Elaboración de un sistema de ecuaciones. Tareas de dependencia proporcional y división proporcional.

Dos piezas de la misma tela cuestan 360 rublos. En uno de ellos 5 metros, y en el otro 4 metros. ¿Cuánto cuesta cada pieza de tela?

Hagamos una breve nota a la tarea en forma de tabla.

Como se indica la misma tela en la tarea, significa que su precio es el mismo.

Necesita saber el costo de cada pieza de tela. Para encontrar el costo de una pieza de tela, necesitas saber el precio y la cantidad de metros de tela.

En este problema, no se conoce el precio de la tela. Para saber el precio, necesitamos saber el costo y la cantidad de la tela.

Sabemos el costo de 2 piezas de tela - 360 rublos. Y podemos averiguar por cuántos metros pagaron 360 rublos.

Solución

1. ¿Cuántos metros de tela se compraron por 360 rublos? (Figura 1)?

5 metros 4 metros

Arroz. 1. Esquema para el problema 1

5 + 4 = 9 (m)

2. ¿Cuánto cuesta 1 m de tela?

360: 9 = 40 (pág.)

3. Halla el costo de cada pieza de tela, ya que sabemos la cantidad de tela y el costo de 1 m.

40 * 5 = 200 (r.)

40 * 4 160 (der.)

Respuesta: una pieza de tela cuesta 200 rublos, otra pieza de tela cuesta 160 rublos.

Una bolsa contenía 56 kg de harina y la otra 24 kg de harina. Esta harina fue envasada en 40 paquetes por igual. ¿Cuántas bolsas se necesitaron para empacar la harina de cada bolsa?

Hagamos un breve registro en forma de tabla.

El problema dice que la harina se empaquetó por igual, lo que significa que cada paquete tiene la misma cantidad de kilogramos. Se sabe que la harina se envasaba en 40 bolsas.

Para saber cuántas bolsas se necesitaron para empacar harina de cada bolsa, primero debe saber el peso de una bolsa.

Para saber la masa de un paquete, necesita saber la masa de toda la harina y el número de todos los paquetes. Sabemos el número de paquetes y podemos encontrar la masa de toda la harina.

1. ¿Cuál es la masa de toda la harina (Fig. 2)?

56 kilos 24 kilos

Arroz. 2. Esquema para el problema 2

56 + 24 = 80 (kg)

2. ¿Cuánta harina hay en 1 bolsa?

80: 40 = 2 (kg)

En un paquete 2 kg de harina, y en una bolsa 56 kg.

3. ¿Cuántas bolsas se necesitan para envasar 56 kg de harina?

56: 2 = 28 (paquete)

4. ¿Cuántos paquetes de harina se necesitan para envasar 24 kg de harina?

24: 2 = 12 (paquete)

Respuesta: Se necesitaron 28 bolsas para empacar harina de una bolsa y 12 bolsas de otra bolsa.

Comparemos el breve registro de dos problemas para su solución.

En el primer problema se da el costo total de toda la tela, y como primer paso encontramos general la cantidad de metros de tela, luego pudieron encontrar el costo una metros de tela.

En la segunda tarea se dio el número total de paquetes, y por la primera acción encontramos general la masa de toda la harina, luego pudieron encontrar la masa una paquete.

Bibliografía

1. Volkova S. I. Matemáticas. Trabajo de verificación. Cuarto grado. - M.: Educación, 2014.
2. Moro MI Matemáticas. Cuarto grado. Tutorial en 2 partes. - M.: Educación, 2011.
3. Peterson LG Matemáticas. Cuarto grado. Tutorial en 3 partes. - M.: Yuventa, 2013.

P adicionalenlaces de recursos recomendadosredes YInternet

1. Methodmat.narod.ru ().
2. Toma-a-ent.net/().
3. mat-zadachi.ru ().

Dtarea para la casa

1. Compraron juguetes para los niños: Olya recibió 6 sillas idénticas y Katya recibió 4 sillas idénticas. Todas las sillas cuestan 500 rublos. cuanto sale 1 silla
2. Dos chicas entraron en la tienda. En total, compraron 22 dulces idénticos. Una niña pagó 60 rublos y la segunda, 72 rublos. ¿Cuántos dulces compró cada niña?

tema de la lección: división proporcional

Se ofrecen muy pocos problemas de "división proporcional" en el curso de matemáticas de la escuela. Sin embargo, se pueden encontrar en las colecciones de exámenes para el grado 9 ed. LI Zvavich y otros Estas tareas se ofrecen en los exámenes de ingreso a las universidades para especialidades relacionadas con la economía, la química, la industria ligera y la economía nacional.
Las tareas propuestas pueden ser utilizadas en asignaturas optativas de escuelas de educación general, incluidas en el programa de gimnasios y liceos asociados a la profundización de las matemáticas, a partir del 6º grado, para el trabajo individual con alumnos fuertes.

Estos problemas pueden ser resueltos por un estudiante de sexto grado.

La necesidad de dividir un valor o número dado a este respecto a menudo surge en la vida práctica de una persona: al preparar varias mezclas, soluciones, platos según recetas culinarias, al distribuir ganancias o escaños en el parlamento, etc.

Por ejemplo, si dos empresarios invirtieron 3 millones de rublos y 4 millones de rublos en el proyecto, respectivamente, y recibieron 14 millones de rublos de ganancias, entonces la justicia exige que las ganancias recibidas se dividan proporcionalmente números 3 y 4. La palabra "proporcional" en sí proviene del latín "armoniosamente", "proporcionalmente".
¿Cómo saber cuánto dinero debe recibir cada emprendedor? Denotemos las partes que deberían recibir, respectivamente, a y b. Entonces a:b = 3:4.
Intercambiemos los términos medios en la proporción y denotemos el coeficiente de proporcionalidad k. Obtenemos la igualdad:

De donde se sigue que a = 3k, b = 4k. Como la suma de las dos partes es 14 millones de rublos, el valor de k debe satisfacer la igualdad
3k+4k=14<=>7k = 14<=>k = 2.
Entonces, con una división justa, el primer empresario debería recibir 2 3 = 6 millones de rublos, y el segundo, 2 4 = 8 millones de rublos.

Consideremos un problema más.

Para preparar un mortero para 2 partes de cemento se toman 2 partes de arena y 0,8 partes de agua. ¿Cuánto cemento, arena y agua se necesitarán para preparar 180 kg de mortero?

Solución:

1) Que la preparación del mortero requiera un kg de cemento,bkg de arena y con kg de agua. Denotemos el coeficiente de proporcionalidadk, después

Por lo tanto, a = 2k, b = 2 k, C = 0,8 k.
Según la condición del problema, la suma de todas las partes es 180 kg, lo que significa:
2 k + 2 k + 0,8 k = 180 <=>4,8 k = 180 <=> k = 37,5.
2) 37,5 2 = 75 (kg) - se requerirá arena y cemento.
3) 37,5 0,8 = 30 (kg) - se requiere agua.
Respuesta: Se requerirán 75 kg de cemento, 75 kg de arena y 30 kg de agua.

Para indicar brevemente las condiciones de los problemas de división directamente proporcional en el lenguaje matemático, a veces se utilizan "razones largas". Por ejemplo, a:b:c = 2:2:0,8. Al mismo tiempo, dicen: "Los números a, b y c están relacionados como 2 a 3 a 0.8".
Las razones largas son registros condicionales que muestran cuántas partes iguales de una cantidad hay para cada parte. No pueden entenderse como registros de la división de varios números. Efectivamente, sustituyendo en la última igualdad las letras por los números correspondientes, obtenemos el enunciado correcto 75: 75: 30 = 2: 2: 0,8;
Mientras que al contar directamente las partes izquierda y derecha, se obtienen diferentes números: en el lado izquierdo y en el lado derecho - 1.25.
Pero las razones largas se pueden transformar como fracciones ordinarias: multiplicar todos sus miembros por el mismo número, reducir. Estas transformaciones permiten simplificar el registro y, por tanto, la solución de problemas. Entonces, si en nuestro problema primero multiplicamos todos los miembros de la relación por 10 y luego los dividimos por 4, entonces nos desharemos de las fracciones: 2: 2: 0.8 = 20: 20: 8 = 5: 5: 2 y obtener una ecuación más simple.
Al resolver problemas que involucran la división proporcional, nuevamente observamos cómo los conceptos matemáticos abstractos, en este caso, la proporcionalidad directa e inversa, ayudan a responder preguntas prácticas serias.

Propongo algunos problemas más sobre este tema.

Tarea 1.

Tres trabajadores recibieron 4080 rublos. Los montos recibidos por el primer y segundo trabajador se relacionan como . La cantidad que recibe el tercer trabajador es esa. ¿Qué recibió el primer trabajador? ¿Cuánto dinero recibió cada trabajador?

Solución:

Respuesta: El primer trabajador recibió 2448 rublos; El segundo trabajador recibió 571,2 rublos y el tercer trabajador recibió 1060,8 rublos.

Tarea 2.

Tres talleres cosieron 16.800 pares de zapatos. El número de pares de zapatos cosidos por el primer y segundo taller se trata como si el tercer taller cosiera el 75% de lo que cosió el primer taller. ¿En qué porcentaje cumplió el plan el primer taller si el plan de cada taller era de 4000 pares de zapatos?

Solución:

Respuesta: el primer taller cumplió el plan en un 180%.

Tarea 3.

Se trajeron remolachas, zanahorias, repollo a la tienda. El número de remolachas y zanahorias es igual a la proporción, y el peso del repollo es el 250% del peso de las zanahorias. El repollo pesaba 80 kg más que la remolacha. ¿Cuántos kilogramos de cada verdura se llevaron a la tienda?

Solución:

Respuesta: Se trajeron 120 kg de remolacha a la tienda; 80 kg de zanahorias y 200 kg de repollo.

Tarea 4.

La tienda vendió cierta cantidad de tela en 4 días. La cantidad de tela vendida en los primeros tres días se trató como 0,9:1,4:1,3. El cuarto día se vendieron 420 m de tela, lo que representó el 28% de toda la tela vendida por la tienda en cuatro días. ¿Cuánta tela se vendió cada día?

Solución:

1. n1: n2: n3= 0,9: 1,4: 1,3 = 9: 14: 13
2. 28% son 420 m: 420: 0,28 = 1500 (m) - las telas se vendieron en cuatro días.
3. 1500 - 420 = 1080 (m) - las telas se vendieron en los primeros tres días.
4. 9 + 14 + 13 \u003d 36 (h) - cae sobre 1080 m de tela.
5. 1080: 36 = 30 (m) - la tela representa 1 parte.
6. 30 9 \u003d 270 (m): las telas se vendieron el primer día.
7. 30 14 \u003d 520 (m): las telas se vendieron el segundo día.
8. 30 13 \u003d 390 (m) - Las telas se vendieron el tercer día.

Respuesta: La tienda vendió 270 m de tela el primer día; 520 m de tela para el segundo día; 390 m de tela el tercer día y 420 m el cuarto día.

Tarea 5.

Tres clases recogían chatarra. La cantidad de chatarra recolectada por la primera y segunda clase está relacionada como 4,5: 3. La cantidad de chatarra recolectada por la tercera clase es el 40% de la recolectada por la primera clase. ¿Cuánta chatarra recolectó cada clase si la segunda clase recolectó 0.8 toneladas más de chatarra que la tercera clase?

Solución:

1. n1: n2 = 4,5: 3 = 45: 30 = 3: 2.
2. 40% de 3: 3 0.4 \u003d 1.2 (horas) - cae en el tercer grado
3. n1: n2: n3= 3: 2: 1,2 = 30: 20: 12 =15: 10: 6.
4. 10 - 6 = 4 (horas) - representa 0,8 toneladas de chatarra.
5. 0.8: 4 15 \u003d 3 (t) - recolectó la primera clase.
6. 0.8: 4 10 \u003d 2 (t) - recolectó la segunda clase.
7. 0.8: 4 6 \u003d 1.2 (t) - recolectó la tercera clase.

Respuesta: la primera clase recolectó 3 toneladas de chatarra, la segunda clase recolectó
2 toneladas de chatarra, la tercera clase recogió 1,2 toneladas de chatarra.

Tarea 6.

Tres brigadas comenzaron a arar la tierra al mismo tiempo. La tasa de arado de la primera brigada se relaciona con la segunda de 0,5 a 0,4, y la tasa de arado de la segunda brigada con la tercera es de 2 a 1,8; pero el primer y tercer equipo aumentaron las tasas de arado en un 10%, y el segundo equipo, en un 20%. Así, para la misma fecha, la primera brigada aró 15,4 hectáreas más que la tercera brigada. ¿Cuántas hectáreas de tierra ha arado cada brigada hasta este momento?

Solución:

1. n1: n2 = 0,5: 0,4 = 5: 4.
2. n2: n3 = 2: 1,8 = 20 = 18 = 10: 9
3. Rápidonorte1 : norte2 : norte3 en partes igualesnorte1 : norte2 : norte3 =25: 20: 18
4. 10% de 25: 25 0,1 = 2,5; 25 + 2,5 = 27,5 (h) es la norma de la primera brigada después del aumento.
5. 20% de 20: 20 0,2 = 4; 20 + 4 \u003d 24 (h) - es la norma del segundo equipo después del aumento.
6. 10% de 18: 18 0,1 = 1,8; 18 + 1,8 = 19,8 (h) es la norma del tercer equipo tras la subida.
7. norte1 : norte2 : norte3 =27,5: 24: 19,8 = 275: 240: 198
8. 275 - 198 - 77 (h) - cae sobre 14,4 hectáreas de terreno
9. 15,4: 77 = 0,2 (ha) - representa una parte.
10. 0.2 275 = 55 (ha) - la primera brigada aró.
11. 0.2 240 = 48 (ha) - la segunda brigada aró.
12. 0,2 198 = 39,6 (ha) - la tercera brigada aró.

Respuesta: La primera brigada aró 55 hectáreas, la segunda 48 hectáreas y la tercera 39,6 hectáreas.

Ofrezco varias tareas para solución independiente.

Tarea 1.

La granja colectiva llenó tres almacenes con patatas en una proporción de 1,3 a 2,5 a 1,2, y el segundo almacén se llenó con 43,2 toneladas más de patatas que el primer almacén. En un mes, el 40% de las papas disponibles allí se retiraron del primer almacén, el 30% del segundo y el 25% de las papas del tercero. ¿Cuántas papas se sacaron de tres almacenes?
Respuesta: solo se exportaron 56,62 toneladas de papa.

Tarea 2.

La tienda vendió harina durante cuatro días. La cantidad de harina vendida en los primeros tres días se relaciona como 1,8 a 2,8 a 2,6. El cuarto día se vendieron 840 kilogramos de harina, que es el 56% de toda la harina vendida en cuatro días. ¿Cuánta harina se vendió todos los días?

Tarea 3.

La granja colectiva vertió grano en tres almacenes. El primer depósito contaba con el 40% del grano total, llenado en tres depósitos. La cantidad de grano vertida en el segundo y tercer almacén está relacionada de 16 a 21. ¿Cuánto grano había en el primer almacén si el tercer almacén era 450 q más que el segundo?
Respuesta: Se cargaron 2220 centavos de grano en el primer almacén.

Tarea 4.

Tres talleres produjeron 6500 piezas. El número de piezas fabricadas por el primer y segundo taller está relacionado como 0,1875 a 0,25. El número de piezas fabricadas por el tercer taller es un 50% más que el número de piezas fabricadas por el segundo taller. ¿Cuántas piezas produjo cada taller?

Tarea 5.

El destacamento realizó una caminata del punto A al punto B. La primera parte del camino los estudiantes anduvieron en bicicleta, la segunda parte del camino lo hicieron a pie y los 30 kilómetros restantes los recorrieron en bote. Si se sabe que las longitudes de estas partes del camino están relacionadas como 1.625 a 1.3 a 3.25, determine la longitud de la ruta completa.
Respuesta: la longitud de toda la ruta es de 57 kilómetros.

Tarea 6.

De los cuatro números, los primeros tres están relacionados entre sí como, y el cuarto es el 40% del primer número. Encuentra la suma de los cuatro números si el primero es mayor que la suma de los otros por 40.

Sigamos resolviendo problemas.

Tarea 7.

Encuentra la suma de tres números, sabiendo que el primer número es 100 y el primer número está relacionado con el segundo, como; y el segundo al tercero, como 12 a 7.

Solución:

Respuesta: La suma de tres números es 385.

Tarea 8.
Encuentra la suma de tres números, sabiendo que el primer número está relacionado con el tercero, como; el segundo número está relacionado con el tercero como 5 a 2, y la suma de los dos primeros números es 500.

Solución:

Respuesta: La suma de tres números es 650.

Tarea 9.

Encuentra cada uno de los tres números si el primer número está relacionado con el segundo como 0.6: 0.75, y el segundo con el tercero como 1: 0.9. La suma del primer y tercer número es 105 más que el segundo número.

Solución:

1. norte1 : norte3 = 0,6: 0,75 = 60: 75 = 4: 5
2. norte2 : norte3 = 1: 0,9 = 10: 9.
3. Rápidonorte1 : norte2 : norte3 en partes igualesnorte1 : norte2 : norte3 = 8: 10: 9.
4. (8 + 9) - 10 \u003d 7 (h) - cae en 105.
5. 105: 7 8 = 120 es el primer número.
6. 105: 7 10 - 150 - el segundo número.
7. 105: 7 9 = 135 es el tercer número.

Respuesta: 120; 150; 135.

Tarea 10.

De estos cuatro números, los primeros tres están relacionados como, y el cuarto es el 15% del segundo número. Encuentre estos números si se sabe que el segundo número es mayor que la suma de los otros en 8.

Solución:

Respuesta: 48; 80; 12; 12

Tarea 11.

Tarea 12.

Tres granjas colectivas construyeron una panadería. Las sumas aportadas por las granjas colectivas para la construcción se tratan como . ¿Cuánto dinero aportó cada granja colectiva, si los materiales de construcción cuestan 1.620 millones de rublos, el costo de la mano de obra es del costo del material, gastado en equiposcosto de material y mano de obra juntos?

Solución:

Respuesta: para materiales - 2700 millones de rublos; para la mano de obra - 3600 millones de rublos; para equipos - 4500 millones de rublos.

Objetivo

Resolver problemas. Sacar conclusiones respondiendo preguntas.

Finalización de la obra

Instrucciones metódicas.

El trabajo está diseñado para 10 opciones, el número de opción coincide con el último dígito del número de serie en la lista. Por ejemplo, 1, 11, 21, 31... realiza 1 opción, 2,12, 22... - 2 opción, etc.

Para recibir un crédito, es necesario resolver todos los problemas y sacar conclusiones, si el trabajo no se acredita, debe llevarlo a revisión y enviarlo para su verificación nuevamente.

Tarea 1. El número 2.500.000, dividido en proporción directa a una serie de números: 35, 15 y 10.

Solución: Regla: Al dividir un número en partes en proporción a una serie de valores, este número se debe dividir por la suma de estos valores y el cociente resultante (coeficiente de proporcionalidad) se debe multiplicar por cada uno de ellos.

Dividiremos 2.500.000 rublos. proporcional a una serie de números:

35, 15 y 10.

encontrar su suma 35+15+10=60

encontrar el coeficiente de proporcionalidad (dividir el número por la suma)

hallar el beneficio de cada uno:

• 41 667 * 35 \u003d 1 458 000 rublos.

  41 667 * 15 = 625 000 rublos.

  41.667*10=417.000 rublos

Respuesta: 1.458.000, 625.000, 417.000.

Problema 2. Divide el número 680 en proporción inversa a los números 0,5 0,75 y .

Solución:

Para dividir un número en proporción inversa a una serie de números, debe reemplazar los números con sus inversos (dar la vuelta). Y dividir en proporción directa a la nueva serie de números.

Encontremos los recíprocos de los números reales: 0.5 = - recíproco 2,

0,75 -
- opuesto, - inverso.

1) encontrar la suma de los números:
,

2) encontrar el coeficiente de proporcionalidad:
.

3) encontrar cada parte

Respuesta: 300, 200, 180.

Tarea 3.

Los salarios diarios de tres trabajadores de la brigada ascendieron a 1000 rublos, 1200 rublos y 1250 rublos. determine las ganancias promedio del equipo durante 22 días hábiles.

Solución: Media aritmética:
, se aplica en el caso de que los indicadores ocurran una sola vez. X - el valor promedio, x 1, x 2, x 3, ... - indicadores en los que se muestra el valor promedio, n - el número de opciones.

Encontremos las ganancias promedio de 1 día:
.

Encontremos las ganancias promedio de 22 días. frotar.

Respuesta: 25 520.

Promedio aritmético ponderado: se utiliza cuando los indicadores de los que se deriva el promedio ocurren un número desigual de veces.

Aquellos. X - media aritmética ponderada, x 1, x 2, x 3 ... - indicadores, p 1, p 2, p 3, ... - números que muestran cuántas veces se repite cada indicador.

Ejemplo: Al realizar una prueba en matemáticas se obtuvieron los siguientes resultados:

Calificación

Número de repeticiones

Encuentre el puntaje promedio para la prueba de matemáticas.

.

Respuesta: 3.17

Tarea 4. Para hacer el almíbar, tomamos 2 kg de azúcar, 3,5 kg de bayas y 4,5 kg de agua. ¿Qué porcentaje de la masa del almíbar es azúcar?

Solución: Encuentra la masa de jarabe: 2+3.5+4.5=10 kg. 10 kg es 100%, 2 kg es x%

Respuesta: 20%.

Tareas para solución independiente.

Opción 1.

Tarea 1. Divide el número 580 en proporción directa a una serie de números: 2, 0.2 y 0.7

Tarea 2. Divide el número 800 inversamente con los números 2, 0.2 y 0.4.

Tarea 3. Compramos 3 kg de dulces a un precio de 300 rublos por kilogramo, 5 kg - 230 rublos cada uno; 6 kg - 460 rublos cada uno y 8 k - 160 rublos cada uno, determine el costo promedio de un kilogramo de dulces.

Tarea 4. Resuelve el problema de porcentajes. El pan pierde el 4% de su masa durante el enfriamiento como resultado de la evaporación del agua. ¿Cuántos kilogramos de agua se evaporarán cuando se enfríen 12 toneladas? De pan

Opcion 2.

Tarea 1. Divide el número 440 en proporción directa a la serie de números: 0.3; 0.2 y 0.6

Tarea 2. Divide el número 790 en proporción inversa a los números: 5; 0,8 y 0,4.

Tarea 3. Los talleres compraron 20 metros de chintz a un precio de 40 rublos por metro, 15 metros de percal a un precio de 60 rublos por metro, 12 metros de franela a un precio de 120 rublos por metro. Determine el costo promedio por metro de tela.

Tarea 4. Resolver el problema del interés: El banco paga el 10% anual. ¿Qué cantidad habrá en la cuenta en dos años si el depositante ha invertido 10,000 rublos?

Sacar conclusiones respondiendo a las preguntas.

¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Opción 3

Tarea 1. Divide el número 372 en proporción directa a la serie de números: 5, 0.4; 0.8

Tarea 2. Divide el número 2700 en proporción inversa a los números 2; 0.2 y 0.5

Tarea 3. Al realizar el trabajo de control, se obtuvieron los siguientes resultados: tres estudiantes recibieron una calificación de "5", "4" - 12 personas; "3" - 20 personas, "2" - 3 personas. Encuentre el promedio del grupo.

Tarea 4. Resuelva el problema de interés: El precio de compra, incluida la entrega, es de 23,000 rublos. y el costo de envío es del 15% del valor de la mercancía. Encuentre el costo del artículo.

Sacar conclusiones respondiendo a las preguntas.

¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Opción 4

Tarea 1. Divide el número 1564 en proporción directa a la serie de números: 4, 2, 0.8

Tarea 1. Divide el número 462 en proporción inversa a los números: 2; 5; y 2.5

Tarea 3. El certificado del estudiante tiene los siguientes resultados: seis cincos, dos cuatros y diez triples. Encuentra tu promedio de calificaciones.

Tarea 4. Resolver el problema de interés: El precio de la entrada en el cine - 200 rublos, aumentó en un 15%, pero debido a la baja asistencia, el nuevo precio se redujo en un 10%. ¿En cuánto cambió el precio original?

Sacar conclusiones respondiendo a las preguntas.

¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Opción 5.

Tarea 1. Divide el número 1140 en proporción directa a la serie de números: 3, 4 y 0,6

Tarea 2 Divide el número 600 en proporción inversa a los números: 2; cuatro; y 0.8

Tarea 3. Al probar dispositivos en el laboratorio, se encontró que el dispositivo A funciona sin recargar durante 12 horas, el dispositivo B - 11 horas, el dispositivo C - 19 horas, el dispositivo D - 8 horas, el dispositivo F - 15 horas. Encuentre la duración promedio del dispositivo.

Tarea 4. Resuelve el problema del porcentaje: El primer día, el ciclista recorrió el 32% del camino, el segundo día 1,5 veces más que el primero y el tercero los 60 km restantes. Encuentra la duración de la ruta.

Sacar conclusiones respondiendo a las preguntas.

¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Opción 6.

Tarea 1. Divide el número 697 en proporción directa a la serie de números: 3, 0.7 y 0.4

Tarea 2. Divide el número 864 en proporción inversa a los números: 2; 5 y 0.4

Tarea 3. En la brigada, 10 personas reciben un salario de 15 000 rublos, 12 personas de 24 000 rublos, 15 personas de 20 000 rublos y 13 personas de 30 000 rublos. Encuentre las ganancias promedio para el equipo.

Tarea 4. Resuelve el problema de porcentajes. El precio de un hervidor eléctrico se incrementó en un 16% y ascendió a 3480 rublos. ¿Cuánto valía la tetera antes del aumento de precio?

Sacar conclusiones respondiendo a las preguntas.

¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Opción 7

Tarea 1. Divide el número 2725 en proporción directa a la serie de números: 7, 0.9 y 3

Tarea 2. Divide el número 325 en proporción inversa a los números: 8; 0.8 y 4

Tarea 3 El estudiante, marcando el tiempo que pasa en el camino de su casa a la escuela técnica, recibió los siguientes resultados: lunes - 24 minutos, martes - 25 minutos, miércoles - 23 minutos, jueves - 20 minutos, viernes - 25 minutos. ¿Cuánto tiempo se tarda en promedio en viajar?

Tarea 4. Resuelve el problema de porcentajes. El cliente tomó un préstamo bancario de 300,000 rublos por un año al 16%. Debe devolver el préstamo depositando la misma cantidad de dinero en el banco todos los meses, de modo que en un año pueda devolver la cantidad total tomada a crédito, más los intereses. ¿Cuánto debe pagar al banco cada mes?

Sacar conclusiones respondiendo a las preguntas.

¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Opción 8.

Tarea 1. Divide el número 325 en proporción directa a la serie de números: 2; 4 y 0.5

Tarea 2. Divide el número 2280 en proporción inversa a los números: 2; 5 y 0.2

Tarea 3. Tomó pagar las comunicaciones móviles del mes: enero - 230 rublos; febrero - 200 rublos; marzo - 250 rublos; Abril - 200 rublos; Mayo - 300 rublos; junio - 600 rublos; julio - 100 rublos; agosto - 300 rublos; septiembre - 220 rublos; Octubre - 200 rublos; noviembre - 400 rublos; Diciembre - 560 rublos. Determine cuánto en promedio por mes se necesita para pagar las comunicaciones móviles

Tarea 4. Resuelve el problema de porcentajes. Un billete de tren para un adulto cuesta 840 rublos. El precio de la entrada para un estudiante es el 50% del precio de la entrada para un adulto. El grupo está formado por 18 alumnos y 3 adultos. ¿Cuánto cuestan las entradas para todo el grupo?

Sacar conclusiones respondiendo a las preguntas.

¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Opción 9.

Tarea 1. Divide el número 732 en proporción directa a la serie de números: 4, 0.6 y 1.5

Tarea 2. Divide el número 1045 en proporción inversa a los números: 8; 10 y 0,2

Tarea 3. Los talleres de confección de ropa para niños compraron 30 m de chintz a un precio de 40 rublos por metro, 25 metros de percal a un precio de 60 rublos por metro, 40 metros de franela a un precio de 120 rublos por metro. Determine el costo promedio por metro de tela.

Tarea 4. Resuelve el problema de porcentajes. La ciudad N tiene 100.000 habitantes. Entre ellos, el 20% son niños y adolescentes. Entre los adultos, el 45% no trabaja (jubilados, estudiantes, amas de casa, etc.). ¿Cuántos residentes adultos trabajan?

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¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Opción 10.

Tarea 1. Divide el número 936 en proporción directa a la serie de números: 2, 2.5 y 0.7

Tarea 2. Divide el número 910 en proporción inversa a los números: 0,1; 2 y 0.4

Tarea 3. En la brigada, 35 personas reciben un salario de 25 000 rublos, 12 personas de 22 000 rublos, 35 personas de 20 000 rublos y 18 personas de 30 000 rublos. Encuentre las ganancias promedio para el equipo.

Tarea 4. Resuelve el problema de porcentajes. Un kilogramo de mercancías cuesta 64 rublos. Después de bajar el precio, comenzó a costar 60 rublos. ¿En qué porcentaje se reduce el precio?

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¿Qué es la media aritmética?

¿Cuál es la fórmula para calcular el promedio ponderado?

¿Cómo dividir un número en proporción directa a una serie de números?

¿Cómo dividir un número en proporción inversa a una serie de números?

¿Cuáles son los tres tipos de problemas de porcentajes que conoces?

Proporción- igualdad de dos razones: a/b = c/d (a, d son los miembros extremos de la proporción; b, c son los miembros medios de la proporción).

La propiedad principal de la proporción: ad = b.c.

Dos cantidades mutuamente dependientes se llaman proporcionales si la razón de sus cantidades permanece constante. Esta relación constante de cantidades proporcionales se denomina factor de proporcionalidad. Por ejemplo, en la proporción 0,04/4 = 0,12/12, el factor de proporcionalidad es k = 0,01.

Si dos cantidades están interconectadas de modo que un aumento (disminución) en una (en la misma cantidad) aumenta (reduce) proporcionalmente la otra cantidad, entonces tales cantidades son directamente proporcionales. Ejemplos de proporcionalidad directa son la dependencia de la distancia recorrida en el tiempo (a una velocidad constante), el perímetro de un cuadrado de la longitud de su lado. Si la dependencia de las cantidades es directamente proporcional, entonces sus valores son la proporción x 1 / x 2 \u003d y 1 / y 2.

Si dos cantidades están interconectadas de modo que un aumento (disminución) en una (en la misma cantidad) reduce (aumenta) proporcionalmente la otra cantidad, entonces tales cantidades son inversamente proporcionales. Un ejemplo de proporcionalidad inversa: la dependencia de la velocidad del tiempo (con un valor constante de la distancia recorrida), la productividad laboral del tiempo dedicado a realizar un determinado trabajo (con la misma cantidad de trabajo). Si la dependencia de las cantidades es inversamente proporcional, entonces sus valores son la proporción x 1 / x 2 \u003d y 2 / y 1.

Al resolver problemas de dependencia proporcional, es importante dividir la solución en etapas:

1. Escriba la condición del problema en forma de diagrama.
2. Determinar el tipo de relación entre las cantidades.
3. La dependencia directamente proporcional se indica mediante flechas igualmente dirigidas. Dependencia inversamente proporcional: flechas en direcciones opuestas.
4. Denota la incógnita por x, escribe la proporción y encuentra el término desconocido.

Considere la solución de varios problemas de dependencia proporcional.

Tarea 1.

Durante algún tiempo, un ciclista recorrió 5 km a una velocidad de 10 km/h. ¿Qué distancia recorrerá en el mismo tiempo, aumentando su velocidad en una vez y media?

Solución.

A un valor constante de tiempo, la distancia recorrida y la velocidad de las cantidades son directamente proporcionales. Por lo tanto, con un aumento en la velocidad de una vez y media, el valor de la ruta también aumentará en la misma cantidad.

Entonces viajará 5 1.5 = 7.5 (km).

Respuesta: 7,5 km.

Tarea 2.

En cierto tramo del gasoducto se reemplazaron tuberías de 4 m de largo por tuberías de 5 m de largo ¿cuántas tuberías nuevas se necesitan para reemplazar 100 viejas?

Solución.

Dado que un aumento en la longitud de las tuberías conducirá a una disminución en su número en la misma sección del gasoducto, la dependencia es inversamente proporcional. Hagamos un diagrama de acuerdo a la condición.

Escribamos la proporción: 4/5 = x/100.

Donde, x \u003d (4 100) / 5 \u003d 80 (tuberías).

Respuesta: 80 pipas.

Como puede ver, si se consideran dos cantidades en la condición del problema, entonces la solución es bastante simple, lo principal es determinar correctamente el tipo de dependencia. Pero, ¿y si consideramos la relación entre tres cantidades?

Tarea 3.

3 pintores pintan 60 ventanas en 5 días. ¿Cuántos días tardarán 2 pintores en pintar 48 ventanas?

Solución.

Aceptar número de trabajadores por constante(es decir, el trabajo es realizado constantemente por 3 pintores) y considere la relación entre las dos cantidades. Dado que se necesitarán menos días para pintar un número menor de ventanas con el mismo número de trabajadores, la relación es directa.

Escribamos la proporción: 5/x = 60/48.

Donde, x \u003d (5 48) / 60 \u003d 4 (días) - en tantos días, 3 pintores pintarán 48 ventanas.

Para saber cuantos días serán pintadas las mismas 48 ventanas por 2 pintores, haremos una tabla, dado que un valor constante es el número de ventanas. Dado que menos trabajadores tardarán más días en completar la misma tarea, la relación es inversa.

La proporción será: 4/x = 2/3.

Donde, x \u003d (4 3) / 2 \u003d 6 (días) - en tantos días, 2 pintores pintarán 48 ventanas.

Respuesta: 6 días.

La necesidad de dividir un valor o un número a este respecto a menudo surge en la vida práctica de una persona, por ejemplo, durante la preparación de platos, la división de ganancias entre socios comerciales, etc. Por lo tanto, es importante dominar las habilidades para resolver problemas de división proporcional. Veamos algunos ejemplos.

Tarea 4.

Los tres socios invirtieron $280, $320 y $360, respectivamente, en la creación de la empresa. La ganancia que obtuvieron fue de $2,400. ¿Cuánto dinero recibirá cada socio de la utilidad, si la utilidad se distribuye en proporción a la contribución de cada uno?

Solución.

Denotamos las partes de la ganancia que deberían recibir, respectivamente:

a: b: c = 280: 320: 360.

Simplifiquemos la relación:

a: b: c = 280: 320: 360 = 28: 32: 36 = 7: 8: 9.

Dado que las cantidades son proporcionales, sea x el coeficiente de proporcionalidad (una parte de la ganancia). Entonces, a = 7x, b = 8x, c = 9x. La suma de las partes debe ser igual a la ganancia, entonces la ecuación se verá así:

7x + 8x + 9x = 2400.

Donde x \u003d 100 (dol). Por lo tanto, el primer socio debe recibir de la ganancia:

7 100 = 700 (USD), el segundo 8 100 = 800 (USD), y el tercero 9 100 = 900 (USD).

Respuesta: 700, 800, 900.

Tarea 5.

El perímetro del triángulo ABC es de 32,5 cm. Encuentra los lados del triángulo si AB está relacionado con BC como 3:4 y BC está relacionado con AC como 2:3.

Solución.

La dificultad radica en que no se da la razón de tres lados, sino del primero al segundo y del segundo al tercero. Considere estas relaciones:

AB: BC = 3: 4
BC: CA = 2: 3.

Igualar el número de partes del lado BC en la primera y segunda igualdad. Para hacer esto, multiplica la segunda razón por 2. Obtenemos,

AB: BC = 3: 4
BC: CA = 4: 6.

Ahora podemos escribir la relación de los tres lados AB: BC: AC \u003d 3: 4: 6. Luego AB \u003d 3x, BC \u003d 4x, AC \u003d 6x, donde x es el coeficiente de proporcionalidad.

Resolviendo la ecuación 3x + 4x + 6x \u003d 32.5, obtenemos que x \u003d 2.5 (cm).

Por lo tanto, los lados del triángulo: AB \u003d 3 2.5 \u003d 7.5 (cm); BC \u003d 4 2.5 \u003d 10 (cm); CA \u003d 6 2.5 \u003d 15 (cm).

Respuesta: 7,5; diez; quince.

Los problemas de dependencia proporcional desarrollan el pensamiento lógico, aprenden a analizar y encontrar relaciones entre cantidades, y los problemas de división proporcional tienen una amplia aplicación práctica, por lo que la capacidad de resolver ambos es simplemente necesaria.

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