Encuentre un gráfico de una figura con líneas limitadas. Ejemplos

Comenzamos a considerar el proceso real de cálculo de la integral doble y nos familiarizamos con su significado geométrico.

La integral doble es numéricamente igual al área de una figura plana (región de integración). Esta es la forma más simple de la integral doble, cuando la función de dos variables es igual a uno: .

Consideremos primero el problema en términos generales. ¡Ahora te sorprenderá lo simple que es en realidad! Calculemos el área de una figura plana delimitada por líneas. Por definición, suponemos que en el intervalo . El área de esta figura es numéricamente igual a:

Representemos el área en el dibujo:

Elijamos la primera forma de evitar el área:

De este modo:

E inmediatamente un truco técnico importante: las integrales iteradas se pueden considerar por separado. Primero la integral interna, luego la integral externa. Este método es muy recomendable para los que se inician en el tema de las teteras.

1) Calcular la integral interna, mientras se realiza la integración sobre la variable "y":

La integral indefinida aquí es la más simple, y luego se usa la fórmula banal de Newton-Leibniz, con la única diferencia de que los límites de integración no son números, sino funciones. Primero, sustituimos el límite superior en "y" (función antiderivada), luego el límite inferior

2) El resultado obtenido en el primer párrafo debe ser sustituido en la integral externa:

Una notación más compacta para toda la solución se ve así:

La fórmula resultante - ¡Esta es exactamente la fórmula de trabajo para calcular el área de una figura plana usando la integral definida "ordinaria"! Ver lección Cálculo del área usando una integral definida, allí está ella en cada esquina!

Eso es, el problema de calcular el área usando una integral doble un poco diferente del problema de encontrar el área usando una integral definida! De hecho, ¡son uno y lo mismo!

En consecuencia, ¡no deberían surgir dificultades! No consideraré muchos ejemplos, ya que usted, de hecho, se ha encontrado repetidamente con este problema.

Ejemplo 9

Solución: Representemos el área en el dibujo:

Elijamos el siguiente orden de recorrido de la región:

Aquí y más adelante, no entraré en cómo atravesar un área porque el primer párrafo fue muy detallado.

De este modo:

Como ya señalé, es mejor que los principiantes calculen las integrales iteradas por separado, seguiré el mismo método:

1) Primero, usando la fórmula de Newton-Leibniz, tratamos con la integral interna:

2) El resultado obtenido en el primer paso se sustituye en la integral exterior:

El punto 2 en realidad es encontrar el área de una figura plana usando una integral definida.

Responder:

Aquí hay una tarea tan estúpida e ingenua.

Un ejemplo curioso para una solución independiente:

Ejemplo 10

Utilizando la integral doble, calcular el área de una figura plana delimitada por las rectas , ,

Un ejemplo de una solución final al final de la lección.

En los Ejemplos 9-10, es mucho más rentable usar la primera forma de eludir el área, los lectores curiosos, por cierto, pueden cambiar el orden del desvío y calcular las áreas de la segunda manera. Si no comete un error, entonces, naturalmente, se obtienen los mismos valores de área.

Pero en algunos casos, la segunda forma de eludir el área es más efectiva y, como conclusión del curso para jóvenes nerds, veamos un par de ejemplos más sobre este tema:

Ejemplo 11

Usando la integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por líneas.

Solución: estamos esperando dos parábolas con una brisa que yacen de lado. No hay necesidad de sonreír, a menudo se encuentran cosas similares en integrales múltiples.

¿Cuál es la forma más fácil de hacer un dibujo?

Representemos la parábola como dos funciones:
- rama superior y - rama inferior.

Del mismo modo, imagine una parábola como un superior y un inferior sucursales.

A continuación, unidades de trazado punto por punto, lo que da como resultado una figura tan extraña:

El área de la figura se calcula mediante la integral doble según la fórmula:

¿Qué sucede si elegimos la primera forma de evitar el área? Primero, esta área tendrá que ser dividida en dos partes. Y en segundo lugar, observaremos este triste cuadro: . Las integrales, por supuesto, no son de un nivel supercomplejo, pero... hay un viejo dicho matemático: quien es amigo de las raíces no necesita compensación.

Por tanto, del malentendido que se da en la condición, expresamos las funciones inversas:

Las funciones inversas en este ejemplo tienen la ventaja de que inmediatamente configuran toda la parábola sin hojas, bellotas, ramas y raíces.

Según el segundo método, el recorrido del área será el siguiente:

De este modo:

Como dicen, siente la diferencia.

1) Nos ocupamos de la integral interna:

Sustituimos el resultado en la integral exterior:

La integración sobre la variable "y" no debería ser embarazosa, si hubiera una letra "zyu", sería genial integrarla. Aunque quien leyó el segundo párrafo de la lección Cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución, ya no experimenta la más mínima vergüenza con la integración sobre "y".

También presta atención al primer paso: el integrando es par y el segmento de integración es simétrico alrededor de cero. Por lo tanto, el segmento se puede reducir a la mitad y el resultado se puede duplicar. Esta técnica se comenta en detalle en la lección. Métodos eficientes para calcular la integral definida.

Que agregar…. ¡Todo!

Responder:

Para probar su técnica de integración, puede intentar calcular . La respuesta debe ser exactamente la misma.

Ejemplo 12

Usando la integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por líneas

Este es un ejemplo de bricolaje. Es interesante notar que si intenta usar la primera forma de evitar el área, ¡la figura ya no se dividirá en dos, sino en tres partes! Y, en consecuencia, obtenemos tres pares de integrales iteradas. A veces ocurre.

La clase magistral ha llegado a su fin y es hora de pasar al nivel de gran maestro: ¿Cómo calcular la integral doble? Ejemplos de soluciones. Intentaré no ser tan maníaco en el segundo artículo =)

¡Le deseo éxito!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2:Solución: dibujar un área en el dibujo:

Elijamos el siguiente orden de recorrido de la región:

De este modo:
Pasemos a las funciones inversas:


De este modo:
Responder:

Ejemplo 4:Solución: Pasemos a las funciones directas:


Ejecutemos el dibujo:

Cambiemos el orden de recorrido del área:

Responder:

De vuelta atras

¡Atención! La vista previa de la diapositiva es solo para fines informativos y es posible que no represente la extensión total de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Palabras clave: integral, trapezoide curvilíneo, área de figuras delimitada por lirios

Equipo: pizarra, computadora, proyector multimedia

tipo de lección: lección-conferencia

Objetivos de la lección:

• educativo: formar una cultura de trabajo mental, crear una situación de éxito para cada alumno, formar una motivación positiva para el aprendizaje; desarrollar la capacidad de hablar y escuchar a los demás.
• desarrollando: la formación de la independencia del pensamiento del estudiante en la aplicación del conocimiento en diversas situaciones, la capacidad de analizar y sacar conclusiones, el desarrollo de la lógica, el desarrollo de la capacidad de plantear preguntas correctamente y encontrar respuestas a ellas. Mejorar la formación de habilidades computacionales, de cálculo, desarrollando el pensamiento de los estudiantes en el curso de la realización de las tareas propuestas, desarrollando una cultura algorítmica.
• educativo: formar conceptos sobre un trapezoide curvilíneo, sobre una integral, dominar las habilidades de cálculo de áreas de figuras planas

Método de enseñanza: explicativo e ilustrativo.

durante las clases

En las clases anteriores, aprendimos a calcular las áreas de figuras cuyos límites son líneas discontinuas. En matemáticas, existen métodos que le permiten calcular el área de figuras delimitadas por curvas. Estas figuras se denominan trapecios curvilíneos y su área se calcula mediante antiderivadas.

Trapecio curvilíneo ( diapositiva 1)

Un trapezoide curvilíneo es una figura limitada por la función gráfica, ( pieza completa), directo x = un y x = segundo y abscisa

Varios tipos de trapecios curvilíneos ( diapositiva 2)

Consideramos varios tipos de trapecios curvilíneos y notamos: una de las líneas se degenera en un punto, el papel de la función límite lo desempeña la línea

Área de un trapezoide curvilíneo (diapositiva 3)

Fijar el extremo izquierdo del intervalo a, y derecho X cambiaremos, es decir, movemos la pared derecha del trapezoide curvilíneo y obtenemos una figura cambiante. El área de un trapezoide curvilíneo variable delimitado por la función gráfica es la antiderivada F para la función F

Y en el segmento [ a; b] el área del trapezoide curvilíneo formado por la función F, es igual al incremento de la antiderivada de esta función:

Ejercicio 1:

Encuentra el área de un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de una función: f(x) = x2 y directo y=0, x=1, x=2.

Solución: ( de acuerdo con el algoritmo de la diapositiva 3)

Dibuja un gráfico de la función y las líneas.

Encuentre una de las antiderivadas de la función f(x) = x2 :

Autoevaluación de diapositivas

Integral

Considere un trapezoide curvilíneo dado por la función F en el segmento [ a; b]. Vamos a dividir este segmento en varias partes. El área de todo el trapezoide se dividirá en la suma de las áreas de los trapecios curvilíneos más pequeños. ( diapositiva 5). Cada uno de estos trapecios puede considerarse aproximadamente un rectángulo. La suma de las áreas de estos rectángulos da una idea aproximada del área total del trapezoide curvilíneo. Cuanto más pequeño rompamos el segmento [ a; b], con mayor precisión calculamos el área.

Escribimos estas consideraciones en forma de fórmulas.

Divida el segmento [ a; b] en n partes con puntos x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Longitud k- el denotamos por xk = xk - xk-1. vamos a resumir

Geométricamente, esta suma es el área de la figura sombreada en la figura ( sh m.)

Las sumas de la forma se llaman sumas integrales para la función F. (sch. m.)

Las sumas integrales dan un valor aproximado del área. El valor exacto se obtiene pasando al límite. Imagina que refinamos la partición del segmento [ a; b] para que las longitudes de todos los segmentos pequeños tiendan a cero. Entonces el área de la figura compuesta se acercará al área del trapezoide curvilíneo. Podemos decir que el área de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de las sumas integrales, Sk.t. (sch. m.) o integral, es decir,

Definición:

integral de función f(x) de a antes de b se llama límite de sumas integrales

= (sch. m.)

Fórmula de Newton-Leibniz.

Recuerda que el límite de las sumas integrales es igual al área de un trapezoide curvilíneo, por lo que podemos escribir:

Sk.t. = (sch. m.)

Por otro lado, el área de un trapezoide curvilíneo se calcula mediante la fórmula

S a t. (sch. m.)

Comparando estas fórmulas, obtenemos:

= (sch. m.)

Esta igualdad se llama fórmula de Newton-Leibniz.

Para facilitar los cálculos, la fórmula se escribe como:

= = (sch. m.)

Tareas: (sch.m.)

1. Calcular la integral usando la fórmula de Newton-Leibniz: ( mira la diapositiva 5)

2. Compile integrales de acuerdo con el dibujo ( comprobar en la diapositiva 6)

3. Encuentre el área de una figura delimitada por líneas: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Diapositiva 7)

Encontrar las áreas de figuras planas ( diapositiva 8)

¿Cómo encontrar el área de figuras que no son trapecios curvilíneos?

Deje que se den dos funciones, cuyas gráficas ve en la diapositiva . (sch. m.) Encuentra el área de la figura sombreada . (sch. m.). ¿La figura en cuestión es un trapezoide curvilíneo? ¿Y cómo puedes encontrar su área, usando la propiedad de aditividad del área? Considere dos trapecios curvilíneos y reste el área del otro del área de uno de ellos ( wm)

Hagamos un algoritmo para encontrar el área de la animación en la diapositiva:

1. Funciones de trazado
2. Proyecte los puntos de intersección de los gráficos en el eje x
3. Sombrea la figura obtenida cruzando las gráficas
4. Encuentra trapecios curvilíneos cuya intersección o unión sea la figura dada.
5. Calcular el área de cada
6. Encuentra diferencia o suma de áreas

Tarea oral: Cómo obtener el área de una figura sombreada (decir usando animación, diapositiva 8 y 9)

Tareas para el hogar: Resuelva el resumen, No. 353 (a), No. 364 (a).

Bibliografía

1. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 9-11 de la escuela vespertina (turno) / ed. G.D. vidriero. - M: Ilustración, 1983.
2. Bashmakov M. I. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria / Bashmakov M.I. - M: Ilustración, 1991.
3. Bashmakov M. I. Matemáticas: un libro de texto para instituciones que comienzan. y promedio profe. educación / M.I. Bashmákov. - M: Academia, 2010.
4. Kolmogorov A. N. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para 10-11 celdas. instituciones educativas / A. N. Kolmogorov. - M: Ilustración, 2010.
5. Ostrovsky S.L. ¿Cómo hacer una presentación para la lección? / S.L. Ostrovsky. – M.: Primero de septiembre de 2010.

Ejemplo 1 . Calcule el área de la figura delimitada por líneas: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 y x = 2

Construyamos una figura (ver Fig.) Construimos una línea recta x + 2y - 4 \u003d 0 a lo largo de dos puntos A (4; 0) y B (0; 2). Expresando y en términos de x, obtenemos y \u003d -0.5x + 2. De acuerdo con la fórmula (1), donde f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, nosotros encontrar

S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 metros cuadrados. unidades

Ejemplo 2 Calcule el área de la figura delimitada por líneas: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 e y \u003d 0.

Solución. Construyamos una figura.

Construyamos una recta x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Construyamos una línea recta x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Encuentra el punto de intersección de las rectas resolviendo el sistema de ecuaciones:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Para calcular el área requerida, dividimos el triángulo AMC en dos triángulos AMN y NMC, ya que cuando x cambia de A a N, el área está limitada por una línea recta, y cuando x cambia de N a C, es una línea recta

Para el triángulo AMN tenemos: ; y \u003d 0.5x + 2, es decir, f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Para el triángulo NMC tenemos: y = - x + 5, es decir, f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculando el área de cada uno de los triángulos y sumando los resultados, encontramos:

cuadrados unidades

cuadrados unidades

9 + 4, 5 = 13,5 metros cuadrados unidades Verifique: = 0.5AC = 0.5 pies cuadrados unidades

Ejemplo 3 Calcular el área de una figura delimitada por rectas: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

En este caso, se requiere calcular el área de un trapezoide curvilíneo acotado por una parábola y = x 2 , líneas rectas x \u003d 2 y x \u003d 3 y el eje Ox (ver Fig.) De acuerdo con la fórmula (1), encontramos el área de un trapezoide curvilíneo

= = 6 kv. unidades

Ejemplo 4 Calcule el área de una figura delimitada por líneas: y \u003d - x 2 + 4 y y = 0

Construyamos una figura. El área deseada está encerrada entre la parábola y \u003d - x 2 + 4 y eje Oh.

Encuentra los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Suponiendo que y \u003d 0, encontramos x \u003d Dado que esta figura es simétrica con respecto al eje Oy, calculamos el área de la figura ubicada a la derecha del eje Oy y duplicamos el resultado: \u003d + 4x] cuadrados unidades 2 = 2 metros cuadrados unidades

Ejemplo 5 Calcular el área de una figura delimitada por rectas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aquí se requiere calcular el área del trapezoide curvilíneo delimitado por la rama superior de la parábola y 2 \u003d x, el eje Ox y las líneas rectas x \u003d 1x \u003d 4 (ver Fig.)

De acuerdo con la fórmula (1), donde f(x) = a = 1 y b = 4, tenemos = (= unidades cuadradas

Ejemplo 6 . Calcula el área de la figura delimitada por líneas: y = senx, y = 0, x = 0, x=.

El área deseada está limitada por una sinusoide de media onda y el eje Ox (ver Fig.).

Tenemos - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metros cuadrados. unidades

Ejemplo 7 Calcule el área de la figura delimitada por líneas: y \u003d - 6x, y \u003d 0 y x \u003d 4.

La figura está ubicada debajo del eje Ox (ver Fig.).

Por lo tanto, su área se encuentra por la fórmula (3)

= =

Ejemplo 8 Calcule el área de la figura delimitada por las líneas: y \u003d y x \u003d 2. Construiremos la curva y \u003d por puntos (ver figura). Por lo tanto, el área de la figura se encuentra mediante la fórmula (4)

Ejemplo 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aquí necesitas calcular el área delimitada por el círculo x 2 + y 2 = r 2 , es decir, el área de un círculo de radio r con centro en el origen. Encontremos la cuarta parte de esta área, tomando los límites de integración de 0

insecto; tenemos: 1 = = [

Como consecuencia, 1 =

Ejemplo 10 Calcule el área de la figura delimitada por líneas: y \u003d x 2 y y = 2x

Esta figura está limitada por la parábola y \u003d x 2 y línea recta y \u003d 2x (ver Fig.) Para determinar los puntos de intersección de las líneas dadas, resolvemos el sistema de ecuaciones: x 2 – 2x = 0 x = 0 y x = 2

Usando la fórmula (5) para encontrar el área, obtenemos

= \- -fl - G -1-±L_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Ejemplo 2. Calcular el área delimitada por la sinusoide y = sinXy eje Ox y recta ( Figura 87). Aplicando la fórmula (I), obtenemos L 2 S= J senxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf con el eje Ox (por ejemplo, entre el origen y el punto con la abscisa i). Tenga en cuenta que, por consideraciones geométricas, está claro que esta área será el doble del área del ejemplo anterior. Sin embargo, hagamos los cálculos: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o De hecho, nuestra suposición resultó ser justa. Ejemplo 4. Calcular el área delimitada por la sinusoide y el eje ^ Ox en un período (Fig. 88). Los juicios preliminares de ras-figure sugieren que el área resultará ser cuatro veces más grande que en el párrafo 2. Sin embargo, después de hacer los cálculos, obtenemos "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Este resultado requiere aclaración. Para aclarar la esencia del asunto, también calculamos el área delimitada por la misma sinusoide y \u003d sin l: y el eje Ox que va de l a 2n. Aplicando la fórmula (I), obtenemos Así, vemos que esta área resultó ser negativa. Comparándolo con el área calculada en el Ej. 3, encontramos que sus valores absolutos son los mismos, pero los signos son diferentes. Si aplicamos la propiedad V (ver Capítulo XI, § 4), obtenemos por accidente. Siempre el área debajo del eje x, siempre que la variable independiente cambie de izquierda a derecha, se obtiene calculando mediante integrales negativas. En este curso, siempre consideraremos áreas sin firmar. Por tanto, la respuesta en el ejemplo que acabamos de analizar será la siguiente: el área requerida es igual a 2 + |-2| = 4. Ejemplo 5. Calculemos el área del BAB que se muestra en la Fig. 89. Esta área está limitada por el eje Ox, la parábola y = - xr y la recta y - = -x + \. Área de un trapezoide curvilíneo El área buscada OAB consta de dos partes: OAM y MAB. Dado que el punto A es el punto de intersección de la parábola y la línea recta, encontraremos sus coordenadas resolviendo el sistema de ecuaciones 3 2 Y \u003d mx. (solo necesitamos encontrar la abscisa del punto A). Resolviendo el sistema, encontramos l; =~. Por lo tanto, el área debe calcularse en partes, primero pl. OAM, y luego pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (base de un trapezoide curvilíneo) en n partes iguales; esta partición es factible usando los puntos x 1 , x 2 , . .. x k , ... x n-1 . Dibujemos líneas a través de estos puntos paralelas al eje y. Entonces el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Considere por separado la columna k-ésima, es decir trapezoide curvilíneo, cuya base es un segmento. Vamos a reemplazarlo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), donde \(\Delta x_k \) es la longitud del segmento; es natural considerar el producto compilado como un valor aproximado del área de la columna k-ésima.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegamos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, consideramos que a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - longitud del segmento, \(\Delta x_1 \) - longitud del segmento, etc.; mientras que, como acordamos anteriormente, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Entonces, \(S \approx S_n \), y esta igualdad aproximada es tanto más precisa cuanto mayor sea n.
Por definición, se supone que el área deseada del trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tarea 2(sobre mover un punto)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el desplazamiento de un punto en el intervalo de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de manera muy simple: s = vt, es decir s = v(b-a). Para el movimiento desigual, uno tiene que usar las mismas ideas en las que se basó la solución del problema anterior.
1) Divida el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un intervalo de tiempo y suponga que durante este intervalo de tiempo la velocidad fue constante, como en el tiempo t k . Entonces, asumimos que v = v(t k).
3) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento del punto en el intervalo de tiempo, este valor aproximado será denotado por s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
\(s \approx S_n \) donde
\(S_n = s_0 + \puntos + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \puntos + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones de varios problemas se redujeron a un mismo modelo matemático. Muchos problemas de varios campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Por lo tanto, este modelo matemático debe ser especialmente estudiado.

El concepto de integral definida

Demos una descripción matemática del modelo que se construyó en los tres problemas considerados para la función y = f(x), que es continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el segmento [ a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático, se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado una integral definida de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y se denotan así:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).

Volvamos a las tareas discutidas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aquí S es el área del trapezoide curvilíneo que se muestra en la figura de arriba. Esto es lo que Significado geométrico de la integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el intervalo de tiempo de t = a a t = b, dada en el Problema 2, se puede reescribir como sigue:

Fórmula de Newton-Leibniz

Para empezar, respondamos la pregunta: ¿cuál es la relación entre una integral definida y una antiderivada?

La respuesta se encuentra en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad v = v(t) en un intervalo de tiempo de t = a a t = b y se calcula mediante la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Por otro lado, la coordenada del punto en movimiento es la antiderivada de la velocidad - denotaremos s(t); por tanto, el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado, obtenemos:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
donde s(t) es la antiderivada de v(t).

El siguiente teorema se demostró en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el segmento [a; b], entonces la fórmula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
donde F(x) es la antiderivada de f(x).

Esta fórmula suele llamarse Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultánea.

En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a veces se le llama sustitución doble) y, en consecuencia, reescribir la fórmula de Newton-Leibniz en esta forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Calculando una integral definida, primero encuentre la antiderivada y luego realice una doble sustitución.

Con base en la fórmula de Newton-Leibniz, se pueden obtener dos propiedades de una integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Cálculo de áreas de figuras planas usando una integral definida

Usando la integral, puede calcular el área no solo de trapecios curvilíneos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, como la que se muestra en la figura. La figura P está delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y sobre el segmento [a; b] se cumple la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \). Para calcular el área S de tal figura, procederemos de la siguiente manera:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Entonces, el área S de la figura acotada por las rectas x = a, x = b y las gráficas de las funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x de el segmento [a; b] se cumple la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \), se calcula mediante la fórmula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcosen) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$