La función de producción dada la actividad intermediaria. Tipos de funciones de producción

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En las condiciones de la sociedad moderna, nadie puede consumir sólo lo que él mismo produce. Cada individuo actúa en el mercado en dos roles: como consumidor y como productor. sin permanente producción de bienes no habría consumo. A la conocida pregunta “¿Qué producir?” los consumidores en el mercado responden “votando” con el contenido de su billetera por aquellos bienes que realmente necesitan. A la pregunta "¿Cómo producir?" deben responder aquellas empresas que producen bienes en el mercado.

Hay dos tipos de bienes en la economía: bienes de consumo y factores de producción (recursos): estos son los bienes necesarios para organizar el proceso de producción.

La teoría neoclásica tradicionalmente atribuía capital, tierra y trabajo a los factores de producción.

En los años 70 del siglo XIX, Alfred Marshall destacó el cuarto factor de producción: la organización. Además, Joseph Schumpeter llamó a este factor emprendimiento.

De este modo, La producción es el proceso de combinar factores como el capital, el trabajo, la tierra y el espíritu empresarial para obtener nuevos bienes y servicios que necesitan los consumidores.

Para la organización del proceso de producción, los factores de producción necesarios deben estar presentes en cierta cantidad.

La dependencia del volumen máximo del producto producido sobre los costos de los factores utilizados se denomina función de producción:

donde Q es el volumen máximo de un producto que se puede producir con una tecnología dada y ciertos factores de producción; K - costos de capital; L - costos laborales; M - el costo de las materias primas, materiales.

Para el análisis y la previsión agregados, se utiliza una función de producción, denominada función Cobb-Douglas:

Q = k K L METRO ,

donde Q es el volumen máximo del producto para determinados factores de producción; K, L, M - respectivamente, los costos de capital, mano de obra, materiales; k - coeficiente de proporcionalidad, o escala; , , , - indicadores de la elasticidad del volumen de producción, respectivamente, para capital, trabajo y materiales, o coeficientes de crecimiento Q, por 1% del crecimiento del factor correspondiente:

+ + = 1

A pesar de que se requiere una combinación de diferentes factores para producir un producto en particular, la función de producción tiene una serie de propiedades comunes:

los factores de produccion son complementarios. Esto significa que este proceso de producción solo es posible con un conjunto de ciertos factores. La ausencia de uno de estos factores imposibilitará la producción del producto previsto.

hay una cierta intercambiabilidad de factores. En el proceso de producción, un factor puede ser reemplazado en cierta proporción por otro. La intercambiabilidad no significa la posibilidad de eliminar por completo cualquier factor del proceso de producción.

Se acostumbra considerar 2 variedades de la función de producción: con un factor variable y con dos factores variables.

a) producción con un factor variable;

Supongamos que en la forma más general la función de producción con un factor variable tiene la forma:

donde y es constante, x es el valor del factor variable.

Para reflejar la influencia de un factor variable en la producción, se introducen los conceptos de producto total (general), medio y marginal.

producto total (TP) - es la cantidad de un bien económico producido utilizando alguna cantidad de un factor variable. Esta cantidad total de producto producido cambia a medida que aumenta el uso del factor variable.

Producto medio (AP) (productividad media de los recursos)es la relación entre el producto total y la cantidad de factor variable utilizado en la producción:

Producto Marginal (parlamentario) (productividad marginal de los recursos) generalmente se define como el aumento en el producto total que resulta de un aumento infinitesimal en la cantidad de factor variable utilizado:

El gráfico muestra la relación de MP, AP y TP.

El producto total (Q) aumentará con el aumento del uso del factor variable (x) en la producción, pero este crecimiento tiene ciertos límites en el marco de una determinada tecnología. En la primera etapa de producción (OA), un aumento en los costos laborales contribuye a un uso cada vez más completo del capital: crece la productividad marginal y total del trabajo. Esto se expresa en el crecimiento del producto marginal y medio, mientras MP > АР. En el punto A "el producto marginal alcanza su máximo. En la segunda etapa (AB), el valor del producto marginal disminuye y en el punto B" se iguala al producto medio (MP = AP). Si en la primera etapa (0A) el producto total aumenta más lentamente que la cantidad del factor variable utilizado, entonces en la segunda etapa (AB) el producto total crece más rápidamente que la cantidad del factor variable utilizado (figura 5-1a). ). En la tercera etapa de producción (BV) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (после точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фактора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Argumenta que con un aumento en el uso de cualquier factor de producción (mientras los demás permanecen sin cambios), tarde o temprano se llega a un punto en el que el uso adicional de un factor variable lleva a una disminución en los volúmenes relativos y luego absolutos de producción. producción.

b) producción con dos factores variables.

Supongamos que en la forma más general la función de producción con dos factores variables tiene la forma:

donde x e y son los valores de la variable factor.

Por regla general, se consideran 2 factores a la vez complementarios e intercambiables: trabajo y capital.

Esta función se puede representar gráficamente usando isocuantas :

Una isocuanta, o curva de producto igual, representa todas las combinaciones posibles de dos factores que se pueden usar para producir una cantidad dada de producto.

Con un aumento en el volumen de factores variables utilizados, es posible producir un mayor volumen de productos. La isocuanta, que refleja la producción de un mayor volumen de producto, se ubicará a la derecha y arriba de la isocuanta anterior.

El número de factores usados xey puede cambiar constantemente, respectivamente, la producción máxima del producto disminuirá o aumentará. Por lo tanto, puede haber un conjunto de isocuantas correspondientes a diferentes volúmenes de producción, que forman mapa de isocuantas.

Las isocuantas son similares a las curvas de indiferencia con la única diferencia de que reflejan la situación no en la esfera del consumo, sino en la esfera de la producción. Es decir, las isocuantas tienen propiedades similares a las curvas de indiferencia.

La pendiente negativa de las isocuantas se explica por el hecho de que un aumento en el uso de un factor en un cierto volumen de producción del producto siempre estará acompañado por una disminución en la cantidad de otro factor.

Así como las curvas de indiferencia ubicadas a diferentes distancias del origen caracterizan diferentes niveles de utilidad para el consumidor, las isocuantas brindan información sobre diferentes niveles de producción.

El problema de la sustituibilidad de un factor por otro puede resolverse calculando la tasa marginal de sustitución tecnológica (MRTS xy o MRTS LK).

La tasa marginal de sustitución tecnológica se mide por la relación entre el cambio en el factor y y el cambio en el factor x. Como los factores se reemplazan en sentido contrario, la expresión matemática para el indicador MRTS x,y se toma con signo menos:

MRTS x, y = oMRTS LK=

Si tomamos cualquier punto de la isocuanta, por ejemplo, el punto A y le trazamos una tangente KM, entonces la tangente del ángulo nos dará el valor de MRTS x,y:

Se puede notar que en la parte superior de la isocuanta, el ángulo será bastante grande, lo que indica que se requieren cambios significativos en el factor y para cambiar el factor x en uno. Por lo tanto, en esta parte de la curva, el valor de MRTS x,y será grande.

A medida que desciende la isocuanta, el valor de la tasa marginal de sustitución tecnológica disminuirá gradualmente. Esto significa que para aumentar el factor x en uno, se requiere una ligera disminución en el factor y.

En los procesos productivos reales, existen dos casos excepcionales en la configuración isocuanta:

Esta es una situación en la que dos factores variables son perfectamente intercambiables, con plena sustituibilidad de los factores de producción MRTS x,y = const. Se puede imaginar una situación similar con la posibilidad de una automatización completa de la producción. Luego, en el punto A, todo el proceso de producción consistirá en insumos de capital. En el punto B, todas las máquinas serán reemplazadas por mano de obra, y en los puntos C y D, el capital y el trabajo se complementarán entre sí.

En una situación de estricta complementariedad de factores, la tasa marginal de sustitución tecnológica será igual a 0 (MRTS x,y = 0). Si tomamos una flota de taxis moderna con un número constante de automóviles (y 1) que requieren un cierto número de conductores (x 1), entonces podemos decir que el número de pasajeros atendidos durante el día no aumentará si aumentamos el número de conductores a x 2 , x 3 , ... x n . El volumen del producto producido aumentará de Q 1 a Q 2 solo si aumenta el número de automóviles usados en la flota de taxis y el número de conductores.

Cada productor, al adquirir factores para la organización de la producción, tiene ciertas limitaciones en los medios.

Supongamos que el trabajo (factor x) y el capital (factor y) actúan como factores variables. Tienen ciertos precios, que se mantienen constantes durante el período de análisis (P x , P y - const).

El fabricante puede comprar los factores necesarios en una determinada combinación, que no va más allá de sus capacidades presupuestarias. Entonces su costo de adquirir el factor x será P x · x, el costo del factor y, respectivamente, será P y · y. Los costes totales (C) serán:

C = P x X + P y Y o
.

Para el trabajo y el capital:

La representación gráfica de la función de costo (C) se llama isocoste (costos directos iguales, es decir, todas estas son combinaciones de recursos, cuyo uso conduce a los mismos costos gastados en la producción). Esta recta se construye a lo largo de dos puntos de forma similar a la recta presupuestaria (en el equilibrio del consumidor).

La pendiente de esta recta está determinada por:

Con un aumento de los fondos para la compra de factores variables, es decir, con una disminución de las restricciones presupuestarias, la línea de isocosto se desplazará hacia la derecha y hacia arriba:

C 1 \u003d P x X 1 + P y Y 1.

Gráficamente, los isocostos tienen el mismo aspecto que la recta presupuestaria del consumidor. A precios constantes, los isocostos son líneas rectas paralelas con pendiente negativa. Cuanto mayores son las posibilidades presupuestarias del fabricante, más alejado del origen de coordenadas se encuentra el isocoste.

El gráfico de isocoste en el caso de una disminución en el precio del factor x se moverá a lo largo de la abscisa desde el punto x 1 hasta x 2 de acuerdo con el aumento en el uso de este factor en el proceso de producción (Fig. a).

Y si el precio del factor y aumenta, el productor podrá atraer una cantidad menor de este factor a la producción. La gráfica de isocosto a lo largo del eje y se moverá del punto y 1 al y 2 .

Dadas las capacidades de producción (isocuantas) y las restricciones presupuestarias del productor (isocostes), se puede determinar un equilibrio. Para hacer esto, combinamos el mapa de isocuantas con el isocoste. Esa isocuanta, respecto de la cual el isocoste toma la posición de tangente, determinará el mayor volumen de producción, dadas las posibilidades presupuestarias. El punto de contacto de la isocuanta del isocoste será el punto del comportamiento más racional del productor.

Al analizar la isocuanta, encontramos que su pendiente en cualquier punto está determinada por la pendiente de la tangente, o la tasa de sustitución tecnológica:

MRTS x, y =

El isocoste en el punto E coincide con la tangente. La pendiente del isocoste, como determinamos anteriormente, es igual a la pendiente . En base a esto, es posible determinar el punto de equilibrio del consumidor como la igualdad de las relaciones entre los precios de los factores de producción y el cambio en estos factores.

Llevando esta igualdad a los indicadores del producto marginal de la variable factor de producción, en este caso es MP x y MP y , obtenemos:

Este es el equilibrio del productor o la regla del menor costo..

Para el trabajo y el capital, el equilibrio del productor se verá así:

Suponga que los precios de los recursos permanecen constantes mientras que el presupuesto del productor aumenta constantemente. Al conectar los puntos de intersección de las isocuantas con los isocostos, obtenemos la línea OS: el "camino de desarrollo" (similar a la línea del nivel de vida en la teoría del comportamiento del consumidor). Esta línea muestra la tasa de crecimiento de la relación entre los factores en el proceso de expansión de la producción. En la figura, por ejemplo, el trabajo en el curso del desarrollo de la producción se utiliza en mayor medida que el capital. La forma de la curva de la "ruta de desarrollo" depende, en primer lugar, de la forma de las isocuantas y, en segundo lugar, de los precios de los recursos (cuya relación determina la pendiente de los isocostos). La línea del "camino de desarrollo" puede ser recta o curva desde el origen.

Si las distancias entre isocuantas disminuyen, esto indica que hay economías de escala crecientes, es decir, se logra un aumento en la producción con una economía relativa de recursos. Y la empresa necesita aumentar el volumen de producción, ya que esto conduce a un ahorro relativo de los recursos disponibles.

Si las distancias entre isocuantas aumentan, esto indica economías de escala decrecientes. Las economías de escala decrecientes indican que ya se ha alcanzado el tamaño mínimo eficiente de la empresa y que no es aconsejable un mayor aumento de la producción.

Cuando un aumento de la producción requiere un aumento proporcional de los recursos, se habla de economías de escala permanentes.

Así, el análisis de la producción mediante isocuantas permite determinar la eficiencia técnica de la producción. La intersección de las isocuantas con los isocostos permite determinar no solo la eficiencia tecnológica, sino también la económica, es decir, elegir una tecnología (ahorro de mano de obra o capital, ahorro de energía o material, etc.) que permita asegurar el máximo salida de productos con los fondos disponibles fabricante para organizar la producción.

Introducción

1. El concepto de producción y funciones de producción

2. Clases y tipos de funciones de producción

2.1 Isoquant y sus tipos

2.2 Combinación óptima de recursos

2.3 Funciones de oferta y sus propiedades

3. Aplicación práctica de la función de producción

3.1 Modelización de los costes y beneficios de una empresa (firma)

3.2 Métodos de contabilización del progreso científico y tecnológico

Conclusión

Bibliografía

Introducción

He elegido el tema "Esencia, modelos, límites de aplicación del método de la función de producción". Este tema es relevante debido al hecho de que este método le permite responder a la pregunta principal que enfrentan los economistas en las empresas y los empresarios: "¿Qué sucederá si ...". Es gracias a este método que es posible hacer cálculos para obtener posibles ganancias en varias condiciones y comprender qué ganancias podemos obtener, desde un mínimo garantizado hasta un posible máximo, sin realizar experimentos en tiempo real y sin arriesgar nuestras finanzas. .

¿Qué es una función de producción? Vayamos al diccionario Yandex y obtengamos lo siguiente:

La FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN (FP) (lo mismo: función de producción) es una ecuación económica y matemática que conecta los costos variables (recursos) con los valores de producción (salida). Los PF se utilizan para analizar la influencia de varias combinaciones de factores en el volumen de producción en un momento determinado (versión estática de P. f.) y para analizar y predecir la relación entre el volumen de factores y la producción en diferentes puntos en tiempo (versión dinámica de Pf.) en varios niveles de la economía, desde una firma (empresa) hasta la economía nacional en su conjunto (FP agregado, en el que la producción es un indicador del producto social total o ingreso nacional, etc. ). En una empresa individual, corporación, etc., el PF describe la producción máxima que pueden producir para cada combinación de factores de producción utilizados. Puede representarse mediante muchas isocuantas asociadas con diferentes niveles de producción.

Este tipo de FP, cuando existe una dependencia explícita del volumen de producción de la disponibilidad o consumo de recursos, se denomina función de producción.

En particular, las funciones de producción se usan ampliamente en la agricultura, donde se utilizan para estudiar el impacto en los rendimientos de factores tales como, por ejemplo, diferentes tipos y composiciones de fertilizantes, métodos de labranza. Junto con FP similares, se utilizan las funciones inversas de los costos de producción. Caracterizan la dependencia de los costos de los recursos en los volúmenes de producción (estrictamente hablando, son inversas solo a FP con recursos intercambiables). Se pueden considerar casos especiales de FP la función de costo (la relación entre el volumen de producción y los costos de producción), la función de inversión (la dependencia de la inversión requerida de la capacidad de producción de la futura empresa), etc.

Matemáticamente, PF se puede representar de varias formas, desde formas tan simples como una dependencia lineal del resultado de la producción de un factor en estudio, hasta sistemas de ecuaciones muy complejos, que incluyen relaciones de recurrencia que conectan los estados del objeto en estudio en diferentes formas. períodos de tiempo.

Las formas de representación de potencia multiplicativa más utilizadas del FP. Su peculiaridad es la siguiente: si uno de los factores es igual a cero, el resultado se anula. Es fácil ver que esto refleja de manera realista el hecho de que en la mayoría de los casos todos los recursos primarios analizados están involucrados en la producción, y sin ninguno de ellos, la producción es imposible. En su forma más general (se llama canónica), esta función se escribe de la siguiente manera:

Aquí, el coeficiente A delante del signo de multiplicación tiene en cuenta la dimensión, depende de la unidad de medida de costos y producción elegida. Los factores del primero al enésimo pueden tener un contenido diferente según los factores que influyan en el resultado general (salida). Por ejemplo, en el PF, que se utiliza para estudiar la economía en su conjunto, es posible tomar el volumen del producto final como indicador de rendimiento y los factores: el número de personas ocupadas x 1, la suma de fijo y capital de trabajo x 2, el área de terreno utilizada x 3. Solo hay dos factores en la función Cobb-Douglas, con la ayuda de los cuales se intentó evaluar la relación de factores como el trabajo y el capital con el crecimiento del ingreso nacional de EE. UU. en los años 20-30. siglo XX:

norte = UN L α K β ,

donde N es el ingreso nacional; L y K son los volúmenes de trabajo y capital aplicados, respectivamente.

Los coeficientes de potencia (parámetros) del factor de potencia multiplicativo muestran la participación en el aumento porcentual del producto final que contribuye cada uno de los factores (o en qué porcentaje aumentará el producto si los costos del recurso correspondiente aumentan en un uno por ciento). ); son coeficientes de elasticidad de la producción con respecto a los costos del recurso correspondiente. Si la suma de los coeficientes es 1, esto significa la homogeneidad de la función: aumenta en proporción al aumento de la cantidad de recursos. Pero tales casos también son posibles cuando la suma de los parámetros es mayor o menor que la unidad; esto muestra que un aumento en los costos conduce a un aumento desproporcionadamente grande o desproporcionadamente pequeño en la producción (Efectos de escala).

En la versión dinámica, se utilizan diferentes formas de PF. Por ejemplo, (en el caso de 2 factores): Y(t) = A(t) L α (t) K β (t), donde el factor A(t) generalmente aumenta con el tiempo, reflejando el aumento general en el eficiencia de los factores de producción a lo largo del tiempo.

Tomando un logaritmo y luego derivando la función anterior con respecto a t, se pueden obtener los cocientes entre las tasas de crecimiento del producto final (ingreso nacional) y el crecimiento de los factores de producción (las tasas de crecimiento de las variables generalmente se describen aquí como un porcentaje ).

Una mayor “dinamización” del FP puede consistir en el uso de coeficientes de elasticidad variable.

Las relaciones descritas por el PF son de naturaleza estadística, es decir, aparecen solo en promedio, en un gran número de observaciones, ya que no solo los factores analizados, sino también muchos no contabilizados, afectan realmente el resultado de la producción. Además, los indicadores aplicados tanto de costes como de resultados son inevitablemente productos de agregaciones complejas (por ejemplo, un indicador generalizado de costes laborales en una función macroeconómica incluye costes laborales de distinta productividad, intensidad, cualificación, etc.).

Un problema especial es tener en cuenta el factor de progreso técnico en los FP macroeconómicos (para más detalles, ver el artículo “Progreso científico y técnico”). Con la ayuda de FP, también se estudia la intercambiabilidad equivalente de los factores de producción (ver Elasticidad de sustitución de recursos), que puede ser constante o variable (es decir, dependiente del volumen de recursos). En consecuencia, las funciones se dividen en dos tipos: con elasticidad de sustitución constante (CES - Elasticidad de sustitución constante) y con variable (VES - Elasticidad de sustitución variable) (ver más abajo).

En la práctica, se utilizan tres métodos principales para determinar los parámetros de los FP macroeconómicos: basados en el procesamiento de series temporales, basados en datos sobre los elementos estructurales de los agregados y sobre la distribución del ingreso nacional. El último método se llama distribución.

Al construir el PF, es necesario deshacerse de los fenómenos de multicolinealidad de parámetros y autocorrelación; de lo contrario, los errores graves son inevitables.

Aquí hay algunos TF importantes (ver también la función Cobb-Douglas).

f.f. lineal:

PAG = un 1 x 1 + ... + un norte x norte ,

donde a 1 , ..., an son los parámetros estimados del modelo: aquí los factores de producción se sustituyen en cualquier proporción.

Característica del CES:

P \u003d A [(1 - α) K -b + αL -b] -c / b,

en este caso, la elasticidad de sustitución de recursos no depende ni de K ni de L y, por tanto, es constante:

De ahí viene el nombre de la función.

La función CES, al igual que la función Cobb-Douglas, asume una disminución constante en la tasa marginal de sustitución de los recursos utilizados. Por su parte, la elasticidad de reposición de capital por trabajo y, a la inversa, de trabajo por capital en la función Cobb-Douglas, igual a uno, aquí puede tomar diferentes valores que no son iguales a uno, aunque es constante. Finalmente, a diferencia de la función Cobb-Douglas, el logaritmo de la función CES no la lleva a una forma lineal, lo que nos obliga a utilizar métodos más complejos de análisis de regresión no lineal para estimar los parámetros.

1. El concepto de producción y funciones de producción

Se entiende por producción toda actividad de aprovechamiento de los recursos naturales, materiales, técnicos e intelectuales para la obtención de beneficios tangibles e intangibles.

Con el desarrollo de la sociedad humana, la naturaleza de la producción está cambiando. En las primeras etapas del desarrollo humano, dominaban los elementos naturales, naturales y naturales de las fuerzas productivas. Y el hombre mismo en ese momento era más un producto de la naturaleza. La producción durante este período se denominó natural.

Con el desarrollo de los medios de producción, comienzan a predominar los elementos materiales y técnicos de las fuerzas productivas históricamente creados. Esta es la era del capital. En la actualidad, el conocimiento, la tecnología y los recursos intelectuales de la propia persona tienen una importancia decisiva. Nuestra era es la era de la informatización, la era del dominio de los elementos científicos y técnicos de las fuerzas productivas. La posesión de conocimientos, las nuevas tecnologías es fundamental para la producción. En muchos países desarrollados se plantea la tarea de la informatización universal de la sociedad. La red informática mundial Internet se está desarrollando a un ritmo vertiginoso.

Tradicionalmente, el papel de la teoría general de la producción lo desempeña la teoría de la producción material, entendida como el proceso de transformación de los recursos de producción en un producto. Los principales recursos de producción son la mano de obra ( L) y capital ( k). Los modos de producción o las tecnologías de producción existentes determinan la cantidad de producción que se produce con cantidades dadas de trabajo y capital. Las tecnologías matemáticamente existentes se expresan mediante función de producción. Si denotamos el volumen de salida por Y, entonces la función de producción se puede escribir

Y= F(k, L).

Esta expresión significa que el volumen de producción es una función de la cantidad de capital y la cantidad de trabajo. La función de producción describe el conjunto de tecnologías actualmente existentes. Si se inventa una tecnología mejor, entonces con el mismo gasto de mano de obra y capital, la producción aumenta. En consecuencia, los cambios en la tecnología también modifican la función de producción. Metodológicamente, la teoría de la producción es en gran medida simétrica a la teoría del consumo. Sin embargo, si en la teoría del consumo las categorías principales se miden solo subjetivamente o aún no están sujetas a medición alguna, entonces las categorías principales de la teoría de la producción tienen una base objetiva y pueden medirse en ciertas unidades naturales o de valor.

A pesar de que el concepto de producción puede parecer muy amplio, vago e incluso vago, ya que en la vida real la producción se entiende como una empresa, una obra de construcción, una granja agrícola, una empresa de transporte y una organización muy grande como una sucursal de la economía nacional, sin embargo, la modelización económica y matemática destaca algo común, inherente a todos estos objetos. Este común es el proceso de convertir los recursos primarios (factores de producción) en los resultados finales del proceso. Por tanto, el principal concepto inicial en la descripción de un objeto económico es el método tecnológico, que suele representarse como un vector v costos de producción, incluida la enumeración de los volúmenes de recursos gastados (vector X) e información sobre los resultados de su transformación en productos finales u otras características (beneficio, rentabilidad, etc.) (vector y):

v= (X; y).

Dimensión de vectores X y y, así como los métodos de su medición (en unidades naturales o de costo) dependen significativamente del problema en estudio, de los niveles en los que se establecen determinadas tareas de planificación y gestión económica. El conjunto de vectores de métodos tecnológicos que pueden servir como descripción (desde un punto de vista aceptable del investigador con precisión) del proceso de producción que es realmente factible en algún objeto se denomina conjunto tecnológico. V este objeto Para mayor precisión, supondremos que la dimensión del vector de costos X es igual a norte, y el vector de salida y respectivamente METRO. Así, la tecnología v es un vector de dimensión ( METRO+ norte), y el conjunto tecnológico Entre todos los métodos tecnológicos que son factibles en la instalación, ocupan un lugar especial los métodos que se comparan favorablemente con todos los demás en que requieren costos más bajos con el mismo rendimiento o corresponden a un rendimiento mayor con los mismos costos. Aquellos de ellos que ocupan en cierto sentido la posición límite en el conjunto V, son de particular interés porque son una descripción de un proceso de producción real factible y marginalmente rentable.

Digamos que un vector es preferible a un vector con notación si se cumplen las siguientes condiciones:

y ocurre al menos uno de los siguientes:

a) existe tal número i 0 eso

b) existe tal número j 0 eso

Un método tecnológico se llama eficiente si pertenece al conjunto tecnológico V y no hay otro vector que sea preferible. La definición anterior significa que se consideran efectivos aquellos métodos que no pueden ser mejorados en ningún componente del costo, en ninguna posición del producto, sin dejar de ser aceptables. El conjunto de todos los métodos tecnológicamente eficientes se denotará por V*. Es un subconjunto del conjunto tecnológico. V o lo empareja. En esencia, la tarea de planificar la actividad económica de una instalación de producción puede interpretarse como la tarea de elegir un método tecnológico efectivo que mejor se adapte a algunas condiciones externas. Al resolver tal problema de elección, la idea de la naturaleza misma del conjunto tecnológico resulta bastante significativa. V, así como su subconjunto efectivo V*.

En una serie de casos, resulta posible admitir, en el marco de la producción fija, la posibilidad de intercambiabilidad de ciertos recursos (diversos tipos de combustible, máquinas y trabajadores, etc.). Al mismo tiempo, el análisis matemático de tales producciones se basa en la premisa de la naturaleza continua del conjunto. V, y en consecuencia, sobre la posibilidad fundamental de representar variantes de sustitución mutua utilizando funciones continuas e incluso diferenciables definidas en V. Este enfoque ha recibido su mayor desarrollo en la teoría de las funciones de producción.

Usando el concepto de un conjunto tecnológico efectivo, una función de producción (FP) se puede definir como un mapeo

y= F(X),

dónde V*.

Este mapeo es, en términos generales, multivaluado, es decir, un montón de F(X) contiene más de un punto. Sin embargo, para muchas situaciones realistas, las funciones de producción resultan ser de un solo valor e incluso, como se mencionó anteriormente, diferenciables. En el caso más simple, la función de producción es la función escalar norte argumentos:

Aquí el valor y tiene, por regla general, un carácter de costo, expresando el volumen de producción en términos monetarios. Los argumentos son los volúmenes de recursos gastados en la implementación del método tecnológico eficiente correspondiente. Por lo tanto, la relación anterior describe el límite del conjunto tecnológico V, porque para un vector de costos dado ( X 1 , ..., x norte) para producir productos en cantidades superiores a y, es imposible, y la producción de productos en cantidades inferiores a las especificadas corresponde a un método tecnológico ineficiente. La expresión de la función de producción se puede utilizar para evaluar la eficacia del método de gestión adoptado en una empresa determinada. De hecho, para un conjunto dado de recursos, se puede determinar la producción real y compararla con la calculada a partir de la función de producción. La diferencia resultante proporciona material útil para evaluar la eficiencia en términos absolutos y relativos.

La función de producción es un aparato muy útil para los cálculos de planificación y, por lo tanto, ahora se ha desarrollado un enfoque estadístico para construir funciones de producción para unidades económicas específicas. En este caso, generalmente se usa un cierto conjunto estándar de expresiones algebraicas, cuyos parámetros se encuentran utilizando los métodos de las estadísticas matemáticas. Este enfoque significa, en esencia, estimar la función de producción con base en el supuesto implícito de que los procesos de producción observados son eficientes. Entre los diversos tipos de funciones de producción, las funciones lineales de la forma

ya que para ellos se resuelve fácilmente el problema de estimar coeficientes a partir de datos estadísticos, así como funciones de potencia

por lo que el problema de encontrar los parámetros se reduce a estimar la forma lineal pasando a logaritmos.

Bajo el supuesto de que la función de producción es diferenciable en cada punto del conjunto X posibles combinaciones de recursos gastados, es útil considerar algunas de las cantidades asociadas con el FP.

En particular, el diferencial

representa el cambio en el costo de la producción cuando se pasa del costo de un conjunto de recursos X= (X 1 , ..., x norte) al conjunto X+ dx= (X 1 + dx 1 , ..., x norte+ dx norte) siempre que se mantengan las propiedades de eficiencia de los métodos tecnológicos correspondientes. Entonces el valor de la derivada parcial

puede interpretarse como el rendimiento marginal (diferencial) del recurso o, en otras palabras, el coeficiente de productividad marginal, que muestra cuánto aumentará la producción debido al aumento en el costo del recurso con el número j para una pequeña unidad. El valor de la productividad marginal del recurso puede interpretarse como el límite superior del precio p.j., que la planta de producción puede pagar por una unidad adicional j-ese recurso para que no se pierda después de su adquisición y uso. De hecho, el aumento esperado en la producción en este caso será

y por lo tanto la relación

generará ganancias adicionales.

A corto plazo, cuando un recurso se trata como fijo y el otro como variable, la mayoría de las funciones de producción tienen la propiedad de disminuir el producto marginal. El producto marginal de un recurso variable es el incremento en el producto total debido al incremento en el uso de este recurso variable por unidad.

El producto marginal del trabajo se puede escribir como la diferencia

MPL= F(k, L+ 1) - F(k, L),

dónde MPL producto marginal de la mano de obra.

El producto marginal del capital también se puede escribir como la diferencia

MPK= F(k+ 1, L) - F(k, L),

dónde MPK producto marginal del capital.

Una característica de una instalación de producción es también el valor del rendimiento medio de los recursos (productividad del factor de producción)

que tiene un significado económico claro de la cantidad de producción por unidad de recurso utilizada (factor de producción). El recíproco del retorno del recurso.

comúnmente conocida como intensidad de recursos porque expresa la cantidad de un recurso j necesarios para producir una unidad de producción en términos de valor. Muy comunes y comprensibles son términos tales como intensidad de capital, intensidad material, intensidad energética, intensidad laboral, cuyo crecimiento suele estar asociado con un deterioro en el estado de la economía, y su declive se considera un resultado favorable.

El cociente de dividir la productividad diferencial por la media

se denomina coeficiente de elasticidad de la producción por el factor de producción j y da una expresión para el aumento relativo en la producción (en porcentaje) con un aumento relativo en el costo del factor del 1%. si un ej. e 0, entonces hay una disminución absoluta en la producción con un aumento en el consumo del factor j; esta situación puede ocurrir cuando se utilizan productos o modos tecnológicamente inadecuados. Por ejemplo, un consumo excesivo de combustible provocará un aumento excesivo de la temperatura y no se producirá la reacción química necesaria para la elaboración del producto. Si 0< ej. e 1, entonces cada unidad adicional subsiguiente del recurso gastado causa un aumento adicional menor en la producción que el anterior.

si un ej.> 1, entonces el valor de la productividad incremental (diferencial) excede la productividad promedio. Por lo tanto, una unidad adicional de recurso aumenta no solo el volumen de producción, sino también la característica de retorno promedio de recursos. Es así como se produce el proceso de aumento de la rentabilidad de los activos cuando se ponen en funcionamiento máquinas y dispositivos altamente progresivos y eficientes. Para una función de producción lineal, el coeficiente una j numéricamente igual al valor de la productividad diferencial j-th factor, y para una función de potencia, el exponente a j tiene el significado del coeficiente de elasticidad en términos de j-ese recurso.

2. Clases y tipos de funciones de producción

Al modelar la demanda del consumidor, el mismo nivel de utilidad de varias combinaciones de bienes de consumo se muestra gráficamente mediante una curva de indiferencia.

En los modelos económicos y matemáticos de producción, cada tecnología se puede representar gráficamente mediante un punto, cuyas coordenadas reflejan los costos mínimos de recursos necesarios. k y L para producir una salida dada. Muchos de estos puntos forman una línea de igual salida, o isocuanta. Así, la función de producción se representa gráficamente por una familia de isocuantas. Cuanto más lejos se encuentra la isocuanta del origen, mayor es el volumen de producción que refleja. A diferencia de una curva de indiferencia, cada isocuanta caracteriza una cantidad cuantificada de producción.

Arroz. 1. Isocuantas correspondientes a diferentes volúmenes de producción

En la fig. 1 muestra tres isocuantas correspondientes a un volumen de producción de 200, 300 y 400 unidades. Podemos decir que para la producción de 300 unidades de producción, es necesario k 1 unidad de capital y L 1 unidad de trabajo o k 2 unidades de capital y L 2 unidades de trabajo, o cualquier otra combinación de ellas del conjunto representado por la isocuanta Y 2 = 300.

En general, en el conjunto X conjuntos admisibles de factores de producción, se asigna un subconjunto Xc llamó isocuanta función de producción, que se caracteriza por el hecho de que para cualquier vector la igualdad

Así, para todos los conjuntos de recursos correspondientes a la isocuanta, los volúmenes de producción son iguales. Esencialmente, una isocuanta es una descripción de la posibilidad de sustitución mutua de factores en el proceso de producción de bienes, proporcionando un volumen constante de producción. En este sentido, es posible determinar el coeficiente de reposición mutua de recursos, utilizando la relación diferencial a lo largo de cualquier isocuanta

Por lo tanto, el coeficiente de reemplazo equivalente de un par de factores j y k es igual a:

La relación resultante muestra que si los recursos de producción se reemplazan en una proporción igual a la proporción de productividad incremental, entonces la cantidad de producción permanece sin cambios. Cabe decir que el conocimiento de la función de producción permite caracterizar el alcance de la posibilidad de llevar a cabo la reposición mutua de recursos en métodos tecnológicos eficientes. Para lograr este objetivo se utiliza el coeficiente de elasticidad de la sustitución de recursos por productos.

que se calcula a lo largo de la isocuanta a un nivel constante de costos de otros factores de producción. valor jk representa una característica del cambio relativo en el coeficiente de reposición mutua de recursos cuando cambia la relación entre ellos. Si la razón de recursos intercambiables cambia a s jk por ciento, entonces el coeficiente de reemplazo mutuo s jk cambiar en un uno por ciento. En el caso de una función de producción lineal, el factor de intercambio permanece constante para cualquier proporción de recursos utilizados y, por lo tanto, podemos suponer que la elasticidad s jk= 1. Valores correspondientemente grandes de s jk indican que es posible una mayor libertad en el reemplazo de los factores de producción a lo largo de la isocuanta, y al mismo tiempo las principales características de la función de producción (productividad, coeficiente de intercambio) cambiarán muy poco.

Para funciones de producción de energía para cualquier par de recursos intercambiables, la igualdad s jk= 1. En la práctica de los cálculos de previsión y planificación previa, a menudo se utilizan funciones de elasticidad constante de sustitución (CES), que tienen la forma:

Para tal función, el coeficiente de elasticidad de reemplazo de recursos

y no cambia según el volumen y la proporción de recursos gastados. Para valores pequeños de s jk los recursos pueden reemplazarse entre sí solo en pequeña medida, y en el límite en s jk= 0 pierden la propiedad de intercambiabilidad y aparecen en el proceso de producción solo en una proporción constante, es decir son complementarios. Un ejemplo de una función de producción que describe la producción bajo las condiciones de uso de recursos complementarios es la función de liberación de costos, que tiene la forma

dónde una j coeficiente constante de retorno de recursos j-ese factor de producción. Es fácil ver que una función de producción de este tipo determina la salida del cuello de botella en el conjunto de factores de producción utilizados. En el gráfico se muestran diferentes casos del comportamiento de las isocuantas de funciones de producción para diferentes valores de los coeficientes de sustitución de elasticidad (Fig. 2).

La representación de un conjunto tecnológico eficaz mediante una función de producción escalar es insuficiente en los casos en que no se puede gestionar con un único indicador que describa los resultados de la instalación productiva, sino que es necesario utilizar varios ( METRO) indicadores de salida. En estas condiciones, se puede utilizar la función de producción vectorial

Arroz. 2. Varios casos de comportamiento de isocuantas

El importante concepto de productividad marginal (diferencial) es introducido por la relación

Todas las demás características principales de los FP escalares admiten una generalización similar.

Al igual que las curvas de indiferencia, las isocuantas también se clasifican en diferentes tipos.

Para una función de producción lineal de la forma

dónde Y volumen de producción; A, b 1 , b 2 parámetros; k, L los costos de capital y mano de obra, y la sustitución completa de un recurso por otra isocuanta tendrá una forma lineal (Fig. 3).

Para la función de producción de energía

las isocuantas se verán como curvas (Fig. 4).

Si la isocuanta refleja solo un método tecnológico para la producción de un producto dado, entonces el trabajo y el capital se combinan en la única combinación posible (Fig. 5).

Arroz. 6. Isocuantas rotas

Tales isocuantas a veces se denominan isocuantas de tipo Leontief en honor al economista estadounidense W.V. Leontiev, quien puso este tipo de isocuanta como base del método input-output (costos-producto) que desarrolló.

La isocuanta rota implica un número limitado de tecnologías. F(Figura 6).

Las isocuantas de esta configuración se utilizan en la programación lineal para fundamentar la teoría de la asignación óptima de recursos. Las isocuantas rotas representan de manera más realista las capacidades tecnológicas de muchas instalaciones de producción. Sin embargo, la teoría económica tradicionalmente utiliza principalmente curvas isocuantas, que se obtienen a partir de líneas quebradas con un aumento en el número de tecnologías y, en consecuencia, un aumento en los puntos de quiebre.

2.2 Combinación óptima de recursos

El uso del aparato de funciones de producción permite resolver el problema del uso óptimo de los fondos destinados a la adquisición de factores de producción.

Supongamos que los factores ( X 1 , ..., x norte) se pueden comprar a precios ( pags 1 , ..., pag norte), y la cantidad de fondos disponibles para la adquisición es b(frotar.). Entonces la relación que describe el conjunto de conjuntos de factores admisibles tiene la forma

La línea límite de este conjunto, correspondiente al uso total de los fondos disponibles, es decir,

llamó isocostal, ya que corresponde a conjuntos que tienen el mismo costo b. El problema del uso óptimo de los fondos se formula de la siguiente manera: se requiere encontrar un conjunto de factores que dé el mayor rendimiento con recursos financieros limitados b. Por lo tanto, se requiere encontrar una solución al problema:

La solución deseada se encuentra a partir del sistema de ecuaciones:

donde l es el multiplicador de Lagrange.

En particular, si el número de factores norte= 2, el problema admite una interpretación geométrica visual (Fig. 7).

Arroz. 7. Combinación óptima de recursos

Aquí está el segmento AB hay un isocosto, una curva R isocuanta tangente al isocoste en un punto D, que corresponde al conjunto óptimo de factores ().

Es útil dar una solución completa del problema planteado para el caso de dos factores, es decir norte= 2.

Dejar X 1 = k capital (activos fijos),

X 2 = L mano de obra (fuerza laboral);

función de producción

condición de recursos limitados

dónde r el precio del uso de maquinaria y equipo (es decir, servicios de capital), igual a la tasa de interés bancaria; w salario.

Las condiciones de optimalidad tienen la forma

Esta condición significa que la cantidad de capital utilizado debe tomarse al nivel donde el rendimiento marginal de los activos ( y/ k) es igual a la tasa de interés; un mayor aumento de capital conducirá a una disminución de su eficiencia;

Esta condición requiere que la cantidad de trabajo empleada se tome al nivel donde la productividad marginal del trabajo ( y/ L) es igual a la tasa salarial, ya que un mayor aumento en el número de empleados conduce a pérdidas (punto en la Fig. 8).

Arroz. 8. Número óptimo de empleados

Aquí la pendiente de la tangente en el punto PERO es igual w.

Para un PF del tipo Cobb-Douglas, el problema tiene la forma

en condicion

Obtenemos la siguiente solución

El multiplicador caracteriza aquí la productividad marginal de los recursos financieros, es decir muestra cuánto D y la producción máxima cambiará si la cantidad de fondos b aumentará en una pequeña unidad.

Tenga en cuenta que la suma de la elasticidad del capital (a) caracteriza el llamado producto específico (retorno) de blabor (cambios en la escala de producción, es decir, cuando el consumo de recursos ( k y L) aumenta el mismo número de veces. Si a + b > 1, entonces el rendimiento aumenta, si a + b = 1, entonces el rendimiento es constante, si a + b< 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх.

Función de oferta S(pags) describe la relación entre el precio de mercado de un bien y su oferta en un mercado aislado para ese bien. En el caso general, se debe partir del hecho de que el producto en cuestión es producido por un número suficientemente grande de empresas que compiten entre sí. En tal situación, es natural suponer que cada productor busca la mayor ganancia, y su producción individual de un producto aumenta a medida que aumenta el precio de este producto. Pero entonces la oferta total de bienes en el mercado S(pags), como la suma de los productos individuales, es una función creciente del precio, es decir S"(pags) > 0.

En situaciones más específicas (oligopolio, monopolio), el comportamiento de la empresa no está necesariamente determinado por el deseo de obtener la máxima ganancia, ya que con un aumento en el precio, el productor puede obtener un aumento notable de la ganancia sin aumentar la producción. Así, en rigor, los casos en que S(pags) = constante o incluso S"(pags) < 0 (рис. 9).

En la fig. 9 muestra una familia de funciones de oferta. Línea AB corresponde a la competencia perfecta y al deseo de los fabricantes de obtener el máximo beneficio, la línea C.A. corresponde a una producción inalterada, que sin embargo permite conducir una economía con una ganancia decente en condiciones de competencia imperfecta; línea ANUNCIO representa una producción decreciente, que es posible en condiciones de monopolio y un fuerte aumento de los precios.

Arroz. 9. Funciones de oraciones crecientes, sin cambios y decrecientes

En el análisis posterior, el estado de competencia perfecta y el crecimiento de la oferta en función del aumento de los precios se consideran como los principales. Para los cálculos prácticos, se utilizan dos tipos principales de funciones de oferta, cuyos parámetros se determinan mediante el procesamiento de datos estadísticos:

1) función lineal

2) función de potencia

Coeficiente de elasticidad precio de la oferta ( mi esp) muestra en qué porcentaje aumentará la oferta de un bien si su precio sube un 1%.

Para una función de oferta lineal

donde se encuentran los precios y ofertas promedio según la tabla de observaciones.

Para la función de potencia

Para la función de oferta, definida como la solución del problema de optimización de beneficios considerado a continuación (5) (ver fórmula en la pág. 90, marcada con un asterisco), tenemos

Elasticidad precio de la oferta

aquellos. completamente determinado por la naturaleza de los costos fijos y variables.

De forma más general, la oferta j-ese producto se considera no sólo en función de su precio ( p.j.), sino también de los precios de otros bienes. En esta situación, el sistema de funciones oracionales tiene la forma

dónde norte el número de artículos de mercancías.

productos i y j se llaman competitivos si la elasticidad cruzada

aquellos. cuando el precio aumenta Pi la salida disminuye j- ese producto; Los bienes están completos si

En este caso, un aumento en la producción de una mercancía necesariamente provoca un aumento en la producción de otra.

3. Aplicación práctica de la función de producción

En el centro de la construcción de modelos de comportamiento del fabricante (empresa o firma individual; asociación o industria) está la idea de que el fabricante busca alcanzar un estado en el que pueda obtener el mayor beneficio en las condiciones prevalecientes en el mercado, es decir. En primer lugar, con el sistema de precios existente.

El modelo más simple de comportamiento óptimo de un productor en condiciones de competencia perfecta tiene la siguiente forma: permita que una empresa (firma) produzca un producto en la cantidad y unidades físicas. si un pags dado exógenamente el precio de este producto y la empresa vende su producción en su totalidad, entonces recibe un ingreso bruto (ingreso) por la cantidad de

En el proceso de crear esta cantidad de producto, la empresa incurre en costos de producción por la cantidad de C(y). Al mismo tiempo, es natural suponer que C"(y) > 0, es decir los costos aumentan con el volumen de producción. También se supone comúnmente que C""(y) > 0. Esto significa que el costo adicional (marginal) de producir cada unidad adicional de producción aumenta a medida que aumenta el volumen de producción. Esta suposición se debe a que en la producción racionalmente organizada, con pequeños volúmenes, se pueden utilizar las mejores máquinas y trabajadores altamente calificados, que ya no estarán a disposición de la empresa cuando aumente el volumen de producción. En la fig. 4.10 muestra gráficos de funciones típicas R(y) y C(y). Los costos de producción consisten en los siguientes componentes:

1) costos de materiales Cm, que incluyen el costo de las materias primas, materiales, productos semielaborados, etc.

La diferencia entre el ingreso bruto y los costos de materiales se llama valor añadido(productos condicionalmente puros):

2) costes laborales CL;

Arroz. 10. Líneas de ingresos y costos de la empresa.

3) gastos asociados al uso, reparación de maquinaria y equipo, depreciación, el llamado pago por servicios de capital Ck;

4) costos adicionales Cr asociados a la expansión de la producción, la construcción de nuevos edificios, vías de acceso, líneas de comunicación, etc.

Costos totales de producción:

Como se señaló anteriormente,

sin embargo, esta dependencia del volumen de producción ( a) es diferente para diferentes tipos de costes. A saber, hay:

a) costos fijos C 0 , que son prácticamente independientes de y, incluido pago de personal administrativo, alquiler y mantenimiento de edificios y locales, depreciación, intereses de préstamos, servicios de comunicación, etc.;

b) proporcional al volumen de producción (lineal) costos C 1, esto incluye los costos de material Cm, remuneración del personal de producción (parte de CL), gastos de mantenimiento de equipos y maquinaria existentes (parte Ck) etc.:

dónde a un indicador generalizado de los costos de estos tipos por un producto;

c) costos súper proporcionales (no lineales) DE 2 , que incluyen la adquisición de nuevas máquinas y tecnologías (es decir, costos como Cr), pago de horas extras, etc. Para una descripción matemática de este tipo de costo, generalmente se usa una ley de potencia

Por lo tanto, para representar los costos totales, se puede usar el modelo

(Tenga en cuenta que las condiciones C"(y) > 0, C""(y) > 0 se cumplen para esta función.)

Debe considerarse generalmente aceptado que, con el tiempo, en una empresa que mantiene un número fijo de empleados y un volumen constante de activos fijos, la producción aumenta. Esto quiere decir que además de los factores de producción habituales asociados al coste de los recursos, existe un factor que suele denominarse progreso científico y tecnológico (NTP). Este factor puede ser visto como una característica sintética que refleja el impacto combinado sobre el crecimiento económico de muchos fenómenos significativos, entre los que cabe destacar los siguientes:

a) mejora en el tiempo en la calidad de la fuerza laboral debido a la mejora de las habilidades de los trabajadores y el desarrollo de métodos para utilizar tecnología más avanzada;

b) la mejora en la calidad de la maquinaria y el equipo lleva a que una cierta inversión de capital (a precios constantes) permita, con el tiempo, adquirir una máquina más eficiente;

c) mejora de muchos aspectos de la organización de la producción, incluidos el suministro y la comercialización, las operaciones bancarias y otros acuerdos mutuos, el desarrollo de una base de información, la formación de diversos tipos de asociaciones, el desarrollo de la especialización y el comercio internacional, etc.

En este sentido, el término progreso científico y tecnológico puede interpretarse como el conjunto de todos los fenómenos que, con un gasto fijo de factores de producción, permiten aumentar la producción de productos competitivos y de alta calidad. El carácter muy vago de tal definición lleva a que el estudio de la influencia del progreso científico y técnico se realice únicamente como un análisis de ese aumento adicional de la producción, que no puede explicarse por un aumento puramente cuantitativo de los factores de producción. El enfoque principal para contabilizar el progreso científico y tecnológico es que el tiempo se introduce en la totalidad de las características de producción o costo ( t) como un factor de producción independiente y considera la transformación en el tiempo ya sea de una función de producción o de un conjunto tecnológico.

Al construir modelos de producción teniendo en cuenta el progreso científico y técnico, se utilizan principalmente los siguientes enfoques:

a) la idea de progreso técnico exógeno (o autónomo), que también existe cuando los principales factores de producción no cambian. Un caso especial de tal NTP es el progreso neutral de Hicks, que generalmente se tiene en cuenta mediante un factor exponencial, por ejemplo:

Aquí l > 0, caracteriza la tasa de STP. Es fácil ver que el tiempo actúa aquí como un factor independiente en el crecimiento de la producción, pero al mismo tiempo parece que el progreso científico y técnico ocurre por sí solo, sin requerir inversiones adicionales de mano de obra y capital;

b) la idea de progreso técnico encarnada en el capital conecta el crecimiento de la influencia del progreso científico y técnico con el crecimiento de las inversiones de capital. Para formalizar este enfoque se toma como base el modelo de progreso neutral de Solow:

que se escribe como

dónde k 0 activos fijos al inicio del período, D k acumulación de capital durante un período igual al monto de la inversión.

Obviamente, si no se realiza ninguna inversión, entonces D k= 0, y no hay aumento en la producción debido al progreso científico y técnico;

c) los enfoques anteriores para modelar el progreso científico y técnico tienen una característica común: el progreso actúa como un valor dado exógenamente que afecta la productividad laboral o la productividad del capital y, por lo tanto, afecta el crecimiento económico.

Sin embargo, a la larga, STP es tanto el resultado del desarrollo como, en gran medida, su causa. Ya que es el desarrollo económico el que permite a las sociedades ricas financiar la creación de nuevos modelos de tecnología, para luego cosechar los frutos de la revolución científica y tecnológica. Por lo tanto, es bastante legítimo abordar la STP como un fenómeno endógeno causado (inducido) por el crecimiento económico.

Hay dos direcciones principales para modelar el progreso científico y técnico:

1) el modelo de progreso inducido se basa en la fórmula

además, se supone que la sociedad puede distribuir las inversiones destinadas al progreso científico y técnico entre sus diversas direcciones. Por ejemplo, entre el crecimiento de la productividad del capital ( k(t)) (mejorar la calidad de las máquinas) y el crecimiento de la productividad laboral ( yo(t)) (capacitación de empleados) o la elección de la mejor (óptima) dirección de desarrollo técnico con un volumen dado de inversiones de capital asignadas;

2) el modelo del proceso de aprendizaje en el curso de la producción, propuesto por K. Arrow, se basa en el hecho observado de la influencia mutua del crecimiento de la productividad laboral y el número de nuevos inventos. En el curso de la producción, los trabajadores ganan experiencia y el tiempo para fabricar un producto disminuye, es decir. la productividad del trabajo y la propia contribución del trabajo dependen del volumen de producción

A su vez, el crecimiento del factor trabajo, según la función de producción

conduce a un aumento de la producción. En la versión más simple del modelo, se utilizan las siguientes fórmulas:

(Función de producción Cobb-Douglas).

Por lo tanto tenemos la relación

que, para funciones dadas k(t) y L 0 (t) muestra un crecimiento más rápido y debido a la influencia mutua del progreso científico y técnico y el desarrollo económico mencionado anteriormente.

Sea, por ejemplo:

Entonces el crecimiento sin tener en cuenta la influencia mutua se describe mediante la ecuación

y el crecimiento, teniendo en cuenta la influencia mutua de la ecuación

aquellos. resulta ser mucho más rápido.

Para un modelo lineal:

aquellos. aumenta el rendimiento de la inversión.

Conclusión

En conclusión, me gustaría hablar sobre la función de producción Cobb-Douglas.

El surgimiento de la teoría de las funciones de producción generalmente se atribuye a 1927, cuando apareció un artículo de científicos estadounidenses, el economista P. Douglas y el matemático D. Cobb, "Teoría de la producción". En este artículo, se hizo un intento de determinar empíricamente el impacto de los insumos de capital y mano de obra en la producción de la industria manufacturera estadounidense.

Como ya se mencionó, la función de producción refleja la relación funcional entre el volumen de factores de producción efectivamente utilizados (trabajo y capital de propiedad) y la producción lograda con su ayuda con el conocimiento técnico y organizacional existente.

Con una función de producción sustitutiva, la producción puede incrementarse aumentando las características cuantitativas de uno de los factores, mientras que las características cuantitativas del otro factor permanecen sin cambios, en otra variante, la producción permanece sin cambios con varias combinaciones cuantitativas de factores trabajo y capital de propiedad.

La función de producción sustantiva tiene, en general, la siguiente expresión:

k- el número de capital de producción

L- el número de horas de trabajo de producción o, en otras palabras, el número de unidades de producción de capital humano

Sobre la base de la sustancialidad condicionalmente introducida de los factores de producción, se pueden extraer las siguientes dos conclusiones con respecto a la relación funcional de estos factores:

En igualdad de condiciones, un aumento en uno de los factores de producción conduce a un aumento en la producción: la primera derivada es positiva.

Sin embargo, la productividad marginal de un factor creciente disminuye con un aumento en el valor de este factor; la segunda derivada es negativa.

El nivel de conocimientos organizativos y técnicos se muestra en las formas correspondientes de las interacciones de los factores. En el caso que nos ocupa, el nivel de conocimiento es constante, es decir, no se supone ningún progreso técnico dentro de este marco. Por lo tanto, la función sustantiva de producción se puede representar como la siguiente imagen, que refleja la relación entre la cantidad de trabajo y la producción para una determinada cantidad de capital de propiedad (Figura 1):

Arroz. 17. Relación entre producción y trabajo de producción

Cada aumento en el parámetro cuantitativo del capital de propiedad significa un desplazamiento hacia arriba de la curva y un aumento simultáneo en la productividad marginal del trabajo para una cantidad dada de trabajo, es decir sobre la base de lo que se sigue directamente de la conclusión descrita, también significa una mayor producción con un aumento en el factor de producción "trabajo": la curva Aceptar 1 la figura muestra una pendiente más pronunciada en comparación con la curva Aceptar 0 para cualquier número de trabajadores.

Con un aumento en el parámetro cuantitativo del capital de propiedad, también aumenta la productividad promedio del trabajo, que es el cociente de dividir la producción por la cantidad de trabajo gastado. Sin embargo, esto reduce el coeficiente laboral, que determina la cantidad promedio de trabajo gastado por unidad de producción y, por lo tanto, es el recíproco de la productividad laboral promedio.

El valor del capital de propiedad se toma en el marco de este análisis a corto plazo como dado exógenamente, por lo que el modelo y la descripción no tienen en cuenta el progreso técnico, así como el efecto de aumentar la capacidad de producción debido a la inversión.

En 1927, Paul Douglas descubrió que si combinamos las gráficas de los logaritmos de los indicadores de producción real ( y), costos de capital ( A) y costes laborales ( L), entonces las distancias desde los puntos de la gráfica de indicadores de producción a los puntos de las gráficas de indicadores de costos laborales y de capital serán una proporción constante. Luego le pidió a Charles Cobb que encontrara una relación matemática que tuviera tal característica, y Cobb propuso la siguiente función de sustitución:

Esta función fue propuesta unos 30 años antes por Philip Wicksteed, pero fueron los primeros en usar datos empíricos para construirla.

Sin embargo, para valores grandes k y L esta función no tiene sentido económico, ya que la producción siempre aumenta a medida que aumentan los costos.

La función cinética (donde g es la tasa de progreso técnico por unidad de tiempo) se obtiene multiplicando la función Cobb-Douglas por e g , lo que elimina este problema y hace que la función Cobb-Douglas sea económicamente interesante.

La elasticidad de la producción con respecto al capital y al trabajo es igual a a y b, respectivamente, ya que

y de manera similar es fácil demostrar que ( dy/ dL)/(y/L) es igual a b.

Por lo tanto, un aumento del 1 % en el insumo de capital dará lugar a un aumento de la producción en un porcentaje, y un aumento del 1 % en los costes laborales dará lugar a un aumento de la producción en un b por ciento. Se puede suponer que tanto a como b están entre cero y uno. Deben ser positivos, ya que un aumento en el costo de los factores de producción debería causar un aumento en la producción. Al mismo tiempo, es probable que sean inferiores a la unidad, ya que es razonable suponer que una disminución de las economías de escala conduce a un aumento más lento de la producción que de los insumos de los factores de producción, si los demás factores permanecen constantes.

Si a y b suman más de uno, entonces se dice que la función tiene un efecto creciente de escala de producción (esto significa que si A y L aumentar en alguna proporción, entonces y crece a un ritmo mayor). Si su suma es igual a uno, esto indica un efecto constante en la escala de producción ( y aumenta en la misma proporción que A y L). Si su suma es menor que uno, entonces hay un efecto decreciente de la escala de producción ( y aumenta en menor medida que A y L).

Bajo el supuesto de que los mercados de factores son competitivos, yb se interpretan además como participaciones proyectadas del ingreso derivadas del capital y el trabajo, respectivamente. Si el mercado laboral es competitivo, entonces el salario ( w) será igual al producto marginal del trabajo ( dy/ dL):

Por lo tanto, el salario total ( wL) será igual a by, y la participación del trabajo en la producción total ( wL/Y) será un valor constante b. De manera similar, la tasa de ganancia se expresa en términos de dy/ dK:

y por lo tanto el beneficio total ( rA) será igual a ay, y la participación en la ganancia será un valor constante a.

Hay una serie de problemas al aplicar dicha función, especialmente cuando se utiliza para la economía en su conjunto. En particular, incluso en aquellos casos en los que existe una dependencia tecnológica entre la producción, el equipo de producción y la mano de obra en el proceso de producción, no es en absoluto necesario que exista tal dependencia cuando estos factores se combinan en la escala de la economía en su conjunto. . Segundo, incluso si tal dependencia existe para la economía en su conjunto, no hay razón para creer que tendrá una forma simple.

Bibliografía

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2. Dougerty K. Introducción a la econometría: Per. De inglés. – M.: Infra-M, 2001.

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Función de producción de la empresa: esencia, tipos, aplicación.

NOTA EXPLICATIVA AL TRABAJO DE CURSO (PROYECTO)

en la disciplina (especialización) "Microeconomía"

SUSU–080116 . 2010.705.PZ USD

Jefe, Profesor Asociado

vicepresidente Borodkin

Grupo de estudiantes MM-140

N. N. Basalaeva

2010

El trabajo (proyecto) está protegido

con una evaluación (en palabras, números)

___________________________

2010

Cheliábinsk 2010

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………..3

EL CONCEPTO DE PRODUCCIÓN Y LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN…..7

2.1. Función de producción Cobb-Douglas………………………………..13

2.2. Función de producción CES…………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

2.3. Función de producción con proporciones fijas……...14

2.4. Función de producción de costo-producto (función de Leontief)……14

2.5. La función de producción del análisis de los métodos de actividad de producción………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

2.6. Función de producción lineal…………………………………………15

2.7. Isoquant y sus tipos……………………………………………………………….16

APLICACIÓN PRÁCTICA DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN.

3.1 Modelización de los costes y beneficios de una empresa (empresa)…………...21

3.2 Métodos de contabilización del progreso científico y tecnológico…………………………..28

CONCLUSIÓN……………………………………………………………………...34

Lista bibliográfica……………………………………………………35

INTRODUCCIÓN

La actividad económica puede ser llevada a cabo por varias entidades: individuos, familia, estado, etc., pero las principales funciones productivas en la economía pertenecen a una empresa o firma. Por un lado, una empresa es un complejo sistema material, tecnológico y social que asegura la producción de beneficios económicos. Por otro lado, esta es la actividad misma de organizar la producción de diversos bienes y servicios. Como sistema productor de bienes económicos, la empresa es integral y actúa como eslabón reproductivo independiente, relativamente aislado de otros eslabones. La empresa realiza sus actividades de forma independiente, dispone de los productos liberados y de las utilidades que quedan después del pago de impuestos y otros pagos.

Entonces, ¿qué es una función de producción? Miremos el diccionario y obtengamos lo siguiente:

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN - una ecuación económico-matemática que conecta los costos variables (recursos) con los valores de producción (salida). Las funciones de producción se utilizan para analizar la influencia de varias combinaciones de factores en el volumen de producción en un momento determinado (versión estática de la función de producción) y para analizar y predecir la relación entre los volúmenes de factores y la producción en diferentes puntos en tiempo (versión dinámica de la función de producción) en varios niveles de la economía, desde una firma (empresa) hasta la economía nacional en su conjunto (una función de producción agregada en la que la producción es un indicador del producto social total o ingreso nacional, etc.). En una empresa individual, corporación, etc., la función de producción describe la cantidad máxima de producción que pueden producir con cada combinación de los factores de producción utilizados. Puede representarse mediante muchas isocuantas asociadas con diferentes niveles de producción.

Este tipo de función de producción, cuando la dependencia explícita del volumen de producción de la disponibilidad o consumo de recursos, se denomina función de producción.

En particular, las funciones de producción se usan ampliamente en la agricultura, donde se utilizan para estudiar el impacto en los rendimientos de factores tales como, por ejemplo, diferentes tipos y composiciones de fertilizantes, métodos de labranza. Junto con funciones de producción similares, se utilizan las funciones inversas de los costos de producción. Caracterizan la dependencia de los costos de los recursos de los volúmenes de producción (estrictamente hablando, son inversas solo a las funciones de producción con recursos intercambiables). Se pueden considerar casos especiales de funciones de producción: la función de costo (la relación entre el volumen de producción y los costos de producción), la función de inversión (la dependencia de la inversión requerida de la capacidad de producción de la futura empresa), etc.

Matemáticamente, las funciones de producción se pueden representar de diversas formas, desde funciones tan simples como la dependencia lineal del resultado de la producción de un factor en estudio, hasta sistemas de ecuaciones muy complejos, incluidas las relaciones de recurrencia que conectan los estados del objeto en estudio en diferentes periodos de tiempo.

Las más utilizadas son las formas de representación de las funciones de producción basadas en la potencia multiplicativa. Su peculiaridad es la siguiente: si uno de los factores es igual a cero, el resultado se anula. Es fácil ver que esto refleja de manera realista el hecho de que en la mayoría de los casos todos los recursos primarios analizados están involucrados en la producción, y sin ninguno de ellos, la producción es imposible. En su forma más general (se llama canónica), esta función se escribe de la siguiente manera:

Aquí, el coeficiente A delante del signo de multiplicación tiene en cuenta la dimensión, depende de la unidad de medida de costos y producción elegida. Los factores del primero al enésimo pueden tener un contenido diferente según los factores que influyan en el resultado general (salida). Por ejemplo, en una función de producción que se utiliza para estudiar la economía en su conjunto, se puede tomar como indicador de resultado el volumen del producto final y los factores: el número de personas empleadas x 1, la suma de fijos y trabajadores capital x 2, el área de terreno utilizada x 3. Solo hay dos factores en la función Cobb-Douglas, con la ayuda de los cuales se intentó evaluar la relación de factores como el trabajo y el capital con el crecimiento del ingreso nacional de EE. UU. en los años 20-30. siglo XX:

norte = UN L α K β ,

donde N es el ingreso nacional; L y K son los volúmenes de trabajo y capital aplicados, respectivamente.

Los coeficientes de potencia (parámetros) de la función de producción de potencia multiplicativa muestran la participación en el aumento porcentual en el producto final que contribuye cada uno de los factores (o en qué porcentaje aumentará el producto si los costos del recurso correspondiente aumentan en un uno por ciento ); son coeficientes de elasticidad de la producción con respecto a los costos del recurso correspondiente. Si la suma de los coeficientes es 1, esto significa la homogeneidad de la función: aumenta en proporción al aumento de la cantidad de recursos. Pero tales casos también son posibles cuando la suma de los parámetros es mayor o menor que la unidad; esto muestra que un aumento en los costos conduce a un aumento desproporcionadamente grande o desproporcionadamente pequeño en la producción (Efectos de escala).

En la versión dinámica, se utilizan diferentes formas de funciones de producción. Por ejemplo, (en el caso de 2 factores): Y(t) = A(t) L α (t) K β (t), donde el factor A(t) generalmente aumenta con el tiempo, reflejando el aumento general en el eficiencia de los factores de producción a lo largo del tiempo.

Una mayor “dinamización” de las funciones de producción puede involucrar el uso de coeficientes de elasticidad variable.

Los ratios descritos por la función de producción son de carácter estadístico, es decir, aparecen sólo en promedio, en un gran número de observaciones, ya que no sólo los factores analizados, sino también muchos no contabilizados, afectan efectivamente al resultado de la producción. Además, los indicadores aplicados tanto de costes como de resultados son inevitablemente productos de agregaciones complejas (por ejemplo, un indicador generalizado de costes laborales en una función macroeconómica incluye costes laborales de distinta productividad, intensidad, cualificación, etc.).

Un problema especial es tener en cuenta el factor del progreso técnico en las funciones macroeconómicas de producción. Con la ayuda de las funciones de producción, también estudiamos la intercambiabilidad equivalente de los factores de producción, que pueden ser constantes o variables (es decir, dependientes del volumen de recursos). En consecuencia, las funciones se dividen en dos tipos: con elasticidad de sustitución constante (CES - Elasticidad de sustitución constante) y con variable (VES - Elasticidad de sustitución variable).

En la práctica, se utilizan tres métodos principales para determinar los parámetros de las funciones de producción macroeconómicas: basados en el procesamiento de series temporales, basados en datos sobre los elementos estructurales de los agregados y sobre la distribución del ingreso nacional. El último método se llama distribución.

Al construir funciones de producción, es necesario deshacerse de los fenómenos de multicolinealidad de parámetros y autocorrelación; de lo contrario, los errores graves son inevitables.

Aquí hay algunas funciones de producción importantes.

Función de producción lineal:

PAG = un 1 x 1 + ... + un norte x norte ,

donde a 1 , ..., an son los parámetros estimados del modelo: aquí los factores de producción se sustituyen en cualquier proporción.

Característica del CES:

P \u003d A [(1 - α) K - b + αL - b] - c / b,

en este caso, la elasticidad de sustitución de recursos no depende ni de K ni de L y, por tanto, es constante:

De ahí viene el nombre de la función.

1. EL CONCEPTO DE PRODUCCIÓN Y LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN.

Se entiende por producción toda actividad de aprovechamiento de los recursos naturales, materiales, técnicos e intelectuales para la obtención de beneficios tangibles e intangibles.

Y= F(k, L).

A pesar de que el concepto de producción puede parecer muy amplio, vago e incluso vago, ya que en la vida real la producción se entiende como una empresa, una obra de construcción, una granja agrícola, una empresa de transporte y una organización muy grande como una sucursal de la economía nacional, sin embargo, la modelización económica y matemática destaca algo común, inherente a todos estos objetos. Este común es el proceso de convertir los recursos primarios (factores de producción) en los resultados finales del proceso. Por tanto, el principal concepto inicial en la descripción de un objeto económico es el método tecnológico, que suele representarse como un vector de costes de producción. v, que incluye la enumeración de los volúmenes de recursos gastados (vector X) e información sobre los resultados de su transformación en productos finales u otras características (beneficio, rentabilidad, etc.) (vector y):

v= (X; y).

Dimensión de vectores X y y, así como los métodos de su medición (en unidades naturales o de costo) dependen significativamente del problema en estudio, de los niveles en los que se establecen determinadas tareas de planificación y gestión económica. El conjunto de vectores de métodos tecnológicos que pueden servir como descripción (desde un punto de vista aceptable del investigador con precisión) del proceso de producción que es realmente factible en algún objeto se denomina conjunto tecnológico. V este objeto Para mayor precisión, supondremos que la dimensión del vector de costos X es igual a norte, y el vector de salida y respectivamente METRO. Así, la tecnología v es un vector de dimensión ( METRO+ NORTE), y el conjunto tecnológico vídeo + METRO + norte. Entre todos los métodos tecnológicos implementados en la instalación, ocupan un lugar especial los métodos que se comparan favorablemente con todos los demás, ya que requieren costos más bajos para la misma producción o corresponden a una producción mayor al mismo costo. Aquellos de ellos que ocupan en cierto sentido la posición límite en el conjunto V, son de particular interés porque son una descripción de un proceso de producción real factible y marginalmente rentable.

Digamos que el vector ν (1) =(x (1) ;y (1) ) preferido sobre el vector ν (2) =(x (2) ;y (2) ) con la designación ν (1) > ν (2) si se cumplen las siguientes condiciones:

1) a i (1) ≥ y i (2) (i=1,…,M);

2) X j (1) ≤ X j (2) (j=1,…M);

y ocurre al menos uno de los siguientes:

a) existe tal número i 0 eso a i 0 (1) > y i 0 (2)

b) existe tal número j 0 eso X j 0 (1) X j 0 (2)

Un método tecnológico ۷ se llama efectivo si pertenece al conjunto tecnológico V y no hay otro vector ν Є V que sea preferible a ۷. La definición anterior significa que se consideran efectivos aquellos métodos que no pueden ser mejorados en ningún componente del costo, en ninguna posición del producto, sin dejar de ser aceptables. El conjunto de todos los métodos tecnológicamente eficientes se denotará por V*. Es un subconjunto del conjunto tecnológico. V o lo empareja. En esencia, la tarea de planificar la actividad económica de una instalación de producción puede interpretarse como la tarea de elegir un método tecnológico efectivo que mejor se adapte a algunas condiciones externas. Al resolver tal problema de elección, la idea de la naturaleza misma del conjunto tecnológico resulta bastante significativa. V, así como su subconjunto efectivo V*.

Con la ayuda del concepto de conjunto tecnológico efectivo, una función de producción puede definirse como un mapeo

y= F(X),

dónde ν \u003d (x; y) ЄV*.

y = F(X 1 ,…, X norte ).

Aquí el valor y tiene, por regla general, un carácter de costo, expresando el volumen de producción en términos monetarios. Los argumentos son los volúmenes de recursos gastados en la implementación del método tecnológico eficiente correspondiente. Por lo tanto, la relación anterior describe el límite del conjunto tecnológico V, porque para un vector de costos dado ( X 1 , ..., X norte) para producir productos en cantidades superiores a y, es imposible, y la producción de productos en cantidades inferiores a las especificadas corresponde a un método tecnológico ineficiente. La expresión de la función de producción se puede utilizar para evaluar la eficacia del método de gestión adoptado en una empresa determinada. De hecho, para un conjunto dado de recursos, se puede determinar la producción real y compararla con la calculada a partir de la función de producción. La diferencia resultante proporciona material útil para evaluar la eficiencia en términos absolutos y relativos.

ya que para ellos se resuelve fácilmente el problema de estimar coeficientes a partir de datos estadísticos, así como funciones de potencia

por lo que el problema de encontrar los parámetros se reduce a estimar la forma lineal pasando a logaritmos.

Bajo el supuesto de que la función de producción es diferenciable en cada punto del conjunto X posibles combinaciones de insumos, es útil considerar algunas cantidades asociadas con la función de producción.

En particular, el diferencial

representa el cambio en el costo de la producción cuando se pasa del costo de un conjunto de recursos X=(X 1 , ..., X norte) al conjunto X+dx=(X 1 +dx 1 ,..., X norte +dx norte) siempre que se mantengan las propiedades de eficiencia de los métodos tecnológicos correspondientes. Entonces el valor de la derivada parcial

puede interpretarse como el rendimiento marginal (diferencial) del recurso o, en otras palabras, el coeficiente de productividad marginal, que muestra cuánto aumentará la producción debido al aumento en el costo del recurso con el número j para una pequeña unidad. El valor de la productividad marginal del recurso puede interpretarse como el límite superior del precio pags j, que la planta de producción puede pagar por una unidad adicional j-ese recurso para que no se pierda después de su adquisición y uso. De hecho, el aumento esperado en la producción en este caso será

y por lo tanto la relación

generará ganancias adicionales.

El producto marginal del trabajo se puede escribir como la diferencia

MPL= F(k, L+ 1) - F(k, L),

dónde MPL producto marginal de la mano de obra.

El producto marginal del capital también se puede escribir como la diferencia

MPK= F(k+ 1, L) - F(k, L),

dónde MPK producto marginal del capital.

Una característica de una instalación de producción es también el valor del rendimiento medio de los recursos (productividad del factor de producción)

que tiene un significado económico claro de la cantidad de producción por unidad de recurso utilizada (factor de producción). El recíproco del retorno del recurso.

El cociente de dividir la productividad diferencial por la media

se denomina coeficiente de elasticidad de la producción por el factor de producción j y da una expresión para el aumento relativo en la producción (en porcentaje) con un aumento relativo en el costo del factor del 1%. si un mi j 0, entonces hay una disminución absoluta en la producción con un aumento en el consumo del factor j; esta situación puede ocurrir cuando se utilizan productos o modos tecnológicamente inadecuados. Por ejemplo, un consumo excesivo de combustible provocará un aumento excesivo de la temperatura y no se producirá la reacción química necesaria para la elaboración del producto. Si 0 E j 1, entonces cada unidad adicional subsiguiente del recurso gastado provoca un aumento adicional menor en la producción que el anterior.

si un mi j> 1, entonces el valor de la productividad incremental (diferencial) excede la productividad promedio. Por lo tanto, una unidad adicional de recurso aumenta no solo el volumen de producción, sino también la característica de retorno promedio de recursos. Es así como se produce el proceso de aumento de la rentabilidad de los activos cuando se ponen en funcionamiento máquinas y dispositivos altamente progresivos y eficientes. Para una función de producción lineal, el coeficiente a j numéricamente igual al valor de la productividad diferencial j-th factor, y para una función de potencia, el exponente a j tiene el significado del coeficiente de elasticidad en términos de j-ese recurso.

2. TIPOS DE FUNCIONES DE PRODUCCIÓN.

2.1. Función de producción Cobb-Douglas.

La primera experiencia exitosa en la construcción de una función de producción como una ecuación de regresión basada en datos estadísticos fue obtenida por científicos estadounidenses: el matemático D. Cobb y el economista P. Douglas en 1928. La función que propusieron originalmente se veía así:

donde Y es el volumen de producción, K es el valor de los activos de producción (capital), L son los costos laborales, - parámetros numéricos (número de escala e índice de elasticidad). Debido a su simplicidad y racionalidad, esta función todavía se usa ampliamente en la actualidad y ha recibido más generalizaciones en varias direcciones. La función Cobb-Douglas a veces se escribe como

Es fácil comprobarlo y

Además, la función (1) es linealmente homogénea:

Por lo tanto, la función Cobb-Douglas (1) tiene todas las propiedades anteriores.

Para producción multifactorial, la función Cobb-Douglas tiene la forma:

Para tener en cuenta el progreso técnico, se introduce un multiplicador especial (progreso técnico) en la función Cobb-Douglas, donde t es el parámetro de tiempo, es un número constante que caracteriza la tasa de desarrollo. Como resultado, la función toma una forma "dinámica":

donde no se requiera. Como se mostrará en la siguiente sección, los exponentes en la función (1) tienen el significado de la elasticidad de la producción con respecto al capital y al trabajo.

2.2. función de producciónCES(con elasticidad de sustitución constante)

Parece:

Donde es el coeficiente de escala, es el coeficiente de distribución, es el coeficiente de reemplazo, es el grado de homogeneidad. Si se cumplen las condiciones:

entonces la función (2) satisface las desigualdades y . Teniendo en cuenta el progreso tecnológico, la función CES se escribe:

El nombre de esta función se deriva del hecho de que para ella la elasticidad de sustitución es constante.

2.3. Función de producción con proporciones fijas. Esta función se obtiene de (2) en y tiene la forma:

2.4. Función de producción de costo-producto (función de Leontief) se obtiene de (3) cuando:

Aquí, es la cantidad de costos de tipo k necesarios para producir una unidad de producción, y y es la producción.

2.5. La función de producción del análisis de los métodos de producción de la actividad.

Esta función generaliza la función de producción de insumo-producto al caso cuando hay un cierto número (r) de procesos básicos (modos de actividad de producción), cada uno de los cuales puede proceder con cualquier intensidad no negativa. Tiene la forma de un "problema de optimización"

Aquí, es la producción a una intensidad unitaria del j-ésimo proceso básico, es el nivel de intensidad, es la cantidad de costos del tipo k requeridos a una intensidad unitaria del método j. Como puede verse en (5), si se conocen el producto producido a una intensidad unitaria y los costos requeridos por unidad de intensidad, entonces el producto total y los costos totales se obtienen sumando el producto y los costos, respectivamente, para cada proceso básico a las intensidades seleccionadas. Tenga en cuenta que el problema de maximizar la función f en (5) bajo restricciones de desigualdad dadas es un modelo para el análisis de las actividades de producción (maximización de la producción con recursos limitados).

2.6. Función de producción lineal(función de sustitución de recursos)

Se utiliza en presencia de una dependencia lineal de la producción de los costos:

Donde es la tasa de costo del tipo k-ésimo para la producción de una unidad de producto (producto de costo físico marginal).

Entre las funciones de producción dadas aquí, la más común es la función CES.

Analizar el proceso productivo y sus diversos indicadores junto con los productos marginales,

(los guiones superiores indican valores fijos de variables), mostrando la cantidad de ingresos adicionales obtenidos al utilizar cantidades adicionales de costos, se aplican los conceptos de productos promedio.

El producto promedio para el k-ésimo tipo de costos es el volumen de producción por unidad de costos del k-ésimo tipo a un nivel fijo de costos de otros tipos:

Fijemos los costos del segundo tipo en un cierto nivel y comparemos las gráficas de las tres funciones:

Figura 1. curvas de liberación.

Deje que la gráfica de la función tenga tres puntos críticos (como se muestra en la Fig. 1): - punto de inflexión, - punto de contacto con el rayo desde el origen, - punto máximo. Estos puntos corresponden a las tres etapas de producción. La primera etapa corresponde al segmento y se caracteriza por la superioridad del producto marginal sobre el promedio: Por lo tanto, en esta etapa, es recomendable la implementación de costos adicionales. La segunda etapa corresponde al segmento y se caracteriza por la superioridad del producto medio sobre el marginal: (Los costos adicionales no son razonables). En la tercera etapa y los costos adicionales conducen al efecto contrario. Esto se explica por el hecho de que es la cantidad óptima de costos y su aumento adicional no es razonable.

Para nombres específicos de recursos, los valores medios y marginales adquieren el significado de indicadores económicos específicos. Considere, por ejemplo, la función Cobb-Douglas (1), donde es capital y es trabajo. Productos medianos

dan sentido, respectivamente, a la productividad media del trabajo y la productividad media del capital (rendimiento medio de los activos). Se puede observar que la productividad media del trabajo disminuye con el crecimiento de los recursos laborales. Esto es comprensible, ya que los activos de producción (K) permanecen sin cambios y, por lo tanto, la fuerza laboral recién atraída no cuenta con medios de producción adicionales, lo que conduce a una disminución en la productividad laboral. Un razonamiento similar es válido para la productividad del capital como función del capital.

Para la función (1) productos marginales

dar sentido, respectivamente, a la productividad marginal del trabajo y la productividad marginal del capital (rendimiento marginal de los activos). En la teoría microeconómica de la producción, se cree que la productividad marginal del trabajo es igual a los salarios (el precio del trabajo) y la productividad marginal del capital es igual a los pagos de renta (el precio de los servicios de los bienes de capital). De la condición se deduce que con activos fijos constantes (costos laborales), un aumento en el número de empleados (el volumen de activos fijos) conduce a una caída en la productividad marginal del trabajo (rendimiento marginal de los activos). Se puede ver que para la función Cobb-Douglas, los productos marginales son proporcionales a los productos medios y menores que ellos.

2.7. Isoquant y sus tipos

Al modelar la demanda del consumidor, el mismo nivel de utilidad de varias combinaciones de bienes de consumo se muestra gráficamente mediante una curva de indiferencia.

En los modelos económicos y matemáticos de producción, cada tecnología puede representarse gráficamente por un punto, cuyas coordenadas reflejan los costos mínimos necesarios de los recursos K y L para la producción de un volumen dado de producción. Muchos de estos puntos forman una línea de igual salida, o una isocuanta. Así, la función de producción se representa gráficamente por una familia de isocuantas. Cuanto más lejos se encuentra la isocuanta del origen, mayor es el volumen de producción que refleja. A diferencia de una curva de indiferencia, cada isocuanta caracteriza una cantidad cuantificada de producción.

Figura 2. Isocuantas correspondientes a diferentes volúmenes de producción

En la fig. 2 muestra tres isocuantas correspondientes a un volumen de producción de 200, 300 y 400 unidades. Se puede decir que para la producción de 300 unidades de producción se necesitan K 1 unidades de capital y L 1 unidades de trabajo o K 2 unidades de capital y L 2 unidades de trabajo, o cualquier otra combinación de ellas del conjunto representado por la isocuanta Y 2 = 300.

En el caso general, en el conjunto X de conjuntos factibles de factores de producción se le asigna un subconjunto, denominado isocuanta de la función de producción, que se caracteriza porque para cualquier vector la igualdad

Por lo tanto, el coeficiente de reemplazo equivalente de un par de factores j y k es igual a:

que se calcula a lo largo de la isocuanta a un nivel constante de costos de otros factores de producción. El valor s jk es una característica del cambio relativo en el coeficiente de reemplazo mutuo de recursos cuando cambia la relación entre ellos. Si la proporción de recursos intercambiables cambia en un s jk por ciento, entonces la tasa de reemplazo mutuo sjk cambiará en un uno por ciento. En el caso de una función de producción lineal, el coeficiente de sustitución mutua permanece invariable para cualquier proporción de los recursos utilizados y, por lo tanto, podemos suponer que la elasticidad s jk = 1. En consecuencia, valores grandes de s jk indican que mayor libertad es posible en la sustitución de factores de producción a lo largo de la isocuanta y, al mismo tiempo, las principales características de la función de producción (productividad, relación de intercambio) cambiarán muy poco.

Para funciones de producción de ley de potencia para cualquier par de recursos intercambiables, la igualdad s jk = 1 es verdadera.

Para tal función, el coeficiente de elasticidad de reemplazo de recursos

y no cambia según el volumen y la proporción de recursos gastados. Para valores pequeños de s jk, los recursos pueden reemplazarse entre sí solo en pequeña medida, y en el límite en s jk = 0, pierden su propiedad de intercambiabilidad y aparecen en el proceso de producción solo en una proporción constante, es decir son complementarios. Un ejemplo de una función de producción que describe la producción bajo las condiciones de uso de recursos complementarios es la función de liberación de costos, que tiene la forma

donde aj es un coeficiente constante de retorno de recursos del j-ésimo factor de producción. Es fácil ver que una función de producción de este tipo determina la salida del cuello de botella en el conjunto de factores de producción utilizados. En el gráfico se muestran diferentes casos del comportamiento de las isocuantas de funciones de producción para diferentes valores de los coeficientes de sustitución de elasticidad (Fig. 3).

La representación de un conjunto tecnológico efectivo mediante una función de producción escalar es insuficiente en los casos en que no se puede gestionar con un único indicador que describa los resultados de la instalación productiva, sino que es necesario utilizar varios (M) indicadores de salida. En estas condiciones, se puede utilizar la función de producción vectorial

Arroz. 3. Varios casos de comportamiento de isocuantas

El importante concepto de productividad marginal (diferencial) es introducido por la relación

Todas las demás características principales de las funciones de producción escalares admiten una generalización similar.

Al igual que las curvas de indiferencia, las isocuantas también se clasifican en diferentes tipos.

Para una función de producción lineal de la forma

donde Y es el volumen de producción; parámetros A, b1, b2; K , L costos de capital y mano de obra, y la sustitución completa de un recurso por otra isocuanta tendrá una forma lineal (Fig. 4).

Para la función de producción de energía

las isocuantas se verán como curvas (Fig. 5).

Si la isocuanta refleja solo un método tecnológico para la producción de un producto dado, entonces el trabajo y el capital se combinan en la única combinación posible (Fig. 6).

Arroz. 6. Isocuantas bajo estricta complementariedad de recursos

Arroz. 7. Isocuantas rotas

La isocuanta rota implica la presencia de un número limitado de tecnologías F (Fig. 7).

3. APLICACIÓN PRÁCTICA DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN.

3.1 Modelización de los costes y beneficios de una empresa (firma)

En el proceso de crear esta cantidad de producto, la empresa incurre en costos de producción por la cantidad de C(y). Al mismo tiempo, es natural suponer que C"(y) > 0, es decir los costos aumentan con el volumen de producción. También se supone comúnmente que C""(y) > 0. Esto significa que el costo adicional (marginal) de producir cada unidad adicional de producción aumenta a medida que aumenta el volumen de producción. Esta suposición se debe a que en la producción racionalmente organizada, con pequeños volúmenes, se pueden utilizar las mejores máquinas y trabajadores altamente calificados, que ya no estarán a disposición de la empresa cuando aumente el volumen de producción. Los costos de producción consisten en los siguientes componentes:

1) costos de materiales C metro, que incluyen el costo de las materias primas, materiales, productos semielaborados, etc.

La diferencia entre el ingreso bruto y los costos de materiales se llama valor añadido(productos condicionalmente puros):

2) costes laborales C L ;

Arroz. 8. Líneas de ingresos y costos de la empresa.

3) gastos asociados al uso, reparación de maquinaria y equipo, depreciación, el llamado pago por servicios de capital C k ;

4) costos adicionales C r asociados a la expansión de la producción, la construcción de nuevos edificios, vías de acceso, líneas de comunicación, etc.

Costos totales de producción:

Como se señaló anteriormente,

sin embargo, esta dependencia del volumen de producción ( a) es diferente para diferentes tipos de costes. A saber, hay:

b) proporcional al volumen de producción (lineal) costos C 1, esto incluye los costos de material C metro, remuneración del personal de producción (parte de C L), gastos de mantenimiento de equipos y maquinaria existentes (parte C k) etc.:

dónde a un indicador generalizado de los costos de estos tipos por un producto;

c) costos súper proporcionales (no lineales) DE 2 , que incluyen la adquisición de nuevas máquinas y tecnologías (es decir, costos como DE r), pago de horas extras, etc. Para una descripción matemática de este tipo de costo, generalmente se usa una ley de potencia

Por lo tanto, para representar los costos totales, se puede usar el modelo

(Tenga en cuenta que las condiciones C"(y) > 0, C""(y) > 0 se cumplen para esta función.)

Considere posibles opciones para el comportamiento de una empresa (firma) para dos casos:

1. La empresa tiene una reserva suficientemente grande de capacidades de producción y no busca expandir la producción, por lo que podemos suponer que C 2 = 0 y los costos totales son una función lineal de la producción:

la ganancia será

Está claro que para pequeños volúmenes de producción

La empresa está perdiendo porque

Aquí y w punto de equilibrio (umbral de rentabilidad), determinado por la relación

si un y> y w, entonces la empresa obtiene ganancias y la decisión final sobre el volumen de producción depende del estado del mercado para la venta de productos manufacturados (ver Fig. 8).

2. En un caso más general, cuando DE 2 0, hay dos puntos de equilibrio y, además, la empresa recibirá una ganancia positiva si la producción y satisface la condición

En este segmento, en el punto, se logra el mayor valor de ganancia. Por lo tanto, existe una solución óptima para el problema de maximización de beneficios. En el punto PERO, correspondiente a los costos a la producción óptima, tangente a la curva de costo DE paralela a la recta del ingreso R.

Cabe señalar que la decisión final de la empresa también depende del estado del mercado, pero desde el punto de vista de observar los intereses económicos, debe recomendar el valor de optimización de la producción (Fig. 9).

Arroz. 9. Salida óptima

Por definición, el beneficio es el valor

Los puntos de equilibrio y se determinan a partir de la condición de igualdad de beneficio a cero, y su valor máximo se alcanza en el punto que satisface la ecuación

Así, el volumen óptimo de producción se caracteriza por el hecho de que en este estado la renta bruta marginal ( R(y)) es exactamente igual al costo marginal C(y).

De hecho, si y R( y) > C(y), y entonces la producción debe incrementarse, ya que los ingresos adicionales esperados excederán los costos adicionales esperados. Si y> , entonces R(y) C ( y), y cualquier aumento en el volumen reducirá las ganancias, por lo que es natural recomendar reducir el volumen de producción y llegar a un estado y= (figura 10).

Arroz. 10. Punto máximo de beneficio y zona de equilibrio

Es fácil ver que a medida que aumenta el precio ( R) la producción óptima así como el aumento de beneficios, es decir

Esto también es cierto en el caso general, ya que

Ejemplo. La empresa produce máquinas agrícolas en la cantidad a piezas, y el volumen de producción, en principio, puede variar de 50 a 220 piezas por mes. Al mismo tiempo, naturalmente, un aumento en el volumen de producción requerirá un aumento en los costos, tanto proporcional como superproporcional (no lineal), ya que será necesario comprar nuevos equipos y ampliar las áreas de producción.

En un ejemplo específico, partiremos del hecho de que los costos totales (costo) para la producción de productos en la cantidad a Los productos se expresan mediante la fórmula

C(y) = 1000 + 20 y+ 0,1 y 2 (mil rublos).

Esto significa que los costos fijos

C 0 = 1000 (toneladas de rublos),

costos proporcionales

C 1 = 20 y,

aquellos. el indicador generalizado de estos costos por producto es igual a: a= 20 mil rublos, y los costos no lineales serán C 2 = 0,1 y 2 (b= 0,1).

La fórmula anterior para los costos es un caso especial de la fórmula general, donde el indicador h= 2.

Para encontrar el volumen óptimo de producción, utilizamos la fórmula del punto de máxima ganancia (*), según la cual tenemos:

Es bastante obvio que el volumen de producción en el que se logra el beneficio máximo está determinado de manera muy significativa por el precio de mercado del producto. pags.

En mesa. 1 muestra los resultados del cálculo de los volúmenes óptimos para varios precios de 40 a 60 mil rublos por producto.

La primera columna de la tabla contiene posibles volúmenes de salida. a, la segunda columna contiene datos sobre los costos totales DE(a), la tercera columna muestra el costo por producto:

tabla 1

Datos sobre volúmenes de producción, costes y beneficios

Volúmenes y costos	Precios y Beneficios





	0

		210

			440

Tabla 1 continuación
				1250

					1890

						3000

La cuarta columna caracteriza los valores de los costos marginales anteriores EM, que muestran cuánto cuesta producir un artículo adicional en una situación dada. Es fácil ver que los costos marginales aumentan a medida que aumenta la producción, lo que concuerda con la posición expresada al comienzo de este párrafo. Al considerar la tabla, debe prestar atención al hecho de que los volúmenes óptimos están exactamente en la intersección de la línea (costos marginales EM) y columna (precio pags) con sus valores iguales, lo que se correlaciona bastante bien con la regla de optimalidad establecida anteriormente.

El análisis anterior se refiere a una situación de competencia perfecta, cuando el productor no puede influir con sus acciones en el sistema de precios, y por lo tanto el precio pags para los bienes y actúa en el modelo del fabricante como una cantidad exógena.

En el caso de competencia imperfecta, el productor puede influir directamente en el precio. En particular, esto se aplica al monopolio productor de bienes, que forma el precio por razones de rentabilidad razonable.

Considere una empresa con una función de costo lineal que establece su precio de tal manera que la ganancia es un cierto porcentaje (una fracción de 0

Por lo tanto, tenemos

Ingresos brutos

y la producción alcanza el punto de equilibrio, comenzando con los volúmenes de producción más pequeños ( y w 0). Es fácil ver que el precio depende del volumen, es decir. pags= pags(y), y con un aumento en el volumen de producción ( a) el precio del bien disminuye, es decir pags"(y)

El requisito de maximización de beneficios para un monopolista tiene la forma

Suponiendo aún que >0, tenemos una ecuación para encontrar la salida óptima ():

Es útil señalar que la producción óptima de un monopolista () generalmente no es mayor que la producción óptima de un productor competitivo en la fórmula marcada con un asterisco.

Se utiliza un modelo más realista (pero también más simple) de la empresa para tener en cuenta las limitaciones de recursos que desempeñan un papel muy importante en las actividades económicas de los productores. El modelo destaca uno de los recursos más escasos (mano de obra, activos fijos, materiales raros, energía, etc.) y supone que la empresa puede utilizarlo en no más de q. La empresa puede producir norte diversos productos. Dejar y 1 , ..., y j , ..., y norte los volúmenes deseados de producción de estos productos; pags 1 , ..., pags j , ..., pags norte sus precios. Deja también q precio unitario de un recurso escaso. Entonces el ingreso bruto de la empresa es

y la ganancia será

Es fácil ver que para fijos q y q el problema de maximización de beneficios se transforma en el problema de maximización de ingresos brutos.

Supongamos además que la función de costo de los recursos para cada producto C j (y j) tiene las mismas propiedades que se indicaron anteriormente para la función DE(a). De este modo, C j " (y j) > 0 y C j "" (y j) > 0.

En su forma final, el modelo del comportamiento óptimo de una empresa con un recurso limitado es el siguiente:

Es fácil ver que en un caso bastante general, la solución a este problema de optimización se encuentra estudiando el sistema de ecuaciones:

Tenga en cuenta que la elección óptima de la empresa depende de todo el conjunto de precios del producto ( pags 1 , ..., pags norte), y esta elección es una función homogénea del sistema de precios, es decir cuando los precios cambian el mismo número de veces, los resultados óptimos no cambian. También es fácil ver que de las ecuaciones marcadas con asteriscos (***) se sigue que con un aumento en el precio del producto norte(a precios constantes para otros productos), su producción debe incrementarse para maximizar las ganancias, ya que

y la producción de otros bienes disminuirá, ya que

Estas proporciones juntas muestran que en este modelo, todos los productos compiten. La fórmula (***) también implica la relación obvia

aquellos. con un aumento en el volumen de un recurso (inversión de capital, mano de obra, etc.), aumentan los resultados óptimos.

Se pueden dar varios ejemplos simples para ayudarlo a comprender mejor la regla de selección óptima de empresas basada en el principio de ganancia máxima:

1) dejar norte = 2; pags 1 = pags 2 = 1; a 1 = a 2 = 1; q = 0,5; q = 0,5.

Entonces de (***) tenemos:

0,5; = 0,5; P = 0,75; = 1;

2) ahora todas las condiciones siguen siendo las mismas, pero el precio del primer producto se ha duplicado: pags 1 = 2.

Entonces el plan de beneficios óptimo de la empresa: = 0,6325; = 0,3162.

El beneficio máximo esperado aumenta notablemente: P = 1,3312; = 1,58;

3) nótese que en el ejemplo 2 anterior, la empresa debe cambiar el volumen de producción, aumentando la producción del primero y disminuyendo la producción del segundo producto. Sin embargo, suponga que la empresa no persigue el máximo beneficio y no cambiará la producción establecida, es decir elige un programa y 1 = 0,5; y 2 = 0,5.

Resulta que en este caso la ganancia será P = 1,25. Esto significa que cuando los precios suben en el mercado, la empresa puede obtener un aumento significativo de las ganancias sin cambiar el plan de producción.

3.2 Métodos de contabilización del progreso científico y tecnológico

a) mejora en el tiempo en la calidad de la fuerza laboral debido a la mejora de las habilidades de los trabajadores y el desarrollo de métodos para utilizar tecnología más avanzada;

b) la mejora en la calidad de la maquinaria y el equipo lleva a que una cierta inversión de capital (a precios constantes) permita, con el tiempo, adquirir una máquina más eficiente;

Detengámonos en los métodos para contabilizar el progreso científico y técnico mediante la transformación de la función de producción, y tomaremos como base la función de producción de dos factores:

donde los factores de producción son el capital ( A) y mano de obra ( L). La función de producción modificada en el caso general tiene la forma

y la condición

lo que refleja el hecho del crecimiento de la producción en el tiempo a costos fijos de mano de obra y capital.

Al desarrollar funciones de producción modificadas específicas, generalmente buscan reflejar la naturaleza del progreso científico y técnico en la situación observada. Hay cuatro casos:

a) una mejora significativa en el tiempo en la calidad de la mano de obra le permite lograr los mismos resultados con menos personas empleadas; este tipo de STP a menudo se denomina ahorro de mano de obra. La función de producción modificada tiene la forma ¿Dónde está la función monótona? yo(t) caracteriza el crecimiento de la productividad del trabajo;

Arroz. 11. Crecimiento de la producción en el tiempo con costos fijos de mano de obra y capital

b) la mejora predominante en la calidad de la maquinaria y el equipo aumenta el rendimiento de los activos, hay un progreso científico y técnico que ahorra capital y la función de producción correspondiente:

donde esta la funcion creciente k(t) refleja el cambio en la productividad del capital;

c) si existe una influencia significativa de ambos fenómenos mencionados, entonces se utiliza la función de producción en la forma

d) si no es posible identificar la influencia del progreso científico y técnico en los factores de producción, entonces se utiliza la función de producción en la forma

dónde a(t) una función creciente que expresa el crecimiento de la producción a valores constantes de los costos de los factores. Para estudiar las propiedades y características del progreso científico y técnico, se utilizan algunas correlaciones entre los resultados de producción y los costos de los factores. Éstos incluyen:

a) productividad laboral media

B) rendimiento medio de los activos

c) relación capital-trabajo del empleado

d) igualdad entre el nivel de salarios y la productividad marginal (marginal) del trabajo

e) igualdad entre el rendimiento marginal de los activos y la tasa de interés bancaria

Se dice que un NTP es neutral si no cambia ciertas relaciones entre cantidades dadas a lo largo del tiempo.

1) el progreso se llama Hicks-neutral si la relación entre la relación capital-trabajo ( X) y la tasa marginal de reemplazo de factores ( w/r). En particular, si w/r= const, entonces la sustitución de trabajo por capital y viceversa no traerá ningún beneficio y relación capital-trabajo X=k/L también permanecerá constante. Se puede demostrar que en este caso la función de producción modificada tiene la forma

y la neutralidad de Hicks es equivalente al impacto del progreso científico y técnico directamente en el resultado discutido anteriormente. En la situación bajo consideración, la isocuanta se desplaza hacia la izquierda hacia abajo con el tiempo por medio de una transformación de similitud, es decir sigue siendo exactamente la misma forma que en la posición original;

2) el progreso se llama Harrod-neutral si, durante el período considerado, la tasa de interés bancaria ( r) depende únicamente del rendimiento de los activos ( k), es decir. no se ve afectado por NTP. Esto significa que el rendimiento marginal de los activos se fija al nivel de la tasa de interés y no es aconsejable un nuevo aumento de capital. Se puede demostrar que este tipo de STP corresponde a la función de producción

aquellos. el progreso tecnológico ahorra mano de obra;

3) el progreso es Solow neutral si la igualdad entre los niveles salariales ( w) y la productividad marginal del trabajo y un mayor aumento de los costes laborales no es rentable. Se puede demostrar que en este caso la función de producción tiene la forma

aquellos. NTP resulta ser un ahorro de fondos. Demos una representación gráfica de tres tipos de progreso científico y tecnológico usando el ejemplo de una función de producción lineal

En el caso de la neutralidad de Hicks, tenemos una función de producción modificada

dónde a(t) función creciente t. Esto significa que con el tiempo la isocuanta q(segmento de línea AB) se desplaza al origen por traslación paralela (Fig. 12) a la posición A 1 B 1 .

En el caso de la neutralidad de Harrod, la función de producción modificada tiene la forma

dónde yo(t) es una función creciente.

Obviamente, con el tiempo, el punto PERO permanece en su lugar y la isocuanta se desplaza al origen girando a la posición AB 1 (figura 13).

Para el progreso neutral de Solow, la correspondiente función de producción modificada

dónde k(t) es una función creciente. La isocuanta se desplaza hacia el origen, pero el punto A no se mueve y gira a la posición A 1 B(Figura 14).

Arroz. 12. Cambio de isocuanta en NTP neutral según Hicks

Arroz. 13. Cambio de isocuanta para NTP que ahorra mano de obra

Arroz. 14. Desplazamiento de la isocuanta en el PNT ahorrador de fondos

Al construir modelos de producción teniendo en cuenta el progreso científico y técnico, se utilizan principalmente los siguientes enfoques:

que se escribe como

dónde k 0 activos fijos al inicio del período, D k acumulación de capital durante un período igual al monto de la inversión.

Obviamente, si no se realiza ninguna inversión, entonces D k= 0, y no hay aumento en la producción debido al progreso científico y técnico;

Hay dos direcciones principales para modelar el progreso científico y técnico:

1) el modelo de progreso inducido se basa en la fórmula

A su vez, el crecimiento del factor trabajo, según la función de producción

conduce a un aumento de la producción. En la versión más simple del modelo, se utilizan las siguientes fórmulas:

aquellos. aumenta el rendimiento de la inversión.

CONCLUSIÓN

Por lo tanto, en este trabajo de curso, he considerado muchos hechos importantes e interesantes desde mi punto de vista. Se encontró, por ejemplo, que la función de producción es una relación matemática entre la producción máxima por unidad de tiempo y la combinación de factores que la generan, dado el nivel actual de conocimiento y tecnología. En la teoría de la producción, utilizan principalmente una función de producción de dos factores, que en general se ve así: Q = f (K, L), donde Q es el volumen de producción; K - capital; L - trabajo. La cuestión de la proporción de costos de los factores de producción que se reemplazan entre sí se resuelve con la ayuda de un concepto como la elasticidad de sustitución de los factores de producción. La elasticidad de sustitución es la relación entre los costos de sustitución de los factores de producción a una producción constante. Este es un tipo de coeficiente que muestra el grado de eficiencia en la sustitución de un factor de producción por otro. Una medida de la intercambiabilidad de los factores de producción es la tasa marginal de sustitución técnica MRTS, que muestra cuántas unidades se puede reducir uno de los factores al aumentar el otro factor en uno, manteniendo la producción sin cambios. La tasa marginal de sustitución técnica se caracteriza por la pendiente de las isocuantas. MRTS se expresa mediante la fórmula: Isocuanta: una curva que representa todas las combinaciones posibles de dos costos que proporcionan un volumen de producción constante determinado. La financiación suele ser limitada. Por lo tanto, la combinación óptima de factores para una empresa en particular es la solución general de las ecuaciones isocuantas.

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