Se llama ecuación lineal con una variable. Ecuaciones con una variable

Primero necesitas entender qué es.

hay una definicion sencilla ecuación lineal, que se da en una escuela ordinaria: "una ecuación en la que una variable ocurre solo en primer grado". Pero no es del todo cierto: la ecuación no es lineal, ni siquiera se reduce a tal, se reduce a cuadrática.

Una definición más precisa es: ecuación lineal es una ecuacion que transformaciones equivalentes se puede reducir a la forma donde title="(!LANG:a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

De hecho, para comprender si una ecuación es lineal o no, primero debe simplificarse, es decir, llevarse a una forma en la que su clasificación no sea ambigua. Recuerda, puedes hacer cualquier cosa con la ecuación que no cambie sus raíces - esto es transformación equivalente. De las transformaciones equivalentes más simples, podemos distinguir:

1. expansión de paréntesis
2. trayendo similares
3. multiplicación y/o división de ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero
4. suma y/o resta de ambas partes del mismo número o expresión*

Puedes hacer estas transformaciones sin dolor, sin pensar si "estropeas" la ecuación o no.
*Una interpretación particular de la última transformación es la "transferencia" de términos de una parte a otra con cambio de signo.

Ejemplo 1:
(paréntesis abiertos)
(sumar a ambas partes y restar/transferir con cambio de signo del número a la izquierda, y variables a la derecha)
(Dé otros similares)
(dividir por 3 ambos lados de la ecuación)

Entonces obtuvimos una ecuación que tiene las mismas raíces que la original. Le recordamos al lector que "resolver ecuación" significa encontrar todas sus raíces y probar que no hay otras, y "raíz de la ecuación"- este es un número que, cuando se sustituye por la incógnita, convertirá la ecuación en una verdadera igualdad. Bueno, en la última ecuación, encontrar un número que convierta la ecuación en la igualdad correcta es muy simple: este es el número. Ningún otro número hará de esta ecuación una identidad. Responder:

Ejemplo 2:
(multiplique ambos lados de la ecuación por , asegurándonos de no multiplicar por: title="(!LANG:x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(paréntesis abiertos)
(mover términos)
(Dé otros similares)
(dividir ambas partes por )

Así se resuelven todas las ecuaciones lineales. Para los lectores más jóvenes, lo más probable es que esta explicación parezca complicada, por lo que ofrecemos la versión "ecuaciones lineales para el grado 5"

• La igualdad con una variable se llama ecuación.
• Resolver una ecuación significa encontrar el conjunto de sus raíces. Una ecuación puede tener una, dos, varias, muchas raíces o ninguna.
• Cada valor de la variable en el que la ecuación dada se convierte en una verdadera igualdad se denomina raíz de la ecuación.
• Las ecuaciones que tienen las mismas raíces se llaman ecuaciones equivalentes.
• Cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.
• Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.

Ejemplos. Resuelve la ecuación.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Recolectamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los miembros libres en el lado derecho de la igualdad. Se utilizó la siguiente propiedad:

1.2x = -6. Trajimos términos semejantes según la regla:

x = -6 : 1.2. Ambas partes de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que

x = -5. Dividido según la regla de dividir una fracción decimal entre una fracción decimal:

para dividir un número por un decimal, debe mover las comas en el dividendo y el divisor tantos dígitos hacia la derecha como estén después del punto decimal en el divisor, y luego dividir por un número natural:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Responder: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Abrimos los paréntesis usando la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la resta: (ab) ∙ c = un ∙ c-b ∙ C.

6x-4x = -16+27. Recolectamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los miembros libres en el lado derecho de la igualdad. Se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.

2x \u003d 11. Trajeron términos similares de acuerdo con la regla: para traer términos similares, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado por su parte de letra común (es decir, sume su parte de letra común al resultado).

X = 11 : 2. Ambas partes de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, entonces se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.

Responder: 5,5.

3. 7x-(3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Abrimos los paréntesis según la regla de apertura de paréntesis, que van precedidos de un signo "-": si hay un signo "-" delante de los corchetes, quitamos los corchetes, el signo "-" y escribimos los términos entre paréntesis con signos opuestos.

7x-2x-x \u003d -9 + 3. Recolectamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los miembros libres en el lado derecho de la igualdad. Se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.

4x = -6. Trajimos términos semejantes según la regla: para traer términos similares, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado por su parte de letra común (es decir, sume su parte de letra común al resultado).

x = -6 : 4. Ambas partes de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, entonces se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.

Responder: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Multiplica ambos lados de la ecuación por 12, el mínimo común denominador de los denominadores de estas fracciones.

3x-15 = 84-8x+44. Abrimos los paréntesis usando la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la resta: para multiplicar la diferencia de dos números por el tercer número, puede multiplicar la reducción por separado y la resta por separado por el tercer número, y luego restar el segundo resultado del primer resultado, es decir,(ab) ∙ c = un ∙ c-b ∙ C.

3x+8x = 84+44+15. Recolectamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los miembros libres en el lado derecho de la igualdad. Se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.

Una ecuación lineal con una variable tiene la forma general
hacha + b = 0.
Aquí x es una variable, ayb son coeficientes. De otra manera, a se llama el "coeficiente de la incógnita", b es el "término libre".

Los coeficientes son algunos números, y resolver la ecuación significa encontrar el valor x para el cual la expresión ax + b = 0 es verdadera. Por ejemplo, tenemos una ecuación lineal 3x - 6 \u003d 0. Resolverla significa encontrar a qué debe ser igual x para que 3x - 6 sea igual a 0. Realizando transformaciones, obtenemos:
3x=6
x=2

Por tanto, la expresión 3x - 6 = 0 es verdadera para x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 es la raiz de esta ecuacion. Cuando resuelves una ecuación, encuentras sus raíces.

Los coeficientes a y b pueden ser cualquier número, sin embargo, existen tales valores cuando hay más de una raíz de una ecuación lineal con una variable.

Si a = 0, entonces ax + b = 0 se convierte en b = 0. Aquí x se "destruye". La expresión b = 0 en sí misma puede ser verdadera solo si el conocimiento de b es 0. Es decir, la ecuación 0*x + 3 = 0 es falsa, porque 3 = 0 es un enunciado falso. Sin embargo, 0*x + 0 = 0 es la expresión correcta. De aquí se concluye que si a \u003d 0 y b ≠ 0, una ecuación lineal con una variable no tiene raíces, pero si a \u003d 0 y b \u003d 0, entonces la ecuación tiene un número infinito de raíces.

Si b \u003d 0, y a ≠ 0, entonces la ecuación tomará la forma ax \u003d 0. Está claro que si a ≠ 0, pero el resultado de la multiplicación es 0, entonces x \u003d 0. Es decir, el la raíz de esta ecuación es 0.

Si ni a ni b son iguales a cero, entonces la ecuación ax + b = 0 se transforma a la forma
x \u003d -b / a.
El valor de x en este caso dependerá de los valores de a y b. Sin embargo, será el único. Es decir, es imposible obtener dos o más valores de x diferentes para los mismos coeficientes. Por ejemplo,
-8.5x - 17 = 0
x = 17 / -8,5
x = -2
No se puede obtener ningún número que no sea -2 dividiendo 17 por -8,5.

Hay ecuaciones que a primera vista no parecen la forma general de una ecuación lineal con una variable, pero se convierten fácilmente en ella. Por ejemplo,
-4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Si movemos todo al lado izquierdo, entonces 0 permanecerá a la derecha:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Ahora la ecuación se reduce a la forma estándar y puedes resolverla:
x = 16,8 / 0,2
x=84

Al resolver ecuaciones lineales, nos esforzamos por encontrar una raíz, es decir, un valor para una variable que convertirá la ecuación en una igualdad correcta.

Para encontrar la raíz de la ecuación necesitas transformaciones equivalentes llevan la ecuación dada a nosotros a la forma

\(x=[número]\)

Este número será la raíz.

Es decir, transformamos la ecuación, haciéndola más fácil con cada paso, hasta reducirla a una ecuación completamente primitiva “x = número”, donde la raíz es obvia. Las más utilizadas en la resolución de ecuaciones lineales son las siguientes transformaciones:

Por ejemplo: suma \(5\) a ambos lados de la ecuación \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Tenga en cuenta que podríamos obtener el mismo resultado más rápido, simplemente escribiendo el cinco en el otro lado de la ecuación y cambiando su signo en el proceso. En realidad, así es exactamente como se hace la escuela “transferencia por igual con un cambio de signo al contrario”.

2. Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número o expresión.

Por ejemplo: Divide la ecuación \(-2x=8\) entre menos dos

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Por lo general, este paso se realiza al final, cuando la ecuación ya se ha reducido a \(ax=b\), y dividimos por \(a\) para eliminarla por la izquierda.

3. Uso de las propiedades y leyes de las matemáticas: apertura de paréntesis, reducción de términos semejantes, reducción de fracciones, etc.

Suma \(2x\) izquierda y derecha

Resta \(24\) de ambos lados de la ecuación

De nuevo, presentamos términos semejantes

Ahora dividimos la ecuación por \(-3\), quitando así antes la x del lado izquierdo.

Responder : \(7\)

Respuesta encontrada. Sin embargo, vamos a comprobarlo. Si el siete es realmente una raíz, entonces sustituirlo por x en la ecuación original debería dar como resultado la igualdad correcta: los mismos números a la izquierda y a la derecha. Intentamos.

Examen:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Acordado. Esto significa que el siete es de hecho la raíz de la ecuación lineal original.

No sea perezoso para verificar las respuestas que encontró por sustitución, especialmente si está resolviendo una ecuación en una prueba o examen.

La pregunta sigue siendo: ¿cómo determinar qué hacer con la ecuación en el siguiente paso? ¿Cómo convertirlo exactamente? ¿Comparte algo? ¿O restar? ¿Y qué restar exactamente? ¿Qué compartir?

La respuesta es simple:

Su objetivo es llevar la ecuación a la forma \(x=[número]\), es decir, a la izquierda x sin coeficientes ni números, ya la derecha, solo un número sin variables. Así que mira lo que te detiene y hacer lo contrario de lo que hace el componente que interfiere.

Para entender esto mejor, tomemos una solución paso a paso a la ecuación lineal \(x+3=13-4x\).

Pensemos: ¿en qué se diferencia esta ecuación de \(x=[número]\)? ¿Qué nos detiene? ¿Qué ocurre?

Bueno, en primer lugar, el triple interfiere, ya que debería haber solo una X solitaria a la izquierda, sin números. ¿Y qué hace el trío? Adicional a xx. Entonces, para eliminarlo - sustraer el mismo trío. Pero si restamos un triple de la izquierda, entonces debemos restarlo de la derecha para que no se viole la igualdad.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Bien. Ahora, ¿qué te detiene? \(4x\) a la derecha, porque solo debe contener números. \(4x\) sustraído- retirar agregando.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Ahora damos términos semejantes a la izquierda ya la derecha.

Está casi listo. Queda por quitar los cinco de la izquierda. Qué está haciendo"? multiplicado en x. Así que lo eliminamos división.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

La solución es completa, la raíz de la ecuación es dos. Se puede consultar por sustitución.

Darse cuenta de la mayoría de las veces solo hay una raíz en las ecuaciones lineales. Sin embargo, pueden ocurrir dos casos especiales.

Caso especial 1: no hay raíces en una ecuación lineal.

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(3x-1=2(x+3)+x\)

Solución :

Responder : sin raíces.

De hecho, el hecho de que llegaremos a tal resultado se vio antes, incluso cuando obtuvimos \(3x-1=3x+6\). Piénsalo: ¿cómo puede ser igual \(3x\), de la cual se restó \(1\) y \(3x\) a la que se sumó \(6\)? ¡Obviamente, de ninguna manera, porque hicieron diferentes acciones con la misma cosa! Está claro que los resultados variarán.

Caso especial 2: una ecuación lineal tiene un número infinito de raíces.

Ejemplo . Resuelve la ecuación lineal \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Solución :

Responder : cualquier número.

Por cierto, esto se notó incluso antes, en la etapa: \(8x+12=8x+12\). De hecho, izquierda y derecha son las mismas expresiones. Sea cual sea la x que sustituyas, habrá el mismo número tanto allí como allí.

Ecuaciones lineales más complejas.

La ecuación original no siempre parece inmediatamente lineal, a veces está "disfrazada" como otras ecuaciones más complejas. Sin embargo, en el proceso de transformación, el enmascaramiento desaparece.

Ejemplo . Encuentra la raíz de la ecuación \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Solución :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Parecería que hay una x al cuadrado aquí, ¡esta no es una ecuación lineal! Pero no te apresures. Apliquemos
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		¿Por qué el resultado de la expansión \((x-4)^(2)\) está entre paréntesis, pero el resultado de \((3+x)^(2)\) no lo está? Porque hay un menos antes del primer cuadrado, que cambiará todos los signos. Y para no olvidarlo, tomamos el resultado entre paréntesis, que ahora abrimos.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Damos términos similares
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Una vez más, aquí hay otros similares.
		Como esto. Resulta que la ecuación original es bastante lineal, y x al cuadrado no es más que una pantalla para confundirnos. :) Completamos la solución dividiendo la ecuación por \(2\), y obtenemos la respuesta.

Responder : \(x=5\)

Ejemplo . Resuelve la ecuación lineal \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Solución :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		La ecuación no parece lineal, algunas fracciones ... Sin embargo, eliminemos los denominadores multiplicando ambas partes de la ecuación por el denominador común de todos: seis
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		Soporte abierto a la izquierda
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		ahora reducimos los denominadores
\(3(x+2)-2=9+7x\)		¡Ahora parece uno lineal regular! Vamos a resolverlo.
		Al transferir a través de iguales, recopilamos x a la derecha y números a la izquierda.
		Bueno, dividiendo por \(-4\) las partes derecha e izquierda, obtenemos la respuesta

Responder : \(x=-1.25\)

Una ecuación con una incógnita que, después de abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, toma la forma

hacha + b = 0, donde a y b son números arbitrarios, se llama ecuación lineal con una desconocida. Hoy descubriremos cómo resolver estas ecuaciones lineales.

Por ejemplo, todas las ecuaciones:

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineal.

El valor de la incógnita que convierte la ecuación en una verdadera igualdad se llama decisión o la raíz de la ecuación .

Por ejemplo, si en la ecuación 3x + 7 \u003d 13 sustituimos el número 2 en lugar de la incógnita x, entonces obtenemos la igualdad correcta 3 2 + 7 \u003d 13. Por lo tanto, el valor x \u003d 2 es la solución o la raíz de la ecuación.

Y el valor x \u003d 3 no convierte la ecuación 3x + 7 \u003d 13 en una verdadera igualdad, ya que 3 2 + 7 ≠ 13. Por lo tanto, el valor x \u003d 3 no es una solución o una raíz de la ecuación.

La solución de cualquier ecuación lineal se reduce a la solución de ecuaciones de la forma

hacha + b = 0.

Transferimos el término libre del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho, mientras cambiamos el signo frente a b al opuesto, obtenemos

Si a ≠ 0, entonces x = – b/a .

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 3x + 2 =11.

Pasamos 2 del lado izquierdo de la ecuación a la derecha, mientras cambiamos el signo frente a 2 al opuesto, obtenemos
3x \u003d 11 - 2.

Hagamos la resta, entonces
3x = 9.

Para encontrar x, necesitas dividir el producto por un factor conocido, es decir,
x = 9:3.

Entonces el valor x = 3 es la solución o la raíz de la ecuación.

Respuesta: x = 3.

Si a = 0 y b = 0, luego obtenemos la ecuación 0x \u003d 0. Esta ecuación tiene infinitas soluciones, ya que al multiplicar cualquier número por 0, obtenemos 0, pero b también es 0. La solución a esta ecuación es cualquier número.

Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Expandamos los paréntesis:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Aquí hay miembros similares:
0x = 0.

respuesta: x es cualquier numero.

Si a = 0 y b ≠ 0, entonces obtenemos la ecuación 0x = - b. Esta ecuación no tiene solución, ya que al multiplicar cualquier número por 0, obtenemos 0, pero b ≠ 0.

Ejemplo 3 Resuelve la ecuación x + 8 = x + 5.

Agrupemos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo y los términos libres en el lado derecho:
x - x \u003d 5 - 8.

Aquí hay miembros similares:
0x = - 3.

Respuesta: no hay soluciones.

Sobre el Figura 1 se muestra el esquema para resolver la ecuación lineal

Compongamos un esquema general para resolver ecuaciones con una variable. Considere la solución del ejemplo 4.

Ejemplo 4 Resolvamos la ecuación

1) Multiplica todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, igual a 12.

2) Después de la reducción obtenemos
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Para separar los miembros que contienen miembros desconocidos y libres, abra los corchetes:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Agrupamos en una parte los términos que contienen incógnitas y en la otra los términos libres:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Aquí hay miembros similares:
- 22x = - 154.

6) Dividir por - 22, Obtenemos
x = 7.

Como puedes ver, la raíz de la ecuación es siete.

En general, tal Las ecuaciones se pueden resolver de la siguiente manera.:

a) llevar la ecuación a una forma entera;

b) corchetes abiertos;

c) agrupar los términos que contienen la incógnita en una parte de la ecuación y los términos libres en la otra;

d) traer miembros similares;

e) resolver una ecuación de la forma aх = b, que se obtuvo después de traer términos semejantes.

Sin embargo, este esquema no es necesario para todas las ecuaciones. Al resolver muchas ecuaciones más simples, uno tiene que empezar no desde la primera, sino desde la segunda ( Ejemplo. 2), tercera ( Ejemplo. 13) e incluso desde la quinta etapa, como en el ejemplo 5.

Ejemplo 5 Resuelve la ecuación 2x ​​= 1/4.

Encontramos la incógnita x \u003d 1/4: 2,
X = 1/8 .

Considere la solución de algunas ecuaciones lineales encontradas en el examen de estado principal.

Ejemplo 6 Resuelve la ecuación 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Respuesta: - 0.125

Ejemplo 7 Resuelva la ecuación - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Respuesta: 2.3

Ejemplo 8 Resuelve la ecuación

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Ejemplo 9 Encuentre f(6) si f (x + 2) = 3 7

Solución

Como necesitamos encontrar f(6), y sabemos f (x + 2),
entonces x + 2 = 6.

Resolvemos la ecuación lineal x + 2 = 6,
obtenemos x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Si x = 4 entonces
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Respuesta: 27.

Si todavía tiene preguntas, desea tratar la solución de ecuaciones más a fondo, regístrese en mis lecciones en el HORARIO. ¡Estaré encantado de ayudarle!

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