Función lineal, sus propiedades y gráfica. Función lineal

El concepto de función numérica. Formas de configurar una función. Propiedades de la función.

Una función numérica es una función que actúa de un espacio numérico (conjunto) a otro espacio numérico (conjunto).

Hay tres formas principales de definir una función: analítica, tabular y gráfica.

1. Analítico.

El método de especificar una función usando una fórmula se llama analítico. Este método es el principal en el tapete. análisis, pero en la práctica no es conveniente.

2. Manera tabular de establecer la función.

Una función se puede definir usando una tabla que contiene los valores de los argumentos y sus valores de función correspondientes.

3. Forma gráfica de configurar la función.

La función y \u003d f (x) se llama dada gráficamente si se construye su gráfico. Este método de configuración de la función permite determinar los valores de la función solo aproximadamente, ya que la construcción de un gráfico y la búsqueda de los valores de la función en él están asociadas con errores.

Propiedades de una función que hay que tener en cuenta a la hora de trazar su gráfica:

1) El ámbito de la función.

Alcance de la función, es decir, aquellos valores que puede tomar el argumento x de la función F=y(x).

2) Intervalos de función creciente y decreciente.

La función se llama creciente en el intervalo considerado, si el mayor valor del argumento corresponde al mayor valor de la función y(x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo en consideración, y x 1 > x 2, entonces y (x 1) > y (x 2).

La función se llama decreciente en el intervalo considerado, si el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función y(x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo considerado, y x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Función ceros.

Los puntos en los que la función F \u003d y (x) se cruzan con el eje de abscisas (se obtienen resolviendo la ecuación y (x) \u003d 0) y se denominan ceros de la función.

4) Funciones pares e impares.

La función se llama par, si para todos los valores del argumento del alcance

y(-x) = y(x).

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

La función se llama impar., si para todos los valores del argumento del alcance

y(-x) = -y(x).

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al origen.

Muchas funciones no son ni pares ni impares.

5) Periodicidad de la función.

La función se llama periódica, si existe un número P tal que para todos los valores del argumento del dominio de definición

y(x + P) = y(x).

Función lineal, sus propiedades y gráfica.

Una función lineal es una función de la forma y = kx + b, definido en el conjunto de todos los números reales.

k– factor de pendiente (número real)

b– término libre (número real)

X es una variable independiente.

· En un caso particular, si k = 0, obtenemos una función constante y = b, cuya gráfica es una recta paralela al eje Ox, que pasa por el punto de coordenadas (0; b).

· Si b = 0, entonces obtenemos la función y = kx, que es una proporcionalidad directa.

o El significado geométrico del coeficiente b es la longitud del segmento que corta la recta a lo largo del eje Oy, contando desde el origen.

o El significado geométrico del coeficiente k es el ángulo de inclinación de la recta al sentido positivo del eje Ox, se considera en sentido antihorario.

Propiedades de la función lineal:

1) El dominio de definición de una función lineal es todo el eje real;

2) Si k ≠ 0, entonces el rango de la función lineal es todo el eje real.

Si k = 0, entonces el rango de la función lineal consiste en el número b;

3) La paridad y la imparidad de una función lineal dependen de los valores de los coeficientes k y b.

a) b ≠ 0, k = 0, por lo tanto, y = b es par;

b) b = 0, k ≠ 0, luego y = kx es impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, luego y = kx + b es una función general;

d) b = 0, k = 0, por lo que y = 0 es tanto una función par como impar.

4) La función lineal no tiene la propiedad de periodicidad;

5) Puntos de intersección con ejes de coordenadas:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, por lo tanto (-b / k; 0) es el punto de intersección con el eje de abscisas.

Oy: y = 0k + b = b, por lo tanto (0; b) es el punto de intersección con el eje y.

Comentario. Si b = 0 yk = 0, entonces la función y = 0 se anula para cualquier valor de x. Si b ≠ 0 y k = 0, entonces la función y = b no se anula para ningún valor de la variable x.

6) Los intervalos de constancia de signo dependen del coeficiente k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b es positivo para x de (-b/k; +∞),

y = kx + b es negativo para x de (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b es positivo para x de (-∞; -b/k),

y = kx + b es negativo para x de (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b es positivo en todo el dominio,

k = 0, segundo< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Los intervalos de monotonicidad de una función lineal dependen del coeficiente k.

k > 0, por lo que y = kx + b aumenta en todo el dominio,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Función y \u003d ax 2 + bx + c, sus propiedades y gráfico.

La función y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c son valores constantes, a ≠ 0) se llama cuadrático. En el caso más simple, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), el gráfico es una línea curva que pasa por el origen. La curva que sirve como gráfico de la función y \u003d ax 2 es una parábola. Toda parábola tiene un eje de simetría llamado eje de la parábola. El punto O de la intersección de la parábola con su eje se llama parte superior de la parábola.

El gráfico se puede construir de acuerdo con el siguiente esquema: 1) Encuentre las coordenadas de la parte superior de la parábola x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Construimos unos puntos más que pertenecen a la parábola, al construir, puedes usar las simetrías de la parábola con respecto a la recta x = -b/2a. 3) Conectamos los puntos indicados con una línea suave. Ejemplo. Construya un gráfico de la función en \u003d x 2 + 2x - 3. Soluciones. La gráfica de la función es una parábola cuyas ramas están dirigidas hacia arriba. La abscisa de la parte superior de la parábola x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, sus ordenadas y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Entonces, la parte superior de la parábola es el punto (-1; -4). Hagamos una tabla de valores para varios puntos que se colocan a la derecha del eje de simetría de la parábola: la línea recta x \u003d -1. Propiedades de la función.

Definición de función lineal

Introduzcamos la definición de una función lineal.

Definición

Una función de la forma $y=kx+b$, donde $k$ es distinto de cero, se llama función lineal.

La gráfica de una función lineal es una línea recta. El número $k$ se llama la pendiente de la línea.

Para $b=0$ la función lineal se llama función de proporcionalidad directa $y=kx$.

Considere la Figura 1.

Arroz. 1. El significado geométrico de la pendiente de la recta

Considere el triángulo ABC. Vemos que $BC=kx_0+b$. Encuentra el punto de intersección de la recta $y=kx+b$ con el eje $Ox$:

\ \

Entonces $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Hallemos la razón de estos lados:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Por otro lado, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Así, se puede sacar la siguiente conclusión:

Conclusión

Significado geométrico del coeficiente $k$. La pendiente de la recta $k$ es igual a la tangente de la pendiente de esta recta al eje $Ox$.

Estudio de la función lineal $f\left(x\right)=kx+b$ y su gráfica

Primero, considere la función $f\left(x\right)=kx+b$, donde $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Por lo tanto, esta función aumenta en todo el dominio de definición. No hay puntos extremos.
2. $(\mahop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mahop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Gráfico (Fig. 2).

Arroz. 2. Gráficas de la función $y=kx+b$, para $k > 0$.

Ahora considere la función $f\left(x\right)=kx$, donde $k

1. El alcance es todos los números.
2. El alcance es todos los números.
3. $f\izquierda(-x\derecha)=-kx+b$. La función no es ni par ni impar.
4. Para $x=0,f\left(0\right)=b$. Para $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Puntos de intersección con ejes de coordenadas: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ y $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\izquierda(x\derecha)=(\izquierda(kx\derecha))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Por lo tanto, la función no tiene puntos de inflexión.
3. $(\mahop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mahop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Gráfico (Fig. 3).

Instrucción

Si la gráfica es una recta que pasa por el origen y forma un ángulo α con el eje OX (el ángulo de inclinación de la recta con el semieje OX positivo). La función que describe esta línea se verá como y = kx. El factor de proporcionalidad k es igual a tg α. Si la recta pasa por los cuartos de coordenadas segundo y cuarto, entonces k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 y la función es creciente, sea una recta situada de distinta forma con respecto a los ejes coordenados. Esta es una función lineal, y tiene la forma y = kx + b, donde las variables x e y están en la primera potencia, y k y b pueden tomar valores tanto positivos como negativos o iguales a cero. La recta es paralela a la recta y = kx y se corta en el eje |b| unidades. Si la recta es paralela al eje de abscisas, entonces k = 0, si es el eje de ordenadas, entonces la ecuación tiene la forma x = const.

Una curva que consta de dos ramas ubicadas en diferentes cuartos y simétricas con respecto al origen, una hipérbola. Este gráfico es la dependencia inversa de la variable y en x y se describe mediante la ecuación y = k/x. Aquí k ≠ 0 es el coeficiente de proporcionalidad. Además, si k > 0, la función decrece; si k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Una función cuadrática tiene la forma y = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a  0. Cuando se cumple la condición b = c = 0, la ecuación de la función se ve como y = ax2 (la caso más simple), y su gráfica es una parábola que pasa por el origen. La gráfica de la función y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que el caso más simple de la función, pero su vértice (el punto de intersección con el eje OY) no se encuentra en el origen.

Una parábola es también la gráfica de una función de potencia expresada por la ecuación y = xⁿ si n es cualquier número par. Si n es un número impar, la gráfica de tal función de potencia se verá como una parábola cúbica.
Si n es cualquiera, la ecuación de la función toma la forma. La gráfica de la función para n impar será una hipérbola, y para n pares sus ramas serán simétricas respecto al eje de la op-y.

Incluso en los años escolares, las funciones se estudian en detalle y se construyen sus gráficos. Pero, desafortunadamente, prácticamente no enseñan a leer el gráfico de una función y encontrar su tipo de acuerdo con el dibujo presentado. En realidad, es bastante simple si recuerda los tipos básicos de funciones.

Instrucción

Si la gráfica presentada es , que pasa por el origen y con el ángulo del eje OX α (que es el ángulo de inclinación de la recta al semieje positivo), entonces la función que describe dicha recta se representará como y = kx. En este caso, el coeficiente de proporcionalidad k es igual a la tangente del ángulo α.

Si la línea dada pasa por el segundo y cuarto cuarto de coordenadas, entonces k es 0 y la función es creciente. Deje que el gráfico presentado sea una línea recta ubicada de cualquier manera en relación con los ejes de coordenadas. Entonces la función de tal Artes graficas será lineal, lo que se representa por la forma y = kx + b, donde las variables y y x están en el primero, y b y k pueden tomar valores tanto negativos como positivos o .

Si la recta es paralela a la recta con la gráfica y = kx y corta b unidades en el eje y, entonces la ecuación tiene la forma x = constante, si la gráfica es paralela al eje x, entonces k = 0 .

Una línea curva, que consta de dos ramas, simétricas respecto al origen y ubicadas en diferentes cuartos, una hipérbola. Tal gráfico muestra la dependencia inversa de la variable y de la variable x y se describe mediante una ecuación de la forma y = k/x, donde k no debe ser igual a cero, ya que es un coeficiente de proporcionalidad inversa. En este caso, si el valor de k es mayor que cero, la función decrece; si k es menor que cero, aumenta.

Si la gráfica propuesta es una parábola que pasa por el origen, su función, si se cumple la condición de que b = c = 0, se verá como y = ax2. Este es el caso más simple de una función cuadrática. La gráfica de una función de la forma y = ax2 + bx + c tendrá la misma forma que el caso más simple, pero el vértice (el punto donde la gráfica se cruza con el eje y) no estará en el origen. En una función cuadrática representada por la forma y = ax2 + bx + c, los valores de a, b y c son constantes, mientras que a no es igual a cero.

Una parábola también puede ser un gráfico de una función de potencia expresada por una ecuación de la forma y = xⁿ, solo si n es un número par. Si el valor de n es un número impar, dicha gráfica de una función de potencia se representará mediante una parábola cúbica. Si la variable n es cualquier número negativo, la ecuación de la función toma la forma .

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Instrucción

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Las tareas sobre las propiedades y gráficos de una función cuadrática, como muestra la práctica, causan serias dificultades. Esto es bastante extraño, porque la función cuadrática se pasa en el 8º grado, y luego todo el primer cuarto del 9º grado es "torturado" por las propiedades de la parábola y sus gráficos se construyen para varios parámetros.

Esto se debe al hecho de que, al obligar a los estudiantes a construir parábolas, prácticamente no dedican tiempo a "leer" los gráficos, es decir, no practican la comprensión de la información recibida de la imagen. Aparentemente, se supone que, habiendo construido dos docenas de gráficos, un estudiante inteligente descubrirá y formulará la relación entre los coeficientes en la fórmula y la apariencia del gráfico. En la práctica, esto no funciona. Para tal generalización, se requiere una experiencia seria en mini-investigación matemática que, por supuesto, la mayoría de los estudiantes de noveno grado no tienen. En tanto, en el GIA proponen determinar los signos de los coeficientes precisamente de acuerdo al cronograma.

No exigiremos lo imposible a los escolares y simplemente ofreceremos uno de los algoritmos para resolver tales problemas.

Entonces, una función de la forma y=ax2+bx+c se llama cuadrática, su gráfica es una parábola. Como su nombre indica, el componente principal es hacha 2. Eso es a no debe ser igual a cero, los coeficientes restantes ( b y Con) puede ser igual a cero.

Veamos cómo los signos de sus coeficientes afectan la apariencia de la parábola.

La dependencia más simple para el coeficiente. a. La mayoría de los escolares responden con confianza: "si a> 0, entonces las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba, y si a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0.5x2 - 3x + 1

En este caso a = 0,5

y ahora por a < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

En este caso a = - 0,5

Influencia del coeficiente Con también bastante fácil de seguir. Imagina que queremos encontrar el valor de una función en un punto X= 0. Sustituye cero en la fórmula:

y = a 0 2 + b 0 + C = C. Resulta que y = c. Eso es Con es la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje y. Como regla general, este punto es fácil de encontrar en el gráfico. Y determinar si se encuentra por encima de cero o por debajo. Eso es Con> 0 o Con < 0.

Con > 0:

y=x2+4x+3

Con < 0

y = x 2 + 4x - 3

En consecuencia, si Con= 0, entonces la parábola necesariamente pasará por el origen:

y=x2+4x

Más difícil con el parámetro b. El punto por el que lo encontraremos depende no sólo de b pero también de a. Esta es la parte superior de la parábola. Su abscisa (coordenada del eje X) se encuentra por la fórmula x en \u003d - b / (2a). De este modo, b = - 2ax en. Es decir, actuamos de la siguiente manera: en el gráfico encontramos la parte superior de la parábola, determinamos el signo de su abscisa, es decir, miramos a la derecha de cero ( x en> 0) o a la izquierda ( x en < 0) она лежит.

Sin embargo, esto no es todo. También debemos fijarnos en el signo del coeficiente a. Es decir, para ver hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola. Y solo después de eso, de acuerdo con la fórmula. b = - 2ax en determinar el signo b.

Considere un ejemplo:

Ramas apuntando hacia arriba a> 0, la parábola cruza el eje a debajo de cero significa Con < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x en> 0. Entonces b = - 2ax en = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Con < 0.