Realizar un estudio completo de las funciones de la calculadora. Investigación de funciones en línea

Instrucción

Encuentre el alcance de la función. Por ejemplo, la función sin(x) está definida en todo el intervalo de -∞ a +∞, y la función 1/x está definida de -∞ a +∞, excepto por el punto x = 0.

Definir áreas de continuidad y puntos de quiebre. Por lo general, una función es continua en el mismo dominio donde está definida. Para detectar discontinuidades, debe calcular cuándo el argumento se acerca a puntos aislados dentro del dominio de definición. Por ejemplo, la función 1/x tiende a infinito cuando x→0+ ya menos infinito cuando x→0-. Esto significa que en el punto x = 0 tiene una discontinuidad del segundo tipo.
Si los límites en el punto de discontinuidad son finitos pero no iguales, entonces se trata de una discontinuidad del primer tipo. Si son iguales, entonces la función se considera continua, aunque no está definida en un punto aislado.

Encuentre las asíntotas verticales, si las hay. Los cálculos del paso anterior te ayudarán aquí, ya que la asíntota vertical casi siempre está en el punto de discontinuidad del segundo tipo. Sin embargo, a veces no son los puntos individuales los que se excluyen del dominio de definición, sino intervalos completos de puntos, y luego las asíntotas verticales se pueden ubicar en los bordes de estos intervalos.

Comprueba si la función tiene propiedades especiales: par, impar y periódica.
La función será incluso si para cualquier x en el dominio f(x) = f(-x). Por ejemplo, cos(x) y x^2 son funciones pares.

La periodicidad es una propiedad que dice que existe un determinado número T llamado periodo, que para cualquier x f(x) = f(x + T). Por ejemplo, todas las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) son periódicas.

Encuentra puntos. Para ello, calcula la derivada de la función dada y encuentra aquellos valores de x donde se anula. Por ejemplo, la función f(x) = x^3 + 9x^2 -15 tiene una derivada g(x) = 3x^2 + 18x que desaparece en x = 0 y x = -6.

Para determinar qué puntos extremos son máximos y cuáles son mínimos, trace el cambio en los signos de la derivada en los ceros encontrados. g(x) cambia de signo de más en x = -6 y de menos a más en x = 0. Por tanto, la función f(x) tiene un mínimo en el primer punto y un mínimo en el segundo.

Por lo tanto, también ha encontrado áreas de monotonicidad: f(x) aumenta monótonamente en el intervalo -∞;-6, disminuye monótonamente en -6;0 y vuelve a aumentar en 0;+∞.

Encuentra la segunda derivada. Sus raíces mostrarán dónde será convexa la gráfica de una función dada y dónde será cóncava. Por ejemplo, la segunda derivada de la función f(x) será h(x) = 6x + 18. Se anula en x = -3, cambiando su signo de menos a más. Por lo tanto, el gráfico f (x) antes de este punto será convexo, después de él, cóncavo, y este punto en sí mismo será un punto de inflexión.

Una función puede tener otras asíntotas, excepto las verticales, pero solo si su dominio de definición incluye . Para encontrarlos, calcula el límite de f(x) cuando x→∞ o x→-∞. Si es finito, entonces has encontrado la asíntota horizontal.

La asíntota oblicua es una recta de la forma kx + b. Para encontrar k, calcula el límite de f(x)/x como x→∞. Para encontrar b - límite (f(x) – kx) con el mismo x→∞.

Trace la función en los datos calculados. Etiqueta las asíntotas, si las hay. Marca los puntos extremos y los valores de la función en ellos. Para una mayor precisión del gráfico, calcule los valores de la función en varios puntos intermedios más. Investigación completada.

Una de las tareas más importantes del cálculo diferencial es el desarrollo de ejemplos generales del estudio del comportamiento de funciones.

Si la función y \u003d f (x) es continua en el intervalo, y su derivada es positiva o igual a 0 en el intervalo (a, b), entonces y \u003d f (x) aumenta en (f "(x) 0) Si la función y \u003d f (x) es continua en el segmento , y su derivada es negativa o igual a 0 en el intervalo (a,b), entonces y=f(x) disminuye en (f"( x)0)

Los intervalos en los que la función no decrece ni aumenta se denominan intervalos de monotonicidad de la función. La naturaleza de la monotonicidad de una función puede cambiar solo en aquellos puntos de su dominio de definición, en los que cambia el signo de la primera derivada. Los puntos en los que la primera derivada de una función se anula o se rompe se denominan puntos críticos.

Teorema 1 (1ª condición suficiente para la existencia de un extremo).

Sea la función y=f(x) definida en el punto x 0 y sea un entorno δ>0 tal que la función sea continua en el segmento , diferenciable en el intervalo (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , y su derivada conserva un signo constante en cada uno de estos intervalos. Entonces si en x 0 -δ, x 0) y (x 0, x 0 + δ) los signos de la derivada son diferentes, entonces x 0 es un punto extremo, y si coinciden, entonces x 0 no es un punto extremo . Además, si al pasar por el punto x0, la derivada cambia de signo de más a menos (a la izquierda de x 0, se realiza f "(x)> 0, entonces x 0 es el punto máximo; si la derivada cambia de signo de menos a más (a la derecha de x 0 se ejecuta por f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Los puntos máximos y mínimos se llaman puntos extremos de la función, y los máximos y mínimos de la función se llaman sus valores extremos.

Teorema 2 (criterio necesario para un extremo local).

Si la función y=f(x) tiene un extremo en el actual x=x 0, entonces f'(x 0)=0 o f'(x 0) no existe.
En los puntos extremos de una función derivable, la tangente a su gráfica es paralela al eje Ox.

Algoritmo para estudiar una función para un extremo:

1) Encuentra la derivada de la función.
2) Encontrar puntos críticos, es decir. puntos donde la función es continua y la derivada es cero o no existe.
3) Considere la vecindad de cada uno de los puntos y examine el signo de la derivada a la izquierda ya la derecha de este punto.
4) Determinar las coordenadas de los puntos extremos, para este valor de los puntos críticos, sustituir en esta función. Usando suficientes condiciones extremas, saque las conclusiones apropiadas.

Ejemplo 18. Investiga la función y=x 3 -9x 2 +24x

Solución.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Igualando la derivada a cero, encontramos x 1 =2, x 2 =4. En este caso, la derivada se define en todas partes; por tanto, aparte de los dos puntos encontrados, no hay otros puntos críticos.
3) El signo de la derivada y”=3(x-2)(x-4) cambia según el intervalo como se muestra en la Figura 1. Al pasar por el punto x=2, la derivada cambia de signo de más a menos, y al pasar por el punto x=4 - de menos a más.
4) En el punto x=2, la función tiene un máximo y max =20, y en el punto x=4 - un mínimo y min =16.

Teorema 3. (2ª condición suficiente para la existencia de un extremum).

Sean f "(x 0) y f "" (x 0) en el punto x 0. Entonces si f "" (x 0)> 0, entonces x 0 es el punto mínimo, y si f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

En el segmento, la función y \u003d f (x) puede alcanzar el valor más pequeño (al menos) o más grande (como máximo) en los puntos críticos de la función que se encuentran en el intervalo (a; b), o en los extremos del segmento

El algoritmo para encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función continua y=f(x) en el segmento:

1) Encuentre f "(x).
2) Encuentre los puntos en los que f "(x) = 0 o f" (x) - no existe, y seleccione de ellos aquellos que se encuentran dentro del segmento.
3) Calcule el valor de la función y \u003d f (x) en los puntos obtenidos en el párrafo 2), así como en los extremos del segmento y elija el más grande y el más pequeño de ellos: son, respectivamente, los más grandes ( para el mayor) y el menor (para el menor) valores de función en el intervalo.

Ejemplo 19. Encuentra el mayor valor de una función continua y=x 3 -3x 2 -45+225 en el segmento .

1) Tenemos y "=3x 2 -6x-45 en el segmento
2) La derivada y" existe para todo x. Busquemos los puntos donde y"=0; obtenemos:
3x2 -6x-45=0
x2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calcular el valor de la función en los puntos x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Solo el punto x=5 pertenece al segmento. El mayor de los valores encontrados de la función es 225 y el menor es el número 50. Entonces, en max = 225, en max = 50.

Investigación de una función sobre convexidad

La figura muestra las gráficas de dos funciones. El primero de ellos se vuelve con un bulto hacia arriba, el segundo, con un bulto hacia abajo.

La función y=f(x) es continua en el segmento y diferenciable en el intervalo (a;b), se llama convexa hacia arriba (abajo) en este segmento, si para axb su gráfica no se encuentra más arriba (ni más abajo) que la tangente dibujado en cualquier punto M 0 (x 0 ;f(x 0)), donde axb.

Teorema 4. Que la función y=f(x) tenga una segunda derivada en cualquier punto interior x del segmento y sea continua en los extremos de este segmento. Entonces, si la desigualdad f""(x)0 se satisface en el intervalo (a;b), entonces la función es convexa hacia abajo en el segmento ; si la desigualdad f""(x)0 se satisface en el intervalo (à;b), entonces la función es convexa hacia arriba en .

Teorema 5. Si la función y=f(x) tiene una segunda derivada en el intervalo (a;b) y cambia de signo al pasar por el punto x 0 , entonces M(x 0 ;f(x 0)) es un punto de inflexión.

Regla para encontrar puntos de inflexión:

1) Encuentra puntos donde f""(x) no existe o desaparece.
2) Examine el signo f""(x) a la izquierda y derecha de cada punto encontrado en el primer paso.
3) Con base en el Teorema 4, saque una conclusión.

Ejemplo 20. Hallar los puntos extremos y los puntos de inflexión de la función gráfica y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Tenemos f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Obviamente, f"(x)=0 para x 1 =0, x 2 =1. La derivada, al pasar por el punto x=0, cambia de signo de menos a más, y al pasar por el punto x=1, no cambia de signo. Esto significa que x=0 es el punto mínimo (y min =12), y no hay ningún extremo en el punto x=1. A continuación, encontramos . La segunda derivada se anula en los puntos x 1 =1, x 2 =1/3. Los signos de la segunda derivada cambian de la siguiente manera: En el rayo (-∞;) tenemos f""(x)>0, en el intervalo (;1) tenemos f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Por lo tanto, x= es el punto de inflexión de la función gráfica (transición de convexidad hacia abajo a convexidad hacia arriba) y x=1 es también un punto de inflexión (transición de convexidad hacia arriba a convexidad hacia abajo). Si x=, entonces y= ; si, entonces x=1, y=13.

Un algoritmo para encontrar la asíntota de un gráfico

I. Si y=f(x) cuando x → a , entonces x=a es una asíntota vertical.
II. Si y=f(x) cuando x → ∞ o x → -∞ entonces y=A es la asíntota horizontal.
tercero Para encontrar la asíntota oblicua, usamos el siguiente algoritmo:
1) Calcular. Si el límite existe y es igual a b, entonces y=b es la asíntota horizontal; si , entonces vaya al segundo paso.
2) Calcular. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota; si existe y es igual a k, vaya al tercer paso.
3) Calcular. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota; si existe y es igual a b, vaya al cuarto paso.
4) Escribe la ecuación de la asíntota oblicua y=kx+b.

Ejemplo 21: Encuentra una asíntota para una función

1)
2)
3)
4) La ecuación asíntota oblicua tiene la forma

El esquema del estudio de la función y la construcción de su gráfico.

I. Encuentra el dominio de la función.
II. Encuentra los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.
tercero Encuentra asíntotas.
IV. Encuentre puntos de posible extremo.
V. Encontrar puntos críticos.
VI. Usando el dibujo auxiliar, investiga el signo de la primera y segunda derivada. Determina las áreas de aumento y disminución de la función, encuentra la dirección de la convexidad de la gráfica, los puntos extremos y los puntos de inflexión.
VIII. Construya un gráfico, teniendo en cuenta el estudio realizado en los párrafos 1-6.

Ejemplo 22: Trace un gráfico de función de acuerdo con el esquema anterior

Solución.
I. El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, excepto x=1.
II. Como la ecuación x 2 +1=0 no tiene raíces reales, entonces la gráfica de la función no tiene puntos de intersección con el eje Ox, pero interseca el eje Oy en el punto (0; -1).
tercero Aclaremos la cuestión de la existencia de asíntotas. Investigamos el comportamiento de la función cerca del punto de discontinuidad x=1. Como y → ∞ para x → -∞, y → +∞ para x → 1+, entonces la recta x=1 es una asíntota vertical de la gráfica de la función.
Si x → +∞(x → -∞), entonces y → +∞(y → -∞); por lo tanto, la gráfica no tiene asíntota horizontal. Además, de la existencia de límites

Resolviendo la ecuación x 2 -2x-1=0, obtenemos dos puntos de un extremo posible:
x1 =1-√2 y x2 =1+√2

V. Para encontrar los puntos críticos, calculamos la segunda derivada:

Como f""(x) no desaparece, no hay puntos críticos.
VI. Investigamos el signo de las derivadas primera y segunda. Posibles puntos extremos a considerar: x 1 =1-√2 y x 2 =1+√2, dividir el área de existencia de la función en intervalos (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) y (1+√2;+∞).

En cada uno de estos intervalos, la derivada conserva su signo: en el primero - más, en el segundo - menos, en el tercero - más. La secuencia de signos de la primera derivada se escribirá de la siguiente manera: +, -, +.
Obtenemos que la función en (-∞;1-√2) crece, en (1-√2;1+√2) decrece, y en (1+√2;+∞) vuelve a crecer. Puntos extremos: máximo en x=1-√2, además f(1-√2)=2-2√2 mínimo en x=1+√2, además f(1+√2)=2+2√2. En (-∞;1) el gráfico es convexo hacia arriba y en (1;+∞) - hacia abajo.
VII Hagamos una tabla de los valores obtenidos

VIII Con base en los datos obtenidos, construimos un bosquejo de la gráfica de la función

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