búsqueda del máximo común divisor de números, y actúa como consecuencia de la demostración o definición de números coprimos.

Ejemplo 3

Encuentra el máximo común divisor de $180$ y $240$.

Solución: Descomponer los números en conjuntos simples usando la descomposición canónica

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, luego $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, luego $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Ahora busquemos el MCD de estos números, para esto elegimos grados con la misma base y con el menor exponente, entonces

$mcd \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

vamos a componer algoritmo para encontrar gcd teniendo en cuenta la descomposición canónica en factores primos.

Para encontrar el máximo común divisor de dos números usando la expansión canónica, debes:

1. factorizar números en factores primos en forma canónica
2. elegir grados con la misma base y con el menor exponente de los números incluidos en la descomposición de estos números
3. Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

Ejemplo 4

Determina si los números $195$ y $336$ son números primos coprimos.

$195=3\cpunto 5\cpunto 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$mcd \ (195;336) =3\cdot 5=15$

Vemos que el mcd de estos números es diferente de $1$, lo que significa que los números no son coprimos. También vemos que cada uno de los números incluye factores, además de $1$ y el propio número, lo que significa que los números tampoco serán primos, sino que serán compuestos.

Ejemplo 5

Determina si los números $39$ y $112$ son números primos coprimos.

Solución: Usamos la factorización canónica para la factorización:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$mcd \ (39;112)=1$

Vemos que el mcd de estos números es igual a $1$, lo que significa que los números son coprimos. También vemos que cada uno de los números incluye factores, además de $1$ y el propio número, lo que significa que los números tampoco serán primos, sino que serán compuestos.

Ejemplo 6

Determina si los números $883$ y $997$ son números primos coprimos.

Solución: Usamos la factorización canónica para la factorización:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$mcd \ (883;997)=1$

Vemos que el mcd de estos números es igual a $1$, lo que significa que los números son coprimos. También vemos que cada uno de los números incluye solo factores iguales a $1$ y el número en sí, lo que significa que los números serán primos.

¿Qué son los números coprimos?

Definición de números coprimos

Definición de números coprimos:

Los números coprimos son números enteros que no tienen divisores comunes más que uno.

Ejemplos de números coprimos

Ejemplo de coprime:

2 y 3 no tienen más divisores comunes que uno.

Otro ejemplo de números relativamente primos:

3 y 7 no tienen más divisores comunes que uno.

Otro ejemplo de números coprimos:

11 y 13 no tienen más divisores comunes que uno.

Ahora podemos responder a la pregunta de qué significan los números coprimos.

¿Qué significa el número coprimo?

Estos son números enteros que no tienen divisores comunes más que uno.

Dos números coprimos

Cada uno de estos pares son dos números relativamente primos.

11 y 15
15 y 16
16 y 23

Divisores comunes de números coprimos

Los divisores comunes de los coprimos son solo uno, como se deduce de la definición de coprimos.

Máximo común divisor de números coprimos

El máximo común divisor de los coprimos es uno, como se desprende de la definición de coprimos.

¿Son los números relativamente primos?

¿Los números 3 y 13 son coprimos? Sí, porque no tienen divisores comunes, excepto uno.

¿Los números 3 y 12 son coprimos? No, porque tienen divisores comunes 1 y 3. Y según la definición de números coprimos, solo uno debe ser un divisor común.

¿Los números 3 y 108 son coprimos? No, porque tienen divisores comunes 1 y 3. Y según la definición de números coprimos, solo uno debe ser un divisor común.

¿Los números 108 y 5 son coprimos? Sí, porque no tienen divisores comunes, excepto uno.

La información en este artículo cubre el tema " números relativamente primos". Primero, se da la definición de dos números coprimos, así como la definición de tres o más números coprimos. A esto le siguen ejemplos de números coprimos y cómo demostrar que los números dados son coprimos. Además, se enumeran y prueban las principales propiedades de los números coprimos. En conclusión, se mencionan los números primos por pares, ya que están estrechamente relacionados con los números coprimos.

Navegación de página.

A menudo hay tareas en las que se requiere probar que los números enteros dados son coprimos. La prueba se reduce a calcular el máximo común divisor de los números dados y comprobar si el mcd es igual a uno. También es útil consultar la tabla de números primos antes de calcular el MCD: de repente, los enteros originales son primos y sabemos que el máximo común divisor de los números primos es igual a uno. Consideremos una solución de ejemplo.

Ejemplo.

Demuestra que los números 84 y 275 son coprimos.

Solución.

Obviamente, estos números no son primos, por lo que no podemos hablar inmediatamente sobre la simplicidad mutua de los números 84 y 275, y tendremos que calcular el MCD. Usa el algoritmo de Euclides para encontrar el MCD: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , por lo tanto mcd (84, 275)=1 . Esto prueba que los números 84 y 275 son coprimos.

La definición de números coprimos se puede extender a tres o más números.

Definición.

Los enteros a 1 , a 2 , …, a k , k>2 se llaman coprime si el máximo común divisor de estos números es igual a uno.

De la definición anterior se deduce que si un determinado conjunto de números enteros tiene un divisor común positivo distinto de uno, entonces estos números enteros no son coprimos.

Demos ejemplos. Los tres enteros -99, 17 y -27 son coprimos. Cualquier colección de números primos constituye un conjunto de números primos relativos, por ejemplo, 2, 3, 11, 19, 151, 293 y 677 son números primos relativos. Y los cuatro números 12 , −9 , 900 y −72 no son primos relativos porque tienen un divisor común positivo 3 , que es diferente de 1 . Los números 17, 85 y 187 tampoco son coprimos, ya que cada uno de ellos es divisible por 17.

Por lo general, está lejos de ser obvio que algunos números son coprimos, y este hecho debe probarse. Para averiguar si estos números son coprimos, debe encontrar el máximo común divisor de estos números y, según la definición de números coprimos, sacar una conclusión.

Ejemplo.

¿Son los números 331, 463 y 733 relativamente primos?

Solución.

Mirando la tabla de números primos, encontramos que cada uno de los números 331, 463 y 733 es primo. Por lo tanto, tienen un solo divisor común positivo, uno. Así, los tres números 331, 463 y 733 son números primos relativos.

Responder:

Sí.

Ejemplo.

Demuestra que los números −14 , 105 , −2 107 y −91 no son coprimos.

Solución.

Para probar que estos números no son coprimos, puedes encontrar su mcd y asegurarte de que no sea igual a uno. Hagamoslo.

Como los divisores de los enteros negativos son los mismos que los divisores de los correspondientes, entonces mcd(−14, 105, 2107, −91)= mcd(14, 105, 2 107, 91) . Volviendo al material del artículo, al encontrar el máximo común divisor de tres o más números, encontramos que MCD(14, 105, 2 107, 91)=7. Por lo tanto, el máximo común divisor de los números originales es siete, por lo que estos números no son coprimos.

Propiedades de los números coprimos

Los números coprimos tienen varias propiedades. Considere la principal propiedades coprimos.

Los números que se obtienen al dividir los enteros a y b por su máximo común divisor son coprimos, es decir, a:mcd(a, b) y b:mcd(a, b) son coprimos.

Probamos esta propiedad cuando analizamos las propiedades de GCD.

La propiedad considerada de los números coprimos permite encontrar pares de números coprimos. Para hacer esto, es suficiente tomar dos números enteros y dividirlos por el máximo común divisor, los números resultantes serán coprimos.

Para que los enteros ayb sean coprimos es necesario y suficiente que existan tales enteros u 0 yv 0 que a·u 0 +b·v 0 =1 .

Probemos primero la necesidad.

Sean coprimos los números a y b. Luego, por definición de números coprimos gcd(a, b)=1 . Y a partir de las propiedades de mcd, sabemos que para los números enteros ayb, la relación de Bezout a u 0 +b v 0 =mcd(a, b) es verdadera. Por lo tanto, a·u 0 +b·v 0 =1 .

Queda por probar la suficiencia.

Sea verdadera la igualdad a·u 0 +b·v 0 =1. Dado que mcd(a, b) divide tanto a como b, entonces mcd(a, b) debido a las propiedades de divisibilidad debe dividir la suma a u 0 + b v 0 y, por lo tanto, la unidad. Y esto solo es posible cuando mcd(a, b)=1 . Por lo tanto, a y b son números coprimos.

La siguiente propiedad de los números coprimos es la siguiente: si los números a y b son coprimos y el producto a c es divisible por b, entonces c es divisible por b.

En efecto, como ayb son coprimos, de la propiedad anterior tenemos la igualdad a u 0 +b v 0 =1 . Multiplicando ambos lados de esta igualdad por c , tenemos a·c·u 0 +b·c·v 0 =c . El primer término de la suma a c u 0 +b c v 0 es divisible por b, ya que a c es divisible por b por condición, el segundo término de esta suma también es divisible por b, ya que uno de los factores es igual a b, por lo tanto, el la suma total es divisible por b. Y como la suma a·c·u 0 +b·c·v 0 es igual a c, entonces c también es divisible por b.

Si los números a y b son primos relativos, entonces mcd(a c, b)=mcd(c, b) .

Demostremos, en primer lugar, que mcd(a c, b) divide a mcd(c, b) , y en segundo lugar, que mcd(c, b) divide a mcd(a c, b) , esto probará la igualdad gcd(a c, b) =mcd(c, b) .

MCD(a c, b) divide tanto a c como b , y como mcd(a c, b) divide a b , también divide a b c . Es decir, mcd(a c, b) divide tanto a c como b c , por lo tanto, debido a las propiedades del máximo común divisor, también divide a mcd(a c, b c) , que, por las propiedades de mcd, es c c mcd(a , b)=c. Por lo tanto, mcd(a c, b) divide tanto a b como a c, por lo tanto, mcd(c, b) también divide.

Por otro lado, mcd(c, b) divide tanto a c como a b, y como divide a c, también divide a a c. Entonces mcd(c, b) divide tanto a c como b, por lo tanto, mcd(a c, b) también divide.

Así que hemos demostrado que mcd(a c, b) y mcd(c, b) se dividen mutuamente, lo que significa que son iguales.

Si cada uno de los números a 1 , a 2 , …, a k es coprimo con cada uno de los números b 1 , b 2 , …, b m (donde k y m son números naturales), entonces los productos a 1 a 2 … a k y b 1 b 2 ... b m son números coprimos, en particular, si a 1 =a 2 =...=a k =a y b 1 =b 2 =...=b m =b , entonces a k y b m son números coprimos.

La propiedad anterior de los números coprimos nos permite escribir una serie de igualdades de la forma MCD(a 1 a 2 ... a k , b m)= MCD(a 2 ... a k , b m)=…= MCD(a k , b m)=1, donde la última transición es posible, ya que ak y bm son números coprimos por suposición. Asi que, MCD(a 1 a 2 ... a k , b m)=1.

Ahora, denotando a 1 ·a 2 ·…·a k =A , tenemos
MCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= MCD(b 1 b 2 ... b m , A)=
=mcd(b 2 ... segundo metro , A)=... =mcd(b metro , A)=1
(es válida la última transición, en virtud de la última igualdad del párrafo anterior). Entonces tenemos igualdad MCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, lo que prueba que los productos a 1 ·a 2 ·…·ak y b 1 ·b 2 ·…·b m son números coprimos.

Con esto concluye el repaso de las principales propiedades de los números coprimos.

Números primos por pares: definiciones y ejemplos

En términos de números coprimos se da definición de primos por pares.

Definición.

Los números enteros a 1 , a 2 , …, a k , cada uno de los cuales es coprimo con todos los demás, se denominan numeros primos por pares.

Pongamos un ejemplo de números primos por pares. Los números 14, 9, 17 y -25 son primos por pares, ya que los pares de números 14 y 9, 14 y 17, 14 y -25, 9 y 17, 9 y -25, 17 y -25 son números coprimos. Aquí notamos que los números primos por pares siempre son coprimos.

Por otro lado, los números primos relativos no siempre son primos por pares, esto se confirma con el siguiente ejemplo. Los números 8, 16, 5 y 15 no son primos por pares, ya que los números 8 y 16 no son coprimos. Sin embargo, los números 8, 16, 5 y 15 son coprimos. Entonces, 8, 16, 5 y 15 son números primos relativos, pero no primos por pares.

Hay que destacar el conjunto de un cierto número de números primos. Estos números son siempre coprimos y primos por pares. Por ejemplo, 71 , 443 , 857 , 991 son números primos y coprimos por pares.

También está claro que cuando estamos hablando de dos números enteros, entonces para ellos los conceptos de "primos por pares" y "coprimos" coinciden.

Bibliografía.

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