Los valores mayor y menor de una función de dos variables en una región cerrada. Los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento

¿Qué es un extremo de una función y cuál es la condición necesaria para un extremo?

El extremo de una función es el máximo y el mínimo de la función.

La condición necesaria para el máximo y mínimo (extremo) de la función es la siguiente: si la función f(x) tiene un extremo en el punto x = a, entonces en este punto la derivada es cero, o infinita, o no no existe.

Esta condición es necesaria, pero no suficiente. La derivada en el punto x = a puede anularse, ir al infinito o no existir sin que la función tenga un extremo en este punto.

¿Cuál es la condición suficiente para el extremo de la función (máximo o mínimo)?

Primera condición:

Si, en una proximidad suficiente al punto x = a, la derivada f?(x) es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha de a, entonces en el mismo punto x = a, la función f(x) tiene máximo

Si, en suficiente proximidad al punto x = a, la derivada f?(x) es negativa a la izquierda de a y positiva a la derecha de a, entonces en el mismo punto x = a, la función f(x) tiene mínimo siempre que la función f(x) sea continua aquí.

En su lugar, puede utilizar la segunda condición suficiente para el extremo de la función:

Sea en el punto x = y la primera derivada f?(x) se anula; si la segunda derivada f??(а) es negativa, entonces la función f(x) tiene un máximo en el punto x = a, si es positiva, entonces un mínimo.

¿Qué es el punto crítico de una función y cómo encontrarlo?

Este es el valor del argumento de la función en el que la función tiene un extremo (es decir, máximo o mínimo). Para encontrarlo, necesitas encuentra la derivada función f?(x) y, igualándola a cero, resuelve la ecuación f?(x) = 0. Las raíces de esta ecuación, así como aquellos puntos en los que no existe la derivada de esta función, son puntos críticos, es decir, los valores del argumento en los que puede haber un extremo . Se pueden identificar fácilmente mirando gráfica derivada: nos interesan aquellos valores del argumento en los que la gráfica de la función se cruza con el eje de abscisas (eje Ox) y aquellos en los que la gráfica sufre roturas.

Por ejemplo, busquemos extremo de la parábola.

Función y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivada de función: y?(x) = 6x + 2

Resolvemos la ecuación: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

En este caso, el punto crítico es x0=-1/3. Es para este valor del argumento que la función tiene extremo. Para conseguirlo encontrar, sustituimos el número encontrado en la expresión por la función en lugar de "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Cómo determinar el máximo y el mínimo de una función, es decir sus valores mayor y menor?

Si el signo de la derivada cambia de “más” a “menos” al pasar por el punto crítico x0, entonces x0 es punto máximo; si el signo de la derivada cambia de menos a más, entonces x0 es punto mínimo; si el signo no cambia, entonces en el punto x0 no hay ni máximo ni mínimo.

Para el ejemplo considerado:

Tomamos un valor arbitrario del argumento a la izquierda del punto crítico: x = -1

Cuando x = -1, el valor de la derivada será y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (es decir, el signo menos).

Ahora tomamos un valor arbitrario del argumento a la derecha del punto crítico: x = 1

Para x = 1, el valor de la derivada será y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (es decir, el signo más).

Como puedes ver, al pasar por el punto crítico, la derivada cambió de signo de menos a más. Esto significa que en el valor crítico de x0 tenemos un punto mínimo.

El mayor y el menor valor de la función. en el intervalo(en el segmento) se encuentran mediante el mismo procedimiento, solo teniendo en cuenta el hecho de que, tal vez, no todos los puntos críticos se encontrarán dentro del intervalo especificado. Aquellos puntos críticos que estén fuera del intervalo deben ser excluidos de consideración. Si solo hay un punto crítico dentro del intervalo, tendrá un máximo o un mínimo. En este caso, para determinar los valores mayor y menor de la función, también tenemos en cuenta los valores de la función en los extremos del intervalo.

Por ejemplo, encontremos los valores mayor y menor de la función

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0.5x

a intervalos:

Entonces la derivada de la función es

y?(x) = 3 cos(x) - 0.5

Resolvemos la ecuación 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

Encontramos puntos críticos en el intervalo [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (no incluido en el intervalo)

x \u003d -arcos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arcos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arcos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (no incluido en el intervalo)

Encontramos los valores de la función en valores críticos del argumento:

y(-7,687) = 3 cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3 cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1.403) = 3 cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1,403) = 3 cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3 cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3 cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Se puede ver que en el intervalo [-9; 9] la función tiene el mayor valor en x = -4.88:

x = -4,88, y = 5,398,

y el más pequeño - en x = 4.88:

x = 4,88, y = -5,398.

En el intervalo [-6; -3] tenemos un solo punto crítico: x = -4.88. El valor de la función en x = -4,88 es y = 5,398.

Encontramos el valor de la función en los extremos del intervalo:

y(-6) = 3 cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3 cos(-3) - 0,5 = 1,077

En el intervalo [-6; -3] tenemos el mayor valor de la función

y = 5,398 en x = -4,88

el valor más pequeño es

y = 1.077 en x = -3

¿Cómo encontrar los puntos de inflexión de la gráfica de una función y determinar los lados de convexidad y concavidad?

Para encontrar todos los puntos de inflexión de la línea y \u003d f (x), debe encontrar la segunda derivada, igualarla a cero (resolver la ecuación) y probar todos aquellos valores de x para los que la segunda derivada es cero , infinito o no existe. Si al pasar por uno de estos valores la segunda derivada cambia de signo, entonces la gráfica de la función tiene una inflexión en este punto. Si no cambia, entonces no hay inflexión.

Las raíces de la ecuación f ? (x) = 0, así como los posibles puntos de discontinuidad de la función y la segunda derivada, dividen el dominio de la función en varios intervalos. La convexidad en cada uno de sus intervalos está determinada por el signo de la segunda derivada. Si la segunda derivada en un punto del intervalo en estudio es positiva, entonces la línea y = f(x) es cóncava hacia arriba aquí, y si es negativa, entonces hacia abajo.

¿Cómo encontrar los extremos de una función de dos variables?

Para encontrar los extremos de la función f(x, y), diferenciables en el área de su asignación, necesitas:

1) encontrar los puntos críticos, y para ello, resolver el sistema de ecuaciones

fx? (x,y) = 0, fy? (x, y) = 0

2) para cada punto crítico P0(a;b), investigar si el signo de la diferencia permanece sin cambios

para todos los puntos (x; y) suficientemente cerca de P0. Si la diferencia conserva un signo positivo, entonces en el punto P0 tenemos un mínimo, si es negativo, entonces un máximo. Si la diferencia no conserva su signo, entonces no hay un extremo en el punto Р0.

De manera similar, los extremos de la función se determinan para un mayor número de argumentos.

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El proceso de encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento recuerda a un fascinante vuelo alrededor de un objeto (el gráfico de una función) en un helicóptero disparando desde un cañón de largo alcance en ciertos puntos y eligiendo entre estos puntos puntos muy especiales para tiros de control. Los puntos se seleccionan de cierta manera y de acuerdo con ciertas reglas. ¿Por qué reglas? Hablaremos de esto más adelante.

Si la función y = F(X) continua en el segmento [ a, b] , luego llega a este segmento el menos y valores más altos . Esto puede suceder en puntos extremos o en los extremos del segmento. Por lo tanto, para encontrar el menos y los valores más grandes de la función , continua en el segmento [ a, b] , necesitas calcular sus valores en todos puntos críticos y en los extremos del segmento, y luego elige el más pequeño y el más grande de ellos.

Supongamos, por ejemplo, que se requiere determinar el valor máximo de la función F(X) en el segmento [ a, b] . Para hacer esto, encuentre todos sus puntos críticos sobre [ a, b] .

punto crítico se llama el punto en el que función definida, y ella derivado es cero o no existe. Luego debes calcular los valores de la función en los puntos críticos. Y, finalmente, se deben comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento ( F(a) y F(b) ). El mayor de estos números será el mayor valor de la función en el segmento [a, b] .

El problema de encontrar los valores más pequeños de la función .

Estamos buscando los valores más pequeños y más grandes de la función juntos

Ejemplo 1. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento [-1, 2] .

Solución. Encontramos la derivada de esta función. Iguale la derivada a cero () y obtenga dos puntos críticos: y . Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, basta con calcular sus valores en los extremos del segmento y en el punto, ya que el punto no pertenece al segmento [-1, 2] . Estos valores de función son los siguientes: , , . Resulta que valor de función más pequeño(marcado en rojo en el gráfico siguiente), igual a -7, se alcanza en el extremo derecho del segmento - en el punto , y mayor(también rojo en el gráfico), es igual a 9, - en el punto crítico.

Si la función es continua en un determinado intervalo y este intervalo no es un segmento (pero es, por ejemplo, un intervalo; la diferencia entre un intervalo y un segmento: los puntos de la frontera del intervalo no están incluidos en el intervalo, pero el los puntos límite del segmento están incluidos en el segmento), entonces entre los valores de la función puede no haber el más pequeño y el más grande. Entonces, por ejemplo, la función representada en la siguiente figura es continua en ]-∞, +∞[ y no tiene el valor más grande.

Sin embargo, para cualquier intervalo (cerrado, abierto o infinito), se cumple la siguiente propiedad de las funciones continuas.

Ejemplo 4. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento [-1, 3] .

Solución. Encontramos la derivada de esta función como la derivada del cociente:

.

Igualamos la derivada a cero, lo que nos da un punto crítico: . Pertenece al intervalo [-1, 3] . Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Comparemos estos valores. Conclusión: igual a -5/13, en el punto y el mayor valor igual a 1 en el punto .

Seguimos buscando juntos los valores más pequeños y más grandes de la función

Hay docentes que en el tema de encontrar los valores menor y mayor de una función, no dan a los alumnos ejemplos más complicados que los recién considerados, es decir, aquellos en los que la función es un polinomio o una fracción, el numerador. y denominador de los cuales son polinomios. Pero no nos limitaremos a tales ejemplos, ya que entre los profesores hay amantes de hacer pensar a los estudiantes en su totalidad (tabla de derivados). Por lo tanto, se utilizará el logaritmo y la función trigonométrica.

Ejemplo 6. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento .

Solución. Encontramos la derivada de esta función como derivado del producto :

Igualamos la derivada a cero, lo que da un punto crítico: . Pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

El resultado de todas las acciones: la función alcanza su valor mínimo, igual a 0, en un punto y en un punto y el mayor valor igual a mi², en el punto.

Ejemplo 7. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento .

Solución. Encontramos la derivada de esta función:

Igualar la derivada a cero:

El único punto crítico pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Conclusión: la función alcanza su valor mínimo, igual a , en el punto y el mayor valor, igual a , en el punto .

En problemas extremos aplicados, encontrar los valores de función más pequeños (más grandes), por regla general, se reduce a encontrar el mínimo (máximo). Pero no son los mínimos o máximos en sí mismos los que tienen mayor interés práctico, sino los valores del argumento en el que se logran. Al resolver problemas aplicados, surge una dificultad adicional: la compilación de funciones que describen el fenómeno o proceso en consideración.

Ejemplo 8 Se debe estañar un tanque de capacidad para 4 personas, que tenga forma de paralelepípedo de base cuadrada y abierto en la parte superior. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para cubrirlo con la menor cantidad de material?

Solución. Dejar X- lado base h- altura del tanque, S- su superficie sin cubierta, V- su volumen. El área de superficie del tanque se expresa mediante la fórmula, es decir. es una función de dos variables. Para expresar S como una función de una variable, usamos el hecho de que , de donde . Sustituyendo la expresión encontrada h en la fórmula para S:

Examinemos esta función para un extremo. Está definida y diferenciable en todas partes en ]0, +∞[ , y

.

Igualamos la derivada a cero () y encontramos el punto crítico. Además, en , la derivada no existe, pero este valor no está incluido en el dominio de definición y por lo tanto no puede ser un punto extremo. Entonces, - el único punto crítico. Verifiquemos la presencia de un extremo usando el segundo criterio suficiente. Encontremos la segunda derivada. Cuando la segunda derivada es mayor que cero (). Esto significa que cuando la función alcanza un mínimo . Porque esto mínimo - el único extremo de esta función, es su valor más pequeño. Entonces, el lado de la base del tanque debe ser igual a 2 my su altura.

Ejemplo 9 Del párrafo A, situado sobre la vía férrea, hasta el punto DE, a una distancia de ella yo, las mercancías deben ser transportadas. El costo de transportar una unidad de peso por unidad de distancia por ferrocarril es igual a , y por carretera es igual a . hasta que punto METRO la línea férrea debe ser sostenida por carretera para transportar carga desde PERO en DE era el mas economico AB se supone que el ferrocarril es recto)?

¿Qué es un extremo de una función y cuál es la condición necesaria para un extremo?

El extremo de una función es el máximo y el mínimo de la función.

La condición necesaria para el máximo y mínimo (extremo) de la función es la siguiente: si la función f(x) tiene un extremo en el punto x = a, entonces en este punto la derivada es cero, o infinita, o no no existe.

Esta condición es necesaria, pero no suficiente. La derivada en el punto x = a puede anularse, ir al infinito o no existir sin que la función tenga un extremo en este punto.

¿Cuál es la condición suficiente para el extremo de la función (máximo o mínimo)?

Primera condición:

Si, en una proximidad suficiente al punto x = a, la derivada f?(x) es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha de a, entonces en el mismo punto x = a, la función f(x) tiene máximo

Si, en suficiente proximidad al punto x = a, la derivada f?(x) es negativa a la izquierda de a y positiva a la derecha de a, entonces en el mismo punto x = a, la función f(x) tiene mínimo siempre que la función f(x) sea continua aquí.

En su lugar, puede utilizar la segunda condición suficiente para el extremo de la función:

Sea en el punto x = y la primera derivada f?(x) se anula; si la segunda derivada f??(а) es negativa, entonces la función f(x) tiene un máximo en el punto x = a, si es positiva, entonces un mínimo.

¿Qué es el punto crítico de una función y cómo encontrarlo?

Este es el valor del argumento de la función en el que la función tiene un extremo (es decir, máximo o mínimo). Para encontrarlo, necesitas encuentra la derivada función f?(x) y, igualándola a cero, resuelve la ecuación f?(x) = 0. Las raíces de esta ecuación, así como aquellos puntos en los que no existe la derivada de esta función, son puntos críticos, es decir, los valores del argumento en los que puede haber un extremo . Se pueden identificar fácilmente mirando gráfica derivada: nos interesan aquellos valores del argumento en los que la gráfica de la función se cruza con el eje de abscisas (eje Ox) y aquellos en los que la gráfica sufre roturas.

Por ejemplo, busquemos extremo de la parábola.

Función y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivada de función: y?(x) = 6x + 2

Resolvemos la ecuación: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

En este caso, el punto crítico es x0=-1/3. Es para este valor del argumento que la función tiene extremo. Para conseguirlo encontrar, sustituimos el número encontrado en la expresión por la función en lugar de "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Cómo determinar el máximo y el mínimo de una función, es decir sus valores mayor y menor?

Si el signo de la derivada cambia de “más” a “menos” al pasar por el punto crítico x0, entonces x0 es punto máximo; si el signo de la derivada cambia de menos a más, entonces x0 es punto mínimo; si el signo no cambia, entonces en el punto x0 no hay ni máximo ni mínimo.

Para el ejemplo considerado:

Tomamos un valor arbitrario del argumento a la izquierda del punto crítico: x = -1

Cuando x = -1, el valor de la derivada será y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (es decir, el signo menos).

Ahora tomamos un valor arbitrario del argumento a la derecha del punto crítico: x = 1

Para x = 1, el valor de la derivada será y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (es decir, el signo más).

Como puedes ver, al pasar por el punto crítico, la derivada cambió de signo de menos a más. Esto significa que en el valor crítico de x0 tenemos un punto mínimo.

El mayor y el menor valor de la función. en el intervalo(en el segmento) se encuentran mediante el mismo procedimiento, solo teniendo en cuenta el hecho de que, tal vez, no todos los puntos críticos se encontrarán dentro del intervalo especificado. Aquellos puntos críticos que estén fuera del intervalo deben ser excluidos de consideración. Si solo hay un punto crítico dentro del intervalo, tendrá un máximo o un mínimo. En este caso, para determinar los valores mayor y menor de la función, también tenemos en cuenta los valores de la función en los extremos del intervalo.

Por ejemplo, encontremos los valores mayor y menor de la función

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0.5x

a intervalos:

Entonces la derivada de la función es

y?(x) = 3 cos(x) - 0.5

Resolvemos la ecuación 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

Encontramos puntos críticos en el intervalo [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (no incluido en el intervalo)

x \u003d -arcos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arcos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arcos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (no incluido en el intervalo)

Encontramos los valores de la función en valores críticos del argumento:

y(-7,687) = 3 cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3 cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1.403) = 3 cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1,403) = 3 cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3 cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3 cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Se puede ver que en el intervalo [-9; 9] la función tiene el mayor valor en x = -4.88:

x = -4,88, y = 5,398,

y el más pequeño - en x = 4.88:

x = 4,88, y = -5,398.

En el intervalo [-6; -3] tenemos un solo punto crítico: x = -4.88. El valor de la función en x = -4,88 es y = 5,398.

Encontramos el valor de la función en los extremos del intervalo:

y(-6) = 3 cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3 cos(-3) - 0,5 = 1,077

En el intervalo [-6; -3] tenemos el mayor valor de la función

y = 5,398 en x = -4,88

el valor más pequeño es

y = 1.077 en x = -3

¿Cómo encontrar los puntos de inflexión de la gráfica de una función y determinar los lados de convexidad y concavidad?

Para encontrar todos los puntos de inflexión de la línea y \u003d f (x), debe encontrar la segunda derivada, igualarla a cero (resolver la ecuación) y probar todos aquellos valores de x para los que la segunda derivada es cero , infinito o no existe. Si al pasar por uno de estos valores la segunda derivada cambia de signo, entonces la gráfica de la función tiene una inflexión en este punto. Si no cambia, entonces no hay inflexión.

Las raíces de la ecuación f ? (x) = 0, así como los posibles puntos de discontinuidad de la función y la segunda derivada, dividen el dominio de la función en varios intervalos. La convexidad en cada uno de sus intervalos está determinada por el signo de la segunda derivada. Si la segunda derivada en un punto del intervalo en estudio es positiva, entonces la línea y = f(x) es cóncava hacia arriba aquí, y si es negativa, entonces hacia abajo.

¿Cómo encontrar los extremos de una función de dos variables?

Para encontrar los extremos de la función f(x, y), diferenciables en el área de su asignación, necesitas:

1) encontrar los puntos críticos, y para ello, resolver el sistema de ecuaciones

fx? (x,y) = 0, fy? (x, y) = 0

2) para cada punto crítico P0(a;b), investigar si el signo de la diferencia permanece sin cambios

para todos los puntos (x; y) suficientemente cerca de P0. Si la diferencia conserva un signo positivo, entonces en el punto P0 tenemos un mínimo, si es negativo, entonces un máximo. Si la diferencia no conserva su signo, entonces no hay un extremo en el punto Р0.

De manera similar, los extremos de la función se determinan para un mayor número de argumentos.

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El apocentro es el punto de la órbita en el que un cuerpo en órbita elíptica alrededor de otro cuerpo alcanza su distancia máxima con respecto a este último. En el mismo punto, según la segunda ley de Kepler, la velocidad del movimiento orbital se vuelve mínima. El apocentro se encuentra en un punto diametralmente opuesto al periapsis. En casos especiales, se acostumbra utilizar términos especiales:

que es mamón
Mamon (m. R.), mammon (f. R.) - una palabra derivada del griego. mammonas y significa riqueza, tesoros terrenales, bendiciones. Para algunos pueblos paganos antiguos, era el dios de la riqueza y las ganancias. Está mencionado en la Sagrada Escritura por los evangelistas Mateo y Lucas: “Nadie puede servir a dos señores; porque o aborrecerá a uno y al otro

¿Cuándo es la Pascua ortodoxa en 2049?
En 2015, la Pascua ortodoxa será el 12 de abril y la Pascua católica el 5 de abril. En los calendarios eclesiásticos, las fechas de la Pascua ortodoxa se dan según el calendario juliano (estilo antiguo), mientras que la Pascua católica se considera según el calendario gregoriano moderno (estilo nuevo), por lo que hacer coincidir las fechas requiere un poco de esfuerzo mental.

que es un rublo
El rublo es el nombre de las monedas modernas de Rusia, Bielorrusia (rublo bielorruso), Transnistria (rublo pridnestroviano). El rublo ruso también circula en Osetia del Sur y Abjasia. En el pasado - la unidad monetaria de las repúblicas y principados rusos, el Gran Ducado de Moscú, el Reino Ruso, el Gran Ducado de Lituania, el Imperio Ruso y varios

¿Cuánto tiempo estuvo Ariel Sharon en coma?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman): militar, político y estadista israelí, primer ministro de Israel entre 2001 y 2006. Fecha de nacimiento: 26 de febrero de 1928 Lugar de nacimiento: asentamiento de Kfar Malal cerca de Kfar Saba, Israel Fecha de muerte: 11 de enero de 2014 Lugar de muerte: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Quienes fueron los neandertales
El hombre de Neanderthal, el hombre de Neanderthal (lat. Homo neanderthalensis u Homo sapiens neanderthalensis) es una especie fósil de personas que vivieron hace 300-24 mil años. Origen del nombre Se cree que el cráneo de neandertal se encontró por primera vez en 1856.

¿Qué edad tiene Geoffrey Rush?
Geoffrey Rush es un actor de cine y teatro australiano. Ganador de Oscar (1997), BAFTA (1996, 1999), Globo de Oro (1997, 2005). Las películas más famosas con su participación - "Shine"

Cómo determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una función gráfica
¿Qué es un extremo de una función y cuál es la condición necesaria para un extremo? El extremo de una función es el máximo y el mínimo de la función. La condición necesaria para el máximo y mínimo (extremo) de la función es la siguiente: si la función f(x) tiene un extremo en el punto x = a, entonces en este punto la derivada es cero, o infinita, o no no existe. Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Derivada en t

Una tarea en miniatura y bastante simple del tipo que sirve como salvavidas para un estudiante flotante. En la naturaleza, el reino soñoliento de mediados de julio, por lo que es hora de establecerse con una computadora portátil en la playa. A primera hora de la mañana, un rayo de sol de la teoría jugó para pronto centrarse en la práctica, que, a pesar de su declarada levedad, contiene fragmentos de vidrio en la arena. En este sentido, recomiendo considerar concienzudamente algunos ejemplos de esta página. Para resolver tareas prácticas, debe ser capaz de encontrar derivados y entender el material del artículo Intervalos de monotonicidad y extremos de una función.

Primero, brevemente sobre lo principal. En una lección sobre continuidad de funciones Di la definición de continuidad en un punto y continuidad en un intervalo. El comportamiento ejemplar de una función sobre un segmento se formula de manera similar. Una función es continua en un segmento si:

1) es continua en el intervalo ;
2) continua en un punto a la derecha y en el punto izquierda.

El segundo párrafo trata de los llamados continuidad unilateral funciones en un punto. Hay varios enfoques para su definición, pero me mantendré en la línea comenzada anteriormente:

La función es continua en un punto a la derecha, si está definida en un punto dado y su límite por la derecha coincide con el valor de la función en un punto dado: . es continua en el punto izquierda, si se define en un punto dado y su límite izquierdo es igual al valor en ese punto:

Imagina que los puntos verdes son los clavos a los que se une la goma elástica mágica:

Toma mentalmente la línea roja en tus manos. Obviamente, no importa cuánto estiremos la gráfica hacia arriba y hacia abajo (a lo largo del eje), la función seguirá siendo limitado- un seto arriba, un seto abajo, y nuestro producto pasta en un potrero. De este modo, una función continua en un segmento está acotada en él. En el curso del análisis matemático, este hecho aparentemente simple se afirma y se prueba rigurosamente. Primer teorema de Weierstrass.… A muchas personas les molesta que los enunciados elementales se justifiquen tediosamente en matemáticas, pero esto tiene un significado importante. Supongamos que cierto habitante de la Edad Media terry tiró el gráfico hacia el cielo más allá de los límites de visibilidad, esto se insertó. ¡Antes de la invención del telescopio, la función limitada en el espacio no era del todo obvia! De hecho, ¿cómo sabes lo que nos espera más allá del horizonte? Después de todo, una vez que la Tierra se consideró plana, hoy en día incluso la teletransportación ordinaria requiere pruebas =)

De acuerdo a segundo teorema de Weierstrass, continuo en el segmentola función alcanza su borde superior exacto y su borde inferior exacto .

El número también se llama el valor máximo de la función en el segmento y denotado por , y el número - el valor mínimo de la función en el intervalo con aviso

En nuestro caso:

Nota : en teoría, los registros son comunes .

En términos generales, el valor más grande se encuentra en el punto más alto del gráfico y el más pequeño, en el punto más bajo.

¡Importante! Como ya se ha señalado en el artículo sobre extremos de la función, el mayor valor de la función y valor de función más pequeño – NO ES EL MÍSMO, qué función máxima y función mínima. Entonces, en este ejemplo, el número es el mínimo de la función, pero no el valor mínimo.

Por cierto, ¿qué pasa fuera del segmento? Sí, incluso la inundación, en el contexto del problema que estamos considerando, esto no nos interesa en absoluto. La tarea implica solo encontrar dos números. ¡y eso es!

Además, la solución es puramente analítica, por lo tanto, no hay necesidad de dibujar!

El algoritmo se encuentra en la superficie y se sugiere a sí mismo a partir de la figura anterior:

1) Encuentra los valores de la función en puntos críticos, que pertenecen a este segmento.

Atrapa una sorpresa más: no hay necesidad de verificar una condición suficiente para un extremo, ya que, como se acaba de mostrar, la presencia de un mínimo o un máximo aún no garantizado cual es el valor minimo o maximo. La función de demostración alcanza su máximo y, por voluntad del destino, el mismo número es el mayor valor de la función en el intervalo. Pero, por supuesto, tal coincidencia no siempre ocurre.

Así, en el primer paso, es más rápido y sencillo calcular los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes al segmento, sin importar si tienen extremos o no.

2) Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento.

3) Entre los valores de la función que se encuentran en los párrafos 1 y 2, seleccione el número más pequeño y el más grande, anote la respuesta.

Nos sentamos en la orilla del mar azul y golpeamos los talones en aguas poco profundas:

Ejemplo 1

Encuentra los valores mayor y menor de una función en un segmento

Solución:
1) Calcular los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes a este segmento:

Calculemos el valor de la función en el segundo punto crítico:

2) Calcular los valores de la función en los extremos del segmento:

3) Se obtuvieron resultados "negritos" con exponenciales y logaritmos, lo que complica significativamente su comparación. Por ello, nos armaremos de una calculadora o Excel y calcularemos los valores aproximados, sin olvidar que:

Ahora todo está claro.

Responder:

Ejemplo fraccionario-racional para solución independiente:

Ejemplo 6

Encuentra los valores máximos y mínimos de una función en un segmento