El estudio de la función se realiza según un esquema claro y requiere que el alumno tenga sólidos conocimientos de conceptos matemáticos básicos como el dominio de definición y valores, la continuidad de la función, la asíntota, puntos extremos, paridad, periodicidad, etc. El estudiante debe derivar libremente funciones y resolver ecuaciones, que a veces son muy complejas.

Es decir, esta tarea pone a prueba una capa importante de conocimiento, cualquier vacío en el que se convertirá en un obstáculo para obtener la solución correcta. Especialmente a menudo surgen dificultades con la construcción de gráficos de funciones. Este error llama inmediatamente la atención del profesor y puede arruinar en gran medida tu calificación, incluso si todo lo demás se hizo correctamente. Aquí puedes encontrar tareas para el estudio de la función online: ejemplos de estudio, soluciones de descarga, asignaciones de pedidos.

Investigue una función y una gráfica: ejemplos y soluciones en línea

Hemos preparado para usted una gran cantidad de estudios de funciones listos para usar, tanto pagados en el libro de soluciones como gratuitos en la sección Ejemplos de investigación de funciones. Sobre la base de estas tareas resueltas, podrá familiarizarse en detalle con la metodología para realizar dichas tareas, por analogía, realizar su propia investigación.

Ofrecemos ejemplos listos para usar de un estudio completo y trazado de un gráfico de funciones de los tipos más comunes: polinomios, funciones fraccionarias racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Cada problema resuelto va acompañado de un gráfico listo para usar con puntos clave seleccionados, asíntotas, máximos y mínimos, la solución se lleva a cabo de acuerdo con el algoritmo para estudiar la función.

Los ejemplos resueltos, en cualquier caso, te serán de gran ayuda, ya que cubren los tipos de funciones más populares. Te ofrecemos cientos de problemas ya resueltos, pero, como sabes, existen infinidad de funciones matemáticas en el mundo, y los profesores son grandes expertos en inventar tareas cada vez más intrincadas para los alumnos pobres. Entonces, queridos estudiantes, la asistencia calificada no les hará daño.

Resolución de problemas para el estudio de una función a pedido

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Haremos un estudio completo de la función para usted: encontraremos el dominio de definición y el rango de valores, examinaremos la continuidad y la discontinuidad, estableceremos la paridad, verificaremos la periodicidad de su función, encontraremos los puntos de intersección con los ejes de coordenadas . Y, por supuesto, más con la ayuda del cálculo diferencial: encontraremos asíntotas, calcularemos extremos, puntos de inflexión y construiremos el gráfico en sí.

Desde hace algún tiempo, en TheBat (no está claro por qué), la base de datos de certificados incorporada para SSL ha dejado de funcionar correctamente.

Al revisar la publicación, aparece un error:

Certificado CA desconocido
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Y se ofrece una selección de respuestas: SÍ / NO. Y así cada vez que disparas correo.

Solución

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Actualización Mayo 2015

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Enfrentado en la vida con la reparación de estufas eléctricas. Ya hice muchas cosas, aprendí mucho, pero de alguna manera tenía poco que ver con los mosaicos. Fue necesario reemplazar los contactos en los reguladores y quemadores. Surgió la pregunta: ¿cómo determinar el diámetro del quemador en la estufa eléctrica?

La respuesta resultó ser simple. No es necesario medir nada, puede determinar tranquilamente a simple vista qué tamaño necesita.

El quemador más pequeño es de 145 milímetros (14,5 centímetros)

Quemador medio es de 180 milímetros (18 centímetros).

y por ultimo lo mas quemador grande es de 225 milímetros (22,5 centímetros).

Es suficiente determinar el tamaño a simple vista y comprender qué diámetro necesita un quemador. Cuando no sabía esto, estaba volando con estos tamaños, no sabía cómo medir, qué borde navegar, etc. Ahora soy sabio :) ¡Espero que te haya ayudado a ti también!

En mi vida me enfrenté a tal problema. Creo que no soy el único.

Una de las tareas más importantes del cálculo diferencial es el desarrollo de ejemplos generales del estudio del comportamiento de funciones.

Si la función y \u003d f (x) es continua en el intervalo, y su derivada es positiva o igual a 0 en el intervalo (a, b), entonces y \u003d f (x) aumenta en (f "(x) 0) Si la función y \u003d f (x) es continua en el segmento , y su derivada es negativa o igual a 0 en el intervalo (a,b), entonces y=f(x) disminuye en (f"( x)0)

Los intervalos en los que la función no decrece ni aumenta se denominan intervalos de monotonicidad de la función. La naturaleza de la monotonicidad de una función puede cambiar solo en aquellos puntos de su dominio de definición, en los que cambia el signo de la primera derivada. Los puntos en los que la primera derivada de una función se anula o se rompe se denominan puntos críticos.

Teorema 1 (1ª condición suficiente para la existencia de un extremo).

Sea la función y=f(x) definida en el punto x 0 y sea un entorno δ>0 tal que la función sea continua en el segmento , diferenciable en el intervalo (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , y su derivada conserva un signo constante en cada uno de estos intervalos. Entonces si en x 0 -δ, x 0) y (x 0, x 0 + δ) los signos de la derivada son diferentes, entonces x 0 es un punto extremo, y si coinciden, entonces x 0 no es un punto extremo . Además, si al pasar por el punto x0, la derivada cambia de signo de más a menos (a la izquierda de x 0, se realiza f "(x)> 0, entonces x 0 es el punto máximo; si la derivada cambia de signo de menos a más (a la derecha de x 0 se ejecuta por f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Los puntos máximos y mínimos se llaman puntos extremos de la función, y los máximos y mínimos de la función se llaman sus valores extremos.

Teorema 2 (criterio necesario para un extremo local).

Si la función y=f(x) tiene un extremo en el actual x=x 0, entonces f'(x 0)=0 o f'(x 0) no existe.
En los puntos extremos de una función derivable, la tangente a su gráfica es paralela al eje Ox.

Algoritmo para estudiar una función para un extremo:

1) Encuentra la derivada de la función.
2) Encontrar puntos críticos, es decir. puntos donde la función es continua y la derivada es cero o no existe.
3) Considere la vecindad de cada uno de los puntos y examine el signo de la derivada a la izquierda ya la derecha de este punto.
4) Determinar las coordenadas de los puntos extremos, para este valor de los puntos críticos, sustituir en esta función. Usando suficientes condiciones extremas, saque las conclusiones apropiadas.

Ejemplo 18. Investiga la función y=x 3 -9x 2 +24x

Solución.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Igualando la derivada a cero, encontramos x 1 =2, x 2 =4. En este caso, la derivada se define en todas partes; por tanto, aparte de los dos puntos encontrados, no hay otros puntos críticos.
3) El signo de la derivada y”=3(x-2)(x-4) cambia según el intervalo como se muestra en la Figura 1. Al pasar por el punto x=2, la derivada cambia de signo de más a menos, y al pasar por el punto x=4 - de menos a más.
4) En el punto x=2, la función tiene un máximo y max =20, y en el punto x=4 - un mínimo y min =16.

Teorema 3. (2ª condición suficiente para la existencia de un extremum).

Sean f "(x 0) y f "" (x 0) en el punto x 0. Entonces si f "" (x 0)> 0, entonces x 0 es el punto mínimo, y si f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

En el segmento, la función y \u003d f (x) puede alcanzar el valor más pequeño (al menos) o más grande (como máximo) en los puntos críticos de la función que se encuentran en el intervalo (a; b), o en los extremos del segmento

El algoritmo para encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función continua y=f(x) en el segmento:

1) Encuentre f "(x).
2) Encuentre los puntos en los que f "(x) = 0 o f" (x) - no existe, y seleccione de ellos aquellos que se encuentran dentro del segmento.
3) Calcule el valor de la función y \u003d f (x) en los puntos obtenidos en el párrafo 2), así como en los extremos del segmento y elija el más grande y el más pequeño de ellos: son, respectivamente, los más grandes ( para el más grande) y el más pequeño (para el más pequeño) valores de función en el segmento.

Ejemplo 19. Encuentra el mayor valor de una función continua y=x 3 -3x 2 -45+225 en el segmento .

1) Tenemos y "=3x 2 -6x-45 en el segmento
2) La derivada y" existe para todo x. Busquemos los puntos donde y"=0; obtenemos:
3x2 -6x-45=0
x2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calcular el valor de la función en los puntos x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Solo el punto x=5 pertenece al segmento. El mayor de los valores encontrados de la función es 225 y el menor es el número 50. Entonces, en max = 225, en max = 50.

Investigación de una función sobre convexidad

La figura muestra las gráficas de dos funciones. El primero de ellos se vuelve con un bulto hacia arriba, el segundo, con un bulto hacia abajo.

La función y=f(x) es continua en el segmento y diferenciable en el intervalo (a;b), se llama convexa hacia arriba (abajo) en este segmento, si para axb su gráfica no se encuentra más arriba (ni más abajo) que la tangente dibujado en cualquier punto M 0 (x 0 ;f(x 0)), donde axb.

Teorema 4. Que la función y=f(x) tenga una segunda derivada en cualquier punto interior x del segmento y sea continua en los extremos de este segmento. Entonces, si la desigualdad f""(x)0 se satisface en el intervalo (a;b), entonces la función es convexa hacia abajo en el segmento ; si la desigualdad f""(x)0 se satisface en el intervalo (à;b), entonces la función es convexa hacia arriba en .

Teorema 5. Si la función y=f(x) tiene una segunda derivada en el intervalo (a;b) y cambia de signo al pasar por el punto x 0 , entonces M(x 0 ;f(x 0)) es un punto de inflexión.

Regla para encontrar puntos de inflexión:

1) Encuentra puntos donde f""(x) no existe o desaparece.
2) Examine el signo f""(x) a la izquierda y derecha de cada punto encontrado en el primer paso.
3) Con base en el Teorema 4, saque una conclusión.

Ejemplo 20. Hallar los puntos extremos y los puntos de inflexión de la función gráfica y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Tenemos f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Obviamente, f"(x)=0 para x 1 =0, x 2 =1. La derivada, al pasar por el punto x=0, cambia de signo de menos a más, y al pasar por el punto x=1, no cambia de signo. Esto significa que x=0 es el punto mínimo (y min =12), y no hay ningún extremo en el punto x=1. A continuación, encontramos . La segunda derivada se anula en los puntos x 1 =1, x 2 =1/3. Los signos de la segunda derivada cambian de la siguiente manera: En el rayo (-∞;) tenemos f""(x)>0, en el intervalo (;1) tenemos f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Por lo tanto, x= es el punto de inflexión de la función gráfica (transición de convexidad hacia abajo a convexidad hacia arriba) y x=1 es también un punto de inflexión (transición de convexidad hacia arriba a convexidad hacia abajo). Si x=, entonces y= ; si, entonces x=1, y=13.

Un algoritmo para encontrar la asíntota de un gráfico

I. Si y=f(x) cuando x → a , entonces x=a es una asíntota vertical.
II. Si y=f(x) cuando x → ∞ o x → -∞ entonces y=A es la asíntota horizontal.
tercero Para encontrar la asíntota oblicua, usamos el siguiente algoritmo:
1) Calcular. Si el límite existe y es igual a b, entonces y=b es la asíntota horizontal; si , entonces vaya al segundo paso.
2) Calcular. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota; si existe y es igual a k, vaya al tercer paso.
3) Calcular. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota; si existe y es igual a b, vaya al cuarto paso.
4) Escribe la ecuación de la asíntota oblicua y=kx+b.

Ejemplo 21: Encuentra una asíntota para una función

1)
2)
3)
4) La ecuación asíntota oblicua tiene la forma

El esquema del estudio de la función y la construcción de su gráfico.

I. Encuentra el dominio de la función.
II. Encuentra los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.
tercero Encuentra asíntotas.
IV. Encuentre puntos de posible extremo.
V. Encontrar puntos críticos.
VI. Usando el dibujo auxiliar, investiga el signo de la primera y segunda derivada. Determina las áreas de aumento y disminución de la función, encuentra la dirección de la convexidad de la gráfica, los puntos extremos y los puntos de inflexión.
VIII. Construya un gráfico, teniendo en cuenta el estudio realizado en los párrafos 1-6.

Ejemplo 22: Trace un gráfico de función de acuerdo con el esquema anterior

Solución.
I. El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, excepto x=1.
II. Como la ecuación x 2 +1=0 no tiene raíces reales, entonces la gráfica de la función no tiene puntos de intersección con el eje Ox, pero interseca el eje Oy en el punto (0; -1).
tercero Aclaremos la cuestión de la existencia de asíntotas. Investigamos el comportamiento de la función cerca del punto de discontinuidad x=1. Como y → ∞ para x → -∞, y → +∞ para x → 1+, entonces la recta x=1 es una asíntota vertical de la gráfica de la función.
Si x → +∞(x → -∞), entonces y → +∞(y → -∞); por lo tanto, la gráfica no tiene asíntota horizontal. Además, de la existencia de límites

Resolviendo la ecuación x 2 -2x-1=0, obtenemos dos puntos de un extremo posible:
x1 =1-√2 y x2 =1+√2

V. Para encontrar los puntos críticos, calculamos la segunda derivada:

Como f""(x) no desaparece, no hay puntos críticos.
VI. Investigamos el signo de las derivadas primera y segunda. Posibles puntos extremos a considerar: x 1 =1-√2 y x 2 =1+√2, dividir el área de existencia de la función en intervalos (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) y (1+√2;+∞).

En cada uno de estos intervalos, la derivada conserva su signo: en el primero - más, en el segundo - menos, en el tercero - más. La secuencia de signos de la primera derivada se escribirá de la siguiente manera: +, -, +.
Obtenemos que la función en (-∞;1-√2) crece, en (1-√2;1+√2) decrece, y en (1+√2;+∞) vuelve a crecer. Puntos extremos: máximo en x=1-√2, además f(1-√2)=2-2√2 mínimo en x=1+√2, además f(1+√2)=2+2√2. En (-∞;1) el gráfico es convexo hacia arriba y en (1;+∞) - hacia abajo.
VII Hagamos una tabla de los valores obtenidos

VIII Con base en los datos obtenidos, construimos un bosquejo de la gráfica de la función

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Realizar un estudio completo y trazar un gráfico de función

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Alcance de la función. Como la función es una fracción, necesitas encontrar los ceros del denominador.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Excluimos el único punto x=1x=1 del área de definición de la función y obtenemos:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Estudiemos el comportamiento de la función en la vecindad del punto de discontinuidad. Encuentre límites unilaterales:

Como los límites son iguales al infinito, el punto x=1x=1 es una discontinuidad de segunda especie, la línea x=1x=1 es una asíntota vertical.

3) Determinemos los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.

Encontremos los puntos de intersección con el eje de ordenadas OyOy, para lo cual igualamos x=0x=0:

Así, el punto de intersección con el eje OyOy tiene coordenadas (0;8)(0;8).

Encontremos los puntos de intersección con el eje de abscisas OxOx, para lo cual establecemos y=0y=0:

La ecuación no tiene raíces, por lo que no hay puntos de intersección con el eje OxOx.

Tenga en cuenta que x2+8>0x2+8>0 para cualquier xx. Por lo tanto, para x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), la función y>0y>0 (toma valores positivos, la gráfica está arriba del eje x), para x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) función y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) La función no es ni par ni impar porque:

5) Investigamos la función de periodicidad. La función no es periódica, ya que es una función racional fraccionaria.

6) Investigamos la función de extremos y monotonicidad. Para ello, encontramos la primera derivada de la función:

Igualemos la primera derivada a cero y encontremos los puntos estacionarios (en los que y′=0y′=0):

Tenemos tres puntos críticos: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Dividimos todo el dominio de la función en intervalos por puntos dados y determinamos los signos de la derivada en cada intervalo:

Para x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) la derivada y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Para x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) la derivada y′>0y′>0, la función crece en estos intervalos.

En este caso, x=−2x=−2 es un punto mínimo local (la función decrece y luego crece), x=4x=4 es un punto máximo local (la función crece y luego decrece).

Encontremos los valores de la función en estos puntos:

Así, el punto mínimo es (−2;4)(−2;4), el punto máximo es (4;−8)(4;−8).

7) Examinamos la función para torceduras y convexidad. Encontremos la segunda derivada de la función:

Igualar la segunda derivada a cero:

La ecuación resultante no tiene raíces, por lo que no hay puntos de inflexión. Además, cuando se cumple x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, es decir, la función es cóncava cuando x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Investigamos el comportamiento de la función en el infinito, es decir, en .

Como los límites son infinitos, no hay asíntotas horizontales.

Intentemos determinar asíntotas oblicuas de la forma y=kx+by=kx+b. Calculamos los valores de k,bk,b según las fórmulas conocidas:

Encontramos que la función tiene una asíntota oblicua y=−x−1y=−x−1.

9) Puntos adicionales. Calculemos el valor de la función en algunos otros puntos para construir un gráfico con mayor precisión.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Con base en los datos obtenidos, construiremos un gráfico, lo complementaremos con las asíntotas x=1x=1 (azul), y=−x−1y=−x−1 (verde) y marcaremos los puntos característicos (la intersección con el el eje de ordenadas es morado, los extremos son naranjas, los puntos adicionales son negros):

Tarea 4: Problemas geométricos, económicos (no tengo idea de qué, aquí hay una selección aproximada de problemas con una solución y fórmulas)

Ejemplo 3.23. a

Solución. X y y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Como x = a/4 es el único punto crítico, comprobemos si el signo de la derivada cambia al pasar por este punto. Para xa/4 S "> 0, y para x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Ejemplo 3.24.

Solución.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Ejemplo 3.22. Encuentra los extremos de la función f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solución. Como f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), entonces los puntos críticos de la función x 1 \u003d 2 y x 2 \u003d 3. Los puntos extremos pueden solo estar en estos puntos Entonces, cuando pasa por el punto x 1 \u003d 2, la derivada cambia de signo más a menos, entonces en este punto la función tiene un máximo.Al pasar por el punto x 2 \u003d 3, la derivada cambia el signo de menos a más, por lo tanto, en el punto x 2 \u003d 3, la función tiene un mínimo Cálculo de los valores de la función en puntos
x 1 = 2 y x 2 = 3, encontramos los extremos de la función: máximo f(2) = 14 y mínimo f(3) = 13.

Ejemplo 3.23. Es necesario construir un área rectangular cerca del muro de piedra para que esté cercada con malla de alambre en tres lados y se una al muro en el cuarto lado. Para esto hay a metros lineales de la red. ¿A qué relación de aspecto tendrá el sitio el área más grande?

Solución. Denote los lados del sitio a través de X y y. El área del sitio es S = xy. Dejar y es la longitud del lado adyacente a la pared. Entonces, por condición, se debe cumplir la igualdad 2x + y = a. Por lo tanto y = a - 2x y S = x(a - 2x), donde
0 ≤ x ≤ a/2 (la longitud y el ancho del área no pueden ser negativos). S "= a - 4x, a - 4x = 0 para x = a/4, de donde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Como x = a/4 es el único punto crítico, comprobemos si el signo de la derivada cambia al pasar por este punto. Para xa/4 S "> 0, y para x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Ejemplo 3.24. Se requiere hacer un tanque cilíndrico cerrado con una capacidad de V=16p ≈ 50 m 3 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque (radio R y altura H) para utilizar la menor cantidad de material para su fabricación?

Solución. El área de superficie total del cilindro es S = 2pR(R+H). Conocemos el volumen del cilindro V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Por lo tanto, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Encontramos la derivada de esta función:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 para R 3 \u003d 8, por lo tanto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

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