En el siglo V aC, el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía "Aquiles y la tortuga". Así es como suena:

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que Aquiles corre esta distancia, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha logrado llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... el análisis matemático, la teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos se involucraron en el estudio del tema ; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.

Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos unidades constantes de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece como si el tiempo se detuviera por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.

Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:

En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esto no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento del tiempo está en reposo, y como está en reposo en cada momento del tiempo, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora reposa en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no se pueden usar para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el hecho del movimiento a partir de ellas (naturalmente, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). Lo que quiero señalar en particular es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son dos cosas diferentes que no deben confundirse ya que brindan diferentes oportunidades de exploración.

miércoles, 4 de julio de 2018

Muy bien, las diferencias entre set y multiset se describen en Wikipedia. Miramos.

Como puede ver, "el conjunto no puede tener dos elementos idénticos", pero si hay elementos idénticos en el conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca comprenderán tal lógica del absurdo. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, en los que la mente está ausente de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como formadores ordinarios, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

Por mucho que los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjate, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien las matemáticas y ahora estamos sentados en la caja, pagando salarios. Aquí un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos la cantidad total y la colocamos en nuestra mesa en diferentes montones, en los que ponemos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su "conjunto de salarios matemáticos". Le explicamos las matemáticas de que recibirá el resto de billetes sólo cuando demuestre que el conjunto sin elementos idénticos no es igual al conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde la diversión comienza.

En primer lugar, la lógica de los diputados funcionará: "¡puedes aplicarlo a otros, pero no a mí!" Además, comenzarán las garantías de que en los billetes de la misma denominación existen números de billetes distintos, por lo que no pueden considerarse elementos idénticos. Bueno, contamos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático recordará frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos de cada moneda es única...

Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está el límite más allá del cual los elementos de un conjunto múltiple se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia aquí ni siquiera está cerca.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma área de campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un conjunto múltiple. ¿Cuánta razón? Y aquí el matemático-chamán-shuller saca un as de triunfo de la manga y comienza a hablarnos sobre un set o un multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "concebible como no un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero los chamanes son para eso, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario, los chamanes simplemente se extinguirán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". ella no existe No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje de las matemáticas, la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo elementalmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, digamos que tenemos el número 12345. ¿Qué se necesita hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escriba el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo gráfico numérico. Esto no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen recibida en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.

3. Convierta caracteres gráficos individuales en números. Esto no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora eso es matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribimos el número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con un gran número de 12345, no quiero engañar a mi cabeza, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binarios, octales, decimales y hexadecimales. No consideraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es como encontrar el área de un rectángulo en metros y centímetros te daría resultados completamente diferentes.

El cero en todos los sistemas numéricos tiene el mismo aspecto y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que . Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se denota en matemáticas aquello que no es un número? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de los números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una acción matemática no depende del valor del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

firmar en la puerta Abre la puerta y dice:

¡Ay! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para estudiar la santidad indefinida de las almas al ascender al cielo! Nimbus arriba y flecha arriba. ¿Qué otro baño?

Femenino... Un halo en la parte superior y una flecha hacia abajo es masculino.

Si tiene una obra de arte de diseño de este tipo delante de sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo por ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no considero tonta a esta chica que no sabe física. Ella solo tiene un estereotipo de arco de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. Aquí hay un ejemplo.

1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es el "hombre cagando" o el número "veintiséis" en el sistema numérico hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.

Fórmulas de poder utilizado en el proceso de reducción y simplificación de expresiones complejas, en la resolución de ecuaciones y desigualdades.

Número C es norte-ésima potencia de un número a cuando:

Operaciones con grados.

1. Multiplicando grados con la misma base, sus indicadores suman:

soyun norte = un metro + norte .

2. En la división de grados con la misma base, se restan sus indicadores:

3. El grado del producto de 2 o más factores es igual al producto de los grados de estos factores:

(abc…) norte = un norte segundo norte c norte…

4. El grado de una fracción es igual a la razón de los grados del dividendo y del divisor:

(a/b) norte = un norte / segundo norte .

5. Elevando una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes:

(a.m.) norte = un metro norte .

Cada fórmula anterior es correcta en las direcciones de izquierda a derecha y viceversa.

Por ejemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaciones con raíces.

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de la razón es igual a la razón del dividendo y el divisor de las raíces:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar la raíz a esta potencia:

4. Si aumentamos el grado de la raíz en norte una vez y al mismo tiempo subir a norte La potencia es un número raíz, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si disminuimos el grado de la raíz en norte raíz al mismo tiempo norte grado del número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

Grado con exponente negativo. El grado de un número con un exponente no positivo (entero) se define como uno dividido por el grado del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente no positivo:

Fórmula soy:un norte = un metro - norte se puede usar no solo para metro> norte, pero también en metro< norte.

Por ejemplo. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A la fórmula soy:un norte = un metro - norte se volvió justo en m=n, necesita la presencia del grado cero.

Grado con exponente cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es igual a uno.

Por ejemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grado con un exponente fraccionario. Para elevar un número real a en un grado Minnesota, necesitas extraer la raíz norte grado de metroª potencia de este número a.

La exponenciación es una operación muy relacionada con la multiplicación, esta operación es el resultado de la multiplicación múltiple de un número por sí mismo. Representemos la fórmula: a1 * a2 * ... * an = an.

Por ejemplo, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

En general, la exponenciación se usa a menudo en varias fórmulas en matemáticas y física. Esta función tiene un propósito más científico que las cuatro básicas: Suma, Resta, Multiplicación, División.

Elevar un número a una potencia

Elevar un número a una potencia no es una operación difícil. Está relacionado con la multiplicación como la relación entre la multiplicación y la suma. Grabar an - un breve registro de la n-ésima cantidad de números "a" multiplicados entre sí.

Considere la posibilidad de exponenciación en los ejemplos más simples, pasando a los complejos.

Por ejemplo, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Cuatro al cuadrado (a la segunda potencia) es igual a dieciséis. Si no entiende la multiplicación 4 * 4, lea nuestro artículo sobre la multiplicación.

Veamos otro ejemplo: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinco al cubo (a la tercera potencia) es ciento veinticinco.

Otro ejemplo: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nueve al cubo es igual a setecientos veintinueve.

Fórmulas de exponenciación

Para elevar correctamente a una potencia, debe recordar y conocer las fórmulas a continuación. No hay nada más que natural en esto, lo principal es entender la esencia y entonces no solo serán recordados, sino que también parecerán fáciles.

Elevar un monomio a una potencia

¿Qué es un monomio? Este es el producto de números y variables en cualquier cantidad. Por ejemplo, dos es un monomio. Y este artículo trata de elevar tales monomios a una potencia.

Usando fórmulas de exponenciación, no será difícil calcular la exponenciación de un monomio a una potencia.

Por ejemplo, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Si elevas un monomio a una potencia, entonces cada componente del monomio se eleva a una potencia.

Al elevar a una potencia una variable que ya tiene un grado, se multiplican los grados. Por ejemplo, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Elevando a una potencia negativa

Un exponente negativo es el recíproco de un número. ¿Qué es un recíproco? Para cualquier número X, el recíproco es 1/X. Eso es X-1=1/X. Esta es la esencia del grado negativo.

Considere el ejemplo (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

¿Porqué es eso? Como hay un menos en el grado, simplemente transferimos esta expresión al denominador y luego la elevamos a la tercera potencia. ¿Solo bien?

Elevando a una potencia fraccionaria

Comencemos con un ejemplo específico. 43/2. ¿Qué significa potencia 3/2? 3 - numerador, significa elevar un número (en este caso el 4) a un cubo. El número 2 es el denominador, es la extracción de la segunda raíz del número (en este caso 4).

Luego obtenemos la raíz cuadrada de 43 = 2^3 = 8 . Respuesta: 8.

Entonces, el denominador de un grado fraccionario puede ser 3 o 4, y hasta el infinito cualquier número, y este número determina el grado de la raíz cuadrada extraída de un número dado. Por supuesto, el denominador no puede ser cero.

Elevando una raíz a una potencia

Si la raíz se eleva a una potencia igual a la potencia de la raíz misma, entonces la respuesta es la expresión radical. Por ejemplo, (√x)2 = x. Y así en todo caso de igualdad del grado de la raíz y el grado de elevación de la raíz.

Si (√x)^4. Entonces (√x)^4=x^2. Para comprobar la solución, traducimos la expresión a una expresión de grado fraccionario. Como la raíz es cuadrada, el denominador es 2. Y si la raíz se eleva a la cuarta potencia, entonces el numerador es 4. Obtenemos 4/2=2. Respuesta: x = 2.

En cualquier caso, la mejor opción es simplemente convertir la expresión a un exponente fraccionario. Si la fracción no se reduce, entonces se hará tal respuesta, siempre que no se asigne la raíz del número dado.

Exponenciación de un número complejo

¿Qué es un número complejo? Un número complejo es una expresión que tiene la fórmula a + b * i; a, b son números reales. i es el número que elevado al cuadrado da el número -1.

Considere un ejemplo. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Apúntate al curso "Acelera el conteo mental, NO la aritmética mental" para aprender a sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar al cuadrado e incluso sacar raíces de forma rápida y correcta. En 30 días, aprenderá a usar trucos fáciles para simplificar las operaciones aritméticas. Cada lección contiene nuevas técnicas, ejemplos claros y tareas útiles.

Exponenciación en línea

Con la ayuda de nuestra calculadora, puedes calcular la exponenciación de un número a una potencia:

Exponenciación Grado 7

Elevar a un poder comienza a pasar a los escolares solo en el séptimo grado.

La exponenciación es una operación muy relacionada con la multiplicación, esta operación es el resultado de la multiplicación múltiple de un número por sí mismo. Representemos la fórmula: a1 * a2 * … * an=an .

Por ejemplo, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Ejemplos de solución:

presentación de exponenciación

Presentación sobre exponenciación, diseñada para estudiantes de séptimo grado. La presentación puede aclarar algunos puntos incomprensibles, pero probablemente no habrá tales puntos gracias a nuestro artículo.

Salir

Hemos considerado solo la punta del iceberg, para comprender mejor las matemáticas: inscríbase en nuestro curso: Acelere el conteo mental, NO la aritmética mental.

¡Con el curso, no solo aprenderá docenas de trucos para multiplicaciones, sumas, multiplicaciones, divisiones y cálculos de porcentajes simplificados y rápidos, sino que también los resolverá en tareas especiales y juegos educativos! El conteo mental también requiere mucha atención y concentración, que se entrenan activamente para resolver problemas interesantes.

Como sabes, en matemáticas no solo hay números positivos, sino también negativos. Si el conocimiento de los grados positivos comienza con la determinación del área de un cuadrado, entonces con los negativos todo es algo más complicado.

Esto debe saberse:

1. Elevar un número a una potencia natural es la multiplicación de un número (el concepto de número y el de figura en el artículo se considerarán equivalentes) por sí mismo en una cantidad tal como el exponente (en lo que sigue usaremos la palabra indicador en paralela y sencilla). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. En general, se ve así: m^n = m*m*m*…*m (n veces).
2. Hay que tener en cuenta que cuando un número negativo se eleva a una potencia natural, pasará a ser positivo si el exponente es par.
3. Elevar un número a un exponente de 0 da una unidad, siempre que no sea igual a cero. Cero elevado a cero se considera indefinido. 17^0 = 1.
4. Extraer una raíz de cierto grado de un número se llama encontrar un número que, cuando se eleva a un indicador apropiado, dará el valor deseado. Entonces la raíz cúbica de 125 es 5 porque 5^3 = 125.
5. Si desea elevar un número a una potencia fraccionaria positiva, debe elevar el número al denominador y extraer la raíz del numerador. 6^5/7 = séptima raíz de 6*6*6*6*6.
6. Si quieres elevar un número a un exponente negativo, entonces necesitas encontrar el recíproco de este. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Elevar un número a un módulo de potencia negativo de cero a uno

Primero, debemos recordar que es un modulo. Es la distancia en la línea de coordenadas desde el valor que hemos elegido hasta el origen (cero de la línea de coordenadas). Por definición, nunca puede ser negativo.

Valor mayor que cero

Con un valor de un dígito en el rango de cero a uno, un indicador negativo da un aumento en el dígito mismo. Esto sucede porque el denominador disminuye, sin dejar de ser positivo.

Veamos ejemplos:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Además, cuanto mayor es el módulo del indicador, más activamente crece la cifra. Como el denominador tiende a cero, la fracción misma tiende a más infinito.

Valor menor que cero

Ahora veamos cómo elevar a una potencia negativa si el número es menor que cero. El principio es el mismo que en la parte anterior, pero aquí importa el signo del exponente.

Veamos los ejemplos de nuevo:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

En este caso, vemos que módulo sigue creciendo, pero el signo depende de si el exponente es par o impar.

Cabe señalar que si construimos una unidad, siempre seguirá siendo ella misma. Si necesita elevar un número menos uno, entonces con un exponente par se convertirá en uno, con uno impar permanecerá menos uno.

Elevando a una potencia entera negativa si el módulo es mayor que uno

Para dígitos cuyo módulo es mayor que uno, tienen sus propias características de acción. En primer lugar, debe convertir la parte entera de la fracción al numerador, es decir, convertirla en una fracción impropia. Si tenemos una fracción decimal, entonces hay que convertirla a una regular. Esto se hace de la siguiente manera:

• 6 enteros 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Ahora considera cómo elevar un número a una potencia negativa bajo estas condiciones. Ya de lo anterior, podemos suponer lo que debemos esperar del resultado de los cálculos. Dado que la fracción doble se invierte durante las simplificaciones, el módulo del dígito disminuirá más rápido cuanto mayor sea el módulo del indicador.

En primer lugar, considere la situación en la que el numero dado es positivo.

En primer lugar, queda claro que el resultado final será mayor que cero, porque dividir dos positivos siempre da uno positivo. Una vez más, veamos ejemplos de cómo se hace esto:

• 6 entero 1/20 a la menos quinta potencia = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Como puede ver, las acciones no causan ninguna dificultad particular, y todas nuestras suposiciones iniciales resultaron ser ciertas.

Ahora pasamos al caso de un dígito negativo.

Para empezar, podemos suponer que si el indicador es par, el resultado será positivo, si el indicador es impar, el resultado será negativo. Todos nuestros cálculos anteriores en esta parte se considerarán válidos ahora. Echemos un vistazo a los ejemplos de nuevo:

• -3 entero 1/2 a la menos sexta potencia = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Por lo tanto, todo nuestro razonamiento resultó ser correcto.

Elevando en el caso de un exponente fraccionario negativo

Aquí debes recordar que tal erección existe. extraer la raíz del grado del denominador del número en el grado del numerador. Todo nuestro razonamiento anterior sigue siendo cierto esta vez también. Expliquemos nuestras acciones con un ejemplo:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

En este caso, debe tener en cuenta que la extracción de raíces de alto nivel solo es posible en una forma especialmente seleccionada y, muy probablemente, no podrá deshacerse del signo del radical (raíz cuadrada, raíz cúbica, y así sucesivamente) con cálculos precisos.

Sin embargo, habiendo estudiado los capítulos anteriores en detalle, no se deben esperar dificultades en los cálculos escolares.

Cabe señalar que la descripción de este capítulo también incluye erección con un exponente deliberadamente irracional, por ejemplo, si el indicador es menos PI. Debe actuar de acuerdo con los principios descritos anteriormente. Sin embargo, los cálculos en tales casos se vuelven tan complejos que solo las computadoras electrónicas poderosas pueden hacerlo.

Conclusión

La acción que estudiamos es uno de los problemas más difíciles en matemáticas(especialmente en el caso de un valor fraccionariamente racional o irracional). Sin embargo, habiendo estudiado esta instrucción en detalle y paso a paso, puede aprender cómo hacerlo de forma totalmente automática sin ningún problema.

Primer nivel

Grado y sus propiedades. Guía completa (2019)

¿Por qué se necesitan títulos? ¿Dónde los necesitas? ¿Por qué necesitas dedicar tiempo a estudiarlos?

Para aprender todo sobre los títulos, para qué sirven, cómo usar tus conocimientos en la vida cotidiana, lee este artículo.

Y, por supuesto, conocer los títulos te acercará a aprobar con éxito el OGE o el Examen Unificado del Estado e ingresar a la universidad de tus sueños.

¡Vamos vamos!)

¡Nota IMPORTANTE! Si en lugar de fórmulas ve galimatías, borre su caché. Para hacer esto, presione CTRL+F5 (en Windows) o Cmd+R (en Mac).

PRIMER NIVEL

La exponenciación es la misma operación matemática que la suma, la resta, la multiplicación o la división.

Ahora explicaré todo en lenguaje humano usando ejemplos muy simples. Ten cuidado. Los ejemplos son elementales, pero explican cosas importantes.

Comencemos con la suma.

No hay nada que explicar aquí. Ya lo sabes todo: somos ocho. Cada uno tiene dos botellas de refresco de cola. ¿Cuánta cola? Así es - 16 botellas.

Ahora la multiplicación.

El mismo ejemplo con cola se puede escribir de otra forma: . Los matemáticos son gente astuta y perezosa. Primero notan algunos patrones y luego encuentran una manera de "contarlos" más rápido. En nuestro caso, notaron que cada una de las ocho personas tenía la misma cantidad de botellas de refresco de cola y desarrollaron una técnica llamada multiplicación. De acuerdo, se considera más fácil y más rápido que.

Entonces, para contar más rápido, más fácil y sin errores, solo necesita recordar tabla de multiplicación. ¡Por supuesto, puedes hacer todo más lento, más difícil y con errores! Pero…

Aquí está la tabla de multiplicar. Repetir.

Y otra más bonita:

¿Y qué otros trucos complicados de contar se les ocurrieron a los matemáticos perezosos? Correctamente - elevar un número a una potencia.

Elevar un número a una potencia

Si necesitas multiplicar un número por sí mismo cinco veces, los matemáticos dicen que debes elevar este número a la quinta potencia. Por ejemplo, . Los matemáticos recuerdan que es dos a la quinta potencia. Y resuelven esos problemas en su mente: más rápido, más fácil y sin errores.

Para hacer esto, solo necesitas recuerda lo que está resaltado en color en la tabla de potencias de números. Créeme, te hará la vida mucho más fácil.

Por cierto, ¿por qué se llama segundo grado? cuadrado números y el tercero cubo? ¿Qué significa? Una muy buena pregunta. Ahora tendrás cuadrados y cubos.

Ejemplo de la vida real #1

Comencemos con un cuadrado o la segunda potencia de un número.

Imagina una piscina cuadrada de metros a metros. La piscina está en su patio trasero. Hace calor y tengo muchas ganas de nadar. Pero... ¡una piscina sin fondo! Es necesario cubrir el fondo de la piscina con azulejos. ¿Cuántas baldosas necesitas? Para determinar esto, debe conocer el área del fondo de la piscina.

Simplemente puede contar pinchando con el dedo que el fondo de la piscina se compone de cubos metro a metro. Si tus baldosas son metro a metro, necesitarás piezas. Es fácil... Pero, ¿dónde viste tal mosaico? El mosaico será más bien cm por cm, y luego te atormentará "contar con el dedo". Entonces tienes que multiplicar. Así, en un lado del fondo de la piscina, colocaremos baldosas (piezas) y en el otro, también, baldosas. Multiplicando por, obtienes fichas ().

¿Notaste que multiplicamos el mismo número por sí mismo para determinar el área del fondo de la piscina? ¿Qué significa? Como se multiplica el mismo número, podemos usar la técnica de exponenciación. (Por supuesto, cuando solo tiene dos números, aún necesita multiplicarlos o elevarlos a una potencia. Pero si tiene muchos, entonces elevarlos a una potencia es mucho más fácil y también hay menos errores en los cálculos Para el examen, esto es muy importante).
Entonces, treinta elevado al segundo grado será (). O puedes decir que será treinta al cuadrado. En otras palabras, la segunda potencia de un número siempre se puede representar como un cuadrado. Y viceversa, si ves un cuadrado, SIEMPRE es la segunda potencia de algún número. Un cuadrado es una imagen de la segunda potencia de un número.

ejemplo de la vida real #2

Aquí te dejo una tarea, cuenta cuantos cuadrados hay en el tablero usando el cuadrado del número... De un lado de las celdas y del otro también. Para contar su número, necesitas multiplicar ocho por ocho, o... si notas que un tablero de ajedrez es un cuadrado con un lado, entonces puedes elevar ocho al cuadrado. Obtener celdas. () ¿Asi que?

Ejemplo de la vida real #3

Ahora el cubo o la tercera potencia de un número. La misma piscina. Pero ahora necesita averiguar cuánta agua deberá verterse en esta piscina. Necesitas calcular el volumen. (Los volúmenes y los líquidos, por cierto, se miden en metros cúbicos. Inesperado, ¿no?) Dibuja una piscina: un fondo de un metro de tamaño y un metro de profundidad e intenta calcular cuántos cubos de un metro por un metro entrarán en tu piscina.

¡Solo apunta con el dedo y cuenta! Uno, dos, tres, cuatro… veintidós, veintitrés… ¿Cuánto salió? ¿No te perdiste? ¿Es difícil contar con el dedo? ¡De modo que! Tomemos un ejemplo de los matemáticos. Son perezosos, por lo que notaron que para calcular el volumen de la piscina, debes multiplicar su largo, ancho y alto entre sí. En nuestro caso, el volumen de la piscina será igual a cubos... Más fácil, ¿no?

Ahora imagina lo perezosos y astutos que son los matemáticos si lo hacen demasiado fácil. Reducido todo a una sola acción. Se dieron cuenta de que el largo, el ancho y el alto son iguales y que el mismo número se multiplica por sí mismo... ¿Y esto qué significa? Esto significa que puedes usar el título. Entonces, lo que una vez contaste con un dedo, lo hacen en una sola acción: tres en un cubo es igual. Está escrito así:

solo queda memorizar la tabla de grados. A menos, por supuesto, que seas tan perezoso y astuto como los matemáticos. Si te gusta trabajar duro y cometer errores, puedes seguir contando con el dedo.

Bueno, para finalmente convencerte de que los títulos fueron inventados por holgazanes y personas astutas para resolver sus problemas de vida, y no para crearte problemas, aquí hay un par de ejemplos más de la vida.

Ejemplo de la vida real #4

Tienes un millón de rublos. Al comienzo de cada año, ganas otro millón por cada millón. Es decir, cada uno de tus millones al principio de cada año se duplica. ¿Cuánto dinero tendrás en años? Si ahora está sentado y "contando con el dedo", entonces es una persona muy trabajadora y ... estúpida. Pero lo más probable es que des una respuesta en un par de segundos, ¡porque eres inteligente! Entonces, en el primer año - dos veces dos... en el segundo año - lo que pasó, por dos más, en el tercer año... ¡Alto! Notaste que el número se multiplica por sí mismo una vez. ¡Así que dos elevado a la quinta potencia es un millón! Ahora imagina que tienes una competencia y el que calcule más rápido se llevará estos millones... ¿Vale la pena recordar los grados de los números, que opinas?

Ejemplo de la vida real #5

Tienes un millón. Al principio de cada año, ganas dos más por cada millón. es genial verdad? Cada millón se triplica. ¿Cuánto dinero tendrás en un año? Contemos. El primer año: multiplicar por, luego el resultado por otro ... Ya es aburrido, porque ya entendiste todo: tres se multiplica por sí mismo. Entonces la cuarta potencia es un millón. Solo necesitas recordar que tres a la cuarta potencia es o.

Ahora ya sabes que elevando un número a una potencia, te harás la vida mucho más fácil. Echemos un vistazo más a fondo a lo que puede hacer con los títulos y lo que necesita saber sobre ellos.

Términos y conceptos... para no confundirse

Entonces, primero, definamos los conceptos. Qué opinas, que es exponente? Es muy simple: este es el número que está "en la parte superior" de la potencia del número. No científico, pero claro y fácil de recordar...

Bueno, al mismo tiempo, ¿qué tal base de grado? Aún más simple es el número que está en la parte inferior, en la base.

Aquí te dejo una foto para que te asegures.

Bueno, en términos generales, para poder generalizar y recordar mejor... Un grado con base "" y un indicador "" se lee como "en el grado" y se escribe de la siguiente manera:

Potencia de un número con exponente natural

Probablemente ya lo hayas adivinado: porque el exponente es un número natural. si pero que es número natural? ¡Elemental! Los números naturales son los que se utilizan en el conteo al enumerar elementos: uno, dos, tres... Cuando contamos elementos, no decimos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos siete”. Tampoco decimos "un tercio" o "cero punto cinco décimas". Estos no son números naturales. ¿Qué crees que son estos números?

Números como "menos cinco", "menos seis", "menos siete" se refieren a números enteros En general, los números enteros incluyen todos los números naturales, los números opuestos a los números naturales (es decir, tomados con un signo menos) y un número. El cero es fácil de entender: esto es cuando no hay nada. ¿Y qué significan los números negativos ("menos")? Pero se inventaron principalmente para denotar deudas: si tiene un saldo en rublos en su teléfono, esto significa que le debe rublos al operador.

Todas las fracciones son números racionales. ¿Cómo surgieron, crees? Muy simple. Hace varios miles de años, nuestros antepasados ​​descubrieron que no tenían suficientes números naturales para medir longitud, peso, área, etc. Y se les ocurrió numeros racionales… Interesante, ¿no?

También hay números irracionales. ¿Qué son estos números? En resumen, una fracción decimal infinita. Por ejemplo, si divides la circunferencia de un círculo por su diámetro, obtienes un número irracional.

Resumen:

Definamos el concepto de grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

1. Cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo:
2. Elevar al cuadrado un número es multiplicarlo por sí mismo:
3. Elevar al cubo un número es multiplicarlo tres veces por sí mismo:

Definición. Elevar un número a una potencia natural es multiplicar el número por sí mismo por:
.

Propiedades de grado

¿De dónde vienen estas propiedades? Te mostraré ahora.

vamos a ver que es y ?

Por definición:

¿Cuántos multiplicadores hay en total?

Es muy simple: sumamos factores a los factores, y el resultado es factores.

Pero por definición, este es el grado de un número con exponente, es decir: , que se requería demostrar.

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución:

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución: Es importante notar que en nuestra regla necesariamente debe ser la misma razon!
Por lo tanto, combinamos los grados con la base, pero seguimos siendo un factor separado:

solo para productos de poderes!

Bajo ninguna circunstancia debes escribir eso.

2. eso es -ésima potencia de un número

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición del grado:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

De hecho, esto se puede llamar "poner entre paréntesis el indicador". Pero nunca puedes hacer esto en total:

Recordemos las fórmulas de la multiplicación abreviada: ¿cuántas veces queríamos escribir?

Pero eso no es cierto, de verdad.

Grado con base negativa

Hasta este punto, solo hemos discutido cuál debería ser el exponente.

Pero, ¿cuál debería ser la base?

en grados de indicador natural la base puede ser cualquier número. De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares.

Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número será positivo o negativo? ¿PERO? ? Con el primero, todo está claro: no importa cuántos números positivos multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero los negativos son un poco más interesantes. Después de todo, recordamos una regla simple de sexto grado: "un menos por un menos da un más". Es decir, o. Pero si multiplicamos por, resulta.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

¿Lograste?

Aquí están las respuestas: En los primeros cuatro ejemplos, ¿espero que todo esté claro? Simplemente miramos la base y el exponente, y aplicamos la regla apropiada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: no importa a qué sea igual la base, el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo.

Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es la misma verdad? Obviamente no, ya que (porque).

Ejemplo 6) ya no es tan simple!

6 ejemplos de práctica

Análisis de la solución 6 ejemplos

Si no prestamos atención al octavo grado, ¿qué vemos aquí? Echemos un vistazo al programa de 7º grado. ¿Así que recuerda? ¡Esta es la fórmula de multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:

Observamos cuidadosamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? Orden incorrecto de los términos. Si se intercambiaran, la regla podría aplicarse.

Pero, ¿cómo hacer eso? Resulta que es muy fácil: aquí nos ayuda el grado par del denominador.

Los términos han cambiado de lugar mágicamente. Este "fenómeno" se aplica a cualquier expresión en un grado uniforme: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis.

Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!

Volvamos al ejemplo:

Y de nuevo la fórmula:

entero nombramos los números naturales, sus opuestos (es decir, tomados con el signo "") y el número.

entero positivo, y no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.

Ahora veamos nuevos casos. Comencemos con un indicador igual a.

Cualquier número elevado a cero es igual a uno:

Como siempre, nos preguntamos: ¿por qué es así?

Considere algún poder con una base. Toma, por ejemplo, y multiplica por:

Entonces, multiplicamos el número por, y obtuvimos lo mismo que era -. ¿Por qué número hay que multiplicar para que nada cambie? Así es, encendido. Medio.

Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:

Repitamos la regla:

Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno.

Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).

Por un lado, debe ser igual a cualquier grado: no importa cuánto multipliques cero por sí mismo, aún obtienes cero, esto está claro. Pero por otro lado, como todo número hasta el grado cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuál es la verdad de esto? Los matemáticos decidieron no involucrarse y se negaron a elevar el cero a la potencia cero. Es decir, ahora no solo podemos dividir por cero, sino también elevarlo a la potencia cero.

Vayamos más lejos. Además de los números naturales y los números, los números enteros incluyen números negativos. Para entender qué es un grado negativo, hagamos lo mismo que la última vez: multiplicamos algún número normal por el mismo en grado negativo:

A partir de aquí ya es fácil expresar lo deseado:

Ahora extendemos la regla resultante a un grado arbitrario:

Entonces, vamos a formular la regla:

Un número elevado a una potencia negativa es el inverso del mismo número elevado a una potencia positiva. Pero al mismo tiempo la base no puede ser nula:(porque es imposible dividir).

Resumamos:

I. Expresión no definida en caso. Si, entonces.

II. Cualquier número elevado a la cero es igual a uno: .

tercero Un número que no es igual a cero a una potencia negativa es el inverso del mismo número a una potencia positiva: .

Tareas para solución independiente:

Bueno, como siempre, ejemplos para una solución independiente:

Análisis de tareas para solución independiente:

Lo sé, lo sé, los números dan miedo, ¡pero en el examen tienes que estar preparado para todo! ¡Resuelve estos ejemplos o analiza su solución si no pudiste resolverlo y aprenderás a manejarlos fácilmente en el examen!

Sigamos ampliando el rango de números "adecuados" como exponente.

Ahora considere numeros racionales.¿Qué números se llaman racionales?

Respuesta: todo lo que se puede representar como una fracción, donde y son números enteros, además.

Para entender lo que es "grado fraccionario" Consideremos una fracción:

Elevemos ambos lados de la ecuación a una potencia:

Ahora recuerda la regla "grado a grado":

¿Qué número hay que elevar a una potencia para obtener?

Esta formulación es la definición de la raíz del grado th.

Déjame recordarte: la raíz de la potencia th de un número () es un número que, elevado a una potencia, es igual.

Es decir, la raíz del grado ésimo es la operación inversa de la exponenciación: .

Resulta que. Obviamente, este caso especial se puede ampliar: .

Ahora suma el numerador: ¿qué es? La respuesta es fácil de obtener con la regla de poder a poder:

Pero, ¿la base puede ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.

¡Ninguna!

Recuerda la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡es imposible extraer raíces de un grado par de números negativos!

Y esto quiere decir que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.

¿Qué pasa con la expresión?

Pero aquí surge un problema.

El número se puede representar como otras fracciones reducidas, por ejemplo, o.

Y resulta que existe, pero no existe, y estos son solo dos registros diferentes del mismo número.

U otro ejemplo: una vez, luego puedes escribirlo. Pero tan pronto como escribimos el indicador de una manera diferente, nuevamente tenemos problemas: (¡es decir, obtuvimos un resultado completamente diferente!).

Para evitar tales paradojas, considere solo exponente base positivo con exponente fraccionario.

Así que si:

• - número natural;
• es un número entero;

Ejemplos:

Las potencias con exponente racional son muy útiles para transformar expresiones con raíces, por ejemplo:

5 ejemplos de práctica

Análisis de 5 ejemplos para entrenar

Bueno, ahora - lo más difícil. ahora vamos a analizar grado con un exponente irracional.

Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para los grados con un exponente racional, con la excepción de

De hecho, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, los números irracionales son todos los números reales excepto los racionales).

Al estudiar grados con un indicador natural, entero y racional, cada vez inventamos una determinada "imagen", "analogía" o descripción en términos más familiares.

Por ejemplo, un título con indicador natural es un número multiplicado varias veces por sí mismo;

...poder cero- esto es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un cierto "número en blanco" , a saber, el número;

...exponente entero negativo- es como si hubiera tenido lugar un cierto "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.

Por cierto, la ciencia suele usar un grado con un exponente complejo, es decir, un exponente ni siquiera es un número real.

Pero en la escuela no pensamos en esas dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

¡DONDE ESTAMOS SEGUROS QUE IRÁS! (si aprendes a resolver tales ejemplos :))

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Análisis de soluciones:

1. Comencemos con la regla ya habitual para subir un grado a un grado:

Ahora mira la puntuación. ¿Te recuerda algo? Recordamos la fórmula para la multiplicación abreviada de la diferencia de cuadrados:

En este caso,

Resulta que:

Responder: .

2. Traemos fracciones en exponentes a la misma forma: tanto decimales como ordinarias. Obtenemos, por ejemplo:

Respuesta: 16

3. Nada especial, aplicamos las propiedades habituales de los grados:

NIVEL AVANZADO

Definición de grado

El grado es una expresión de la forma: , donde:

• — base de grado;
• - exponente.

Grado con exponente natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar un número a la potencia natural n significa multiplicar el número por sí mismo por:

Potencia con exponente entero (0, ±1, ±2,...)

Si el exponente es entero positivo número:

erección a potencia cero:

La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier grado es esto, y por otro lado, cualquier número en el grado th es este.

Si el exponente es entero negativo número:

(porque es imposible dividir).

Una vez más sobre nulos: la expresión no está definida en el caso. Si, entonces.

Ejemplos:

Grado con exponente racional

• - número natural;
• es un número entero;

Ejemplos:

Propiedades de grado

Para facilitar la resolución de problemas, intentemos comprender: ¿de dónde provienen estas propiedades? Vamos a probarlos.

Veamos: ¿qué es y?

Por definición:

Entonces, del lado derecho de esta expresión, se obtiene el siguiente producto:

Pero por definición, esta es una potencia de un número con un exponente, es decir:

QED

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : .

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : Es importante notar que en nuestra regla necesariamente debe tener la misma base. Por lo tanto, combinamos los grados con la base, pero seguimos siendo un factor separado:

Otra nota importante: esta regla - solo para productos de potencias!

Bajo ninguna circunstancia debo escribir eso.

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición del grado:

Vamos a reorganizarlo así:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, según la definición, esta es la -ésima potencia del número:

De hecho, esto se puede llamar "poner entre paréntesis el indicador". Pero nunca puedes hacer esto en total:!

Recordemos las fórmulas de la multiplicación abreviada: ¿cuántas veces queríamos escribir? Pero eso no es cierto, de verdad.

Potencia con base negativa.

Hasta este punto, hemos discutido sólo lo que debería ser índice la licenciatura. Pero, ¿cuál debería ser la base? en grados de natural indicador la base puede ser cualquier número .

De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares. Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número será positivo o negativo? ¿PERO? ?

Con el primero, todo está claro: no importa cuántos números positivos multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero los negativos son un poco más interesantes. Después de todo, recordamos una regla simple de sexto grado: "un menos por un menos da un más". Es decir, o. Pero si multiplicamos por (), obtenemos -.

Y así hasta el infinito: con cada multiplicación subsiguiente, el signo cambiará. Puedes formular estas reglas simples:

1. incluso grado, - número positivo.
2. número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
3. Un número positivo elevado a cualquier potencia es un número positivo.
4. Cero elevado a cualquier potencia es igual a cero.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

¿Lograste? Aquí están las respuestas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo esté claro. Simplemente miramos la base y el exponente, y aplicamos la regla apropiada.

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: no importa a qué sea igual la base, el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es la misma verdad? Obviamente no, ya que (porque).

El ejemplo 6) ya no es tan simple. Aquí tienes que averiguar cuál es menor: ¿o? Si recuerdas eso, queda claro que, lo que significa que la base es menor que cero. Es decir, aplicamos la regla 2: el resultado será negativo.

Y nuevamente usamos la definición de grado:

Todo es como de costumbre: escribimos la definición de grados y los dividimos entre sí, los dividimos en pares y obtenemos:

Antes de analizar la última regla, resolvamos algunos ejemplos.

Calcular los valores de las expresiones:

Soluciones :

Si no prestamos atención al octavo grado, ¿qué vemos aquí? Echemos un vistazo al programa de 7º grado. ¿Así que recuerda? ¡Esta es la fórmula de multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados!

Obtenemos:

Observamos cuidadosamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? Orden incorrecto de los términos. Si se invirtieran, se podría aplicar la regla 3. Pero, ¿cómo hacer esto? Resulta que es muy fácil: aquí nos ayuda el grado par del denominador.

Si lo multiplicas por, nada cambia, ¿verdad? Pero ahora se ve así:

Los términos han cambiado de lugar mágicamente. Este "fenómeno" se aplica a cualquier expresión en un grado uniforme: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todos los signos cambian al mismo tiempo!¡No se puede reemplazar cambiando solo un inconveniente objetable para nosotros!

Volvamos al ejemplo:

Y de nuevo la fórmula:

Así que ahora la última regla:

¿Cómo lo vamos a demostrar? Por supuesto, como siempre: ampliemos el concepto de grado y simplifiquemos:

Bueno, ahora abramos los paréntesis. ¿Cuántas letras habrá? veces por multiplicadores - ¿cómo se ve? Esto no es más que la definición de una operación. multiplicación: total resultaron ser multiplicadores. Es decir, es, por definición, una potencia de un número con exponente:

Ejemplo:

Grado con exponente irracional

Además de la información sobre los grados para el nivel medio, analizaremos el grado con un indicador irracional. Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción de que, después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, , los números irracionales son todos los números reales excepto los racionales).

Al estudiar grados con un indicador natural, entero y racional, cada vez inventamos una determinada "imagen", "analogía" o descripción en términos más familiares. Por ejemplo, un título con indicador natural es un número multiplicado varias veces por sí mismo; un número hasta el grado cero es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un cierta “preparación de un número”, a saber, un número; un grado con un indicador entero negativo: es como si hubiera ocurrido un cierto "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.

Es extremadamente difícil imaginar un grado con un exponente irracional (al igual que es difícil imaginar un espacio de 4 dimensiones). Más bien, es un objeto puramente matemático que los matemáticos han creado para extender el concepto de grado a todo el espacio de los números.

Por cierto, la ciencia suele usar un grado con un exponente complejo, es decir, un exponente ni siquiera es un número real. Pero en la escuela no pensamos en esas dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

Entonces, ¿qué hacemos si vemos un exponente irracional? ¡Estamos haciendo todo lo posible para deshacernos de él! :)

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

1)

2)

3)

Respuestas:

1. Recuerda la fórmula de la diferencia de cuadrados. Responder: .
2. Traemos fracciones a la misma forma: o ambos decimales, o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo: .
3. Nada especial, aplicamos las propiedades habituales de los grados:

SECCIÓN RESUMEN Y FÓRMULA BÁSICA

La licenciatura se llama una expresión de la forma: , donde:

Grado con exponente entero

grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

Grado con exponente racional

grado, cuyo indicador es números negativos y fraccionarios.

Grado con exponente irracional

exponente cuyo exponente es una fracción decimal infinita o raíz.

Propiedades de grado

Características de los grados.

• número negativo elevado a incluso grado, - número positivo.
• número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
• Un número positivo elevado a cualquier potencia es un número positivo.
• Cero es igual a cualquier potencia.
• Cualquier número elevado a la potencia cero es igual.

AHORA TIENES UNA PALABRA...

¿Qué te parece el artículo? Déjame saber en los comentarios a continuación si te gustó o no.

Cuéntanos tu experiencia con las propiedades del poder.

Tal vez tenga preguntas. O sugerencias.

Escribe en los comentarios.

¡Y suerte con tus exámenes!