Ecuación cuadrática donde el discriminante es 0. Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas

El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestras vidas. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. Las ecuaciones han sido utilizadas por el hombre desde la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. El discriminante te permite resolver cualquier ecuación cuadrática usando la fórmula general, que tiene la siguiente forma:

La fórmula discriminante depende del grado del polinomio. La fórmula anterior es adecuada para resolver ecuaciones cuadráticas de la siguiente forma:

El discriminante tiene las siguientes propiedades que debes conocer:

* "D" es 0 cuando el polinomio tiene múltiples raíces (raíces iguales);

* "D" es un polinomio simétrico con respecto a las raíces del polinomio y por lo tanto es un polinomio en sus coeficientes; además, los coeficientes de este polinomio son números enteros, independientemente de la extensión en que se tomen las raíces.

Supongamos que nos dan una ecuación cuadrática de la siguiente forma:

1 ecuación

Según la fórmula tenemos:

Como \, entonces la ecuación tiene 2 raíces. Vamos a definirlos:

¿Dónde puedo resolver la ecuación a través del solucionador en línea discriminante?

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En este artículo, consideraremos la solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.

Pero primero, repitamos qué ecuaciones se llaman cuadráticas. Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0, donde x es una variable, y los coeficientes a, b y c son algunos números, y a ≠ 0, se llama cuadrado. Como podemos ver, el coeficiente en x 2 no es igual a cero, y por lo tanto los coeficientes en x o el término libre pueden ser iguales a cero, en este caso obtenemos una ecuación cuadrática incompleta.

Hay tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

1) Si b \u003d 0, c ≠ 0, entonces ax 2 + c \u003d 0;

2) Si b ≠ 0, c \u003d 0, entonces ax 2 + bx \u003d 0;

3) Si b \u003d 0, c \u003d 0, entonces ax 2 \u003d 0.

• A ver como resuelven ecuaciones de la forma ax 2 + c = 0.

Para resolver la ecuación, trasladamos el término libre de al lado derecho de la ecuación, obtenemos

hacha 2 = ‒s. Como a ≠ 0, dividimos ambas partes de la ecuación por a, luego x 2 \u003d -c / a.

Si ‒с/а > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces

x = ±√(–c/a) .

Si ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Tratemos de entender con ejemplos cómo resolver tales ecuaciones.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 2x ​​2 - 32 = 0.

Respuesta: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 2x ​​2 + 8 = 0.

Respuesta: La ecuación no tiene soluciones.

• A ver como resuelven ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0.

Para resolver la ecuación ax 2 + bx \u003d 0, la descomponemos en factores, es decir, sacamos x entre paréntesis, obtenemos x (ax + b) \u003d 0. El producto es cero si al menos uno de los factores es cero. Entonces х = 0 o ах + b = 0. Resolviendo la ecuación ах + b = 0, obtenemos ах = – b, de donde х = – b/a. Una ecuación de la forma ax 2 + bx \u003d 0 siempre tiene dos raíces x 1 \u003d 0 y x 2 \u003d - b / a. Vea cómo se ve la solución de ecuaciones de este tipo en el diagrama.

Consolidemos nuestro conocimiento en un ejemplo específico.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 o 3x - 12 \u003d 0

Respuesta: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Ecuaciones del tercer tipo ax 2 = 0 solucionado de forma muy sencilla.

Si ax 2 \u003d 0, entonces x 2 \u003d 0. La ecuación tiene dos raíces iguales x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Para mayor claridad, considere el diagrama.

Al resolver el Ejemplo 4, nos aseguraremos de que las ecuaciones de este tipo se resuelvan de manera muy sencilla.

Ejemplo 4 Resuelve la ecuación 7x 2 = 0.

Respuesta: x 1, 2 = 0.

No siempre queda claro de inmediato qué tipo de ecuación cuadrática incompleta tenemos que resolver. Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5 resuelve la ecuación

Multiplica ambos lados de la ecuación por un denominador común, es decir, por 30

vamos a cortar

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Abramos los paréntesis

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Aquí hay similares

Movamos 99 del lado izquierdo de la ecuación al derecho, cambiando el signo al opuesto

Respuesta: sin raíces.

Hemos analizado cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas. Espero que ahora no tenga dificultades con tales tareas. Tenga cuidado al determinar el tipo de una ecuación cuadrática incompleta, entonces tendrá éxito.

Si tiene alguna pregunta sobre este tema, suscríbase a mis lecciones, resolveremos los problemas juntos.

sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. una

1 Institución Educativa Presupuestaria Municipal Escuela Secundaria No. 11

El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
La versión completa del trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de trabajo" en formato PDF

Historia de las ecuaciones cuadráticas

Babilonia

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo grado en la antigüedad fue provocada por la necesidad de resolver problemas relacionados con encontrar las áreas de la tierra, con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a. mi. babilonios. Las reglas para resolver estas ecuaciones establecidas en los textos babilónicos coinciden esencialmente con las modernas, pero estos textos carecen del concepto de número negativo y métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.

Antigua Grecia

En la antigua Grecia, científicos como Diofanto, Euclides y Garza también se dedicaron a la solución de ecuaciones cuadráticas. Diofanto Diofanto de Alejandría fue un antiguo matemático griego que presumiblemente vivió en el siglo III d.C. El trabajo principal de Diofanto es "Aritmética" en 13 libros. Euclides. Euclides es un antiguo matemático griego, el autor del primer tratado teórico sobre matemáticas que nos ha llegado, Heron. Heron: matemático e ingeniero griego por primera vez en Grecia en el siglo I d.C. da una forma puramente algebraica de resolver la ecuación cuadrática

India

Los problemas para las ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico Aryabhattam, compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), esbozó la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica: ax2 + bx = c, a> 0. (1) En la ecuación (1), los coeficientes también pueden ser negativos . La regla de Brahmagupta coincide esencialmente con la nuestra. En India, los concursos públicos para resolver problemas difíciles eran comunes. En uno de los antiguos libros indios, se dice lo siguiente acerca de tales concursos: “Como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así una persona erudita eclipsará la gloria en las reuniones públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Las tareas a menudo se vestían de forma poética.

Aquí está uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskara.

"Una juguetona bandada de monos

Y doce a lo largo de las vides

Empezaron a saltar, colgando

Ellos al cuadrado parte ocho

cuantos monos eran

Divertirse en el prado

Usted me dice, en este rebaño?

La solución de Bhaskara indica que el autor era consciente de que las raíces de las ecuaciones cuadráticas tienen dos valores. Bhaskar escribe la ecuación correspondiente al problema bajo la forma x2 - 64x = - 768 y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación a un cuadrado, suma 322 a ambas partes, obteniendo así: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

Ecuaciones cuadráticas en la Europa del siglo XVII

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas sobre el modelo de Al-Khorezmi en Europa se establecieron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Este voluminoso trabajo, que refleja la influencia de las matemáticas, tanto en los países del Islam como en la antigua Grecia, se distingue tanto por la integridad como por la claridad de su presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchas tareas del "Libro del ábaco" pasaron a casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y en parte XVIII. Vieta tiene una derivación general de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática, pero Vieta reconoció solo raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli fueron de los primeros en el siglo XVI. Tenga en cuenta, además de las raíces positivas y negativas. Recién en el siglo XVII. Gracias al trabajo de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, la forma de resolver ecuaciones cuadráticas adquiere un aspecto moderno.

Definición de una ecuación cuadrática

Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a, b, c son números, se llama ecuación cuadrada.

Coeficientes de una ecuación cuadrática

Los números a, b, c son los coeficientes de la ecuación cuadrática, a es el primer coeficiente (antes de x²), a ≠ 0, b es el segundo coeficiente (antes de x), c es el término libre (sin x).

¿Cuáles de estas ecuaciones no son cuadráticas??

1. 4x² + 4x + 1 \u003d 0;2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \u003d 0;8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8х²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Se llama ecuación cuadrática reducida, en la que el coeficiente principal es igual a uno. Tal ecuación se puede obtener dividiendo la expresión completa por el coeficiente principal a:

X 2 + px + q = 0, p = b/a, q = c/a

Se dice que una ecuación cuadrática es completa si todos sus coeficientes son distintos de cero.

Tal ecuación cuadrática se llama incompleta si al menos uno de los coeficientes, excepto el más alto (ya sea el segundo coeficiente o el término libre), es igual a cero.

Maneras de resolver ecuaciones cuadráticas

yo camino Fórmula general para calcular raíces.

Para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática hacha 2 + segundo + c = 0 En general, se debe utilizar el siguiente algoritmo:

Calcular el valor del discriminante de la ecuación cuadrática: esta es la expresión para ello re= b 2 - 4ac

Derivación de la fórmula:

Nota: es obvio que la fórmula para la raíz de la multiplicidad 2 es un caso especial de la fórmula general, se obtiene sustituyendo en ella la igualdad D=0, y la conclusión sobre la ausencia de raíces reales con D0, y (displaystyle ( sqrt (-1))=i) = i.

El método descrito es universal, pero está lejos de ser el único. La solución de una ecuación se puede abordar de diferentes maneras, las preferencias generalmente dependen del propio solucionador. Además, a menudo para esto, algunos de los métodos resultan mucho más elegantes, más simples y menos lentos que el estándar.

Yo camino. Las raíces de una ecuación cuadrática con un coeficiente par b Vía III. Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Vía IV. Uso de razones parciales de coeficientes

Hay casos especiales de ecuaciones cuadráticas en las que los coeficientes son proporcionales entre sí, lo que facilita mucho su resolución.

Las raíces de una ecuación cuadrática en la que la suma del coeficiente principal y el término libre es igual al segundo coeficiente

Si en una ecuación cuadrática hacha 2 + bx + c = 0 la suma del primer coeficiente y el término libre es igual al segundo coeficiente: a+b=c, entonces sus raíces son -1 y el número opuesto a la razón del término libre al coeficiente principal ( -California).

Por tanto, antes de resolver cualquier ecuación cuadrática, se debe comprobar la posibilidad de aplicarle este teorema: comparar la suma del coeficiente principal y el término libre con el segundo coeficiente.

Las raíces de una ecuación cuadrática cuya suma de todos los coeficientes es cero

Si en una ecuación cuadrática la suma de todos sus coeficientes es igual a cero, entonces las raíces de dicha ecuación son 1 y la relación entre el término libre y el coeficiente principal ( California).

Por lo tanto, antes de resolver la ecuación por métodos estándar, uno debe verificar la aplicabilidad de este teorema: sume todos los coeficientes de esta ecuación y vea si esta suma es igual a cero.

V manera. Descomposición de un trinomio cuadrado en factores lineales

Si un trinomio de la forma (estilo de visualización hacha^(2)+bx+c(anot =0))hacha 2 + bx + c(a ≠ 0) de alguna manera se puede representar como un producto de factores lineales (estilo de visualización (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), entonces podemos encontrar las raíces de la ecuación hacha 2 + bx + c = 0- serán -m/k y n/l, de hecho, porque (estilo de visualización (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0taza lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, y resolviendo las ecuaciones lineales indicadas, obtenemos lo anterior. Tenga en cuenta que el trinomio cuadrado no siempre se descompone en factores lineales con coeficientes reales: esto es posible si la ecuación correspondiente tiene raíces reales.

Considere algunos casos especiales

Usando la fórmula para el cuadrado de la suma (diferencia)

Si un trinomio cuadrado tiene la forma (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , entonces aplicando la fórmula anterior, podemos factorizarlo en factores lineales y, por lo tanto, encuentra las raíces:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Selección del cuadrado completo de la suma (diferencia)

Además, la fórmula nombrada se usa usando el método llamado "selección del cuadrado completo de la suma (diferencia)". En relación con la ecuación cuadrática dada con la notación presentada anteriormente, esto significa lo siguiente:

Nota: si te fijas, esta fórmula coincide con la propuesta en el apartado “Raíces de la ecuación cuadrática reducida”, la cual, a su vez, se puede obtener de la fórmula general (1) sustituyendo la igualdad a=1. Este hecho no es solo una coincidencia: por el método descrito, habiendo hecho, sin embargo, algún razonamiento adicional, es posible derivar una fórmula general, así como probar las propiedades del discriminante.

Camino VI. Usando el teorema de Vieta directo e inverso

El teorema directo de Vieta (ver más abajo en la sección del mismo nombre) y su teorema inverso nos permiten resolver las ecuaciones cuadráticas reducidas oralmente sin recurrir a cálculos bastante engorrosos utilizando la fórmula (1).

De acuerdo con el teorema inverso, cualquier par de números (número) (estilo de visualización x_(1),x_(2)) x 1 , siendo x 2 la solución del siguiente sistema de ecuaciones, son las raíces de la ecuación

En el caso general, es decir, para una ecuación cuadrática no reducida ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Un teorema directo te ayudará a seleccionar verbalmente números que satisfagan estas ecuaciones. Con su ayuda, puede determinar los signos de las raíces sin conocer las raíces mismas. Para hacer esto, sigue la regla:

1) si el término libre es negativo, entonces las raíces tienen un signo diferente y el valor absoluto más grande de las raíces es el signo opuesto al signo del segundo coeficiente de la ecuación;

2) si el término libre es positivo, entonces ambas raíces tienen el mismo signo, y este es el signo opuesto del segundo coeficiente.

7mo camino. Método de transferencia

El llamado método de "transferencia" permite reducir la solución de ecuaciones no reducidas y no transformables a la forma de ecuaciones reducidas con coeficientes enteros dividiéndolas por el coeficiente principal de ecuaciones a la solución de ecuaciones reducidas con entero coeficientes Es como sigue:

Luego, la ecuación se resuelve oralmente de la manera descrita anteriormente, luego regresan a la variable original y encuentran las raíces de las ecuaciones (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 = hacha 1 y y 2 = hacha 2 .(estilo de visualización y_(2)=ax_(2))

sentido geométrico

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Las soluciones (raíces) de una ecuación cuadrática son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas. Si la parábola descrita por la función cuadrática no interseca el eje x, la ecuación no tiene raíces reales. Si la parábola se cruza con el eje x en un punto (en el vértice de la parábola), la ecuación tiene una raíz real (también se dice que la ecuación tiene dos raíces coincidentes). Si la parábola se cruza con el eje x en dos puntos, la ecuación tiene dos raíces reales (ver imagen a la derecha).

Si coeficiente (estilo de visualización a) a positivo, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba y viceversa. Si el coeficiente (estilo de visualización b) bpositivo (cuando es positivo (estilo de visualización a) a, si es negativo, viceversa), entonces el vértice de la parábola se encuentra en el semiplano izquierdo y viceversa.

Aplicación de ecuaciones cuadráticas en la vida.

La ecuación cuadrática está muy extendida. Se utiliza en muchos cálculos, estructuras, deportes y también a nuestro alrededor.

Considere y dé algunos ejemplos de la aplicación de la ecuación cuadrática.

Deporte. Saltos de altura: cuando el saltador despega, para el golpe más certero en la barra de repulsión y el vuelo alto se utilizan cálculos relacionados con la parábola.

Además, se necesitan cálculos similares en el lanzamiento. El rango de vuelo de un objeto depende de una ecuación cuadrática.

Astronomía. La trayectoria de los planetas se puede encontrar usando una ecuación cuadrática.

Vuelo en avión. El despegue de una aeronave es el componente principal del vuelo. Aquí el cálculo se toma para una pequeña resistencia y aceleración de despegue.

Además, las ecuaciones cuadráticas se utilizan en diversas disciplinas económicas, en programas para procesar gráficos de sonido, video, vectoriales y rasterizados.

Conclusión

Como resultado del trabajo realizado, resultó que las ecuaciones cuadráticas atrajeron a los científicos en tiempos antiguos, ya se han encontrado con ellos al resolver algunos problemas y han intentado resolverlos. Considerando varias formas de resolver ecuaciones cuadráticas, llegué a la conclusión de que no todas son simples. En mi opinión, la mejor manera de resolver ecuaciones cuadráticas es usar fórmulas. Las fórmulas son fáciles de recordar, este método es universal. Se confirmó la hipótesis de que las ecuaciones son muy utilizadas en la vida y en las matemáticas. Después de estudiar el tema, aprendí muchos datos interesantes sobre las ecuaciones cuadráticas, su uso, aplicación, tipos y soluciones. Y continuaré estudiándolos con placer. Espero que esto me ayude a salir bien en mis exámenes.

Lista de literatura usada

Materiales del sitio:

Wikipedia

Abrir lección.rf

Manual de matemáticas elementales Vygodsky M. Ya.

Sólo. Según fórmulas y reglas claras y sencillas. en la primera etapa

es necesario llevar la ecuación dada a la forma estándar, es decir a la vista:

Si la ecuación ya se te ha dado en este formulario, no necesitas hacer la primera etapa. Lo más importante es correcto

determinar todos los coeficientes a, b y C.

Fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

La expresión bajo el signo de la raíz se llama discriminante . Como puedes ver, para encontrar x,

usar solo a, b y c. Aquellos. probabilidades de ecuación cuadrática. Simplemente inserte con cuidado

valores a, b y c en esta fórmula y contar. Sustituir con sus¡señales!

Por ejemplo, en la ecuación:

a =1; b = 3; C = -4.

Sustituye los valores y escribe:

Ejemplo casi resuelto:

Esta es la respuesta.

Los errores más comunes son la confusión con los signos de valores un, b y Con. Más bien, con sustitución

valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Aquí la fórmula detallada guarda

con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, ¡hazlo!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; b = -5; C = -1

Pintamos todo al detalle, con cuidado, sin que falte nada con todos los carteles y soportes:

A menudo, las ecuaciones cuadráticas se ven ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente el número de errores.

Primera recepción. No seas perezoso antes resolver una ecuación cuadrática llevarlo a la forma estándar.

¿Qué significa esto?

Supongamos que, después de cualquier transformación, obtienes la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula de las raíces! Es casi seguro que mezclarás las probabilidades a, b y c.

Construya el ejemplo correctamente. Primero, x al cuadrado, luego sin cuadrado, luego un miembro libre. Como esto:

Deshazte del menos. ¿Cómo? Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Y ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y completar el ejemplo.

Decide por tu cuenta. Deberías terminar con las raíces 2 y -1.

Segunda recepción.¡Revisa tus raíces! Por teorema de Vieta.

Para resolver las ecuaciones cuadráticas dadas, i.e. si el coeficiente

x2+bx+c=0,

despuésx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Para una ecuación cuadrática completa en la que a≠1:

x2 +bx+C=0,

dividir toda la ecuación por a:

→ →

dónde x1 y X 2 - raíces de la ecuación.

Recepción tercero. Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplicar

ecuación para un denominador común.

Conclusión. Consejos prácticos:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a la forma estándar, la construimos Correcto.

2. Si hay un coeficiente negativo delante de la x en el cuadrado, lo eliminamos multiplicándolo todo

ecuaciones para -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el correspondiente

factor.

4. Si x al cuadrado es puro, el coeficiente es igual a uno, la solución se puede comprobar fácilmente mediante

Fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática. Se consideran los casos de raíces reales, múltiples y complejas. Factorización de un trinomio cuadrado. Interpretación geométrica. Ejemplos de determinación de raíces y factorización.

Fórmulas básicas

Considere la ecuación cuadrática:
(1) .
Las raíces de una ecuación cuadrática(1) están determinados por las fórmulas:
; .
Estas fórmulas se pueden combinar así:
.
Cuando se conocen las raíces de la ecuación cuadrática, entonces el polinomio de segundo grado se puede representar como un producto de factores (factorizado):
.

Además, suponemos que son números reales.
Considerar discriminante de una ecuación cuadrática:
.
Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales diferentes:
; .
Entonces la factorización del trinomio cuadrado tiene la forma:
.
Si el discriminante es cero, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales múltiples (iguales):
.
Factorización:
.
Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces conjugadas complejas:
;
.
Aquí está la unidad imaginaria, ;
y son las partes real e imaginaria de las raíces:
; .
Después

.

Interpretación gráfica

Si graficamos la función
,
que es una parábola, entonces los puntos de intersección de la gráfica con el eje serán las raíces de la ecuación
.
Cuando , la gráfica interseca el eje de abscisas (eje) en dos puntos.
Cuando , la gráfica toca el eje x en un punto.
Cuando , la gráfica no cruza el eje x.

A continuación se muestran ejemplos de dichos gráficos.

Fórmulas útiles relacionadas con la ecuación cuadrática

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática

Realizamos transformaciones y aplicamos fórmulas (f.1) y (f.3):




,
dónde
; .

Entonces, obtuvimos la fórmula para el polinomio de segundo grado en la forma:
.
De esto se puede ver que la ecuación

realizado en
y .
Es decir, y son las raíces de la ecuación cuadrática
.

Ejemplos de cómo determinar las raíces de una ecuación cuadrática

Ejemplo 1

(1.1) .

Solución

.
Comparando con nuestra ecuación (1.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontrar el discriminante:
.
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales:
;
;
.

De aquí obtenemos la descomposición del trinomio cuadrado en factores:

.

Gráfica de la función y = 2x2 + 7x + 3 cruza el eje x en dos puntos.

Grafiquemos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Cruza el eje x (eje) en dos puntos:
y .
Estos puntos son las raíces de la ecuación original (1.1).

Responder

;
;
.

Ejemplo 2

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(2.1) .

Solución

Escribimos la ecuación cuadrática en forma general:
.
Comparando con la ecuación original (2.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontrar el discriminante:
.
Como el discriminante es cero, la ecuación tiene dos raíces múltiples (iguales):
;
.

Entonces la factorización del trinomio tiene la forma:
.

Gráfica de la función y = x 2 - 4x + 4 toca el eje x en un punto.

Grafiquemos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Toca el eje x (eje) en un punto:
.
Este punto es la raíz de la ecuación original (2.1). Como esta raíz se factoriza dos veces:
,
entonces tal raíz se llama múltiplo. Es decir, consideran que hay dos raíces iguales:
.

Responder

;
.

Ejemplo 3

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(3.1) .

Solución

Escribimos la ecuación cuadrática en forma general:
(1) .
Reescribamos la ecuación original (3.1):
.
Comparando con (1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontrar el discriminante:
.
El discriminante es negativo, . Por lo tanto, no hay raíces reales.

Puedes encontrar raíces complejas:
;
;
.

Después


.

La gráfica de la función no cruza el eje x. No hay raíces reales.

Grafiquemos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. No cruza la abscisa (eje). Por lo tanto, no hay raíces reales.

Responder

No hay raíces reales. Raíces complejas:
;
;
.