Encuentre la calculadora directa de pendiente. Cómo encontrar la pendiente de una ecuación

La continuación del tema de la ecuación de una línea recta en un plano se basa en el estudio de una línea recta de las lecciones de álgebra. Este artículo brinda información general sobre el tema de la ecuación de una línea recta con una pendiente. Considere las definiciones, obtenga la ecuación en sí, revele la conexión con otros tipos de ecuaciones. Todo será discutido en ejemplos de resolución de problemas.

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Antes de escribir tal ecuación, es necesario definir el ángulo de inclinación de una línea recta al eje O x con su pendiente. Supongamos que se da un sistema de coordenadas cartesianas O x en el plano.

Definición 1

El ángulo de inclinación de la recta al eje O x, ubicado en el sistema de coordenadas cartesianas O x y en el plano, este es el ángulo que se mide desde la dirección positiva O x hasta la línea recta en sentido antihorario.

Cuando una recta es paralela a Ox o ocurre coincidencia en ella, el ángulo de inclinación es 0. Entonces el ángulo de inclinación de la recta dada α se define en el intervalo [ 0 , π) .

Definición 2

Pendiente de una recta es la tangente de la pendiente de la recta dada.

La notación estándar es k. De la definición obtenemos que k = t g α . Cuando la recta es paralela a Ox, se dice que la pendiente no existe porque tiende al infinito.

La pendiente es positiva cuando la gráfica de la función es creciente y viceversa. La figura muestra varias variaciones de la ubicación del ángulo recto en relación con el sistema de coordenadas con el valor del coeficiente.

Para encontrar este ángulo, es necesario aplicar la definición del coeficiente de pendiente y calcular la tangente del ángulo de inclinación en el plano.

Solución

De la condición tenemos que α = 120°. Por definición, necesitas calcular la pendiente. Encontrémoslo a partir de la fórmula k = t g α = 120 = - 3 .

Responder: k = - 3 .

Si se conoce el coeficiente angular, pero es necesario encontrar el ángulo de inclinación con respecto al eje x, entonces se debe tener en cuenta el valor del coeficiente angular. Si k > 0, entonces el ángulo recto es agudo y se encuentra mediante la fórmula α = a r c t g k . Si k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Ejemplo 2

Determine el ángulo de inclinación de la línea recta dada a O x con una pendiente igual a 3.

Solución

De la condición tenemos que la pendiente es positiva, lo que significa que el ángulo de inclinación a O x es menor de 90 grados. Los cálculos se realizan de acuerdo con la fórmula α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Respuesta: α = un r c t gramo 3 .

Ejemplo 3

Encuentre el ángulo de inclinación de la línea recta al eje O x, si la pendiente = - 1 3 .

Solución

Si tomamos la letra k como la designación de la pendiente, entonces α es el ángulo de inclinación de la línea recta dada en la dirección positiva O x. Por lo tanto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - un r C t gramo - 1 3 = π - un r C t gramo 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Responder: 5 pi 6 .

Una ecuación de la forma y \u003d k x + b, donde k es una pendiente y b es un número real, se denomina ecuación de una línea recta con pendiente. La ecuación es típica para cualquier línea recta que no sea paralela al eje O y.

Si consideramos en detalle una línea recta en un plano en un sistema de coordenadas fijo, que viene dado por una ecuación con una pendiente que se parece a y \u003d k x + b. En este caso, significa que las coordenadas de cualquier punto de la recta corresponden a la ecuación. Si sustituimos las coordenadas del punto M, M 1 (x 1, y 1), en la ecuación y \u003d k x + b, entonces en este caso la línea pasará por este punto, de lo contrario, el punto no pertenece al línea.

Ejemplo 4

Dada una recta con pendiente y = 1 3 x - 1 . Calcula si los puntos M 1 (3 , 0) y M 2 (2 , - 2) pertenecen a la recta dada.

Solución

Es necesario sustituir las coordenadas del punto M 1 (3, 0) en la ecuación dada, luego obtenemos 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . La igualdad es verdadera, por lo que el punto pertenece a la línea.

Si sustituimos las coordenadas del punto M 2 (2, - 2), entonces obtenemos una igualdad incorrecta de la forma - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Podemos concluir que el punto M 2 no pertenece a la recta.

Responder: M 1 pertenece a la línea, pero M 2 no.

Se sabe que la recta está definida por la ecuación y = k · x + b que pasa por M 1 (0 , b) , por sustitución se obtiene una igualdad de la forma b = k · 0 + b ⇔ b = b . De esto podemos concluir que la ecuación de una recta con pendiente y = k · x + b en el plano define una recta que pasa por el punto 0, b. Forma un ángulo α con la dirección positiva del eje O x, donde k = t g α .

Considere, por ejemplo, una línea recta definida usando una pendiente dada por la forma y = 3 · x - 1 . Obtenemos que la recta pasará por el punto de coordenada 0, - 1 con una pendiente de α = a r c t g 3 = π 3 radianes en el sentido positivo del eje O x. De esto se puede ver que el coeficiente es 3.

La ecuación de una recta con pendiente que pasa por un punto dado

Se trata de resolver un problema donde se requiere obtener la ecuación de una recta de pendiente dada que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1) .

La igualdad y 1 = k · x + b se puede considerar válida, ya que la recta pasa por el punto M 1 (x 1 , y 1) . Para eliminar el número b, es necesario restar la ecuación con el coeficiente de pendiente de los lados izquierdo y derecho. De esto se sigue que y - y 1 = k · (x - x 1) . Esta igualdad se denomina ecuación de una recta con pendiente k dada, que pasa por las coordenadas del punto M 1 (x 1, y 1) .

Ejemplo 5

Componer la ecuación de una recta que pasa por el punto M 1 de coordenadas (4, - 1), con pendiente igual a - 2.

Solución

Por condición, tenemos que x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. A partir de aquí, la ecuación de la recta quedará escrita de esta forma y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Responder: y = - 2 x + 7 .

Ejemplo 6

Escriba la ecuación de una línea recta con una pendiente que pasa por el punto M 1 con coordenadas (3, 5) paralelas a la línea recta y \u003d 2 x - 2.

Solución

Por condición, tenemos que las rectas paralelas tienen ángulos de inclinación coincidentes, por lo que los coeficientes de pendiente son iguales. Para encontrar la pendiente de esta ecuación, debe recordar su fórmula básica y \u003d 2 x - 2, lo que implica que k \u003d 2. Componemos una ecuación con un coeficiente de pendiente y obtenemos:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Responder: y = 2 x - 1 .

El paso de la ecuación de una recta con pendiente a otro tipo de ecuaciones de una recta y viceversa

Tal ecuación no siempre es aplicable para resolver problemas, ya que tiene una notación no muy conveniente. Para ello, debe presentarse en una forma diferente. Por ejemplo, una ecuación de la forma y = k · x + b no te permite escribir las coordenadas del vector director de la línea recta o las coordenadas del vector normal. Para hacer esto, necesitas aprender a representar ecuaciones de otro tipo.

Podemos obtener la ecuación canónica de una línea recta en un plano usando la ecuación de una línea recta con pendiente. Obtenemos x - x 1 a x = y - y 1 a y . Es necesario mover el término b al lado izquierdo y dividir por la expresión de la desigualdad resultante. Entonces obtenemos una ecuación de la forma y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

La ecuación de una recta con pendiente se ha convertido en la ecuación canónica de una recta dada.

Ejemplo 7

Lleva la ecuación de una línea recta con pendiente y = - 3 x + 12 a forma canónica.

Solución

Calculamos y representamos en forma de ecuación canónica de una línea recta. Obtenemos una ecuación de la forma:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Respuesta: x 1 = y - 12 - 3.

La ecuación general de una línea recta es más fácil de obtener a partir de y = k x + b, pero esto requiere transformaciones: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Se pasa de la ecuación general de una recta a ecuaciones de otro tipo.

Ejemplo 8

Se da una ecuación de una línea recta de la forma y = 1 7 x - 2. Averigüe si el vector con coordenadas a → = (- 1 , 7) es un vector de línea recta normal?

Solución

Para resolverlo, es necesario cambiar a otra forma de esta ecuación, para ello escribimos:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Los coeficientes delante de las variables son las coordenadas del vector normal de la recta. Escribámoslo así n → = 1 7 , - 1 , por lo tanto 1 7 x - y - 2 = 0 . Es claro que el vector a → = (- 1 , 7) es colineal al vector n → = 1 7 , - 1 , ya que tenemos una relación justa a → = - 7 · n → . Se sigue que el vector original a → = - 1 , 7 es un vector normal de la recta 1 7 x - y - 2 = 0 , lo que significa que se considera un vector normal para la recta y = 1 7 x - 2 .

Responder: Es

Resolvamos el problema inverso a este.

Es necesario pasar de la forma general de la ecuación A x + B y + C = 0 , donde B ≠ 0 , a una ecuación con pendiente. Para hacer esto, resolvemos la ecuación para y. Obtenemos A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

El resultado es una ecuación con una pendiente igual a -AB.

Ejemplo 9

Se da una ecuación de una línea recta de la forma 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Obtener la ecuación de una recta dada con pendiente.

Solución

Según la condición, es necesario resolver para y, luego obtenemos una ecuación de la forma:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Respuesta: y = 1 6 x + 1 4 .

De manera similar, se resuelve una ecuación de la forma x a + y b \u003d 1, que se llama la ecuación de una línea recta en segmentos, o la forma canónica x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Es necesario resolverlo con respecto a y, solo así obtenemos una ecuación con pendiente:

X un + y segundo = 1 ⇔ y segundo = 1 - X un ⇔ y = - segundo un X + segundo .

La ecuación canónica se puede reducir a una forma con una pendiente. Para esto:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1

Ejemplo 10

Hay una línea recta dada por la ecuación x 2 + y - 3 = 1 . Llevar a la forma de una ecuación con una pendiente.

Solución.

Según la condición, es necesario transformar, luego obtenemos una ecuación de la forma _fórmula_. Ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por -3 para obtener la ecuación de pendiente requerida. Transformando, obtenemos:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Responder: y = 3 2 x - 3 .

Ejemplo 11

La ecuación de línea recta de la forma x - 2 2 \u003d y + 1 5 se lleva a la forma con una pendiente.

Solución

Es necesario calcular la expresión x - 2 2 = y + 1 5 como una proporción. Obtenemos que 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Ahora necesita habilitarlo completamente, para esto:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Respuesta: y = 5 2 x - 6 .

Para resolver tales tareas, las ecuaciones paramétricas de la línea recta de la forma x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ deben reducirse a la ecuación canónica de la línea recta, solo después de eso puede continuar con la ecuación con la pendiente.

Ejemplo 12

Encuentra la pendiente de la línea recta si está dada por las ecuaciones paramétricas x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Solución

Debe pasar de la vista paramétrica a la pendiente. Para ello, encontramos la ecuación canónica a partir de la paramétrica dada:

X = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = X λ = y + 1 2 ⇔ X 1 = y + 1 2 .

Ahora es necesario resolver esta igualdad con respecto a y para obtener la ecuación de una recta con pendiente. Para hacer esto, escribimos de esta manera:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

De ello se deduce que la pendiente de la recta es igual a 2. Esto se escribe como k = 2 .

Responder: k = 2 .

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Aprende a sacar derivadas de funciones. La derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un cierto punto que se encuentra en el gráfico de esta función. En este caso, el gráfico puede ser una línea recta o una línea curva. Es decir, la derivada caracteriza la tasa de cambio de la función en un punto particular en el tiempo. Recuerde las reglas generales por las cuales se toman los derivados, y solo entonces continúe con el siguiente paso.

• Leer el artículo.
• Se describe cómo tomar las derivadas más simples, por ejemplo, la derivada de una ecuación exponencial. Los cálculos presentados en los siguientes pasos se basarán en los métodos descritos allí.

Aprenda a distinguir entre problemas en los que la pendiente debe calcularse en términos de la derivada de una función. En las tareas, no siempre se sugiere encontrar la pendiente o la derivada de una función. Por ejemplo, se le puede pedir que encuentre la tasa de cambio de una función en el punto A(x, y). También se le puede pedir que encuentre la pendiente de la tangente en el punto A(x, y). En ambos casos, es necesario tomar la derivada de la función.

La figura muestra el ángulo de inclinación de la línea recta y el valor del coeficiente de pendiente para varias opciones para la ubicación de la línea recta en relación con el sistema de coordenadas rectangulares.

Encontrar la pendiente de una línea recta en un ángulo de inclinación conocido con respecto al eje Ox no presenta ninguna dificultad. Para hacer esto, es suficiente recordar la definición del coeficiente de pendiente y calcular la tangente del ángulo de pendiente.

Ejemplo.

Encuentra la pendiente de la recta si el ángulo de su inclinación con el eje x es igual a .

Solución.

Por condición. Entonces, por definición de la pendiente de la recta, calculamos .

Responder:

La tarea de encontrar el ángulo de inclinación de una línea recta con el eje x con una pendiente conocida es un poco más difícil. Aquí es necesario tener en cuenta el signo del coeficiente de pendiente. Cuando el ángulo de inclinación de la recta es agudo y se encuentra como . Cuando el ángulo de inclinación de una recta es obtuso y puede determinarse por la fórmula .

Ejemplo.

Determine el ángulo de inclinación de una línea recta con respecto al eje x si su pendiente es 3.

Solución.

Como por condición la pendiente es positiva, el ángulo de inclinación de la recta al eje Ox es agudo. Lo calculamos según la fórmula.

Responder:

Ejemplo.

La pendiente de la recta es . Determinar el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje Ox.

Solución.

Denotar k es la pendiente de la recta, es el ángulo de inclinación de esta recta al sentido positivo del eje Ox. Porque , entonces usamos la fórmula para encontrar el ángulo de inclinación de una línea recta de la siguiente forma . Sustituimos los datos de la condición en ella: .

Responder:

Ecuación de una recta con una pendiente.

Ecuación de línea con pendiente tiene la forma , donde k es la pendiente de la recta, b es un número real. La ecuación de una recta con pendiente puede especificar cualquier recta que no sea paralela al eje Oy (para una recta paralela al eje y, la pendiente no está definida).

Veamos el significado de la frase: "una línea en un plano en un sistema de coordenadas fijo está dada por una ecuación con una pendiente de la forma". Esto significa que la ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto de la línea y no con las coordenadas de cualquier otro punto del plano. Así, si se obtiene la igualdad correcta al sustituir las coordenadas de un punto, entonces la recta pasa por este punto. De lo contrario, el punto no se encuentra en una línea.

Ejemplo.

La recta viene dada por una ecuación con pendiente . ¿Los puntos también pertenecen a esta línea?

Solución.

Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación original de una recta con pendiente: . Hemos obtenido la igualdad correcta, por lo tanto, el punto M 1 se encuentra en una línea recta.

Al sustituir las coordenadas del punto, obtenemos la igualdad incorrecta: . Por lo tanto, el punto M 2 no se encuentra en una línea recta.

Responder:

Punto M 1 pertenece a la línea, M 2 no.

Cabe señalar que la recta, definida por la ecuación de una recta con pendiente , pasa por el punto, ya que al sustituir sus coordenadas en la ecuación, obtenemos la igualdad correcta: .

Así, la ecuación de una recta con pendiente determina una recta sobre un plano que pasa por un punto y forma un ángulo con la dirección positiva del eje de abscisas, y .

Como ejemplo, dibujemos una línea recta definida por la ecuación de una línea recta con una pendiente de la forma . Esta recta pasa por el punto y tiene pendiente radianes (60 grados) a la dirección positiva del eje Ox. Su pendiente es .

La ecuación de una línea recta con una pendiente que pasa por un punto dado.

Ahora vamos a resolver un problema muy importante: obtendremos la ecuación de una recta con una pendiente k dada y que pasa por el punto .

Como la recta pasa por el punto, entonces la igualdad . El número b nos es desconocido. Para deshacernos de ella, restamos de las partes izquierda y derecha de la ecuación de una recta con pendiente, respectivamente, las partes izquierda y derecha de la última igualdad. Al hacerlo, obtenemos . Esta igualdad es ecuación de una línea recta con una pendiente dada k que pasa por un punto dado.

Considere un ejemplo.

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto, la pendiente de esta recta es -2.

Solución.

De la condición que tenemos . Entonces la ecuación de una recta con pendiente tomará la forma .

Responder:

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta si se sabe que pasa por un punto y el ángulo de inclinación con el sentido positivo del eje Ox es .

Solución.

Primero, calculamos la pendiente de la línea recta cuya ecuación estamos buscando (resolvimos este problema en el párrafo anterior de este artículo). Por definición . Ahora tenemos todos los datos para escribir la ecuación de una recta con pendiente:

Responder:

Ejemplo.

Escribe la ecuación de una recta con pendiente que pasa por un punto paralelo a la recta.

Solución.

Es obvio que los ángulos de inclinación de las rectas paralelas al eje Ox coinciden (si es necesario, véase el artículo rectas paralelas), por lo tanto, los coeficientes de pendiente de las rectas paralelas son iguales. Entonces la pendiente de la recta, cuya ecuación necesitamos obtener, es igual a 2, ya que la pendiente de la recta es 2. Ahora podemos componer la ecuación requerida de una línea recta con una pendiente:

Responder:

La transición de la ecuación de una línea recta con un coeficiente de pendiente a otros tipos de la ecuación de una línea recta y viceversa.

Con toda la familiaridad, la ecuación de una línea recta con una pendiente está lejos de ser siempre conveniente para usar cuando se resuelven problemas. En algunos casos, los problemas son más fáciles de resolver cuando la ecuación de una línea recta se presenta en una forma diferente. Por ejemplo, la ecuación de una línea recta con una pendiente no le permite escribir inmediatamente las coordenadas del vector director de la línea recta o las coordenadas del vector normal de la línea recta. Por lo tanto, uno debe aprender a pasar de la ecuación de una línea recta con pendiente a otros tipos de la ecuación de esta línea recta.

A partir de la ecuación de una recta con pendiente, es fácil obtener la ecuación canónica de una recta en un plano de la forma . Para ello, trasladamos el término b del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo con signo opuesto, luego dividimos ambas partes de la igualdad resultante por la pendiente k:. Estas acciones nos llevan de la ecuación de una recta con pendiente a la ecuación canónica de una recta.

Ejemplo.

Dar la ecuación de una recta con pendiente a la forma canónica.

Solución.

Realicemos las transformaciones necesarias: .

Responder:

Ejemplo.

La recta viene dada por la ecuación de una recta con pendiente . ¿Es el vector un vector normal de esta recta?

Solución.

Para resolver este problema, pasemos de la ecuación de una recta con pendiente a la ecuación general de esta recta: . Sabemos que los coeficientes delante de las variables x e y en la ecuación general de una recta son las coordenadas correspondientes del vector normal de esta recta, es decir, el vector normal de la recta . Obviamente, el vector es colineal al vector , ya que la relación es verdadera (si es necesario, consulte el artículo). Por tanto, el vector original es también un vector normal de la recta , y, por lo tanto, es un vector normal y la recta original .

Responder:

Sí, lo es.

Y ahora resolveremos el problema inverso: el problema de convertir la ecuación de una línea recta en un plano en la ecuación de una línea recta con pendiente.

De la ecuación general de la línea recta , donde , es muy fácil pasar a la ecuación de la pendiente. Para hacer esto, necesitas resolver la ecuación general de la línea con respecto a y. Al mismo tiempo, obtenemos . La igualdad resultante es la ecuación de una recta con pendiente igual a .

En matemáticas, uno de los parámetros que describen la posición de una línea recta en el plano de coordenadas cartesianas es la pendiente de esta línea recta. Este parámetro caracteriza la pendiente de la línea recta al eje x. Para entender cómo encontrar la pendiente, primero recuerde la forma general de la ecuación de una línea recta en el sistema de coordenadas XY.

En general, cualquier línea se puede representar mediante la expresión ax+by=c, donde a, b y c son números reales arbitrarios, pero necesariamente a 2 + b 2 ≠ 0.

Con la ayuda de transformaciones simples, dicha ecuación se puede llevar a la forma y=kx+d, en la que k y d son números reales. El número k es una pendiente, y la ecuación de una recta de este tipo se llama ecuación con pendiente. Resulta que para encontrar la pendiente, solo necesitas llevar la ecuación original a la forma anterior. Para una mejor comprensión, considere un ejemplo específico:

Tarea: Encuentra la pendiente de la línea dada por la ecuación 36x - 18y = 108

Solución: Transformemos la ecuación original.

Respuesta: La pendiente deseada de esta recta es 2.

Si durante la transformación de la ecuación obtuvimos una expresión del tipo x = const y como resultado no podemos representar y en función de x, entonces estamos ante una recta paralela al eje X. La pendiente de tal línea recta es igual a infinito.

Para líneas que se expresan mediante una ecuación como y = const, la pendiente es cero. Esto es típico para líneas rectas paralelas al eje x. Por ejemplo:

Tarea: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solución: Llevamos la ecuación original a una forma general

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es imposible expresar y a partir de la expresión resultante, por lo tanto, la pendiente de esta línea es igual al infinito y la línea en sí será paralela al eje Y.

sentido geométrico

Para una mejor comprensión, veamos la imagen:

En la figura vemos la gráfica de una función del tipo y = kx. Para simplificar, tomamos el coeficiente c = 0. En el triángulo OAB, la relación entre el lado BA y AO será igual a la pendiente k. A su vez, la relación BA/AO es la tangente de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo OAB. Resulta que la pendiente de una línea recta es igual a la tangente del ángulo que forma esta línea recta con el eje x de la cuadrícula de coordenadas.

Resolviendo el problema de cómo encontrar la pendiente de una línea recta, encontramos la tangente del ángulo entre ella y el eje x de la cuadrícula de coordenadas. Los casos límite, cuando la línea considerada es paralela a los ejes de coordenadas, confirman lo anterior. De hecho, para una línea recta descrita por la ecuación y=const, el ángulo entre ella y el eje x es igual a cero. La tangente del ángulo cero también es cero y la pendiente también es cero.

Para líneas rectas perpendiculares al eje x y descritas por la ecuación x=const, el ángulo entre ellas y el eje x es de 90 grados. La tangente de un ángulo recto es igual al infinito, y la pendiente de líneas rectas similares es igual al infinito, lo que confirma lo escrito anteriormente.

Pendiente tangente

Una tarea común, a menudo encontrada en la práctica, es también encontrar la pendiente de la tangente al gráfico de la función en algún punto. La tangente es una recta, por lo que también le es aplicable el concepto de pendiente.

Para descubrir cómo encontrar la pendiente de una tangente, necesitaremos recordar el concepto de derivada. La derivada de cualquier función en algún punto es una constante numéricamente igual a la tangente del ángulo que se forma entre la tangente en el punto especificado a la gráfica de esta función y el eje de abscisas. Resulta que para determinar la pendiente de la tangente en el punto x 0, necesitamos calcular el valor de la derivada de la función original en este punto k \u003d f "(x 0). Consideremos un ejemplo:

Tarea: Encuentra la pendiente de la línea tangente a la función y = 12x 2 + 2xe x en x = 0.1.

Solución: Encuentra la derivada de la función original en forma general

y "(0,1) = 24 . 0.1 + 2 . 0.1 . e 0.1 + 2 . e 0.1

Respuesta: La pendiente deseada en el punto x \u003d 0.1 es 4.831

El coeficiente de la pendiente es recto. En este artículo, consideraremos tareas relacionadas con el plano de coordenadas incluidas en el examen de matemáticas. Estas son tareas para:

- determinación de la pendiente de una línea recta, cuando se conocen dos puntos por los que pasa;
- determinación de la abscisa o de la ordenada del punto de intersección de dos rectas en el plano.

Lo que es la abscisa y la ordenada de un punto se describió en esta sección. En él, ya hemos considerado varios problemas relacionados con el plano de coordenadas. ¿Qué debe entenderse para el tipo de tareas bajo consideración? Un poco de teoría.

La ecuación de una recta en el plano de coordenadas tiene la forma:

dónde k – esta es la pendiente de la recta.

¡Próximo momento! La pendiente de una recta es igual a la tangente de la pendiente de la recta. Este es el ángulo entre la línea dada y el eje.Oh.

Se encuentra entre 0 y 180 grados.

Es decir, si reducimos la ecuación de una recta a la forma y = kx + b, luego, además, siempre podemos determinar el coeficiente k (coeficiente de pendiente).

Además, si podemos determinar la tangente de la pendiente de la línea recta según la condición, entonces encontraremos su pendiente.

¡El próximo momento teórico!Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.La fórmula se parece a:

Consideremos las tareas (similares a las tareas del banco abierto de tareas):

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (–6; 0) y (0; 6).

En este problema, la forma más racional de resolver esto es encontrar la tangente del ángulo entre el eje x y la línea recta dada. Se sabe que es igual al coeficiente angular. Considere un triángulo rectángulo formado por una línea recta y los ejes x e y:

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al cateto adyacente:

* Ambas piernas son iguales a seis (estas son sus longitudes).

Por supuesto, este problema se puede resolver usando la fórmula para encontrar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados. Pero será un camino de solución más largo.

Respuesta 1

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (5;0) y (0;5).

Nuestros puntos tienen coordenadas (5;0) y (0;5). Medio,

Llevemos la fórmula a la forma. y = kx + b

Tenemos que el coeficiente angular k = – 1.

Respuesta 1

Directo a pasa por puntos con coordenadas (0;6) y (8;0). Directo b pasa por el punto de coordenadas (0;10) y es paralela a la recta a b con eje buey.

En este problema, puedes encontrar la ecuación de una línea recta. a, determine su pendiente. Línea recta b la pendiente será la misma ya que son paralelas. A continuación, puedes encontrar la ecuación de una línea recta. b. Y luego, sustituyendo el valor y = 0 en él, encuentre la abscisa. ¡PERO!

En este caso, es más fácil usar la propiedad de similitud de triángulos.

Los triángulos rectángulos formados por las líneas de coordenadas (paralelas) dadas son similares, lo que significa que las proporciones de sus respectivos lados son iguales.

La abscisa buscada es 40/3.

Respuesta: 40/3

Directo a pasa por puntos con coordenadas (0;8) y (–12;0). Directo b pasa por el punto de coordenadas (0; -12) y es paralela a la recta a. Encuentre la abscisa del punto de intersección de la recta b con eje buey.

Para este problema, la forma más racional de resolverlo es usar la propiedad de semejanza de los triángulos. Pero lo resolveremos de otra manera.

Conocemos los puntos por donde pasa la recta a. Podemos escribir la ecuación de una línea recta. La fórmula de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados es:

Por condición, los puntos tienen coordenadas (0;8) y (–12;0). Medio,

vamos a traer a la mente y = kx + b:

Tengo esa esquina k = 2/3.

*El coeficiente angular se puede encontrar a través de la tangente del ángulo en un triángulo rectángulo con catetos 8 y 12.

Sabemos que las rectas paralelas tienen pendientes iguales. Entonces la ecuación de una recta que pasa por el punto (0;-12) tiene la forma:

Encuentra valor b podemos sustituir la abscisa y la ordenada en la ecuación:

Así que la línea se ve así:

Ahora, para encontrar la abscisa deseada del punto de intersección de la línea con el eje x, debe sustituir y \u003d 0:

Respuesta: 18

Encuentre la ordenada del punto de intersección del eje oye y una recta que pasa por el punto B(10;12) y una paralela que pasa por el origen y el punto A(10;24).

Encontremos la ecuación de una recta que pasa por los puntos de coordenadas (0;0) y (10;24).

La fórmula de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados es:

Nuestros puntos tienen coordenadas (0;0) y (10;24). Medio,

vamos a traer a la mente y = kx + b

Las pendientes de las rectas paralelas son iguales. Por tanto, la ecuación de una recta que pasa por el punto B (10; 12) tiene la forma:

Sentido b encontramos sustituyendo las coordenadas del punto B (10; 12) en esta ecuación:

Obtuvimos la ecuación de una recta:

Para hallar la ordenada del punto de intersección de esta recta con el eje UNED debe ser sustituido en la ecuación encontrada X= 0:

* La solución más fácil. Con la ayuda de la traslación paralela, desplazamos esta línea hacia abajo a lo largo del eje UNED al punto (10;12). El desplazamiento se produce en 12 unidades, es decir, el punto A(10;24) "pasó" al punto B(10;12) y el punto O(0;0) "pasó" al punto (0;–12). Así que la línea resultante intersecará el eje. UNED en el punto (0;–12).

La ordenada deseada es -12.

Respuesta: -12

Encuentra la ordenada del punto de intersección de la recta dada por la ecuación

3x + 2 años = 6, con eje Oye.

Coordenada del punto de intersección de la recta dada con el eje UNED tiene la forma (0; a). Sustituir la abscisa en la ecuación X= 0, y encuentra la ordenada:

Ordenada del punto de intersección de una recta con un eje UNED es igual a 3

* El sistema se está resolviendo:

Respuesta: 3

Encuentra la ordenada del punto de intersección de las rectas dadas por las ecuaciones

3x + 2y = 6 y y = - x.

Cuando se dan dos rectas, y se trata de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas, se resuelve el sistema de estas ecuaciones:

En la primera ecuación sustituimos - X en vez de a:

La ordenada es menos seis.

Responder: – 6

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (–2; 0) y (0; 2).

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2;0) y (0;2).

La recta a pasa por los puntos de coordenadas (0;4) y (6;0). La línea b pasa por el punto de coordenadas (0;8) y es paralela a la línea a. Encuentre la abscisa del punto de intersección de la línea b con el eje x.

Encuentra la ordenada del punto de intersección del eje y y la recta que pasa por el punto B (6;4) y la recta paralela que pasa por el origen y el punto A (6;8).

1. Es necesario entender claramente que la pendiente de la recta es igual a la tangente de la pendiente de la recta. Esto le ayudará a resolver muchos problemas de este tipo.

2. Debe entenderse la fórmula para encontrar una línea recta que pase por dos puntos dados. Con su ayuda, siempre puedes encontrar la ecuación de una línea recta si se dan las coordenadas de dos de sus puntos.

3. Recuerda que las pendientes de las rectas paralelas son iguales.

4. Como comprenderás, en algunos problemas conviene utilizar el signo de semejanza de triángulos. Los problemas se resuelven prácticamente de forma oral.

5. Las tareas en las que se dan dos líneas y se requiere encontrar la abscisa o la ordenada de su punto de intersección se pueden resolver gráficamente. Es decir, constrúyalos en el plano de coordenadas (en una hoja en una celda) y determine visualmente el punto de intersección. *Pero este método no siempre es aplicable.

6. Y el último. Si se dan una línea recta y las coordenadas de los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas, entonces en tales problemas es conveniente encontrar la pendiente al encontrar la tangente del ángulo en el triángulo rectángulo formado. A continuación se muestra esquemáticamente cómo "ver" este triángulo para varios arreglos de líneas en el plano:

>> Ángulo de inclinación de línea de 0 a 90 grados<<

>> Ángulo de línea recta de 90 a 180 grados<<

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alejandro.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.