¿Cómo es la esquina central? Circulo

El ángulo ABC es un ángulo inscrito. Descansa sobre el arco AC, encerrado entre sus lados (Fig. 330).

Teorema. Un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco que intercepta.

Esto debe entenderse como sigue: un ángulo inscrito contiene tantos grados angulares, minutos y segundos como grados, minutos y segundos de arco están contenidos en la mitad del arco sobre el que descansa.

Para probar este teorema, necesitamos considerar tres casos.

Primer caso. El centro del círculo se encuentra en el lado del ángulo inscrito (Fig. 331).

Sea ∠ABC un ángulo inscrito y el centro del círculo O se encuentra en el lado BC. Se requiere probar que se mide por la mitad del arco AC.

Conecta el punto A al centro del círculo. Obtenemos el \(\Delta\)AOB isósceles, en el que AO = OB, como los radios del mismo círculo. Por lo tanto, ∠A = ∠B.

∠AOC es externo al triángulo AOB, entonces ∠AOC = ∠A + ∠B, y dado que los ángulos A y B son iguales, ∠B es 1/2 ∠AOC.

Pero ∠AOC se mide por el arco AC, por lo tanto, ∠B se mide por la mitad del arco AC.

Por ejemplo, si \(\breve(AC)\) contiene 60°18', entonces ∠B contiene 30°9'.

Segundo caso. El centro del círculo se encuentra entre los lados del ángulo inscrito (Fig. 332).

Sea ∠ABD un ángulo inscrito. El centro del círculo O se encuentra entre sus lados. Se requiere demostrar que ∠ABD se mide por la mitad del arco AD.

Para probar esto, dibujemos el diámetro BC. El ángulo ABD se divide en dos ángulos: ∠1 y ∠2.

∠1 se mide por la mitad del arco AC, y ∠2 se mide por la mitad del arco CD, por lo tanto, todo el ∠ABD se mide por 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), es decir, la mitad del arco AD.

Por ejemplo, si \(\breve(AD)\) contiene 124°, entonces ∠B contiene 62°.

Tercer caso. El centro del círculo se encuentra fuera del ángulo inscrito (Fig. 333).

Sea ∠MAD un ángulo inscrito. El centro del círculo O está fuera de la esquina. Se requiere demostrar que ∠MAD se mide por la mitad del arco MD.

Para probar esto, dibujemos el diámetro AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Pero ∠MAB mide 1/2 \(\breve(MB)\) y ∠DAB mide 1/2 \(\breve(DB)\).

Por lo tanto, ∠MAD mide 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), es decir, 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Por ejemplo, si \(\breve(MD)\) contiene 48° 38", entonces ∠MAD contiene 24° 19' 8".

Consecuencias
1. Todos los ángulos inscritos basados ​​en el mismo arco son iguales entre sí, ya que se miden por la mitad del mismo arco. (Fig. 334, a).

2. Un ángulo inscrito basado en un diámetro es un ángulo recto porque está basado en medio círculo. La mitad del círculo contiene 180 grados de arco, lo que significa que el ángulo basado en el diámetro contiene 90 grados angulares (Fig. 334, b).

esquina central es el ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
ángulo inscrito Un ángulo cuyo vértice se encuentra en el círculo y cuyos lados lo intersecan.

La figura muestra ángulos centrales e inscritos, así como sus propiedades más importantes.

Asi que, el valor del ángulo central es igual al valor angular del arco sobre el que descansa. Esto significa que un ángulo central de 90 grados se basará en un arco igual a 90 °, es decir, un círculo. El ángulo central, igual a 60°, se basa en un arco de 60°, es decir, en la sexta parte del círculo.

El valor del ángulo inscrito es dos veces menor que el central en base al mismo arco.

Además, para resolver problemas, necesitamos el concepto de "acorde".

Los ángulos centrales iguales están sostenidos por cuerdas iguales.

1. ¿Cuál es el ángulo inscrito basado en el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.

Un ángulo inscrito basado en un diámetro es un ángulo recto.

2. El ángulo central es 36° mayor que el ángulo inscrito agudo basado en el mismo arco circular. Encuentra el ángulo inscrito. Da tu respuesta en grados.

Sea x el ángulo central y y el ángulo inscrito basado en el mismo arco.

Sabemos que x = 2y.
Por lo tanto, 2y = 36 + y,
y = 36.

3. El radio del círculo es 1. Encuentra el valor de un ángulo inscrito obtuso basado en una cuerda igual a . Da tu respuesta en grados.

Sea la cuerda AB . Un ángulo inscrito obtuso basado en esta cuerda se denotará por α.
En el triángulo AOB, los lados AO y OB son iguales a 1, el lado AB es igual a . Hemos visto tales triángulos antes. Evidentemente, el triángulo AOB es rectángulo e isósceles, es decir, el ángulo AOB es de 90°.
Entonces el arco ASV es igual a 90°, y el arco AKB es igual a 360° - 90° = 270°.
El ángulo inscrito α descansa sobre el arco AKB y es igual a la mitad del valor angular de este arco, es decir, 135°.

Respuesta: 135.

4. La cuerda AB divide el círculo en dos partes, cuyos valores de grado están relacionados como 5:7. ¿Con qué ángulo es visible esta cuerda desde el punto C, que pertenece al arco más pequeño del círculo? Da tu respuesta en grados.

Lo principal en esta tarea es el correcto dibujo y comprensión de la condición. ¿Cómo entiendes la pregunta: "¿En qué ángulo es visible la cuerda desde el punto C?"
Imagina que estás sentado en el punto C y necesitas ver todo lo que sucede en el acorde AB. Entonces, como si el acorde AB fuera una pantalla de cine :-)
Obviamente, necesitas encontrar el ángulo ACB.
La suma de los dos arcos en que la cuerda AB divide la circunferencia es 360°, es decir
5x + 7x = 360°
Por lo tanto x = 30°, y luego el ángulo inscrito ACB descansa sobre un arco igual a 210°.
El valor del ángulo inscrito es igual a la mitad del valor angular del arco sobre el que se apoya, lo que significa que el ángulo ACB es igual a 105°.

Muy a menudo, el proceso de preparación para el examen de matemáticas comienza con una repetición de las definiciones, fórmulas y teoremas básicos, incluido el tema "Ángulo central e inscrito en un círculo". Como regla general, esta sección de planimetría se estudia en la escuela secundaria. No es de extrañar que muchos estudiantes se enfrenten a la necesidad de repetir los conceptos y teoremas básicos sobre el tema "Ángulo central de un círculo". Habiendo descubierto el algoritmo para resolver tales problemas, los escolares podrán contar con obtener puntos competitivos en función de los resultados de aprobar el examen estatal unificado.

¿Cómo prepararse fácil y efectivamente para la prueba de certificación?

Al estudiar antes de aprobar el examen estatal unificado, muchos estudiantes de secundaria se enfrentan al problema de encontrar la información necesaria sobre el tema "Ángulos centrales e inscritos en un círculo". No siempre se tiene a mano un libro de texto escolar. Y buscar fórmulas en Internet a veces lleva mucho tiempo.

Nuestro portal educativo te ayudará a “bombear” tus habilidades y mejorar tus conocimientos en una sección tan difícil de la geometría como la planimetría. Shkolkovo invita a los estudiantes de secundaria y a sus maestros a construir el proceso de preparación para el examen estatal unificado de una manera nueva. Todo el material básico es presentado por nuestros especialistas en la forma más accesible. Después de revisar la información en la sección "Referencia teórica", los estudiantes aprenderán qué propiedades tiene el ángulo central de un círculo, cómo encontrar su valor, etc.

Luego, para consolidar los conocimientos adquiridos y desarrollar habilidades, le recomendamos que realice los ejercicios adecuados. En la sección Catálogo se presenta una gran selección de tareas para encontrar el valor de un ángulo inscrito en un círculo y otros parámetros. Para cada ejercicio, nuestros expertos escribieron un curso detallado de la solución e indicaron la respuesta correcta. La lista de tareas en el sitio se complementa y actualiza constantemente.

Los estudiantes de secundaria pueden prepararse para el examen practicando ejercicios, por ejemplo, encontrar el valor del ángulo central y la longitud del arco de un círculo, en línea, en cualquier región rusa.

Si es necesario, la tarea completada se puede guardar en la sección "Favoritos" para volver a ella más tarde y analizar una vez más el principio de su solución.

Este es el ángulo formado por dos acordes con origen en un punto de la circunferencia. Se dice que un ángulo inscrito es confía en un arco encerrado entre sus lados.

ángulo inscrito igual a la mitad del arco sobre el que descansa.

En otras palabras, ángulo inscrito incluye tantos grados, minutos y segundos como grados de arco, los minutos y los segundos están encerrados en la mitad del arco en el que se apoya. Para su justificación, analizamos tres casos:

Primer caso:

El centro O está ubicado en el lado ángulo inscrito ABDOMINALES. Dibujando el radio AO, obtenemos ΔABO, en el que OA = OB (como radios) y, en consecuencia, ∠ABO = ∠BAO. en relacion a esto triángulo, el ángulo AOC es externo. Y así, es igual a la suma de los ángulos ABO y BAO, o igual al doble ángulo ABO. Entonces ∠ABO es la mitad esquina central AOC. Pero este ángulo se mide por el arco AC. Es decir, el ángulo inscrito ABC se mide por la mitad del arco AC.

Segundo caso:

El centro O se encuentra entre los lados. ángulo inscrito ABC Habiendo trazado el diámetro BD, dividiremos el ángulo ABC en dos ángulos, de los cuales, según lo establecido en el primer caso, uno mide la mitad arcos AD, y la otra mitad del arco CD. Y en consecuencia, el ángulo ABC se mide por (AD + DC) / 2, es decir, 1/2 CA.

Tercer caso:

El centro O está ubicado afuera ángulo inscrito ABDOMINALES. Habiendo dibujado el diámetro BD, tendremos: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Pero los ángulos ABD y CBD se miden, en base a las mitades previamente fundamentadas arcos AD y CD. Y dado que ∠ABС se mide por (AD-CD)/2, es decir, la mitad del arco AC.

Consecuencia 1. Cualquier , basado en el mismo arco son iguales, es decir, son iguales entre sí. Como cada uno de ellos se mide por la mitad del mismo arcos .

consecuencia 2. ángulo inscrito, basado en el diámetro - ángulo recto. Dado que cada uno de esos ángulos se mide por medio semicírculo y, en consecuencia, contiene 90 °.

Ángulo inscrito, teoría del problema. ¡Amigos! En este artículo hablaremos sobre tareas, para cuya solución es necesario conocer las propiedades de un ángulo inscrito. Este es un grupo completo de tareas, están incluidas en el examen. La mayoría de ellos se resuelven de forma muy sencilla, en un solo paso.

Hay tareas más difíciles, pero no te presentarán mucha dificultad, necesitas conocer las propiedades del ángulo inscrito. Poco a poco iremos analizando todos los prototipos de tareas, ¡los invito al blog!

Ahora la teoría necesaria. Recuerde qué ángulo central e inscrito, cuerda, arco, en el que se basan estos ángulos:

El ángulo central en un círculo se llama ángulo plano conpináculo en su centro.

La parte de un círculo que está dentro de una esquina planallamado arco de un círculo.

La medida en grados de un arco de círculo es la medida en gradosángulo central correspondiente.

Se dice que un ángulo está inscrito en una circunferencia si el vértice del ángulo se encuentraen un círculo, y los lados del ángulo intersecan este círculo.

Un segmento de línea que conecta dos puntos en un círculo se llamaacorde. La cuerda más larga pasa por el centro del círculo y se llamadiámetro.

Para resolver problemas de ángulos inscritos en un círculo,necesitas conocer las siguientes propiedades:

1. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central basado en el mismo arco.

2. Todos los ángulos inscritos basados ​​en el mismo arco son iguales.

3. Todos los ángulos inscritos basados ​​en la misma cuerda, cuyos vértices están en el mismo lado de esta cuerda, son iguales.

4. Cualquier par de ángulos basados ​​en la misma cuerda, cuyos vértices se encuentran en lados opuestos de la cuerda, suman 180°.

Corolario: Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en un círculo suman 180 grados.

5. Todos los ángulos inscritos basados ​​en el diámetro son rectos.

En general, esta propiedad es consecuencia de la propiedad (1), este es su caso particular. Mira, el ángulo central es igual a 180 grados (y este ángulo desarrollado no es más que un diámetro), lo que significa que según la primera propiedad, el ángulo C inscrito es igual a su mitad, es decir, 90 grados.

El conocimiento de esta propiedad ayuda a resolver muchos problemas y, a menudo, le permite evitar cálculos innecesarios. Habiéndolo dominado bien, serás capaz de resolver oralmente más de la mitad de este tipo de problemas. Dos consecuencias que se pueden sacar:

Corolario 1: si un triángulo está inscrito en un círculo y uno de sus lados coincide con el diámetro de este círculo, entonces el triángulo es rectángulo (el vértice del ángulo recto se encuentra en el círculo).

Corolario 2: El centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo coincide con el punto medio de su hipotenusa.

Muchos prototipos de problemas estereométricos también se resuelven usando esta propiedad y estos corolarios. Recuerda el hecho en sí: si el diámetro de un círculo es un lado de un triángulo inscrito, entonces este triángulo tiene un ángulo recto (el ángulo opuesto al diámetro es de 90 grados). Puede sacar todas las demás conclusiones y consecuencias usted mismo, no necesita enseñarlas.

Por regla general, la mitad de los problemas de un ángulo inscrito se dan con un croquis, pero sin notación. Para comprender el proceso de razonamiento al resolver problemas (a continuación en el artículo), se introducen las designaciones de vértices (esquinas). En el examen, no se puede hacer esto.Considere las tareas:

¿Qué es un ángulo agudo inscrito que corta a una cuerda igual al radio del círculo? Da tu respuesta en grados.

Construyamos un ángulo central para un ángulo inscrito dado, denotemos los vértices:

Según la propiedad de un ángulo inscrito en una circunferencia:

El ángulo AOB es igual a 60 0, ya que el triángulo AOB es equilátero, y en un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales a 60 0 . Los lados del triángulo son iguales, ya que la condición dice que la cuerda es igual al radio.

Así, el ángulo inscrito DIA es 30 0 .

Respuesta: 30

Encuentre la cuerda sobre la que descansa el ángulo 30 0, inscrito en un círculo de radio 3.

Este es esencialmente el problema inverso (del anterior). Construyamos una esquina central.

Es el doble del inscrito, es decir, el ángulo AOB es 60 0 . De esto podemos concluir que el triángulo AOB es equilátero. Así, la cuerda es igual al radio, es decir, tres.

Respuesta: 3

El radio del círculo es 1. Encuentra el valor de un ángulo inscrito obtuso basado en una cuerda igual a la raíz de dos. Da tu respuesta en grados.

Construyamos el ángulo central:

Conociendo el radio y la cuerda, podemos encontrar el ángulo central DIA. Esto se puede hacer usando la ley de los cosenos. Conociendo el ángulo central, podemos encontrar fácilmente el ángulo inscrito ACB.

Teorema del coseno: el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, sin duplicar el producto de esos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

Por lo tanto, el segundo ángulo central es 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Según la propiedad de un ángulo inscrito, el ángulo DIA es igual a su mitad, es decir, 135 grados.

Respuesta: 135

Encuentre la cuerda en la que el ángulo de 120 grados, la raíz de tres, está inscrito en un círculo de radio.

Conecta los puntos A y B con el centro del círculo. Llamémoslo O:

Conocemos el radio y el ángulo inscrito DIA. Podemos encontrar el ángulo central AOB (mayor de 180 grados), luego encontrar el ángulo AOB en el triángulo AOB. Y luego, usando el teorema del coseno, calcula AB.

Por la propiedad de un ángulo inscrito, el ángulo central AOB (que es mayor de 180 grados) será igual al doble del ángulo inscrito, es decir, 240 grados. Esto significa que el ángulo AOB en el triángulo AOB es 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Según la ley de los cosenos:

Respuesta:3

Encuentra el ángulo inscrito basado en el arco que es el 20% del círculo. Da tu respuesta en grados.

Por la propiedad de un ángulo inscrito, es la mitad del ángulo central con base en el mismo arco, en este caso estamos hablando del arco AB.

Se dice que el arco AB es el 20 por ciento de la circunferencia. Esto significa que el ángulo central AOB también es el 20 por ciento de 360 ​​0 .* Un círculo es un ángulo de 360 ​​grados. Medio,

Por lo tanto, el ángulo inscrito ACB es de 36 grados.

Respuesta: 36

arco de círculo C.A., que no contiene puntos B, es de 200 grados. Y el arco del círculo BC, que no contiene puntos A, es de 80 grados. Encuentre el ángulo inscrito ACB. Da tu respuesta en grados.

Denotemos para mayor claridad los arcos cuyas medidas angulares se dan. El arco correspondiente a 200 grados es azul, el arco correspondiente a 80 grados es rojo, el resto del círculo es amarillo.

Así, la medida en grados del arco AB (amarillo), y por lo tanto del ángulo central AOB es: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

El ángulo inscrito DAB es la mitad del ángulo central AOB, es decir, igual a 40 grados.

Respuesta: 40

¿Cuál es el ángulo inscrito basado en el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.