Grado negativo cómo resolver. Tareas para solución independiente

De la escuela, todos conocemos la regla de elevar a una potencia: cualquier número con un exponente N es igual al resultado de multiplicar ese número por sí mismo N veces. En otras palabras, 7 elevado a 3 es 7 multiplicado por sí mismo tres veces, es decir, 343. Otra regla: elevar cualquier valor a la potencia de 0 da uno, y elevar un valor negativo es el resultado de la exponenciación ordinaria, si es par, y el mismo resultado con un signo menos si es impar.

Las reglas también dan una respuesta sobre cómo elevar un número a una potencia negativa. Para hacer esto, debe aumentar el valor requerido por el módulo del indicador de la manera habitual y luego dividir la unidad por el resultado.

De estas reglas, queda claro que la implementación de tareas reales con grandes cantidades requerirá la disponibilidad de medios técnicos. Manualmente, será posible multiplicar por sí mismo un rango máximo de números hasta veinte o treinta, y luego no más de tres o cuatro veces. Esto sin mencionar el hecho de que luego también se divide la unidad por el resultado. Por eso, para aquellos que no tengan a mano una calculadora de ingeniería especial, les diremos cómo elevar un número a una potencia negativa en Excel.

Resolver problemas en Excel

Para resolver problemas con exponenciación, Excel le permite utilizar una de dos opciones.

El primero es el uso de la fórmula con el símbolo de gorra estándar. Ingrese los siguientes datos en las celdas de la hoja de trabajo:

De la misma manera, puede elevar el valor deseado a cualquier potencia: negativa, fraccionaria. Hagamos lo siguiente y respondamos la pregunta de cómo elevar un número a una potencia negativa. Ejemplo:

Es posible corregir directamente en la fórmula =B2^-C2.

La segunda opción es usar la función "Grado" ya preparada, que toma dos argumentos obligatorios: un número y un indicador. Para comenzar a usarlo, basta con poner un signo igual (=) en cualquier celda libre, que indica el comienzo de la fórmula, e ingresar las palabras anteriores. Queda por seleccionar dos celdas que participarán en la operación (o especificar números específicos manualmente) y presionar la tecla Intro. Veamos algunos ejemplos simples.

Como puedes ver, no hay nada complicado en cómo elevar un número a una potencia negativa y a una normal usando Excel. Después de todo, para resolver este problema, puede usar tanto el símbolo familiar de "tapa" como la función integrada del programa fácil de recordar. ¡Esta es una ventaja definitiva!

Pasemos a ejemplos más complejos. Recordemos la regla sobre cómo elevar un número a una potencia negativa de un carácter fraccionario, y veremos que esta tarea se resuelve de manera muy sencilla en Excel.

Indicadores fraccionarios

En resumen, el algoritmo para calcular un número con un exponente fraccionario es el siguiente.

1. Convierte un exponente fraccionario en una fracción propia o impropia.
2. Eleve nuestro número al numerador de la fracción convertida resultante.
3. A partir del número obtenido en el párrafo anterior, calcular la raíz, con la condición de que el indicador de raíz sea el denominador de la fracción obtenida en la primera etapa.

De acuerdo en que incluso cuando se opera con números pequeños y fracciones propias, tales cálculos pueden llevar mucho tiempo. Es bueno que al procesador de hojas de cálculo Excel no le importe qué número y hasta qué grado subir. Intente resolver el siguiente ejemplo en una hoja de cálculo de Excel:

Usando las reglas anteriores, puede verificar y asegurarse de que el cálculo sea correcto.

Al final de nuestro artículo daremos en forma de tabla con fórmulas y resultados varios ejemplos de cómo elevar un número a una potencia negativa, así como varios ejemplos con números fraccionarios y potencias.

Tabla de ejemplo

Consulte la hoja de cálculo de Excel para ver los siguientes ejemplos. Para que todo funcione correctamente, debe usar una referencia mixta al copiar la fórmula. Fije el número de la columna que contiene el número que se eleva y el número de la fila que contiene el indicador. Tu fórmula debería verse así: "=$B4^C$3".

Tenga en cuenta que los números positivos (incluso los que no son enteros) se calculan sin problemas para cualquier exponente. No hay problemas con elevar cualquier número a enteros. Pero elevar un número negativo a una potencia fraccionaria te resultará un error, ya que es imposible seguir la regla indicada al principio de nuestro artículo sobre elevar números negativos, porque la paridad es una característica de un número exclusivamente ENTERO.

En la continuación de la conversación sobre el grado de un número, es lógico tratar de encontrar el valor del grado. Este proceso ha sido denominado exponenciación. En este artículo, solo estudiaremos cómo se realiza la exponenciación, mientras tocamos todos los exponentes posibles: natural, entero, racional e irracional. Y por tradición, consideraremos en detalle las soluciones a ejemplos de aumento de números en varios grados.

Navegación de página.

¿Qué significa "exponenciación"?

Comencemos explicando lo que se llama exponenciación. Aquí está la definición relevante.

Definición.

exponenciación es encontrar el valor de la potencia de un número.

Por lo tanto, encontrar el valor de la potencia de a con el exponente r y elevar el número a a la potencia de r es lo mismo. Por ejemplo, si la tarea es “calcular el valor de la potencia (0,5) 5”, entonces se puede reformular de la siguiente manera: “Elevar el número 0,5 a la potencia de 5”.

Ahora puede ir directamente a las reglas por las cuales se realiza la exponenciación.

Elevar un número a una potencia natural

En la práctica, la igualdad basada en se suele aplicar en la forma . Es decir, al elevar el número a a una potencia fraccionaria m/n, primero se extrae la raíz de grado n del número a, luego de lo cual el resultado se eleva a una potencia entera m.

Considere soluciones a ejemplos de elevar a una potencia fraccionaria.

Ejemplo.

Calcular el valor del grado.

Solución.

Mostramos dos soluciones.

Primera forma. Por definición de grado con exponente fraccionario. Calculamos el valor del grado bajo el signo de la raíz, después de lo cual extraemos la raíz cúbica: .

La segunda forma. Por definición de grado con exponente fraccionario y en base a las propiedades de las raíces, las igualdades son verdaderas . Ahora extrae la raíz. Finalmente elevamos a una potencia entera .

Evidentemente, los resultados obtenidos de elevar a una potencia fraccionaria coinciden.

Responder:

Tenga en cuenta que un exponente fraccionario se puede escribir como una fracción decimal o un número mixto, en estos casos se debe reemplazar por la fracción ordinaria correspondiente, y luego se debe realizar la exponenciación.

Ejemplo.

Calcula (44.89) 2.5 .

Solución.

Escribimos el exponente en forma de fracción ordinaria (si es necesario, vea el artículo): . Ahora realizamos elevando a una potencia fraccionaria:

Responder:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

También hay que decir que elevar números a potencias racionales es un proceso bastante laborioso (sobre todo cuando el numerador y el denominador del exponente fraccionario son números bastante grandes), que suele llevarse a cabo utilizando tecnología informática.

Como conclusión de este párrafo, nos detendremos en la construcción del número cero a una potencia fraccionaria. Le dimos el siguiente significado al grado fraccionario de cero de la forma: porque tenemos , mientras que el cero elevado a la potencia m/n no está definido. Entonces, cero a una potencia fraccionaria positiva es cero, por ejemplo, . Y cero en una potencia fraccionaria negativa no tiene sentido, por ejemplo, las expresiones y 0 -4.3 no tienen sentido.

Elevando a un poder irracional

A veces se hace necesario averiguar el valor del grado de un número con un exponente irracional. En este caso, a efectos prácticos, suele ser suficiente obtener el valor del título hasta cierto signo. Notamos de inmediato que en la práctica este valor se calcula utilizando tecnología de computación electrónica, ya que la elevación manual a una potencia irracional requiere una gran cantidad de cálculos engorrosos. Pero sin embargo describiremos en términos generales la esencia de las acciones.

Para obtener un valor aproximado de la potencia de a con un exponente irracional, se toma alguna aproximación decimal del exponente y se calcula el valor del exponente. Este valor es el valor aproximado del grado del número a con exponente irracional. Cuanto más precisa sea la aproximación decimal del número inicialmente, más preciso será el valor en grados al final.

Como ejemplo, calculemos el valor aproximado de la potencia de 2 1.174367... . Tomemos la siguiente aproximación decimal de un indicador irracional: . Ahora elevamos 2 a una potencia racional de 1,17 (describimos la esencia de este proceso en el párrafo anterior), obtenemos 2 1,17 ≈ 2,250116. De este modo, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si tomamos una aproximación decimal más precisa de un exponente irracional, por ejemplo, obtenemos un valor más preciso del grado original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografía.

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• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los comienzos del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de instituciones educativas generales.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas).

En uno de los artículos anteriores, ya mencionamos el grado de un número. Hoy intentaremos navegar en el proceso de encontrar su significado. Científicamente hablando, descubriremos cómo exponenciar correctamente. Comprenderemos cómo se lleva a cabo este proceso, al mismo tiempo que toca todos los exponentes posibles: natural, irracional, racional, total.

Entonces, echemos un vistazo más de cerca a las soluciones de los ejemplos y descubramos qué significa:

1. Definición del concepto.
2. Elevación al arte negativo.
3. Partitura completa.
4. Elevar un número a una potencia irracional.

Aquí hay una definición que refleja con precisión el significado: "Elevar a una potencia es la definición del valor del grado de un número".

En consecuencia, la construcción del número a en el art. r y el proceso de hallar el valor del grado a con el exponente r son conceptos idénticos. Por ejemplo, si la tarea es calcular el valor del grado (0.6) 6 ″, entonces se puede simplificar a la expresión "Elevar el número 0.6 a la potencia de 6".

Después de eso, puede pasar directamente a las reglas de construcción.

Elevando a una potencia negativa

Para mayor claridad, debe prestar atención a la siguiente cadena de expresiones:

110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 en menos 1 st.,

1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10 en menos 2 pasos.,

11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 menos 3 st.,

110000=0.00001=1*10 a menos 4 grados.

Gracias a estos ejemplos, puede ver claramente la capacidad de calcular instantáneamente 10 a cualquier potencia negativa. Para este propósito, es suficiente simplemente cambiar el componente decimal:

• 10 a -1 grado - antes de la unidad 1 cero;
• en -3 - tres ceros antes de uno;
• -9 es 9 ceros y así sucesivamente.

También es fácil de entender según este esquema cuánto serán 10 menos 5 cucharadas. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Cómo elevar un número a una potencia natural

Recordando la definición, tengamos en cuenta que el número natural a del art. n es igual al producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a. Ilustremos: (a * a * ... a) n, donde n es el número de números que se multiplican. En consecuencia, para elevar a a n, es necesario calcular el producto de la siguiente forma: a * a * ... y dividir por n veces.

A partir de aquí se hace evidente que erección en el arte natural. se basa en la capacidad de realizar la multiplicación(este material se trata en la sección sobre multiplicación de números reales). Veamos el problema:

Levante -2 a la 4ta cucharada.

Estamos ante un indicador natural. En consecuencia, el curso de la decisión será el siguiente: (-2) en el art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Ahora solo queda realizar la multiplicación de números enteros: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Obtenemos 16.

Respuesta a la tarea:

(-2) en el art. 4=16.

Ejemplo:

Calcula el valor: tres punto dos séptimos al cuadrado.

Este ejemplo es igual al siguiente producto: tres punto dos séptimo por tres punto dos séptimo. Recordando cómo se realiza la multiplicación de números mixtos, completamos la construcción:

• 3 2 séptimos enteros multiplicados por ellos mismos;
• es igual a 23 séptimos por 23 séptimos;
• es igual a 529 cuarenta y nueve;
• reducimos y obtenemos 10 treinta y nueve cuarenta y nueve.

Responder: 10 39/49

Con respecto al tema de elevar a un indicador irracional, cabe señalar que los cálculos comienzan a realizarse luego de culminado el redondeo preliminar de la base del grado a algún rango, lo que permitiría obtener un valor con una precisión determinada. . Por ejemplo, necesitamos elevar al cuadrado el número P (pi).

Empezamos redondeando P a las centésimas y obtenemos:

P cuadrado \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596. Sin embargo, si reducimos P a diezmilésimas, obtenemos P = 3,14159. Luego, el cuadrado obtiene un número completamente diferente: 9.8695877281.

Cabe señalar aquí que en muchos problemas no es necesario elevar los números irracionales a una potencia. Como regla general, la respuesta se ingresa en forma de, de hecho, un grado, por ejemplo, la raíz de 6 a la potencia de 3, o, si la expresión lo permite, se lleva a cabo su transformación: la raíz de 5 a 7 grados \u003d 125 raíz de 5.

Cómo elevar un número a una potencia entera

Esta manipulación algebraica es apropiada tener en cuenta para los siguientes casos:

• para números enteros;
• para indicador cero;
• para un entero positivo.

Dado que casi todos los números enteros positivos coinciden con la masa de los números naturales, establecerlo en una potencia entera positiva es el mismo proceso que establecerlo en el art. natural. Hemos descrito este proceso en el párrafo anterior.

Ahora hablemos del cálculo del art. nulo. Ya hemos descubierto anteriormente que la potencia cero del número a se puede determinar para cualquier a (real) distinta de cero, mientras que a en st. 0 será igual a 1.

En consecuencia, la construcción de cualquier número real a cero art. dará uno.

Por ejemplo, 10 en st.0=1, (-3.65)0=1 y 0 en st. 0 no se puede determinar.

Para completar la exponenciación a una potencia entera, queda por decidir las opciones para valores enteros negativos. Recordamos que el art. de a con un exponente entero -z se definirá como una fracción. En el denominador de la fracción está el art. con un valor entero positivo, cuyo valor ya hemos aprendido a encontrar. Ahora solo queda considerar un ejemplo de construcción.

Ejemplo:

Calcula el valor del número 2 al cubo con un entero negativo.

Proceso de solución:

De acuerdo con la definición de un grado con un indicador negativo, denotamos: dos en menos 3 cucharadas. es igual a uno a dos a la tercera potencia.

El denominador se calcula simplemente: dos al cubo;

3 = 2*2*2=8.

Responder: dos a menos la tercera cucharada. = un octavo.

El exponente se usa para que sea más fácil escribir la operación de multiplicar un número por sí mismo. Por ejemplo, en lugar de escribir, puede escribir 4 5 (\ estilo de visualización 4 ^ (5))(Se da una explicación de tal transición en la primera sección de este artículo). Las potencias facilitan la escritura de expresiones o ecuaciones largas o complejas; además, las potencias se suman y restan fácilmente, lo que resulta en una simplificación de una expresión o ecuación (por ejemplo, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Nota: si necesitas resolver una ecuación exponencial (en tal ecuación, la incógnita está en el exponente), lee.

Pasos

Resolver problemas simples con potencias

Multiplica la base del exponente por sí mismo un número de veces igual al exponente. Si necesita resolver un problema con exponentes manualmente, reescriba el exponente como una operación de multiplicación, donde la base del exponente se multiplica por sí misma. Por ejemplo, dado el grado 3 4 (\ estilo de visualización 3 ^ (4)). En este caso, la base de grado 3 debe multiplicarse por sí misma 4 veces: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Aquí hay otros ejemplos:

Primero, multiplica los dos primeros números. Por ejemplo, 4 5 (\ estilo de visualización 4 ^ (5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). No se preocupe, el proceso de cálculo no es tan complicado como parece a primera vista. Primero multiplique los dos primeros cuadruplicados y luego reemplácelos con el resultado. Como esto:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multiplica el resultado (16 en nuestro ejemplo) por el siguiente número. Cada resultado posterior aumentará proporcionalmente. En nuestro ejemplo, multiplica 16 por 4. Así:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Sigue multiplicando el resultado de multiplicar los dos primeros números por el siguiente número hasta que obtengas la respuesta final. Para hacer esto, multiplique los primeros dos números y luego multiplique el resultado por el siguiente número en la secuencia. Este método es válido para cualquier grado. En nuestro ejemplo, deberías obtener: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Resuelve los siguientes problemas. Comprueba tu respuesta con una calculadora.

   • 8 2 (\ estilo de visualización 8 ^ (2))
   • 3 4 (\ estilo de visualización 3 ^ (4))
   • 10 7 (\ estilo de visualización 10 ^ (7))

3. En la calculadora, busque la tecla etiquetada como "exp" o " x norte (\ estilo de visualización x ^ (n))", o "^". Con esta tecla elevarás un número a una potencia. Es prácticamente imposible calcular manualmente el grado con un exponente grande (por ejemplo, el grado 9 15 (\ estilo de visualización 9 ^ (15))), pero la calculadora puede hacer frente fácilmente a esta tarea. En Windows 7, la calculadora estándar se puede cambiar al modo de ingeniería; para hacer esto, haga clic en "Ver" -\u003e "Ingeniería". Para cambiar al modo normal, haga clic en "Ver" -\u003e "Normal".

   • Verifique la respuesta recibida usando un motor de búsqueda (Google o Yandex). Usando la tecla "^" en el teclado de la computadora, ingrese la expresión en el motor de búsqueda, que mostrará instantáneamente la respuesta correcta (y posiblemente sugerirá expresiones similares para estudiar).

   Suma, resta, multiplicación de potencias

   1. Puedes sumar y restar potencias solo si tienen la misma base. Si necesita sumar potencias con las mismas bases y exponentes, puede reemplazar la operación de suma con una operación de multiplicación. Por ejemplo, dada la expresión 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Recuerda que el grado 4 5 (\ estilo de visualización 4 ^ (5)) se puede representar como 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); de este modo, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(donde 1 +1 =2). Es decir, cuente el número de grados similares y luego multiplique tal grado y este número. En nuestro ejemplo, eleva 4 a la quinta potencia y luego multiplica el resultado por 2. Recuerda que la operación de suma se puede reemplazar por una operación de multiplicación, por ejemplo, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Aquí hay otros ejemplos:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4x2 − 2x2 = 2x2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Al multiplicar potencias con la misma base, se suman sus exponentes (la base no cambia). Por ejemplo, dada la expresión x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). En este caso, solo necesita agregar los indicadores, dejando la base sin cambios. De este modo, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Aquí hay una explicación visual de esta regla:

      Al elevar una potencia a otra potencia, los exponentes se multiplican. Por ejemplo, dado un título. Como los exponentes se multiplican, entonces (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). El significado de esta regla es que multiplicas la potencia (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sobre sí mismo cinco veces. Como esto:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Como la base es la misma, los exponentes simplemente se suman: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Un exponente con un exponente negativo debe convertirse en una fracción (a la potencia inversa). No importa si no sabes lo que es un recíproco. Si te dan un grado con un exponente negativo, por ejemplo, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), escribe esta potencia en el denominador de la fracción (pon 1 en el numerador), y haz que el exponente sea positivo. En nuestro ejemplo: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Aquí hay otros ejemplos:

      Al dividir potencias con la misma base, se restan sus exponentes (la base no cambia). La operación de división es lo opuesto a la operación de multiplicación. Por ejemplo, dada la expresión 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Resta el exponente del denominador del exponente del numerador (no cambies la base). De este modo, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • El grado en el denominador se puede escribir de la siguiente manera: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Recuerda que una fracción es un número (potencia, expresión) con un exponente negativo.

   4. A continuación se presentan algunas expresiones para ayudarlo a aprender cómo resolver problemas de potencia. Las expresiones anteriores cubren el material presentado en esta sección. Para ver la respuesta, simplemente resalte el espacio vacío después del signo igual.

   Resolver problemas con exponentes fraccionarios

   Un grado con un exponente fraccionario (por ejemplo, ) se convierte en una operación de extracción de raíz. En nuestro ejemplo: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). No importa qué número esté en el denominador del exponente fraccionario. Por ejemplo, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) es la raíz cuarta de "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Si el exponente es una fracción impropia, dicho exponente se puede descomponer en dos potencias para simplificar la solución del problema. No hay nada complicado en esto, solo recuerda la regla para multiplicar potencias. Por ejemplo, dado un título. Convierta ese exponente en una raíz cuyo exponente sea igual al denominador del exponente fraccionario y luego eleve esa raíz al exponente igual al numerador del exponente fraccionario. Para ello recuerda que 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). En nuestro ejemplo:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Algunas calculadoras tienen un botón para calcular exponentes (primero debe ingresar la base, luego presionar el botón y luego ingresar el exponente). Se denota como ^ o x^y.
   3. Recuerda que cualquier número es igual a sí mismo elevado a la primera potencia, por ejemplo, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Además, cualquier número multiplicado o dividido por uno es igual a sí mismo, por ejemplo, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) y 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Sepa que el grado 0 0 no existe (tal grado no tiene solución). Cuando intente resolver dicho grado en una calculadora o en una computadora, obtendrá un error. Pero recuerda que cualquier número elevado a cero es igual a 1, por ejemplo, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. En matemática superior, que opera con números imaginarios: mi un yo X = C o s un X + yo s yo norte un X (\ Displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), dónde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e es una constante aproximadamente igual a 2,7; a es una constante arbitraria. La prueba de esta igualdad se puede encontrar en cualquier libro de texto de matemáticas superiores.

   Advertencias

   • A medida que aumenta el exponente, su valor aumenta considerablemente. Por lo tanto, si la respuesta le parece incorrecta, de hecho puede resultar ser cierta. Puedes verificar esto trazando cualquier función exponencial, como 2 x .

Descubrimos cuál es el grado de un número en general. Ahora necesitamos entender cómo calcularlo correctamente, es decir. elevar números a potencias. En este material, analizaremos las reglas básicas para calcular el grado en el caso de un exponente entero, natural, fraccionario, racional e irracional. Todas las definiciones se ilustrarán con ejemplos.

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El concepto de exponenciación

Comencemos con la formulación de definiciones básicas.

Definición 1

exponenciación es el cálculo del valor de la potencia de algún número.

Es decir, las palabras "cálculo del valor del grado" y "exponenciación" significan lo mismo. Entonces, si la tarea es "Elevar el número 0, 5 a la quinta potencia", esto debe entenderse como "calcular el valor de la potencia (0, 5) 5".

Ahora damos las reglas básicas que deben seguirse en dichos cálculos.

Recuerda qué es una potencia de un número con un exponente natural. Para una potencia de base a y exponente n, será el producto del enésimo número de factores, cada uno de los cuales es igual a a. Esto se puede escribir así:

Para calcular el valor del grado, debe realizar la operación de multiplicación, es decir, multiplicar las bases del grado la cantidad de veces especificada. El concepto mismo de un título con un indicador natural se basa en la capacidad de multiplicarse rápidamente. Demos ejemplos.

Ejemplo 1

Condición: Elevar - 2 a la potencia de 4 .

Solución

Usando la definición anterior, escribimos: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . A continuación, solo tenemos que seguir estos pasos y obtener 16 .

Tomemos un ejemplo más complicado.

Ejemplo 2

Calcular el valor 3 2 7 2

Solución

Esta entrada se puede reescribir como 3 2 7 · 3 2 7 . Anteriormente vimos cómo multiplicar correctamente los números mixtos mencionados en la condición.

Realice estos pasos y obtenga la respuesta: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Si la tarea indica la necesidad de elevar números irracionales a una potencia natural, primero necesitaremos redondear sus bases a un dígito que nos permita obtener una respuesta con la precisión deseada. Tomemos un ejemplo.

Ejemplo 3

Realice la elevación al cuadrado del número π.

Solución

Vamos a redondearlo a las centésimas primero. Entonces π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Si π ≈ 3 . 14159, obtendremos un resultado más preciso: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tenga en cuenta que la necesidad de calcular las potencias de los números irracionales en la práctica surge relativamente raramente. Entonces podemos escribir la respuesta como la potencia misma (ln 6) 3 o convertir si es posible: 5 7 = 125 5 .

Por separado, se debe indicar cuál es la primera potencia de un número. Aquí puedes recordar que cualquier número elevado a la primera potencia seguirá siendo el mismo:

Esto está claro en el registro. .

No depende de la base del grado.

Ejemplo 4

Entonces, (− 9) 1 = − 9 , y 7 3 elevado a la primera potencia sigue siendo igual a 7 3 .

Por conveniencia, analizaremos tres casos por separado: si el exponente es un entero positivo, si es cero y si es un entero negativo.

En el primer caso, esto es lo mismo que elevar a una potencia natural: después de todo, los números enteros positivos pertenecen al conjunto de los números naturales. Ya hemos descrito anteriormente cómo trabajar con tales grados.

Ahora veamos cómo elevar correctamente a la potencia cero. Con una base distinta de cero, este cálculo siempre produce una salida de 1 . Anteriormente hemos explicado que la potencia 0 de a se puede definir para cualquier número real distinto de 0, y a 0 = 1.

Ejemplo 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - no definido.

Nos quedamos solo con el caso de un grado con un exponente entero negativo. Ya hemos discutido que tales grados se pueden escribir como una fracción 1 a z, donde a es cualquier número y z es un número entero negativo. Vemos que el denominador de esta fracción no es más que un grado ordinario con un entero positivo, y ya hemos aprendido a calcularlo. Vamos a dar ejemplos de tareas.

Ejemplo 6

Eleva 3 a la potencia -2.

Solución

Usando la definición anterior, escribimos: 2 - 3 = 1 2 3

Calculamos el denominador de esta fracción y obtenemos 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Entonces la respuesta es: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Ejemplo 7

Eleva 1, 43 a la potencia -2.

Solución

Reformular: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculamos el cuadrado en el denominador: 1.43 1.43. Los decimales se pueden multiplicar de esta manera:

Como resultado, obtuvimos (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Nos queda escribir este resultado en forma de una fracción ordinaria, para lo cual es necesario multiplicarlo por 10 mil (ver el material sobre la conversión de fracciones).

Respuesta: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caso aparte es elevar un número a la primera potencia menos. El valor de dicho grado es igual al número opuesto al valor original de la base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Ejemplo 8

Ejemplo: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cómo elevar un número a una potencia fraccionaria

Para realizar tal operación, debemos recordar la definición básica de un grado con un exponente fraccionario: a m n \u003d a m n para cualquier a positivo, entero m y n natural.

Definición 2

Así, el cálculo de un grado fraccionario debe realizarse en dos pasos: elevar a una potencia entera y encontrar la raíz del grado n.

Tenemos la igualdad a m n = a m n , que dadas las propiedades de las raíces, se suele utilizar para resolver problemas de la forma a m n = a n m . Esto significa que si elevamos el número a a una potencia fraccionaria m / n, primero extraemos la raíz del grado n de a, luego elevamos el resultado a una potencia con un exponente entero m.

Ilustremos con un ejemplo.

Ejemplo 9

Calcula 8 - 2 3 .

Solución

Método 1. De acuerdo con la definición básica, podemos representar esto como: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Ahora calculemos el grado debajo de la raíz y extraigamos la tercera raíz del resultado: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Método 2. Transformemos la igualdad básica: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Después de eso, extraemos la raíz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 y elevamos al cuadrado el resultado: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vemos que las soluciones son idénticas. Puedes usar la forma que quieras.

Hay casos en que el título tiene un indicador expresado como número mixto o fracción decimal. Para facilitar el cálculo, es mejor reemplazarlo con una fracción ordinaria y contar como se indicó anteriormente.

Ejemplo 10

Eleva 44,89 a la potencia de 2,5.

Solución

Convirtamos el valor del indicador en una fracción ordinaria: 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Y ahora realizamos todas las acciones indicadas arriba en orden: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Respuesta: 13501, 25107.

Si hay números grandes en el numerador y el denominador de un exponente fraccionario, calcular dichos exponentes con exponentes racionales es un trabajo bastante difícil. Por lo general, requiere tecnología informática.

Por separado, nos detenemos en el grado con una base cero y un exponente fraccionario. Una expresión de la forma 0 m n puede tener el siguiente significado: si m n > 0, entonces 0 m n = 0 m n = 0 ; si m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cómo elevar un número a una potencia irracional

La necesidad de calcular el valor del grado, en cuyo indicador hay un número irracional, no surge con tanta frecuencia. En la práctica, la tarea suele limitarse a calcular un valor aproximado (hasta un determinado número de decimales). Esto generalmente se calcula en una computadora debido a la complejidad de dichos cálculos, por lo que no nos detendremos en esto en detalle, solo indicaremos las disposiciones principales.

Si necesitamos calcular el valor del grado a con un exponente irracional a , entonces tomamos la aproximación decimal del exponente y contamos a partir de ella. El resultado será una respuesta aproximada. Cuanto más precisa sea la aproximación decimal tomada, más precisa será la respuesta. Mostremos con un ejemplo:

Ejemplo 11

Calcule un valor aproximado de 21 , 174367 ....

Solución

Nos restringimos a la aproximación decimal a n = 1 , 17 . Hagamos los cálculos usando este número: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Si tomamos, por ejemplo, la aproximación a n = 1, 1743, entonces la respuesta será un poco más precisa: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

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